లక్ష్యం:ఒక విమానంలో ఒక లైన్ భావనను పరిగణించండి, ఉదాహరణలు ఇవ్వండి. రేఖ యొక్క నిర్వచనం ఆధారంగా, ఒక విమానంలో ఒక రేఖ యొక్క సమీకరణం యొక్క భావనను పరిచయం చేయండి. సరళ రేఖల రకాలను పరిగణించండి, సరళ రేఖను నిర్వచించే ఉదాహరణలు మరియు పద్ధతులను ఇవ్వండి. సాధారణ రూపం నుండి సరళ రేఖ యొక్క సమీకరణాన్ని కోణీయ గుణకంతో "విభాగాలలో" సరళ రేఖ యొక్క సమీకరణంగా అనువదించే సామర్థ్యాన్ని బలోపేతం చేయండి.
- విమానంలో ఒక రేఖ యొక్క సమీకరణం.
- ఒక విమానంలో సరళ రేఖ యొక్క సమీకరణం. సమీకరణాల రకాలు.
- సరళ రేఖను పేర్కొనే పద్ధతులు.
1. x మరియు y రెండు ఏకపక్ష వేరియబుల్స్‌గా ఉండనివ్వండి.
నిర్వచనం: F(x,y)=0 రూపం యొక్క సంబంధాన్ని అంటారు సమీకరణం , x మరియు y సంఖ్యల జతలకు ఇది నిజం కాకపోతే.
ఉదాహరణ: 2x + 7y – 1 = 0, x 2 + y 2 – 25 = 0.
ఏదైనా x, yకి సమానత్వం F(x,y)=0 కలిగి ఉంటే, కాబట్టి, F(x,y) = 0 అనేది ఒక గుర్తింపు.
ఉదాహరణ: (x + y) 2 - x 2 - 2xy - y 2 = 0
x సంఖ్యలు 0 మరియు y 0 అని వారు చెప్పారు సమీకరణాన్ని సంతృప్తి పరచండి , ఈ సమీకరణంలో వాటిని భర్తీ చేసినప్పుడు అది నిజమైన సమానత్వంగా మారుతుంది.
విశ్లేషణాత్మక జ్యామితి యొక్క అతి ముఖ్యమైన భావన ఒక రేఖ యొక్క సమీకరణం యొక్క భావన.
నిర్వచనం: ఇచ్చిన పంక్తి యొక్క సమీకరణం F(x,y)=0 అనే సమీకరణం, ఇది ఈ రేఖపై ఉన్న అన్ని పాయింట్ల కోఆర్డినేట్‌ల ద్వారా సంతృప్తి చెందుతుంది మరియు ఈ రేఖపై పడని ఏ బిందువు యొక్క కోఆర్డినేట్‌ల ద్వారా సంతృప్తి చెందదు.
y = f(x) సమీకరణం ద్వారా నిర్వచించబడిన రేఖను f(x) యొక్క గ్రాఫ్ అంటారు. వేరియబుల్స్ x మరియు y లను ప్రస్తుత కోఆర్డినేట్లు అంటారు, ఎందుకంటే అవి వేరియబుల్ పాయింట్ యొక్క కోఆర్డినేట్లు.
కొన్ని ఉదాహరణలులైన్ నిర్వచనాలు.
1) x – y = 0 => x = y. ఈ సమీకరణం సరళ రేఖను నిర్వచిస్తుంది:
2) x 2 - y 2 = 0 => (x-y)(x+y) = 0 => పాయింట్లు తప్పనిసరిగా x - y = 0 సమీకరణాన్ని లేదా x + y = 0 సమీకరణాన్ని సంతృప్తి పరచాలి కోఆర్డినేట్ కోణాల ద్విభాగాలైన ఒక జత ఖండన సరళ రేఖలు:
3) x 2 + y 2 = 0. ఈ సమీకరణం O(0,0) ఒక పాయింట్‌తో మాత్రమే సంతృప్తి చెందుతుంది.
2. నిర్వచనం: విమానంలో ఏదైనా సరళ రేఖను మొదటి-ఆర్డర్ సమీకరణం ద్వారా పేర్కొనవచ్చు
Ax + Wu + C = 0,
అంతేకాకుండా, స్థిరాంకాలు A మరియు B ఒకే సమయంలో సున్నాకి సమానంగా ఉండవు, అనగా. A 2 + B 2 ¹ 0. ఈ మొదటి ఆర్డర్ సమీకరణం అంటారు సరళ రేఖ యొక్క సాధారణ సమీకరణం.
స్థిరాంకాల A, B మరియు C విలువలపై ఆధారపడి, క్రింది ప్రత్యేక సందర్భాలు సాధ్యమే:
C = 0, A ¹ 0, B ¹ 0 - సరళ రేఖ మూలం గుండా వెళుతుంది
A = 0, B ¹ 0, C ¹ 0 (By + C = 0) - ఆక్స్ అక్షానికి సమాంతరంగా ఉండే సరళ రేఖ
B = 0, A ¹ 0, C ¹ 0 (Ax + C = 0) – Oy అక్షానికి సమాంతరంగా ఉండే సరళ రేఖ
B = C = 0, A ¹ 0 – సరళ రేఖ Oy అక్షంతో సమానంగా ఉంటుంది
A = C = 0, B¹ 0 – సరళ రేఖ ఆక్స్ అక్షంతో సమానంగా ఉంటుంది
ఏదైనా ప్రారంభ పరిస్థితులపై ఆధారపడి సరళ రేఖ యొక్క సమీకరణాన్ని వివిధ రూపాల్లో ప్రదర్శించవచ్చు.
కోణీయ గుణకంతో సరళ రేఖ యొక్క సమీకరణం.
Ax + By + C = 0 సరళ రేఖ యొక్క సాధారణ సమీకరణం రూపానికి తగ్గించబడితే:
మరియు సూచించండి, అప్పుడు ఫలిత సమీకరణం అంటారు వాలు kతో సరళ రేఖ యొక్క సమీకరణం.
విభాగాలలో సరళ రేఖ యొక్క సమీకరణం.
సరళ రేఖ యొక్క సాధారణ సమీకరణంలో ఉంటే Ах + Ву + С = 0 С ¹ 0, అప్పుడు, –С ద్వారా భాగిస్తే, మనకు లభిస్తుంది: లేదా , ఎక్కడ
గుణకాల యొక్క రేఖాగణిత అర్థం గుణకం ఎఆక్స్ అక్షంతో రేఖ యొక్క ఖండన బిందువు యొక్క కోఆర్డినేట్, మరియు బి- Oy అక్షంతో సరళ రేఖ యొక్క ఖండన బిందువు యొక్క కోఆర్డినేట్.
పంక్తి యొక్క సాధారణ సమీకరణం.
Ax + By + C = 0 అనే సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా అనే సంఖ్యతో భాగించబడితే సాధారణీకరణ కారకం, అప్పుడు మనకు లభిస్తుంది
xcosj + ysinj - p = 0 – సరళ రేఖ యొక్క సాధారణ సమీకరణం.
సాధారణీకరణ కారకం యొక్క సంకేతం ± తప్పనిసరిగా ఎంచుకోబడాలి, తద్వారా m×С< 0.
p అనేది మూలం నుండి సరళ రేఖకు పడిపోయిన లంబ పొడవు, మరియు j అనేది ఆక్స్ అక్షం యొక్క సానుకూల దిశతో ఈ లంబంగా ఏర్పడిన కోణం.
3. బిందువు మరియు వాలును ఉపయోగించి సరళ రేఖ యొక్క సమీకరణం.
రేఖ యొక్క కోణీయ కోఎఫీషియంట్ k కి సమానంగా ఉండనివ్వండి, లైన్ పాయింట్ M(x 0, y 0) గుండా వెళుతుంది. అప్పుడు సరళ రేఖ యొక్క సమీకరణం సూత్రం ద్వారా కనుగొనబడుతుంది: y – y 0 = k(x – x 0)
రెండు పాయింట్ల గుండా వెళుతున్న రేఖ యొక్క సమీకరణం.
M 1 (x 1, y 1, z 1) మరియు M 2 (x 2, y 2, z 2) అనే రెండు పాయింట్లను స్పేస్‌లో ఇవ్వనివ్వండి, అప్పుడు ఈ పాయింట్ల గుండా వెళుతున్న రేఖ యొక్క సమీకరణం:
ఏదైనా హారం సున్నా అయితే, సంబంధిత సంఖ్యను సున్నాకి సమానంగా సెట్ చేయాలి.
విమానంలో, పైన వ్రాసిన సరళ రేఖ యొక్క సమీకరణం సరళీకృతం చేయబడింది:
x 1 ¹ x 2 మరియు x = x 1 అయితే, x 1 = x 2.
భిన్నం = k అంటారు వాలునేరుగా.
రెండు సమీకరణాలను ఉపయోగించి విమానంలో ఒక రేఖను నిర్వచించవచ్చు
ఎక్కడ Xమరియు y -ఏకపక్ష బిందువు యొక్క కోఆర్డినేట్లు ఎం(X; వద్ద), ఈ లైన్ మీద పడి, మరియు t- అనే వేరియబుల్ పరామితి.
పరామితి tపాయింట్ యొక్క స్థానాన్ని నిర్ణయిస్తుంది ( X; వద్ద) ఉపరితలంపై.
కాబట్టి, ఉంటే
అప్పుడు పరామితి విలువ t= 2 విమానంలో పాయింట్ (4; 1) కు అనుగుణంగా ఉంటుంది, ఎందుకంటే X = 2 + 2 = 4, వై= 2 2 – 3 = 1.
పరామితి ఉంటే tమార్పులు, అప్పుడు విమానంలో పాయింట్ కదులుతుంది, ఈ లైన్ వివరిస్తుంది. వక్రరేఖను నిర్వచించే ఈ పద్ధతిని అంటారు పారామెట్రిక్, మరియు సమీకరణాలు (1) - పారామెట్రిక్ లైన్ సమీకరణాలు.
పారామెట్రిక్ రూపంలో పేర్కొన్న ప్రసిద్ధ వక్రరేఖల ఉదాహరణలను పరిశీలిద్దాం.
1) ఆస్ట్రోయిడ్:
ఎక్కడ ఎ> 0 - స్థిరమైన విలువ.
వద్ద ఎ= 2 రూపాన్ని కలిగి ఉంది:
Fig.4. ఆస్ట్రోయిడ్
2) సైక్లాయిడ్: 
ఎక్కడ ఎ> 0 - స్థిరంగా.
వద్ద ఎ= 2 రూపాన్ని కలిగి ఉంది:
Fig.5. సైక్లాయిడ్
వెక్టర్ లైన్ సమీకరణం
ఒక విమానంలో ఒక లైన్ పేర్కొనవచ్చు వెక్టర్ సమీకరణం
ఎక్కడ t- స్కేలార్ వేరియబుల్ పరామితి.
ప్రతి పరామితి విలువ t 0 ఒక నిర్దిష్ట విమానం వెక్టర్‌కు అనుగుణంగా ఉంటుంది. పరామితిని మార్చేటప్పుడు tవెక్టర్ ముగింపు ఒక నిర్దిష్ట రేఖను వివరిస్తుంది (Fig. 6).
కోఆర్డినేట్ సిస్టమ్‌లో లైన్ యొక్క వెక్టర్ సమీకరణం ఓహో
రెండు స్కేలార్ సమీకరణాలకు (4) అనుగుణంగా ఉంటాయి, అనగా. ప్రొజెక్షన్ సమీకరణాలు
రేఖ యొక్క వెక్టార్ సమీకరణం యొక్క సమన్వయ అక్షం మీద దాని పారామెట్రిక్ సమీకరణాలు ఉన్నాయి.
 |
Fig.6. వెక్టర్ లైన్ సమీకరణం
వెక్టార్ సమీకరణం మరియు పారామెట్రిక్ లైన్ సమీకరణాలు యాంత్రిక అర్థాన్ని కలిగి ఉంటాయి. ఒక పాయింట్ ఒక విమానంలో కదులుతుంటే, సూచించిన సమీకరణాలు అంటారు చలన సమీకరణాలు, లైన్ - పథంపాయింట్లు, పరామితి t- సమయం.
రూపం F(x, y) = 0 యొక్క సమానత్వం x, y అనే అన్ని జతల సంఖ్యలకు నిజం కాకపోతే x, y అనే రెండు వేరియబుల్స్‌తో సమీకరణం అంటారు. x = x 0, y = y 0 అనే రెండు సంఖ్యలు F(x, y) = 0 రూపంలోని కొంత సమీకరణాన్ని సంతృప్తి పరుస్తాయని వారు అంటున్నారు .
ఇచ్చిన పంక్తి యొక్క సమీకరణం (నియమించబడిన కోఆర్డినేట్ సిస్టమ్‌లో) అనేది రెండు వేరియబుల్స్‌తో కూడిన సమీకరణం, ఇది ఈ రేఖపై ఉన్న ప్రతి పాయింట్ యొక్క కోఆర్డినేట్‌ల ద్వారా సంతృప్తి చెందుతుంది మరియు దానిపై పడని ప్రతి పాయింట్ యొక్క కోఆర్డినేట్‌ల ద్వారా సంతృప్తి చెందదు.
కింది వాటిలో, “F(x, y) = 0 అనే పంక్తి యొక్క సమీకరణం ఇవ్వబడినది” అనే వ్యక్తీకరణకు బదులుగా, మేము తరచుగా మరింత క్లుప్తంగా చెబుతాము: F(x, y) = 0 అనే పంక్తిని ఇచ్చినట్లయితే.
రెండు పంక్తుల సమీకరణాలు ఇచ్చినట్లయితే: F(x, y) = 0 మరియు Ф(x, y) = 0, అప్పుడు సిస్టమ్ యొక్క ఉమ్మడి పరిష్కారం
F(x,y) = 0, Ф(x, y) = 0
వారి అన్ని ఖండన పాయింట్లను ఇస్తుంది. మరింత ఖచ్చితంగా, ఈ వ్యవస్థ యొక్క ఉమ్మడి పరిష్కారం అయిన ప్రతి జత సంఖ్యలు ఖండన పాయింట్లలో ఒకదాన్ని నిర్ణయిస్తాయి,
157. ఇచ్చిన పాయింట్లు *) M 1 (2; -2), M 2 (2; 2), M 3 (2; - 1), M 4 (3; -3), M 5 (5; -5), M 6 (3; -2). x + y = 0 సమీకరణం ద్వారా నిర్వచించబడిన పంక్తిపై ఇవ్వబడిన పాయింట్లలో ఏది మరియు దానిపై ఉండకూడదో నిర్ణయించండి. ఈ సమీకరణం ద్వారా ఏ రేఖ నిర్వచించబడింది? (డ్రాయింగ్‌పై గీయండి.)
158. x 2 + y 2 = 25 సమీకరణం ద్వారా నిర్వచించబడిన పంక్తిలో, అబ్సిస్సాస్ క్రింది సంఖ్యలకు సమానంగా ఉండే పాయింట్లను కనుగొనండి: 1) 0, 2) -3, 3) 5, 4) 7; అదే పంక్తిలో కింది సంఖ్యలకు సమానమైన ఆర్డినేట్లు ఉన్న పాయింట్లను కనుగొనండి: 5) 3, 6) -5, 7) -8. ఈ సమీకరణం ద్వారా ఏ రేఖ నిర్వచించబడింది? (డ్రాయింగ్‌పై గీయండి.)
159. కింది సమీకరణాల ద్వారా ఏ పంక్తులు నిర్ణయించబడతాయో నిర్ణయించండి (వాటిని డ్రాయింగ్‌లో నిర్మించండి): 1)x - y = 0; 2) x + y = 0; 3) x - 2 = 0; 4)x + 3 = 0; 5) y - 5 = 0; 6) y + 2 = 0; 7) x = 0; 8) y = 0; 9) x 2 - xy = 0; 10) xy + y 2 = 0; 11) x 2 - y 2 = 0; 12) xy = 0; 13) y 2 - 9 = 0; 14) x 2 - 8x + 15 = 0; 15) y 2 + ద్వారా + 4 = 0; 16) x 2 y - 7xy + 10y = 0; 17) y - |x|; 18) x - |y|; 19) y + |x| = 0; 20) x + |y| = 0; 21) y = |x - 1|; 22) y = |x + 2|; 23) x 2 + y 2 = 16; 24) (x - 2) 2 + (y - 1) 2 = 16; 25 (x + 5) 2 + (y-1) 2 = 9; 26) (x - 1) 2 + y 2 = 4; 27) x 2 + (y + 3) 2 = 1; 28) (x - 3) 2 + y 2 = 0; 29) x 2 + 2y 2 = 0; 30) 2x 2 + 3y 2 + 5 = 0; 31) (x - 2) 2 + (y + 3) 2 + 1 = 0.
160. ఇచ్చిన పంక్తులు: l)x + y = 0; 2)x - y = 0; 3)x 2 + y 2 - 36 = 0; 4) x 2 + y 2 - 2x + y = 0; 5) x 2 + y 2 + 4x - 6y - 1 = 0. వాటిలో ఏది మూలం గుండా వెళుతుందో నిర్ణయించండి.
161. ఇచ్చిన పంక్తులు: 1) x 2 + y 2 = 49; 2) (x - 3) 2 + (y + 4) 2 = 25; 3) (x + 6) 2 + (y - Z) 2 = 25; 4) (x + 5) 2 + (y - 4) 2 = 9; 5) x 2 + y 2 - 12x + 16y - 0; 6) x 2 + y 2 - 2x + 8y + 7 = 0; 7) x 2 + y 2 - 6x + 4y + 12 = 0. వాటి ఖండన బిందువులను కనుగొనండి: a) ఆక్స్ అక్షంతో; బి) Oy అక్షంతో.
162. రెండు పంక్తుల ఖండన పాయింట్లను కనుగొనండి:
1) x 2 + y 2 - 8; x - y =0;
2) x 2 + y 2 - 16x + 4y + 18 = 0; x + y = 0;
3) x 2 + y 2 - 2x + 4y - 3 = 0; x 2 + y 2 = 25;
4) x 2 + y 2 - 8y + 10y + 40 = 0; x 2 + y 2 = 4.
163. పోలార్ కోఆర్డినేట్ సిస్టమ్‌లో, పాయింట్లు M 1 (l; π/3), M 2 (2; 0), M 3 (2; π/4), M 4 (√3; π/6) మరియు M 5 (1; 2/3π). p = 2cosΘ సమీకరణం ద్వారా ధ్రువ కోఆర్డినేట్‌లలో నిర్వచించబడిన రేఖపై ఈ బిందువులలో ఏది ఉందో మరియు దానిపై ఏది ఉండకూడదో నిర్ణయించండి. ఈ సమీకరణం ద్వారా ఏ రేఖ నిర్ణయించబడుతుంది? (డ్రాయింగ్‌పై గీయండి.)
164. p = 3/cosΘ సమీకరణం ద్వారా నిర్వచించబడిన పంక్తిలో, ధ్రువ కోణాలు క్రింది సంఖ్యలకు సమానంగా ఉండే పాయింట్లను కనుగొనండి: a) π/3, b) - π/3, c) 0, d) π/6. ఈ సమీకరణం ద్వారా ఏ రేఖ నిర్వచించబడింది? (డ్రాయింగ్‌పై దీన్ని నిర్మించండి.)
165. p = 1/sinΘ సమీకరణం ద్వారా నిర్వచించబడిన పంక్తిలో, ధ్రువ రేడియాలు క్రింది సంఖ్యలకు సమానంగా ఉండే పాయింట్లను కనుగొనండి: a) 1 6) 2, c) √2. ఈ సమీకరణం ద్వారా ఏ రేఖ నిర్వచించబడింది? (డ్రాయింగ్‌పై దీన్ని నిర్మించండి.)
166. కింది సమీకరణాల ద్వారా ధ్రువ కోఆర్డినేట్‌లలో ఏ పంక్తులు నిర్ణయించబడతాయో ఏర్పాటు చేయండి (వాటిని డ్రాయింగ్‌లో నిర్మించండి): 1) p = 5; 2) Θ = π/2; 3) Θ = - π/4; 4) p cosΘ = 2; 5) p sinΘ = 1; 6.) p = 6cosΘ; 7) p = 10 sinΘ; 8) sinΘ = 1/2; 9) sinp = 1/2.
167. డ్రాయింగ్‌పై కింది ఆర్కిమెడిస్ స్పైరల్స్‌ను నిర్మించండి: 1) p = 20; 2) p = 50; 3) p = Θ/π; 4) p = -Θ/π.
168. డ్రాయింగ్‌పై కింది హైపర్బోలిక్ స్పైరల్స్‌ను నిర్మించండి: 1) p = 1/Θ; 2) p = 5/Θ; 3) p = π/Θ; 4) р= - π/Θ
169. డ్రాయింగ్‌పై క్రింది లాగరిథమిక్ స్పైరల్స్‌ను నిర్మించండి: 1) p = 2 Θ; 2) p = (1/2) Θ.
170. ఆర్కిమెడిస్ స్పైరల్ p = 3Θ ధ్రువం నుండి ఉద్భవించే పుంజం ద్వారా కత్తిరించబడి, Θ = π/6 కోణంలో ధ్రువ అక్షానికి వంపుతిరిగిన విభాగాల పొడవులను నిర్ణయించండి. డ్రాయింగ్ చేయండి.
171. ఆర్కిమెడిస్ స్పైరల్ p = 5/πΘపై, పాయింట్ C తీసుకోబడుతుంది, దీని ధ్రువ వ్యాసార్థం 47. ఈ స్పైరల్ పాయింట్ C యొక్క ధ్రువ వ్యాసార్థాన్ని ఎన్ని భాగాలను కట్ చేస్తుందో నిర్ణయించండి. డ్రాయింగ్ చేయండి.
172. హైపర్బోలిక్ స్పైరల్ P = 6/Θపై, ధ్రువ వ్యాసార్థం 12 ఉన్న పాయింట్ Pని కనుగొనండి. డ్రాయింగ్ చేయండి.
173. లాగరిథమిక్ స్పైరల్ p = 3 Θపై, ధ్రువ వ్యాసార్థం 81 ఉన్న పాయింట్ Pని కనుగొనండి. డ్రాయింగ్ చేయండి.
ఒక విమానంలో మరియు అంతరిక్షంలో సరళ రేఖ.
బీజగణితాన్ని ఉపయోగించి రేఖాగణిత బొమ్మల లక్షణాల అధ్యయనాన్ని అంటారు విశ్లేషణాత్మక జ్యామితి , మరియు మేము అని పిలవబడే వాటిని ఉపయోగిస్తాము సమన్వయ పద్ధతి .
ఒక విమానంలో ఒక లైన్ సాధారణంగా వాటికి ప్రత్యేకమైన లక్షణాలను కలిగి ఉన్న పాయింట్ల సమితిగా నిర్వచించబడుతుంది. ఈ రేఖపై ఉన్న బిందువు యొక్క x మరియు y కోఆర్డినేట్లు (సంఖ్యలు) కొన్ని సమీకరణాల రూపంలో విశ్లేషణాత్మకంగా వ్రాయబడ్డాయి.
డెఫ్.1 రేఖ యొక్క సమీకరణం (వక్రత యొక్క సమీకరణం) ఆక్సీ ప్లేన్‌పై సమీకరణం (*) అని పిలుస్తారు, ఇది ఇచ్చిన రేఖలోని ప్రతి బిందువు యొక్క x మరియు y కోఆర్డినేట్‌ల ద్వారా సంతృప్తి చెందుతుంది మరియు ఈ రేఖపై లేని మరే ఇతర బిందువు యొక్క కోఆర్డినేట్‌ల ద్వారా సంతృప్తి చెందదు.
నిర్వచనం 1 నుండి విమానంలోని ప్రతి పంక్తి ప్రస్తుత కోఆర్డినేట్‌ల మధ్య కొంత సమీకరణానికి అనుగుణంగా ఉంటుంది ( x,y ) ఈ రేఖ యొక్క పాయింట్లు మరియు వైస్ వెర్సా, ప్రతి సమీకరణం సాధారణంగా చెప్పాలంటే, ఒక నిర్దిష్ట రేఖకు అనుగుణంగా ఉంటుంది.
ఇది విమానంలో విశ్లేషణాత్మక జ్యామితి యొక్క రెండు ప్రధాన సమస్యలకు దారితీస్తుంది.
1. పాయింట్ల సమితి రూపంలో ఒక లైన్ ఇవ్వబడుతుంది. మేము ఈ రేఖకు సమీకరణాన్ని సృష్టించాలి.
2. లైన్ యొక్క సమీకరణం ఇవ్వబడింది. దాని రేఖాగణిత లక్షణాలను (ఆకారం మరియు స్థానం) అధ్యయనం చేయడం అవసరం.
ఉదాహరణ. పాయింట్లు అబద్ధం చేయండి ఎ(-2;1) మరియు IN (1;1) లైన్ 2లో X +వద్ద +3=0?
సమీకరణాల ద్వారా ఇవ్వబడిన రెండు పంక్తుల ఖండన బిందువులను కనుగొనడంలో సమస్య మరియు రెండు పంక్తుల సమీకరణాన్ని సంతృప్తిపరిచే కోఆర్డినేట్‌లను కనుగొనడంలో సమస్య వస్తుంది, అనగా. రెండు తెలియని వాటితో రెండు సమీకరణాల వ్యవస్థను పరిష్కరించడానికి.
ఈ వ్యవస్థకు నిజమైన పరిష్కారాలు లేనట్లయితే, అప్పుడు పంక్తులు కలుస్తాయి.
UCSలో లైన్ భావన ఇదే విధంగా ప్రవేశపెట్టబడింది.
ఒక విమానంలో ఒక రేఖను రెండు సమీకరణాల ద్వారా నిర్వచించవచ్చు
ఎక్కడ X మరియు వద్ద - ఏకపక్ష పాయింట్ కోఆర్డినేట్లు M(x;y), ఈ లైన్ మీద పడి, మరియు t - అనే వేరియబుల్ పరామితి , పరామితి విమానంలో పాయింట్ యొక్క స్థానాన్ని నిర్ణయిస్తుంది.
ఉదాహరణకు, t=2 పరామితి యొక్క విలువ విమానంలో ఉన్న పాయింట్ (3;4)కి అనుగుణంగా ఉంటే.
పరామితి మారినట్లయితే, విమానంలోని పాయింట్ కదులుతుంది, ఈ రేఖను వివరిస్తుంది. ఈ పంక్తిని నిర్వచించే పద్ధతి అంటారు పారామెట్రిక్, మరియు సమీకరణం (5.1) అనేది రేఖ యొక్క పారామెట్రిక్ సమీకరణం.
పారామెట్రిక్ సమీకరణాల నుండి సాధారణ సమీకరణం (*)కి వెళ్లడానికి, రెండు సమీకరణాల నుండి పరామితిని ఎలాగైనా తొలగించాలి. అయినప్పటికీ, అటువంటి పరివర్తన ఎల్లప్పుడూ మంచిది కాదని మరియు ఎల్లప్పుడూ సాధ్యం కాదని మేము గమనించాము.
ఒక విమానంలో ఒక లైన్ పేర్కొనవచ్చు వెక్టర్ సమీకరణం , ఇక్కడ t అనేది స్కేలార్ వేరియబుల్ పరామితి. ప్రతి పరామితి విలువ నిర్దిష్ట విమానం వెక్టర్‌కు అనుగుణంగా ఉంటుంది. పరామితిని మార్చేటప్పుడు, వెక్టర్ ముగింపు ఒక నిర్దిష్ట రేఖను వివరిస్తుంది.
వెక్టర్ సమీకరణం DSCలో రెండు స్కేలార్ సమీకరణాలు ఉంటాయి
(5.1), అనగా రేఖ యొక్క వెక్టర్ సమీకరణం యొక్క సమన్వయ అక్షాలపై అంచనాల సమీకరణం
పారామెట్రిక్ సమీకరణం.
వెక్టార్ సమీకరణం మరియు పారామెట్రిక్ లైన్ సమీకరణాలు యాంత్రిక అర్థాన్ని కలిగి ఉంటాయి. ఒక పాయింట్ ఒక విమానంలో కదులుతుంటే, సూచించిన సమీకరణాలు అంటారు చలన సమీకరణాలు , మరియు లైన్ అనేది పాయింట్ యొక్క పథం, పరామితి t అనేది సమయం.
ముగింపు: విమానంలోని ప్రతి పంక్తి రూపం యొక్క సమీకరణానికి అనుగుణంగా ఉంటుంది.
సాధారణ సందర్భంలో, వీక్షణ యొక్క ఏదైనా సమీకరణం ఒక నిర్దిష్ట రేఖకు అనుగుణంగా ఉంటుంది, దీని లక్షణాలు ఇచ్చిన సమీకరణం ద్వారా నిర్ణయించబడతాయి (మినహాయింపుతో ఏ రేఖాగణిత చిత్రం విమానంలో సమీకరణానికి అనుగుణంగా ఉండదు).
విమానంలో ఒక కోఆర్డినేట్ సిస్టమ్‌ను ఎంచుకోనివ్వండి.
డెఫ్. 5.1 రేఖ సమీకరణం ఈ రకమైన సమీకరణాన్ని అంటారుF(x;y) =0, ఇది ఈ రేఖపై ఉన్న ప్రతి బిందువు యొక్క కోఆర్డినేట్‌ల ద్వారా సంతృప్తి చెందుతుంది మరియు దానిపై పడని ఏ పాయింట్ యొక్క కోఆర్డినేట్‌ల ద్వారా సంతృప్తి చెందదు.
రూపం యొక్క సమీకరణంF(x;y )=0 – రేఖ యొక్క సాధారణ సమీకరణం లేదా అవ్యక్త రూపంలో సమీకరణం అంటారు.
కాబట్టి, లైన్ Г అనేది ఈ సమీకరణాన్ని సంతృప్తిపరిచే పాయింట్ల స్థానం Г=((x, y): F(x;y)=0).
లైన్ అని కూడా అంటారు వంకర.
F రూపం యొక్క సమానత్వం (x, y) = 0రెండు వేరియబుల్స్‌లో సమీకరణం అంటారు x, y,అన్ని జతల సంఖ్యలకు ఇది నిజం కాకపోతే x, y.వారు రెండు సంఖ్యలు చెప్పారు x = x 0 , y=y 0, రూపం యొక్క కొంత సమీకరణాన్ని సంతృప్తిపరచండి F(x, y)=0,వేరియబుల్స్‌కు బదులుగా ఈ సంఖ్యలను ప్రత్యామ్నాయం చేసినప్పుడు Xమరియు వద్దసమీకరణంలో, దాని ఎడమ వైపు అదృశ్యమవుతుంది.
ఇచ్చిన పంక్తి యొక్క సమీకరణం (నియమించబడిన కోఆర్డినేట్ సిస్టమ్‌లో) అనేది రెండు వేరియబుల్స్‌తో కూడిన సమీకరణం, ఇది ఈ రేఖపై ఉన్న ప్రతి పాయింట్ యొక్క కోఆర్డినేట్‌ల ద్వారా సంతృప్తి చెందుతుంది మరియు దానిపై పడని ప్రతి పాయింట్ యొక్క కోఆర్డినేట్‌ల ద్వారా సంతృప్తి చెందదు.
కింది వాటిలో, వ్యక్తీకరణకు బదులుగా “పంక్తి యొక్క సమీకరణం ఇవ్వబడింది F(x, y) = 0" మేము తరచుగా సంక్షిప్తంగా చెబుతాము: ఒక లైన్ ఇవ్వబడింది F (x, y) = 0.
రెండు లైన్ల సమీకరణాలు ఇస్తే F(x, y) = 0మరియు Ф(x, y) = Q,అప్పుడు వ్యవస్థ యొక్క ఉమ్మడి పరిష్కారం
వారి అన్ని ఖండన పాయింట్లను ఇస్తుంది. మరింత ఖచ్చితంగా, ఈ వ్యవస్థ యొక్క ఉమ్మడి పరిష్కారం అయిన ప్రతి జత సంఖ్యలు ఖండన పాయింట్లలో ఒకదాన్ని నిర్ణయిస్తాయి.
*) కోఆర్డినేట్ సిస్టమ్ పేరు పెట్టని సందర్భాల్లో, ఇది కార్టీసియన్ దీర్ఘచతురస్రాకారంగా భావించబడుతుంది.
157. పాయింట్లు ఇవ్వబడ్డాయి *) ఎం 1 (2; - 2), ఎం 2 (2; 2), ఎం 3 (2; - 1), ఎం 4 (3; -3), ఎం 5 (5; -5), ఎం 6 (3; -2). సమీకరణం ద్వారా నిర్వచించబడిన పంక్తిలో ప్రచురించబడిన పాయింట్లను నిర్ణయించండి X+ y = 0,మరియు ఏవి దానిపై పడవు. ఈ సమీకరణం ద్వారా ఏ రేఖ నిర్వచించబడింది? (డ్రాయింగ్‌పై గీయండి.)
158. సమీకరణం ద్వారా నిర్వచించబడిన రేఖపై X 2 +y 2 =25, అబ్సిస్సాస్ క్రింది సంఖ్యలకు సమానంగా ఉన్న పాయింట్లను కనుగొనండి: a) 0, b) - 3, c) 5, d) 7; అదే పంక్తిలో కింది సంఖ్యలకు సమానమైన ఆర్డినేట్లు ఉన్న పాయింట్లను కనుగొనండి: e) 3, f) - 5, g) - 8. ఈ సమీకరణం ద్వారా ఏ రేఖ నిర్ణయించబడుతుంది? (డ్రాయింగ్‌పై గీయండి.)
159. కింది సమీకరణాల ద్వారా ఏ పంక్తులు నిర్ణయించబడతాయో నిర్ణయించండి (వాటిని డ్రాయింగ్‌లో నిర్మించండి):
1) x - y = 0; 2) x + y = 0; 3) x- 2 = 0; 4) x+ 3 = 0;
5) y - 5 = 0; 6) వై+ 2 = 0; 7) x = 0; 8) వై = 0;
9) x 2 - xy = 0; 10) xy+ y 2 = 0; పదకొండు) x 2 - వై 2 = 0; 12) xy= 0;
13) y 2 - 9 = 0; 14) xy 2 - 8xy+15 = 0; 15) y 2 +5y+4 = 0;
16) X 2 y - 7xy + 10వై = 0; 17y =|x|; 18) x =|వద్ద|; 19)వై + |x|=0;
20) x +|వద్ద|= 0; 21)y =|X- 1|; 22) వై = |x+ 2|; 23) X 2 + వద్ద 2 = 16;
24) (x-2) 2 +(వై-1) 2 =16; 25) (x+ 5) 2 +(వై- 1) 2 = 9;
26) (X - 1) 2 + వై 2 = 4; 27) x 2 +(వై + 3) 2 = 1; 28) (x -3) 2 + వై 2 = 0;
29) X 2 + 2వై 2 = 0; 30) 2X 2 + 3వై 2 + 5 = 0
31) (x- 2) 2 + (వై + 3) 2 + 1=0.
160. ఇచ్చిన పంక్తులు:
1)X+ y = 0; 2)x - y = 0; 3) x 2 + వై 2 - 36 = 0;
4) x 2 +వై 2 -2x==0; 5) x 2 +వై 2 + 4x-6వై-1 =0.
వాటిలో ఏది మూలం గుండా వెళుతుందో నిర్ణయించండి.
161. ఇవ్వబడిన పంక్తులు:
1) x 2 + వై 2 = 49; 2) (x- 3) 2 + (వై+ 4) 2 = 25;
3) (x+ 6) 2 + (y - 3) 2 = 25; 4) ( x + 5) 2 + (y - 4) 2 = 9;
5) x 2 +వై 2 - 12x + 16y = 0; 6) x 2 +వై 2 - 2x + 8వద్ద+ 7 = 0;
7) x 2 +వై 2 - 6x + 4y + 12 = 0.
వాటి ఖండన బిందువులను కనుగొనండి: a) అక్షంతో ఓహ్;బి) అక్షంతో ఓయూ
162.రెండు పంక్తుల ఖండన పాయింట్లను కనుగొనండి;
1)X 2 +y 2 = 8, x-y = 0;
2) X 2 +y 2 -16x+4వద్ద+18 = 0, x + y= 0;
3) X 2 +y 2 -2x+4వద్ద -3 = 0, X 2 + వై 2 = 25;
4) X 2 +y 2 -8x+10у+40 = 0, X 2 + వై 2 = 4.
163. పోలార్ కోఆర్డినేట్ సిస్టమ్‌లో పాయింట్లు ఇవ్వబడ్డాయి
ఎం 1
(1;
),
ఎం 2
(2;
0), ఎం 3
(2;
)
ఎం 4
(
;
) మరియు ఎం 5
(1;
)
ధ్రువ కోఆర్డినేట్లు = 2 cos సమీకరణం ద్వారా నిర్వచించబడిన రేఖపై ఈ పాయింట్లలో ఏది ఉందో మరియు దానిపై ఏది ఉండకూడదో నిర్ణయించండి. ఈ సమీకరణం ద్వారా ఏ రేఖ నిర్ణయించబడుతుంది? (డ్రాయింగ్‌పై గీయండి :)
164. సమీకరణం ద్వారా నిర్వచించబడిన రేఖపై = 
,
ధ్రువ కోణాలు క్రింది సంఖ్యలకు సమానంగా ఉన్న పాయింట్లను కనుగొనండి: a) 
,b) - 
, సి) 0, డి)
. ఈ సమీకరణం ద్వారా ఏ రేఖ నిర్వచించబడింది?
(డ్రాయింగ్‌పై దీన్ని నిర్మించండి.)
165. సమీకరణం ద్వారా నిర్వచించబడిన రేఖపై = 
, ధ్రువ రేడియాలు క్రింది సంఖ్యలకు సమానమైన పాయింట్లను కనుగొనండి: ఎ) 1, బి) 2, సి) 
.
ఈ సమీకరణం ద్వారా ఏ రేఖ నిర్వచించబడింది? (డ్రాయింగ్‌పై దీన్ని నిర్మించండి.)
166. కింది సమీకరణాల ద్వారా ధ్రువ కోఆర్డినేట్‌లలో ఏ పంక్తులు నిర్ణయించబడతాయో ఏర్పాటు చేయండి (వాటిని డ్రాయింగ్‌పై నిర్మించండి):
1) = 5; 2) = 
; 3) = 
; 4) cos = 2; 5) పాపం = 1;
6) = 6 cos ; 7) = 10 పాపం ; 8) పాపం = 9) పాపం =
167. డ్రాయింగ్‌పై కింది ఆర్కిమెడిస్ స్పైరల్స్‌ను నిర్మించండి:
1) = 5, 2) = 5; 3) = 
; 4) р = -1.
168. డ్రాయింగ్‌పై కింది హైపర్బోలిక్ స్పైరల్స్‌ను నిర్మించండి:
1) = ; 2) = ; 3) = 
; 4) = - 
.
169. డ్రాయింగ్‌పై క్రింది లాగరిథమిక్ స్పైరల్స్‌ను నిర్మించండి:
,
.
170. ఆర్కిమెడిస్ స్పైరల్ కట్ చేసే విభాగాల పొడవును నిర్ణయించండి 
ధ్రువం నుండి ఉద్భవించే కిరణం మరియు ఒక కోణంలో ధ్రువ అక్షానికి వంపుతిరిగి ఉంటుంది 
. డ్రాయింగ్ చేయండి.
171. ఆర్కిమెడిస్ మురిపై 
తీసుకున్న పాయింట్ తో,దీని ధ్రువ వ్యాసార్థం 47. ఈ మురి బిందువు యొక్క ధ్రువ వ్యాసార్థాన్ని ఎన్ని భాగాలను కట్ చేస్తుందో నిర్ణయించండి తో,డ్రాయింగ్ చేయండి.
172. హైపర్బోలిక్ స్పైరల్ మీద 
ఒక పాయింట్ కనుగొనండి ఆర్,దీని ధ్రువ వ్యాసార్థం 12. డ్రాయింగ్ చేయండి.
173. సంవర్గమాన మురిపై 
81 ధ్రువ వ్యాసార్థం ఉన్న పాయింట్ Qని కనుగొనండి. డ్రాయింగ్ చేయండి.