పదార్థం యొక్క ఫ్రాక్టల్ నిర్మాణం. ఫ్రాక్టాలిటీ మరియు ఫ్రాక్టాలిటీ ప్రమాణాలు

) — (లాట్ నుండి. ఫ్రాక్టస్- భిన్నమైన, విరిగిన) నిర్మాణం స్వీయ-సారూప్యత యొక్క ఆస్తిని కలిగి ఉంటుంది, అనగా, ఇది స్కేల్ మారినప్పుడు నిర్మాణాత్మక మూలాంశం పునరావృతమయ్యే శకలాలు కలిగి ఉంటుంది.

వివరణ

ఫ్రాక్టల్ స్ట్రక్చర్ అనేది పూర్ణాంకం విలువ కానటువంటి నిర్మాణం (డైమెన్షన్)తో ఖాళీని నింపే స్థాయి ద్వారా వర్గీకరించబడుతుంది. కాబట్టి, n-డైమెన్షనల్ ఫ్రాక్టల్స్ మధ్య మధ్యస్థ స్థానాన్ని ఆక్రమిస్తాయి n-డైమెన్షనల్ మరియు ( n+ 1)-డైమెన్షనల్ వస్తువులు. సాధారణ ఫ్రాక్టల్ వస్తువులను నిర్మించడానికి, పునరావృత విధులు ఉపయోగించబడతాయి.

సహజ ఫ్రాక్టల్ లాంటి నిర్మాణాలలో, సాధారణ ఫ్రాక్టల్‌ల వలె కాకుండా, పాక్షిక పరిమాణం ఉండదు మరియు స్వీయ-సారూప్యత ఒక నిర్దిష్ట స్థాయి వరకు మాత్రమే గమనించబడుతుంది. ఫ్రాక్టల్‌లను పోలి ఉండే నిర్మాణాన్ని కలిగిన వస్తువుల సహజ ఉదాహరణలు క్యుములస్ మేఘాలు, చెట్ల కిరీటాలు మరియు మెరుపులు. ఉదాహరణకు, చెట్టు యొక్క కిరీటం వద్ద, ప్రతి పెద్ద శాఖలు కనీసం రెండు చిన్న శాఖలుగా విభజించబడతాయి, ఆ తర్వాత విభజన మళ్లీ మళ్లీ పునరావృతమవుతుంది (ఫిగర్ చూడండి). ఫలితంగా, ప్రతి శాఖలు ఫ్రాక్టల్ నిర్మాణం యొక్క ప్రత్యేక పునరావృత మూలాంశంగా పరిగణించబడతాయి.

కొన్ని నానోసిస్టమ్‌ల జ్యామితి, ఉదాహరణకు, అణువులు మరియు ఫ్రాక్టల్‌లు, రికర్సివ్ ఫంక్షన్‌లను ఉపయోగించి మంచి ఖచ్చితత్వంతో వివరించబడ్డాయి, ఇది వాటి సూక్ష్మ మరియు స్థూల లక్షణాలను అనుకరించడం సాధ్యం చేస్తుంది.

దృష్టాంతాలు

రచయితలు

• ష్లియాఖ్టిన్ ఒలేగ్ అలెగ్జాండ్రోవిచ్
• స్ట్రెలెట్స్కీ అలెక్సీ వ్లాదిమిరోవిచ్

మూలాలు

1. ఫెడర్ E. ఫ్రాక్టల్స్. - M.: మీర్, 1991. - 254 p.
2. ట్రెటియాకోవ్ యు. డి. డెండ్రైట్స్, ఫ్రాక్టల్స్ అండ్ మెటీరియల్స్ // సోరోస్ ఎడ్యుకేషనల్ జర్నల్. 1998. నం. 11. పేజీలు 96–102.
3. పీట్జెన్ H.-O., రిక్టర్ P. H. ది బ్యూటీ ఆఫ్ ఫ్రాక్టల్స్. - M.: మీర్, 1993. - 176 p.

ఇటీవలి సంవత్సరాలలో, ఉపరితలాల ఫ్రాక్టల్ నిర్మాణంపై అనేక అధ్యయనాలు ప్రచురించబడ్డాయి. ప్రోటీన్ల పరమాణు ఉపరితలాల నుండి ఎయిర్‌ఫీల్డ్‌ల రన్‌వేల వరకు ప్రతిదీ ఫ్రాక్టల్‌గా ప్రకటించబడింది. ఈ అధ్యయనాలు కెమిస్ట్రీ మరియు ఫిజిక్స్ నుండి పూర్తి స్థాయి పద్ధతులను వర్తింపజేస్తాయి. సాధారణంగా చెప్పాలంటే, గమనించిన ఫ్రాక్టల్ ప్రవర్తన ప్రాదేశిక ప్రమాణాల విస్తృత (మాగ్నిట్యూడ్ యొక్క అనేక ఆర్డర్‌లు) పరిధిని కవర్ చేయదు మరియు ఫ్రాక్టల్ పరిమాణం యొక్క కనుగొనబడిన అంచనాల విశ్వసనీయతను అనుమానించవచ్చు. అయినప్పటికీ, చాలా ఆసక్తికరమైన పరిశీలనలు విశ్లేషించబడ్డాయి మరియు ఇక్కడ మేము కొన్ని కొత్త ఫలితాలను చర్చిస్తాము.

14.1 గమనించిన ఉపరితల స్థలాకృతి

సేల్స్ మరియు థామస్ సూపర్ ట్యాంకర్లు మరియు కాంక్రీట్ రన్‌వేల పొట్టు నుండి ఉమ్మడి ఉపరితలాలు మరియు గ్రౌండ్ మెటల్ ఉపరితలాల వరకు వస్తువుల ఉపరితల కరుకుదనాన్ని కొలుస్తారు మరియు విశ్లేషించారు.

ఉపరితలం యొక్క ఎత్తు ఒక నిర్దిష్ట దిశలో వివిధ పాయింట్ల వద్ద కొలుస్తారు. అందుబాటులో ఉన్న మొత్తం ఉపరితల వైశాల్యంలో పెద్ద సంఖ్యలో కొలతలు కలిగి ఉండటం వలన, వ్యాప్తి ద్వారా నిర్ణయించబడిన ఉపరితల కరుకుదనాన్ని లెక్కించడం సాధ్యపడుతుంది.

ఇక్కడ, కోణ బ్రాకెట్‌లు ఉపరితల స్థలాకృతి యొక్క (కొన్నిసార్లు పునరావృతమయ్యే) కొలతల శ్రేణిపై సగటును సూచిస్తాయి. నిలువు సూచన పాయింట్ ఎంపిక చేయబడింది

ఉపరితలం యొక్క గణాంక లక్షణాల యొక్క ముఖ్యమైన కొలత సహసంబంధ ఫంక్షన్, ఇది సంబంధం ద్వారా నిర్వచించబడుతుంది

స్థిర ఉపరితలాల కోసం, ఫోరియర్ పరివర్తనను ఉపయోగించి పవర్ స్పెక్ట్రం పరంగా సహసంబంధ పనితీరును వ్యక్తీకరించవచ్చు.

(స్కాన్ చూడటానికి క్లిక్ చేయండి)

ప్రాదేశిక పౌనఃపున్యం ఉపరితల అసమానతల తరంగదైర్ఘ్యానికి సంబంధించినది X సమానత్వం ద్వారా భౌతిక వ్యవస్థలు పరిమిత పరిధిని కలిగి ఉంటాయి మరియు తదనుగుణంగా కనీస ప్రాదేశిక పౌనఃపున్యాన్ని కలిగి ఉంటాయి కాబట్టి, సహసంబంధ ఫంక్షన్‌ని ఇలా తిరిగి వ్రాయవచ్చు

సేల్స్ మరియు థామస్ పవర్ స్పెక్ట్రమ్‌కు రూపం ఉందని సూచిస్తున్నారు

మరియు స్థిరమైన k "కఠినత" అని పిలుస్తారు. ఈ ఊహ ప్రకారం, వ్యత్యాసం సమానంగా ఉంటుంది

అంటే, గాస్సియన్ యాదృచ్ఛిక ప్రక్రియల కోసం ఊహించిన విధంగా మనం పొందుతాము మరియు ఉపరితల పరిమాణంతో వ్యత్యాసం పెరుగుతుంది.

అంజీర్లో. 14.1 ఈ పని యొక్క ఫలితాలను పునరుత్పత్తి చేస్తుంది. పరిమాణం ఒక ఫంక్షన్‌గా రూపొందించబడింది. సమానత్వం (14.1) నిజమైతే, ఈ గ్రాఫ్ 2 వాలుతో సరళ రేఖలా కనిపించాలని మేము ఆశిస్తున్నాము. అమ్మకాలు మరియు థామస్ 8 వరకు విస్తరించి ఉన్న 23 రకాల ఉపరితలాల కోసం అద్భుతమైన ఫలితాలను పొందారు. తరంగదైర్ఘ్యంలో దశాబ్దాలు. ఈ తరంగదైర్ఘ్యం పరిధి కోసం ఐసోట్రోపిక్ ఉపరితలం యొక్క యాదృచ్ఛిక భాగాల గణాంక రేఖాగణిత లక్షణాలను k యొక్క విలువ ప్రత్యేకంగా నిర్ణయిస్తుందని ఈ రచయితలు విశ్వసిస్తున్నారు!

ఏది ఏమైనప్పటికీ, ఆధారపడటం (14.1) ద్వారా గమనించిన వర్ణపట సాంద్రత యొక్క ఉజ్జాయింపు k ని నిర్ణయిస్తుందని మరియు ఎంచుకున్న సాధారణీకరణతో ఈ ఆధారపడటం రూపాన్ని తీసుకుంటుందని గమనించాలి, పనిలో గుర్తించినట్లుగా, ఇది అసలు డేటా యొక్క అటువంటి పరివర్తనకు సమానం, విభిన్న వాలుల యొక్క 23 చిన్న భాగాలను కలిగి ఉంటుంది మరియు డబుల్ లాగరిథమిక్ గ్రాఫ్ యొక్క విమానం అంతటా చెల్లాచెదురుగా ఉంటుంది, దీనిలో వ్యక్తిగత విభాగాలు నిలువు y-అక్షం వెంట మార్చబడతాయి, తద్వారా అవి రేఖకు వీలైనంత దగ్గరగా ఉంటాయి. ఈ విధానంతో, ఉజ్జాయింపు అసలు డేటా పరిధి ఎంత విస్తృతంగా ఉంటే అంత మెరుగ్గా కనిపిస్తుంది.

బెర్రీ మరియు హన్నీ గణాంకపరంగా ఐసోట్రోపిక్ ఉపరితలాలు, ఏ స్కేల్ ప్రత్యేకించబడదు మరియు వాటి స్థాయి బాగా నిర్వచించబడింది కానీ భేదించదగినది కాదు, నిజానికి ఫ్రాక్టల్ రూపం యొక్క వర్ణపటాన్ని కలిగి ఉండవచ్చు:

మాండెల్‌బ్రోట్ చూపినట్లుగా, ఘాతాంకం ఫ్రాక్టల్ కోడిమెన్షన్‌కు సమానం మరియు ఉపరితలం యొక్క ఫ్రాక్టల్ పరిమాణంలో ఈ క్రింది విధంగా వ్యక్తీకరించబడుతుంది

బ్రౌనియన్ ఉపరితలాల కోసం, అంటే సాధారణ గాస్సియన్ గణాంకాల విషయంలో, మేము సమానత్వాన్ని (14.1) పొందుతాము, సేల్స్ మరియు థామస్ ఉపయోగించారు, ఎందుకంటే అటువంటి ఉపరితలాల కోసం

అన్నం. 14.2 మునుపటి చిత్రంలో సమర్పించబడిన 23 సిరీస్ కొలతల కోసం సూచిక a యొక్క విలువల హిస్టోగ్రాం.

అయితే, పరామితి a కోసం, ఉత్తమ ఉజ్జాయింపును అందించే విలువను కనుగొనాలి మరియు ఇది 1.07 నుండి 3.03 వరకు ఉంటుంది, ఇది 2 నుండి 3 వరకు ఉన్న ఫ్రాక్టల్ పరిమాణం యొక్క విలువలకు అనుగుణంగా ఉంటుంది. దీనికి ప్రతిస్పందనగా పరిశీలన, సేల్స్ మరియు థామస్ వారి డేటా యొక్క కొత్త ఉజ్జాయింపును నిర్వహించారు మరియు అంజీర్‌లో చూపిన స్పెక్ట్రల్ పరామితి a యొక్క అంచనాల హిస్టోగ్రామ్‌ను రూపొందించారు. 14.2 2 యొక్క గాస్సియన్ విలువ చుట్టూ ఉన్న క్లస్టర్ యొక్క పొందిన విలువలు 1 నుండి 3 వరకు చెల్లుబాటు అయ్యే పరిధిలో పంపిణీ చేయబడతాయి. బాల్ బేరింగ్‌లు మరియు రన్‌వేల ఉపరితలాలు ఒకే విధమైన గణాంక లక్షణాలను కలిగి ఉంటాయని ఊహించలేము కాబట్టి ఈ ఫలితం సహేతుకంగా కనిపిస్తుంది. అయినప్పటికీ, సేల్స్ మరియు థామస్ అధిక-నాణ్యత డేటా యొక్క క్లిష్టమైన పరిశీలన విలువైన ఆసక్తికరమైన ఫలితాలను పొందారు.

ఫ్రాక్టల్ ఫాల్ట్ ఉపరితలాలు. ఒక మెటల్ బాడీ విచ్ఛిన్నమైనప్పుడు, ఫలితంగా ఏర్పడే పగులు ఉపరితలం కఠినమైనది మరియు సక్రమంగా ఉంటుంది. మాండెల్‌బ్రోట్ మరియు ఇతరులు అటువంటి ఉపరితలాల ఫ్రాక్టల్ నిర్మాణాన్ని అధ్యయనం చేశారు. వారు గ్రేడ్ 300 మార్టెన్‌సిటిక్ స్టీల్ నమూనాల పగుళ్లను అధ్యయనం చేశారు.పగుళ్లు మొదట నికెల్‌తో పూత పూయబడ్డాయి మరియు తరువాత ఫ్రాక్చర్ ప్లేన్‌కు సమాంతరంగా ఉంటాయి. ఫలితంగా నికెల్ చుట్టూ ఉక్కు "ద్వీపాలు"; మరింత మెరుగుపెట్టడంతో, ద్వీపాలు పెరిగాయి మరియు ఒకదానితో ఒకటి కలిసిపోయాయి. "కోస్ట్ లైన్" యొక్క పొడవు, లేదా అటువంటి ద్వీపాల చుట్టుకొలత మరియు ప్రాంతం A, "ప్రామాణిక" పొడవును ఉపయోగించి కొలుస్తారు.

ఫాల్ట్ ఉపరితలాల మాదిరిగానే ఫ్రాక్టల్ ఉపరితలాలు ఫాల్ట్ ప్లేన్‌లో మరియు దాని అంతటా విభిన్న సారూప్యత చట్టాల ద్వారా వర్గీకరించబడాలి. అందువల్ల, తప్పు ఉపరితలాలు ఉత్తమంగా, స్థానిక ఫ్రాక్టల్ పరిమాణంతో స్వీయ-అనుబంధంగా ఉంటాయి. అయితే, ఒక విమానంతో అటువంటి స్వీయ-అనుబంధ ఉపరితలం యొక్క ఖండన ఇస్తుంది

అన్నం. 14.3 మార్టెన్సిటిక్ స్టీల్ గ్రేడ్ 300 యొక్క ఫ్రాక్చర్ ఉపరితలం కోసం చుట్టుకొలత మరియు ప్రాంతం యొక్క నిష్పత్తి. సరళ రేఖ వద్ద ఉజ్జాయింపును చూపుతుంది

తీరప్రాంతాలు, అవి నిస్సందేహంగా స్వీయ-సారూప్యత మరియు ఫ్రాక్టల్ డైమెన్షన్ కలిగి ఉంటాయి. కాబట్టి, మేము రూపంలో వ్రాసిన చుట్టుకొలత-ప్రాంత సంబంధాన్ని (12.2) ఉపయోగించవచ్చు.

అంజీర్లో. మూర్తి 14.3 మాండెల్‌బ్రోట్ మరియు ఇతరుల ఫలితాలను చూపుతుంది. ఆధారపడటం ద్వారా ఉజ్జాయింపు (14.3) ఒక అంచనాను ఇస్తుంది, దీని నుండి గుర్తించదగిన ప్రమాణాల పరిధిలో లోపం ఉపరితలం ఫ్రాక్టల్ పరిమాణం కలిగి ఉంటుంది.మాండెల్‌బ్రోట్ మరియు అతని సహ రచయితలు తప్పు ఉపరితలం యొక్క ప్రొఫైల్‌లను విశ్లేషించడం ద్వారా ఫ్రాక్టల్ పరిమాణం యొక్క అంచనాను తనిఖీ చేశారు. దాని ప్రొఫైల్‌ను గుర్తించడానికి, ఉపరితలం కత్తిరించబడింది మరియు కొలిచిన ప్రొఫైల్‌ల కోసం వర్ణపట సాంద్రతను లెక్కించారు. సంబంధం (14.2) ఉపయోగించి, విలువ మరియు ఉపరితలం యొక్క ఫ్రాక్టల్ పరిమాణం కనుగొనబడింది

ఇది గతంలో పొందిన అంచనాతో మంచి ఒప్పందంలో ఉన్నట్లు తేలింది.

ఆసక్తికరమైన ప్రయోగాల యొక్క మరొక శ్రేణిలో, మాండెల్‌బ్రోట్ మరియు ఇతరులు. గ్రేడ్ 300 మార్టెన్‌సిటిక్ స్టీల్ యొక్క నమూనాలను వేర్వేరు ఉష్ణోగ్రతల వద్ద వేడి చికిత్సలకు గురిచేశారు. అప్పుడు ఉన్న శక్తి మొత్తం

అన్నం. 14.4 ఫ్రాక్చర్ ఉపరితలం యొక్క కొలిచిన ఫ్రాక్టల్ పరిమాణం మరియు వివిధ ఉష్ణోగ్రతల వద్ద చల్లారిన గ్రేడ్ 300 మార్టెన్‌సిటిక్ స్టీల్ నమూనాల శ్రేణిని విచ్ఛిన్నం చేయడానికి అవసరమైన శక్తి మధ్య సంబంధం.

నమూనాలను విచ్ఛిన్నం చేయడానికి తప్పనిసరిగా పెట్టుబడి పెట్టాలి మరియు పగులు ఉపరితలాల యొక్క ఫ్రాక్టల్ పరిమాణం నిర్ణయించబడుతుంది. అంజీర్లో. 14.4 పొందిన ఫలితాలను అందిస్తుంది. లోపల ఉన్న ఫ్రాక్టల్ కొలతలు పెట్టుబడి శక్తిపై సుమారుగా సరళంగా ఆధారపడి ఉన్నాయని స్పష్టంగా చూడవచ్చు. ఈ ఆధారపడటం మరియు మెటలర్జికల్ ప్రక్రియల స్వభావం మధ్య సంబంధం అస్పష్టంగా ఉంది, అయితే ఇన్‌పుట్ శక్తిపై లోపం యొక్క ఫ్రాక్టల్ పరిమాణం యొక్క ఆధారపడటం కనుగొనబడిన తర్వాత, ఉపరితల స్థలాకృతిని అధ్యయనం చేయడానికి కనీసం ఒక విధానం ఉద్భవించింది.

సైద్ధాంతిక ఘన స్థితి భౌతికశాస్త్రం ప్రధానంగా సమతౌల్య వ్యవస్థలను పరిగణించింది. కోలుకోలేని ప్రక్రియలు చాలా సరళీకృత మార్గంలో మాత్రమే పరిగణించబడ్డాయి - చిన్న అవాంతరాలుగా, ఉదాహరణకు, రవాణా దృగ్విషయాన్ని అధ్యయనం చేసేటప్పుడు. పదార్థం యొక్క ఘనీభవించిన స్థితి దట్టమైన నిరంతర మాధ్యమం రూపంలో మాత్రమే కాకుండా, అత్యంత వదులుగా ఉండే పోరస్ నిర్మాణాల రూపంలో కూడా ఉంటుందని తెలుసు. ఈ రకమైన నిర్మాణాలు ఒక నియమం వలె, సంక్లిష్టమైన అసమాన పరిస్థితులలో సంక్షేపణం ఫలితంగా ఏర్పడతాయి, ఉదాహరణకు, ఒక నిర్దిష్ట చట్టం ప్రకారం కదిలే ఘన కణాల సంశ్లేషణ సమయంలో లేదా లోహాల ప్లాస్టిక్ వైకల్యం సమయంలో తొలగుటల పరస్పర చర్య ఫలితంగా. . ఈ రకమైన నిర్మాణాన్ని అంటారు ఫ్రాక్టల్ కంకరలు. అవి ఎక్కువగా అస్తవ్యస్తంగా ఉంటాయి, అధ్యయనం చేయడం కష్టం మరియు వాటి స్థూల లక్షణాలు సరిగా అర్థం కాలేదు. ప్రతి పదార్ధం యొక్క ఫ్రాక్టల్ మొత్తం పూర్తిగా అర్థం కాని కొన్ని భౌతిక పరిస్థితులలో ఏర్పడుతుంది. అయినప్పటికీ, అసాధారణమైన భౌతిక లక్షణాలతో పదార్థాలను రూపొందించడానికి ఫ్రాక్టల్ కంకరల నిర్మాణ నియమాలను ఉపయోగించడం ఇప్పటికే తెలిసినది. ఫ్రాక్టల్ సాలిడ్-స్టేట్ మీడియా, ఓపెన్ సిస్టమ్స్‌లో శక్తి వెదజల్లడం మరియు స్వీయ-వ్యవస్థీకృత నిర్మాణాల పరిస్థితులలో ఏర్పడింది, పదార్థం యొక్క నిర్మాణ స్థితిని రూపొందించే సాంప్రదాయ పద్ధతులను ఉపయోగించి పొందలేని అనేక అసాధారణ లక్షణాలను కలిగి ఉంటుంది. డిస్సిపేటివ్ సిస్టమ్స్‌లో స్వీయ-సంస్థ వెనుక ఉన్న చోదక శక్తి ఎంట్రోపీని తగ్గించడానికి ఓపెన్ సిస్టమ్‌లలో పదార్థం యొక్క కోరిక. ఫ్రాక్టల్ నిర్మాణాల లక్షణ లక్షణాలు - స్వీయ-సారూప్యత, స్థాయి అస్థిరత, నిర్మాణ సోపానక్రమం, నానోమీటర్ స్కేల్ సచ్ఛిద్రతమరియు ఫ్రాక్టల్ పరిమాణం.

సాలిడ్-స్టేట్ ఫ్రాక్టల్ సిస్టమ్‌లు ప్రత్యేకమైన భౌతిక లక్షణాల ద్వారా వర్గీకరించబడిన కొత్త రకం పదార్థం యొక్క నిర్మాణ స్థితిని సూచిస్తాయి. ఫ్రాక్టల్ ఘన వ్యవస్థలు అణువులు లేదా అణువుల నుండి, అలాగే నానో-పరిమాణ కణాలు లేదా సమూహాల నుండి ఏర్పడతాయి. అటువంటి కణాలు లేదా సమూహాల నుండి ఏర్పడిన ఫ్రాక్టల్ మైక్రో- లేదా మాక్రోస్కోపిక్ నిర్మాణాలు ప్రాథమిక లక్షణాలను అధ్యయనం చేయడానికి మరియు కొత్త సాంకేతికతలలో ఉపయోగం కోసం ఆసక్తికరంగా ఉంటాయి. లోహ నానోపార్టికల్స్ నుండి ఏర్పడిన ఫ్రాక్టల్ నిర్మాణం కాంతి తరంగదైర్ఘ్యం పరిధిలో విద్యుదయస్కాంత వికిరణాన్ని గ్రహించగలదని ప్రయోగాత్మకంగా నిర్ధారించబడింది. గ్రాఫైట్‌తో పోల్చితే కార్బన్ యొక్క ఫ్రాక్టల్ నిర్మాణం యొక్క థర్మోపవర్ దాదాపుగా పరిమాణంలో పెరుగుతుందని చూపబడింది.

అనేక సందర్భాల్లో, ఘనపు ఫ్రాక్టల్ నిర్మాణం అధిక నిర్దిష్ట బలం లక్షణాలు, తక్కువ ఉష్ణ వాహకత మరియు ధ్వని పారగమ్యతను అందిస్తుంది. అందువల్ల, ఒక నిర్దిష్ట ఫ్రాక్టల్ నిర్మాణంతో పదార్థాలను పొందడం మరియు అధ్యయనం చేయడం తక్షణ పని. ఫ్రాక్టల్ నిర్మాణాల యొక్క లక్షణం ఏమిటంటే, వాటి నిర్మాణం అనేక స్థాయిల ఉమ్మడి రిజల్యూషన్‌తో మాత్రమే కనిపిస్తుంది, దీని ప్రమాణాల వ్యత్యాసం దృశ్య రేఖాగణిత చిత్రాన్ని (కఠినమైన తీరప్రాంతం వంటివి) ప్రదర్శించడం కష్టతరం చేస్తుంది.

మల్టీస్కేల్ నిర్మాణాలను స్వయంగా పరిశీలించడం కష్టం అయినప్పటికీ, వాటి స్థిరమైన వివరణ ఫ్రాక్టల్ భావజాలం యొక్క చట్రంలో మాత్రమే సాధించబడుతుంది. అటువంటి అసమతౌల్య వ్యవస్థలు క్రమానుగతంగా అధీనంలో ఉన్న గణాంక బృందాలను కలిగి ఉండే సూపర్‌సెన్సిబుల్స్‌గా సూచించబడటం దీనికి కారణం, ఇది క్రమంగా ఉప-సమితులు మొదలైన వాటిని కలిగి ఉంటుంది. అందువల్ల, ఘనీభవించిన పదార్థంలో ఫ్రాక్టల్స్ గురించి మాట్లాడేటప్పుడు, మొదటగా, భావన యొక్క ఉపయోగాన్ని గుర్తుంచుకోవాలి మరియు గమనించిన రేఖాగణిత చిత్రం యొక్క సాహిత్య వివరణ కాదు.

ఫ్రాక్టల్ నిర్మాణాల యొక్క అతి ముఖ్యమైన లక్షణాలలో ఒకటి, ఇది వాటి భౌతిక లక్షణాలను నిర్ణయిస్తుంది ఫ్రాక్టల్ పరిమాణం.

ఫ్రాక్టల్ పరిమాణం యొక్క గణిత నిర్వచనం. దానిలోని ఫ్రాక్టల్ వాల్యూమ్ ఎంబెడ్డింగ్ స్పేస్ఎల్లప్పుడూ సున్నా. అయితే, ఇది తక్కువ పరిమాణంలో ఉన్న ప్రదేశంలో సున్నా కానిది కావచ్చు. ఈ స్థలం యొక్క పరిమాణాన్ని నిర్ణయించడానికి డి, ప్రతిదీ విచ్ఛిన్నం చేద్దాం n-డైమెన్షనల్ స్పేస్ అంచు పొడవు ε మరియు వాల్యూమ్ εతో చిన్న ఘనాలగా n(Fig. 14.12).

అన్నం. 14.12 ఫ్రాక్టల్ పరిమాణం యొక్క నిర్ణయం

వీలు ఎన్(ε) అనేది ఫ్రాక్టల్ సెట్‌ను పూర్తిగా కవర్ చేసే ఘనాల కనీస సంఖ్య, తర్వాత నిర్వచనం ప్రకారం

ఈ పరిమాణాన్ని సాధారణంగా అంటారు హౌస్‌డోర్ఫ్లేదా ఫ్రాక్టల్ పరిమాణం.

ఈ పరిమితి ఉనికి అంటే ఫ్రాక్టల్ వాల్యూమ్ పరిమితంగా ఉంటుంది డిచిన్న ε కోసం డైమెన్షనల్ స్పేస్:

ఎన్(ε)≈ విε – డి , (14.104)

ఎక్కడ వి= స్థిరము.

ఈ విధంగా, ఎన్(ε) సంఖ్య కంటే ఎక్కువ కాదు డి-లో కప్పి ఉంచే క్యూబ్‌లను కొలవడం డి-డైమెన్షనల్ స్పేస్ వాల్యూమ్ వి, ఫ్రాక్టల్ కవర్ నుండి n-కొలిచే క్యూబ్‌లు దాదాపు ఖాళీగా ఉండవచ్చు

డి< n, (14.105)

మరియు సాధారణ పరిమాణం కాకుండా డిపాక్షిక విలువ కావచ్చు, ఇది చాలా తరచుగా ఫ్రాక్టల్ సెట్‌లకు సంబంధించినది. సహజంగానే, సాధారణ సెట్‌లకు ఈ నిర్వచనం బాగా తెలిసిన ఫలితాలకు దారి తీస్తుంది. అవును, చాలా మందికి ఎన్మేము కలిగి ఉన్న వివిక్త పాయింట్లు ఎన్(ε) = ఎన్ఇందుమూలంగా

ఒక సెగ్మెంట్ కోసం, పొడవు యొక్క మృదువైన లైన్ సరిపోతుంది ఎల్ ఎన్(ε) = ఎల్/ε మరియు అందువలన డి= 1. సైట్ కోసం ఎస్రెండు డైమెన్షనల్ ఉపరితలం ఎన్(ε) = ఎస్/ε 2 మరియు డి= 2, మొదలైనవి.

ఫ్రాక్టల్ నిజానికి సాధారణ భౌతిక ప్రదేశంలో రేఖాగణిత వస్తువుగా పరిచయం చేయబడింది. అందువల్ల, కాంటర్ మరియు కోచ్ యొక్క దృశ్య రేఖాగణిత నిర్మాణాలతో ఫ్రాక్టల్స్ యొక్క ఉదాహరణలను పరిగణనలోకి తీసుకోవడం ప్రారంభించడం మంచిది. వారి ఎంపిక మొదటి సందర్భంలో ఫ్రాక్టల్ పరిమాణం వాస్తవం కారణంగా ఉంది డితక్కువ టోపోలాజికల్ డి, మరియు రెండవది డి > డి.

కాంటర్ సెట్. పొడవు యొక్క భాగాన్ని తీసుకుందాం 1 . మూడు సమాన భాగాలుగా విభజించి, మధ్య భాగాన్ని తొలగించండి. మేము మిగిలిన రెండు విభాగాలతో అదే విధానాన్ని చేస్తాము మరియు ఫలితంగా మేము ఒక్కొక్కటి 1/9 పొడవు యొక్క 4 విభాగాలను పొందుతాము. అనంతం వరకు (Fig. 14.13).

అన్నం. 14.13 కాంటర్ సెట్ నిర్మాణం

ఈ ప్రక్రియ తర్వాత ఉత్పన్నమయ్యే పాయింట్ల సమితి కాంటర్ సెట్. పొడవును చూడటం సులభం ఎల్ఈ సెట్ సున్నాకి సమానం. నిజంగా,

ఇప్పుడు దాని హౌస్‌డార్ఫ్ లేదా ఫ్రాక్టల్ డైమెన్షన్‌ను కనుగొనండి. దీన్ని చేయడానికి, మేము పొడవు యొక్క ఒక విభాగాన్ని "ప్రామాణిక" గా ఎంచుకుంటాము

సెట్‌ను కవర్ చేయడానికి అవసరమైన అటువంటి విభాగాల కనీస సంఖ్య సమానంగా ఉంటుంది

ఎన్(ε) = 2 n. (14.109)

అందువలన దాని ఫ్రాక్టల్ పరిమాణం

స్నోఫ్లేక్ కోచ్. ఈ ఫ్రాక్టల్ నిర్మాణం యొక్క ఉదాహరణ అంజీర్లో క్రింద చూపబడింది. 14.14

అన్నం. 14.14 స్నోఫ్లేక్ కోచ్

స్నోఫ్లేక్ కోచ్అనేది పరిమిత ప్రాంతాన్ని సరిహద్దులుగా కలిగి ఉన్న అనంతమైన పొడవు యొక్క రేఖ. మొదటి ప్రకటన చాలా సరళంగా నిరూపించబడింది. ప్రతి అడుగుతో బహుభుజి భుజాల సంఖ్య 4 రెట్లు పెరుగుతుందని మరియు ప్రతి వైపు పొడవు 3 రెట్లు మాత్రమే తగ్గుతుందని మనం గమనించినట్లయితే. మనం ఏర్పడే త్రిభుజం వైపు పొడవును 1గా తీసుకుంటే, కోచ్ స్నోఫ్లేక్ పొడవు:

వక్రరేఖ క్రింద ఉన్న ప్రాంతం, మేము ఉత్పత్తి చేసే త్రిభుజం యొక్క వైశాల్యాన్ని 1గా తీసుకుంటే, సమానం

ప్రతిసారీ అదనపు త్రిభుజాల సంఖ్య 4 రెట్లు పెరుగుతుందని మరియు వాటి వైపు 3 రెట్లు తగ్గుతుందని ఇక్కడ మేము పరిగణనలోకి తీసుకున్నాము (తదనుగుణంగా, వాటి ప్రాంతం 3 2 = 9 రెట్లు తగ్గుతుంది). చివరికి:

అందువల్ల, కోచ్ స్నోఫ్లేక్ కింద ఉన్న ప్రాంతం త్రిభుజం యొక్క వైశాల్యం కంటే 1.6 రెట్లు ఎక్కువ. కోచ్ స్నోఫ్లేక్ యొక్క ఫ్రాక్టల్ కోణాన్ని కనుగొనండి. మేము ఇప్పటికే చెప్పినట్లుగా, ఆన్ n-త్రిభుజాల భుజాల దశల సంఖ్య ఎన్(ε) = 3×4 n, మరియు సైడ్ పొడవు ε = 1/3 n. అందుకే

సియర్పిన్స్కి రుమాలు. ఈ ఫ్రాక్టల్‌ను నిర్మించడంలో మొదటి మూడు దశలు ( సియర్పిన్స్కి తొడుగులు) అంజీర్లో చూపబడ్డాయి. 14.15, మరియు ఫ్రాక్టల్ కూడా అంజీర్‌లో ఉంది. 14.16

అన్నం. 14.15 సియర్పిన్స్కి రుమాలు నిర్మాణం

అన్నం. 14.16 సియర్పిన్స్కి రుమాలు

దానిలో చిన్న మరియు చిన్న స్థాయి త్రిభుజాకార రంధ్రాల సంఖ్య అనంతం. ఈ నిర్మాణంలో నల్ల త్రిభుజాల సంఖ్య 3గా పెరుగుతుంది n, ఎక్కడ n- దశ సంఖ్య, మరియు వాటి వైపు పొడవు 2గా తగ్గుతుంది - n. కాబట్టి ఫ్రాక్టల్ పరిమాణం దీనికి సమానంగా ఉంటుంది:

తెల్ల మచ్చల వైశాల్యం అసలు త్రిభుజం యొక్క వైశాల్యానికి సమానం అని చూపవచ్చు.

పైన చర్చించిన ఫ్రాక్టల్స్ ఉదాహరణలు పిలవబడే వాటికి చెందినవి ఖచ్చితమైన ఫ్రాక్టల్స్లేదా నిర్ణయాత్మకమైనది. అవన్నీ చాలా నిర్దిష్ట రేఖాగణిత నియమం ప్రకారం నిర్మించబడ్డాయి. ఖచ్చితమైన ఫ్రాక్టల్స్‌తో పాటు, పిలవబడేవి కూడా ఉన్నాయి యాదృచ్ఛిక ఫ్రాక్టల్స్. వాటి మూలకాల అమరికలో కొంతవరకు యాదృచ్ఛికత ఉంది.

బ్రౌనియన్ చలనం. సరళమైన యాదృచ్ఛిక ఫ్రాక్టల్ అనేది కణ తయారీ యొక్క పథం బ్రౌనియన్ చలనం(Fig. 14.17).

అన్నం. 14.17 బ్రౌనియన్ కణం యొక్క పథం

మరియు పథం చాలా సంక్లిష్టమైన, మూసివేసే స్వభావాన్ని కలిగి ఉన్నప్పటికీ, దాని ఫ్రాక్టల్ కోణాన్ని నిర్ణయించడం చాలా సులభం. ఇది చేయుటకు, ఒక కణం దూరం వరకు వ్యాపిస్తే గమనించండి ఆర్, అప్పుడు ఆమె తీసుకున్న "దశల" సగటు సంఖ్య

ఎక్కడ ఎల్- ఒక దశ యొక్క లక్షణ పొడవు. అందుకే:

దీనర్థం, ఇచ్చిన ప్రాంతంపై వ్యాప్తి పథం యొక్క లక్షణ పరిమాణం ఈ ప్రాంతం యొక్క పరిమాణానికి అనులోమానుపాతంలో ఉంటుంది. అంటే, విమానంలో పథం చాలా "దట్టమైనది". ఏది ఏమైనప్పటికీ, అనేక స్వీయ-ఖండనల కారణంగా వ్యాపన వక్రరేఖ ద్వారా కొట్టుకుపోయిన ప్రాంతం పరిమితమైందని దీని అర్థం కాదు. ద్విమితీయ బ్రౌనియన్ చలనం కోసం ఏకపక్షంగా ఎంచుకున్న బిందువు యొక్క పొరుగు ప్రాంతం ఎంత చిన్నదైనా సరే తిరిగి వచ్చే సంభావ్యత 1కి సమానం అని చూపవచ్చు. త్రిమితీయ ప్రదేశంలో విస్తరణ విషయంలో, బ్రౌనియన్ యొక్క పథం కణం, దీనికి విరుద్ధంగా, చాలా వదులుగా ఉంటుంది (దాని ఫ్రాక్టల్ పరిమాణం ఇప్పటికీ 2కి సమానంగా ఉంటుంది) మరియు దానికి అందించిన మొత్తం వాల్యూమ్‌ను పూరించదు. ఈ సందర్భంలో, తిరిగి వచ్చే సంభావ్యత ఒకటి కంటే తక్కువగా ఉంటుంది.

ఫ్రాక్టల్ క్లస్టర్లు. యాదృచ్ఛిక ఫ్రాక్టల్ యొక్క మరొక ఉదాహరణ, మరింత సంక్లిష్టమైనది, కానీ ప్రకృతిలో సమానంగా సాధారణమైనది, వ్యాప్తి-పరిమిత అగ్రిగేషన్ అని పిలవబడే ప్రక్రియ ద్వారా పొందబడుతుంది. దీనిని ఈ క్రింది విధంగా రూపొందించవచ్చు. తగినంత పెద్ద వ్యాసార్థం యొక్క గోళంలో (రెండు డైమెన్షనల్ సందర్భంలో సర్కిల్), దీని ఉపరితలంపై యాదృచ్ఛిక ప్రదేశాలలో ఎప్పటికప్పుడు కణాలు కనిపిస్తాయి, ఇవి గోళంలోకి వ్యాపిస్తాయి. గోళం మధ్యలో "పిండం" అని పిలవబడేది. వ్యాపించే కణం దానితో ఢీకొన్నప్పుడు, అది దానికి “అంటుకుంటుంది” మరియు ఇకపై కదలదు. అప్పుడు గోళం యొక్క ఉపరితలం నుండి విడుదలైన తదుపరి కణం ఈ నిర్మాణంతో ఢీకొంటుంది మరియు తద్వారా ప్రకటన అనంతం. గోళం యొక్క ఉపరితలం నుండి కణాల ప్రవాహం తగినంత చిన్నదని మేము ఊహిస్తాము, తద్వారా ఒకదానితో ఒకటి విస్తరించే కణాల ఘర్షణలను నిర్లక్ష్యం చేయవచ్చు. ఫలితంగా చాలా పోరస్ నిర్మాణం, రెండు డైమెన్షనల్ కేసులో అంజీర్ 1లో చూపబడింది. 14.18

అన్నం. 14.18 వ్యాప్తి-పరిమిత అగ్రిగేషన్ ప్రక్రియలో పొందిన ఫ్రాక్టల్ క్లస్టర్

లోపల ఉన్న పెద్ద రంధ్రాలు తగినంత పొడవు గల ప్రక్రియల ద్వారా "స్క్రీన్" చేయబడతాయి. నిర్మాణం పెరిగేకొద్దీ, రంధ్రాల సంఖ్య మరియు వాటి పరిమాణాలు పెరుగుతాయి. రెండు డైమెన్షనల్ సందర్భంలో, అటువంటి క్లస్టర్ యొక్క ఫ్రాక్టల్ పరిమాణం విలువకు దగ్గరగా ఉంటుంది డి = 1,7.

ప్రకృతిలో, ఇటువంటి ఫ్రాక్టల్ క్లస్టర్లు చాలా సాధారణం. ఉదాహరణకు, స్ఫటికాలు సూపర్‌సాచురేటెడ్ ద్రావణం, స్నోఫ్లేక్స్, పగడాలు, జీవులలోని కణితులు మరియు సాధారణ స్టవ్ మసి నుండి పెరుగుతాయి. AgBr వంటి సూపర్యోనిక్ కండక్టర్లలో, అటువంటి సమూహాలు వాటి ఆచరణాత్మక ఉపయోగం యొక్క సమయాన్ని పరిమితం చేస్తాయి. కరెంట్ యొక్క తగినంత సుదీర్ఘ మార్గంతో, మొబైల్ వెండి అయాన్లు ఒక ఫ్రాక్టల్ క్లస్టర్‌ను ఏర్పరుస్తాయి, ఇది చివరికి ఎలక్ట్రోడ్‌లను తగ్గిస్తుంది మరియు కండక్టర్ నమూనాను నిలిపివేస్తుంది.

యాదృచ్ఛిక ఫ్రాక్టల్ యొక్క ఆసక్తికరమైన ఉదాహరణ మన విశ్వం యొక్క నమూనా.

ఫోర్నియర్ యూనివర్స్. చాలా పెద్ద వ్యాసార్థం ఉన్న గోళాన్ని ఊహించుకుందాం ఆర్(కాస్మిక్ స్కేల్), దీని లోపల చాలా పెద్ద సంఖ్యలో నక్షత్రాలు ఉన్నాయి ఎన్>> 1. సంఖ్య స్పష్టంగా ఉంది ఎన్గోళం యొక్క పెరుగుతున్న వ్యాసార్థంతో పెరగాలి. ఈ ఆధారపడటంపై మాకు ఆసక్తి ఉంటుంది ఎన్(ఆర్) నక్షత్రాలు, గెలాక్సీలు మరియు గెలాక్సీల సమూహాలు కొంత స్థిరమైన సాంద్రతతో విశ్వంలో ఏకరీతిగా పంపిణీ చేయబడితే, వ్యాసార్థ గోళంలో నక్షత్రాల సంఖ్య ఆర్ఈ గోళం యొక్క ఘనపరిమాణానికి అనులోమానుపాతంలో ఉంటుంది, అనగా.

అయితే ఖగోళ శాస్త్ర పరిశీలనలు ఆ విషయాన్ని తెలియజేస్తున్నాయి

ఎక్కడ డి» 1.23, (14.119)

ఆ. ఫ్రాక్టల్ (హౌస్‌డార్ఫ్) పరిమాణం 3 కంటే 1కి చాలా దగ్గరగా ఉంటుంది. దీని అర్థం మన విశ్వం దాదాపు ఒక డైమెన్షనల్ అని! దీన్ని గుణాత్మకంగా ఎలా అర్థం చేసుకోవచ్చు? దీన్ని చేయడానికి, ఉదాహరణను చూద్దాం ఫోర్నియర్ విశ్వం. దీనిని 1907లో అమెరికన్ సైన్స్ ఫిక్షన్ రచయిత ఫోర్నియర్ ప్రతిపాదించారు. దాని నిర్మాణం యొక్క ఒక భాగం అంజీర్లో చూపబడింది. 14.19

ఎ	బి

అన్నం. 14.19 ఫోర్నియర్ యూనివర్స్. వ్యాసార్థ నిష్పత్తి ఆర్ 2 /ఆర్ 1 = ఆర్ 3 /ఆర్ 2 = ... = 7

ఈ చిత్రంలో ప్రతి బిందువు ఒక గెలాక్సీని సూచిస్తుంది. అవి వ్యాసార్థం యొక్క సమూహాలలో ఏకం చేయబడ్డాయి ఆర్ప్రతి క్లస్టర్‌లో 1 7 గెలాక్సీలు (Fig. 14.19, బి) అంజీర్లో. 14.19, ఎవాటిలో ఐదు మాత్రమే కనిపిస్తాయి: తప్పిపోయిన రెండు డ్రాయింగ్ ప్లేన్ పైన మరియు దిగువన, క్లస్టర్ మధ్యలో ఉన్న సరళ రేఖపై సుష్టంగా ఉన్నాయి. ప్రతిగా, అటువంటి ఏడు సమూహాలు ఒకే విధంగా వ్యాసార్థం యొక్క ఒక సూపర్ క్లస్టర్‌గా మిళితం చేయబడ్డాయి ఆర్ 2. అప్పుడు, అదే సూత్రాన్ని ఉపయోగించి, వ్యాసార్థం యొక్క ఒక సూపర్‌క్లస్టర్ ఏడు సూపర్‌క్లస్టర్‌ల నుండి నిర్మించబడింది ఆర్ 3, మరియు ఆర్ 3 /ఆర్ 2 = ఆర్ 2 /ఆర్ 1, మొదలైనవి ఈ ప్రక్రియ యొక్క పునరావృత పునరావృతం ఫలితంగా, స్వీయ-సారూప్య ఫ్రాక్టల్ నిర్మాణం పుడుతుంది. ఈ బొమ్మ నుండి వ్యాసార్థం యొక్క సమూహంలోని నక్షత్రాల సంఖ్య స్పష్టంగా కనిపిస్తుంది ఆర్క్లస్టర్ వ్యాసార్థంలో నక్షత్రాల సంఖ్య కంటే 7 రెట్లు ఎక్కువ ఆర్/7:

ఊహిస్తూ, మేము పొందుతాము డి= 1. అందువలన, ఫోర్నియర్ విశ్వం ఒక డైమెన్షనల్. ఈ పథకంలోకి ప్రవేశించిన సంఖ్య 7, ప్రాథమిక పాత్రను పోషించదు. దాని స్థానంలో మరేదైనా సంఖ్య ఉండవచ్చు. క్లస్టర్ యొక్క పరిమాణాలు మరియు వాటిలోని మూలకాల సంఖ్య మధ్య నిష్పత్తిని మార్చడం ద్వారా, విశ్వం యొక్క ఫ్రాక్టల్ నమూనాలను 1కి దగ్గరగా ఉండే ఇతర కొలతలతో నిర్మించడం సాధ్యమవుతుందని కూడా స్పష్టమవుతుంది. డి. ఫోర్నియర్ యూనివర్స్ ఖచ్చితమైన ఫ్రాక్టల్ అని కూడా గమనించండి, ఇది మన విశ్వం కాదు. విశ్వం యొక్క ఫ్రాక్టల్ నిర్మాణానికి ఎలా మరియు ఏ నమూనాలు దారితీస్తాయో ఇంకా తెలియదు. ఈ కనెక్షన్‌లో పిలవబడే వాటిని మాత్రమే ప్రస్తావిద్దాము శని వలయాలు, ఇది వివిధ పరిమాణాల ఖాళీలతో చాలా వదులుగా మరియు భిన్నమైన నిర్మాణాన్ని కలిగి ఉంటుంది, దీనిలో గ్రహశకలాలు లేవు, అతిపెద్దది - కాస్సిని విభాగం అని పిలవబడేది, చిన్నది వరకు. బహుశా, శని వలయాల నిర్మాణం ఫ్రాక్టల్‌గా ఉంటుంది. అలా అయితే, గురుత్వాకర్షణ అనేది విశ్వంలో పదార్థం పంపిణీలో ఫ్రాక్టల్ నమూనాలను సృష్టించగలదని స్పష్టమైన సాక్ష్యం అవుతుంది.

గందరగోళం యొక్క ఫ్రాక్టల్ లక్షణాలు. వ్యవస్థ యొక్క చలనం అస్తవ్యస్తంగా ఉన్నప్పుడు నాన్ లీనియర్ న్యూటోనియన్ డైనమిక్స్‌లో ఫ్రాక్టల్ జ్యామితి మరియు భావనలు సహజంగా కనిపిస్తాయి. ఇది, ఉదాహరణకు, ఒక అన్‌హార్మోనిక్ ఓసిలేటర్ యొక్క బలవంతపు డోలనాల్లో సంభవిస్తుంది, ఇది సరళమైన ఒక డైమెన్షనల్ సమీకరణం ద్వారా వివరించబడింది:

అధికారం ఎక్కడ ఉంది ఎఫ్(x) - నాన్ లీనియర్ డిస్ప్లేస్‌మెంట్ ఫంక్షన్ x. పారామితి విలువల యొక్క నిర్దిష్ట వ్యవధిలో γ, f 0 , Ω కదలిక అస్తవ్యస్తంగా ఉంది. చెప్పాలంటే, మేము ఫేజ్ ప్లేన్‌లో సిస్టమ్ యొక్క స్థితులను గుర్తించాము x, వివిక్త సమయాల్లో 0, 2π/Ω, 4π/Ω, ... , ఆపై అస్తవ్యస్తమైన సిగ్నల్‌తో x(t) ఫలితంగా పాయింట్ల సెట్ కాంటర్, అనగా. ఒక ఫ్రాక్టల్ (Fig. 14.28). ఫ్రాక్టల్ యొక్క హౌస్‌డోర్ఫ్ పరిమాణం సహజంగా పారామీటర్ విలువలపై ఆధారపడి ఉంటుంది మరియు 0 లోపల ఉంటుంది<డి<2. В настоящее время не существует аналитических методов решения подобных уравнений. Большинство результатов в этой области получено путем компьютерного моделирования. То же относится и к вычислению фрактальной размерности డి. అవును, కోసం Ueda ఆకర్షణ, అంజీర్లో చూపబడింది. 14.20 సంఖ్యా గణనలు ఇస్తాయి డి ≈ 1,6.

ఉద్యమం యొక్క అస్తవ్యస్త స్వభావం అంటే, ఇచ్చిన ప్రారంభ పరిస్థితులు మరియు పరిష్కారం యొక్క ప్రత్యేకతపై సిద్ధాంతం ఉన్నప్పటికీ, దానిని ఖచ్చితంగా అంచనా వేయడం అసాధ్యం. అందువల్ల, వాస్తవానికి, దశ వాల్యూమ్ యొక్క నిర్దిష్ట మూలకంలో వ్యవస్థను గుర్తించే సంభావ్యతను మాత్రమే లెక్కించడం గురించి మాట్లాడవచ్చు. అస్తవ్యస్తమైన చలనం యొక్క ఈ గణాంక వర్ణన మనకు చలనం గురించి తెలియకపోవడం లేదా మన కంప్యూటర్ల అసంపూర్ణత యొక్క ఫలితం కాదు. ఇది ఉద్యమం యొక్క లోతైన అంతర్గత లక్షణాలను ప్రతిబింబిస్తుంది. మరియు ఈ లక్షణాలలో ఒకటి ఫ్రాక్టల్ జ్యామితిదశ పథాలు.

అన్నం. 14.20 సమీకరణం కోసం Ueda అట్రాక్టర్:

మీరు మరింత చెప్పవచ్చు: నిర్ణయాత్మక గందరగోళంఎల్లప్పుడూ ఫ్రాక్టల్, ఇది భౌతిక శాస్త్రంలో ఫ్రాక్టల్ భావనల ప్రాముఖ్యతను నిర్ణయిస్తుంది.

సెల్యులార్ నిర్మాణం (Fig. 14.21) యొక్క సృష్టికి దారితీసే వికృతీకరణ యొక్క ఎప్పటికప్పుడు పెరుగుతున్న డిగ్రీల వద్ద మెటల్‌లోని తొలగుట నిర్మాణాన్ని మార్చడం ద్వారా ఫ్రాక్టల్ కంకరలను కూడా పొందవచ్చు. ప్లాస్టిక్ వైకల్యం యొక్క ప్రారంభ దశలో, గణనీయమైన సంఖ్యలో తొలగుటలు ఏర్పడతాయి, వాల్యూమ్ అంతటా ఏకరీతిలో పంపిణీ చేయబడతాయి. వైకల్యం యొక్క అధిక స్థాయిలలో, సమూహాలు బంతులు మరియు వదులుగా ఉండే సెల్ గోడల రూపంలో ఏర్పడతాయి. చివరికి స్పష్టంగా నిర్వచించబడిన సెల్యులార్ నిర్మాణం ఏర్పడుతుంది.

అన్నం. 14.21 ఒక సజాతీయ డిస్‌లోకేషన్ స్ట్రక్చర్‌ని సెల్యులార్‌గా పునర్నిర్మించడం యొక్క స్కీమాటిక్ ప్రాతినిధ్యం:

ఎ- తొలగుట యొక్క అస్తవ్యస్తమైన పంపిణీ; బి, వి- తొలగుట చిక్కులు మరియు వదులుగా ఉన్న గోడలు ఏర్పడటం; జి- సెల్యులార్ నిర్మాణాలు

కణ గోడలను ఏర్పరిచే తొలగుటల సమూహాలు ఫ్రాక్టల్స్ అని నమ్ముతారు, దీని పరిమాణం మొదట పెరుగుతుంది డి= 1 (తొలగింపుల యొక్క ఏకరీతి పంపిణీ) నుండి 1<డి<2 (рыхлые скопления) и затем достигает డి= 2 (జ్యామితీయ సెల్ గోడలు). ఈ ఉదాహరణలు సమతౌల్యానికి దగ్గరగా ఉండే ఘనపదార్థాలలో ఫ్రాక్టల్ నిర్మాణాలను సృష్టించే అవకాశాన్ని చూపుతాయి.

రెండు డైమెన్షనల్ ఫ్లాట్ ఫార్మేషన్స్ యొక్క ఫ్రాక్టల్ డైమెన్షన్‌ను నిర్ణయించడానికి సులభమైన ప్రయోగాత్మక పద్ధతి గ్రిడ్ పద్ధతి. ఫ్రాక్టల్ నిర్మాణం యొక్క ఫ్లాట్ ఇమేజ్ ప్రయోగాత్మక పరిమాణాల పరిధిలో చదరపు కణాలు (పిక్సెల్‌లు)గా విభజించబడింది ఫ్రాక్టల్ మొత్తం. వస్తువు ప్రాంతం ఎస్మరియు దాని చుట్టుకొలత ఎల్కవర్ చేసే పిక్సెల్‌ల సంఖ్య ద్వారా నిర్ణయించబడుతుంది ఎస్మరియు క్రాస్ ఎల్.ఒక పిక్సెల్ (గ్రిడ్ సెల్) పరిమాణం పరికరం యొక్క రిజల్యూషన్ ద్వారా నిర్ణయించబడుతుంది, దీనిలో వస్తువు యొక్క ఉపరితల నిర్మాణం విశ్లేషించబడుతుంది. సాధారణంగా, మధ్య సంబంధం ఎస్మరియు ఎల్రెండు డైమెన్షనల్ వస్తువు ఇలా సూచించబడుతుంది:

ఎక్కడ డి- వస్తువు యొక్క ఫ్రాక్టల్ పరిమాణం; μ( డి) – స్వతంత్రంగా ఉండే పరిమాణం ఎల్. ఇన్ డిపెండెన్సీని నిర్మించడం ఎస్ ln నుండి ఎల్కనీసం పది పిక్సెల్ గ్రిడ్‌లను ఉపయోగిస్తున్నప్పుడు, ఫ్లాట్ ఫ్రాక్టల్ వస్తువుల యొక్క ఫ్రాక్టల్ పరిమాణం యొక్క విలువలను పొందేందుకు ఇది అనుమతిస్తుంది. అధ్యయనం చేసే వస్తువు మృదువైన బాహ్య సరిహద్దును కలిగి ఉన్నప్పుడు, డి= 2 మరియు ఎస్ » ఎల్ 2. పూర్ణాంకం కాని విలువ (1< డి < 2) является свидетельством плоской фрактальной структуры.

గెవోర్గ్ సిమోన్యన్, కెమికల్ సైన్సెస్ అభ్యర్థి, అసోసియేట్ ప్రొఫెసర్

యెరెవాన్ స్టేట్ యూనివర్శిటీ, అర్మేనియా

ఛాంపియన్‌షిప్ పాల్గొనేవారు: నేషనల్ ఛాంపియన్‌షిప్ ఇన్ రీసెర్చ్ అనలిటిక్స్ - "అర్మేనియా";

ఓపెన్ యూరోపియన్-ఆసియన్ రీసెర్చ్ అనలిటిక్స్ ఛాంపియన్‌షిప్;

వ్యాసం ఫ్రాక్టల్, ఫ్రాక్టల్ డైమెన్షన్ మరియు డెండ్రైట్ అనే పదాల వివరణాత్మక వివరణను అందిస్తుంది. రసాయన ప్రక్రియలు మరియు రసాయన సమ్మేళనాల డెన్డ్రిటిక్ మరియు ఫ్రాక్టల్ నిర్మాణాలకు అనేక ఉదాహరణలు ఇవ్వబడ్డాయి.

కీలకపదాలు:ఫ్రాక్టల్, డెండ్రైడ్, రసాయన సమ్మేళనం.

వ్యాసం ఫ్రాక్టల్, ఫ్రాక్టల్ డైమెన్షన్ మరియు డెండ్రైట్ అనే పదాల వివరణాత్మక వివరణను అందిస్తుంది. రసాయన ప్రక్రియలు మరియు రసాయన సమ్మేళనాల డెన్డ్రిటిక్ మరియు ఫ్రాక్టల్ నిర్మాణాలకు అనేక ఉదాహరణలు ఇవ్వబడ్డాయి.

కీలకపదాలు:ఫ్రాక్టల్, డెండ్రైట్, రసాయన సమ్మేళనం.

ఫ్రాక్టల్ భావనను బెనాయిట్ మాండెల్‌బ్రోట్ శాస్త్రీయ ఉపయోగంలోకి ప్రవేశపెట్టారు. ఫ్రాక్టల్ - లాటిన్ పదం నుండి ఫ్రాక్టస్, విరిగిన రాయి, స్ప్లిట్, క్రమరహిత వాతావరణం. ఇది తప్పనిసరిగా నాన్-యూక్లిడియన్ జ్యామితి - నాన్-స్మూత్, రఫ్, బెల్లం, గద్యాలై మరియు రంధ్రాల ద్వారా తుప్పు పట్టడం, కఠినమైన మరియు ఇతర సారూప్య వస్తువులు. ఫ్రాక్టల్ వస్తువులు స్వీయ-సారూప్యత లేదా స్కేల్ అస్థిరత యొక్క లక్షణాలను కలిగి ఉన్న వస్తువులు. వ్యవస్థలోని కొన్ని శకలాలు స్వీయ-సారూప్యంగా ఉండవచ్చు, వీటి నిర్మాణాలు వేర్వేరు ప్రమాణాల వద్ద పునరావృతమవుతాయి. ఫ్రాక్టల్స్ అసాధారణ లక్షణాలను కలిగి ఉన్నాయని తేలింది. ఉదాహరణకు, "కోచ్ స్నోఫ్లేక్" అనంతమైన పొడవు యొక్క చుట్టుకొలతను కలిగి ఉంది, అయినప్పటికీ ఇది పరిమిత ప్రాంతాన్ని పరిమితం చేస్తుంది. అదనంగా, ఇది చాలా "ప్రిక్లీ" గా ఉంటుంది, కాంటౌర్ (Fig. 1) పై ఏ సమయంలోనైనా దానికి ఒక టాంజెంట్ను గీయడం అసాధ్యం.

అన్నం. 1. కోచ్ యొక్క స్నోఫ్లేక్

సాధారణ మరియు క్రమరహిత ఫ్రాక్టల్‌ల మధ్య తేడాను గుర్తించడం ఆచారం, వీటిలో మొదటిది కోచ్ వక్రరేఖను పోలి ఉంటుంది మరియు రెండోది ప్రకృతి లేదా మానవ కార్యకలాపాల యొక్క ఉత్పత్తి. క్రమరహిత ఫ్రాక్టల్స్, సాధారణ వాటిలా కాకుండా, సిస్టమ్ యొక్క వాస్తవ పరిమాణాలచే నిర్ణయించబడిన పరిమిత పరిమితుల్లో స్వీయ-సారూప్యతను కలిగి ఉండే సామర్థ్యాన్ని కలిగి ఉంటాయి.

ఫ్రాక్టల్ నిర్మాణం ఫ్రాక్టల్ ఫ్రాక్షనల్ డైమెన్షన్ ద్వారా వర్గీకరించబడుతుంది. ఫ్రాక్టల్ డైమెన్షన్ (D) అనేది వ్యవస్థల యొక్క అస్థిర, అస్తవ్యస్తమైన ప్రవర్తన యొక్క లక్షణం. తరువాతి స్థలం ఒక వస్తువు లేదా నిర్మాణంతో నిండిన స్థాయిని చూపుతుంది. ఈ కోణాన్ని F. హౌస్‌డోర్ఫ్ పరిచయం చేశారు. సాధారణ రేఖాగణిత చిత్రాల వలె కాకుండా - ఒక బిందువు, ఒక రేఖ, ఒక చతురస్రం, ఒక క్యూబ్, ఇవి పూర్ణాంక పరిమాణం (వరుసగా 0, 1, 2 మరియు 3) కలిగి ఉంటాయి, ఫ్రాక్టల్ నిర్మాణాలు పూర్ణాంకం కాని పరిమాణాన్ని కలిగి ఉంటాయి. కాబట్టి, కోచ్ కర్వ్ కోసం D = లాగ్ 4/ లాగ్ 3 = 1.2618. స్నోఫ్లేక్ యొక్క ఫ్రాక్టల్ పరిమాణం 1.71, అంటే కోచ్ వక్రరేఖ వలె, ఇది ఒకటి మరియు రెండు డైమెన్షనల్ వస్తువుల మధ్య మధ్యస్థ స్థానాన్ని ఆక్రమిస్తుంది.

"ఫ్రాక్టల్స్" అనే పదం ఖనిజశాస్త్రంలో కనిపించడానికి ముందు, ఆపై రసాయన శాస్త్రంలో, "డెన్డ్రైట్" మరియు "డెన్డ్రిటిక్ రూపాలు" అనే పదాన్ని ఉపయోగించారు. డెండ్రైట్ అనేది కొమ్మలు మరియు భిన్నమైన నిర్మాణం, ఇది నిర్దిష్ట చట్టాల ప్రకారం క్రిస్టల్ విడిపోయినప్పుడు, అసమాన పరిస్థితులలో వేగవంతమైన లేదా నిర్బంధ స్ఫటికీకరణ సమయంలో సంభవిస్తుంది. అవి చెట్టులాగా వివిధ దిశలలో శాఖలుగా మరియు పెరుగుతాయి. డెండ్రైట్ ఏర్పడే ప్రక్రియను సాధారణంగా డెన్డ్రిటిక్ పెరుగుదల అంటారు. ఒక వస్తువు యొక్క డెన్డ్రిటిక్ అభివృద్ధి ప్రక్రియలో, అసలు క్రిస్టల్ యొక్క స్ఫటికాకార నమూనా అది పెరిగేకొద్దీ పోతుంది. డెండ్రైట్‌లు త్రీ-డైమెన్షనల్ వాల్యూమెట్రిక్ (ఓపెన్ శూన్యాలలో) లేదా ఫ్లాట్ టూ-డైమెన్షనల్ (అవి రాళ్లలో సన్నని పగుళ్లలో పెరిగినట్లయితే) కావచ్చు. డెండ్రైట్‌లకు ఉదాహరణలు విండో గ్లాస్‌పై మంచు నమూనాలు, స్నోఫ్లేక్స్ మరియు సుందరమైన మాంగనీస్ ఆక్సైడ్‌లు ల్యాండ్‌స్కేప్ చాల్సెడోనీలో చెట్లలాగా మరియు గులాబీ రోడోనైట్ యొక్క పలుచని పగుళ్లలో కనిపిస్తాయి. ధాతువు నిక్షేపాల ఆక్సీకరణ జోన్లలో, స్థానిక రాగి, వెండి మరియు బంగారం శాఖలుగా డెన్డ్రిటిక్ రూపాలను కలిగి ఉంటాయి మరియు స్థానిక బిస్మత్ మరియు అనేక సల్ఫైడ్‌లు లాటిస్ డెండ్రైట్‌లను ఏర్పరుస్తాయి. బరైట్, మలాకైట్ మరియు అనేక ఇతర ఖనిజాల కోసం, ఉదాహరణకు, కార్స్ట్ గుహలలోని అరగోనైట్ మరియు కాల్సైట్ యొక్క “గుహ పువ్వులు”, మూత్రపిండాల ఆకారంలో లేదా పగడపు ఆకారపు డెండ్రైట్‌లు అంటారు. డెండ్రైట్‌లు, పరిష్కారాల నుండి స్ఫటికీకరణ యొక్క నిర్దిష్ట ఉత్పత్తిగా, నిస్సందేహంగా ఫ్రాక్టల్ లక్షణాలను కలిగి ఉంటాయి, అయినప్పటికీ ప్రకృతి మరియు మానవ కార్యకలాపాల యొక్క ఏదైనా సంక్లిష్ట ఉత్పత్తులు ఈ లక్షణాలను కలిగి ఉంటాయి. అందువల్ల, ఫ్రాక్టల్ స్వీయ-సారూప్యత చమురు క్షేత్ర వస్తువులు, హోస్ట్ రిజర్వాయర్లు మరియు చమురు కూడా లక్షణం అని పని చూపిస్తుంది. ఒత్తిడిలో నీటిని చమురు-బేరింగ్ నిర్మాణంలోకి పంపేటప్పుడు, జిగట వేళ్లు గమనించబడతాయి, ఫ్రాక్టల్ నిర్మాణాన్ని కలిగి ఉంటాయి. వరదల సమయంలో, తారులు ఒక ఉచ్ఛరణ ఫ్రాక్టల్ నిర్మాణంతో పెద్ద సమూహాలుగా కలిసిపోతాయి.. అందువలన, 0.1 g/l నుండి 0.15 g/l వరకు తారు సాంద్రత వద్ద, ఆస్ఫాల్టీన్ మోనోమర్‌ల నుండి ఒలిగోమర్‌లు ఏర్పడతాయి. 1-3 g/l సాంద్రత వద్ద, 4-6 మోనోమర్‌లను కలిగి ఉన్న 2-10 nm పరిమాణంతో స్టాకింగ్-స్ట్రక్చర్డ్ నానోకొల్లాయిడ్‌లు ఒలిగోమర్‌ల నుండి పొందబడతాయి. 7-10 g/l ఏకాగ్రత శ్రేణిలోని నానోకొల్లాయిడ్లు 10 nm కంటే ఎక్కువ పరిమాణంతో కణాలుగా రూపాంతరం చెందుతాయి. చివరగా, 25-30 g/l గాఢత వద్ద, వదులుగా ఉండే ఫ్రాక్టల్ నిర్మాణాలు ఏర్పడతాయి, మేము పాలీసాకరైడ్‌లు - గ్లైకోజెన్ మరియు చిటోసాన్, ప్రోటీన్లు, DNA మరియు లిగ్నిన్ వంటి బయోపాలిమర్‌ల ఫ్రాక్టల్ నిర్మాణాల లక్షణాలను కూడా చూపించాము. గ్లైకోజెన్-యానిమల్ స్టార్చ్ యొక్క నిర్మాణం డెన్డ్రిటిక్ అని తేలింది. బెంజోయిక్ ఆమ్లం సమక్షంలో, చిటోసాన్ ఒక చలనచిత్రాన్ని ఏర్పరుస్తుంది, వీటిలో సమూహాలు 1.55 నుండి 1.9 వరకు ఫ్రాక్టల్ పరిమాణం కలిగి ఉంటాయి. ప్రోటీన్ ఉపరితలం రెండు-స్థాయి సంస్థను ప్రదర్శిస్తుందని తేలింది. మైక్రోలెవెల్ యొక్క ఫ్రాక్టల్ పరిమాణం 2.1 చుట్టూ మారుతుంది మరియు వివిధ ప్రోటీన్ కుటుంబాలకు మాక్రోలెవెల్ - 2.2 నుండి 2.8 వరకు ఉంటుంది. DNA మడతపెట్టిన ఫ్రాక్టల్ గ్లోబుల్‌ను ఏర్పరుస్తుందని నిర్ధారించబడింది, దీనిలో గొలుసులు ఎప్పుడూ ముడితో ముడిపడి ఉండవు. లిగ్నిన్ మాక్రోమోలిక్యూల్స్ ఫ్రాక్టల్ కంకరలు అని తేలింది, క్లస్టర్-పార్టికల్ మెకానిజం ద్వారా పెరుగుదల విషయంలో ఫ్రాక్టల్ డైమెన్షన్ ~2.5 మరియు క్లస్టర్-క్లస్టర్ మెకానిజం ద్వారా ~1.8. ఇది కృత్రిమ పరిష్కారాల యొక్క సాంద్రీకృత పరిష్కారాలలో అని నిర్ధారించబడింది. నుండి పొందిన లిగ్నిన్-డీహైడ్రోజనేషన్ పాలిమర్కోనిఫెరిల్ ఆల్కహాల్ , DMSOలో లిగ్నిన్ ఫ్రాక్టల్ గ్లోబుల్ రూపంలో ఉంటుంది.దీని ఉద్దేశ్యంరసాయన ప్రక్రియలు మరియు రసాయన పదార్ధాల ఫ్రాక్టల్ నిర్మాణాల లక్షణాలను చర్చించడం పని.

వెండి బ్రోమైడ్ మరియు పొటాషియం బ్రోమైడ్ మిశ్రమాల స్ఫటికీకరణ సమయంలో, డెన్డ్రిటిక్ స్ఫటికాలు ఏర్పడతాయని పని చూపిస్తుంది. n-బ్యూటిల్ అసిటేట్‌తో ఇంటర్‌ఫేస్ వద్ద ZnSO 4 ద్రావణం యొక్క విద్యుద్విశ్లేషణ ద్వారా 1.7 యొక్క ఫ్రాక్టల్ పరిమాణంతో ఫ్లాట్ జింక్ డెండ్రైడ్‌లు పొందబడ్డాయి. AgBr యొక్క ఘన-దశ విద్యుద్విశ్లేషణ సమయంలో, వెండి యొక్క డెన్డ్రిటిక్ నిర్మాణాలు పొందబడ్డాయి.ఇటీవల డెండ్రైట్ యొక్క భావన క్రిస్టల్ ఏర్పడే పరిధిని మించిపోయిందని గమనించాలి.ఉదాహరణగా, డెన్డ్రిటిక్ పాలిరిల్ ఈథర్, ఇది అత్యంత శాఖలుగా ఉన్న అనలాగ్ 22 రుథేనియం అయాన్‌లతో సహా 1090 పరమాణువుల అకర్బన సూపర్‌మోలిక్యులర్ కాంప్లెక్స్ అయిన డెన్డ్రైమర్ కూడా సంశ్లేషణ చేయబడింది. అమ్మోనియం క్లోరైడ్ యొక్క ద్రావణంలో పెక్టిన్‌ను ప్రవేశపెట్టడం వలన జెయింట్ డెండ్రైట్‌లు ఏర్పడతాయి మరియు యూరియా యొక్క చిన్న మిశ్రమం గుండ్రని అంచులతో స్ఫటికాల ఏర్పాటును ప్రోత్సహిస్తుంది, దీనిని "కుక్క పళ్ళు" అని పిలుస్తారు. ఓవ్చిన్నికోవ్ మరియు ఇతరులు. ఎల్-సిస్టీన్ మరియు సిల్వర్ నైట్రేట్ ఆధారంగా బ్రాంచ్డ్ ఫ్రాక్టల్ క్లస్టర్‌ల సజల వ్యవస్థను పొందడం కోసం ఒక పద్ధతి ప్రతిపాదించబడింది, ఇందులో ఎల్-సిస్టీన్ ద్రావణం మరియు సిల్వర్ నైట్రేట్ ద్రావణాన్ని కలపడంతోపాటు ఎల్-సిస్టీన్ యొక్క ప్రారంభ సాంద్రత ప్రారంభ మిశ్రమంలో 1.14·10 -4 M నుండి 1.17·10 -2 M వరకు ఉంటుంది మరియు సిల్వర్ నైట్రేట్ సాంద్రత L-సిస్టీన్ సాంద్రత కంటే 1.2÷2 రెట్లు ఎక్కువ, ఫలితంగా మిశ్రమాన్ని ఉంచండి. 0.3-48 గంటల పాటు 10÷60 ° C ఉష్ణోగ్రత వద్ద కాంతి నుండి రక్షించబడిన థర్మోస్టాట్ చిన్న మొత్తంలో పలుచన హైడ్రోక్లోరిక్ ఆమ్లాన్ని ఒక ద్రావణంలో ప్రవేశపెట్టినప్పుడు, పరిష్కారం యొక్క యాదృచ్ఛిక స్వీయ-సంస్థ జెల్ నిర్మాణంతో ఏర్పడుతుంది.

"ఆయిల్-వాటర్" మోడల్ ఫ్రేమ్‌వర్క్‌లో, లేకపోవడం మరియు ఉనికిలో రెండు-దశల నీటి-హెప్టేన్ వ్యవస్థలో కొవ్వు-కరిగే డెసైలమైన్‌తో నీటిలో కరిగే N-[ట్రై(హైడ్రాక్సీమీథైల్) మిథైల్]యాక్రిలమైడ్ యొక్క ప్రతిచర్య యొక్క గతిశాస్త్రం ఒక సర్ఫ్యాక్టెంట్ అధ్యయనం చేయబడింది. ప్రతిచర్య ఉత్పత్తి ఫ్రాక్టల్ నిర్మాణాన్ని కలిగి ఉందని చూపబడింది.

రసాయన శాస్త్రంలో "సాటర్న్ ట్రీ", "మెర్క్యురీ ట్రీ" మరియు "డార్ఫ్‌మన్ ట్రీ" వంటి మెటల్ డెండ్రైడ్‌లను పొందడంలో చాలా ఆసక్తికరమైన ప్రయోగాలు ఉన్నాయి.

"ట్రీ ఆఫ్ సాటర్న్" కొన్నిసార్లు వైద్యుడు-రసవాది మరియు ఫార్మాస్యూటికల్ కెమిస్ట్రీ వ్యవస్థాపకుడు పారాసెల్సస్ చెట్టు అని పిలుస్తారు. సీసం లోహాన్ని ఎసిటిక్ యాసిడ్‌లో కరిగించడం ద్వారా తన ఔషధాలలో ఒకదాన్ని తయారు చేస్తున్నప్పుడు, అతను పాదరసం జోడించాలని నిర్ణయించుకున్నాడు, అందుచేత పాత్రలో జింక్ ముక్కలను జోడించాడు (ఆ సమయంలో, చాలా సాధారణ లోహాలతో సహా అనేక రసాయన మూలకాలు ఇంకా గుర్తించబడలేదు మరియు జింక్‌లో చాలా పాదరసం ఉందని నమ్ముతారు, అందుకే ఇది చాలా కరిగిపోతుంది). ప్రయోగాన్ని కొనసాగించడానికి సమయం లేకపోవడంతో, పారాసెల్సస్ చాలా రోజులు నౌకను విడిచిపెట్టాడు మరియు జింక్ ముక్కలపై తెలియని స్వభావం యొక్క మెరిసే కొమ్మలను చూసి అతను ఎంతగానో ఆశ్చర్యపోయాడు! పాదరసం గట్టిపడిన తరువాత జింక్ ముక్కల నుండి బయటకు వచ్చిందని శాస్త్రవేత్త నమ్మాడు. తరువాత, అందమైన "చెట్టు" సీసం యొక్క రసవాద పేరు తర్వాత "సాటర్న్" అనే పేరును పొందింది. "సాటర్న్ ట్రీ" పెరగడానికి, 25 - 30 గ్రా లెడ్ అసిటేట్ యొక్క సజల ద్రావణాన్ని 100 ml నీటిలో ఒక పొడవైన గాజులో పోయాలి లేదా గాజు సిలిండర్ మరియు దానిలో చక్కటి ఇసుక అట్టతో శుభ్రం చేసిన ప్లేట్ లేదా జింక్ రాడ్ ముంచండి. బదులుగా, మీరు అనేక జింక్ ముక్కలను థ్రెడ్‌పై వేలాడదీయవచ్చు, ఇసుక అట్టతో కూడా శుభ్రం చేయవచ్చు. కాలక్రమేణా, శాఖలుగా మరియు మెరిసే సీసం స్ఫటికాలు జింక్ ఉపరితలంపై కలిసిపోతాయి. మరింత రసాయనికంగా చురుకైన లోహంతో ఉప్పు నుండి సీసం తగ్గడం యొక్క ప్రతిచర్య వలన వారి ప్రదర్శన ఏర్పడుతుంది.

Zn + Pb(CH 3 COO) 2 = Pb + Zn(CH 3 COO) 2.

పారాసెల్సస్ జింక్ ముక్కలపై టిన్ స్ఫటికాలను పొందడంలో కూడా ఘనత పొందింది - "బృహస్పతి చెట్టు." అటువంటి "చెట్టు" పెరగడానికి, 100 ml నీటిలో 30-40 గ్రాముల టిన్ క్లోరైడ్ SnCl 2 యొక్క సజల ద్రావణాన్ని పొడవైన గాజు పాత్రలో పోస్తారు మరియు ఒక జింక్ ప్లేట్ ముంచబడుతుంది.

Zn + SnCl 2 = Sn + ZnCl 2.

సిల్వర్ నైట్రేట్ AgNO 3 యొక్క 10% సజల ద్రావణాన్ని గాజు బీకర్‌లో దిగువన పాదరసం చుక్కతో పోయడం ద్వారా వెండి “డార్ఫ్‌మన్ చెట్టు” లభిస్తుంది. మొదట, పాదరసం వెండి సమ్మేళనం (పాదరసం మరియు వెండి మిశ్రమం) యొక్క బూడిద రంగు ఫిల్మ్‌తో కప్పబడి ఉంటుంది మరియు 5 - 10 సెకన్ల తర్వాత, మెరిసే సూది ఆకారపు వెండి స్ఫటికాలు దానిపై త్వరగా పెరగడం ప్రారంభిస్తాయి. కొన్ని నిమిషాల తర్వాత, సూదులు కొమ్మలు ప్రారంభమవుతాయి, మరియు ఒక గంట తర్వాత ఒక మెరిసే వెండి చెట్టు పాత్రలో పెరుగుతుంది. ఇక్కడ సిఫార్సు చేయబడిన వెండి నైట్రేట్ ఏకాగ్రతను ఖచ్చితంగా గమనించడం చాలా ముఖ్యం: AgNO 3 యొక్క తక్కువ కంటెంట్ వద్ద, లోహ వెండి యొక్క స్ఫటికాల పెరుగుదల గమనించబడదు మరియు అధిక కంటెంట్ వద్ద, శాఖల స్ఫటికాలు ఏర్పడకుండా వెండి స్ఫటికీకరణ జరుగుతుంది. .

Hg + 2AgNO 3 = 2Ag + Hg(NO 3) 2

సోడియం సిలికేట్ మరియు కొన్ని లోహాల లవణాలు కలపడం ద్వారా ఆసక్తికరమైన బహుళ-రంగు సిలికేట్ డెండ్రైడ్‌లు లభిస్తాయి. కాబట్టి, సమాన పరిమాణంలో నీటితో కరిగించిన వాణిజ్య సిలికేట్ జిగురు (సోడియం సిలికేట్ Na 2 SiO 3) యొక్క పరిష్కారం గాజులో పోస్తారు. క్లోరైడ్ల స్ఫటికాలు గాజు దిగువకు విసిరివేయబడతాయి: కాల్షియం క్లోరైడ్ CaCl 2, మాంగనీస్ క్లోరైడ్ MnCl 2, కోబాల్ట్ క్లోరైడ్ CoCl 2, నికెల్ క్లోరైడ్ NiCl 2 మరియు ఇతర లోహాలు. కొంత సమయం తరువాత, తక్కువ కరిగే సిలికేట్‌ల స్ఫటికాల డెండ్రైట్‌లు ఆల్గేను పోలి ఉండే గాజులో పెరగడం ప్రారంభిస్తాయి:

Na 2 SiO 3 + CaCl 2 → CaSiO 3 ↓ + 2NaCl

Na 2 SiO 3 + MpCl 2 → MnSiO 3 ↓ + 2NaCl

Na 2 SiO 3 + CoCl 2 → CoSiO 3 ↓ + 2NaCl

Na 2 SiO 3 + NiCl 2 → NiSiO 3 ↓ + 2NaСl

పని టేబుల్ ఉప్పు యొక్క కృత్రిమ స్ఫటికాల యొక్క వ్యక్తిగత విభాగాల ఫ్రాక్టల్ ఇండెక్స్ యొక్క విలువలను పొందింది. ఫ్రాక్టల్ లక్షణాల యొక్క అనిసోట్రోపి యొక్క ప్రభావాలు కనుగొనబడ్డాయి. అధ్యయనం చేయబడిన ఉపరితలాలు ఫ్రాక్టల్ డైమెన్షన్ (2.0-2.2) యొక్క తక్కువ విలువలతో వర్గీకరించబడతాయి, ఇది బలహీనమైన కఠినమైన స్థాయికి అనుగుణంగా ఉంటుంది, ఫ్రాక్టల్ పారామితులు మరియు యాంత్రిక లక్షణాల మధ్య పరస్పర సంబంధం యొక్క సమస్య పరిగణించబడుతుంది.

సోడియం క్లోరైడ్ స్ఫటికాలు పోరస్ సిరామిక్స్ యొక్క ఉపరితలం నుండి ఆవిరైనప్పుడు, అవి తరచుగా ఫైబర్స్ రూపాన్ని తీసుకుంటాయి. కాగితం ఉపరితలం నుండి ఉప్పు ద్రావణం యొక్క బాష్పీభవనం విషయంలో, శాఖలు - డెండ్రైట్‌ల రూపంలో స్ఫటికాల యొక్క ఇంటర్‌గ్రోత్‌లను పొందడం సాధ్యమైంది. అటువంటి ప్రయోగాన్ని నిర్వహించడం చాలా సులభం. మీరు 2-3 సెంటీమీటర్ల వ్యాసం మరియు 15-25 సెంటీమీటర్ల ఎత్తుతో ఒక దీర్ఘచతురస్రాకార ఫిల్టర్ కాగితాన్ని సిలిండర్‌లోకి రోల్ చేయాలి, సిలిండర్‌ను నిలువుగా పెట్రీ డిష్‌లో ఉంచండి మరియు పైన భద్రపరచండి. సోడియం క్లోరైడ్‌ను కప్పులో దాదాపు పైభాగానికి పోస్తారు, కొద్దిగా పసుపు బ్లడ్ సాల్ట్ K4 (ఒక టీస్పూన్‌లో పావు వంతు), ఆపై కదిలించు మరియు నీటిని కలపండి, తద్వారా అది ఉప్పును బాగా తడి చేస్తుంది మరియు ద్రావణం ఫిల్టర్ పేపర్ పైకి లేవడం ప్రారంభమవుతుంది. పరిష్కారం కాగితం ఉపరితలం నుండి క్రమంగా ఆవిరైపోతుంది మరియు దాని స్థానంలో తాజా భాగాలు కప్పు నుండి పెరుగుతాయి (కేశనాళిక ప్రభావం కారణంగా). ద్రావణం ఆవిరైనప్పుడు, కప్పులో నీరు వేసి ఉప్పు కలపండి. క్రమంగా, ఉప్పు స్ఫటికాలు కాగితం ఉపరితలంపై పెరగడం ప్రారంభమవుతుంది, ఇది కొన్ని రోజుల్లో కొమ్మల రూపాన్ని తీసుకుంటుంది (Fig. 2). పేపర్ సిలిండర్ తెల్లటి పగడపులా కనిపిస్తుంది. పసుపు రక్త ఉప్పు కలపడం వల్ల పీచు సోడియం క్లోరైడ్ స్ఫటికాలు ఏర్పడతాయి. అది లేకుండా, టేబుల్ ఉప్పు కాగితం ఉపరితలంపై క్రస్ట్‌ను ఏర్పరుస్తుంది.

అన్నం. 2. అసాధారణ ఉప్పు స్ఫటికాలు

శీతాకాలంలో ఉప్పు సరస్సులలో NaCl·2H 2 O డైహైడ్రేట్ స్ఫటికాలు ఏర్పడతాయి. ఉష్ణోగ్రత తగినంతగా పడిపోయినప్పుడు, హైడ్రోహలైట్ అని పిలువబడే ఈ ఖనిజ సమూహాలు ఏర్పడతాయి.

సాహిత్యం:

• 1. మాండెల్‌బ్రోట్ V. B. లెస్ ఆబ్జెక్ట్స్ ఫ్రాక్టల్స్: ఫారమ్, హసార్డ్ మరియు డైమెన్షన్. పారిస్: ఫ్లామేరియన్, 1975, 192 ఆర్.
• 2. మాండెల్‌బ్రోట్ B. ప్రకృతి యొక్క ఫ్రాక్టల్ జ్యామితి. M.: ఇన్స్టిట్యూట్ ఆఫ్ కంప్యూటర్ రీసెర్చ్, 2002, 656 p.
• 3. గ్రిగోరివ్ డి.పి. ఖనిజ పదాల మధ్య వ్యత్యాసంపై: అస్థిపంజరం, డెండ్రైట్ మరియు పోయికిలైట్. //Izv. విశ్వవిద్యాలయాలు, జియోల్. మరియు అభివృద్ధి 1965, నం. 8, పేజీలు 145-147.
• 4. సిమోన్యన్ G.S. చమురు నిక్షేపాలు మరియు చమురు యొక్క ఫ్రాక్టల్ స్వభావం // చమురు మరియు వాయువు యొక్క సాంకేతికత. 2015, నం. 3, పేజీలు 24-31.
• 5. సిమోన్యన్ G.S., సిమోన్యన్ A.G. జీవ వ్యవస్థల ఫ్రాక్టాలిటీ. బయోపాలిమర్ల యొక్క ఐఫ్రాక్టాలిటీ.// ఆధునిక సహజ శాస్త్రం యొక్క పురోగతి. 2015, నం. 11, పేజీలు 93-97.
• 6. ట్రెటియాకోవ్ యు.డి. డెండ్రిడీస్, ఫ్రాక్టల్స్ మరియు మెటీరియల్స్. //సోరోస్ ఎడ్యుకేషనల్ మ్యాగజైన్. 1998, నం. 12, పేజీలు 96-102.
• 7. షుబ్నికోవ్ A.V., పావ్రోవ్ V.F. న్యూక్లియేషన్ మరియు స్ఫటికాల పెరుగుదల. M.: నౌకా, 1969, 73 p.
• 8. ఓవ్చిన్నికోవ్ M. M., ఖిజ్న్యాక్ S. D., పఖోమోవ్ P. M. Sb. "ఫిజికల్ కెమిస్ట్రీ ఆఫ్ పాలిమర్స్", ట్వెర్, 2007, T. 13, p. 140-147.
• 9. ఓవ్చిన్నికోవ్ M. M., ఖిజ్న్యాక్ S. D., పఖోమోవ్ P. M. Sb. "ఫిజికల్ కెమిస్ట్రీ ఆఫ్ పాలిమర్స్", ట్వెర్, 2008, T. 14, p. 186-194.
• 10. సిమోన్యన్ జి.ఎస్. మోడల్ టూ-ఫేజ్ ఆయిల్-వాటర్ సిస్టమ్‌లో మైఖేల్ రియాక్షన్. అపరిమితమైన పరిస్థితులలో ఒక ప్రత్యేక సందర్భం: భూమి మరియు అంతరిక్ష శాస్త్రాలు, భౌతిక శాస్త్రం, గణితం మరియు రసాయన శాస్త్రాలలో (లండన్, డిసెంబర్ 19- డిసెంబర్ 24, 2013) LXXIV అంతర్జాతీయ పరిశోధన మరియు అభ్యాస కాన్ఫరెన్స్ మరియు III దశ యొక్క విస్తారమైన యూనివర్స్ మెటీరియల్స్ డైజెస్ట్ ప్రచురణకర్త మరియు నిర్మాత ఇంటర్నేషనల్ అకాడమీ ఆఫ్ సైన్స్ అండ్ హయ్యర్ ఎడ్యుకేషన్.2014 p.60-62.
• 11. అదమ్యన్ ఆర్., కొచిక్యాన్ టి., సిమోన్యన్ జి. కెమిస్ట్రీలో లాబొరేటరీ పని. యెరెవాన్-2011, 164 పేజీలు. (అర్మేనియన్‌లో)
• 12. ఆప్తుకోవ్ V.N., మిటిన్ V.Yu., మొరోజోవ్ I.A. నానోస్కేల్ పరిధిలో టేబుల్ ఉప్పు స్ఫటికాల యొక్క ఫ్రాక్టల్ మరియు మెకానికల్ లక్షణాలు. // పెర్మ్ విశ్వవిద్యాలయం యొక్క బులెటిన్. సెర్. మెకానిక్స్. గణితం. కంప్యూటర్ సైన్స్. 2014, సంచిక 4(27), పే. 16-21.

మీ రేటింగ్: లేదుసగటు: 8.5 (4 ఓట్లు)

ఫ్రాక్టల్ అనేది అనంతమైన స్వీయ-సారూప్య రేఖాగణిత బొమ్మ, స్కేల్ తగ్గుతున్నప్పుడు దానిలోని ప్రతి భాగం పునరావృతమవుతుంది.

మల్టీఫ్రాక్టల్ అనేది సంక్లిష్టమైన ఫ్రాక్టల్ నిర్మాణం, ఇది అనేక వరుస అల్గారిథమ్‌లను ఉపయోగించి పొందబడుతుంది.

ఫ్రాక్టల్‌ను వివరించడానికి, మూడు పారామితులు మాత్రమే అవసరం: ఫ్రాక్టల్ డైమెన్షన్ D, ప్రైమరీ బ్లాక్ యొక్క కొలతలు (R t in) మరియు మొత్తం వస్తువు.

ఫ్రాక్టల్ పరిమాణం చాలా సంక్లిష్టమైన మరియు పెద్ద సంఖ్యలో పాయింట్, లీనియర్, ఉపరితలం మరియు వాల్యూమెట్రిక్ లోపాలను కలిగి ఉన్న వివిధ నిర్మాణాలను పరిమాణాత్మకంగా వివరించడానికి వీలు కల్పిస్తుంది.

సాధారణ ఫ్రాక్టల్ అనేది ఫ్రాక్టల్, ఇది ఖచ్చితమైన స్వీయ-సారూప్యతతో వర్గీకరించబడుతుంది మరియు ఇది ఆదర్శవంతమైన నమూనా, ఎందుకంటే ఒక నిర్దిష్ట తిరోగమనం ఎల్లప్పుడూ అంగీకరించబడుతుంది.

ఫ్రాక్టల్ క్లస్టర్ అస్తవ్యస్తమైన ఫ్రాక్టల్.

పదార్థాల నిర్మాణంలో లోపాల ఫ్రాక్టాలిటీ

నిజమైన సహజ వస్తువుల ఆకృతి గురించి, జీవశాస్త్రం మరియు మెటీరియల్ సైన్స్‌లోని నిర్మాణాల గురించి కొత్త ఆలోచనలు ఫ్రాక్టల్స్ అనే భావనపై ఆధారపడి ఉంటాయి, దీనిని మొదట B. మాండెల్‌బ్రోట్ రూపొందించారు. అతను ఫ్రాక్టల్ మాత్రమే కాకుండా ఫ్రాక్టల్ జ్యామితి అనే భావనను ప్రవేశపెట్టాడు, ఇది యూక్లిడియన్ జ్యామితికి భిన్నమైన కొలతలలో భిన్నంగా ఉంటుంది మరియు మన చుట్టూ ఉన్న వస్తువుల ఆకృతులు, ఉపరితలాలు మరియు వాల్యూమ్‌లు సమానంగా, మృదువుగా మరియు పరిపూర్ణంగా లేవని దృష్టిని ఆకర్షించాడు. అనేది సాధారణంగా భావించబడుతుంది. వాస్తవానికి, జాగ్రత్తగా పరిశీలించినప్పుడు, అవి అసమానంగా, కఠినమైనవి, చాలా విచిత్రమైన ఆకారంలో అనేక రంధ్రాలతో వ్రణోత్పత్తి, పగుళ్లు మరియు రంధ్రాలతో చిక్కుకున్నవి, ముడతలు, గీతలు మొదలైన వాటి నెట్‌వర్క్‌తో కప్పబడి ఉన్నాయని తేలింది.

ఆదర్శం (కాంటౌర్ టార్టుయోసిటీ, ఉపరితల ముడతలు, పగుళ్లు మరియు వాల్యూమ్ సచ్ఛిద్రత) నుండి ఈ విచలనాలను లెక్కించడానికి, B. మాండెల్‌బ్రోట్ పాక్షిక కొలతలు ఉపయోగిస్తాడు. ఈ కొత్త పరిమాణాత్మక అంచనా, పాక్షిక హౌస్‌డోర్ఫ్-బెజెకోవిచ్ పరిమాణం, క్లాసికల్ యూక్లిడియన్ జ్యామితి యొక్క ఆదర్శ వస్తువులకు వర్తించబడుతుంది, ప్రసిద్ధ టోపోలాజికల్ డైమెన్షన్‌కు సమానమైన సంఖ్యా విలువలను అందించింది (ఒక బిందువుకు సున్నాకి సమానం, మృదువైన రేఖకు ఒకటి, రెండు ఒక ఫిగర్ మరియు ఉపరితలం కోసం, ఒక శరీరం మరియు స్థలం కోసం మూడు) (అంజీర్‌లోని టోపోలాజీ లైన్ చూడండి. "పదార్థాల యొక్క నిజమైన నిర్మాణం యొక్క మూలకాలు").

కానీ నిజమైన నిర్మాణాల యొక్క పదనిర్మాణాన్ని అంచనా వేసే సందర్భంలో, కొత్త పరిమాణం నిజమైన వస్తువుల యొక్క అన్ని రకాల అసంపూర్ణతలకు మరింత సూక్ష్మమైన సున్నితత్వాన్ని కలిగి ఉంటుంది. అందువల్ల, టోపోలాజికల్ డైమెన్షన్‌ను ఉపయోగిస్తున్నప్పుడు సరళ రేఖ విభాగం, సైనూసోయిడ్ విభాగం మరియు అత్యంత సంక్లిష్టమైన మెండర్ వేరు చేయలేవు - అవన్నీ ఒకదానికి సమానమైన టోపోలాజికల్ కోణాన్ని కలిగి ఉంటాయి, అయితే హౌస్‌డోర్ఫ్-బెజెకోవిచ్ స్కేల్‌పై వాటి పరిమాణం భిన్నంగా ఉంటుంది మరియు టార్టుయోసిటీ స్థాయిని అనుమతిస్తుంది. సంఖ్యాపరంగా కొలవవలసిన పంక్తి.

రేఖ తాబేలు లేదా ఉపరితల కరుకుదనం పెరిగే కొద్దీ హౌస్‌డోర్ఫ్-బెజెకోవిచ్ పరిమాణం పెరుగుతుంది. పరిమాణంలో ఈ మార్పు టోపోలాజీలో వలె జంప్‌లతో కలిసి ఉండదు, కానీ లోపం పెరిగేకొద్దీ దాని విలువను సజావుగా మారుస్తుంది.

కాబట్టి, సంక్లిష్ట డైనమిక్ సిస్టమ్స్ యొక్క ప్రవర్తన యొక్క అధ్యయనంలో గణితం మరియు భౌతిక శాస్త్రం యొక్క ఖండన వద్ద, వారు వారి కొత్త జన్మను పొందారు ఫ్రాక్టల్స్ అనేది ఫ్రాక్టల్ (ఫ్రాక్టల్) పరిమాణం కలిగిన వస్తువులు.

అనేక సహజ ఫ్రాక్టల్స్ (రాళ్ళు మరియు లోహాల తప్పు ఉపరితలాలు, మేఘాలు, అల్లకల్లోలమైన ప్రవాహాలు, నురుగు, జెల్లు, మసి కణాలు మొదలైనవి) స్పష్టమైన రేఖాగణిత సారూప్యతను కలిగి ఉండవు, కానీ మొండిగా ప్రతి భాగంలోని మొత్తం గణాంక లక్షణాలను పునరుత్పత్తి చేస్తాయి. ఈ గణాంక సారూప్యత లేదా సగటున స్వీయ-సారూప్యత, వివిధ రకాల సహజ వస్తువుల నుండి ఫ్రాక్టల్‌లను వేరు చేస్తుంది.

నిజమైన స్నోఫ్లేక్ (ఆరు రకాలు) ఒక డెన్డ్రిటిక్ మంచు క్రిస్టల్. ఇది అన్ని లోహాలు మరియు మిశ్రమాల ప్రాథమిక స్ఫటికీకరణ సమయంలో ఉత్పన్నమయ్యే ఒక సాధారణ స్వీయ-సారూప్య ఫ్రాక్టల్.

ఫ్రాక్టల్ జ్యామితిని ఉపయోగించి స్నోఫ్లేక్‌ను వివరించడానికి కేవలం మూడు పారామితులు అవసరం: ఫ్రాక్టల్ డైమెన్షన్ D, ప్రాథమిక బ్లాక్ యొక్క కొలతలు (R t in) మరియు స్నోఫ్లేక్ మొత్తం (R m akh). కంప్యూటర్ మరియు నిజమైన స్నోఫ్లేక్స్ యొక్క ఫ్రాక్టల్ పరిమాణం ఒకే విధంగా ఉంటుంది (D = 1.71).

మెటీరియల్ సైన్స్‌లో ఫ్రాక్టల్స్

ఆధునిక మెటీరియల్ సైన్స్ యొక్క కేంద్ర సమస్య పదార్థం యొక్క నిర్మాణం మరియు నిర్మాణాత్మక పారామితులు మరియు పదార్థం యొక్క లక్షణాల మధ్య సంబంధాన్ని ఏర్పరచడం. విదేశీ అణువుల కరిగిన సమయంలో, చెదరగొట్టబడిన దశల విడుదల సమయంలో, ధాన్యం అణిచివేత సమయంలో బలోపేతం చేయడంలో ప్రాథమిక పరిమాణాత్మక సంబంధాలు పదార్థాల నిర్మాణ లోపాల నుండి వాటి లక్షణాల వరకు ఆధునిక పదార్థాల శాస్త్రం యొక్క నమూనాగా ఉన్నాయి.

సాంప్రదాయకంగా, స్థూల-, మీసో- మరియు మైక్రోస్కోపిక్ స్థాయిలలో పదార్థాల నిర్మాణం యొక్క విశ్లేషణ టోపోలాజికల్ కొలతలు ఉపయోగించి నిర్మాణ భాగాల పరిమాణాత్మక కొలతల ద్వారా నిర్వహించబడుతుంది. ఈ సందర్భంలో, యూక్లిడియన్ జ్యామితి యొక్క సాధారణ బొమ్మల నుండి చాలా క్లిష్టమైన, వాస్తవ నిర్మాణాల యొక్క ముఖ్యమైన షరతులతో కూడిన అంచనాలు అనుమతించబడతాయి.

ఫ్రాక్టల్ పరిమాణం చాలా సంక్లిష్టమైన మరియు పెద్ద సంఖ్యలో పాయింట్, లీనియర్, ఉపరితలం మరియు వాల్యూమెట్రిక్ లోపాలను కలిగి ఉన్న వివిధ నిర్మాణాలను పరిమాణాత్మకంగా వివరించడానికి వీలు కల్పిస్తుంది. ఫ్రాక్టల్ జ్యామితి అస్తవ్యస్తమైన పదనిర్మాణ శాస్త్రాన్ని వివరించడం సాధ్యం చేస్తుంది - కఠినమైన ఉపరితలాలు, పోరస్ మీడియా, అదనపు దశల సంక్లిష్ట ఆకృతులు మొదలైనవి. తరచుగా ఇటువంటి నిర్మాణాలు స్వీయ-సారూప్యత యొక్క ఆస్తిని కలిగి ఉంటాయి.

ఫ్రాక్టల్ విశ్లేషణ యొక్క ప్రాథమిక సూత్రం ఆప్టికల్ మైక్రోస్కోపీ, ఎలక్ట్రాన్ స్కానింగ్ మరియు ట్రాన్స్‌మిషన్ మైక్రోస్కోపీ మరియు పరిమాణాత్మక మెటాలోగ్రఫీ యొక్క ఇతర పద్ధతుల యొక్క విస్తృత ఉపయోగంతో అధ్యయనంలో ఉన్న నిర్మాణం యొక్క ఫ్రాక్టల్ కోణాన్ని నిర్ణయించడం.

ఆధునిక మెటీరియల్ సైన్స్ యొక్క ప్రధాన ఉదాహరణ: "పదార్థం యొక్క వాస్తవ నిర్మాణం నుండి దాని భౌతిక మరియు యాంత్రిక లక్షణాల వరకు":

ఎగువ వరుస - పదార్థం యొక్క సూక్ష్మ మరియు మెసోస్ట్రక్చర్‌లోని లోపాల నమూనాల ఉదాహరణలు (ఎడమ నుండి కుడికి): కరిగిన అశుద్ధ అణువుల ద్వారా క్రిస్టల్ లాటిస్ యొక్క సాగే వైకల్యం, చెదరగొట్టబడిన అదనపు దశలు (కణాలు) ద్వారా కదిలే తొలగుటను నిరోధించడం. ధాన్యం సరిహద్దుల ద్వారా తొలగుట సంచితాలు;

దిగువ వరుస అనేది ఎగువ వరుసలోని నిర్మాణ లోపాల ప్రభావంతో కొన్ని భౌతిక మరియు యాంత్రిక లక్షణాలలో మార్పులను ప్రతిబింబించే ఉదాహరణలు.

అన్నం. 1.17నిర్మాణంపై భౌతిక లక్షణాల ఆధారపడటం అనేది ఆధునిక మెటీరియల్ సైన్స్ యొక్క ప్రధాన ఉదాహరణ

నిర్మాణాల యొక్క స్వీయ-సారూప్యత ఫలితంగా నమూనాల రేఖాగణిత విశ్లేషణ మరియు వివిధ మాగ్నిఫికేషన్ స్కేల్స్ వద్ద వాటి కొలతలు ద్వారా నిర్ధారించబడుతుంది. నిర్మాణం యొక్క ఫ్రాక్టల్ స్వభావాన్ని స్థాపించడానికి, స్వీయ-సారూప్యత ఉనికిని ధృవీకరించడం మరియు ఫ్రాక్టల్ కోణాన్ని లెక్కించడం అవసరం.

పదార్థం యొక్క లక్షణాలు మరియు దాని ఫ్రాక్టల్ పరిమాణం మధ్య సంబంధాన్ని మరింత నిర్ణయించడానికి ఫ్రాక్టల్ నిర్మాణాల విశ్లేషణలో కొన్ని కొత్త ప్రాథమిక విధానాలు అవసరం.

మెటీరియల్స్ యొక్క ఫ్రాక్చర్ ఉపరితలాల యొక్క ఫ్రాక్టోగ్రాఫిక్ అధ్యయనాలు వాటి ఫ్రాక్టల్ పరిమాణాన్ని నిర్ణయించడం ద్వారా ప్రభావం లేదా అలసట లోడింగ్ కింద పగులు యొక్క స్వభావాన్ని అంచనా వేయడానికి అత్యంత ప్రభావవంతంగా ఉంటాయి.