క్వాడ్రాటిక్ ట్రినోమియల్ యొక్క మూలాలు ఏమిటి. రెండు రకాల సమీకరణాలు ఉన్నాయి

ఉత్పత్తిని పొందేందుకు బహుపదాలను విస్తరించడం కొన్నిసార్లు గందరగోళంగా అనిపించవచ్చు. కానీ మీరు ప్రక్రియను దశలవారీగా అర్థం చేసుకుంటే అది కష్టం కాదు. చతుర్భుజ త్రినామిని ఎలా కారకం చేయాలో వ్యాసం వివరంగా వివరిస్తుంది.

స్క్వేర్ ట్రినోమియల్‌ను ఎలా కారకం చేయాలో మరియు ఇది ఎందుకు జరుగుతుందో చాలా మందికి అర్థం కాలేదు. మొదట్లో ఇది పనికిరాని వ్యాయామంలా అనిపించవచ్చు. కానీ గణితంలో దేనికీ ఏమీ చేయరు. వ్యక్తీకరణ మరియు గణన సౌలభ్యాన్ని సరళీకృతం చేయడానికి రూపాంతరం అవసరం.

రూపం యొక్క బహుపది - ax²+bx+c, క్వాడ్రాటిక్ ట్రినోమియల్ అని పిలుస్తారు."a" అనే పదం తప్పనిసరిగా ప్రతికూలంగా లేదా సానుకూలంగా ఉండాలి. ఆచరణలో, ఈ వ్యక్తీకరణను వర్గ సమీకరణం అంటారు. అందువల్ల, కొన్నిసార్లు వారు దానిని భిన్నంగా చెబుతారు: చతురస్రాకార సమీకరణాన్ని ఎలా విస్తరించాలి.

ఆసక్తికరమైన!బహుపదిని దాని అతిపెద్ద డిగ్రీ, చతురస్రం కారణంగా చతురస్రం అంటారు. మరియు ట్రినోమియల్ - ఎందుకంటే 3 భాగాలు.

కొన్ని ఇతర రకాల బహుపదిలు:

• సరళ ద్విపద (6x+8);
• క్యూబిక్ క్వాడ్రినోమియల్ (x³+4x²-2x+9).

చతుర్భుజ త్రినామిని కారకం

మొదట, వ్యక్తీకరణ సున్నాకి సమానం, అప్పుడు మీరు x1 మరియు x2 మూలాల విలువలను కనుగొనాలి. మూలాలు లేకపోవచ్చు, ఒకటి లేదా రెండు మూలాలు ఉండవచ్చు. మూలాల ఉనికి వివక్షత ద్వారా నిర్ణయించబడుతుంది. మీరు దాని సూత్రాన్ని హృదయపూర్వకంగా తెలుసుకోవాలి: D=b²-4ac.

D ఫలితం ప్రతికూలంగా ఉంటే, మూలాలు లేవు. సానుకూలంగా ఉంటే, రెండు మూలాలు ఉన్నాయి. ఫలితం సున్నా అయితే, మూలం ఒకటి. మూలాలు కూడా సూత్రాన్ని ఉపయోగించి లెక్కించబడతాయి.

ఒకవేళ, వివక్షను లెక్కించేటప్పుడు, ఫలితం సున్నా అయితే, మీరు ఏదైనా సూత్రాలను ఉపయోగించవచ్చు. ఆచరణలో, సూత్రం కేవలం కుదించబడింది: -b / 2a.

విభిన్న వివక్షత విలువల సూత్రాలు భిన్నంగా ఉంటాయి.

D సానుకూలంగా ఉంటే:

D సున్నా అయితే:

ఆన్‌లైన్ కాలిక్యులేటర్లు

ఇంటర్నెట్‌లో ఆన్‌లైన్ కాలిక్యులేటర్ ఉంది. ఇది కారకాన్ని నిర్వహించడానికి ఉపయోగించవచ్చు. కొన్ని వనరులు పరిష్కారాన్ని దశలవారీగా వీక్షించే అవకాశాన్ని అందిస్తాయి. అటువంటి సేవలు అంశాన్ని బాగా అర్థం చేసుకోవడానికి సహాయపడతాయి, కానీ మీరు దానిని బాగా అర్థం చేసుకోవడానికి ప్రయత్నించాలి.

ఉపయోగకరమైన వీడియో: ఒక క్వాడ్రాటిక్ ట్రినోమియల్ ఫ్యాక్టరింగ్

ఉదాహరణలు

వర్గ సమీకరణాన్ని ఎలా కారకం చేయాలో సాధారణ ఉదాహరణలను చూడాలని మేము సూచిస్తున్నాము.

ఉదాహరణ 1

D సానుకూలంగా ఉన్నందున ఫలితం రెండు xలు అని ఇది స్పష్టంగా చూపిస్తుంది. వాటిని ఫార్ములాలో భర్తీ చేయాలి. మూలాలు ప్రతికూలంగా మారినట్లయితే, ఫార్ములాలోని సంకేతం వ్యతిరేకానికి మారుతుంది.

క్వాడ్రాటిక్ ట్రినోమియల్‌ను కారకం చేసే సూత్రం మాకు తెలుసు: a(x-x1)(x-x2). మేము విలువలను బ్రాకెట్లలో ఉంచాము: (x+3)(x+2/3). అధికారంలో పదానికి ముందు సంఖ్య లేదు. అంటే అక్కడ ఒకటి ఉంది, అది తగ్గిపోతుంది.

ఉదాహరణ 2

ఒక మూలాన్ని కలిగి ఉన్న సమీకరణాన్ని ఎలా పరిష్కరించాలో ఈ ఉదాహరణ స్పష్టంగా చూపిస్తుంది.

మేము ఫలిత విలువను ప్రత్యామ్నాయం చేస్తాము:

ఉదాహరణ 3

ఇవ్వబడింది: 5x²+3x+7

ముందుగా, మునుపటి సందర్భాలలో వలె వివక్షను గణిద్దాం.

D=9-4*5*7=9-140= -131.

వివక్షత ప్రతికూలమైనది, అంటే మూలాలు లేవు.

ఫలితాన్ని స్వీకరించిన తర్వాత, మీరు బ్రాకెట్లను తెరిచి ఫలితాన్ని తనిఖీ చేయాలి. అసలు త్రినాది కనిపించాలి.

ప్రత్యామ్నాయ పరిష్కారం

కొంతమంది వ్యక్తులు వివక్షతో స్నేహం చేయలేరు. క్వాడ్రాటిక్ ట్రినోమియల్‌ను కారకం చేయడానికి మరొక మార్గం ఉంది. సౌలభ్యం కోసం, పద్ధతి ఒక ఉదాహరణతో చూపబడింది.

ఇవ్వబడింది: x²+3x-10

మనం 2 బ్రాకెట్లను పొందాలని మాకు తెలుసు: (_)(_). వ్యక్తీకరణ ఇలా కనిపించినప్పుడు: x²+bx+c, ప్రతి బ్రాకెట్ ప్రారంభంలో మనం x: (x_)(x_)ని ఉంచుతాము. మిగిలిన రెండు సంఖ్యలు "c"ని ఇచ్చే ఉత్పత్తి, అంటే ఈ సందర్భంలో -10. ఈ సంఖ్యలు ఏమిటో తెలుసుకోవడానికి ఎంపిక ద్వారా మాత్రమే మార్గం. ప్రత్యామ్నాయ సంఖ్యలు తప్పనిసరిగా మిగిలిన పదానికి అనుగుణంగా ఉండాలి.

ఉదాహరణకు, కింది సంఖ్యలను గుణించడం -10 ఇస్తుంది:

• -1, 10;
• -10, 1;
• -5, 2;
• -2, 5.

1. (x-1)(x+10) = x2+10x-x-10 = x2+9x-10. నం.
2. (x-10)(x+1) = x2+x-10x-10 = x2-9x-10. నం.
3. (x-5)(x+2) = x2+2x-5x-10 = x2-3x-10. నం.
4. (x-2)(x+5) = x2+5x-2x-10 = x2+3x-10. సరిపోతుంది.

దీని అర్థం x2+3x-10 వ్యక్తీకరణ యొక్క రూపాంతరం ఇలా కనిపిస్తుంది: (x-2)(x+5).

ముఖ్యమైనది!మీరు సంకేతాలను గందరగోళానికి గురిచేయకుండా జాగ్రత్త వహించాలి.

సంక్లిష్ట ట్రినోమియల్ యొక్క విస్తరణ

"a" ఒకటి కంటే ఎక్కువ ఉంటే, ఇబ్బందులు మొదలవుతాయి. కానీ ప్రతిదీ కనిపించేంత కష్టం కాదు.

ఫ్యాక్టరైజ్ చేయడానికి, మీరు ముందుగా ఏదైనా కారకం చేయగలరో లేదో చూడాలి.

ఉదాహరణకు, వ్యక్తీకరణ ఇవ్వబడింది: 3x²+9x-30. ఇక్కడ సంఖ్య 3 బ్రాకెట్ల నుండి తీసుకోబడింది:

3(x²+3x-10). ఫలితం ఇప్పటికే బాగా తెలిసిన త్రిపద. సమాధానం ఇలా కనిపిస్తుంది: 3(x-2)(x+5)

చతురస్రంలో ఉన్న పదం ప్రతికూలంగా ఉంటే కుళ్ళిపోవడం ఎలా? ఈ సందర్భంలో, సంఖ్య -1 బ్రాకెట్ల నుండి తీసివేయబడుతుంది. ఉదాహరణకు: -x²-10x-8. అప్పుడు వ్యక్తీకరణ ఇలా కనిపిస్తుంది:

పథకం మునుపటి నుండి కొద్దిగా భిన్నంగా ఉంటుంది. కొన్ని కొత్త విషయాలు మాత్రమే ఉన్నాయి. వ్యక్తీకరణ ఇవ్వబడిందని అనుకుందాం: 2x²+7x+3. సమాధానం (_)(_)లో పూరించాల్సిన 2 బ్రాకెట్లలో కూడా వ్రాయబడింది. 2వ బ్రాకెట్‌లో x అని వ్రాయబడి, 1వ బ్రాకెట్‌లో మిగిలి ఉన్నది. ఇది ఇలా కనిపిస్తుంది: (2x_)(x_). లేకపోతే, మునుపటి పథకం పునరావృతమవుతుంది.

సంఖ్య 3 సంఖ్యల ద్వారా ఇవ్వబడింది:

• -1, -3;
• -3, -1;
• 3, 1;
• 1, 3.

మేము ఈ సంఖ్యలను ప్రత్యామ్నాయం చేయడం ద్వారా సమీకరణాలను పరిష్కరిస్తాము. చివరి ఎంపిక అనుకూలంగా ఉంటుంది. అంటే 2x²+7x+3 వ్యక్తీకరణ యొక్క రూపాంతరం ఇలా కనిపిస్తుంది: (2x+1)(x+3).

ఇతర కేసులు

వ్యక్తీకరణను మార్చడం ఎల్లప్పుడూ సాధ్యం కాదు. రెండవ పద్ధతిలో, సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం అవసరం లేదు. కానీ నిబంధనలను ఉత్పత్తిగా మార్చే అవకాశం వివక్షత ద్వారా మాత్రమే తనిఖీ చేయబడుతుంది.

క్వాడ్రాటిక్ సమీకరణాలను పరిష్కరించడం సాధన చేయడం విలువ, తద్వారా సూత్రాలను ఉపయోగించినప్పుడు ఇబ్బందులు ఉండవు.

ఉపయోగకరమైన వీడియో: ట్రినోమియల్‌ని కారకం

ముగింపు

మీరు దీన్ని ఏ విధంగానైనా ఉపయోగించవచ్చు. కానీ రెండూ స్వయంచాలకంగా మారే వరకు సాధన చేయడం మంచిది. అలాగే, క్వాడ్రాటిక్ ఈక్వేషన్స్‌ను ఎలా పరిష్కరించాలో నేర్చుకోవడం మరియు కారకం బహుపదిలను గణితంతో తమ జీవితాలను అనుసంధానించుకోవాలని ప్లాన్ చేసుకునే వారికి అవసరం. కింది గణిత అంశాలన్నీ దీనిపై నిర్మించబడ్డాయి.

అనేక భౌతిక మరియు రేఖాగణిత నమూనాల అధ్యయనం తరచుగా పారామితులతో సమస్యలను పరిష్కరించడానికి దారితీస్తుంది. కొన్ని విశ్వవిద్యాలయాలు పరీక్షా పత్రాలలో సమీకరణాలు, అసమానతలు మరియు వాటి వ్యవస్థలను కూడా కలిగి ఉంటాయి, ఇవి తరచుగా చాలా సంక్లిష్టంగా ఉంటాయి మరియు పరిష్కారానికి ప్రామాణికం కాని విధానం అవసరం. పాఠశాలలో, పాఠశాల ఆల్జీబ్రా కోర్సులోని అత్యంత కష్టతరమైన విభాగాలలో ఇది కొన్ని ఎంపిక లేదా సబ్జెక్ట్ కోర్సులలో మాత్రమే పరిగణించబడుతుంది.
నా అభిప్రాయం ప్రకారం, ఫంక్షనల్ గ్రాఫికల్ పద్ధతి అనేది పరామితితో సమీకరణాలను పరిష్కరించడానికి అనుకూలమైన మరియు వేగవంతమైన మార్గం.
తెలిసినట్లుగా, పారామితులతో సమీకరణాలకు సంబంధించి సమస్య యొక్క రెండు సూత్రీకరణలు ఉన్నాయి.

1. సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి (ప్రతి పరామితి విలువ కోసం, సమీకరణానికి అన్ని పరిష్కారాలను కనుగొనండి).
2. సమీకరణానికి పరిష్కారాలు ఇచ్చిన షరతులను సంతృప్తిపరిచే ప్రతి పరామితి యొక్క అన్ని విలువలను కనుగొనండి.

ఈ కాగితంలో, ఒక చదరపు ట్రినోమియల్ యొక్క మూలాలకు సంబంధించి రెండవ రకం సమస్య పరిగణించబడుతుంది మరియు అధ్యయనం చేయబడుతుంది, దీని అన్వేషణ ఒక వర్గ సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడానికి తగ్గించబడుతుంది.
పాఠాలను అభివృద్ధి చేసేటప్పుడు మరియు ఏకీకృత రాష్ట్ర పరీక్ష కోసం విద్యార్థులను సిద్ధం చేసేటప్పుడు ఈ పని ఉపాధ్యాయులకు సహాయపడుతుందని రచయిత ఆశిస్తున్నారు.

1. పరామితి అంటే ఏమిటి

రూపం యొక్క వ్యక్తీకరణ ఆహ్ 2 + bx + cపాఠశాల బీజగణితం కోర్సులో వారు చతురస్రాకార ట్రినోమియల్ అని పిలుస్తారు X,ఎక్కడ a, b, c వాస్తవ సంఖ్యలు ఇవ్వబడ్డాయి మరియు, a=/= 0. వ్యక్తీకరణ సున్నాగా మారే వేరియబుల్ x విలువలను స్క్వేర్ ట్రినోమియల్ యొక్క మూలాలు అంటారు. క్వాడ్రాటిక్ ట్రినోమియల్ మూలాలను కనుగొనడానికి, మీరు వర్గ సమీకరణాన్ని పరిష్కరించాలి ఆహ్ 2 + bх + c = 0.
పాఠశాల ఆల్జీబ్రా కోర్సు నుండి ప్రాథమిక సమీకరణాలను గుర్తుంచుకోండి గొడ్డలి + బి = 0;
aх2 + bх + c = 0.వాటి మూలాల కోసం శోధిస్తున్నప్పుడు, వేరియబుల్స్ విలువలు a, b, c,సమీకరణంలో చేర్చబడినవి స్థిరంగా పరిగణించబడతాయి మరియు ఇవ్వబడ్డాయి. వేరియబుల్స్‌నే పారామితులు అంటారు. పాఠశాల పాఠ్యపుస్తకాలలో పారామీటర్ యొక్క నిర్వచనం లేనందున, నేను క్రింది సరళమైన సంస్కరణను ప్రాతిపదికగా తీసుకోవాలని ప్రతిపాదిస్తున్నాను.

నిర్వచనం.పరామితి అనేది ఒక స్వతంత్ర చరరాశి, సమస్యలోని విలువ ఇచ్చిన స్థిర లేదా ఏకపక్ష వాస్తవ సంఖ్యగా పరిగణించబడుతుంది లేదా ముందుగా నిర్ణయించిన సమితికి చెందిన సంఖ్యగా పరిగణించబడుతుంది.

2. పారామితులతో సమస్యలను పరిష్కరించడానికి ప్రాథమిక రకాలు మరియు పద్ధతులు

పారామితులతో ఉన్న పనులలో, కింది ప్రధాన రకాల పనులను వేరు చేయవచ్చు.

1. పరామితి(లు) యొక్క ఏదైనా విలువ కోసం లేదా ముందుగా పేర్కొన్న సెట్‌కు చెందిన పరామితి విలువల కోసం తప్పనిసరిగా పరిష్కరించాల్సిన సమీకరణాలు. ఉదాహరణకి. సమీకరణాలను పరిష్కరించండి: గొడ్డలి = 1, (a – 2)x = a 2 – 4.
2. పరామితి (పారామితులు) విలువను బట్టి పరిష్కారాల సంఖ్యను నిర్ణయించాల్సిన అవసరం ఉన్న సమీకరణాలు. ఉదాహరణకి. ఏ పరామితి విలువలలో aసమీకరణం 4X 2 – 4గొడ్డలి + 1 = 0ఒకే రూట్ ఉందా?
3. సమీకరణాలు, అవసరమైన పరామితి విలువల కోసం, పరిష్కారాల సమితి నిర్వచనం యొక్క డొమైన్‌లో పేర్కొన్న షరతులను సంతృప్తిపరుస్తుంది.

ఉదాహరణకు, సమీకరణం యొక్క మూలాలు ఉన్న పరామితి విలువలను కనుగొనండి ( a – 2)X 2 – 2గొడ్డలి + a + 3 = 0 అనుకూల.
పరామితితో సమస్యలను పరిష్కరించడానికి ప్రధాన మార్గాలు: విశ్లేషణాత్మక మరియు గ్రాఫికల్.

విశ్లేషణాత్మక- ఇది ప్రత్యక్ష పరిష్కారం అని పిలవబడే పద్ధతి, పరామితి లేకుండా సమస్యలలో సమాధానాన్ని కనుగొనడానికి ప్రామాణిక విధానాలను పునరావృతం చేస్తుంది. అటువంటి పని యొక్క ఉదాహరణను చూద్దాం.

పని సంఖ్య 1

పారామితి ఏ విలువలతో సమీకరణం చేస్తుంది X 2 – 2గొడ్డలి + a 2 – 1 = 0 విరామానికి చెందిన రెండు వేర్వేరు మూలాలను కలిగి ఉంది (1; 5)?

పరిష్కారం

X 2 – 2గొడ్డలి + a 2 – 1 = 0.
సమస్య యొక్క పరిస్థితుల ప్రకారం, సమీకరణం తప్పనిసరిగా రెండు వేర్వేరు మూలాలను కలిగి ఉండాలి మరియు ఇది షరతు ప్రకారం మాత్రమే సాధ్యమవుతుంది: D > 0.
మాకు ఉంది: D = 4 a 2 – 2(ఎ 2 – 1) = 4. మనం చూడగలిగినట్లుగా, వివక్షత a పై ఆధారపడదు, కాబట్టి, సమీకరణం a పరామితి యొక్క ఏదైనా విలువలకు రెండు వేర్వేరు మూలాలను కలిగి ఉంటుంది. సమీకరణం యొక్క మూలాలను కనుగొనండి: X 1 = ఎ + 1, X 2 = ఎ – 1
సమీకరణం యొక్క మూలాలు తప్పనిసరిగా విరామానికి చెందినవి (1; 5), అనగా.
కాబట్టి, 2 వద్ద<ఎ < 4 данное уравнение имеет два различных корня, принадлежащих промежутку (1; 5)

సమాధానం: 2<ఎ < 4.
క్వాడ్రాటిక్ సమీకరణం యొక్క వివక్షత "మంచిది" అయిన సందర్భాలలో పరిశీలనలో ఉన్న రకమైన సమస్యలను పరిష్కరించడానికి ఈ విధానం సాధ్యమవుతుంది మరియు హేతుబద్ధమైనది, అనగా. ఏదైనా సంఖ్య లేదా వ్యక్తీకరణ యొక్క ఖచ్చితమైన స్క్వేర్ లేదా వియెటా యొక్క విలోమ సిద్ధాంతాన్ని ఉపయోగించి సమీకరణం యొక్క మూలాలను కనుగొనవచ్చు. అప్పుడు, మూలాలు అహేతుక వ్యక్తీకరణలను సూచించవు. లేకపోతే, ఈ రకమైన సమస్యలను పరిష్కరించడం అనేది సాంకేతిక కోణం నుండి చాలా క్లిష్టమైన విధానాలను కలిగి ఉంటుంది. మరియు అహేతుక అసమానతలను పరిష్కరించడానికి విద్యార్థి నుండి కొత్త జ్ఞానం అవసరం.

గ్రాఫిక్- ఇది కోఆర్డినేట్ ప్లేన్ (x; y) లేదా (x; a)లో గ్రాఫ్‌లను ఉపయోగించే పద్ధతి. ఈ పరిష్కార పద్ధతి యొక్క స్పష్టత మరియు అందం సమస్యను పరిష్కరించడానికి శీఘ్ర మార్గాన్ని కనుగొనడంలో సహాయపడుతుంది. సమస్య సంఖ్య 1ని గ్రాఫికల్‌గా పరిష్కరిద్దాం.
ఆల్జీబ్రా కోర్సు నుండి మీకు తెలిసినట్లుగా, వర్గ సమీకరణం (క్వాడ్రాటిక్ ట్రినోమియల్) యొక్క మూలాలు సంబంధిత క్వాడ్రాటిక్ ఫంక్షన్ యొక్క సున్నాలు: Y = X 2 – 2ఓహ్ + ఎ 2 - 1. ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్ ఒక పారాబొలా, శాఖలు పైకి దర్శకత్వం వహించబడతాయి (మొదటి గుణకం 1). సమస్య యొక్క అన్ని అవసరాలను తీర్చగల రేఖాగణిత నమూనా ఇలా కనిపిస్తుంది.

ఇప్పుడు మిగిలి ఉన్నది అవసరమైన పరిస్థితులను ఉపయోగించి పారాబొలాను కావలసిన స్థితిలో "పరిష్కరించడం".

1. పారాబొలా అక్షంతో ఖండన యొక్క రెండు బిందువులను కలిగి ఉంటుంది కాబట్టి X, ఆపై D > 0.
2. పారాబొలా యొక్క శీర్షం నిలువు వరుసల మధ్య ఉంటుంది X= 1 మరియు X= 5, కాబట్టి పారాబొలా x o యొక్క శీర్షం యొక్క అబ్సిస్సా విరామానికి చెందినది (1; 5), అనగా.
   1 <Xఓ< 5.
3. మేము దానిని గమనించాము వద్ద(1) > 0, వద్ద(5) > 0.

కాబట్టి, సమస్య యొక్క రేఖాగణిత నమూనా నుండి విశ్లేషణాత్మకంగా మారడం, మేము అసమానతల వ్యవస్థను పొందుతాము.

సమాధానం: 2<ఎ < 4.

ఉదాహరణ నుండి చూడగలిగినట్లుగా, మూలాలు "చెడ్డవి" అయినప్పుడు, పరిశీలనలో ఉన్న రకమైన సమస్యలను పరిష్కరించడానికి గ్రాఫికల్ పద్ధతి సాధ్యమవుతుంది, అనగా. రాడికల్ గుర్తు క్రింద ఒక పరామితిని కలిగి ఉంటుంది (ఈ సందర్భంలో, సమీకరణం యొక్క వివక్షత ఖచ్చితమైన చతురస్రం కాదు).
రెండవ పరిష్కార పద్ధతిలో, మేము సమీకరణం యొక్క గుణకాలు మరియు ఫంక్షన్ యొక్క పరిధితో పని చేసాము వద్ద = X 2 – 2ఓహ్ + ఎ 2 – 1.
పరిష్కారం యొక్క ఈ పద్ధతిని గ్రాఫికల్ అని మాత్రమే పిలవలేము, ఎందుకంటే ఇక్కడ మనం అసమానతల వ్యవస్థను పరిష్కరించాలి. బదులుగా, ఈ పద్ధతి మిళితం చేయబడింది: ఫంక్షనల్ మరియు గ్రాఫిక్. ఈ రెండు పద్ధతులలో, రెండోది సొగసైనది మాత్రమే కాదు, చాలా ముఖ్యమైనది, ఎందుకంటే ఇది అన్ని రకాల గణిత నమూనాల మధ్య సంబంధాన్ని చూపుతుంది: సమస్య యొక్క మౌఖిక వివరణ, రేఖాగణిత నమూనా - క్వాడ్రాటిక్ ట్రినోమియల్ యొక్క గ్రాఫ్, విశ్లేషణాత్మకం మోడల్ - అసమానతల వ్యవస్థ ద్వారా రేఖాగణిత నమూనా యొక్క వివరణ.
కాబట్టి, క్వాడ్రాటిక్ ట్రినోమియల్ యొక్క మూలాలు కావలసిన పరామితి విలువల కోసం నిర్వచనం యొక్క డొమైన్‌లో ఇచ్చిన షరతులను సంతృప్తిపరిచే సమస్యను మేము పరిగణించాము.

కావలసిన పరామితి విలువల కోసం క్వాడ్రాటిక్ ట్రినోమియల్ యొక్క మూలాలు ఏ ఇతర సాధ్యమైన పరిస్థితులను సంతృప్తిపరుస్తాయి?

వర్గ సమీకరణాన్ని పరిగణించండి:
(1) .
వర్గ సమీకరణం యొక్క మూలాలు(1) సూత్రాల ద్వారా నిర్ణయించబడతాయి:
; .
ఈ సూత్రాలను ఇలా కలపవచ్చు:
.
చతుర్భుజ సమీకరణం యొక్క మూలాలు తెలిసినప్పుడు, రెండవ డిగ్రీ యొక్క బహుపదిని కారకాల ఉత్పత్తిగా సూచించవచ్చు (కారకం):
.

తర్వాత అవి వాస్తవ సంఖ్యలు అని ఊహిస్తాం.
పరిగణలోకి తీసుకుందాం వర్గ సమీకరణం యొక్క వివక్ష:
.
వివక్షత సానుకూలంగా ఉంటే, వర్గ సమీకరణం (1) రెండు విభిన్న వాస్తవ మూలాలను కలిగి ఉంటుంది:
; .
అప్పుడు క్వాడ్రాటిక్ ట్రినోమియల్ యొక్క కారకం రూపం కలిగి ఉంటుంది:
.
వివక్షత సున్నాకి సమానం అయితే, క్వాడ్రాటిక్ సమీకరణం (1) రెండు బహుళ (సమాన) వాస్తవ మూలాలను కలిగి ఉంటుంది:
.
కారకం:
.
వివక్షత ప్రతికూలంగా ఉంటే, వర్గ సమీకరణం (1) రెండు సంక్లిష్ట సంయోగ మూలాలను కలిగి ఉంటుంది:
;
.
ఇక్కడ ఊహాత్మక యూనిట్, ;
మరియు మూలాల యొక్క నిజమైన మరియు ఊహాత్మక భాగాలు:
; .
అప్పుడు

.

గ్రాఫిక్ వివరణ

మీరు ఫంక్షన్ ప్లాట్ చేస్తే
,
ఇది పారాబొలా, అప్పుడు అక్షంతో గ్రాఫ్ యొక్క ఖండన బిందువులు సమీకరణం యొక్క మూలాలుగా ఉంటాయి
.
వద్ద, గ్రాఫ్ x-యాక్సిస్ (యాక్సిస్)ని రెండు పాయింట్ల వద్ద కలుస్తుంది.
ఎప్పుడు , గ్రాఫ్ ఒక పాయింట్ వద్ద x- అక్షాన్ని తాకుతుంది.
ఎప్పుడు , గ్రాఫ్ x-అక్షాన్ని దాటదు.

అటువంటి గ్రాఫ్‌ల ఉదాహరణలు క్రింద ఉన్నాయి.

వర్గ సమీకరణానికి సంబంధించిన ఉపయోగకరమైన సూత్రాలు

(f.1) ;
(f.2) ;
(f.3) .

వర్గ సమీకరణం యొక్క మూలాల కోసం సూత్రం యొక్క ఉత్పన్నం

మేము పరివర్తనలను నిర్వహిస్తాము మరియు సూత్రాలను (f.1) మరియు (f.3) వర్తింపజేస్తాము:




,
ఎక్కడ
; .

కాబట్టి, మేము రూపంలో రెండవ డిగ్రీ యొక్క బహుపది కోసం సూత్రాన్ని పొందాము:
.
ఇది సమీకరణం అని చూపిస్తుంది

వద్ద ప్రదర్శించారు
మరియు .
అంటే, మరియు చతుర్భుజ సమీకరణం యొక్క మూలాలు
.

క్వాడ్రాటిక్ సమీకరణం యొక్క మూలాలను నిర్ణయించడానికి ఉదాహరణలు

ఉదాహరణ 1

(1.1) .

పరిష్కారం

.
మా సమీకరణం (1.1) తో పోల్చి చూస్తే, మేము గుణకాల విలువలను కనుగొంటాము:
.
మేము వివక్షను కనుగొంటాము:
.
వివక్ష సానుకూలంగా ఉన్నందున, సమీకరణానికి రెండు వాస్తవ మూలాలు ఉన్నాయి:
;
;
.

ఇక్కడ నుండి మేము క్వాడ్రాటిక్ ట్రినోమియల్ యొక్క కారకాన్ని పొందుతాము:

.

ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్ y = 2 x 2 + 7 x + 3 x-అక్షాన్ని రెండు పాయింట్ల వద్ద కలుస్తుంది.

ఫంక్షన్ ప్లాట్ చేద్దాం
.
ఈ ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్ ఒక పారాబొలా. ఇది రెండు పాయింట్ల వద్ద అబ్సిస్సా అక్షం (అక్షం) దాటుతుంది:
మరియు .
ఈ పాయింట్లు అసలు సమీకరణం (1.1) యొక్క మూలాలు.

సమాధానం

;
;
.

ఉదాహరణ 2

వర్గ సమీకరణం యొక్క మూలాలను కనుగొనండి:
(2.1) .

పరిష్కారం

వర్గ సమీకరణాన్ని సాధారణ రూపంలో వ్రాస్దాం:
.
అసలు సమీకరణం (2.1) తో పోల్చి చూస్తే, మేము గుణకాల విలువలను కనుగొంటాము:
.
మేము వివక్షను కనుగొంటాము:
.
వివక్షత సున్నా అయినందున, సమీకరణం రెండు బహుళ (సమాన) మూలాలను కలిగి ఉంటుంది:
;
.

అప్పుడు ట్రినోమియల్ యొక్క కారకం రూపం కలిగి ఉంటుంది:
.

y = x ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్ 2 - 4 x + 4ఒక బిందువు వద్ద x-అక్షాన్ని తాకుతుంది.

ఫంక్షన్ ప్లాట్ చేద్దాం
.
ఈ ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్ ఒక పారాబొలా. ఇది ఒక పాయింట్ వద్ద x-అక్షం (అక్షం) తాకుతుంది:
.
ఈ పాయింట్ అసలు సమీకరణం (2.1) యొక్క మూలం. ఎందుకంటే ఈ మూలం రెండుసార్లు కారకం చేయబడింది:
,
అప్పుడు అటువంటి మూలాన్ని సాధారణంగా బహుళ అంటారు. అంటే, రెండు సమాన మూలాలు ఉన్నాయని వారు నమ్ముతారు:
.

సమాధానం

;
.

ఉదాహరణ 3

వర్గ సమీకరణం యొక్క మూలాలను కనుగొనండి:
(3.1) .

పరిష్కారం

వర్గ సమీకరణాన్ని సాధారణ రూపంలో వ్రాస్దాం:
(1) .
అసలు సమీకరణాన్ని (3.1) తిరిగి వ్రాద్దాం:
.
(1) తో పోల్చి చూస్తే, మేము గుణకాల విలువలను కనుగొంటాము:
.
మేము వివక్షను కనుగొంటాము:
.
వివక్షత ప్రతికూలమైనది, . అందువల్ల అసలు మూలాలు లేవు.

మీరు సంక్లిష్ట మూలాలను కనుగొనవచ్చు:
;
;

ఫంక్షన్ ప్లాట్ చేద్దాం
.
ఈ ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్ ఒక పారాబొలా. ఇది x-axis (axis)ని కలుస్తుంది. అందువల్ల అసలు మూలాలు లేవు.

సమాధానం

అసలు మూలాలు లేవు. సంక్లిష్ట మూలాలు:
;
;
.

క్వాడ్రాటిక్ సమీకరణం యొక్క మూలాల మొత్తం మరియు ఉత్పత్తిని కనుగొనండి. పై సమీకరణం యొక్క మూలాల కోసం సూత్రాలను (59.8) ఉపయోగించి, మేము పొందుతాము

(మొదటి సమానత్వం స్పష్టంగా ఉంది, రెండవది సాధారణ గణన తర్వాత పొందబడుతుంది, ఇది రీడర్ స్వతంత్రంగా నిర్వహిస్తుంది; రెండు సంఖ్యల మొత్తాన్ని వాటి వ్యత్యాసంతో గుణించడం కోసం సూత్రాన్ని ఉపయోగించడం సౌకర్యంగా ఉంటుంది).

క్రింది నిరూపించబడింది

వియటా సిద్ధాంతం. పై వర్గ సమీకరణం యొక్క మూలాల మొత్తం వ్యతిరేక సంకేతంతో రెండవ గుణకంతో సమానంగా ఉంటుంది మరియు వాటి ఉత్పత్తి ఉచిత పదానికి సమానం.

తగ్గని వర్గ సమీకరణం విషయంలో, ఫార్ములా (60.1) యొక్క వ్యక్తీకరణలను సూత్రాలుగా (60.1) ప్రత్యామ్నాయం చేసి, రూపాన్ని తీసుకోవాలి.

ఉదాహరణ 1. దాని మూలాలను ఉపయోగించి వర్గ సమీకరణాన్ని కంపోజ్ చేయండి:

పరిష్కారం, ఎ) సమీకరణానికి రూపం ఉందని మేము కనుగొన్నాము

ఉదాహరణ 2. సమీకరణాన్ని పరిష్కరించకుండా సమీకరణం యొక్క మూలాల వర్గాల మొత్తాన్ని కనుగొనండి.

పరిష్కారం. మూలాల మొత్తం మరియు ఉత్పత్తి అంటారు. రూపంలో స్క్వేర్డ్ రూట్‌ల మొత్తాన్ని సూచిస్తాం

మరియు మేము పొందుతాము

Vieta యొక్క సూత్రాల నుండి సూత్రాన్ని పొందడం సులభం

ఒక క్వాడ్రాటిక్ ట్రినోమియల్‌ను కారకం చేయడానికి నియమాన్ని వ్యక్తపరుస్తుంది.

నిజానికి, మనం ఫార్ములాలను (60.2) రూపంలో వ్రాస్దాం

ఇప్పుడు మన దగ్గర ఉంది

మనం పొందవలసినది.

Vieta యొక్క సూత్రాల యొక్క పై ఉత్పన్నం హైస్కూల్ ఆల్జీబ్రా కోర్సు నుండి పాఠకులకు సుపరిచితం. బెజౌట్ యొక్క సిద్ధాంతం మరియు బహుపది యొక్క కారకం (పేరాగ్రాఫ్‌లు 51, 52) ఉపయోగించి మరొక ముగింపు ఇవ్వవచ్చు.

సాధారణ నియమం (52.2) ప్రకారం, సమీకరణం యొక్క మూలాలను తెలియజేయండి, సమీకరణం యొక్క ఎడమ వైపున ఉన్న త్రిపద కారకం చేయబడింది:

ఈ సమాన సమానత్వం యొక్క కుడి వైపున బ్రాకెట్లను తెరవడం, మేము పొందుతాము

మరియు అదే శక్తుల వద్ద గుణకాలను పోల్చడం మాకు వియటా ఫార్ములా (60.1) ఇస్తుంది.

ఈ వ్యుత్పత్తి యొక్క ప్రయోజనం ఏమిటంటే, సమీకరణం యొక్క గుణకాల కోసం దాని మూలాల పరంగా వ్యక్తీకరణలను పొందేందుకు (మూలాలను స్వయంగా కనుగొనకుండా!) పొందేందుకు ఇది అధిక డిగ్రీల సమీకరణాలకు వర్తించవచ్చు. ఉదాహరణకు, ఇచ్చిన క్యూబిక్ సమీకరణం యొక్క మూలాలు

సారాంశం ఏమిటంటే సమానత్వం (52.2) ప్రకారం మనం కనుగొంటాము

(మా విషయంలో, సమానత్వం యొక్క కుడి వైపున బ్రాకెట్లను తెరవడం మరియు వివిధ డిగ్రీల వద్ద గుణకాలను సేకరించడం, మేము పొందుతాము

అంకగణితం మరియు బీజగణిత సమస్యలను పరిష్కరించేటప్పుడు, కొన్నిసార్లు నిర్మించడం అవసరం భిన్నంవి చతురస్రం. దీన్ని చేయడానికి సులభమైన మార్గం ఎప్పుడు భిన్నందశాంశం - ఒక సాధారణ కాలిక్యులేటర్ సరిపోతుంది. అయితే, ఉంటే భిన్నంసాధారణ లేదా మిశ్రమంగా, అటువంటి సంఖ్యను పెంచేటప్పుడు చతురస్రంకొన్ని ఇబ్బందులు తలెత్తవచ్చు.

నీకు అవసరం అవుతుంది

• కాలిక్యులేటర్, కంప్యూటర్, ఎక్సెల్ అప్లికేషన్.

సూచనలు

దశాంశాన్ని పెంచడానికి భిన్నంవి చతురస్రం, ఇంజినీరింగ్‌ని తీసుకోండి, దానిలో ఏమి నిర్మించబడుతుందో టైప్ చేయండి చతురస్రం భిన్నంమరియు రెండవ పవర్ కీకి రైజ్ నొక్కండి. చాలా కాలిక్యులేటర్లలో ఈ బటన్ "x²" అని లేబుల్ చేయబడింది. ప్రామాణిక విండోస్ కాలిక్యులేటర్‌లో, పెంచే ఫంక్షన్ చతురస్రం"x^2" లాగా ఉంది. ఉదాహరణకి, చతురస్రందశాంశ భిన్నం 3.14 దీనికి సమానంగా ఉంటుంది: 3.14² = 9.8596.

నిర్మించడానికి చతురస్రందశాంశ భిన్నంసాధారణ (అకౌంటింగ్) కాలిక్యులేటర్‌లో, ఈ సంఖ్యను స్వయంగా గుణించండి. మార్గం ద్వారా, కాలిక్యులేటర్ల యొక్క కొన్ని నమూనాలు సంఖ్యను పెంచే సామర్థ్యాన్ని అందిస్తాయి చతురస్రంప్రత్యేక బటన్ లేనప్పుడు కూడా. కాబట్టి, ముందుగా మీ నిర్దిష్ట కాలిక్యులేటర్ కోసం సూచనలను చదవండి. కొన్నిసార్లు వెనుక కవర్‌పై లేదా కాలిక్యులేటర్‌పై "గమ్మత్తైన" ఎక్స్‌పోనెన్షియేషన్‌లు ఇవ్వబడతాయి. ఉదాహరణకు, అనేక కాలిక్యులేటర్లలో, ఒక సంఖ్యను పెంచడానికి చతురస్రం“x” మరియు “=” బటన్‌లను నొక్కండి.

లో నిర్మాణం కోసం చతురస్రంసాధారణ భిన్నం (ల్యూమరేటర్ మరియు హారం కలిగి ఉంటుంది), వరకు పెంచండి చతురస్రంవిడిగా ఈ భిన్నం యొక్క లవం మరియు హారం. అంటే, కింది నియమాన్ని ఉపయోగించండి: (h / z)² = h² / z², ఇక్కడ h అనేది భిన్నం యొక్క లవణం, z అనేది భిన్నం యొక్క హారం: (3/4) = 3²/4² = 9 /16.

నిర్మించబడి ఉంటే చతురస్రం భిన్నం- మిశ్రమంగా ఉంటుంది (పూర్ణాంకం భాగం మరియు సాధారణ భిన్నం ఉంటుంది), ఆపై దానిని మొదట సాధారణ రూపానికి తగ్గించండి. అంటే, కింది సూత్రాన్ని వర్తింపజేయండి: (c h/z)² = ((c*z+ch) / z)² = (c*z+ch)² / z², ఇక్కడ c అనేది మిశ్రమ భిన్నం యొక్క పూర్ణాంకం భాగం. ఉదాహరణ: (3 2/5)² = ((3*5+2) / 5)² = (3*5+2)² / 5² = 17² / 5² = 289/25 = 11 14/25.

లోపల ఉంటే చతురస్రం(కాదు) భిన్నాలు అన్ని సమయాలలో జరుగుతాయి, ఆపై MS Excelని ఉపయోగించండి. దీన్ని చేయడానికి, కింది ఫార్ములాను పట్టికలలో ఒకదానిలో నమోదు చేయండి: = DEGREE (A2;2) ఇక్కడ A2 అనేది పెరిగిన విలువ నమోదు చేయబడే సెల్ యొక్క చిరునామా. చతురస్రం భిన్నం.ఇన్‌పుట్ నంబర్‌ని ఇలా పరిగణించాలని ప్రోగ్రామ్‌కి చెప్పడానికి భిన్నం yu (అంటే దానిని దశాంశానికి మార్చవద్దు), ముందు టైప్ చేయండి భిన్నంనాకు "0" సంఖ్య మరియు "స్పేస్" గుర్తు ఉంది. అంటే, నమోదు చేయడానికి, ఉదాహరణకు, 2/3 భిన్నం, మీరు నమోదు చేయాలి: "0 2/3" (మరియు ఎంటర్ నొక్కండి). ఈ సందర్భంలో, నమోదు చేసిన భిన్నం యొక్క దశాంశ ప్రాతినిధ్యం ఇన్‌పుట్ లైన్‌లో ప్రదర్శించబడుతుంది. భిన్నం యొక్క విలువ మరియు ప్రాతినిధ్యం దాని అసలు రూపంలో సేవ్ చేయబడుతుంది. అదనంగా, ఆర్గ్యుమెంట్‌లు సాధారణ భిన్నాలుగా ఉన్న గణిత ఫంక్షన్‌లను ఉపయోగిస్తున్నప్పుడు, ఫలితం కూడా సాధారణ భిన్నం వలె ప్రదర్శించబడుతుంది. అందుకే చతురస్రం 2/3 భిన్నం 4/9గా సూచించబడుతుంది.