పారాఫిన్ యొక్క మొత్తం స్థితి. పదార్థం యొక్క మొత్తం స్థితులు

అంశంపై 11వ తరగతి పాఠం స్క్రిప్ట్:

“వాస్తవిక సంఖ్య యొక్క nవ మూలం. »

పాఠం యొక్క ఉద్దేశ్యం:రూట్ యొక్క సంపూర్ణ అవగాహన విద్యార్థులలో ఏర్పడటం n-వ డిగ్రీ మరియు nth డిగ్రీ యొక్క అంకగణిత మూలం, గణన నైపుణ్యాల ఏర్పాటు, రాడికల్‌ను కలిగి ఉన్న వివిధ సమస్యలను పరిష్కరించేటప్పుడు మూలం యొక్క లక్షణాలను చేతన మరియు హేతుబద్ధంగా ఉపయోగించడం యొక్క నైపుణ్యాలు. టాపిక్ ప్రశ్నలపై విద్యార్థుల అవగాహన స్థాయిని తనిఖీ చేయండి.

విషయం:అంశంపై మాస్టరింగ్ మెటీరియల్ కోసం అర్ధవంతమైన మరియు సంస్థాగత పరిస్థితులను సృష్టించండి "సంఖ్యా మరియు అక్షర వ్యక్తీకరణలు » అవగాహన, గ్రహణశక్తి మరియు ప్రాథమిక జ్ఞాపకశక్తి స్థాయిలో; వాస్తవ సంఖ్య యొక్క nవ మూలాన్ని లెక్కించేటప్పుడు ఈ సమాచారాన్ని ఉపయోగించగల సామర్థ్యాన్ని అభివృద్ధి చేయండి;

మెటా-విషయం:కంప్యూటింగ్ నైపుణ్యాల అభివృద్ధిని ప్రోత్సహించండి; విశ్లేషించడానికి, సరిపోల్చడానికి, సాధారణీకరించడానికి, తీర్మానాలు చేయగల సామర్థ్యం;

వ్యక్తిగత:ఒకరి దృక్కోణాన్ని వ్యక్తీకరించే సామర్థ్యాన్ని పెంపొందించుకోండి, ఇతరుల సమాధానాలను వినండి, సంభాషణలో పాల్గొనండి మరియు సానుకూల సహకారం కోసం సామర్థ్యాన్ని పెంపొందించుకోండి.

ప్రణాళికాబద్ధమైన ఫలితం.

విషయం: మూలాలను లెక్కించేటప్పుడు మరియు సమీకరణాలను పరిష్కరించేటప్పుడు వాస్తవ సంఖ్య యొక్క nవ మూలం యొక్క లక్షణాలను వాస్తవ పరిస్థితిలో వర్తింపజేయగలరు.

వ్యక్తిగత: గణనలలో శ్రద్ద మరియు ఖచ్చితత్వాన్ని పెంపొందించడం, తన గురించి మరియు ఒకరి పని పట్ల డిమాండ్ చేసే వైఖరి మరియు పరస్పర సహాయ భావాన్ని పెంపొందించడం.

పాఠం రకం: కొత్త జ్ఞానాన్ని అధ్యయనం చేయడం మరియు ప్రారంభంలో ఏకీకృతం చేయడంపై పాఠం

విద్యా కార్యకలాపాలకు ప్రేరణ:

తూర్పు జ్ఞానం ఇలా చెబుతోంది: "మీరు గుర్రాన్ని నీటికి నడిపించవచ్చు, కానీ మీరు అతనిని త్రాగడానికి బలవంతం చేయలేరు." మరియు ఒక వ్యక్తి తనను తాను మరింత తెలుసుకోవడానికి ప్రయత్నించకపోతే మరియు అతని మానసిక అభివృద్ధిపై పని చేయాలనే కోరిక లేకుంటే బాగా చదువుకోవాలని బలవంతం చేయడం అసాధ్యం. అన్నింటికంటే, జ్ఞానం అనేది ఒకరి ఆలోచనల ప్రయత్నాల ద్వారా పొందబడినప్పుడు మాత్రమే జ్ఞానం, మరియు జ్ఞాపకశక్తి ద్వారా మాత్రమే కాదు.

మా పాఠం నినాదం కింద జరుగుతుంది: "మేము దాని కోసం ప్రయత్నిస్తే మేము ఏదైనా శిఖరాన్ని జయిస్తాము." పాఠం సమయంలో, మీరు మరియు నేను అనేక శిఖరాలను అధిగమించడానికి సమయం కావాలి, మరియు మీలో ప్రతి ఒక్కరూ ఈ శిఖరాలను జయించటానికి మీ అన్ని ప్రయత్నాలను చేయాలి.

“ఈ రోజు మనకు ఒక పాఠం ఉంది, దీనిలో మనం కొత్త భావనతో పరిచయం పొందాలి: “Nth రూట్” మరియు ఈ భావనను వివిధ వ్యక్తీకరణల పరివర్తనకు ఎలా వర్తింపజేయాలో తెలుసుకోండి.

వివిధ రకాల పని ద్వారా మీ ప్రస్తుత జ్ఞానాన్ని సక్రియం చేయడం, మెటీరియల్ అధ్యయనానికి సహకరించడం మరియు మంచి గ్రేడ్‌లు పొందడం మీ లక్ష్యం.
మేము 8వ తరగతిలో వాస్తవ సంఖ్య యొక్క వర్గమూలాన్ని అధ్యయనం చేసాము. వర్గమూలం రూపం యొక్క విధికి సంబంధించినది వై=x 2. గైస్, మేము వర్గమూలాలను ఎలా లెక్కించాము మరియు దానిలో ఏ లక్షణాలు ఉన్నాయి అని మీకు గుర్తుందా?
ఎ) వ్యక్తిగత సర్వే:

ఇది ఎలాంటి వ్యక్తీకరణ

వర్గమూలం అంటారు

అంకగణిత వర్గమూలం అంటారు

వర్గమూలం యొక్క లక్షణాలను జాబితా చేయండి

బి) జంటగా పని చేయండి: లెక్కించండి.

-

2. జ్ఞానాన్ని నవీకరించడం మరియు సమస్య పరిస్థితిని సృష్టించడం: x 4 =1 సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి. మనం దాన్ని ఎలా పరిష్కరించగలం? (విశ్లేషణాత్మక మరియు గ్రాఫికల్). దాన్ని గ్రాఫికల్‌గా పరిష్కరిద్దాం. దీన్ని చేయడానికి, ఒక కోఆర్డినేట్ సిస్టమ్‌లో మేము ఫంక్షన్ y = x 4 సరళ రేఖ y = 1 (Fig. 164 a) యొక్క గ్రాఫ్‌ను నిర్మిస్తాము. అవి రెండు పాయింట్ల వద్ద కలుస్తాయి: A (-1;1) మరియు B(1;1). A మరియు B పాయింట్ల అబ్సిస్సాస్, అనగా. x 1 = -1,

x 2 = 1 అనేవి x 4 = 1 సమీకరణం యొక్క మూలాలు.
సరిగ్గా అదే విధంగా తార్కికం, మేము x 4 =16 సమీకరణం యొక్క మూలాలను కనుగొంటాము: ఇప్పుడు x 4 =5 సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడానికి ప్రయత్నిద్దాం; రేఖాగణిత దృష్టాంతం అంజీర్‌లో చూపబడింది. 164 బి. సమీకరణం x 1 మరియు x 2 అనే రెండు మూలాలను కలిగి ఉందని స్పష్టంగా తెలుస్తుంది మరియు ఈ సంఖ్యలు, మునుపటి రెండు సందర్భాలలో వలె, పరస్పర విరుద్ధంగా ఉంటాయి. కానీ మొదటి రెండు సమీకరణాలకు మూలాలు ఇబ్బంది లేకుండా కనుగొనబడ్డాయి (అవి గ్రాఫ్‌లను ఉపయోగించకుండా కనుగొనబడతాయి), కానీ x 4 = 5 సమీకరణంతో సమస్యలు ఉన్నాయి: డ్రాయింగ్ నుండి మనం మూలాల విలువలను సూచించలేము, కానీ మేము ఒక మూలం ఎడమ పాయింట్ -1కి మరియు రెండవది పాయింట్ 1కి కుడి వైపున ఉందని మాత్రమే నిర్ధారించవచ్చు.

x 2 = - (చదవండి: “ఐదులో నాల్గవ మూలం”).

మేము x 4 = a అనే సమీకరణం గురించి మాట్లాడాము, ఇక్కడ ఒక 0. మేము x 4 = a అనే సమీకరణం గురించి సమానంగా మాట్లాడవచ్చు, ఇక్కడ 0 మరియు n ఏదైనా సహజ సంఖ్య. ఉదాహరణకు, x 5 = 1 సమీకరణాన్ని గ్రాఫికల్‌గా పరిష్కరించడం, మేము x = 1 (Fig. 165)ని కనుగొంటాము; x 5 "= 7 సమీకరణాన్ని పరిష్కరిస్తూ, సమీకరణానికి ఒక రూట్ x 1 ఉందని మేము నిర్ధారిస్తాము, ఇది x అక్షం మీద పాయింట్ 1కి కొద్దిగా కుడి వైపున ఉంది (Fig. 165 చూడండి). x 1 సంఖ్య కోసం, మేము పరిచయం చేస్తాము సంజ్ఞామానం

నిర్వచనం 1.నాన్-నెగటివ్ సంఖ్య a (n = 2, 3,4, 5,...) యొక్క nవ మూలం నాన్-నెగటివ్ సంఖ్య, ఇది శక్తి nకి పెంచబడినప్పుడు, సంఖ్య a వస్తుంది.

ఈ సంఖ్య సూచించబడుతుంది, a సంఖ్యను రాడికల్ సంఖ్య అని పిలుస్తారు మరియు n సంఖ్య మూలం యొక్క ఘాతాంకం.
n=2 అయితే, వారు సాధారణంగా “సెకండ్ రూట్” అని చెప్పరు, కానీ “స్క్వేర్ రూట్” అని చెబుతారు. ఈ సందర్భంలో, వారు దీన్ని వ్రాయరు. ఇది మీరు 8వ తరగతి బీజగణితం కోర్సులో ప్రత్యేకంగా చదివిన ప్రత్యేక సందర్భం. .

n = 3 అయితే, "థర్డ్ డిగ్రీ రూట్"కి బదులుగా వారు తరచుగా "క్యూబ్ రూట్" అని చెబుతారు. క్యూబ్ రూట్‌తో మీ మొదటి పరిచయం కూడా 8వ తరగతి ఆల్జీబ్రా కోర్సులో జరిగింది. మేము 9వ తరగతి బీజగణితంలో క్యూబ్ రూట్‌లను ఉపయోగించాము.

కాబట్టి, ఒక ≥0, n= 2,3,4,5,..., అప్పుడు 1) ≥ 0; 2) () n = a.

సాధారణంగా, =b మరియు b n =a అనేది ప్రతికూల సంఖ్యలు కాని a మరియు bల మధ్య ఒకే విధమైన సంబంధం, కానీ రెండవది మాత్రమే మొదటిదాని కంటే సరళమైన భాషలో (సరళమైన చిహ్నాలను ఉపయోగిస్తుంది) వివరించబడింది.

నాన్-నెగటివ్ సంఖ్య యొక్క మూలాన్ని కనుగొనే ఆపరేషన్‌ను సాధారణంగా రూట్ ఎక్స్‌ట్రాక్షన్ అంటారు. ఈ ఆపరేషన్ సముచితమైన శక్తిని పెంచడం యొక్క రివర్స్. సరిపోల్చండి:

దయచేసి మళ్లీ గమనించండి: ఇది డెఫినిషన్ 1లో నిర్దేశించబడినందున, పట్టికలో సానుకూల సంఖ్యలు మాత్రమే కనిపిస్తాయి. మరియు ఉదాహరణకు, (-6) 6 = 36 సరైన సమానత్వం అయినప్పటికీ, వర్గమూలాన్ని ఉపయోగించి దాని నుండి సంజ్ఞామానానికి వెళ్లండి, అనగా. అది అసాధ్యం అని వ్రాయండి. నిర్వచనం ప్రకారం, సానుకూల సంఖ్య అంటే = 6 (కాదు -6). అదే విధంగా, 2 4 =16, t (-2) 4 =16 అయినప్పటికీ, మూలాల సంకేతాలకు వెళ్లడం, మనం తప్పనిసరిగా = 2 (మరియు అదే సమయంలో ≠-2) అని వ్రాయాలి.

కొన్నిసార్లు వ్యక్తీకరణను రాడికల్ అని పిలుస్తారు (లాటిన్ పదం గాడిక్స్ నుండి - "రూట్"). రష్యన్ భాషలో, రాడికల్ అనే పదాన్ని చాలా తరచుగా ఉపయోగిస్తారు, ఉదాహరణకు, “రాడికల్ మార్పులు” - దీని అర్థం “రాడికల్ మార్పులు”. మార్గం ద్వారా, రూట్ యొక్క హోదా గడిక్స్ అనే పదాన్ని గుర్తుకు తెస్తుంది: చిహ్నం శైలీకృత అక్షరం r.

మూలాన్ని సంగ్రహించే ఆపరేషన్ కూడా ప్రతికూల రాడికల్ సంఖ్య కోసం నిర్ణయించబడుతుంది, కానీ బేసి మూల ఘాతాంకం విషయంలో మాత్రమే. మరో మాటలో చెప్పాలంటే, సమానత్వం (-2) 5 = -32ని సమాన రూపంలో =-2గా తిరిగి వ్రాయవచ్చు. కింది నిర్వచనం ఉపయోగించబడుతుంది.

నిర్వచనం 2.ప్రతికూల సంఖ్య a (n = 3.5,...) యొక్క బేసి మూలం n అనేది ప్రతికూల సంఖ్య, ఇది శక్తి nకి పెంచబడినప్పుడు, సంఖ్య aకి దారి తీస్తుంది.

ఈ సంఖ్య, డెఫినిషన్ 1లో వలె, ద్వారా సూచించబడుతుంది, సంఖ్య a రాడికల్ సంఖ్య, మరియు సంఖ్య n అనేది రూట్ యొక్క ఘాతాంకం.
కాబట్టి, a , n=,5,7,... అయితే: 1) 0; 2) () n = a.

ఈ విధంగా, ఒక సరి రూట్‌కు ప్రతికూలత లేని రాడికల్ వ్యక్తీకరణకు మాత్రమే అర్థం (అంటే నిర్వచించబడింది); ఏదైనా రాడికల్ వ్యక్తీకరణకు బేసి మూలం అర్ధమే.

5. జ్ఞానం యొక్క ప్రాథమిక ఏకీకరణ:

1. లెక్కించు: నం. 33.5; 33.6; 33.74 33.8 మౌఖికంగా a) ; బి) ; V) ; జి) .

d) మునుపటి ఉదాహరణల వలె కాకుండా, మేము సంఖ్య యొక్క ఖచ్చితమైన విలువను సూచించలేము. ఇది 2 కంటే ఎక్కువ, కానీ 3 కంటే తక్కువ అని స్పష్టంగా తెలుస్తుంది, ఎందుకంటే 2 4 = 16 (ఇది 17 కంటే తక్కువ), మరియు 3 4 = 81 (ఇది 17 కంటే ఎక్కువ). 34 కంటే 24 17కి చాలా దగ్గరగా ఉందని మేము గమనించాము, కాబట్టి సుమారు సమానత్వ చిహ్నాన్ని ఉపయోగించడానికి కారణం ఉంది:
2. కింది వ్యక్తీకరణల అర్ధాలను కనుగొనండి.

ఉదాహరణ పక్కన సంబంధిత అక్షరాన్ని ఉంచండి.

గొప్ప శాస్త్రవేత్త గురించి ఒక చిన్న సమాచారం. రెనే డెస్కార్టెస్ (1596-1650) ఫ్రెంచ్ కులీనుడు, గణిత శాస్త్రజ్ఞుడు, తత్వవేత్త, శరీరధర్మ శాస్త్రవేత్త, ఆలోచనాపరుడు. రెనే డెస్కార్టెస్ విశ్లేషణాత్మక జ్యామితి యొక్క పునాదులను వేశాడు మరియు x 2, y 3 అనే అక్షర హోదాలను ప్రవేశపెట్టాడు. వేరియబుల్ యొక్క ఫంక్షన్‌ను నిర్వచించే కార్టీసియన్ కోఆర్డినేట్‌లు అందరికీ తెలుసు.

3 . సమీకరణాలను పరిష్కరించండి: a) = -2; బి) = 1; c) = -4

పరిష్కారం: a) = -2 అయితే, y = -8. నిజానికి, మనం ఇచ్చిన సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా క్యూబ్ చేయాలి. మనకు లభిస్తుంది: 3x+4= - 8; 3x= -12; x = -4. b) ఉదాహరణలో రీజనింగ్ a), మేము సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా నాల్గవ శక్తికి పెంచుతాము. మనకు లభిస్తుంది: x=1.

సి) దానిని నాల్గవ శక్తికి పెంచాల్సిన అవసరం లేదు; ఈ సమీకరణానికి పరిష్కారాలు లేవు. ఎందుకు? ఎందుకంటే, నిర్వచనం 1 ప్రకారం, సరి రూట్ అనేది ప్రతికూల సంఖ్య కాదు.
అనేక పనులు మీ దృష్టికి అందించబడతాయి. మీరు ఈ పనులను పూర్తి చేసినప్పుడు, మీరు గొప్ప గణిత శాస్త్రజ్ఞుని పేరు మరియు ఇంటిపేరును నేర్చుకుంటారు. ఈ శాస్త్రవేత్త 1637లో మూల సంకేతాన్ని మొదటిసారిగా పరిచయం చేశాడు.

6. కొంచెం విశ్రాంతి తీసుకుందాం.

తరగతి చేతులు పైకెత్తుతుంది - ఇది “ఒకటి”.

తల తిరిగింది - అది “రెండు”.

చేతులు క్రిందికి, ఎదురుచూడండి - ఇది “మూడు”.

చేతులు "నాలుగు" వైపులా వెడల్పుగా మారాయి

వాటిని మీ చేతుల్లోకి బలవంతంగా నొక్కడం "హై ఫైవ్".

అబ్బాయిలందరూ కూర్చోవాలి - ఇది “ఆరు”.

7. స్వతంత్ర పని:

ఎంపిక: ఎంపిక 2:

బి) 3-. బి) 12 -6.

2. సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి: a) x 4 = -16; బి) 0.02x 6 -1.28=0; a) x 8 = -3; బి) 0.3x 9 – 2.4=0;

సి) = -2; c)= 2

8. పునరావృతం:సమీకరణం యొక్క మూలాన్ని కనుగొనండి = - x. సమీకరణం ఒకటి కంటే ఎక్కువ మూలాలను కలిగి ఉంటే, చిన్న మూలంతో సమాధానం రాయండి.

9. ప్రతిబింబం:పాఠంలో మీరు ఏమి నేర్చుకున్నారు? ఆసక్తికరమైనది ఏమిటి? కష్టం ఏమిటి?

డిగ్రీ సూత్రాలుసంక్లిష్ట వ్యక్తీకరణలను తగ్గించే మరియు సరళీకృతం చేసే ప్రక్రియలో, సమీకరణాలు మరియు అసమానతలను పరిష్కరించడంలో ఉపయోగిస్తారు.

సంఖ్య సిఉంది n-ఒక సంఖ్య యొక్క శక్తి aఎప్పుడు:

డిగ్రీలతో కార్యకలాపాలు.

1. ఒకే ఆధారంతో డిగ్రీలను గుణించడం ద్వారా, వాటి సూచికలు జోడించబడతాయి:

ఒక m·a n = a m + n .

2. డిగ్రీలను ఒకే ఆధారంతో విభజించినప్పుడు, వాటి ఘాతాంకాలు తీసివేయబడతాయి:

3. 2 లేదా అంతకంటే ఎక్కువ కారకాల ఉత్పత్తి యొక్క డిగ్రీ ఈ కారకాల డిగ్రీల ఉత్పత్తికి సమానం:

(abc…) n = a n · b n · c n …

4. భిన్నం యొక్క డిగ్రీ డివిడెండ్ మరియు డివైజర్ డిగ్రీల నిష్పత్తికి సమానం:

(a/b) n = a n /b n .

5. శక్తికి శక్తిని పెంచడం, ఘాతాంకాలు గుణించబడతాయి:

(a m) n = a m n .

ఎగువన ఉన్న ప్రతి ఫార్ములా ఎడమ నుండి కుడికి మరియు వైస్ వెర్సా దిశలలో నిజం.

ఉదాహరణకి. (2 3 5/15)² = 2² 3² 5²/15² = 900/225 = 4.

మూలాలతో కార్యకలాపాలు.

1. అనేక కారకాల ఉత్పత్తి యొక్క మూలం ఈ కారకాల మూలాల ఉత్పత్తికి సమానం:

2. నిష్పత్తి యొక్క మూలం డివిడెండ్ మరియు మూలాల విభజన నిష్పత్తికి సమానం:

3. ఒక శక్తికి మూలాన్ని పెంచేటప్పుడు, ఈ శక్తికి రాడికల్ సంఖ్యను పెంచడానికి సరిపోతుంది:

4. మీరు ఇన్ రూట్ యొక్క డిగ్రీని పెంచినట్లయితే nఒకసారి మరియు అదే సమయంలో నిర్మించడానికి nవ శక్తి రాడికల్ సంఖ్య, అప్పుడు రూట్ విలువ మారదు:

5. మీరు ఇన్ రూట్ డిగ్రీని తగ్గిస్తే nఅదే సమయంలో మూలాన్ని సంగ్రహించండి nరాడికల్ సంఖ్య యొక్క -వ శక్తి, అప్పుడు రూట్ విలువ మారదు:

ప్రతికూల ఘాతాంకంతో డిగ్రీ.నాన్-పాజిటివ్ (పూర్ణాంకం) ఘాతాంకం ఉన్న నిర్దిష్ట సంఖ్య యొక్క శక్తిని అదే సంఖ్య యొక్క శక్తితో భాగించబడిన ఒక ఘాతాంకం నాన్-పాజిటివ్ ఘాతాంకం యొక్క సంపూర్ణ విలువకు సమానమైనదిగా నిర్వచించబడుతుంది:

ఫార్ములా ఒక m:a n =a m - nకోసం మాత్రమే ఉపయోగించవచ్చు m> n, కానీ తో కూడా m< n.

ఉదాహరణకి. a4:a 7 = a 4 - 7 = a -3.

సూత్రానికి ఒక m:a n =a m - nఎప్పుడు న్యాయంగా మారింది m=n, సున్నా డిగ్రీ ఉనికి అవసరం.

సున్నా సూచికతో ఒక డిగ్రీ.సున్నా ఘాతాంకంతో సున్నాకి సమానం కాని ఏదైనా సంఖ్య యొక్క శక్తి ఒకదానికి సమానం.

ఉదాహరణకి. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.

పాక్షిక ఘాతాంకంతో డిగ్రీ.వాస్తవ సంఖ్యను పెంచడానికి ఎడిగ్రీ వరకు m/n, మీరు రూట్ సేకరించేందుకు అవసరం nయొక్క డిగ్రీ m-ఈ సంఖ్య యొక్క శక్తి ఎ.