ప్రయోగాత్మక డేటా యొక్క ఉజ్జాయింపు అనేది ప్రయోగాత్మకంగా పొందిన డేటాను ఒక విశ్లేషణాత్మక ఫంక్షన్‌తో భర్తీ చేయడంపై ఆధారపడిన పద్ధతి, ఇది నోడల్ పాయింట్ల వద్ద అసలు విలువలతో (ప్రయోగం లేదా ప్రయోగం సమయంలో పొందిన డేటా) చాలా దగ్గరగా ఉంటుంది. ప్రస్తుతం, విశ్లేషణాత్మక విధిని నిర్వచించడానికి రెండు మార్గాలు ఉన్నాయి:
పాస్ అయ్యే n-డిగ్రీ ఇంటర్పోలేషన్ బహుపదిని నిర్మించడం ద్వారా అన్ని పాయింట్ల ద్వారా నేరుగాఇచ్చిన డేటా శ్రేణి. ఈ సందర్భంలో, ఉజ్జాయింపు ఫంక్షన్ రూపంలో ప్రదర్శించబడుతుంది: లాగ్రాంజ్ రూపంలో ఇంటర్పోలేషన్ బహుపది లేదా న్యూటన్ రూపంలో ఇంటర్పోలేషన్ బహుపది.
పాస్ అయ్యే n-డిగ్రీ ఇంచుమించు బహుపదిని నిర్మించడం ద్వారా పాయింట్ల తక్షణ సమీపంలోఇచ్చిన డేటా శ్రేణి నుండి. అందువలన, ఉజ్జాయింపు ఫంక్షన్ ప్రయోగం సమయంలో ఉత్పన్నమయ్యే అన్ని యాదృచ్ఛిక శబ్దం (లేదా లోపాలు) ను సున్నితంగా చేస్తుంది: ప్రయోగం సమయంలో కొలిచిన విలువలు వారి స్వంత యాదృచ్ఛిక చట్టాల ప్రకారం (కొలత లేదా సాధన లోపాలు, సరికాని లేదా ప్రయోగాత్మకమైన) హెచ్చుతగ్గుల యాదృచ్ఛిక కారకాలపై ఆధారపడి ఉంటాయి. లోపాలు). ఈ సందర్భంలో, ఉజ్జాయింపు ఫంక్షన్ కనీసం చతురస్రాల పద్ధతిని ఉపయోగించి నిర్ణయించబడుతుంది.
తక్కువ చదరపు పద్ధతి(ఇంగ్లీష్ సాహిత్యంలో ఆర్డినరీ లీస్ట్ స్క్వేర్స్, OLS) అనేది ప్రయోగాత్మక డేటా యొక్క ఇచ్చిన శ్రేణి నుండి పాయింట్లకు అత్యంత సమీపంలో నిర్మించబడిన ఉజ్జాయింపు ఫంక్షన్‌ను నిర్ణయించడంపై ఆధారపడిన గణిత పద్ధతి. అసలైన మరియు ఉజ్జాయింపు ఫంక్షన్ల F(x) యొక్క సామీప్యత సంఖ్యాపరమైన కొలమానం ద్వారా నిర్ణయించబడుతుంది, అవి: ఉజ్జాయింపు వక్రరేఖ F(x) నుండి ప్రయోగాత్మక డేటా యొక్క స్క్వేర్డ్ విచలనాల మొత్తం చిన్నదిగా ఉండాలి.
అతి తక్కువ చతురస్రాల పద్ధతిని ఉపయోగించి నిర్మించబడిన సుమారు వక్రరేఖ
తక్కువ చతురస్రాల పద్ధతి ఉపయోగించబడుతుంది:
సమీకరణాల సంఖ్య తెలియని వాటి సంఖ్యను అధిగమించినప్పుడు సమీకరణాల యొక్క అతిగా నిర్ణయించబడిన వ్యవస్థలను పరిష్కరించడానికి;
సాధారణ (అతిగా నిర్ణయించబడని) సమీకరణాల నాన్ లీనియర్ సిస్టమ్‌ల విషయంలో పరిష్కారాన్ని కనుగొనడం;
కొంత ఉజ్జాయింపు ఫంక్షన్‌తో పాయింట్ విలువలను అంచనా వేయడానికి.
ఇవ్వబడిన ప్రయోగాత్మక డేటా శ్రేణి నుండి లెక్కించబడిన ఉజ్జాయింపు ఫంక్షన్ యొక్క కనిష్ట స్క్వేర్డ్ విచలనాల యొక్క కనిష్ట మొత్తం యొక్క స్థితి నుండి కనిష్ట స్క్వేర్‌ల పద్ధతిని ఉపయోగించి ఉజ్జాయింపు ఫంక్షన్ నిర్ణయించబడుతుంది. తక్కువ చతురస్రాల పద్ధతి యొక్క ఈ ప్రమాణం క్రింది వ్యక్తీకరణగా వ్రాయబడింది:
నోడల్ పాయింట్ల వద్ద లెక్కించిన ఉజ్జాయింపు ఫంక్షన్ యొక్క విలువలు,
నోడల్ పాయింట్ల వద్ద ఇచ్చిన ప్రయోగాత్మక డేటా శ్రేణి.
క్వాడ్రాటిక్ ప్రమాణం అనేక "మంచి" లక్షణాలను కలిగి ఉంది, భేదం వంటిది, బహుపది ఉజ్జాయింపు ఫంక్షన్‌లతో ఉజ్జాయింపు సమస్యకు ప్రత్యేకమైన పరిష్కారాన్ని అందిస్తుంది.
సమస్య యొక్క పరిస్థితులపై ఆధారపడి, ఉజ్జాయింపు ఫంక్షన్ డిగ్రీ m యొక్క బహుపది
ఉజ్జాయింపు ఫంక్షన్ యొక్క డిగ్రీ నోడల్ పాయింట్ల సంఖ్యపై ఆధారపడి ఉండదు, కానీ దాని పరిమాణం ఎల్లప్పుడూ ఇచ్చిన ప్రయోగాత్మక డేటా శ్రేణి యొక్క పరిమాణం (పాయింట్ల సంఖ్య) కంటే తక్కువగా ఉండాలి.
∙ ఉజ్జాయింపు ఫంక్షన్ యొక్క డిగ్రీ m=1 అయితే, మేము పట్టిక ఫంక్షన్‌ను సరళ రేఖతో (లీనియర్ రిగ్రెషన్) అంచనా వేస్తాము.
∙ ఉజ్జాయింపు ఫంక్షన్ యొక్క డిగ్రీ m=2 అయితే, మేము పట్టిక ఫంక్షన్‌ను క్వాడ్రాటిక్ పారాబొలా (క్వాడ్రాటిక్ ఉజ్జాయింపు)తో అంచనా వేస్తాము.
∙ ఉజ్జాయింపు ఫంక్షన్ యొక్క డిగ్రీ m=3 అయితే, మేము టేబుల్ ఫంక్షన్‌ను క్యూబిక్ పారాబొలా (క్యూబిక్ ఉజ్జాయింపు)తో అంచనా వేస్తాము.
సాధారణ సందర్భంలో, ఇచ్చిన పట్టిక విలువల కోసం డిగ్రీ m యొక్క ఉజ్జాయింపు బహుపదిని నిర్మించాల్సిన అవసరం వచ్చినప్పుడు, అన్ని నోడల్ పాయింట్లపై స్క్వేర్డ్ విచలనాల కనిష్ట మొత్తానికి షరతు క్రింది రూపంలో తిరిగి వ్రాయబడుతుంది:
- డిగ్రీ m యొక్క ఉజ్జాయింపు బహుపది యొక్క తెలియని గుణకాలు;
పేర్కొన్న పట్టిక విలువల సంఖ్య.
కనిష్ట ఫంక్షన్ యొక్క ఉనికికి అవసరమైన షరతు తెలియని వేరియబుల్స్‌కు సంబంధించి దాని పాక్షిక ఉత్పన్నాల సున్నాకి సమానం . ఫలితంగా, మేము ఈ క్రింది సమీకరణాల వ్యవస్థను పొందుతాము:
ఫలిత సమీకరణాల సరళ వ్యవస్థను మారుద్దాం: బ్రాకెట్లను తెరిచి, వ్యక్తీకరణ యొక్క కుడి వైపుకు ఉచిత నిబంధనలను తరలించండి. ఫలితంగా, సరళ బీజగణిత వ్యక్తీకరణల వ్యవస్థ క్రింది రూపంలో వ్రాయబడుతుంది:
ఈ సరళ బీజగణిత వ్యక్తీకరణల వ్యవస్థను మాతృక రూపంలో తిరిగి వ్రాయవచ్చు:
ఫలితంగా, పరిమాణం m+1 యొక్క సరళ సమీకరణాల వ్యవస్థ పొందబడింది, ఇది m+1 తెలియని వాటిని కలిగి ఉంటుంది. సరళ బీజగణిత సమీకరణాలను (ఉదాహరణకు, గాస్సియన్ పద్ధతి) పరిష్కరించడానికి ఏదైనా పద్ధతిని ఉపయోగించి ఈ వ్యవస్థను పరిష్కరించవచ్చు. పరిష్కారం ఫలితంగా, ఉజ్జాయింపు ఫంక్షన్ యొక్క తెలియని పారామితులు కనుగొనబడతాయి, ఇవి అసలు డేటా నుండి ఉజ్జాయింపు ఫంక్షన్ యొక్క స్క్వేర్డ్ విచలనాల కనీస మొత్తాన్ని అందిస్తాయి, అనగా. ఉత్తమమైన చతుర్భుజ ఉజ్జాయింపు. మూలాధార డేటా యొక్క ఒక విలువ కూడా మారితే, అన్ని గుణకాలు వాటి విలువలను మారుస్తాయని గుర్తుంచుకోవాలి, ఎందుకంటే అవి మూలాధార డేటా ద్వారా పూర్తిగా నిర్ణయించబడతాయి.
లీనియర్ డిపెండెన్స్ ద్వారా సోర్స్ డేటా యొక్క ఉజ్జాయింపు
(లీనియర్ రిగ్రెషన్)
ఉదాహరణగా, ఉజ్జాయింపు ఫంక్షన్‌ను నిర్ణయించే సాంకేతికతను పరిశీలిద్దాం, ఇది సరళ ఆధారపడటం రూపంలో పేర్కొనబడింది. కనిష్ట చతురస్రాల పద్ధతికి అనుగుణంగా, స్క్వేర్డ్ విచలనాల కనీస మొత్తం షరతు క్రింది రూపంలో వ్రాయబడుతుంది:
టేబుల్ నోడ్స్ యొక్క కోఆర్డినేట్లు;
ఉజ్జాయింపు ఫంక్షన్ యొక్క తెలియని కోఎఫీషియంట్స్, ఇది లీనియర్ డిపెండెన్స్‌గా పేర్కొనబడింది.
కనిష్ట ఫంక్షన్ యొక్క ఉనికికి అవసరమైన షరతు తెలియని వేరియబుల్స్‌కు సంబంధించి దాని పాక్షిక ఉత్పన్నాల సున్నాకి సమానత్వం. ఫలితంగా, మేము ఈ క్రింది సమీకరణాల వ్యవస్థను పొందుతాము:
ఫలిత సమీకరణాల సరళ వ్యవస్థను మారుద్దాం.
మేము సరళ సమీకరణాల ఫలిత వ్యవస్థను పరిష్కరిస్తాము. విశ్లేషణాత్మక రూపంలో ఉజ్జాయింపు ఫంక్షన్ యొక్క గుణకాలు క్రింది విధంగా నిర్ణయించబడతాయి (క్రామెర్ పద్ధతి):
ఈ గుణకాలు ఇచ్చిన పట్టిక విలువల (ప్రయోగాత్మక డేటా) నుండి ఉజ్జాయింపు ఫంక్షన్ యొక్క చతురస్రాల మొత్తాన్ని కనిష్టీకరించే ప్రమాణానికి అనుగుణంగా సరళ ఉజ్జాయింపు ఫంక్షన్ యొక్క నిర్మాణాన్ని నిర్ధారిస్తాయి.
తక్కువ చతురస్రాల పద్ధతిని అమలు చేయడానికి అల్గోరిథం
1. ప్రారంభ డేటా:
N కొలతల సంఖ్యతో ప్రయోగాత్మక డేటా యొక్క శ్రేణి పేర్కొనబడింది
ఉజ్జాయింపు బహుపది (m) యొక్క డిగ్రీ పేర్కొనబడింది
2. గణన అల్గోరిథం:
2.1 కొలతలతో సమీకరణాల వ్యవస్థను నిర్మించడానికి గుణకాలు నిర్ణయించబడతాయి
సమీకరణాల వ్యవస్థ యొక్క గుణకాలు (సమీకరణం యొక్క ఎడమ వైపు)
- సమీకరణాల వ్యవస్థ యొక్క చదరపు మాతృక యొక్క నిలువు వరుస సంఖ్య యొక్క సూచిక
సరళ సమీకరణాల వ్యవస్థ యొక్క ఉచిత నిబంధనలు (సమీకరణం యొక్క కుడి వైపు)
- సమీకరణాల వ్యవస్థ యొక్క స్క్వేర్ మ్యాట్రిక్స్ యొక్క వరుస సంఖ్య యొక్క సూచిక
2.2 పరిమాణంతో సరళ సమీకరణాల వ్యవస్థ ఏర్పడటం.
2.3 డిగ్రీ m యొక్క ఉజ్జాయింపు బహుపది యొక్క తెలియని గుణకాలను గుర్తించడానికి సరళ సమీకరణాల వ్యవస్థను పరిష్కరించడం.
2.4. అన్ని నోడల్ పాయింట్ల వద్ద అసలు విలువల నుండి సుమారుగా బహుపది యొక్క స్క్వేర్డ్ విచలనాల మొత్తాన్ని నిర్ణయించడం
స్క్వేర్డ్ విచలనాల మొత్తం కనుగొనబడిన విలువ కనీస సాధ్యం.
ఇతర ఫంక్షన్లను ఉపయోగించి ఉజ్జాయింపు
కనీసం చతురస్రాల పద్ధతికి అనుగుణంగా అసలు డేటాను అంచనా వేసేటప్పుడు, లాగరిథమిక్ ఫంక్షన్, ఎక్స్‌పోనెన్షియల్ ఫంక్షన్ మరియు పవర్ ఫంక్షన్ కొన్నిసార్లు ఉజ్జాయింపు ఫంక్షన్‌గా ఉపయోగించబడుతుందని గమనించాలి.
లాగరిథమిక్ ఉజ్జాయింపు
ఫారమ్ యొక్క లాగరిథమిక్ ఫంక్షన్ ద్వారా ఉజ్జాయింపు ఫంక్షన్ ఇవ్వబడినప్పుడు కేసును పరిశీలిద్దాం:
మునుపటి వాటిలాగే, సారూప్య వచనంతో కూడిన ఈ పాఠం Excel షీట్‌లో ఉత్తమంగా వీక్షించబడుతుంది (ఉజ్జాయింపు పాఠాలు.xls, షీట్1 చూడండి)
ట్రెండింగ్ ప్రోగ్రామ్‌ను ఉపయోగించి ఎక్సెల్‌లో ఉజ్జాయింపు చాలా సులభంగా సాధించబడుతుంది. ఉజ్జాయింపు యొక్క లక్షణాలను స్పష్టం చేయడానికి, ఒక నిర్దిష్ట ఉదాహరణను తీసుకుందాం. ఉదాహరణకు, S.L. రివ్కిన్ మరియు A.A. అలెక్సాండ్రోవ్ "నీరు మరియు నీటి ఆవిరి యొక్క థర్మోఫిజికల్ లక్షణాలు", M., "ఎనర్జీ", 1980 పుస్తకం ప్రకారం సంతృప్త ఆవిరి యొక్క ఎంథాల్పీ. P కాలమ్‌లో మేము పీడన విలువలను kgf/cm2లో, కాలమ్ i"లో ఉంచుతాము - kcal/kgలో సంతృప్త రేఖపై ఆవిరి యొక్క ఎంథాల్పీ మరియు "చార్ట్ విజార్డ్" ఎంపిక లేదా బటన్‌ని ఉపయోగించి గ్రాఫ్‌ను నిర్మిస్తాము.
చిత్రంలో ఉన్న లైన్‌పై కుడి-క్లిక్ చేద్దాం, ఆపై "ట్రెండ్ లైన్‌ను జోడించు" ఎంపికపై ఎడమ-క్లిక్ చేసి, Excelలో ఉజ్జాయింపును అమలు చేసే విషయంలో ఈ ఎంపిక ద్వారా మాకు ఏ సేవలు అందించబడుతున్నాయో చూద్దాం.
మేము ఐదు రకాల ఉజ్జాయింపుల ఎంపికను అందిస్తాము: లీనియర్, పవర్, లాగరిథమిక్, ఎక్స్‌పోనెన్షియల్ మరియు బహుపది. అవి దేనికి మంచివి మరియు అవి మనకు ఎలా సహాయపడతాయి? - F1 బటన్‌ను నొక్కండి, ఆపై “సమాధానం విజార్డ్” ఎంపికపై క్లిక్ చేసి, కనిపించే విండోలో మనకు అవసరమైన “ఉజ్జాయింపు” అనే పదాన్ని నమోదు చేసి, ఆపై “కనుగొను” బటన్‌పై క్లిక్ చేయండి. కనిపించే జాబితాలో, "ట్రెండ్ లైన్లను నిర్మించడానికి సూత్రాలు" విభాగాన్ని ఎంచుకోండి.
మేము కొద్దిగా సవరించిన క్రింది సమాచారాన్ని స్వీకరిస్తాము
సంపాదకులు:
సరళ:
ఇక్కడ b అనేది వంపు కోణం మరియు a అనేది అబ్సిస్సా అక్షం (ఫ్రీ టర్మ్) యొక్క ఖండన యొక్క కోఆర్డినేట్.
శక్తి:
సమీకరణం ప్రకారం అతి తక్కువ చతురస్రాల పద్ధతిని ఉపయోగించి డేటాను అమర్చడానికి ఉపయోగించబడుతుంది:
ఇక్కడ c మరియు b స్థిరాంకాలు.
లాగరిథమిక్:
సమీకరణం ప్రకారం అతి తక్కువ చతురస్రాల పద్ధతిని ఉపయోగించి డేటాను అమర్చడానికి ఉపయోగించబడుతుంది:
ఇక్కడ a మరియు b స్థిరాంకాలు.
ఘాతాంకం:
సమీకరణం ప్రకారం అతి తక్కువ చతురస్రాల పద్ధతిని ఉపయోగించి డేటాను అమర్చడానికి ఉపయోగించబడుతుంది:
ఇక్కడ b మరియు k స్థిరాంకాలు.
బహుపది:
సమీకరణం ప్రకారం అతి తక్కువ చతురస్రాల పద్ధతిని ఉపయోగించి డేటాను అమర్చడానికి ఉపయోగించబడుతుంది:
y=a+b1*x+b2*x^2+b3*x^3+...b6*x^6
ఇక్కడ a, b1, b2, b3,... b6 స్థిరాంకాలు.
డ్రాయింగ్ లైన్‌పై మళ్లీ క్లిక్ చేయండి, ఆపై “ట్రెండ్ లైన్‌ను జోడించు” ఎంపికపై, ఆపై “పారామితులు” ఎంపికపై క్లిక్ చేయండి మరియు ఎంట్రీల ఎడమ వైపున ఉన్న పెట్టెల్లోని పెట్టెలను తనిఖీ చేయండి: “రేఖాచిత్రంపై సమీకరణాన్ని చూపించు” మరియు “ఉంచండి రేఖాచిత్రంపై ఉజ్జాయింపు విశ్వాస విలువ R^2, ఆపై OK బటన్‌పై క్లిక్ చేసి, అన్ని ఉజ్జాయింపు ఎంపికలను క్రమంలో ప్రయత్నించండి.
లీనియర్ ఉజ్జాయింపు మాకు R^2=0.9291 ఇస్తుంది - ఇది తక్కువ విశ్వసనీయత మరియు చెడు ఫలితం.
పవర్-లా ఉజ్జాయింపుకు మారడానికి, ట్రెండ్ లైన్‌పై కుడి-క్లిక్ చేసి, ఆపై "ట్రెండ్ లైన్ ఫార్మాట్" ఎంపికపై ఎడమ-క్లిక్ చేసి, ఆపై "రకం" మరియు "పవర్" ఎంపికలపై క్లిక్ చేయండి. ఈసారి మాకు R^2=0.999 వచ్చింది.
ట్రెండ్ లైన్ సమీకరణాన్ని ఎక్సెల్ షీట్‌లో లెక్కలకు అనువైన రూపంలో వ్రాస్దాం:
y=634.16*x^0.012
ఫలితంగా మేము కలిగి ఉన్నాము:
గరిష్ట ఉజ్జాయింపు లోపం 0.23 కిలో కేలరీలు/కిలో ఉన్నట్లు కనుగొనబడింది. ప్రయోగాత్మక డేటాను అంచనా వేయడానికి ఇది అద్భుతమైన ఫలితం అవుతుంది, కానీ లుక్అప్ పట్టికను అంచనా వేయడానికి ఇది చాలా మంచి ఫలితం కాదు. కాబట్టి, ట్రెండ్ బిల్డింగ్ ప్రోగ్రామ్‌ని ఉపయోగించి Excelలో ఇతర ఉజ్జాయింపు ఎంపికలను తనిఖీ చేయడానికి ప్రయత్నిద్దాం.
సంవర్గమాన ఉజ్జాయింపు మాకు R^2=0.9907 ఇస్తుంది - పవర్ వెర్షన్ కంటే కొంత దారుణంగా ఉంటుంది. ట్రెండ్ బిల్డింగ్ ప్రోగ్రామ్ అందించే వెర్షన్‌లోని ఎక్స్‌పోనెన్షియల్ అస్సలు సరిపోలేదు - R^2=0.927.
డిగ్రీ 2తో బహుపది ఉజ్జాయింపు (ఇది y=a+b1*x+b2*x^2) అందించిన R^2=0.9896. డిగ్రీ 3 వద్ద, మేము R^2=0.999 పొందాము, కానీ సుమారుగా వక్రరేఖ యొక్క స్పష్టమైన వక్రీకరణతో, ముఖ్యంగా P>0.07 kgf/cm2 వద్ద. చివరగా, ఐదవ శక్తి మనకు R^2=1ని ఇస్తుంది - ఇది అసలు డేటా మరియు వాటి ఉజ్జాయింపు మధ్య అత్యంత సన్నిహిత కనెక్షన్ అని చెప్పబడింది.
Excel షీట్‌లో గణనలకు అనువైన రూపంలో బహుపది సమీకరణాన్ని తిరిగి వ్రాద్దాం:
y=1E+07*x^5-4E+06*x^4+469613*x^3-27728*x^2+1020.8*x+592.44
మరియు ఉజ్జాయింపు ఫలితాన్ని అసలు పట్టికతో సరిపోల్చండి:
ఈ సందర్భంలో R^2=1 కేవలం అద్భుతమైన అబద్ధం అని తేలింది. నిజానికి, బహుపది ఉజ్జాయింపు యొక్క ఉత్తమ ఫలితం y=a+b1*x+b2*x^2 రూపం యొక్క సరళమైన బహుపది ద్వారా ఇవ్వబడింది. కానీ దాని ఫలితం పవర్-లా ఉజ్జాయింపు వెర్షన్ y=634.16*x^0.012 కంటే అధ్వాన్నంగా ఉంది, ఇక్కడ గరిష్ట ఉజ్జాయింపు లోపం 0.23 kcal/kg స్థాయిలో ఉంది. ట్రెండింగ్ ప్రోగ్రాం నుంచి బయటపడొచ్చు అంతే. లీనియర్ ఫంక్షన్ నుండి మనం ఏమి స్క్వీజ్ చేయవచ్చో చూద్దాం. దాని కోసం, మేము పవర్-లా ఉజ్జాయింపు ఎంపికను ప్రయత్నిస్తాము.
గమనిక. కనుగొనబడిన లోపం ట్రెండింగ్ ప్రోగ్రామ్ యొక్క ఆపరేషన్‌కు సంబంధించినది, కానీ కనీసం చతురస్రాల పద్ధతికి సంబంధించినది కాదు.
6.7.3 గణిత ప్యాకేజీలను ఉపయోగించి ఫంక్షన్ ఉజ్జాయింపు సమస్యలను పరిష్కరించే సాంకేతికత
6.7.3.1. MathCadని ఉపయోగించి ఉజ్జాయింపు సమస్యలను పరిష్కరించే సాంకేతికత
6.7.3.2. MatLab వాతావరణంలో ఫంక్షన్ ఉజ్జాయింపు సమస్యలను పరిష్కరించడానికి సాంకేతికత
6.7.4 "ఫంక్షన్ల ఉజ్జాయింపు" అనే అంశంపై టాస్క్‌లను పరీక్షించండి
ఉజ్జాయింపు సమస్య యొక్క ప్రకటన
ఒక ఫంక్షన్‌ను అంచనా వేసే పని ఏమిటంటే కొంత ఫంక్షన్ y=f(x)ని మరొక ఫంక్షన్‌తో భర్తీ చేయడం g(x, a 0 , a 1 , ..., a n) తద్వారా విచలనం
f(x) నుండి g(x, a0, a1, ..., an) ఒక నిర్దిష్ట ప్రాంతంలో (సెట్ Xలో) ఒక నిర్దిష్ట పరిస్థితిని సంతృప్తిపరిచింది. X సెట్ వివిక్తంగా ఉంటే (వ్యక్తిగత పాయింట్లను కలిగి ఉంటుంది), అప్పుడు ఉజ్జాయింపును పాయింట్‌వైస్ అంటారు, కానీ X ఒక విభాగం అయితే, ఉజ్జాయింపును సమగ్రం అంటారు.
f(x) ఫంక్షన్ పట్టికలో ఇవ్వబడితే, అప్పుడు ఉజ్జాయింపు ఫంక్షన్
g(x, a 0 , a 1 , ..., a n) పట్టిక డేటాకు దాని విలువల అనురూప్యం కోసం ఒక నిర్దిష్ట ప్రమాణాన్ని తప్పనిసరిగా సంతృప్తి పరచాలి.
అనుభావిక సూత్రాల ఎంపిక రెండు దశలను కలిగి ఉంటుంది - ఫార్ములా రకాన్ని ఎంచుకోవడం మరియు దానిలో ఉన్న గుణకాలను నిర్ణయించడం.
ఉజ్జాయింపు ఆధారపడటం యొక్క రకం తెలియకపోతే, సాధారణంగా తెలిసిన రకాల ఫంక్షన్‌లలో ఒక దానిని అనుభావిక సూత్రంగా ఎంపిక చేస్తారు: బీజగణిత బహుపది, ఘాతాంక, సంవర్గమాన లేదా ఇతర ఫంక్షన్, ఉజ్జాయింపు చేయబడిన ఫంక్షన్ యొక్క లక్షణాలపై ఆధారపడి ఉంటుంది. అనుభవపూర్వకంగా పొందిన ఉజ్జాయింపు ఫంక్షన్, ఒక నియమం వలె, తదుపరి అధ్యయనాలలో పరివర్తనలకు లోబడి ఉంటుంది కాబట్టి, వారు ఖచ్చితత్వ అవసరాలకు అనుగుణంగా సరళమైన సూత్రాన్ని ఎంచుకోవడానికి ప్రయత్నిస్తారు. తరచుగా, తక్కువ ఆర్డర్ యొక్క బీజగణిత బహుపదిచే వివరించబడిన ఆధారపడటం అనుభావిక సూత్రంగా ఎంపిక చేయబడుతుంది.
బహుపది రూపంలో ఫంక్షన్‌ని ఎంచుకోవడానికి అత్యంత సాధారణ మార్గం:
ఇక్కడ φ(x,a 0 ,a 1 ,...,a n)=a 0 φ 0 (x)+a 1 φ 1 (x)+...+a m φ m (x), మరియు
φ 0 (x), φ 1 (x), ..., φ m (x) – ప్రాతిపదిక విధులు (సుమారుగా బహుపది యొక్క m-డిగ్రీ).
సాధ్యమయ్యే స్థావరాలలో ఒకటి పవర్-లా: φ 0 (x)=1, φ 1 (x)=x, ..., φ m (x)=x m.
సాధారణంగా బహుపది యొక్క సుమారు డిగ్రీ m<
e i = φ(x i, a 0, a 1, ..., a m) – y i, i = 0,1,2,...,n.
ఎంచుకున్న అనుభావిక ఫంక్షన్ యొక్క గుణకాలను నిర్ణయించే పద్ధతులు విచలనాలను తగ్గించే ప్రమాణంలో విభిన్నంగా ఉంటాయి.
తక్కువ చదరపు పద్ధతి
అనుభావిక సూత్రం యొక్క పారామితులను గుర్తించే మార్గాలలో ఒకటి తక్కువ చతురస్రాల పద్ధతి. ఈ పద్ధతిలో, a 0 , a 1 , ..., a n అనే పారామితులు పట్టిక డేటా నుండి సుమారుగా ఫంక్షన్ యొక్క స్క్వేర్డ్ విచలనాల కనీస మొత్తం యొక్క స్థితి నుండి నిర్ణయించబడతాయి.
గుణకాల యొక్క వెక్టర్ a T కనిష్టీకరణ స్థితి నుండి నిర్ణయించబడుతుంది
ఇక్కడ (n+1) అనేది నోడల్ పాయింట్ల సంఖ్య.
ఫంక్షన్ E కోసం కనీస షరతు a 0 , a 1 , ..., a m పారామితుల కోసం సరళ సమీకరణాల వ్యవస్థకు దారి తీస్తుంది. ఈ వ్యవస్థను సాధారణ సమీకరణాల వ్యవస్థ అంటారు, దాని మాతృక గ్రామ మాతృక. మూలకాలు గ్రామ మాత్రికలుబేసిస్ ఫంక్షన్ల స్కేలార్ ఉత్పత్తుల మొత్తాలు
అవసరమైన పరామితి విలువలను పొందడానికి, ఒకరు (m+1) సమీకరణాల వ్యవస్థను కంపోజ్ చేసి పరిష్కరించాలి
లీనియర్ డిపెండెన్స్ y= a 0 +a 1 xని ఉజ్జాయింపు ఫంక్షన్‌గా ఎంచుకోనివ్వండి. అప్పుడు
కనిష్ట పరిస్థితులు:
అప్పుడు మొదటి సమీకరణం రూపం కలిగి ఉంటుంది
బ్రాకెట్లను తెరవడం మరియు స్థిరమైన గుణకం ద్వారా విభజించడం, మేము పొందుతాము
.
మొదటి సమీకరణం క్రింది తుది రూపాన్ని తీసుకుంటుంది:
.
రెండవ సమీకరణాన్ని పొందేందుకు, మేము a1 నుండి సున్నాకి సంబంధించి పాక్షిక ఉత్పన్నాన్ని సమం చేస్తాము:
.
.
బహుపది యొక్క గుణకాలను కనుగొనడానికి సరళ సమీకరణాల వ్యవస్థ 
(సరళ ఉజ్జాయింపు):
కింది సంజ్ఞామానాన్ని పరిచయం చేద్దాం 
- ప్రారంభ డేటా యొక్క సగటు విలువలు. ప్రవేశపెట్టిన సంజ్ఞామానంలో, సిస్టమ్ యొక్క పరిష్కారాలు
.
రెండవ డిగ్రీ y=a 0 +a 1 x+a 2 x 2 యొక్క ఉజ్జాయింపు బహుపది యొక్క కోఎఫీషియంట్‌లను గుర్తించడానికి అతి తక్కువ చతురస్రాల పద్ధతిని ఉపయోగించే సందర్భంలో, కనిష్టీకరణ ప్రమాణం రూపాన్ని కలిగి ఉంటుంది
.
పరిస్థితి నుండి 
మేము క్రింది సమీకరణాల వ్యవస్థను పొందుతాము:
0, a 1, a 2 కోసం ఈ సమీకరణాల వ్యవస్థను పరిష్కరించడం వలన అనుభావిక సూత్రం యొక్క గుణకాలను కనుగొనవచ్చు 
- 2వ క్రమం యొక్క బహుపది సుమారుగా. సరళ సమీకరణాల వ్యవస్థను పరిష్కరించడానికి సంఖ్యా పద్ధతులను ఉపయోగించవచ్చు.
శక్తి ప్రాతిపదికన (ఉజ్జాయింపు బహుపది యొక్క డిగ్రీ mకి సమానం), సాధారణ సమీకరణాల వ్యవస్థ G యొక్క గ్రామ్ మాతృక మరియు సాధారణ సమీకరణాల వ్యవస్థ యొక్క కుడి-భుజాల నిలువు వరుస రూపాన్ని కలిగి ఉంటుంది.
జి = 
మాతృక రూపంలో, సాధారణ సమీకరణాల వ్యవస్థ రూపాన్ని తీసుకుంటుంది:
సాధారణ సమీకరణాల వ్యవస్థను పరిష్కరించడం
వ్యక్తీకరణ నుండి కనుగొనబడింది
y 0, y 1, ..., y n అనే ఫంక్షన్ యొక్క ఇచ్చిన విలువల విచలనం యొక్క కొలతగా, డిగ్రీ m - φ(x)=a 0 φ 0 (x)+a 1 φ 1 బహుపది నుండి (x)+...+a m φ m(x),
అంగీకరించిన విలువ
(n+1)– నోడ్‌ల సంఖ్య, m – సుమారుగా బహుపది యొక్క డిగ్రీ, n+1>=m.
మూర్తి 6.7.2-1 అతి తక్కువ చతురస్రాల పద్ధతి అల్గోరిథం యొక్క విస్తారిత రేఖాచిత్రాన్ని చూపుతుంది.
అన్నం. 6.7.2-1. అతి తక్కువ చతురస్రాల పద్ధతి అల్గోరిథం యొక్క విస్తారిత రేఖాచిత్రం
తక్కువ చతురస్రాల పద్ధతి అల్గోరిథం యొక్క ఈ రేఖాచిత్రం విస్తరించబడింది మరియు పద్ధతి యొక్క ప్రధాన ప్రక్రియలను ప్రతిబింబిస్తుంది, ఇక్కడ n+1 అనేది х i, y i విలువలు తెలిసిన పాయింట్ల సంఖ్య; i=0,1,..., n .
కోఎఫీషియంట్‌లను గణించే బ్లాక్‌లో తెలియని c 0, c 1, ..., c m మరియు m+1 సరళ సమీకరణాల వ్యవస్థ యొక్క ఉచిత నిబంధనల కోసం గుణకాలను గణించడం ఉంటుంది.
తదుపరి బ్లాక్ - సమీకరణాల వ్యవస్థను పరిష్కరించడానికి బ్లాక్ - 0 తో, 1, ..., m తో ఉజ్జాయింపు ఫంక్షన్ యొక్క గుణకాలను లెక్కించడం ఉంటుంది.
ఉదాహరణ 6.7.2-1. తక్కువ స్క్వేర్‌ల పద్ధతిని ఉపయోగించి క్రింది డేటాను డిగ్రీ రెండు యొక్క బహుపదికి అమర్చండి.
| x | 0.78 | 1.56 | 2.34 | 3.12 | 3.81 |
| వై | 2.50 | 1.20 | 1.12 | 2.25 | 4.28 |
కింది పట్టికలో గ్రామ్ మాతృక మరియు ఉచిత నిబంధనల కాలమ్ యొక్క మూలకాలను వ్రాద్దాం:
| i | x | x 2 | x 3 | x 4 | వై | xy | x 2 y |
| 0.78 | 0.608 | 0.475 | 0.370 | 2.50 | 1.950 | 1.520 | |
| 1.56 | 2.434 | 3.796 | 5.922 | 1.20 | 1.872 | 2.920 | |
| 2.34 | 5.476 | 12.813 | 29.982 | 1.12 | 2.621 | 6.133 | |
| 3.12 | 9.734 | 30.371 | 94.759 | 2.25 | 7.020 | 21.902 | |
| 3.81 | 14.516 | 55.306 | 210.72 | 4.28 | 16.307 | 62.129 | |
| ∑ | 11.61 | 32.768 | 102.76 | 341.75 | 11.35 | 29.770 | 94.604 |
సాధారణ సమీకరణాల వ్యవస్థ ఇలా కనిపిస్తుంది
ఈ వ్యవస్థకు పరిష్కారం:
a0 = 5.022; a1 = -4.014; a2=1.002.
అవసరమైన ఉజ్జాయింపు ఫంక్షన్
y యొక్క ప్రారంభ విలువలను అదే పాయింట్ల వద్ద లెక్కించిన సుమారుగా బహుపది విలువలతో పోల్చి చూద్దాం:
ప్రామాణిక విచలనాన్ని గణిద్దాం (అవశేషం)
.
ఉదాహరణ 6.7.3-1. పట్టికలో పేర్కొన్న ఫంక్షన్ కోసం అతి తక్కువ చతురస్రాల పద్ధతిని ఉపయోగించి మొదటి మరియు రెండవ డిగ్రీల యొక్క ఉజ్జాయింపు బహుపదిలను పొందండి.
 |
ఉదాహరణ 6.7.3-2. 1వ, 2వ మరియు 3వ డిగ్రీల బహుపదితో పట్టిక-నిర్దిష్ట ఫంక్షన్‌ని అంచనా వేయండి.
ఈ ఉదాహరణ linfit(x,y,f) ఫంక్షన్ యొక్క ఉపయోగాన్ని పరిగణిస్తుంది, ఇక్కడ x,y వరుసగా ఆర్గ్యుమెంట్ విలువలు మరియు ఫంక్షన్ల వెక్టర్స్, మరియు f అనేది ఆధార ఫంక్షన్ల యొక్క సింబాలిక్ వెక్టర్. ఈ ఫంక్షన్‌ని ఉపయోగించడం వలన మీరు కనీసం చతురస్రాల పద్ధతిని ఉపయోగించి ఉజ్జాయింపు కోఎఫీషియంట్స్ యొక్క వెక్టార్‌ను గుర్తించడానికి అనుమతిస్తుంది మరియు ఆపై వ్యత్యాసం - ఉజ్జాయింపు ఫంక్షన్‌కి ప్రారంభ పాయింట్ల ఉజ్జాయింపులో రూట్-మీన్-స్క్వేర్ లోపం. సింబాలిక్ వెక్టార్ fను వివరించేటప్పుడు సుమారుగా బహుపది యొక్క డిగ్రీ పేర్కొనబడుతుంది. ఉదాహరణ 1వ, 2వ మరియు 3వ డిగ్రీల బహుపది ద్వారా పట్టిక-నిర్దిష్ట ఫంక్షన్ యొక్క ఉజ్జాయింపును చూపుతుంది. వెక్టర్ s అనేది ఉజ్జాయింపు గుణకాల సమితి, ఇది స్పష్టమైన రూపంలో ఉజ్జాయింపు ఫంక్షన్‌ను పొందడం సాధ్యం చేస్తుంది.
 |
IN మత్కాడ్రిగ్రెషన్ ఫంక్షన్ యొక్క విశ్లేషణాత్మక వ్యక్తీకరణను పొందేందుకు రూపొందించబడిన పెద్ద సంఖ్యలో అంతర్నిర్మిత ఫంక్షన్లు కూడా ఉన్నాయి. అయితే, ఈ సందర్భంలో విశ్లేషణాత్మక వ్యక్తీకరణ యొక్క రూపాన్ని తెలుసుకోవడం అవసరం. రిగ్రెషన్ రకంలో విభిన్నమైన అంతర్నిర్మిత ఫంక్షన్లు క్రింద ఉన్నాయి, ఫంక్షన్ యొక్క విశ్లేషణాత్మక ఆధారపడటాన్ని నిర్ణయించడానికి (ఇచ్చిన ప్రారంభ ఉజ్జాయింపులతో) అనుమతిస్తుంది, అంటే, సుమారుగా గుణకాల సమితిని తిరిగి ఇస్తుంది:
expfit(X,Y,g) y”=F(x, y, z) రూపం యొక్క 2వ ఆర్డర్ ODE యొక్క పరిష్కారం, ఇక్కడ z=y’ని 4వ ఆర్డర్ రూంజ్-కుట్టా పద్ధతి ద్వారా కూడా పొందవచ్చు. ODEని పరిష్కరించే సూత్రాలు క్రింద ఉన్నాయి:
ఈ ఫంక్షన్‌లలో: x అనేది ఆర్గ్యుమెంట్‌ల వెక్టర్, వీటిలో మూలకాలు ఆరోహణ క్రమంలో అమర్చబడి ఉంటాయి; y - ఫంక్షన్ విలువల వెక్టర్; g - గుణకాలు a, b మరియు c యొక్క ప్రారంభ ఉజ్జాయింపుల వెక్టర్; t - ఫంక్షన్ నిర్వచించబడిన ఆర్గ్యుమెంట్ యొక్క విలువ.
దిగువ ఉదాహరణలలో, డేటా సెట్‌లు మరియు ఉజ్జాయింపు ఫంక్షన్ విలువల మధ్య సంబంధాన్ని అంచనా వేయడానికి సహసంబంధ గుణకం corr() లెక్కించబడుతుంది. పట్టిక డేటా కొన్ని రకాల రిగ్రెషన్ ద్వారా బాగా అంచనా వేయబడితే, సహసంబంధ గుణకం ఒకదానికి దగ్గరగా ఉంటుంది. గుణకం చిన్నది, ఈ ఫంక్షన్ల విలువల మధ్య సంబంధం అధ్వాన్నంగా ఉంటుంది.
ఉదాహరణ 6.7.3-3. మొదటి, రెండవ, మూడవ మరియు నాల్గవ డిగ్రీల యొక్క ఉజ్జాయింపు బహుపదిలను కనుగొని, సహసంబంధ గుణకాలను లెక్కించండి.
   |
డేటా వ్యవధిలో ఫంక్షన్ విలువలను లెక్కించడంతో పాటు, గతంలో చర్చించిన అన్ని విధులు నిర్వహించగలవు ఎక్స్ట్రాపోలేషన్(ఇచ్చిన పాయింట్ల విరామం వెలుపల ఒక ఫంక్షన్ యొక్క ప్రవర్తన యొక్క అంచనా) డేటా విరామం యొక్క సరిహద్దులో అనేక ప్రారంభ బిందువుల స్థానం యొక్క విశ్లేషణ ఆధారంగా ఆధారపడటాన్ని ఉపయోగించడం. IN మత్కాడ్ఒక ప్రత్యేకత కూడా ఉంది ఫంక్షన్ప్రిడిక్షన్స్ ప్రిడిక్ట్ (Y, m, n), ఇక్కడ Y అనేది ఇచ్చిన ఫంక్షన్ విలువల వెక్టర్, తప్పనిసరిగా సమాన ఆర్గ్యుమెంట్ వ్యవధిలో తీసుకోబడుతుంది మరియు m అనేది వరుస Y విలువల సంఖ్య, దీని ఆధారంగా ప్రిడిక్ట్ ఫంక్షన్ n Y విలువలను అందిస్తుంది.
డేటా కోసం ఆర్గ్యుమెంట్ విలువలు అవసరం లేదు, ఎందుకంటే నిర్వచనం ప్రకారం ఫంక్షన్ ఒకే దశలో ఒకదానికొకటి అనుసరించే డేటాపై పనిచేస్తుంది. ఫంక్షన్ ఒక లీనియర్ ప్రిడిక్షన్ అల్గారిథమ్‌ని ఉపయోగిస్తుంది, ఎక్స్‌ట్రాపోలేటెడ్ ఫంక్షన్ స్మూత్‌గా ఉన్నప్పుడు ఇది ఖచ్చితమైనది. మీరు తక్కువ దూరాలకు డేటాను ఎక్స్‌ట్రాపోలేట్ చేయవలసి వచ్చినప్పుడు ఫంక్షన్ ఉపయోగకరంగా ఉంటుంది. అసలు డేటాకు దూరంగా, ఫలితం చాలా తరచుగా సంతృప్తికరంగా ఉండదు.
ఉదాహరణ 6.7.3-4. కనీసం చతురస్రాల పద్ధతిని ఉపయోగించి బహుపది ద్వారా పట్టికలో అందించబడిన ఫంక్షన్‌ని అంచనా వేయండి.
ఈ ఉదాహరణ p=polyfit(x,y,n) ఫంక్షన్ యొక్క ఉపయోగాన్ని పరిగణిస్తుంది, ఇక్కడ x,y అనేది వరుసగా ఆర్గ్యుమెంట్ మరియు ఫంక్షన్ విలువల వెక్టర్స్, n అనేది ఉజ్జాయింపు బహుపది యొక్క క్రమం మరియు p అనేది వెక్టర్ యొక్క ఫలిత వెక్టర్. పొడవు n+1 యొక్క ఉజ్జాయింపు బహుపది యొక్క గుణకాలు.
>>x=; >> x x = 1.2000 1.4000 1.6000 1.8000 2.0000 >> y=[-1.15,-0.506,0.236,0.88,1.256]; >> y y = -1.1500 -0.5060 0.2360 0.8800 1.2560 >> % >> % >> p1=polyfit(x,y,1); >> p1 p1 = 3.0990 -4.8152 >> y1=polyval(p1,x); >> y1 y1 = -1.0964 -0.4766 0.1432 0.7630 1.3828 >> cko1=sqrt(1/5*sum((y-y1).^2)); >> cko1 cko1 = 0.0918 >> ప్లాట్(x,y,"ko",x,y1,"r-")  >> p2=polyfit(x,y,2); >> p2 p2 = -1.1321 6.7219 -7.6229 >> y2=polyval(p2,x); >> y2 y2 = -1.1870 -0.4313 0.2338 0.8083 1.2922 >> cko2=sqrt(1/5*sum((y-y2).^2)); >> cko2 cko2 = 0.0518 >> ప్లాట్(x,y,"ko",x,y2,"r-")  |
ఉదాహరణ 6.7.3-5. కనీసం చతురస్రాల పద్ధతిని ఉపయోగించి బహుపది ద్వారా పట్టికలో అందించబడిన ఫంక్షన్‌ని అంచనా వేయండి.
 |
ఉదాహరణ 6.7.3-5. కనిష్ట చతురస్రాలను ఉపయోగించి వివిధ డిగ్రీల బహుపదాల ద్వారా పట్టికలో అందించబడిన ఫంక్షన్‌ని అంచనా వేయండి.
6.7.4 అంశంపై టాస్క్‌లను పరీక్షించండి
"ఫంక్షన్ ఉజ్జాయింపు"
ఉజ్జాయింపు ఉంది
1) తగినంత స్థాయి ఖచ్చితత్వంతో అసలైనదాన్ని వివరించే సరళమైన రూపం యొక్క విధిని పొందడం
2) ఇంటర్పోలేషన్ యొక్క ప్రత్యేక సందర్భం
3) అసలు ఫంక్షన్‌ని వేరే రకం ఫంక్షన్‌తో భర్తీ చేయడం
4) జాబితాలో సరైన సమాధానం లేదు
అంశం 6.7. ఫంక్షన్ ఉజ్జాయింపు
6.7.1 ఉజ్జాయింపు సమస్య యొక్క ప్రకటన
6.7.2 తక్కువ చదరపు పద్ధతి
y అనేది ఆర్గ్యుమెంట్ x యొక్క ఫంక్షన్‌గా ఉండనివ్వండి. నిర్వచనం యొక్క డొమైన్ నుండి ఏదైనా విలువ x విలువ xతో అనుబంధించబడిందని దీని అర్థం. ఆచరణలో, ఆధారపడటం y(x)ని స్పష్టంగా వ్రాయడం కొన్నిసార్లు అసాధ్యం. అదే సమయంలో, ఈ ఆధారపడటం తరచుగా పట్టిక రూపంలో ఇవ్వబడుతుంది. దీని అర్థం వివిక్త విలువల సమితి (xi) విలువల సమితి (yi), 0తో అనుబంధించబడి ఉంటుంది< i < m. Эти значения — либо результаты расчета, либо набор экспериментальных данных.
ఇచ్చిన పట్టిక ఆధారపడటాన్ని సుమారుగా వివరించే కొన్ని విశ్లేషణాత్మక ఫంక్షన్‌ను కనుగొనడం తరచుగా అవసరం. అదనంగా, కొన్నిసార్లు నోడ్స్ కాకుండా ఇతర పాయింట్ల వద్ద ఫంక్షన్ యొక్క విలువలను నిర్ణయించడం అవసరం. ఈ లక్ష్యం ఉజ్జాయింపు సమస్య ద్వారా అందించబడుతుంది ( ఉజ్జాయింపులు) ఈ సందర్భంలో, ఇచ్చిన టేబుల్ ఫంక్షన్ నుండి దాని విచలనం తక్కువగా ఉండేలా కొంత ఫంక్షన్ f(x)ని కనుగొనండి. f(x) ఫంక్షన్‌ని ఉజ్జాయింపు అంటారు.
ఉజ్జాయింపు ఫంక్షన్ రకం
అసలు టేబుల్ ఫంక్షన్‌పై గణనీయంగా ఆధారపడి ఉంటుంది. వివిధ సందర్భాల్లో, ఫంక్షన్ f(x) ఎక్స్‌పోనెన్షియల్, లాగరిథమిక్, పవర్, సైనూసోయిడల్ మొదలైన వాటి రూపంలో ఎంపిక చేయబడుతుంది. ప్రతి నిర్దిష్ట సందర్భంలో, ఉజ్జాయింపు మరియు పట్టిక ఫంక్షన్ల మధ్య గరిష్ట సామీప్యాన్ని సాధించే విధంగా తగిన పారామితులు ఎంపిక చేయబడతాయి. అయితే చాలా తరచుగా, ఫంక్షన్ x యొక్క శక్తులలో బహుపది వలె సూచించబడుతుంది. nth డిగ్రీ బహుపది యొక్క సాధారణ రూపాన్ని వ్రాద్దాం:
ఇచ్చిన ఫంక్షన్ నుండి బహుపది యొక్క అతి చిన్న విచలనాన్ని సాధించే విధంగా గుణకాలు aj ఎంపిక చేయబడతాయి.
ఈ విధంగా, ఉజ్జాయింపు అనేది ఒక ఫంక్షన్‌ను మరొక దానితో భర్తీ చేయడం, మొదటి దానికి దగ్గరగా మరియు చాలా సరళంగా లెక్కించబడుతుంది.
ఒక పరిమాణం మరొకదానిపై ఆధారపడటం యొక్క గణిత నమూనా ఫంక్షన్ యొక్క భావన y=f(x). ఉజ్జాయింపుకొంత ఫంక్షనల్ డిపెండెన్స్ గురించి వివరించే నిర్దిష్ట ఫంక్షన్‌ను పొందడం అంటారు f(x),విలువల పట్టిక ద్వారా పేర్కొనబడింది లేదా గణనలకు అసౌకర్యంగా ఉన్న రూపంలో పేర్కొనబడింది. ఈ సందర్భంలో, ఈ ఫంక్షన్ ఎంపిక చేయబడుతుంది, తద్వారా ఇది తదుపరి గణనలకు సాధ్యమైనంత సౌకర్యవంతంగా ఉంటుంది. ప్రాథమిక విధానంఈ సమస్యకు పరిష్కారం ఫంక్షన్ fi (x)అనేక ఉచిత పారామితులపై ఆధారపడి ఎంపిక చేయబడుతుంది c1, c2, ..., cn,దీని విలువలు కొంత సామీప్య స్థితి నుండి ఎంపిక చేయబడ్డాయి f(x)మరియు fi (x). ఫంక్షనల్ డిపెండెన్స్ మరియు పారామితుల ఎంపిక యొక్క విజయవంతమైన రకాన్ని కనుగొనే పద్ధతుల యొక్క సమర్థన పని ఫంక్షన్ ఉజ్జాయింపు సిద్ధాంతం. పారామితులను ఎంచుకునే పద్ధతిని బట్టి, భిన్నంగా ఉంటుంది ఉజ్జాయింపు పద్ధతులు, వీటిలో అత్యంత విస్తృతమైనవి ఇంటర్పోలేషన్మరియు మూల సగటు చతురస్రం ఉజ్జాయింపు. సరళమైనది సరళ ఉజ్జాయింపు, దీనిలో పారామితులపై సరళంగా ఆధారపడిన ఫంక్షన్ ఎంచుకోబడుతుంది, అనగా సాధారణీకరించిన బహుపది రూపంలో: . ఇంటర్పోలేషన్ బహుపది డిగ్రీ యొక్క బీజగణిత బహుపది అంటారు n-1, ఇంచుమించు ఫంక్షన్‌తో సమానంగా ఉంటుంది nఎంచుకున్న పాయింట్లు. ఉజ్జాయింపు లోపంవిధులు f(x)డిగ్రీ యొక్క ఇంటర్పోలేషన్ బహుపది n-1, ప్రకారం నిర్మించబడింది nపాయింట్లు, ఆర్డర్ యొక్క ఉత్పన్నం అయితే అంచనా వేయవచ్చు n.సారాంశం మూల సగటు చతురస్రం ఉజ్జాయింపుఫంక్షన్‌ల మధ్య దూరం యొక్క కనీస చతురస్రాన్ని నిర్ధారించడానికి ఫంక్షన్ యొక్క పారామితులు ఎంపిక చేయబడటం వాస్తవం. f(x) మరియుfi(x, సి). తక్కువ చదరపు పద్ధతిసగటు స్క్వేర్ ఉజ్జాయింపు యొక్క ప్రత్యేక సందర్భం. తక్కువ చతురస్రాల పద్ధతిని ఉపయోగిస్తున్నప్పుడు, ఇది విలువల పరిధిలోని ఇంటర్పోలేషన్ సమస్యను పోలి ఉంటుంది x, కొంత విరామాన్ని సూచిస్తుంది [ ఎ, బి], విధులు ఎక్కడ ఉన్నాయి f(x)మరియు fi (x)దగ్గరగా ఉండాలి, విభిన్న పాయింట్ల (నోడ్‌లు) వ్యవస్థను ఎంచుకోండి x1, ..., x m, దీని సంఖ్య అవసరమైన పారామితుల సంఖ్య కంటే ఎక్కువగా ఉంటుంది. తర్వాత, అన్ని నోడ్‌ల వద్ద స్క్వేర్డ్ అవశేషాల మొత్తం కనిష్టంగా ఉండాలని వారు కోరుతున్నారు.
సాధారణ ఇంటర్పోలేషన్
వారి గజిబిజి స్వభావం కారణంగా, న్యూటన్ మరియు లాగ్రాంజ్ బహుపదిలు సాధారణ బహుపది కంటే గణన సామర్థ్యంలో తక్కువగా ఉన్నాయని గమనించాలి. అందువల్ల, ఒక పట్టిక నుండి నిర్మించిన బహుపది యొక్క బహుళ గణనలను నిర్వహించాల్సిన అవసరం వచ్చినప్పుడు, మొదట c గుణకాలను ఒకసారి కనుగొనడం ప్రయోజనకరంగా మారుతుంది. సిస్టమ్ సిని నేరుగా పరిష్కరించడం ద్వారా గుణకాలు కనుగొనబడతాయి, ఆపై దాని విలువలు హార్నర్ అల్గోరిథం ఉపయోగించి లెక్కించబడతాయి. ఈ రకమైన ఉజ్జాయింపు యొక్క ప్రతికూలత సరళ బీజగణిత సమీకరణాల వ్యవస్థను పరిష్కరించాల్సిన అవసరం.
లాగ్రాంజ్ ఇంటర్పోలేషన్ బహుపది
లాగ్రేంజ్ తన స్వంత రూపమైన సాధారణ ఇంటర్పోలేషన్ బీజగణిత బహుపదిని సరళ బీజగణిత సమీకరణాల వ్యవస్థను పరిష్కరించాల్సిన అవసరం లేని రూపంలో ప్రతిపాదించాడు. వారి గజిబిజి స్వభావం కారణంగా, న్యూటన్ మరియు లాగ్రాంజ్ బహుపదిలు సాధారణ బహుపది కంటే గణన సామర్థ్యంలో తక్కువగా ఉన్నాయని గమనించాలి.
న్యూటన్ ఇంటర్పోలేషన్ బహుపది
న్యూటన్ సరళ బీజగణిత సమీకరణాల వ్యవస్థను పరిష్కరించాల్సిన అవసరం లేని రూపంలో సాధారణ ఇంటర్పోలేషన్ బీజగణిత బహుపదిని వ్రాయడానికి ఒక రూపాన్ని ప్రతిపాదించాడు. వారి గజిబిజి స్వభావం కారణంగా, న్యూటన్ మరియు లాగ్రాంజ్ బహుపదిలు సాధారణ బహుపది కంటే గణన సామర్థ్యంలో తక్కువగా ఉన్నాయని గమనించాలి.