త్రికోణమితి యొక్క ప్రాథమిక సూత్రాలు. పాఠం సంఖ్య 1
త్రికోణమితిలో ఉపయోగించే ఫార్ములాల సంఖ్య చాలా పెద్దది (“ఫార్ములాలు” ద్వారా మేము నిర్వచనాలు కాదు (ఉదాహరణకు, tgx=sinx/cosx), కానీ sin2x=2sinxcosx వంటి ఒకే విధమైన సమానతలు). ఈ సమృద్ధి ఫార్ములాలను నావిగేట్ చేయడాన్ని సులభతరం చేయడానికి మరియు అర్థరహితమైన క్రామింగ్‌తో విద్యార్థులను అలసిపోకుండా చేయడానికి, వాటిలో ముఖ్యమైన వాటిని హైలైట్ చేయడం అవసరం. వాటిలో కొన్ని ఉన్నాయి - మూడు మాత్రమే. మిగతావన్నీ ఈ మూడు సూత్రాలను అనుసరిస్తాయి. ఇది మొత్తం మరియు వ్యత్యాసం యొక్క సైన్ మరియు కొసైన్ కోసం ప్రాథమిక త్రికోణమితి గుర్తింపు మరియు సూత్రాలు:
సిన్ 2 x+cos 2 x=1 (1)
Sin(x±y)=sinxcosy±sinycosx (2)
Cos(x±y)=cosxcosy±sinxsiny (3)
ఈ మూడు సూత్రాల నుండి సైన్ మరియు కొసైన్ యొక్క అన్ని లక్షణాలను ఖచ్చితంగా అనుసరించండి (ఆవర్తన, కాల విలువ, సైన్ విలువ 30 0 = π/6=1/2, మొదలైనవి) ఈ దృక్కోణం నుండి, అధికారికంగా చాలా అనవసరమైన, అనవసరమైన సమాచారం పాఠశాల పాఠ్యాంశాల్లో ఉపయోగించబడుతుంది. కాబట్టి, "1-3" సూత్రాలు త్రికోణమితి రాజ్యం యొక్క పాలకులు. సహసంబంధ సూత్రాలకు వెళ్దాం:
1) బహుళ కోణాల సైన్లు మరియు కొసైన్‌లు
మనం x=y విలువను (2) మరియు (3)కి ప్రత్యామ్నాయం చేస్తే, మనకు లభిస్తుంది:
Sin2x=2sinxcosх; sin0=sinxcosx-sinxcosx=0
Cos2x=cos 2 x-sin 2 x; cos0=cos 2 x+sin 2 x=1
మేము పాపం0=0 అని తగ్గించాము; cos0=1, సైన్ మరియు కొసైన్ యొక్క రేఖాగణిత వివరణను ఆశ్రయించకుండా. అదేవిధంగా, "2-3" సూత్రాలను రెండుసార్లు వర్తింపజేయడం ద్వారా, మనం sin3x కోసం వ్యక్తీకరణలను పొందవచ్చు; cos3x; sin4x; cos4x, మొదలైనవి
Sin3x = sin(2x+x) = sin2xcosx+sinxcos2x = 2sinxcos 2 x+sinx(cos 2 x-sin 2 x) = 2sinx(1-sin 2 x)+sinx(1-2sin 2 x) = 3sinx-4s x
విద్యార్థుల కోసం విధి: cos3x కోసం సారూప్య వ్యక్తీకరణలను పొందండి; sin4x; cos4x
2) డిగ్రీ తగ్గింపు సూత్రాలు
బహుళ కోణాల కొసైన్‌లు మరియు సైన్‌ల పరంగా సైన్ మరియు కొసైన్ శక్తులను వ్యక్తీకరించడం ద్వారా విలోమ సమస్యను పరిష్కరించండి.
ఉదాహరణకు: cos2x=cos 2 x-sin 2 x=2cos 2 x-1, అందుకే: cos 2 x=1/2+cos2x/2
Cos2x=cos 2 x-sin 2 x=1-2sin 2 x, అందుకే: sin 2 x=1/2-cos2x/2
ఈ సూత్రాలు చాలా తరచుగా ఉపయోగించబడతాయి. వాటిని బాగా అర్థం చేసుకోవడానికి, వారి ఎడమ మరియు కుడి వైపుల గ్రాఫ్‌లను గీయమని నేను మీకు సలహా ఇస్తున్నాను. "y=1/2" సరళ రేఖ యొక్క గ్రాఫ్ చుట్టూ కొసైన్ మరియు సైన్ "ర్యాప్" యొక్క చతురస్రాల గ్రాఫ్‌లు (ఇది చాలా కాలాల్లో cos 2 x మరియు sin 2 x యొక్క సగటు విలువ). ఈ సందర్భంలో, ఒరిజినల్‌తో పోలిస్తే డోలనం ఫ్రీక్వెన్సీ రెట్టింపు అవుతుంది (ఫంక్షన్ల కాలం 2 x సిన్ 2 x 2π /2=πకి సమానం), మరియు డోలనాల వ్యాప్తి సగానికి తగ్గించబడుతుంది (cos2x కంటే ముందు గుణకం 1/2) .
సమస్య: ఎక్స్‌ప్రెస్ పాపం 3 x; కాస్ 3 x; పాపం 4 x ; బహుళ కోణాల కొసైన్‌లు మరియు సైన్‌ల ద్వారా 4 x.
3) తగ్గింపు సూత్రాలు
వారు త్రికోణమితి ఫంక్షన్ల యొక్క ఆవర్తనాన్ని ఉపయోగిస్తారు, మొదటి త్రైమాసికంలోని విలువల నుండి త్రికోణమితి సర్కిల్‌లోని ఏదైనా త్రైమాసికంలో వాటి విలువలను లెక్కించడానికి అనుమతిస్తుంది. తగ్గింపు సూత్రాలు "ప్రధాన" సూత్రాల (2-3) యొక్క చాలా ప్రత్యేక సందర్భాలు. ఉదాహరణకు: cos(x+π/2)=cosxcos π/2-sinxsin π/2=cosx*0-sinx*1=sinx
కాబట్టి Cos(x+ π/2) =sinx
విధి: sin(x+ π/2) కోసం తగ్గింపు సూత్రాలను పొందండి; cos(x+ 3 π/2)
4) కొసైన్ మరియు సైన్ యొక్క మొత్తం లేదా వ్యత్యాసాన్ని ఉత్పత్తిగా మరియు వైస్ వెర్సాగా మార్చే సూత్రాలు.
రెండు కోణాల మొత్తం మరియు వ్యత్యాసం యొక్క సైన్ కోసం సూత్రాన్ని వ్రాద్దాం:
Sin(x+y) = sinxcosy+sinycosx (1)
Sin(x-y) = sinxcosy-sinycosx (2)
ఈ సమానత్వం యొక్క ఎడమ మరియు కుడి వైపులా జతచేద్దాం:
Sin(x+y) +sin(x-y) = sinxcosy +sinycosx +sinxcosy –sinycosx
ఇలాంటి నిబంధనలు రద్దు చేయబడతాయి, కాబట్టి:
Sin(x+y) +sin(x-y) = 2sinxcosy (*)
ఎ) కుడి నుండి ఎడమకు (*) చదివినప్పుడు, మనకు లభిస్తుంది:
Sinxcosy= 1/2(sin(x+y) + sin(x-y)) (4)
రెండు కోణాల సైన్‌ల ఉత్పత్తి మొత్తం యొక్క సైన్‌ల సగం మొత్తానికి మరియు ఈ కోణాల వ్యత్యాసానికి సమానం.
బి) ఎడమ నుండి కుడికి (*) చదివేటప్పుడు, సూచించడానికి సౌకర్యవంతంగా ఉంటుంది:
x-y = c. ఇక్కడ నుండి మేము కనుగొంటాము Xమరియు వద్దద్వారా ఆర్మరియు తో, ఈ రెండు సమానత్వం యొక్క ఎడమ మరియు కుడి వైపులా జోడించడం మరియు తీసివేయడం:
x = (p+c)/2, y = (p-c)/2, (x+y)కి బదులుగా (*) మరియు (x-y) ఉత్పన్నమైన కొత్త వేరియబుల్స్‌లో ప్రత్యామ్నాయం ఆర్మరియు తో, ఉత్పత్తి ద్వారా సైన్స్ మొత్తాన్ని ఊహించుకుందాం:
sinp + sinc =2sin(p+c)/2cos(p-c)/2 (5)
కాబట్టి, మొత్తం యొక్క సైన్ మరియు కోణాల వ్యత్యాసం కోసం ప్రాథమిక సూత్రం యొక్క ప్రత్యక్ష పరిణామం రెండు కొత్త సంబంధాలు (4) మరియు (5)గా మారుతుంది.
సి) ఇప్పుడు, సమానత్వం (1) మరియు (2) యొక్క ఎడమ మరియు కుడి భుజాలను జోడించే బదులు, మేము వాటిని ఒకదానికొకటి తీసివేస్తాము:
sin(x+y) – sin(x-y) = 2sinycosx (6)
ఈ గుర్తింపును కుడి నుండి ఎడమకు చదవడం (4)కి సమానమైన ఫార్ములాకు దారి తీస్తుంది, ఇది రసహీనమైనదిగా మారుతుంది, ఎందుకంటే సైన్ మరియు కొసైన్ ఉత్పత్తులను సైన్స్ మొత్తంగా ఎలా విడదీయవచ్చో మనకు ఇప్పటికే తెలుసు (చూడండి (4)). (6)ని ఎడమ నుండి కుడికి చదవడం వలన సైన్‌ల వ్యత్యాసాన్ని ఉత్పత్తిగా కుదించే ఫార్ములా లభిస్తుంది:
sinp – sinc = 2sin((p-c)/2) * cos((p+c)/2) (7)
కాబట్టి, ఒక ప్రాథమిక గుర్తింపు పాపం (x±y) = sinxcosy±sinycosx నుండి, మేము మూడు కొత్త వాటిని (4), (5), (7) పొందాము.
మరొక ప్రాథమిక గుర్తింపు cos (x±y) = cosxcosy±sinxsinyతో చేసిన ఇలాంటి పని నాలుగు కొత్త వాటికి దారితీస్తుంది:
Cosxcosy = ½ (cos(x+y) + cos(x-y)); cosp + cosc = 2cos((p+c)/2)cos((p-c)/2);
Sinxsiny = ½ (cos(x-y) – cos(x+y)); cosp-cosc = -2sin((p-c)/2)sin((p+c)/2)
విధి: సైన్ మరియు కొసైన్ మొత్తాన్ని ఉత్పత్తిగా మార్చండి:
Sinx + cosy = ? పరిష్కారం: మీరు సూత్రాన్ని పొందకూడదని ప్రయత్నిస్తే, త్రికోణమితి సూత్రాల యొక్క కొన్ని పట్టికలోని సమాధానాన్ని వెంటనే చూడండి, అప్పుడు మీరు రెడీమేడ్ ఫలితాన్ని కనుగొనలేకపోవచ్చు. సింక్స్ + హాయిగా = ... కోసం మరొక సూత్రాన్ని గుర్తుంచుకోవాల్సిన అవసరం లేదని మరియు పట్టికలోకి ప్రవేశించాల్సిన అవసరం లేదని విద్యార్థులు అర్థం చేసుకోవాలి, ఎందుకంటే ఏదైనా కొసైన్‌ను సైన్‌గా సూచించవచ్చు మరియు దీనికి విరుద్ధంగా తగ్గింపు సూత్రాలను ఉపయోగించవచ్చు, ఉదాహరణకు: sinx = cos ( π/2 – x), హాయిగా = పాపం (π/2 – y). కాబట్టి: sinx+cosy = sinx + sin (π/2 – y) = 2sin ((x+π/2 – y)/2)cos((x - π/2 + y)/2.
ప్రాథమిక త్రికోణమితి సూత్రాలు ప్రాథమిక త్రికోణమితి ఫంక్షన్ల మధ్య కనెక్షన్‌లను ఏర్పాటు చేసే సూత్రాలు. సైన్, కొసైన్, టాంజెంట్ మరియు కోటాంజెంట్ అనేక సంబంధాల ద్వారా పరస్పరం అనుసంధానించబడి ఉన్నాయి. క్రింద మేము ప్రధాన త్రికోణమితి సూత్రాలను ప్రదర్శిస్తాము మరియు సౌలభ్యం కోసం మేము వాటిని ఉద్దేశ్యంతో సమూహపరుస్తాము. ఈ ఫార్ములాలను ఉపయోగించి మీరు ప్రామాణిక త్రికోణమితి కోర్సు నుండి ఏదైనా సమస్యను పరిష్కరించవచ్చు. క్రింద ఉన్న సూత్రాలు మాత్రమే అని వెంటనే గమనించండి మరియు వాటి ముగింపు కాదు, ఇది ప్రత్యేక కథనాలలో చర్చించబడుతుంది.
త్రికోణమితి యొక్క ప్రాథమిక గుర్తింపులు
త్రికోణమితి గుర్తింపులు ఒక కోణం యొక్క సైన్, కొసైన్, టాంజెంట్ మరియు కోటాంజెంట్ మధ్య సంబంధాన్ని అందిస్తాయి, ఒక ఫంక్షన్‌ను మరొక కోణంలో వ్యక్తీకరించడానికి అనుమతిస్తుంది.
త్రికోణమితి గుర్తింపులు
sin 2 a + cos 2 a = 1 t g α = sin α cos α, c t g α = cos α sin α t g α c t g α = 1 t g 2 α + 1 = 1 cos 2 α, c t g 1 = 2 α1 పాపం α
ఈ గుర్తింపులు యూనిట్ సర్కిల్, సైన్ (సిన్), కొసైన్ (కాస్), టాంజెంట్ (tg) మరియు కోటాంజెంట్ (ctg) యొక్క నిర్వచనాల నుండి నేరుగా అనుసరిస్తాయి.
తగ్గింపు సూత్రాలు
తగ్గింపు సూత్రాలు ఏకపక్ష మరియు ఏకపక్షంగా పెద్ద కోణాలతో పని చేయడం నుండి 0 నుండి 90 డిగ్రీల వరకు ఉన్న కోణాలతో పని చేయడానికి మిమ్మల్ని అనుమతిస్తాయి.
తగ్గింపు సూత్రాలు
sin α + 2 π z = sin α , cos α + 2 π z = cos α t g α + 2 π z = t g α , c t g α + 2 π z = c t g α పాపం - α + 2 π cos - α + 2 π z = cos α t g - α + 2 π z = - t g α, c t g - α + 2 π z = - c t g α sin π 2 + α + 2 π z = cos π, 2 α + 2 π z = - sin α t g π 2 + α + 2 π z = - c t g α, c t g π 2 + α + 2 π z = - t g α పాపం π 2 - α + 2 cos α z = ప π + α + 2 π z = - cos α t g π + α + 2 π z = t g α , c t g π + α + 2 π z = c t g α sin π - α + 2 π z, cos π + 2 π z = - cos α t g π - α + 2 π z = - t g α, c t g π - α + 2 π z = - c t g α sin 3 π 2 + α + 2 π z = - cos α 3 π 2 + α + 2 π z = sin α t g 3 π 2 + α + 2 π z = - c t g α, c t g 3 π 2 + α + 2 π z = - t α π 2 - = - cos α , cos 3 π 2 - α + 2 π z = - sin α t g 3 π 2 - α + 2 π z = c t g α , c t g 3 π 2 - α + 2 π z = t g
తగ్గింపు సూత్రాలు త్రికోణమితి ఫంక్షన్ల యొక్క ఆవర్తన పరిణామం.
త్రికోణమితి సంకలన సూత్రాలు
త్రికోణమితిలోని సంకలన సూత్రాలు ఈ కోణాల త్రికోణమితి ఫంక్షన్ల పరంగా కోణాల మొత్తం లేదా తేడా యొక్క త్రికోణమితి ఫంక్షన్‌ను వ్యక్తీకరించడానికి మిమ్మల్ని అనుమతిస్తాయి.
త్రికోణమితి సంకలన సూత్రాలు
sin α ± β = sin α · cos β ± cos α · sin β cos α + β = cos α · cos β - sin α · sin β cos α - β = cos α · cos β + sin α g sin α ± β = t g α ± t g β 1 ± t g α t g β c t g α ± β = - 1 ± c t g α c t g β c t g α ± c t g β
అదనపు సూత్రాల ఆధారంగా, బహుళ కోణాల కోసం త్రికోణమితి సూత్రాలు ఉత్పన్నమవుతాయి.
బహుళ కోణాల కోసం సూత్రాలు: డబుల్, ట్రిపుల్, మొదలైనవి.
డబుల్ మరియు ట్రిపుల్ యాంగిల్ సూత్రాలుsin 2 α = 2 · sin α · cos α cos 2 α = cos 2 α - sin 2 α , cos 2 α = 1 - 2 sin 2 α , cos 2 α = 2 cos 2 α - 1 t g 2 · α = 2 t g α 1 - t g 2 α t g 2 α = t g 2 α తో - 1 2 · t g α తో 3 α = 3 sin α · cos 2 α - sin 3 α , sin 3 α = 3 sin 3 α - 4 α cos 3 α = cos 3 α - 3 sin 2 α · cos α , cos 3 α = - 3 cos α + 4 cos 3 α t g 3 α = 3 t g α - t g 3 α 1 - 3 t g 2 = c t g 3 α - 3 c t g α 3 c t g 2 α - 1
సగం కోణ సూత్రాలు
త్రికోణమితిలో అర్ధ-కోణ సూత్రాలు డబుల్-కోణం సూత్రాల యొక్క పరిణామం మరియు సగం కోణం యొక్క ప్రాథమిక విధులు మరియు మొత్తం కోణం యొక్క కొసైన్ మధ్య సంబంధాన్ని వ్యక్తపరుస్తాయి.
సగం కోణ సూత్రాలు
sin 2 α 2 = 1 - cos α 2 cos 2 α 2 = 1 + cos α 2 t g 2 α 2 = 1 - cos α 1 + cos α c t g 2 α 2 = 1 + cos α 1 - cos α
డిగ్రీ తగ్గింపు సూత్రాలు
డిగ్రీ తగ్గింపు సూత్రాలుsin 2 α = 1 - cos 2 α 2 cos 2 α = 1 + cos 2 α 2 sin 3 α = 3 sin α - sin 3 α 4 cos 3 α = 3 cos α + cos 3 α 4 sin 4 α = 3 - 4 cos 2 α + cos 4 α 8 cos 4 α = 3 + 4 cos 2 α + cos 4 α 8
గణనలను చేసేటప్పుడు గజిబిజి శక్తులతో పనిచేయడం తరచుగా అసౌకర్యంగా ఉంటుంది. డిగ్రీ తగ్గింపు సూత్రాలు త్రికోణమితి ఫంక్షన్ యొక్క డిగ్రీని ఏకపక్షంగా పెద్దది నుండి మొదటిదానికి తగ్గించడానికి మిమ్మల్ని అనుమతిస్తాయి. వారి సాధారణ అభిప్రాయం ఇక్కడ ఉంది:
డిగ్రీ తగ్గింపు సూత్రాల సాధారణ వీక్షణ
n కోసం కూడా
sin n α = C n 2 n 2 n + 1 2 n - 1 ∑ k = 0 n 2 - 1 (- 1) n 2 - k · C k n · cos ((n - 2 k) α) cos n α = C n 2 n 2 n + 1 2 n - 1 ∑ k = 0 n 2 - 1 C k n cos ((n - 2 k) α)
బేసి n కోసం
sin n α = 1 2 n - 1 ∑ k = 0 n - 1 2 (- 1) n - 1 2 - k C k n పాపం ((n - 2 k) α) cos n α = 1 2 n - 1 ∑ k = 0 n - 1 2 C k n cos ((n - 2 k) α)
త్రికోణమితి ఫంక్షన్ల మొత్తం మరియు వ్యత్యాసం
త్రికోణమితి ఫంక్షన్ల వ్యత్యాసం మరియు మొత్తాన్ని ఉత్పత్తిగా సూచించవచ్చు. త్రికోణమితి సమీకరణాలను పరిష్కరించేటప్పుడు మరియు వ్యక్తీకరణలను సరళీకృతం చేసేటప్పుడు సైన్స్ మరియు కొసైన్‌ల వ్యత్యాసాలను ఉపయోగించడం చాలా సౌకర్యవంతంగా ఉంటుంది.
త్రికోణమితి ఫంక్షన్ల మొత్తం మరియు వ్యత్యాసం
sin α + sin β = 2 sin α + β 2 cos α - β 2 sin α - sin β = 2 sin α - β 2 cos α + β 2 cos α + cos β = 2 cos α + β 2 cos α - 2 cos α - cos β = - 2 sin α + β 2 sin α - β 2 , cos α - cos β = 2 sin α + β 2 sin β - α 2
త్రికోణమితి ఫంక్షన్ల ఉత్పత్తి
ఫంక్షన్ల మొత్తం మరియు వ్యత్యాసానికి సంబంధించిన సూత్రాలు వారి ఉత్పత్తికి వెళ్లడానికి అనుమతిస్తే, త్రికోణమితి ఫంక్షన్ల ఉత్పత్తికి సంబంధించిన సూత్రాలు రివర్స్ పరివర్తనను నిర్వహిస్తాయి - ఉత్పత్తి నుండి మొత్తానికి. సైన్స్, కొసైన్ మరియు సైన్ బై కొసైన్ ల ఉత్పత్తికి సంబంధించిన సూత్రాలు పరిగణించబడతాయి.
త్రికోణమితి ఫంక్షన్ల ఉత్పత్తికి సూత్రాలు
sin α · sin β = 1 2 · (cos (α - β) - cos (α + β)) cos α · cos β = 1 2 · (cos (α - β) + cos (α + β)) sin α cos β = 1 2 (పాపం (α - β) + పాపం (α + β))
యూనివర్సల్ త్రికోణమితి ప్రత్యామ్నాయం
అన్ని ప్రాథమిక త్రికోణమితి విధులు - సైన్, కొసైన్, టాంజెంట్ మరియు కోటాంజెంట్ - సగం కోణం యొక్క టాంజెంట్ పరంగా వ్యక్తీకరించబడతాయి.
యూనివర్సల్ త్రికోణమితి ప్రత్యామ్నాయం
sin α = 2 t g α 2 1 + t g 2 α 2 cos α = 1 - t g 2 α 2 1 + t g 2 α 2 t g α = 2 t g α 2 1 - t g 2 α 2 c = 2 t g 2 t g α 2
మీరు టెక్స్ట్‌లో లోపాన్ని గమనించినట్లయితే, దయచేసి దాన్ని హైలైట్ చేసి, Ctrl+Enter నొక్కండి