మున్సిపల్ విద్యా సంస్థ
Yuryevskaya ప్రాథమిక మాధ్యమిక పాఠశాల
ఓస్ట్రోవ్స్కీ జిల్లా
ప్రాంతీయ పద్దతి పోటీ యొక్క పురపాలక దశ
నామినేషన్
టూల్‌కిట్
విషయం
హైస్కూల్ ఆల్జీబ్రా కోర్సులో సమీకరణాలు మరియు అసమానతలను పరిష్కరించడానికి ఫంక్షనల్-గ్రాఫికల్ పద్ధతి.
పని దీని ద్వారా తయారు చేయబడింది:
గణిత ఉపాధ్యాయుడు
పరిచయం
పాఠశాల పాఠ్యపుస్తకాల విశ్లేషణ
ఏకీకృత రాష్ట్ర పరీక్ష విశ్లేషణ
1. సాధారణ సైద్ధాంతిక భాగం
1.1 గ్రాఫికల్ పద్ధతి
1.2 ఫంక్షనల్ పద్ధతి
2. ఇన్‌పుట్ లక్షణాలను ఉపయోగించి సమీకరణాలు మరియు అసమానతలను పరిష్కరించడం
వాటిలో విధులు
2.1 DZ ఉపయోగం
2.2 ఫీచర్ పరిమితులను ఉపయోగించడం
2.3 ఫంక్షన్ మోనోటోనిసిటీని ఉపయోగించడం
2.4 ఫంక్షన్ గ్రాఫ్‌లను ఉపయోగించడం
2.5 ఫంక్షన్ల యొక్క సరి లేదా బేసి లక్షణాలు మరియు ఆవర్తనాన్ని ఉపయోగించడం .
3. సమీకరణాలు మరియు అసమానతలను పరిష్కరించడం
3.1 సమీకరణాలను పరిష్కరించడం
3.2 అసమానతలను పరిష్కరించడం
వర్క్‌షాప్
గ్రంథ పట్టిక
అప్లికేషన్
పరిచయం
నా పని యొక్క అంశం "హైస్కూల్ ఆల్జీబ్రా కోర్సులో సమీకరణాలు మరియు అసమానతలను పరిష్కరించడానికి ఫంక్షనల్-గ్రాఫికల్ పద్ధతి." హైస్కూల్ ఆల్జీబ్రా కోర్సు యొక్క ప్రధాన అంశాలలో ఒకటి. ఉన్నత పాఠశాల గణిత కోర్సులలో సమీకరణాలు మరియు అసమానతలను పరిష్కరించడం ఒక ముఖ్యమైన పాత్ర పోషిస్తుంది. విద్యార్థులు ప్రాథమిక పాఠశాలలో అసమానతలు మరియు సమీకరణాల గురించి తెలుసుకోవడం ప్రారంభిస్తారు.
"సమీకరణాలు" మరియు "అసమానతలు" అంశాల కంటెంట్ క్రమంగా లోతుగా మరియు విస్తరించబడుతుంది. కాబట్టి, ఉదాహరణకు, 7 వ తరగతిలో అధ్యయనం చేసిన మొత్తం పదార్థం నుండి అసమానతల శాతం 20%, 8 వ తరగతిలో - 25%, 9 వ తరగతిలో - 30%, 10-11 తరగతులలో - 35%.
అసమానతలు మరియు సమీకరణాల యొక్క చివరి అధ్యయనం బీజగణితంలో జరుగుతుంది మరియు 10-11 తరగతుల విశ్లేషణ కోర్సులను ప్రారంభించింది. కొన్ని విశ్వవిద్యాలయాలు పరీక్షా పత్రాలలో సమీకరణాలు మరియు అసమానతలను కలిగి ఉంటాయి, ఇవి తరచుగా చాలా సంక్లిష్టంగా ఉంటాయి మరియు పరిష్కారానికి భిన్నమైన విధానాలు అవసరమవుతాయి. పాఠశాలలో, పాఠశాల గణిత శాస్త్ర కోర్సులోని అత్యంత క్లిష్టమైన విభాగాలలో ఒకటి కొన్ని ఎంపిక తరగతులలో మాత్రమే కవర్ చేయబడుతుంది.
హైస్కూల్ ఆల్జీబ్రా కోర్సులో సమీకరణాలు మరియు అసమానతలను పరిష్కరించడానికి ఫంక్షనల్ గ్రాఫికల్ పద్ధతి యొక్క అప్లికేషన్ యొక్క పూర్తి బహిర్గతం అందించడం ఈ పని యొక్క దృష్టి.
ఈ పని యొక్క ఔచిత్యం ఏమిటంటే, ఈ అంశం ఏకీకృత రాష్ట్ర పరీక్షలో చేర్చబడింది.
ఈ పనిని సిద్ధం చేయడంలో, ఫంక్షనల్-గ్రాఫికల్ పద్ధతి ద్వారా పరిష్కరించబడిన అనేక రకాల సమీకరణాలు మరియు అసమానతలను పరిగణనలోకి తీసుకోవడానికి నేను ఒక లక్ష్యాన్ని నిర్దేశించాను. ఈ అంశాన్ని మరింత లోతుగా అధ్యయనం చేయండి, త్వరగా సమాధానానికి దారితీసే అత్యంత హేతుబద్ధమైన పరిష్కారాన్ని గుర్తించండి.
అధ్యయనం యొక్క లక్ష్యం 10-11 తరగతులకు బీజగణితం, సవరించిన మరియు ఏకీకృత రాష్ట్ర పరీక్ష యొక్క వైవిధ్యాలు.
ఈ పని తరచుగా ఎదుర్కొనే రకాల సమీకరణాలు మరియు అసమానతలను చర్చిస్తుంది; పాఠశాల పరీక్షలలో ఉత్తీర్ణత సాధించేటప్పుడు మరియు విశ్వవిద్యాలయంలోకి ప్రవేశించేటప్పుడు పని ప్రక్రియలో నేను పొందిన జ్ఞానం సహాయపడుతుందని నేను ఆశిస్తున్నాను. యూనిఫైడ్ స్టేట్ ఎగ్జామ్‌లో పాల్గొనడానికి పాఠశాల పిల్లలను సిద్ధం చేయడానికి ఇది బోధనా సహాయంగా కూడా ఉపయోగపడుతుంది.
పాఠశాల పాఠ్యపుస్తకాల విశ్లేషణ
పద్దతి సాహిత్యంలో, 7 నుండి 11 తరగతుల వరకు పాఠశాల సమీకరణాలు మరియు అసమానతలను మూడు గ్రూపులుగా విభజించే అన్ని పద్ధతులను విభజించడం ఆచారం:
కారకం పద్ధతి;
కొత్త వేరియబుల్స్‌ని పరిచయం చేసే పద్ధతి;
ఫంక్షనల్ గ్రాఫిక్ పద్ధతి.
మూడవ పద్ధతిని పరిశీలిద్దాం, అవి ఫంక్షన్ గ్రాఫ్‌ల ఉపయోగం మరియు ఫంక్షన్ల యొక్క వివిధ లక్షణాలను.
"సమీకరణాలు" అనే అంశాన్ని అధ్యయనం చేసే మొదటి నుండే ఫంక్షనల్-గ్రాఫిక్ పద్ధతిని ఉపయోగించమని పాఠశాల పిల్లలకు నేర్పించాలి.
కొన్ని సమస్యలకు పరిష్కారం వాటిలో చేర్చబడిన ఫంక్షన్ల యొక్క మోనోటోనిసిటీ, ఆవర్తన, సమానత్వం లేదా అసమానత మొదలైన వాటిపై ఆధారపడి ఉంటుంది.
పాఠ్యపుస్తకాలను విశ్లేషించిన తరువాత, ఈ అంశం కొత్త తరం యొక్క గణిత పాఠ్యపుస్తకాలలో మాత్రమే చర్చించబడుతుందని మేము నిర్ధారించగలము.ఈ పాఠ్యపుస్తకాలలోని కోర్సు నిర్మాణం ఫంక్షనల్-గ్రాఫిక్ లైన్ యొక్క ప్రాధాన్యతపై ఆధారపడి ఉంటుంది. ఇతర పాఠ్యపుస్తకాలలో, సమీకరణాలు మరియు అసమానతలను పరిష్కరించే ఫంక్షనల్-గ్రాఫికల్ పద్ధతి ప్రత్యేక అంశంగా హైలైట్ చేయబడదు. సమస్యలను పరిష్కరించడానికి ఫంక్షన్ లక్షణాలను ఉపయోగించడం ఇతర అంశాలను అధ్యయనం చేసేటప్పుడు ఉత్తీర్ణతలో ప్రస్తావించబడింది. కొత్త పాఠ్యపుస్తకాలు కూడా ఈ రకమైన టాస్క్‌లను తగిన సంఖ్యలో కలిగి ఉంటాయి. పాఠ్య పుస్తకంలో అధునాతన స్థాయి పనులు ఉన్నాయి. విధుల యొక్క అత్యంత పూర్తి వ్యవస్థ ప్రదర్శించబడుతుంది, ఫంక్షన్ యొక్క ప్రతి ఆస్తికి క్రమబద్ధీకరించబడింది.
పాఠ్యపుస్తకం | “బీజగణితం మరియు విశ్లేషణ ప్రారంభం 10-11”, విద్యాసంస్థల కోసం పాఠ్య పుస్తకం, | , “బీజగణితం మరియు విశ్లేషణ 11 ప్రారంభం”, సాధారణ విద్యా సంస్థల కోసం పాఠ్య పుస్తకం (ప్రొఫైల్ స్థాయి) | "బీజగణితం మరియు విశ్లేషణ 11 ప్రారంభం", విద్యా సంస్థల కోసం పాఠ్య పుస్తకం | మరియు ఇతరులు. "బీజగణితం మరియు విశ్లేషణ యొక్క ప్రారంభం 10-11", విద్యా సంస్థల కోసం పాఠ్య పుస్తకం |
|
తెలిసిన ప్రదేశంలో ఉంచండి | అధ్యాయం 8 “సమీకరణాలు మరియు అసమానతలు. సమీకరణాలు మరియు అసమానతల వ్యవస్థలు" (కోర్సు యొక్క చివరి అంశం) | అధ్యాయం 6 “సమీకరణాలు మరియు అసమానతలు. సమీకరణాలు మరియు అసమానతల వ్యవస్థలు" (కోర్సు యొక్క చివరి అంశం) | చాప్టర్ II "సమీకరణాలు, అసమానతలు, వ్యవస్థలు" | ప్రత్యేక అంశం లేదు. కానీ "త్రికోణమితి సమీకరణాలు మరియు అసమానతలను పరిష్కరించడం" అనే అంశంలో మూల సిద్ధాంతం రూపొందించబడింది, ఇది తదుపరి అధ్యయనంలో ఉపయోగించబడుతుంది. | ప్రత్యేక అంశం లేదు |
§ §56 సమీకరణాలు మరియు అసమానతలను పరిష్కరించడానికి సాధారణ పద్ధతులు (ఫంక్షనల్-గ్రాఫికల్ పద్ధతి: మూల సిద్ధాంతం, ఒక ఫంక్షన్ యొక్క సరిహద్దు) | § §27 సమీకరణాలు మరియు అసమానతలను పరిష్కరించడానికి సాధారణ పద్ధతులు (ఫంక్షనల్-గ్రాఫికల్ పద్ధతి: మూల సిద్ధాంతం, ఫంక్షన్ యొక్క సరిహద్దు) | § రూపం యొక్క సమీకరణాలు (అసమానతలు); § §12*సమీకరణాలు మరియు అసమానతలను పరిష్కరించడానికి ప్రామాణికం కాని పద్ధతులు (ఫంక్షన్ల ఉనికి యొక్క డొమైన్‌లను ఉపయోగించడం, ఫంక్షన్ల యొక్క ప్రతికూలత, సరిహద్దులు, పాపం మరియు కాస్ లక్షణాలను ఉపయోగించడం, ఉత్పన్నాన్ని ఉపయోగించడం) | ఒక ఫంక్షన్ యొక్క మోనోటోనిసిటీ యొక్క లక్షణం, సరి-బేసి (త్రికోణమితి సమీకరణాల మూలాల కోసం సూత్రాలను పొందినప్పుడు) | "ఎక్స్‌పోనెన్షియల్ ఫంక్షన్" అంశంలో ఒక ఉదాహరణను విశ్లేషించేటప్పుడు మోనోటోనిసిటీ యొక్క ఆస్తి ప్రస్తావించబడింది |
|
పరిగణించబడిన సమీకరణాలు మరియు అసమానతల ఉదాహరణలు | (
| సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి. ఈ విరామంలో సమీకరణానికి ఎన్ని మూలాలు ఉన్నాయి? | సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి |
;
యూనిఫైడ్ స్టేట్ ఎగ్జామినేషన్ యొక్క విశ్లేషణ (పాఠాలు మరియు ఫలితాలు)
2002లో రష్యన్ విద్య యొక్క అభ్యాసంలోకి ప్రవేశపెట్టబడిన సర్టిఫికేషన్ రూపంగా యూనిఫైడ్ స్టేట్ ఎగ్జామ్, 2009 నుండి ప్రయోగాత్మకం నుండి సాధారణ మోడ్‌కు మారుతోంది.
యూనిఫైడ్ స్టేట్ ఎగ్జామ్ టెక్స్ట్‌ల విశ్లేషణ ప్రతి సంవత్సరం ఫంక్షన్ల లక్షణాలను ఉపయోగించే పనులు ఎదుర్కొంటాయని చూపించింది.
2003 లో, A9 మరియు C2 టాస్క్‌లలో, పరిష్కరించేటప్పుడు, మీరు ఫంక్షన్ల లక్షణాలను వర్తింపజేయవచ్చు:
· A9. సమీకరణం యొక్క మూలాలు ఉండే విరామాన్ని సూచించండి 
.
· C2. అన్ని విలువలను కనుగొనండి p, దీనికి సమీకరణం 
మూలాలు లేవు.
· 2004లో – టాస్క్ B2. సమీకరణానికి ఎన్ని మూలాలు ఉన్నాయి? 
.
· 2005లో, టాస్క్ C2 (సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి 
) 37% మంది విద్యార్థులు పూర్తి చేసారు.
2007లో, పార్ట్ Bలో “సమీకరణాన్ని పరిష్కరించు” టాస్క్‌ను పూర్తి చేస్తున్నప్పుడు, గ్రాడ్యుయేట్‌లు సమీకరణాన్ని పరిష్కరించేటప్పుడు రెండు సందర్భాలను పరిగణించారు, మాడ్యులస్ గుర్తును అలవాటుగా బహిర్గతం చేయడం..gif" width="81" height="24"> సానుకూల విలువలను మాత్రమే తీసుకుంటుంది.
బాగా సిద్ధమైన విద్యార్థులు కూడా తరచుగా "టెంప్లేట్" పరిష్కార పద్ధతులను ఉపయోగించి పనులను పూర్తి చేస్తారు, ఇది గజిబిజిగా పరివర్తనలు మరియు గణనలకు దారి తీస్తుంది.
సహజంగానే, పై పనులను పూర్తి చేసేటప్పుడు, బాగా సిద్ధమైన గ్రాడ్యుయేట్ సమీకరణాలను పరిష్కరించడానికి లేదా వ్యక్తీకరణలను మార్చడానికి తెలిసిన పద్ధతుల జ్ఞానాన్ని మాత్రమే కాకుండా, పరిస్థితిని విశ్లేషించే సామర్థ్యాన్ని, పని యొక్క డేటా మరియు అవసరాలను పరస్పరం అనుసంధానించే సామర్థ్యాన్ని కూడా చూపించవలసి ఉంటుంది. పరిస్థితి మొదలైన వాటి నుండి, ఇది గణిత ఆలోచన యొక్క నిర్దిష్ట స్థాయి అభివృద్ధిని చూపుతుంది.
అందువల్ల, మంచి పనితీరు కనబరిచే విద్యార్థులకు బోధించేటప్పుడు, మీరు బీజగణితం కోర్సు యొక్క ప్రాథమిక భాగం మరియు విశ్లేషణ యొక్క ప్రారంభాన్ని (నేర్చుకున్న నియమాలు, సూత్రాలు, పద్ధతులను ప్రావీణ్యం పొందడం) మాత్రమే కాకుండా, ప్రధాన లక్ష్యాలలో ఒకదానిని గ్రహించడం గురించి కూడా శ్రద్ధ వహించాలి. గణితాన్ని బోధించడం - విద్యార్థుల ఆలోచన అభివృద్ధి, ముఖ్యంగా గణిత ఆలోచన. ఈ లక్ష్యాన్ని చేరుకోవడానికి ఎలక్టివ్ కోర్సులు ఉపయోగపడతాయి.
నిజానికి, గణితాన్ని అధ్యయనం చేస్తున్నప్పుడు, సాధారణ విద్యా సంస్థల విద్యార్థులు సాంప్రదాయకంగా సమీకరణాలు, అసమానతలు మరియు వాటి వ్యవస్థలను పరిష్కరించే గ్రాఫికల్ పద్ధతిని పరిచయం చేస్తారు. అయితే, ఇటీవలి సంవత్సరాలలో, కొత్త తరగతుల సమీకరణాలు (అసమానతలు) మరియు వాటిని పరిష్కరించడానికి కొత్త ఫంక్షనల్ పద్ధతులు గణిత బోధన యొక్క కంటెంట్‌లో కనిపించాయి. అయినప్పటికీ, యూనిఫైడ్ స్టేట్ ఎగ్జామ్ (USE) (మిగిలిన సమీకరణాలు అని పిలవబడేవి) యొక్క పరీక్షా సామగ్రిలో ఉన్న పనులు, ఫంక్షనల్-గ్రాఫిక్ పద్ధతిని మాత్రమే ఉపయోగించాల్సిన పరిష్కారాలు విద్యార్థులకు ఇబ్బందులను కలిగిస్తాయి.
1. సాధారణ సైద్ధాంతిక భాగం
X మరియు Y రెండు ఏకపక్ష సంఖ్యా సెట్‌లుగా ఉండనివ్వండి. ఈ సెట్‌ల మూలకాలు వరుసగా x మరియు y లతో సూచించబడతాయి మరియు వాటిని వేరియబుల్స్ అంటారు.
నిర్వచనం. X సెట్‌లో నిర్వచించబడిన మరియు Y సెట్‌లో విలువలను తీసుకోవడం అనే సంఖ్యాపరమైన ఫంక్షన్‌ను కరస్పాండెన్స్ (నియమం, చట్టం) అంటారు, ఇది సెట్ X నుండి ప్రతి xని Y సెట్ నుండి ఒకే ఒక విలువతో అనుబంధిస్తుంది.
వేరియబుల్ xని ఇండిపెండెంట్ వేరియబుల్ లేదా అంటారు వాదన, మరియు వేరియబుల్ y అనేది డిపెండెంట్ వేరియబుల్. ఇది వేరియబుల్ y అని కూడా చెప్పబడింది ఫంక్షన్ x వేరియబుల్ నుండి. డిపెండెంట్ వేరియబుల్ యొక్క విలువలను ఫంక్షన్ యొక్క విలువలు అంటారు.
సంఖ్యా ఫంక్షన్ యొక్క పరిచయం చేయబడిన భావన అనేది రెండు లేదా అంతకంటే ఎక్కువ ఏకపక్ష సెట్‌ల మూలకాల మధ్య అనురూప్యంగా ఫంక్షన్ యొక్క సాధారణ భావన యొక్క ప్రత్యేక సందర్భం.
X మరియు Y రెండు ఏకపక్ష సెట్‌లుగా ఉండనివ్వండి.
నిర్వచనం. X సెట్‌లో నిర్వచించబడిన ఫంక్షన్ మరియు Y సెట్‌లోని విలువలను తీసుకోవడం అనేది X సెట్‌లోని ప్రతి మూలకంతో అనుబంధించబడే ఒక అనురూప్యం మరియు సెట్ Y నుండి ఒక మూలకం మాత్రమే.
నిర్వచనం.ఒక ఫంక్షన్‌ను నిర్వచించడం అంటే దాని నిర్వచనం యొక్క పరిధిని సూచించడం మరియు దాని సహాయంతో కరస్పాండెన్స్ (నియమం) స్వతంత్ర వేరియబుల్ యొక్క విలువను బట్టి, సంబంధిత ఫంక్షన్ విలువలు కనుగొనబడతాయి.
ఫంక్షన్ భావనతో అనుబంధించబడిన సమీకరణాలను పరిష్కరించడానికి రెండు మార్గాలు ఉన్నాయి: గ్రాఫిక్మరియు ఫంక్షనల్.ఫంక్షనల్ పద్ధతి యొక్క ప్రత్యేక సందర్భం పద్ధతి ఫంక్షనల్, లేదా సార్వత్రిక ప్రత్యామ్నాయాలు.
నిర్వచనం.ఇచ్చిన సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం అంటే దాని అన్ని మూలాల (పరిష్కారాలు) సమితిని కనుగొనడం. మూలాల సమితి (పరిష్కారాలు) ఖాళీ, పరిమిత లేదా అనంతం కావచ్చు. సైద్ధాంతిక విభాగంలోని క్రింది అధ్యాయాలలో, సమీకరణాలను పరిష్కరించడానికి మేము పైన వివరించిన పద్ధతులను విశ్లేషిస్తాము మరియు "ప్రాక్టీస్" విభాగంలో మేము వివిధ పరిస్థితులలో వారి దరఖాస్తును చూపుతాము.
1.1 గ్రాఫిక్ పద్ధతి.
ఆచరణలో, కొన్ని ఫంక్షన్ల గ్రాఫ్‌ను రూపొందించడానికి, వారు కొన్ని ఆర్గ్యుమెంట్ విలువల కోసం ఫంక్షన్ విలువల పట్టికను కంపైల్ చేస్తారు, ఆపై సంబంధిత పాయింట్లను కోఆర్డినేట్ ప్లేన్‌లో ప్లాట్ చేస్తారు మరియు వాటిని వరుసగా లైన్‌తో కనెక్ట్ చేస్తారు. పాయింట్లు ఫంక్షన్‌లో మార్పు యొక్క పురోగతిని తగినంత ఖచ్చితంగా చూపుతాయని భావించబడుతుంది.
నిర్వచనం.ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్ y = f(x) అనేది అన్ని పాయింట్ల సమితి
(x, f(x) | x https://pandia.ru/text/78/500/images/image024_0.jpg" width="616" height="403">
గ్రాఫ్‌ల ఖండన స్థానం కోఆర్డినేట్‌లను కలిగి ఉంటుంది (0.5; 0). అందుకే, x=0.5
సమాధానం: x=0.5
ఉదాహరణ 2.
10| sinx|=10|cosx|-1
ఈ సమీకరణాన్ని గ్రాఫిక్-ఎనలిటికల్ పద్ధతిని ఉపయోగించి హేతుబద్ధంగా పరిష్కరించవచ్చు.
10>1 నుండి, ఈ సమీకరణం క్రింది వాటికి సమానం:
గ్రాఫ్‌ల ఖండన పాయింట్లు కోఆర్డినేట్‌లను కలిగి ఉంటాయి ();. కాబట్టి x=.
సమాధానం: x=
1.2 ఫంక్షనల్ పద్ధతి
రూపాంతరాల ఫలితంగా f(x)=g(x) రూపంలోని ప్రతి సమీకరణం ఒకటి లేదా మరొక ప్రామాణిక రూపం యొక్క సమీకరణానికి తగ్గించబడదు, దీనికి సంప్రదాయ పరిష్కార పద్ధతులు అనుకూలంగా ఉంటాయి. అటువంటి సందర్భాలలో, f(x) మరియు g(x) ఫంక్షన్ల లక్షణాలను మోనోటోనిసిటీ, బౌండడ్‌నెస్, ప్యారిటీ, పీరియాడిసిటీ మొదలైనవిగా ఉపయోగించడం సమంజసం. కాబట్టి, ఫంక్షన్‌లలో ఒకటి పెరిగితే మరియు మరొకటి నిర్దిష్ట వ్యవధిలో తగ్గితే , అప్పుడు సమీకరణం f(x) = g(x) ఒకటి కంటే ఎక్కువ మూలాలను కలిగి ఉండదు, ఇది సూత్రప్రాయంగా ఎంపిక ద్వారా కనుగొనబడుతుంది. ఇంకా, f(x) ఫంక్షన్ పైన మరియు g(x) ఫంక్షన్ క్రింద పరిమితమై ఉంటే f(x) స్వింగ్=A g(x) mలో=A, అప్పుడు సమీకరణం f(x)=g(x) సమీకరణాల వ్యవస్థకు సమానం
అలాగే, ఫంక్షనల్ పద్ధతిని ఉపయోగిస్తున్నప్పుడు, క్రింద ఇవ్వబడిన కొన్ని సిద్ధాంతాలను ఉపయోగించడం హేతుబద్ధమైనది. వాటిని నిరూపించడానికి మరియు ఉపయోగించడానికి, క్రింది సాధారణ సమీకరణాలు అవసరం:
(2)
సిద్ధాంతం 1.సమీకరణం యొక్క మూలాలు (1) సమీకరణం యొక్క మూలాలు (2).
సిద్ధాంతం 2. f(x) అనేది విరామంపై పెరుగుతున్న ఫంక్షన్ అయితే a చివరి సిద్ధాంతం పరిష్కారాలలో కూడా ఉపయోగించబడుతుంది: పరిణామం 1. f(x) దాని మొత్తం నిర్వచన డొమైన్‌లో పెరిగితే, ఇచ్చిన విరామంలో సమీకరణాలు (1) మరియు (2) సమానంగా ఉంటాయి. f(x) దాని మొత్తం నిర్వచన డొమైన్‌పై తగ్గితే, n బేసిగా ఉంటుంది, అప్పుడు ఇచ్చిన విరామంలో సమీకరణాలు (1) మరియు (2) సమానంగా ఉంటాయి. సిద్ధాంతం 3.ఏదైనా ఆమోదయోగ్యమైన x కోసం f(x)=g(x) అనే సమీకరణంలో f(x)≥a, g(x)≤a అనే షరతులు సంతృప్తి చెందితే, a కొంత వాస్తవ సంఖ్య అయితే, ఇచ్చిన సమీకరణం దీనికి సమానం వ్యవస్థ పరిణామం 2. ఏదైనా ఆమోదయోగ్యమైన x f(x)≤a, g(x)≤b కోసం f(x)+g(x)=a+b సమీకరణంలో ఉంటే, ఈ సమీకరణం సిస్టమ్‌కి సమానం సమీకరణాలను పరిష్కరించే ఫంక్షనల్ పద్ధతి తరచుగా గ్రాఫికల్‌తో కలిపి ఉపయోగించబడుతుంది, ఎందుకంటే ఈ రెండు పద్ధతులు ఫంక్షన్ల యొక్క ఒకే లక్షణాలపై ఆధారపడి ఉంటాయి. కొన్నిసార్లు ఈ పద్ధతుల కలయిక అని పిలుస్తారు గ్రాఫిక్-విశ్లేషణాత్మకపద్ధతి. ఉదాహరణ 1. coshttps://pandia.ru/text/78/500/images/image033_3.gif" width="64" height="41 src=">≤1 x2+1≥1 => coshttps://pandia.ru/text/78/500/images/image035_3.gif" width="121" height="48"> సమాధానం: x=π ఫంక్షనల్ పద్ధతి యొక్క ప్రత్యేక సందర్భం ఫంక్షనల్ ప్రత్యామ్నాయం యొక్క పద్ధతి - బహుశా గణితంలో సంక్లిష్ట సమస్యలను పరిష్కరించడానికి అత్యంత సాధారణ పద్ధతి. పద్ధతి యొక్క సారాంశం ఒక కొత్త వేరియబుల్ y=ƒ(x)ని పరిచయం చేయడం, దీని ఉపయోగం సరళమైన వ్యక్తీకరణకు దారి తీస్తుంది. ఫంక్షనల్ ప్రత్యామ్నాయం యొక్క ప్రత్యేక సందర్భం త్రికోణమితి ప్రత్యామ్నాయం. R(పాపం kx,కాస్ nx, tg mx,ctg lx) = 0 (3) ఇక్కడ R అనేది హేతుబద్ధమైన ఫంక్షన్, k,n,m,ఎల్ОZ, డబుల్ మరియు ట్రిపుల్ ఆర్గ్యుమెంట్‌ల కోసం త్రికోణమితి సూత్రాలను, అలాగే సంకలన సూత్రాలను ఉపయోగించి, ఆర్గ్యుమెంట్‌ల పాపానికి హేతుబద్ధమైన సమీకరణానికి తగ్గించవచ్చు x,కాస్ x, tg x,ctg x, ఆ తర్వాత సమీకరణం (3)ని t=tg( కోసం హేతుబద్ధమైన సమీకరణానికి తగ్గించవచ్చు x/2) సార్వత్రిక త్రికోణమితి ప్రత్యామ్నాయ సూత్రాలను ఉపయోగించడం 2tg(x/2) 1-tg²(x/2) పాపం x= కోస్ x= 1+tg²(x/2) 1+tg²(x/2) 2tg(x/2) 1-tg²(x/2) Tg x= ctg x= 1-tg²(x/2) 2tg(x/2) సూత్రాల (4) ఉపయోగం అసలు సమీకరణం యొక్క OD యొక్క సంకుచితానికి దారితీస్తుందని గమనించాలి, ఎందుకంటే tan(x/2) x=π+2πk, kÎZ పాయింట్ల వద్ద నిర్వచించబడదు, కాబట్టి అలాంటి సందర్భాలలో అసలు సమీకరణం యొక్క కోణాలు x=π+ 2πk, kÎZ మూలాలు ఉన్నాయో లేదో తనిఖీ చేయడం అవసరం. ఉదాహరణ 1. పాపం x+√2-sin² x+ పాపం x√2-పాపం² x = 3
ఇప్పుడు r = u+v మరియు s=uv, ఆపై సమీకరణాల వ్యవస్థ నుండి అది అనుసరిస్తుంది యు = పాపము నుండి xమరియు u = 1, అప్పుడు పాపం x= 1 మరియు x = π/2+2πk, kО Z సమాధానం: x = π/2+2πk, kOZ ఉదాహరణ 2. 5
పాపం x-5
tg x
+4(1-
కాస్ x)=0
పాపం x+
tg x
ఫంక్షనల్ ప్రత్యామ్నాయ పద్ధతిని ఉపయోగించి ఈ సమీకరణాన్ని హేతుబద్ధంగా పరిష్కరించవచ్చు. tg నుండి x x = π/2+πk, kО వద్ద నిర్వచించబడలేదు Z, మరియు పాపం x+tg x=0 వద్ద x = πk, kО Z, అప్పుడు కోణాలు x = πk/2, kО Z ODZ సమీకరణాలలో చేర్చబడలేదు. మేము సగం కోణం యొక్క టాంజెంట్ కోసం సూత్రాలను ఉపయోగిస్తాము మరియు t=tg(ని సూచిస్తాము x/2), మరియు సమస్య యొక్క పరిస్థితుల ప్రకారం t≠0;±1, అప్పుడు మనకు లభిస్తుంది https://pandia.ru/text/78/500/images/image055_2.gif" width="165"> +4 1- =0 t≠0;±1 నుండి, ఈ సమీకరణం సమీకరణానికి సమానం 5t² + = 0 ó-5-5t² + 8 = 0 ఎక్కడి నుండి t = ± ..gif" width="27" height="47"> +2πk, kÎ Z ఉదాహరణ 3. tg x+
ctg x+
tg²x+
ctg²x+
tg³x+
ctg³x=6
ఫంక్షనల్ ప్రత్యామ్నాయ పద్ధతిని ఉపయోగించి ఈ సమీకరణాన్ని హేతుబద్ధంగా పరిష్కరించవచ్చు. y=tgని తెలపండి x+ctg x, ఆపై tg² x+ctg² x=y²-2, tg³ x+ctg³ x=y³-3y tg నుండి x+ctg x=2, ఆపై tg x+1/ tg x=2. ఇది tgని అనుసరిస్తుంది x=1 మరియు x = π/4+πk, kО Z సమాధానం: x = π/2+2πk, kО Z 2. వాటిలో చేర్చబడిన ఫంక్షన్ల లక్షణాలను ఉపయోగించి సమీకరణాలు మరియు అసమానతలను పరిష్కరించడం 2.
1. ODZ ఉపయోగం. కొన్నిసార్లు ODZ యొక్క జ్ఞానం ఒక సమీకరణానికి (లేదా అసమానత) పరిష్కారాలు లేవని నిరూపించడానికి మిమ్మల్ని అనుమతిస్తుంది మరియు కొన్నిసార్లు ఇది ODZ నుండి సంఖ్యలను నేరుగా భర్తీ చేయడం ద్వారా సమీకరణానికి (లేదా అసమానత) పరిష్కారాలను కనుగొనడానికి మిమ్మల్ని అనుమతిస్తుంది. ఉదాహరణ 1.
సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి పరిష్కారం. ఈ సమీకరణం యొక్క ODZ 3-x0 మరియు x-3>0 షరతులను ఏకకాలంలో సంతృప్తిపరిచే అన్ని xని కలిగి ఉంటుంది, అంటే ODZ అనేది ఖాళీ సెట్. ఇది సమీకరణం యొక్క పరిష్కారాన్ని పూర్తి చేస్తుంది, ఎందుకంటే ఒకే సంఖ్య కూడా పరిష్కారం కాదని నిర్ధారించబడింది, అంటే సమీకరణానికి మూలాలు లేవు. సమాధానం: పరిష్కారాలు లేవు. ఉదాహరణ 2.
సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి పరిష్కారం. ఈ సమీకరణం యొక్క ODZ అనేది షరతులను ఏకకాలంలో సంతృప్తిపరిచే అన్ని xని కలిగి ఉంటుంది, అనగా, ODZ ఈ x యొక్క ఈ విలువలను సమీకరణం (1)గా మారుస్తుంది, దాని ఎడమ మరియు కుడి భుజాలు 0కి సమానంగా ఉన్నాయని మేము కనుగొన్నాము, అంటే అన్నీ https://pandia.ru/ text/78/500/images/image065_2.gif" width="93 height=21" height="21"> ఉదాహరణ 3.
అసమానతను పరిష్కరించండి పరిష్కారం. అసమానత యొక్క ODZ (2) షరతులను ఏకకాలంలో సంతృప్తిపరిచే అన్ని xని కలిగి ఉంటుంది సమాధానం: x=1. ఉదాహరణ 4.
అసమానతను పరిష్కరించండి పరిష్కారం. అసమానత యొక్క ODZ (3) మొత్తం x షరతు 0ని సంతృప్తిపరుస్తుంది<х1. Ясно, что х=1 не является решением неравенства (3). Для х из промежутка 0 సమాధానం: 0 ఉదాహరణ 5.
అసమానతను పరిష్కరించండి పరిష్కారం..gif" width="73" height="19"> మరియు . విరామం నుండి x కోసం https://pandia.ru/text/78/500/images/image082_1.gif" width="72" height="24 src=">.gif" width="141 height=24" ఎత్తు = "24"> ఈ విరామంలో, అందువలన అసమానత (4)కి ఈ విరామంలో పరిష్కారాలు లేవు. x విరామానికి చెందినదిగా ఉండనివ్వండి, ఆపై అటువంటి x కోసం https://pandia.ru/text/78/500/images/image087_1.gif" width="141 height=24" height="24"> మరియు, అందువలన, ఈ విరామంలో, అసమానత (4)కి కూడా పరిష్కారాలు లేవు. కాబట్టి, అసమానత (4)కి పరిష్కారాలు లేవు. సమాధానం: పరిష్కారాలు లేవు. గమనికలు. సమీకరణాలను పరిష్కరించేటప్పుడు, ODZ ను కనుగొనడం అవసరం లేదు. కొన్నిసార్లు విచారణకు వెళ్లడం మరియు కనుగొనబడిన మూలాలను తనిఖీ చేయడం సులభం. అసమానతలను పరిష్కరించేటప్పుడు, కొన్నిసార్లు ODZని కనుగొనడం సాధ్యం కాదు, కానీ అసమానతలకు సమానమైన వ్యవస్థకు వెళ్లడం ద్వారా అసమానతను పరిష్కరించడం సాధ్యమవుతుంది, దీనిలో అసమానతలలో ఒకదానికి పరిష్కారాలు లేవు లేదా దాని పరిష్కారం యొక్క జ్ఞానం అసమానతల వ్యవస్థను పరిష్కరించడానికి సహాయపడుతుంది. . ఉదాహరణ 6.
అసమానతను పరిష్కరించండి పరిష్కారం. అసమానత యొక్క ODZని కనుగొనడం అంత తేలికైన పని కాదు, కాబట్టి మేము దానిని భిన్నంగా చేస్తాము. అసమానత (5) అసమానతల వ్యవస్థకు సమానం ఈ వ్యవస్థ యొక్క మూడవ అసమానత పరిష్కారాలు లేని అసమానతకు సమానం. పర్యవసానంగా, అసమానతల వ్యవస్థ (6)కి పరిష్కారాలు లేవు, అంటే అసమానత (5)కి పరిష్కారాలు లేవు. సమాధానం: పరిష్కారాలు లేవు. ఉదాహరణ 7.
అసమానతను పరిష్కరించండి పరిష్కారం. అసమానత (7) యొక్క ODZని కనుగొనడం చాలా కష్టమైన పని. అందుకని వేరే పనులు చేద్దాం. అసమానత (7) అసమానతల వ్యవస్థకు సమానం ఈ సిస్టమ్ యొక్క మూడవ అసమానత విరామం -1 నుండి అన్ని x లకు పరిష్కారాలను కలిగి ఉంటుంది 2.2 పరిమిత కార్యాచరణను ఉపయోగించుకోవడం. సమీకరణాలు మరియు అసమానతలను పరిష్కరిస్తున్నప్పుడు, ఒక నిర్దిష్ట సెట్‌లో క్రింద లేదా పైన ఉన్న ఫంక్షన్ యొక్క ఆస్తి తరచుగా నిర్ణయాత్మక పాత్ర పోషిస్తుంది. ఉదాహరణకు, కొన్ని సెట్ M నుండి అన్ని x కోసం కింది అసమానతలు నిజమైతే: f(x)>A మరియు g(x) A సంఖ్య యొక్క పాత్ర తరచుగా సున్నా చేత పోషించబడుతుందని గమనించండి; ఈ సందర్భంలో, M సెట్‌లోని f(x) మరియు g(x) ఫంక్షన్ల సంకేతం భద్రపరచబడిందని వారు చెప్పారు. ఉదాహరణ 1.
సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి పరిష్కారం..gif" width="191" height="24 src="> x యొక్క ఏదైనా విలువ కోసం సమీకరణం యొక్క ఎడమ వైపు ఒకటి మించదు మరియు కుడి వైపు ఎల్లప్పుడూ రెండు కంటే తక్కువ కాదు, అప్పుడు ఈ సమీకరణం పరిష్కారాలు లేవు. సమాధానం: పరిష్కారాలు లేవు. ఉదాహరణ 2.
సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి పరిష్కారం. x=0, x=1, x=-1 సమీకరణానికి పరిష్కారాలు (9)..gif" width="36" height="19"> అని స్పష్టంగా ఉంది, ఎందుకంటే దాని పరిష్కారం అయితే, అప్పుడు (-) అతని నిర్ణయం కూడా. x>0, , సెట్‌ను రెండు విరామాలు (0;1) మరియు (1;+∞)గా విభజిద్దాము. సమీకరణం (9)ని https://pandia.ru/text/78/500/images/image103_1.gif" width="104" height="28">.gif" width="99" height= రూపంలో తిరిగి వ్రాద్దాం "25 src=">అనుకూలమైనవి మాత్రమే. పర్యవసానంగా, ఈ విరామంలో, సమీకరణం (9)కి పరిష్కారాలు లేవు. x విరామానికి చెందినదిగా ఉండనివ్వండి (1;+∞). ఈ ప్రతి విలువలకు x ఫంక్షన్ x>2 అయితే , మరియు దీని అర్థం విరామం (2;+∞) సమీకరణం (9)కి కూడా పరిష్కారాలు లేవు. కాబట్టి, x=0, x=1 మరియు x=-1 మరియు ఇవి మాత్రమే అసలు సమీకరణానికి పరిష్కారాలు. సమాధానం: ఉదాహరణ 3.
అసమానతను పరిష్కరించండి పరిష్కారం. అసమానత యొక్క ODZ (10) x=-1 మినహా అన్ని వాస్తవ x. మనం ODZని మూడు సెట్‌లుగా విభజిద్దాము: -∞<х<-1, -1 లెట్ -∞<х<-1..gif" width="93" height="24 src=">. పర్యవసానంగా, ఈ x అన్నీ అసమానతకు పరిష్కారాలు (10). లెట్ -1 0ని లెట్ సమాధానం: -∞<х<-1; 0 ఉదాహరణ 4.
సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి పరిష్కారం. సూచిస్తాం విరామం నుండి xని పరిగణించండి. ఈ విరామంలో, సమీకరణం (11) రూపంలో తిరిగి వ్రాయవచ్చు, అంటే రూపంలో x = 0 అనేది సమీకరణం (12)కి పరిష్కారం అని స్పష్టంగా తెలుస్తుంది, అందువల్ల అసలు సమీకరణానికి..gif" width="39" height="19"> సమీకరణం (12) సమీకరణానికి సమానం ఏదైనా విలువ కోసం సమాధానం: x=0, ; https://pandia.ru/text/78/500/images/image139_0.gif" width="211" height="41">. (13) పరిష్కారం. సమీకరణం (13)కి పరిష్కారం ఉండనివ్వండి, అప్పుడు కింది సమానత్వం ఉంటుంది: మరియు అసమానతలు https://pandia.ru/text/78/500/images/image142_1.gif" width="68" height="27 src=">. అసమానతల యొక్క చెల్లుబాటు నుండి మనం సమానత్వం యొక్క ఎడమ వైపు అని పొందుతాము (14) అదే గుర్తును కలిగి ఉంది, అంటే అదే గుర్తు , మరియు కుడి వైపు అదే గుర్తు , కానీ సమానత్వం మరియు సంతృప్తి (14), వారు ఒకే సంకేతాలను కలిగి ఉన్నారు. సమానత్వాన్ని (14) రూపంలో తిరిగి రాద్దాం https://pandia.ru/text/78/500/images/image147_0.gif" width="284" height="24"> సమానత్వాన్ని (15) రూపంలో తిరిగి రాద్దాం వాటికి ఒకే గుర్తులు ఉన్నందున, ..gif" width="95" height="24">. (17) సమీకరణం (17)కి ఏదైనా పరిష్కారం సమీకరణానికి (13) పరిష్కారం అని స్పష్టంగా తెలుస్తుంది. కాబట్టి, సమీకరణం (13) సమీకరణం (17)కి సమానం. సమీకరణం (17)కి పరిష్కారాలు సమాధానం: వ్యాఖ్య. ఉదాహరణ 5లో వలె, Eq అని నిరూపించవచ్చు. ఇక్కడ n, m ఏవైనా సహజ సంఖ్యలు, సమీకరణానికి సమానం, ఆపై ఈ సరళమైన సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి. 2. 3. ఫంక్షన్ యొక్క మోనోటోనిసిటీని ఉపయోగించడం. మోనోటోనిసిటీ ప్రాపర్టీని ఉపయోగించి సమీకరణాలు మరియు అసమానతలను పరిష్కరించడం క్రింది ప్రకటనలపై ఆధారపడి ఉంటుంది. F(x) విరామం Lపై నిరంతర మరియు ఖచ్చితంగా మోనోటోన్ ఫంక్షన్‌గా ఉండనివ్వండి, ఆపై సమీకరణం f(x)=C, ఇక్కడ C అనేది ఒక స్థిరాంకం, విరామం Lపై గరిష్టంగా ఒక పరిష్కారాన్ని కలిగి ఉంటుంది. f(x) మరియు g(x) అనేది విరామం Lపై నిరంతర విధులు, f(x) ఖచ్చితంగా పెరుగుతుంది మరియు g(x) ఈ విరామంలో ఖచ్చితంగా తగ్గుతుంది, అప్పుడు f(x)=g(x) సమీకరణం గరిష్టంగా ఒక పరిష్కారాన్ని కలిగి ఉంటుంది విరామం L. విరామం L అనేది అనంతమైన విరామం (-∞; +∞), సెమీ-అనంతం విరామాలు (a; +∞), (-∞; a), [a; +∞), (-∞; a], విభాగాలు, విరామాలు మరియు అర్ధ-విరామాలు. ఉదాహరణ 1.
సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి పరిష్కారం. సహజంగానే, అప్పటి నుండి x0 సమీకరణం (18)కి పరిష్కారం కాదు సమాధానం: x=1. ఉదాహరణ 2.
అసమానతను పరిష్కరించండి పరిష్కారం. ప్రతి ఫంక్షన్ , , మొత్తం అక్షం మీద నిరంతరంగా మరియు ఖచ్చితంగా పెరుగుతూ ఉంటుంది. అంటే అసలు ఫంక్షన్ అదే సమాధానం: -∞ ఉదాహరణ 3.
సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి పరిష్కారం. సమీకరణం (20) యొక్క అనుమతించదగిన విలువల పరిధి విరామం . ఫంక్షన్ యొక్క చెల్లుబాటు అయ్యే విలువల పరిధిలో సమాధానం: x=2. ఉదాహరణ 4.
అసమానతను పరిష్కరించండి పరిష్కారం... gif" width="95" height="25 src="> అనేది మూర్తి 7లో ప్రదర్శించబడింది. ODZ అసమానత (26) నుండి అన్ని xకి చెల్లుబాటు అవుతుందని ఫిగర్ నుండి ఇది అనుసరిస్తుంది. నిరూపిద్దాం. మేము కలిగి ఉన్న ప్రతిదానికి , మరియు అలాంటి ప్రతి x కోసం మనకు https://pandia.ru/text/78/500/images/image211_1.gif" width="63 height=23" height="23"> ఉంది కలిగి ఉంటాయి ఉదాహరణ 2.
సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి పరిష్కారం..gif" width="123" height="24"> మరియు సమాధానం: పరిష్కారాలు లేవు. ఉదాహరణ 3.
సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి పరిష్కారం..gif" width="95" height="25 src="> మూర్తి 9లో ప్రదర్శించబడ్డాయి. (-1; -2) అనేది ఫంక్షన్ల గ్రాఫ్‌ల ఖండన బిందువు అని తనిఖీ చేయడం సులభం f( x) మరియు g(x), అంటే, x=-1 అనేది సమీకరణం (28)కి పరిష్కారం. y=x-1 అనే సరళ రేఖను గీద్దాం. ఫిగర్ నుండి అది ఫంక్షన్ల గ్రాఫ్‌ల మధ్య ఉందని అనుసరిస్తుంది. y=f(x) మరియు y=g(x).సమీకరణం (28)కి ఇతర పరిష్కారాలు లేవని నిరూపించడానికి ఈ పరిశీలన సహాయపడుతుంది. దీన్ని చేయడానికి, మేము x విరామం (-1; +∞) నుండి అసమానతలు మరియు , మరియు x కోసం విరామం (-∞; -1) అసమానతలను నిరూపిస్తాము https://pandia.ru/text/78/500 /images/image229_1 .gif" width="89" height="21 src=">. సహజంగానే, అసమానత x>-1కి చెల్లుతుంది మరియు అసమానత https://pandia.ru/text/78/500/ images/image228_1.gif" width="93" height="24">..gif" width="145" height="25">. ఈ అసమానతకు పరిష్కారాలు అన్నీ x<-1. Точно так же показывается, что решениями неравенства являются все х>-1. పర్యవసానంగా, అవసరమైన ప్రకటన నిరూపించబడింది మరియు సమీకరణం (28) ఒకే మూలం x=-1ని కలిగి ఉంటుంది. సమాధానం: x=-1. ఉదాహరణ 4.
అసమానతను పరిష్కరించండి పరిష్కారం..gif" width="39" height="19 src=">, అంటే, ODZ మూడు ఖాళీలను కలిగి ఉంటుంది, , https://pandia.ru/text/78/500/images/image234_1.gif" వెడల్పు= "52" ఎత్తు="41">, అసమానతకు సమానం మరియు ప్రాంతంలో x>0 ఇది అసమానతకు సమానం ఫంక్షన్ గ్రాఫ్ స్కెచ్‌లు అందువల్ల, అసమానత (31)కి పరిష్కారాలు లేవు మరియు అసమానత (30) విరామం నుండి అన్ని x లకు పరిష్కారాలను కలిగి ఉంటుంది. నిరూపిద్దాం. ఎ) లెట్. అసమానత (29) ఈ విరామంలో అసమానత (30)కి సమానం. ఈ విరామం నుండి ప్రతి xకి అసమానతలు చెల్లుబాటు అయ్యేలా చూడటం సులభం పర్యవసానంగా, అసమానత (30), మరియు దానితో పాటు అసలు అసమానత (29), విరామంలో పరిష్కారాలు లేవు. బి) లెట్. అప్పుడు అసమానత (29) కూడా అసమానతతో సమానం (30). ఈ విరామం నుండి ప్రతి x కోసం పర్యవసానంగా, అటువంటి x ఏదైనా అసమానతకు (30) పరిష్కారంగా ఉంటుంది, అందువలన అసలు అసమానతకు (29). సి) x>0ని తెలియజేయండి. ఈ సెట్‌లో, అసలు అసమానత అసమానతకు సమానం (31). సహజంగానే, ఈ సెట్ నుండి ఏదైనా x కోసం క్రింది అసమానతలు నిజమైనవి: ఇది సూచిస్తుంది: 1) అసమానత (31) సెట్‌లో పరిష్కారాలు లేవు 2)
అసమానత (31) సెట్‌లో ఎటువంటి పరిష్కారాలను కలిగి ఉండదు, ఇక్కడ https://pandia.ru/text/78/500/images/image253_1.gif" width="60" height="19">. అసమానతకు పరిష్కారాలను కనుగొనడానికి ఇది మిగిలి ఉంది (31) విరామం 1కి చెందినది సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడానికి గ్రాఫికల్ పద్ధతి యొక్క ఆలోచన చాలా సులభం. సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా ఉన్న ఫంక్షన్ల గ్రాఫ్‌లను నిర్మించడం మరియు ఖండన పాయింట్ల అబ్సిసాస్‌లను కనుగొనడం అవసరం. కానీ కొన్ని ఫంక్షన్లను గ్రాఫింగ్ చేయడం కష్టం. ప్లాటింగ్ గ్రాఫ్‌లను ఎల్లప్పుడూ ఆశ్రయించాల్సిన అవసరం లేదు.అటువంటి సమీకరణాలను రూట్ ఎంపిక పద్ధతిని ఉపయోగించి, మోనోటోనిసిటీ మరియు ఫంక్షన్ల సరిహద్దు లక్షణాలను ఉపయోగించి పరిష్కరించవచ్చు. యూనిఫైడ్ స్టేట్ ఎగ్జామ్‌లో ఉత్తీర్ణత సాధించేటప్పుడు అందించే పనులను త్వరగా పరిష్కరించడానికి ఇది మిమ్మల్ని అనుమతిస్తుంది. మున్సిపల్ విద్యా సంస్థ "వ్యాయామశాల నం. 24" ఫంక్షనల్-గ్రాఫిక్ పద్ధతి సమీకరణాల పరిష్కారాలు. ఉపాధ్యాయుడు సిద్ధం చేశాడు డానిలినా ఓల్గా సెర్జీవ్నా. మగడాన్ 2007 «
ఫంక్షనల్ - సమీకరణాలను పరిష్కరించడానికి గ్రాఫికల్ పద్ధతి" పాఠం యొక్క లక్ష్యం: ఫంక్షనల్-గ్రాఫికల్ పద్ధతిని ఉపయోగించి ఒక నిర్దిష్ట రకం సమీకరణాలను పరిష్కరించే సామర్థ్యాన్ని అభివృద్ధి చేయడం, విధుల యొక్క సరిహద్దు మరియు మార్పులేని లక్షణాలను ఉపయోగించడం. పాఠం నిర్మాణం: ఉపాధ్యాయుని పరిచయ ప్రసంగం, పాఠం యొక్క అంశానికి పరిచయం, లక్ష్య సెట్టింగ్ పాఠ్యాంశంపై పట్టు సాధించడానికి అవసరమైన మునుపు పొందిన జ్ఞానాన్ని నవీకరించడం సమర్పకులచే ప్రదర్శన, వివిధ రకాల సమీకరణాలకు పరిష్కారాల నమూనాలతో కొత్త మెటీరియల్ యొక్క ప్రదర్శనను కలిగి ఉంటుంది నేర్చుకున్న దాని యొక్క ప్రాథమిక ఏకీకరణ ప్రయోజనం కోసం సమూహాలలో పని చేయండి ఆటకు సమానమైన ఆటను నిర్వహించడం: “ఏమిటి? ఎక్కడ? ఎప్పుడు?" పాఠాన్ని సంగ్రహించడం. తరగతి కోసం ప్రశ్నలు; నేటి పాఠంలో మీరు ఏమి నేర్చుకున్నారు? ఎంపిక పద్ధతిని ఉపయోగించి ఏ సమీకరణాలను పరిష్కరించవచ్చు? ఈ సందర్భంలో ఫంక్షన్ల యొక్క ఏ లక్షణాలు ఉపయోగించబడతాయి. ఆటలో పాల్గొనేవారి కోసం ప్రశ్నలు: ప్రియమైన నిపుణులారా, ఒక్క నిమిషంలో ఈ సమీకరణం యొక్క మూలాన్ని కనుగొని, ఇది ఒక్కటే అని నిరూపించండి. సమాధానం: రెండు పెరుగుతున్న ఫంక్షన్ల మొత్తం పెరుగుతున్న ఫంక్షన్. y = - మార్పు లేకుండా పెరుగుతుంది, కాబట్టి సమీకరణానికి ఒక మూలం ఉంటుంది, ఎందుకంటే ఈ ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్ y=3 సరళ రేఖతో ఒకసారి కలుస్తుంది. x=1 అయినప్పుడు, మనకు సరైన సమానత్వం లభిస్తుంది. సమాధానం: x=1 ప్రియమైన నిపుణులారా, ఒక నిమిషంలో, అసమానత యొక్క రెండు వైపులా ఉన్న ఫంక్షన్లకు పేరు పెట్టండి మరియు ఈ సమీకరణం యొక్క మూలాన్ని కనుగొనండి. సమాధానం: y = - వాస్తవ సంఖ్యల సెట్‌లో ఘాతాంక ఫంక్షన్ పెరుగుతుంది. y=6 - x అనేది ఒక లీనియర్ ఫంక్షన్, ఇది వాస్తవ సంఖ్యల సెట్‌లో మార్పు లేకుండా తగ్గుతుంది. దీని అర్థం ఫంక్షన్ల గ్రాఫ్‌లు ఒక పాయింట్ వద్ద కలుస్తాయి, సమీకరణానికి ఒక మూలం ఉంటుంది. x=2 అయినప్పుడు, మనకు సరైన సమానత్వం వస్తుంది. సమాధానం: x=2 3. ప్రియమైన నిపుణులు, సమీకరణం x=3 అనే ఒకే మూలాన్ని కలిగి ఉందని మీకు ఇప్పటికే తెలుసు. ఒక నిమిషంలో, అసమానత ఏ x విలువలను కలిగి ఉందో సమాధానం ఇవ్వండి. సమాధానం: అసమానత x Є, ఎందుకంటే ఈ విరామంలో, y = ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్ y = ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్ క్రింద ఉంది 4. ప్రియమైన నిపుణులారా, చాలా మందికి సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడంలో ఇబ్బంది ఉంది. ఒక్క నిమిషంలో, ఈ సమీకరణం యొక్క మూలాన్ని కనుగొని, ఇది ప్రత్యేకమైనదని నిరూపించండి. సమాధానం: x = -3 సమీకరణం యొక్క మూలం ప్రత్యేకమైనది, ఎందుకంటే సమీకరణం యొక్క ఎడమ వైపు తగ్గుతున్న ఫంక్షన్‌ను కలిగి ఉంటుంది మరియు కుడి వైపు పెరుగుతున్న ఫంక్షన్‌ను కలిగి ఉంటుంది, అంటే ఫంక్షన్ల గ్రాఫ్‌లు ఒక బిందువు వద్ద కలుస్తాయి మరియు సమీకరణం కలిగి ఉంటుంది ఒకే రూట్. 5. ప్రియమైన నిపుణులారా, మీ కోసం నా దగ్గర ఒక కష్టమైన ప్రశ్న ఉంది. మీరు సమీకరణం యొక్క మూలాన్ని సులభంగా కనుగొనవచ్చు. అతను ఒక్కడే అని నిరూపించండి. సమాధానం: x=1 మాత్రమే రూట్. ఫంక్షనల్ - సమీకరణాలను పరిష్కరించడానికి గ్రాఫికల్ పద్ధతి. ________________________________________________________________________
పాఠం యొక్క లక్ష్యం: ప్రతిక్షేపణ పద్ధతిని ఉపయోగించి సమీకరణాలను పరిష్కరించడం నేర్చుకోండి, మోనోటోనిసిటీ మరియు ఫంక్షన్ల సరిహద్దుల లక్షణాలను ఉపయోగించి. _________________________________________________________________________
రిఫరెన్స్ మెటీరియల్ ఉదాహరణ 1: ఉదాహరణ 2: విధులు తగ్గిపోతున్నాయి రిఫరెన్స్ మెటీరియల్ 2. రెండు పెరుగుతున్న ఫంక్షన్ల మొత్తం పెరుగుతున్న ఫంక్షన్. ఉదాహరణ: 3. రెండు తగ్గుతున్న ఫంక్షన్ల మొత్తం తగ్గుతున్న ఫంక్షన్. బీజగణితం మరియు విశ్లేషణ ప్రారంభం, తరగతి 1011 (A.G. మోర్డ్‌కోవిచ్) తరగతుల సమయంలో: 3 బాగా చేసారు, అందరికీ ఒకే సమాధానాలు వచ్చాయి, హోంవర్క్ గురించి ప్రశ్నలు ఉన్నాయి 0 8 4 a)3x+26x=0 (పరిష్కారాలు లేవు) ఇవనోవా అనస్తాసియా గణితంలో ప్రత్యేక పరీక్ష యొక్క టాస్క్ నంబర్ 15 అనేది అసమానతను సూచించే సంక్లిష్టత యొక్క పెరిగిన స్థాయి యొక్క పని. ఈ అసమానతలను పరిష్కరించేటప్పుడు, విద్యార్థులు ఒక నిర్దిష్ట రకం అసమానతలకు సమానత్వం మరియు ప్రామాణిక మరియు ప్రామాణికం కాని పరిష్కార పద్ధతులను ఉపయోగించగల సామర్థ్యంపై సిద్ధాంతాల జ్ఞానాన్ని ప్రదర్శించాలి. పాఠశాల పాఠ్యపుస్తకాల యొక్క కంటెంట్ యొక్క విశ్లేషణ వాటిలో చాలా వరకు, ఫంక్షన్ల లక్షణాలను ఉపయోగించి అసమానతలను పరిష్కరించే పద్ధతులకు తగిన శ్రద్ధ ఇవ్వబడలేదని చూపిస్తుంది మరియు ఏకీకృత రాష్ట్ర పరీక్ష పనులలో దాదాపు ప్రతి సంవత్సరం అసమానతలు ప్రతిపాదించబడతాయి, వీటి పరిష్కారం సరళీకృతం చేయబడింది. ఫంక్షన్ల లక్షణాలు వర్తింపజేస్తే. ఫెడరల్ ఇన్స్టిట్యూట్ ఆఫ్ పెడగోగికల్ మెజర్మెంట్స్ వెబ్‌సైట్‌లో సమర్పించబడిన గణాంకాల ప్రకారం, 2017లో, పరీక్షలో పాల్గొనేవారిలో సుమారు 15% మంది ఈ పని కోసం సున్నా కాని పాయింట్లను పొందారు; గరిష్ట స్కోరు 11%. యూనిఫైడ్ స్టేట్ ఎగ్జామ్ యొక్క టాస్క్ నంబర్ 15 ను పరిష్కరించడంలో విద్యార్థులు గొప్ప ఇబ్బందులను అనుభవిస్తున్నారని పేర్కొన్న ప్రతిదీ సూచిస్తుంది. లక్ష్యం: అసమానతలను పరిష్కరించడానికి వివిధ మార్గాలను అన్వేషించండి.
: 1. ఈ అంశంపై సైద్ధాంతిక విషయాలను అధ్యయనం చేయండి. 2. ఫెడరల్ ఇన్స్టిట్యూట్ ఆఫ్ పెడగోగికల్ మెజర్మెంట్స్ వెబ్‌సైట్‌లో యూనిఫైడ్ స్టేట్ ఎగ్జామ్ టాస్క్ బ్యాంక్‌లో అందించిన ఉదాహరణలను పరిగణించండి. 3. అసమానతలను పరిష్కరించడానికి ఫంక్షనల్-గ్రాఫికల్ పద్ధతులను అధ్యయనం చేయండి. 4. అసమానతలను పరిష్కరించడానికి వివిధ పద్ధతులను సరిపోల్చండి. 5. అసమానతలను పరిష్కరించే పద్ధతి అత్యంత హేతుబద్ధమైనదో ప్రయోగాత్మకంగా తనిఖీ చేయండి. పరిశోధనా పద్ధతులు:సర్వే, ప్రశ్నించడం, విశ్లేషణ, పోలిక మరియు ఫలితాల సంశ్లేషణ. మా పనిలో, అసమానతలను పరిష్కరించడానికి మేము ఫంక్షనల్-గ్రాఫికల్ పద్ధతులను అధ్యయనం చేసాము. అసమానతలను పరిష్కరించడానికి వివిధ పద్ధతులు పోల్చబడ్డాయి. అసమానతలను పరిష్కరించే పద్ధతి అత్యంత హేతుబద్ధమైనదని మేము ప్రయోగాత్మకంగా తనిఖీ చేసాము. మరియు సమయాన్ని ఆదా చేయడానికి మరియు తార్కిక మరియు గణన లోపాల ప్రమాదాన్ని తగ్గించడానికి విద్యార్థి అసమానతలను పరిష్కరించడానికి అనేక మార్గాలను తెలుసుకోవాలని వారు నిర్ధారణకు వచ్చారు. అసమానతలను పరిష్కరించడానికి వివిధ పద్ధతుల అధ్యయనం ఇవనోవా అనస్తాసియా ఎవ్గెనెవ్నా 11 బి గ్రేడ్ శాస్త్రీయ కథనం (ఉద్యోగ వివరణ) 1. పరిచయం ఔచిత్యం. గణితంలో ప్రత్యేక పరీక్ష యొక్క టాస్క్ నం. 15 అనేది అసమానత (హేతుబద్ధమైన, అహేతుక, ఘాతాంక, లాగరిథమిక్) ప్రాతినిధ్యం వహించే సంక్లిష్టత యొక్క పెరిగిన స్థాయి యొక్క పని. ఈ అసమానతలను పరిష్కరించేటప్పుడు, విద్యార్థులు ఒక నిర్దిష్ట రకం అసమానతలకు సమానత్వం మరియు ప్రామాణిక మరియు ప్రామాణికం కాని పరిష్కార పద్ధతులను ఉపయోగించగల సామర్థ్యంపై సిద్ధాంతాల జ్ఞానాన్ని ప్రదర్శించాలి. ఈ పనికి పూర్తి సరైన పరిష్కారం 2 పాయింట్లు విలువైనది. సమస్యను పరిష్కరించేటప్పుడు, ఏదైనా గణిత పద్ధతులు ఆమోదయోగ్యమైనవి - బీజగణితం, ఫంక్షనల్, గ్రాఫికల్, రేఖాగణితం మొదలైనవి. ఫెడరల్ ఇన్స్టిట్యూట్ ఆఫ్ పెడగోగికల్ మెజర్మెంట్స్ వెబ్‌సైట్‌లో సమర్పించబడిన గణాంకాల ప్రకారం, 2017లో, పరీక్షలో పాల్గొనేవారిలో 15% మంది ఈ పని కోసం సున్నా కాని పాయింట్లను పొందారు; గరిష్ట స్కోరు 11%. సాధారణ లోపాలు అసమానతల యొక్క గణిత సంజ్ఞామానాన్ని అజాగ్రత్తగా చదవడం, సంకలనాలు మరియు లాగరిథమిక్ అసమానతల వ్యవస్థలను పరిష్కరించడానికి అల్గోరిథం యొక్క అపార్థంతో సంబంధం కలిగి ఉంటాయి. పాక్షిక హేతుబద్ధ అసమానతలను పరిష్కరించేటప్పుడు పరీక్షలో పాల్గొనేవారు చాలా తప్పులు చేశారు (హారం మరచిపోయింది). గణితంలో యూనిఫైడ్ స్టేట్ ఎగ్జామ్‌లో మా పాఠశాల విద్యార్థులు టాస్క్ నంబర్ 15ని పూర్తి చేసిన ఫలితాలు టేబుల్ 1లో మరియు రేఖాచిత్రంలో (Fig. 1) ప్రదర్శించబడ్డాయి. టేబుల్ 1 మా పాఠశాల విద్యార్థులచే టాస్క్ నంబర్ 15 ఫలితాలు చిత్రం 1. మా పాఠశాల విద్యార్థులచే టాస్క్ నంబర్ 15 ఫలితాలు 2017-2018 విద్యా సంవత్సరంలో 11a,b గ్రేడ్‌ల ట్రయల్ సిటీ పరీక్షలో టాస్క్ నంబర్ 15 ఫలితాలు. సంవత్సరం టేబుల్ 2 మరియు రేఖాచిత్రంలో (Fig. 2) ప్రదర్శించబడ్డాయి. పట్టిక 2 ట్రయల్ సిటీ పరీక్షలో టాస్క్ నంబర్ 15 ఫలితాలు 2017-2018 విద్యా సంవత్సరంలో. మా పాఠశాల విద్యార్థులచే సంవత్సరం Fig.2. 2017-2018 విద్యా సంవత్సరంలో ట్రయల్ పరీక్షలో టాస్క్ నంబర్ 15 ఫలితాలు. మా పాఠశాల విద్యార్థులచే సంవత్సరం మేము మా పాఠశాలలో గణిత ఉపాధ్యాయుల సర్వే నిర్వహించాము మరియు అసమానతలను పరిష్కరించేటప్పుడు విద్యార్థులు కలిగి ఉన్న ప్రధాన సమస్యలను గుర్తించాము: అసమానతల యొక్క ఆమోదయోగ్యమైన విలువల పరిధిని తప్పుగా నిర్ణయించడం; సంవర్గమాన అసమానత నుండి హేతుబద్ధంగా మారే అన్ని కేసుల పరిశీలన; లాగరిథమిక్ వ్యక్తీకరణలను మార్చడం; విరామం పద్ధతిని ఉపయోగించడంలో లోపాలు మొదలైనవి. విరామ పద్ధతిని ఉపయోగించడం మరియు సహాయక వేరియబుల్ పరిచయంతో అనేక విలక్షణ లోపాలు అనుబంధించబడ్డాయి. ఉదాహరణకు, విరామాలపై సంకేతాలను నిర్ణయించడంలో లోపం లేదా కోఆర్డినేట్ లైన్‌లో సంఖ్యల తప్పు ప్లేస్‌మెంట్, ప్రమాణాల ప్రకారం, గణన లోపాలుగా అర్థం చేసుకోవచ్చు. అల్గారిథమ్ యొక్క దశలను దాటవేయడం లేదా వాటిని తప్పుగా అమలు చేయడం వంటి ఇతర వాటికి 0 పాయింట్లు స్కోర్ చేయబడతాయి. గణితంలో యూనిఫైడ్ స్టేట్ ఎగ్జామ్ యొక్క టాస్క్ నంబర్ 15 ను పరిష్కరించడంలో విద్యార్థులు గొప్ప ఇబ్బందులను అనుభవిస్తున్నారని పేర్కొన్న ప్రతిదీ సూచిస్తుంది. ఈ విషయంలో, మేము ముందుకు తెచ్చాముపరికల్పన : అసమానతలను పరిష్కరించడానికి విద్యార్థికి అనేక మార్గాలు తెలిస్తే, అతను చాలా హేతుబద్ధమైనదాన్ని ఎంచుకోగలడు. అధ్యయనం యొక్క వస్తువు: అసమానతలు. అధ్యయనం యొక్క విషయం: అసమానతలను పరిష్కరించడానికి వివిధ మార్గాలు. లక్ష్యం : అసమానతలను పరిష్కరించడానికి వివిధ మార్గాలను అన్వేషించండి. ఈ లక్ష్యాన్ని సాధించడానికి, కింది పనులు పరిష్కరించబడ్డాయి:
2. ప్రధాన భాగం 2.1 సైద్ధాంతిక భాగం 1. సరళ అసమానతలు సరళ అసమానతలురూపం యొక్క అసమానతలు:గొడ్డలి + బి 0; ax+b≥0; ax+b≤0, ఇక్కడ a మరియు b - ఏదైనా సంఖ్యలు, మరియు a≠0,x - తెలియని వేరియబుల్. అసమానతలను మార్చడానికి నియమాలు: 1.
అసమానత యొక్క ఏదైనా పదం అసమానత యొక్క ఒక భాగం నుండి మరొకదానికి బదిలీ చేయబడుతుంది, చిహ్నాన్ని వ్యతిరేక పదానికి మారుస్తుంది. 2.
ఇచ్చిన దానికి సమానమైన అసమానతను పొందడానికి అసమానత యొక్క రెండు వైపులా ఒకే ధన సంఖ్యతో గుణించవచ్చు/భాగించవచ్చు. 3.
అసమానత యొక్క రెండు వైపులా ఒకే ప్రతికూల సంఖ్యతో గుణించవచ్చు/భాగించబడవచ్చు, అసమానత యొక్క చిహ్నాన్ని తిప్పికొట్టవచ్చు. 2. చతుర్భుజ అసమానతలు రూపం యొక్క అసమానత ఇక్కడ x అనేది వేరియబుల్, a, b, c అనేవి సంఖ్యలు, , స్క్వేర్ అంటారు. చతురస్రాకార అసమానతను పరిష్కరించేటప్పుడు, సంబంధిత మూలాలను కనుగొనడం అవసరంవర్గ సమీకరణం
3. హేతుబద్ధమైన అసమానతలు హేతుబద్ధమైన అసమానతఒక వేరియబుల్‌తో xని f(x) రూపం యొక్క అసమానత అంటారు వ్యక్తీకరణలు, అనగా. సంఖ్యలతో రూపొందించబడిన బీజగణిత వ్యక్తీకరణలు, వేరియబుల్ x మరియు గణిత కార్యకలాపాలను ఉపయోగించడం, అనగా. కూడిక, తీసివేత, గుణకారం, భాగహారం మరియు సహజ శక్తులకు పెంచడం వంటి కార్యకలాపాలు.విరామ పద్ధతిని ఉపయోగించి హేతుబద్ధమైన అసమానతలను పరిష్కరించడానికి అల్గోరిథం(అనెక్స్ 1). 4. ఘాతాంక అసమానతలు ఘాతాంక అసమానత- ఇది అసమానత , దీనిలో తెలియనిది ఘాతాంకంలో ఉంటుంది. సరళమైనదిఘాతాంక అసమానతరూపం కలిగి ఉంది: a x ‹ b లేదా a x › b, ఇక్కడ a> 0, a ≠ 1, x తెలియదు. 5. లాగరిథమిక్ అసమానతలు లాగరిథమిక్ అసమానతతెలియని పరిమాణం గుర్తు కింద ఉన్న అసమానత అని పిలుస్తారుసంవర్గమానం
.
1. అసమానత ఉంటే సమానమైన అసమానతకు తగ్గిస్తుంది. ఉంటే - తర్వాత అసమానతకి.
అదేవిధంగా అసమానతకోసం అసమానతలకు సమానం: ; కోసం : . పొందిన అసమానతలకు పరిష్కారాలు తప్పనిసరిగా ODZతో కలుస్తాయి: 2. రూపం యొక్క లాగరిథమిక్ అసమానతను పరిష్కరించడంకింది వ్యవస్థలను పరిష్కరించడానికి సమానం: ఎ) అసమానత ప్రతి రెండు సందర్భాలలో అది సిస్టమ్‌లలో ఒకదానికి తగ్గించబడుతుంది: ఎ) 6. అహేతుక అసమానతలు అసమానత మూల చిహ్నం క్రింద విధులను కలిగి ఉంటే, అటువంటి అసమానతలు అంటారు అహేతుకమైన.
2.2 ఆచరణాత్మక భాగం అధ్యయనం #1 లక్ష్యం : పరిమిత ఫంక్షన్ పద్ధతిని తెలుసుకోండి. పురోగతి: 1. పరిమిత ఫంక్షన్ల పద్ధతిని అధ్యయనం చేయండి. 2. అసమానతలను పరిష్కరించండిఈ పద్ధతి ద్వారా. ఫంక్షన్ యొక్క సరిహద్దును ఉపయోగించడానికి, మీరు తప్పనిసరిగా ఫంక్షన్ యొక్క విలువల సమితిని కనుగొనగలరు మరియు ప్రామాణిక ఫంక్షన్ల విలువల పరిధి యొక్క అంచనాలను తెలుసుకోవాలి (ఉదాహరణకు,) .
ఉదాహరణ #1 . అసమానతలను పరిష్కరించండి: పరిష్కారం: డొమైన్: ఫలిత సెట్ నుండి అన్ని x కోసం మేము కలిగి ఉన్నాము: అందువలన, అసమానత పరిష్కారం సమాధానం: ఉదాహరణ సంఖ్య 2. అసమానతలను పరిష్కరించండి: పరిష్కారం: ఎందుకంటే ఈ అసమానత సమానమైనది సిస్టమ్ యొక్క మొదటి సమీకరణంలో ఒక రూట్ x = - 0.4 ఉంది, ఇది రెండవ సమీకరణాన్ని కూడా సంతృప్తిపరుస్తుంది. సమాధానం: - 0.4 ముగింపు: అసమానత వంటి విధులను కలిగి ఉంటే ఈ పద్ధతి అత్యంత ప్రభావవంతంగా ఉంటుందిమరియు ఇతరులు, వీటి పరిధులు పైన లేదా క్రింద పరిమితం చేయబడ్డాయి. అధ్యయనం #2 లక్ష్యం : అసమానతల పరిష్కారాన్ని హేతుబద్ధీకరించే పద్ధతిని అధ్యయనం చేయండి. పురోగతి: 1. హేతుబద్ధీకరణ పద్ధతిని అధ్యయనం చేయండి. 2. అసమానతలను పరిష్కరించండిఈ పద్ధతి ద్వారా. హేతుబద్ధీకరణ పద్ధతిలో సంక్లిష్ట వ్యక్తీకరణ F(x)ని సరళమైన వ్యక్తీకరణ G(x)తో భర్తీ చేయడం ఉంటుంది, దీనిలో అసమానత G(x) v 0 అనేది నిర్వచనం యొక్క డొమైన్‌లోని అసమానత F(x) v 0కి సమానం. వ్యక్తీకరణ F(x) (చిహ్నం "v" అసమానత సంకేతాలలో ఒకదానిని భర్తీ చేస్తుంది: ≤, ≥, >, కొన్ని సాధారణ వ్యక్తీకరణలు F మరియు సంబంధిత హేతుబద్ధీకరణ వ్యక్తీకరణలు G (టేబుల్ 1), ఇక్కడ f, g, h, p, q అనేది వేరియబుల్ x (h>0, h≠1,f>0,g>0)తో వ్యక్తీకరణలు. , a -స్థిర సంఖ్య (a>0, a≠1). (అనుబంధం 2). ఉదాహరణ సంఖ్య 1. అసమానతలను పరిష్కరించండి: O.D.Z: సమాధానం: ఉదాహరణ సంఖ్య 2. అసమానతలను పరిష్కరించండి: O.D.Z: నిర్వచనం యొక్క డొమైన్‌ను పరిగణనలోకి తీసుకుంటే, మేము పొందుతాము సమాధానం: ముగింపు : వేరియబుల్ బేస్‌కు లాగరిథమ్‌లతో అసమానతలు చాలా కష్టం. హేతుబద్ధీకరణ పద్ధతి సంక్లిష్ట ఘాతాంకం, సంవర్గమానం మొదలైనవాటిని కలిగి ఉన్న అసమానతల నుండి తరలించడానికి మిమ్మల్ని అనుమతిస్తుంది. వ్యక్తీకరణ, దాని సమానమైన సరళమైన హేతుబద్ధ అసమానతకి. హేతుబద్ధీకరణ పద్ధతి సమయాన్ని ఆదా చేయడమే కాకుండా, తార్కిక మరియు గణన లోపాల ప్రమాదాన్ని కూడా తగ్గిస్తుంది. అధ్యయనం #3 లక్ష్యం : అసమానతలను పరిష్కరించే ప్రక్రియలో, వివిధ పద్ధతులను సరిపోల్చండి. పురోగతి: 1. అసమానతను పరిష్కరించండివివిధ పద్ధతులను ఉపయోగించి. 2. ఫలితాలను సరిపోల్చండి మరియు తీర్మానం చేయండి. ఉదాహరణ సంఖ్య 1. అసమానతను పరిష్కరించండి పరిష్కారం: 1 మార్గం. బీజగణిత పద్ధతి మొదటి వ్యవస్థ యొక్క పరిష్కారం: మేము రెండవ వ్యవస్థ యొక్క రెండవ అసమానతను పరిష్కరిస్తాము: పద్ధతి 2 . ఫంక్షన్ పరిధిని ఉపయోగించడం డొమైన్: ఈ x విలువల కోసం మనం పొందుతాము: అసమానత యొక్క కుడి వైపు దాని నిర్వచనం యొక్క డొమైన్‌పై ప్రతికూలంగా ఉంటుంది. కాబట్టి, అసమానత చెల్లుబాటు అవుతుంది సమాధానం: 3 మార్గం. గ్రాఫికల్ పద్ధతి ముగింపు : బీజగణిత పద్ధతిని ఉపయోగించి అసమానతను పరిష్కరిస్తున్నప్పుడు, నేను ఆరవ డిగ్రీ యొక్క అసమానతకి వచ్చాను, దానిని పరిష్కరించడానికి చాలా సమయం గడిపాను, కానీ దాన్ని పరిష్కరించలేకపోయాను. ఒక హేతుబద్ధమైన పద్ధతి, నా అభిప్రాయం ప్రకారం, ఫంక్షన్ డొమైన్ లేదా గ్రాఫికల్‌గా ఉపయోగించడం. ఉదాహరణ సంఖ్య 2. అసమానతలను పరిష్కరించండి:.
సమాధానం: ముగింపు: నేను హేతుబద్ధీకరణ పద్ధతికి ధన్యవాదాలు మాత్రమే ఈ అసమానతను పరిష్కరించగలిగాను. ముగింపు పాఠశాల పాఠ్యపుస్తకాల యొక్క కంటెంట్ యొక్క విశ్లేషణ వాటిలో చాలా వరకు, ఫంక్షన్ల లక్షణాలను ఉపయోగించి అసమానతలను పరిష్కరించే పద్ధతులకు తగిన శ్రద్ధ ఇవ్వబడలేదని చూపిస్తుంది మరియు ఏకీకృత రాష్ట్ర పరీక్ష పనులలో దాదాపు ప్రతి సంవత్సరం అసమానతలు ప్రతిపాదించబడతాయి, వీటి పరిష్కారం సరళీకృతం చేయబడింది. ఫంక్షన్ల లక్షణాలు వర్తింపజేస్తే. చాలా మంది విద్యార్థులు ప్రామాణిక, అల్గారిథమిక్ పద్ధతులను ఉపయోగించి అసమానతలను పరిష్కరిస్తారు, ఇది కొన్నిసార్లు గజిబిజిగా గణనలకు దారి తీస్తుంది. ఈ విషయంలో, యూనిఫైడ్ స్టేట్ ఎగ్జామ్‌లో టాస్క్ నంబర్ 15 పూర్తి చేసే శాతం తక్కువగా ఉంది. అసమానతలను పరిష్కరించడంలో ఫంక్షన్ల లక్షణాల అప్లికేషన్ యొక్క పరిధి చాలా విస్తృతమైనది. అసమానతలలో చేర్చబడిన ఫంక్షన్ల యొక్క లక్షణాల ఉపయోగం (సరిహద్దు, మోనోటోనిసిటీ, మొదలైనవి) ప్రామాణికం కాని పరిష్కార పద్ధతులను ఉపయోగించడానికి అనుమతిస్తుంది. మా అభిప్రాయం ప్రకారం, అసమానతలను పరిష్కరించేటప్పుడు ఫంక్షన్ల యొక్క అవసరమైన లక్షణాలను ఉపయోగించగల సామర్థ్యం విద్యార్థులు మరింత హేతుబద్ధమైన పరిష్కారాన్ని ఎంచుకోవడానికి అనుమతిస్తుంది. మా పనిలో, అసమానతలను పరిష్కరించడానికి మేము ఫంక్షనల్-గ్రాఫికల్ పద్ధతులను అధ్యయనం చేసాము. అసమానతలను పరిష్కరించడానికి వివిధ పద్ధతులు పోల్చబడ్డాయి. అసమానతలను పరిష్కరించే పద్ధతి అత్యంత హేతుబద్ధమైనదని మేము ప్రయోగాత్మకంగా తనిఖీ చేసాము. మరియు సమయాన్ని ఆదా చేయడానికి మరియు తార్కిక మరియు గణన లోపాల ప్రమాదాన్ని తగ్గించడానికి విద్యార్థి అసమానతలను పరిష్కరించడానికి అనేక మార్గాలను తెలుసుకోవాలని వారు నిర్ధారణకు వచ్చారు. మా పని యొక్క లక్ష్యాలు పూర్తయ్యాయి, లక్ష్యం సాధించబడింది, పరికల్పన నిర్ధారించబడింది. సాహిత్యం: ప్రెజెంటేషన్ ప్రివ్యూలను ఉపయోగించడానికి, Google ఖాతాను సృష్టించండి మరియు దానికి లాగిన్ చేయండి: https://accounts.google.com అసమానతలను పరిష్కరించడానికి వివిధ పద్ధతుల అధ్యయనం ఇవనోవా అనస్తాసియా ఎవ్జెనివ్నా MBOU "వ్యక్తిగత విషయాల యొక్క లోతైన అధ్యయనంతో సెకండరీ స్కూల్ నం. 30" మా పాఠశాల విద్యార్థులచే టాస్క్ నంబర్ 15 ఫలితాలు 2017-2018 విద్యా సంవత్సరంలో ట్రయల్ పరీక్షలో టాస్క్ నంబర్ 15 ఫలితాలు. మా పాఠశాల విద్యార్థులచే సంవత్సరం పరికల్పన: ఒక విద్యార్థికి అసమానతలను పరిష్కరించడానికి అనేక మార్గాలు తెలిస్తే, అతను అత్యంత హేతుబద్ధమైన అధ్యయన వస్తువును ఎంచుకోగలడు: అసమానతలు అధ్యయనం యొక్క విషయం: అసమానతలను పరిష్కరించడానికి వివిధ మార్గాలు లక్ష్యం: అసమానతలను పరిష్కరించడానికి వివిధ మార్గాలను అన్వేషించండి. ఈ లక్ష్యాన్ని సాధించడానికి, కింది పనులు పరిష్కరించబడ్డాయి: ఈ అంశంపై సైద్ధాంతిక విషయాలను అధ్యయనం చేయండి. ఫెడరల్ ఇన్స్టిట్యూట్ ఆఫ్ పెడగోగికల్ మెజర్మెంట్స్ వెబ్‌సైట్‌లోని యూనిఫైడ్ స్టేట్ ఎగ్జామ్ టాస్క్ బ్యాంక్‌లో అందించిన ఉదాహరణలను పరిగణించండి. అసమానతలను పరిష్కరించడానికి ఫంక్షనల్-గ్రాఫికల్ పద్ధతులను అధ్యయనం చేయండి. అసమానతలను పరిష్కరించడానికి వివిధ పద్ధతులను సరిపోల్చండి. అసమానతలను పరిష్కరించే పద్ధతి అత్యంత హేతుబద్ధమైనదో ప్రయోగాత్మకంగా తనిఖీ చేయండి. అధ్యయనం సంఖ్య 1 ప్రయోజనం: పరిమిత ఫంక్షన్ పద్ధతిని అధ్యయనం చేయడానికి. పురోగతి: 1. పరిమిత ఫంక్షన్ల పద్ధతిని అధ్యయనం చేయండి. 2. ఈ పద్ధతిని ఉపయోగించి అసమానతలను పరిష్కరించండి. ఉదాహరణ సంఖ్య 1. అసమానతను పరిష్కరించండి: పరిష్కారం: డొమైన్: ఫలిత సెట్ నుండి అన్ని x కోసం మేము కలిగి ఉన్నాము: కాబట్టి, అసమానతకు పరిష్కారం సమాధానం: ఉదాహరణ సంఖ్య 2. అసమానతను పరిష్కరించండి: పరిష్కారం: ఎందుకంటే ఈ అసమానత సమానం.సిస్టమ్ యొక్క మొదటి సమీకరణం ఒక రూట్ x = - 0.4ని కలిగి ఉంటుంది, ఇది రెండవ సమీకరణాన్ని కూడా సంతృప్తిపరుస్తుంది. సమాధానం: - 0.4 తీర్మానం: అసమానత ఇతర ఫంక్షన్లను కలిగి ఉంటే, ఈ పద్ధతి చాలా ప్రభావవంతంగా ఉంటుంది, దీని విలువల శ్రేణులు పైన లేదా క్రింద పరిమితం చేయబడతాయి. అధ్యయనం సంఖ్య 2 ప్రయోజనం: అసమానతల పరిష్కారాన్ని హేతుబద్ధీకరించడానికి ఒక పద్ధతిని అధ్యయనం చేయడం. పురోగతి: 1. హేతుబద్ధీకరణ పద్ధతిని అధ్యయనం చేయండి. 2. ఈ పద్ధతిని ఉపయోగించి అసమానతలను పరిష్కరించండి. ఉదాహరణ సంఖ్య. 1. అసమానతను పరిష్కరించండి: O.D.Z: నిర్వచనం యొక్క డొమైన్‌ను పరిగణనలోకి తీసుకుంటే, మేము సమాధానం పొందుతాము: ఉదాహరణ సంఖ్య 2. అసమానతను పరిష్కరించండి: O.D.Z: నిర్వచనం యొక్క డొమైన్‌ను పరిగణనలోకి తీసుకుంటే, మేము సమాధానం పొందుతాము: ముగింపు: వేరియబుల్ బేస్‌కు లాగరిథమ్‌లతో అసమానతలు గొప్ప కష్టాన్ని కలిగిస్తాయి. హేతుబద్ధీకరణ పద్ధతి సంక్లిష్ట ఘాతాంకం, సంవర్గమానం మొదలైనవాటిని కలిగి ఉన్న అసమానతల నుండి తరలించడానికి మిమ్మల్ని అనుమతిస్తుంది. వ్యక్తీకరణ, దాని సమానమైన సరళమైన హేతుబద్ధ అసమానతకి. హేతుబద్ధీకరణ పద్ధతి సమయాన్ని ఆదా చేయడమే కాకుండా, తార్కిక మరియు గణన లోపాల ప్రమాదాన్ని కూడా తగ్గిస్తుంది. అధ్యయనం సంఖ్య 3 పర్పస్: అసమానతలను పరిష్కరించే ప్రక్రియలో, వివిధ పద్ధతులను సరిపోల్చండి. పురోగతి: 1. వివిధ పద్ధతులను ఉపయోగించి అసమానతను పరిష్కరించండి. 2. ఫలితాలను సరిపోల్చండి మరియు తీర్మానం చేయండి. ఉదాహరణ సంఖ్య 1. అసమానత 1 మార్గం పరిష్కరించండి. బీజగణిత పద్ధతి మొదటి వ్యవస్థను పరిష్కరించడం: రెండవ వ్యవస్థ యొక్క రెండవ అసమానతను పరిష్కరించడం: 2వ పద్ధతి. ఒక ఫంక్షన్ డొమైన్ డెఫినిషన్ ఆఫ్ డెఫినిషన్‌ను ఉపయోగించడం: x యొక్క ఈ విలువల కోసం మనం పొందుతాము: అసమానత యొక్క కుడి వైపు దాని నిర్వచనం యొక్క డొమైన్‌పై ప్రతికూలంగా ఉంటుంది. కాబట్టి, అసమానత చెల్లుబాటు అవుతుంది 3 మార్గం. గ్రాఫికల్ పద్ధతి ముగింపు: బీజగణిత పద్ధతిని ఉపయోగించి అసమానతను పరిష్కరించడం, నేను ఆరవ డిగ్రీ యొక్క అసమానతకు వచ్చాను, దానిని పరిష్కరించడానికి చాలా సమయం గడిపాను, కానీ దాన్ని పరిష్కరించలేకపోయాను. ఒక హేతుబద్ధమైన పద్ధతి, నా అభిప్రాయం ప్రకారం, ఫంక్షన్ డొమైన్ లేదా గ్రాఫికల్‌గా ఉపయోగించడం. ఉదాహరణ సంఖ్య 2. అసమానతను పరిష్కరించండి: సమాధానం: ముగింపు: నేను ఈ అసమానతను హేతుబద్ధీకరణ పద్ధతికి ధన్యవాదాలు మాత్రమే పరిష్కరించగలిగాను. అసమానతలను పరిష్కరించడంలో ఫంక్షన్ల లక్షణాల అప్లికేషన్ యొక్క పరిధి చాలా విస్తృతమైనది. అసమానతలలో చేర్చబడిన ఫంక్షన్ల యొక్క లక్షణాల ఉపయోగం (సరిహద్దు, మోనోటోనిసిటీ, మొదలైనవి) ప్రామాణికం కాని పరిష్కార పద్ధతులను ఉపయోగించడానికి అనుమతిస్తుంది. మా అభిప్రాయం ప్రకారం, అసమానతలను పరిష్కరించేటప్పుడు ఫంక్షన్ల యొక్క అవసరమైన లక్షణాలను ఉపయోగించగల సామర్థ్యం విద్యార్థులు మరింత హేతుబద్ధమైన పరిష్కారాన్ని ఎంచుకోవడానికి అనుమతిస్తుంది. మా పనిలో, అసమానతలను పరిష్కరించడానికి మేము ఫంక్షనల్-గ్రాఫికల్ పద్ధతులను అధ్యయనం చేసాము. అసమానతలను పరిష్కరించడానికి వివిధ పద్ధతులు పోల్చబడ్డాయి. అసమానతలను పరిష్కరించే పద్ధతి అత్యంత హేతుబద్ధమైనదని మేము ప్రయోగాత్మకంగా తనిఖీ చేసాము. మరియు సమయాన్ని ఆదా చేయడానికి మరియు తార్కిక మరియు గణన లోపాల ప్రమాదాన్ని తగ్గించడానికి విద్యార్థి అసమానతలను పరిష్కరించడానికి అనేక మార్గాలను తెలుసుకోవాలని వారు నిర్ధారణకు వచ్చారు. మా పని యొక్క లక్ష్యాలు పూర్తయ్యాయి, లక్ష్యం సాధించబడింది, పరికల్పన నిర్ధారించబడింది. మీరు ఆసక్తి చూపినందుకు ధన్యవాదములు! అసమానత f(x)ని పరిష్కరించడానికి ఫంక్షనల్-గ్రాఫికల్ పద్ధతి< g(x). 1. Подбором найдем корень уравнения f(x)=g(x), используя свойства монотонных функций; 2. Построим схематически графики обеих функций, проходящие через точку с найденной абсциссой; 3. Выберем решение неравенства, соответствующее знаку неравенства; 4. Запишем ответ. : "మూడవ డిగ్రీ యొక్క సమీకరణాలు" - (1). టార్టాగ్లియా నిరాకరించింది. ఫిబ్రవరి 12 న, కార్డానో తన అభ్యర్థనను పునరావృతం చేస్తాడు. "గొప్ప కళ" X3 + px + q = 0. ఉదాహరణ: x3 – 5 x2 + 8 x – 4 = 0 x3 – 2 x2 –3 x2 + 8x – 4 = 0 x2 (x – 2) – (3 x2 – 8x + 4) = 0 3 x2 – 8x + 4 = 0 x = 2 x = 2/3 x2 (x – 2) – (3 (x –2) (x – 2/3)) = 0 x2 (x – 2) – (( x – 2) (3x – 2)) = 0 (x – 2)(x2 – 3x + 2) = 0 x – 2 = 0 x2 – 3x + 2 = 0 x = 2 x = 2 x = 1 సమాధానం: x = 2; x = 1. మా ఫార్ములా ఇస్తుంది: మున్సిపల్ విద్యా సంస్థ "సెకండరీ స్కూల్ నం. 24". X3 + గొడ్డలి = b (1). ఇక్కడ p = 6 మరియు q = -2. మొదటి ఉదాహరణ: “నిర్దిష్ట సమగ్రత యొక్క అప్లికేషన్” - Ch. 4. "డెఫినిట్ ఇంటెగ్రల్" అనే అంశంపై ఎలక్టివ్ అభివృద్ధి. ఖచ్చితమైన సమగ్ర. §4. ఖచ్చితమైన సమగ్రత యొక్క లక్షణాలు. చ. 2. పాఠశాల పిల్లలకు పాఠ్యపుస్తకాలలో సమగ్ర సిద్ధాంతానికి వివిధ విధానాలు. §1. భ్రమణ శరీరం యొక్క వాల్యూమ్. §6. పరిచయం. డార్బౌక్స్ మొత్తాలు. §3. మెకానికల్ పని. లక్ష్యం: సమగ్ర సిద్ధాంత నిర్మాణానికి సంబంధించిన విధానాలు: పరిచయ వ్యాఖ్యలు. §2. ఇంటిగ్రేషన్ పద్ధతులు. §3. ముగింపు. అధ్యాయం 3. ఖచ్చితమైన సమగ్రత యొక్క అప్లికేషన్. §1. “ఘాతాంక సమీకరణాలు మరియు అసమానతలు” - 2) అసమానత f(x)కి సమానం< g(x), 0<а<1. "Что значит решить задачу? Обоснование: 12). Сравните основание а с единицей: Если 0
=> x=π, k=0 వద్ద1.3 ఫంక్షనల్ ప్రత్యామ్నాయ పద్ధతి
రూపం యొక్క త్రికోణమితి సమీకరణం
(1)
అంటే, ODZ రెండు సంఖ్యలను కలిగి ఉంటుంది మరియు . అసమానత (2)కి ప్రత్యామ్నాయంగా, దాని ఎడమ వైపు 0కి సమానం, కుడి వైపు https://pandia.ru/text/78/500/images/image070_1.gif" width="53" ఎత్తుకు సమానం = "23">. gif" వెడల్పు = "117 ఎత్తు = 41" ఎత్తు = "41">.
(3)
(6)
. (7)
(8)
(9)
సానుకూల విలువలను తీసుకుంటుంది, ఫంక్షన్ https://pandia.ru/text/78/500/images/image105_1.gif" width="99" height="25 src="> సానుకూలం కాదు. కాబట్టి, ఈ విరామంలో, సమీకరణం (9)కు పరిష్కారాలు లేవు.
(11)
f(x) ద్వారా. సంపూర్ణ విలువ యొక్క నిర్వచనం నుండి అది f(x)= వద్ద , https://pandia.ru/text/78/500/images/image120_1.gif" width="84" height="41 src=">ని అనుసరిస్తుంది. gif" width="43" height="41 src=">. కాబట్టి, ఉంటే , అప్పుడు సమీకరణం (11) రూపంలో తిరిగి వ్రాయబడుతుంది, అంటే ..gif" width="53" height="41"> రూపంలో మాత్రమే సంతృప్తి చెందుతుంది 
. అయితే , అప్పుడు సమీకరణం (11)ని https://pandia.ru/text/78/500/images/image128_0.gif" width="73 height=41" height="41">గా తిరిగి వ్రాయవచ్చు. ఈ సమీకరణం పరిష్కారాలను కలిగి ఉంటుంది 
. ఈ x విలువలలో, మాత్రమే 
.
, ఫంక్షన్ సానుకూల విలువలను మాత్రమే తీసుకుంటుంది, కాబట్టి సమీకరణం (12)కి సెట్‌లో పరిష్కారాలు లేవు 
.
(14)
, అవి మరియు అవి మాత్రమే సమీకరణానికి పరిష్కారాలు (13).
(18)
. x>0 ఫంక్షన్ కోసం 
నిరంతరంగా మరియు ఖచ్చితంగా పెరుగుతున్న, రెండు నిరంతర సానుకూల ఖచ్చితంగా పెరుగుతున్న ఫంక్షన్ల ఉత్పత్తి f=x మరియు https://pandia.ru/text/78/500/images/image157_0.gif" width="119" height="34" > దాని ప్రతి విలువను ఖచ్చితంగా ఒక పాయింట్ వద్ద తీసుకుంటుంది. x=1 అనేది సమీకరణానికి (18) ఒక పరిష్కారం అని చూడటం సులభం, కాబట్టి, ఇది దాని ఏకైక పరిష్కారం.
. (19)
. x=0 ఫంక్షన్‌ని చూడటం సులభం విలువను తీసుకుంటుంది 3. ఈ ఫంక్షన్ యొక్క కొనసాగింపు మరియు కఠినమైన మోనోటోనిసిటీ కారణంగా x>0 కోసం మేము కలిగి ఉన్నాము 
, x వద్ద<0 имеем . పర్యవసానంగా, అసమానతకు పరిష్కారాలు (19) అన్నీ x<0.
(20)
మరియు 
నిరంతరంగా మరియు ఖచ్చితంగా తగ్గుతూ ఉంటాయి, కాబట్టి, ఫంక్షన్ నిరంతరంగా మరియు తగ్గుతూ ఉంటుంది. కాబట్టి, ఫంక్షన్ h(x) ప్రతి విలువను ఒక పాయింట్ వద్ద మాత్రమే తీసుకుంటుంది. h(2)=2 కాబట్టి, అసలు సమీకరణానికి x=2 మాత్రమే మూలం.
. పర్యవసానంగా, అసమానతకు పరిష్కారాలు (26) విరామం [-1;1] నుండి అన్ని x ఉంటుంది.
. (27)
మూర్తి 8లో ప్రదర్శించబడ్డాయి. y=2 సరళ రేఖను గీయండి. f(x) ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్ ఈ పంక్తి కంటే తక్కువగా ఉండదు మరియు g(x) ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్ ఎక్కువగా ఉండదు అని ఫిగర్ నుండి ఇది అనుసరిస్తుంది. అంతేకాకుండా, ఈ గ్రాఫ్‌లు వేర్వేరు పాయింట్ల వద్ద y=2 సరళ రేఖను తాకుతాయి. కాబట్టి, సమీకరణానికి పరిష్కారాలు లేవు. నిరూపిద్దాం. మన దగ్గర ఉన్న ప్రతిదానికి , ఎ . ఈ సందర్భంలో, f(x)=2 x=-1కి మాత్రమే, మరియు g(x)=2 x=0కి మాత్రమే. అంటే సమీకరణం (27)కి పరిష్కారాలు లేవు.
. (28)
.
(29)
, (30)
. (31)
మరియు మూర్తి 10..gif" width="56" height="45"> మరియు .
,
.
,
,
, అంటే, అసమానత (31) సెట్‌లో పరిష్కారాలు లేవు;డౌన్‌లోడ్:
ప్రివ్యూ:
ఫంక్షనల్ గ్రాఫిక్ సొల్యూషన్ పద్ధతిపై పాఠాన్ని అభివృద్ధి చేయండి
సమీకరణాలు.
పాఠం అంశం: సమీకరణాలను పరిష్కరించడానికి ఫంక్షనల్ గ్రాఫిక్ పద్ధతి.
పాఠం రకం: నైపుణ్యాలు మరియు సామర్థ్యాల జ్ఞానాన్ని మెరుగుపరచుకోవడంపై పాఠం.
పాఠ్య లక్ష్యాలు:
విద్యా: జ్ఞానాన్ని మరియు నైపుణ్యాలను క్రమబద్ధీకరించండి, సాధారణీకరించండి, విస్తరించండి
ఫంక్షనల్ గ్రాఫిక్ పద్ధతి యొక్క ఉపయోగానికి సంబంధించిన విద్యార్థులు
సమీకరణాలను పరిష్కరించడం. సమీకరణాలను క్రియాత్మకంగా పరిష్కరించడంలో నైపుణ్యాలను అభ్యసించండి
గ్రాఫికల్ పద్ధతి.
అభివృద్ధి: జ్ఞాపకశక్తి అభివృద్ధి, తార్కిక ఆలోచన, నైపుణ్యాలు
విశ్లేషించండి, సరిపోల్చండి, సాధారణీకరించండి, స్వతంత్రంగా తీర్మానాలు చేయండి;
సమర్థ గణిత ప్రసంగం అభివృద్ధి.
విద్యా: ప్రదర్శన చేసేటప్పుడు ఖచ్చితత్వం మరియు ఖచ్చితత్వాన్ని పెంపొందించడం
పనులు, స్వాతంత్ర్యం మరియు స్వీయ నియంత్రణ; సంస్కృతి ఏర్పడటం
విద్యా పని; అభిజ్ఞా ఆసక్తిని అభివృద్ధి చేయడం కొనసాగించండి
విషయం.
పాఠం నిర్మాణం:
I.
AZ
1. సంస్థాగత క్షణం.
4. పాఠం యొక్క తదుపరి దశ కోసం లక్ష్యాలు మరియు లక్ష్యాలను నిర్దేశించడం.
II.
సరదాగా
1. సామూహిక సమస్య పరిష్కారం.
2. హోంవర్క్ సెట్ చేయడం.
3. స్వతంత్ర పని.
4. పాఠాన్ని సంగ్రహించడం.
I.AZ
1. సంస్థాగత క్షణం.
2. ఇంటి పనిని తనిఖీ చేయడానికి నోటి పని.
మీ హోమ్‌వర్క్‌ని తనిఖీ చేయడం ద్వారా పాఠాన్ని ప్రారంభిద్దాం.
గొలుసులోని సమాధానాలకు పేరు పెట్టండి.
1358.a)4x=1/16
4x=42
బి)(1/6)x=36
6x=62
x=2 x=2
1364.a)(1/5)x*3x= √ 27
5
¿
3
5
¿
)x=
125 బి) 5x*2x=0.13
)3/2 10x=103
x=3
x=1.5
1366.a)22x6*2x+8=0
2x=a
a=2, a=4
2x=2, 2x=4
x=1, x=2
1367. బి)2*4x5*2x+2=0
2x=a
2a25a+2=0
a=2, a=1/2
2x=2, 2x=1/2
x=1, x=1
1371.a)5x=x+6 y=5x y=x+6
వై
6
5
0
1
x
x=1
పని? మీరంతా నిర్వహించారా?
3. అంశంపై AZ ప్రయోజనం కోసం ఫ్రంటల్ సర్వే.
మీ హోంవర్క్‌లో మీరు పరిష్కరించిన సమీకరణాల పేర్లు ఏమిటి?
సూచిక.
ఏ సమీకరణాలను ఎక్స్‌పోనెన్షియల్ అంటారు?
ఘాతాంక సమీకరణాలు af(x)=ag(x) రూపం యొక్క సమీకరణాలు, ఇక్కడ a
1 కాకుండా ఇతర సానుకూల సంఖ్య, మరియు దీనికి తగ్గించే సమీకరణాలు
మనసు.
ఏ సమీకరణం af(x)=ag(x) సమీకరణానికి సమానం?
సమీకరణం af(x)=ag(x) (ఇక్కడ a>0,a ≠1) అనేది f(x)=g(x) సమీకరణానికి సమానం
ఘాతాంక సమీకరణాలను పరిష్కరించడానికి మీరు ఏ ప్రాథమిక పద్ధతులను ఉపయోగించారు?
1) సూచికలను సమం చేసే పద్ధతి
2) కొత్త వేరియబుల్‌ని పరిచయం చేసే విధానం
3) ఫంక్షనల్ గ్రాఫిక్ పద్ధతి
4. పాఠం యొక్క తదుపరి దశ కోసం లక్ష్యాలు మరియు లక్ష్యాలను నిర్దేశించడం.
ఈ రోజు మనం ఉపయోగించి సమీకరణాలను పరిష్కరించడంలో నిశితంగా పరిశీలిస్తాము
ఫంక్షనల్ - గ్రాఫిక్ పద్ధతి.
పాఠం ముగియడానికి 10 నిమిషాల ముందు మీరు ఒక చిన్న స్వతంత్ర పనిని వ్రాస్తారు.
II.FUN
1.సామూహిక సమస్య పరిష్కారం.
సమీకరణాలను పరిష్కరించడానికి ఫంక్షనల్ గ్రాఫికల్ పద్ధతి యొక్క సారాంశం ఏమిటి? ఏమిటి
సమీకరణాన్ని ఈ విధంగా పరిష్కరించాలా?
క్రియాత్మకంగా f(x)=g(x) రూపం యొక్క సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడానికి
మీకు అవసరమైన పద్ధతి:
ఒకే కోఆర్డినేట్ సిస్టమ్‌లో y=f(x) మరియు y=g(x) ఫంక్షన్ల గ్రాఫ్‌లను రూపొందించండి.
ఈ ఫంక్షన్ల గ్రాఫ్‌ల ఖండన పాయింట్ యొక్క కోఆర్డినేట్‌లను నిర్ణయించండి.
సమాధానం రాయండి.
№1a)3x=x+4
ఫంక్షనల్ మరియు గ్రాఫిక్.
ఫంక్షన్లను పరిచయం చేద్దాం.
y=3x y=x+4
పట్టిక.
మేము షెడ్యూల్‌ను ఎలా నిర్మించాలి?
పాయింట్ బై పాయింట్, ఫంక్షన్‌లో xని ప్రత్యామ్నాయం చేయండి మరియు yని కనుగొనండి.
వై
4
3
1
x
రెండు ఫలిత గ్రాఫ్‌ల ఖండన బిందువును కనుగొనండి.
మనకు ఎన్ని ఖండన పాయింట్లు ఉన్నాయి, చిత్రాన్ని చూడండి?
ఒక విషయం.
దాని అర్థం ఏమిటి? ఈ సమీకరణానికి ఎన్ని మూలాలు ఉన్నాయి?
ఒక మూలం 1కి సమానం.
సమాధానం: x=1
బి)3x/2=0.5x+4
సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడానికి మనం ఏ పద్ధతిని ఉపయోగిస్తాము?
ఫంక్షనల్ మరియు గ్రాఫిక్.
సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడంలో మొదటి దశ ఏమిటి?
ఫంక్షన్లను పరిచయం చేద్దాం.
మేము ఏ విధులను పొందవచ్చు?
y=3x/2 y=0.5x+4
వై
4
3
0
2 x
సమీకరణం యొక్క మూలాన్ని ఎలా కనుగొనాలి?
సమాధానం: x=2
№2 ఎ)2x+1=x3
సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడానికి మనం ఏ పద్ధతిని ఉపయోగిస్తాము?
ఫంక్షనల్ మరియు గ్రాఫిక్.
సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడంలో మొదటి దశ ఏమిటి?
ఫంక్షన్లను పరిచయం చేద్దాం.
మేము ఏ విధులను పొందవచ్చు?
y=2x+1 y= x3
0
2 x
సమీకరణం యొక్క మూలాన్ని ఎలా కనుగొనాలి?
రెండు ఫలిత గ్రాఫ్‌ల ఖండన బిందువును కనుగొనండి, రూట్ 2.
సమాధానం: x=2
బి)2x=(x2/2)+2
సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడానికి మనం ఏ పద్ధతిని ఉపయోగిస్తాము?
ఫంక్షనల్ మరియు గ్రాఫిక్.
సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడంలో మొదటి దశ ఏమిటి?
ఫంక్షన్లను పరిచయం చేద్దాం.
మేము ఏ విధులను పొందవచ్చు?
y=2x y= (x2/2)+2
విద్యార్థి చేయగలిగితే, వెంటనే గ్రాఫ్‌ను రూపొందించండి; లేకపోతే, ముందుగా గ్రాఫ్‌ను రూపొందించండి.
పట్టిక.
వై
0
2 x
సమీకరణం యొక్క మూలాన్ని ఎలా కనుగొనాలి?
రెండు ఫలిత గ్రాఫ్‌ల ఖండన బిందువును కనుగొనండి, రూట్ 2.
సమాధానం: x=2
2.మీ డైరీలను తెరిచి, మీ హోంవర్క్ రాయండి.
నం. 1372,1370,1371(c,d)
3. స్వతంత్ర పని.
బి)5x/5+x1=0 (x=0)
మరియు ఇప్పుడు కొద్దిగా స్వతంత్ర పని. మీరు ఎలా నేర్చుకున్నారో చూద్దాం
మెటీరియల్, ఫంక్షనల్ గ్రాఫిక్ పద్ధతి యొక్క సారాంశాన్ని మీరందరూ అర్థం చేసుకున్నారా
సమీకరణాలను పరిష్కరించడం.
సంఖ్య 1 ఫంక్షనల్ గ్రాఫికల్ పద్ధతిని ఉపయోగించి సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి:
1 ఎంపిక
ఎంపిక 2
a)5x/5=x2 (పరిష్కారాలు లేవు)
బి)3x+23=0 (x=1)
సంఖ్య 2 సమీకరణానికి ఎన్ని మూలాలు ఉన్నాయి మరియు అవి ఏ వ్యవధిలో ఉన్నాయి?
1 ఎంపిక
ఎ) 3x=x22 (పరిష్కారాలు లేవు) ఎ) 3x=x2+2 ((1.5;1) రెండు మూలాలు)
బి)3x/2=6x ((3;3.5) రెండు మూలాలు) బి)2x+x25=0 (2.5;1.5) రెండు మూలాలు)
4. పాఠాన్ని సంగ్రహించడం.
ఈరోజు క్లాసులో ఏం చేశాం? ఏ రకమైన పనులు పరిష్కరించబడ్డాయి?
ఘాతాంక సమీకరణాలను పరిష్కరించే ఏ పద్ధతిలో మీరు ఈరోజు ప్రావీణ్యం సంపాదించారు?
ఫంక్షనల్-గ్రాఫిక్ సొల్యూషన్ పద్ధతి యొక్క సారాంశం ఏమిటో మరోసారి పునరావృతం చేద్దాం
సమీకరణాలు?
ఈ పద్ధతిని ఉపయోగించి సమీకరణాలు ఎలా పరిష్కరించబడతాయో దశలవారీగా వివరించండి?
ప్రశ్నలు ఉన్నాయా? అందరికీ ప్రతిదీ స్పష్టంగా ఉందా?
పాఠం ముగిసింది, మీరు స్వేచ్ఛగా ఉండవచ్చు.
ఎంపిక 2డౌన్‌లోడ్:
ప్రివ్యూ:
మున్సిపల్ బడ్జెట్ విద్యా సంస్థ
"వ్యక్తిగత విషయాలపై లోతైన అధ్యయనంతో సెకండరీ స్కూల్ నం. 30"
. దీన్ని చేయడానికి మీరు కనుగొనవలసి ఉంటుందివివక్షత
ఈ క్వాడ్రాటిక్ సమీకరణం. మీరు 3 కేసులను పొందవచ్చు: 1) D=0 , ఒక వర్గ సమీకరణం ఒక మూలాన్ని కలిగి ఉంటుంది; 2) D>0 ఒక వర్గ సమీకరణం రెండు మూలాలను కలిగి ఉంటుంది; 3)డి ఒక వర్గ సమీకరణానికి మూలాలు లేవు. పొందిన మూలాలు మరియు గుణకం యొక్క చిహ్నంపై ఆధారపడి ఉంటుంది a సాధ్యమయ్యే ఆరు స్థానాల్లో ఒకటిఫంక్షన్ గ్రాఫిక్స్
(అనెక్స్ 1).
బి) 
బి) 
.
ప్రివ్యూ:
స్లయిడ్ శీర్షికలు:
ఆల్జీబ్రా 11వ తరగతి
ఇతర ప్రదర్శనల సారాంశం