Katika nakala hii, mwalimu wa hisabati na fizikia anazungumza juu ya jinsi ya kufanya shughuli za kimsingi na sehemu za kawaida: kuongeza na kutoa, kuzidisha na mgawanyiko. Jifunze jinsi ya kuwakilisha nambari iliyochanganywa kama sehemu isiyofaa na kinyume chake, na pia jinsi ya kupunguza sehemu.
Kuongeza na kupunguza sehemu za kawaida
Hebu tuwakumbushe hilo dhehebu sehemu ni nambari ambayo iko kutoka chini, A namba- nambari ambayo iko juu kutoka kwa mstari wa sehemu. Kwa mfano, katika sehemu, nambari ni nambari na nambari ni denominator.
Denominator ya kawaida ndio nambari ndogo zaidi inayowezekana ambayo inaweza kugawanywa na kiashiria cha sehemu ya kwanza na kiashiria cha sehemu ya pili.
Mfano 1. Ongeza sehemu mbili:.
Wacha tutumie algorithm iliyoelezewa hapo juu:
1) Nambari ndogo zaidi ambayo inaweza kugawanywa na denominator ya sehemu ya kwanza na denominator ya sehemu ya pili ni sawa na . Nambari hii itakuwa dhehebu la kawaida. Sasa unahitaji kuleta sehemu zote mbili kwa denominator ya kawaida.
2) Ongeza sehemu zinazosababisha: 
.
Kuzidisha sehemu za kawaida
Kwa maneno mengine, kwa nambari zote halisi , , , , usawa ufuatao unashikilia:
Mfano 2. Zidisha sehemu: .
Ili kutatua tatizo hili, tunatumia formula iliyotolewa hapo juu: 
.
Kugawanya sehemu
Kwa maneno mengine, kwa nambari zote halisi , , , , , usawa ufuatao unashikilia:
Mfano 3. Gawanya sehemu: .
Ili kutatua tatizo hili, tunatumia formula hapo juu: 
.
Inawakilisha nambari iliyochanganywa kama sehemu isiyofaa
Wacha sasa tuone nini cha kufanya ikiwa unahitaji kufanya operesheni yoyote na sehemu zilizowasilishwa kwa njia ya nambari zilizochanganywa. Katika kesi hii, kwanza unahitaji kuwakilisha nambari zilizochanganywa kama sehemu zisizofaa, na kisha ufanye operesheni inayofaa.
Hebu tuwakumbushe hilo vibaya Sehemu ambayo nambari yake ni kubwa kuliko au sawa na denominator yake inaitwa.
Kumbuka pia kwamba nambari iliyochanganywa ina sehemu Na sehemu nzima. Kwa mfano, nambari iliyochanganywa ina sehemu ya sehemu sawa na , na sehemu kamili sawa na .
Mfano 4. Eleza nambari iliyochanganywa kama sehemu isiyofaa.
Wacha tutumie algorithm iliyowasilishwa hapo juu: 
.
Mfano 5. Wakilisha sehemu isiyofaa kama nambari iliyochanganywa.
Sehemu- aina ya kuwakilisha nambari katika hisabati. Sehemu ya sehemu inaashiria operesheni ya mgawanyiko. Nambari sehemu inaitwa gawio, na dhehebu- mgawanyiko. Kwa mfano, katika sehemu nambari ni 5 na denominator ni 7.
Sahihi Sehemu inaitwa ambayo moduli ya nambari ni kubwa kuliko moduli ya denominator. Ikiwa sehemu ni sahihi, basi moduli ya thamani yake daima ni chini ya 1. Sehemu nyingine zote ni vibaya.
Sehemu inaitwa mchanganyiko, ikiwa imeandikwa kama nambari kamili na sehemu. Hii ni sawa na jumla ya nambari hii na sehemu:
Mali kuu ya sehemu
Ikiwa nambari na dhehebu ya sehemu inazidishwa na nambari sawa, basi thamani ya sehemu haitabadilika, ambayo ni, kwa mfano,
Kupunguza sehemu kwa dhehebu la kawaida
Ili kuleta sehemu mbili kwa dhehebu la kawaida, unahitaji:
- Zidisha nambari ya sehemu ya kwanza kwa denominator ya pili
- Zidisha nambari ya sehemu ya pili kwa dhehebu ya kwanza
- Badilisha madhehebu ya sehemu zote mbili na bidhaa zao
Uendeshaji na sehemu
Nyongeza. Ili kuongeza sehemu mbili unahitaji
- Ongeza nambari mpya za sehemu zote mbili na uache denominator bila kubadilika
Mfano:
Kutoa. Ili kuondoa sehemu moja kutoka kwa nyingine, unahitaji
- Punguza sehemu kwa dhehebu la kawaida
- Ondoa nambari ya pili kutoka kwa nambari ya sehemu ya kwanza, na uache denominata bila kubadilika.
Mfano:
Kuzidisha. Ili kuzidisha sehemu moja baada ya nyingine, zidisha nambari na denomineta zao:
Mgawanyiko. Ili kugawanya sehemu moja na nyingine, zidisha nambari ya sehemu ya kwanza na dhehebu ya pili, na kuzidisha dhehebu la sehemu ya kwanza na nambari ya pili:
Wacha tukubaliane kwamba "vitendo vilivyo na sehemu" katika somo letu vitamaanisha vitendo na sehemu za kawaida. Sehemu ya kawaida ni sehemu ambayo ina sifa kama vile nambari, mstari wa sehemu, na denominator. Hii inatofautisha sehemu ya kawaida kutoka kwa decimal, ambayo hupatikana kutoka kwa sehemu ya kawaida kwa kupunguza denominator hadi nyingi ya 10. Sehemu ya decimal imeandikwa na koma inayotenganisha sehemu nzima kutoka sehemu ya sehemu. Tutazungumza juu ya operesheni na sehemu za kawaida, kwani ndio zinazosababisha ugumu mkubwa kwa wanafunzi ambao wamesahau misingi ya mada hii, iliyofunikwa katika nusu ya kwanza ya kozi ya hesabu ya shule. Wakati huo huo, wakati wa kubadilisha misemo katika hisabati ya juu, ni shughuli zilizo na sehemu za kawaida ambazo hutumiwa. Vifupisho vya sehemu pekee vinastahili! Sehemu za decimal hazisababishi ugumu wowote. Kwa hiyo, endelea!
Sehemu mbili zinasemekana kuwa sawa ikiwa .
Kwa mfano, tangu
Sehemu na (tangu), na (tangu) pia ni sawa.
Ni wazi, sehemu zote mbili na ni sawa. Hii ina maana kwamba ikiwa nambari na denominator ya sehemu fulani itazidishwa au kugawanywa kwa nambari asilia sawa, utapata sehemu sawa na ile uliyopewa: .
Mali hii inaitwa mali ya msingi ya sehemu.
Sifa ya msingi ya sehemu inaweza kutumika kubadilisha ishara za nambari na denominator ya sehemu. Ikiwa nambari na denominator ya sehemu inazidishwa na -1, tunapata . Hii ina maana kwamba thamani ya sehemu haitabadilika ikiwa ishara za nambari na denominator zinabadilishwa kwa wakati mmoja. Ikiwa utabadilisha ishara ya nambari tu au dhehebu tu, basi sehemu itabadilisha ishara yake:
Kupunguza Sehemu
Kutumia mali ya msingi ya sehemu, unaweza kuchukua nafasi ya sehemu fulani na sehemu nyingine ambayo ni sawa na ile uliyopewa, lakini kwa nambari ndogo na denominator. Ubadilishaji huu unaitwa kupunguza sehemu.
Hebu, kwa mfano, tupewe sehemu. Nambari 36 na 48 zina kigawanyiko kikubwa zaidi cha 12. Kisha
.
Kwa ujumla, kupunguza sehemu kunawezekana kila wakati ikiwa nambari na denominator sio nambari kuu za pande zote. Ikiwa nambari na denominator ni nambari kuu za pande zote, basi sehemu hiyo inaitwa isiyoweza kupunguzwa.
Kwa hivyo, kupunguza sehemu inamaanisha kugawanya nambari na denominator ya sehemu kwa sababu ya kawaida. Yote yaliyo hapo juu pia yanatumika kwa misemo ya sehemu iliyo na vigeuzo.
Mfano 1. Punguza sehemu
Suluhisho. Ili kurekebisha nambari, kwanza kuwasilisha monomial - 5 xy kama jumla - 2 xy - 3xy, tunapata
Ili kurekebisha dhehebu, tunatumia tofauti za fomula ya mraba:
Matokeo yake
.
Kupunguza sehemu kwa dhehebu la kawaida
Acha sehemu mbili na . Wana madhehebu tofauti: 5 na 7. Kwa kutumia mali ya msingi ya sehemu, unaweza kuchukua nafasi ya sehemu hizi na wengine ambao ni sawa nao, na vile kwamba sehemu zinazosababisha zitakuwa na denominators sawa. Kuzidisha nambari na denominator ya sehemu na 7, tunapata
Kuzidisha nambari na denominator ya sehemu na 5, tunapata
Kwa hivyo, sehemu hupunguzwa hadi dhehebu la kawaida:
.
Lakini hii sio suluhisho pekee la shida: kwa mfano, sehemu hizi zinaweza pia kupunguzwa kwa dhehebu la kawaida la 70:
,
na kwa jumla kwa dhehebu lolote linaloweza kugawanywa na 5 na 7.
Wacha tuchunguze mfano mwingine: wacha tulete sehemu na kwa dhehebu la kawaida. Kubishana kama katika mfano uliopita, tunapata
,
.
Lakini katika kesi hii, inawezekana kupunguza sehemu kwa dhehebu ya kawaida ambayo ni chini ya bidhaa ya madhehebu ya sehemu hizi. Wacha tupate kizidishio cha kawaida zaidi cha nambari 24 na 30: LCM(24, 30) = 120.
Tangu 120:4 = 5, kuandika sehemu na denominator ya 120, unahitaji kuzidisha nambari zote mbili na denominator kwa 5, nambari hii inaitwa sababu ya ziada. Maana 
.
Ifuatayo, tunapata 120:30=4. Kuzidisha nambari na denominator ya sehemu kwa sababu ya ziada ya 4, tunapata 
.
Kwa hivyo, sehemu hizi hupunguzwa hadi dhehebu la kawaida.
Kizidishio cha chini kabisa cha madhehebu ya sehemu hizi ni kipunguzo cha kawaida kinachowezekana.
Kwa maneno ya sehemu ambayo yanahusisha vigezo, denominator ya kawaida ni polynomial ambayo imegawanywa na denominator ya kila sehemu.
Mfano 2. Pata dhehebu la kawaida la sehemu na.
Suluhisho. Denominator ya kawaida ya sehemu hizi ni polynomial, kwa kuwa inaweza kugawanywa na wote wawili na. Walakini, polynomial hii sio pekee inayoweza kuwa dhehebu la kawaida la sehemu hizi. Inaweza pia kuwa polynomial 
, na polynomial 
, na polynomial 
na kadhalika. Kawaida wanachukua dhehebu la kawaida kwamba dhehebu lingine lolote la kawaida linagawanywa na aliyechaguliwa bila salio. Denominator hii inaitwa denominator ya chini kabisa ya kawaida.
Katika mfano wetu, dhehebu la chini kabisa ni . Nimepata:
;
.
Tuliweza kupunguza visehemu hadi kiashiria cha chini kabisa cha kawaida. Hili lilifanyika kwa kuzidisha nambari na denominator ya sehemu ya kwanza kwa , na nambari na kiashiria cha sehemu ya pili kwa . Polynomials huitwa sababu za ziada, kwa mtiririko huo kwa sehemu ya kwanza na ya pili.
Kuongeza na kupunguza sehemu
Ongezeko la sehemu hufafanuliwa kama ifuatavyo:
.
Kwa mfano,
.
Kama b = d, Hiyo
.
Hii ina maana kwamba kuongeza sehemu na denominator sawa, inatosha kuongeza nambari na kuacha denominator sawa. Kwa mfano,
.
Ikiwa unaongeza sehemu na denominators tofauti, kwa kawaida hupunguza sehemu hadi chini kabisa ya kawaida, na kisha kuongeza nambari. Kwa mfano,
.
Sasa hebu tuangalie mfano wa kuongeza maneno ya sehemu na vigezo.
Mfano 3. Badilisha usemi kuwa sehemu moja
.
Suluhisho. Wacha tupate kiashiria cha chini kabisa cha kawaida. Ili kufanya hivyo, kwanza tunatengeneza madhehebu.
Mifano na sehemu ni moja ya vipengele vya msingi vya hisabati. Kuna aina nyingi tofauti za milinganyo na sehemu. Chini ni maagizo ya kina ya kutatua mifano ya aina hii.
Jinsi ya kutatua mifano na sehemu - sheria za jumla
Ili kutatua mifano na sehemu za aina yoyote, iwe ni kuongeza, kutoa, kuzidisha au kugawanya, unahitaji kujua sheria za msingi:
- Ili kuongeza misemo ya sehemu na dhehebu sawa (denominator ni nambari iliyo chini ya sehemu, nambari iliyo juu), unahitaji kuongeza nambari zao na kuacha denominator sawa.
- Ili kuondoa usemi wa pili wa sehemu (na dhehebu sawa) kutoka kwa sehemu moja, unahitaji kutoa nambari zao na kuacha dhehebu sawa.
- Ili kuongeza au kupunguza sehemu na denominators tofauti, unahitaji kupata denominator ya chini kabisa.
- Ili kupata bidhaa ya sehemu, unahitaji kuzidisha nambari na madhehebu, na, ikiwezekana, punguza.
- Ili kugawanya sehemu kwa sehemu, unazidisha sehemu ya kwanza kwa sehemu ya pili iliyogeuzwa.
Jinsi ya kutatua mifano na sehemu - mazoezi
Kanuni ya 1, mfano 1:
Piga hesabu 3/4 +1/4.
Kulingana na Kanuni ya 1, ikiwa sehemu mbili (au zaidi) zina dhehebu sawa, unaongeza tu nambari zao. Tunapata: 3/4 + 1/4 = 4/4. Ikiwa sehemu ina nambari sawa na denominator, sehemu itakuwa sawa na 1.
Jibu: 3/4 + 1/4 = 4/4 = 1.
Kanuni ya 2, mfano 1:
Hesabu: 3/4 - 1/4
Kutumia kanuni namba 2, ili kutatua equation hii unahitaji kutoa 1 kutoka 3 na kuacha denominator sawa. Tunapata 2/4. Kwa kuwa mbili 2 na 4 zinaweza kupunguzwa, tunapunguza na kupata 1/2.
Jibu: 3/4 - 1/4 = 2/4 = 1/2.
Kanuni ya 3, Mfano 1
Hesabu: 3/4 + 1/6
Suluhisho: Kwa kutumia kanuni ya 3, tunapata dhehebu la chini kabisa la kawaida. Kiashiria cha chini kabisa cha kawaida ni nambari ambayo inaweza kugawanywa na viashiria vya maneno yote ya sehemu katika mfano. Kwa hivyo, tunahitaji kupata nambari ya chini ambayo itagawanywa na 4 na 6. Nambari hii ni 12. Tunaandika 12 kama denominator. Gawanya 12 na denominator ya sehemu ya kwanza, tunapata 3, zidisha na 3, andika. 3 kwenye nambari *3 na + ishara. Gawanya 12 kwa dhehebu la sehemu ya pili, tunapata 2, kuzidisha 2 kwa 1, kuandika 2 * 1 katika nambari. Kwa hivyo, tunapata sehemu mpya yenye dhehebu sawa na 12 na nambari sawa na 3*3+2*1=11. 11/12.
Jibu: 11/12
Kanuni ya 3, Mfano 2:
Hesabu 3/4 - 1/6. Mfano huu ni sawa na uliopita. Tunafanya hatua zote sawa, lakini katika nambari badala ya + ishara, tunaandika ishara ya minus. Tunapata: 3 * 3-2 * 1/12 = 9-2/12 = 7/12.
Jibu: 7/12
Kanuni ya 4, Mfano 1:
Hesabu: 3/4 * 1/4
Kwa kutumia kanuni ya nne, tunazidisha dhehebu la sehemu ya kwanza na dhehebu la pili na nambari ya sehemu ya kwanza na nambari ya pili. 3*1/4*4 = 3/16.
Jibu: 3/16
Kanuni ya 4, Mfano 2:
Hesabu 2/5 * 10/4.
Sehemu hii inaweza kupunguzwa. Katika kesi ya bidhaa, nambari ya sehemu ya kwanza na denominator ya pili na nambari ya sehemu ya pili na denominator ya kwanza zimefutwa.
2 hughairi kutoka 4. 10 hughairi kutoka 5. Tunapata 1 * 2/2 = 1*1 = 1.
Jibu: 2/5 * 10/4 = 1
Kanuni ya 5, Mfano 1:
Hesabu: 3/4: 5/6
Kutumia kanuni ya 5, tunapata: 3/4: 5/6 = 3/4 * 6/5. Tunapunguza sehemu kulingana na kanuni ya mfano uliopita na kupata 9/10.
Jibu: 9/10.
Jinsi ya kutatua mifano na sehemu - hesabu za sehemu
Milinganyo ya sehemu ni mifano ambapo kiashiria kina kisichojulikana. Ili kutatua equation kama hiyo, unahitaji kutumia sheria fulani.
Hebu tuangalie mfano:
Tatua mlingano 15/3x+5 = 3
Hebu tukumbuke kwamba huwezi kugawanya kwa sifuri, i.e. thamani ya denomina lazima isiwe sifuri. Wakati wa kutatua mifano kama hiyo, hii lazima ionyeshe. Kwa kusudi hili, kuna OA (safu ya thamani inayoruhusiwa).
Kwa hivyo 3x+5 ≠ 0.
Kwa hivyo: 3x ≠ 5.
x ≠ 5/3
Kwa x = 5/3 equation haina suluhisho.
Baada ya kutaja ODZ, njia bora ya kutatua equation hii ni kuondoa sehemu. Ili kufanya hivyo, kwanza tunawasilisha maadili yote yasiyo ya sehemu kama sehemu, katika kesi hii nambari 3. Tunapata: 15/(3x+5) = 3/1. Ili kuondokana na sehemu unahitaji kuzidisha kila mmoja wao kwa denominator ya chini kabisa. Katika kesi hii itakuwa (3x+5)*1. Mfuatano:
- Zidisha 15/(3x+5) kwa (3x+5)*1 = 15*(3x+5).
- Fungua mabano: 15*(3x+5) = 45x + 75.
- Tunafanya vivyo hivyo na upande wa kulia wa equation: 3*(3x+5) = 9x + 15.
- Sawazisha pande za kushoto na kulia: 45x + 75 = 9x +15
- Sogeza X kushoto, nambari kulia: 36x = - 50
- Tafuta x: x = -50/36.
- Tunapunguza: -50/36 = -25/18
Jibu: ODZ x ≠ 5/3. x = -25/18.
Jinsi ya kutatua mifano na sehemu - usawa wa sehemu
Tofauti za sehemu za aina (3x-5)/(2-x)≥0 hutatuliwa kwa kutumia mhimili wa nambari. Hebu tuangalie mfano huu.
Mfuatano:
- Tunalinganisha nambari na denomina kwa sufuri: 1. 3x-5=0 => 3x=5 => x=5/3
2. 2-x=0 => x=2 - Tunachora mhimili wa nambari, tukiandika maadili yanayotokana nayo.
- Chora mduara chini ya thamani. Kuna aina mbili za miduara - iliyojaa na tupu. Mduara uliojazwa unamaanisha kuwa thamani iliyotolewa iko ndani ya safu ya suluhisho. Mduara usio na kitu unaonyesha kuwa thamani hii haijajumuishwa katika safu ya suluhisho.
- Kwa kuwa dhehebu haliwezi kuwa sawa na sifuri, kutakuwa na duara tupu chini ya 2.
- Kuamua ishara, tunabadilisha nambari yoyote kubwa kuliko mbili kwenye mlinganyo, kwa mfano 3. (3*3-5)/(2-3)= -4. thamani ni hasi, ambayo ina maana sisi kuandika minus juu ya eneo baada ya mbili. Kisha ubadilishe X thamani yoyote ya muda kutoka 5/3 hadi 2, kwa mfano 1. Thamani ni hasi tena. Tunaandika minus. Tunarudia sawa na eneo lililopo hadi 5/3. Tunabadilisha nambari yoyote chini ya 5/3, kwa mfano 1. Tena, toa.
- Kwa kuwa tunavutiwa na maadili ya x ambayo usemi utakuwa mkubwa kuliko au sawa na 0, na hakuna maadili kama hayo (kuna minuses kila mahali), usawa huu hauna suluhisho, ambayo ni, x = Ø (seti tupu).
Jibu: x = Ø
Maudhui ya somo
Kuongeza sehemu na denominators kama
Kuna aina mbili za kuongeza sehemu:
- Kuongeza sehemu na madhehebu kama;
- Kuongeza sehemu na denominators tofauti.
Kwanza, hebu tusome uongezaji wa sehemu na madhehebu kama. Kila kitu ni rahisi hapa. Ili kuongeza sehemu na denominators sawa, unahitaji kuongeza nambari zao na kuacha denominator bila kubadilika.
Kwa mfano, hebu tuongeze sehemu na . Ongeza nambari na uache denominator bila kubadilika:
Mfano huu unaweza kueleweka kwa urahisi ikiwa tunakumbuka pizza, ambayo imegawanywa katika sehemu nne. Ukiongeza pizza kwenye pizza, utapata pizza:
Mfano 2. Ongeza sehemu na .
Jibu liligeuka kuwa sehemu isiyofaa. Wakati mwisho wa kazi unakuja, ni desturi ya kuondokana na sehemu zisizofaa. Ili kuondokana na sehemu isiyofaa, unahitaji kuchagua sehemu yake yote. Kwa upande wetu, sehemu nzima imetengwa kwa urahisi - mbili zilizogawanywa na mbili zitakuwa moja:
Mfano huu unaweza kueleweka kwa urahisi ikiwa tunakumbuka kuhusu pizza ambayo imegawanywa katika sehemu mbili. Ukiongeza pizza zaidi kwenye pizza, utapata pizza moja nzima:
Mfano 3. Ongeza sehemu na .
Tena, tunaongeza nambari na kuacha dhehebu bila kubadilika:
Mfano huu unaweza kueleweka kwa urahisi ikiwa tunakumbuka pizza, ambayo imegawanywa katika sehemu tatu. Ukiongeza pizza zaidi kwenye pizza, utapata pizza:
Mfano 4. Tafuta thamani ya usemi 
Mfano huu unatatuliwa kwa njia sawa na zile zilizopita. Nambari lazima ziongezwe na denominator iachwe bila kubadilika:
Wacha tujaribu kuonyesha suluhisho letu kwa kutumia mchoro. Ukiongeza pizza kwenye pizza na kuongeza pizza zaidi, utapata pizza 1 nzima na pizza zaidi.
Kama unaweza kuona, hakuna chochote ngumu juu ya kuongeza sehemu na madhehebu sawa. Inatosha kuelewa sheria zifuatazo:
- Ili kuongeza sehemu zilizo na dhehebu sawa, unahitaji kuongeza nambari zao na kuacha dhehebu bila kubadilika;
Kuongeza sehemu na denominators tofauti
Sasa hebu tujifunze jinsi ya kuongeza sehemu na denominators tofauti. Wakati wa kuongeza sehemu, madhehebu ya sehemu lazima iwe sawa. Lakini sio sawa kila wakati.
Kwa mfano, sehemu zinaweza kuongezwa kwa sababu zina madhehebu sawa.
Lakini sehemu haziwezi kuongezwa mara moja, kwani sehemu hizi zina madhehebu tofauti. Katika hali kama hizi, sehemu lazima zipunguzwe kwa dhehebu sawa (ya kawaida).
Kuna njia kadhaa za kupunguza sehemu kwa denominator sawa. Leo tutaangalia moja tu yao, kwani njia zingine zinaweza kuonekana kuwa ngumu kwa anayeanza.
Kiini cha njia hii ni kwamba kwanza LCM ya madhehebu ya sehemu zote mbili hutafutwa. LCM basi imegawanywa na dhehebu la sehemu ya kwanza ili kupata sababu ya kwanza ya ziada. Wanafanya sawa na sehemu ya pili - LCM imegawanywa na denominator ya sehemu ya pili na kipengele cha pili cha ziada kinapatikana.
Nambari na madhehebu ya sehemu huzidishwa kwa sababu zao za ziada. Kama matokeo ya vitendo hivi, sehemu ambazo zilikuwa na madhehebu tofauti hubadilika kuwa sehemu ambazo zina madhehebu sawa. Na tayari tunajua jinsi ya kuongeza sehemu kama hizo.
Mfano 1. Hebu tuongeze sehemu na
Kwanza kabisa, tunapata kizidishio kisicho cha kawaida zaidi cha madhehebu ya sehemu zote mbili. Denominator ya sehemu ya kwanza ni namba 3, na denominator ya sehemu ya pili ni namba 2. Idadi ndogo ya kawaida ya nambari hizi ni 6.
LCM (2 na 3) = 6
Sasa wacha turudi kwa sehemu na . Kwanza, gawanya LCM na denominator ya sehemu ya kwanza na upate sababu ya kwanza ya ziada. LCM ni nambari 6, na denominator ya sehemu ya kwanza ni nambari 3. Gawanya 6 na 3, tunapata 2.
Nambari inayosababisha 2 ni kizidishi cha kwanza cha ziada. Tunaandika hadi sehemu ya kwanza. Ili kufanya hivyo, tengeneza mstari mdogo wa oblique juu ya sehemu na uandike sababu ya ziada inayopatikana juu yake:
Tunafanya vivyo hivyo na sehemu ya pili. Tunagawanya LCM na denominator ya sehemu ya pili na kupata sababu ya pili ya ziada. LCM ni namba 6, na denominator ya sehemu ya pili ni namba 2. Gawanya 6 na 2, tunapata 3.
Nambari inayosababisha 3 ni kizidishi cha pili cha ziada. Tunaandika kwa sehemu ya pili. Tena, tunatengeneza mstari mdogo wa oblique juu ya sehemu ya pili na kuandika sababu ya ziada inayopatikana juu yake:
Sasa tuna kila kitu tayari kwa kuongeza. Inabakia kuzidisha nambari na madhehebu ya sehemu kwa sababu zao za ziada:
Angalia kwa makini kile tulichokuja. Tulifikia hitimisho kwamba sehemu ambazo zilikuwa na madhehebu tofauti ziligeuka kuwa sehemu ambazo zilikuwa na madhehebu sawa. Na tayari tunajua jinsi ya kuongeza sehemu kama hizo. Wacha tuchukue mfano huu hadi mwisho:
Hii inakamilisha mfano. Inageuka kuongeza.
Wacha tujaribu kuonyesha suluhisho letu kwa kutumia mchoro. Ukiongeza pizza kwenye pizza, utapata pizza moja nzima na sehemu nyingine ya sita ya pizza:
Kupunguza sehemu kwa dhehebu sawa (ya kawaida) pia kunaweza kuonyeshwa kwa kutumia picha. Kupunguza sehemu na kwa denominator ya kawaida, tulipata sehemu na . Sehemu hizi mbili zitawakilishwa na vipande sawa vya pizza. Tofauti pekee itakuwa kwamba wakati huu watagawanywa katika hisa sawa (kupunguzwa kwa denominator sawa).
Mchoro wa kwanza unawakilisha sehemu (vipande vinne kati ya sita), na mchoro wa pili unawakilisha sehemu (vipande vitatu kati ya sita). Kuongeza vipande hivi tunapata (vipande saba kati ya sita). Sehemu hii haifai, kwa hivyo tuliangazia sehemu yake yote. Matokeo yake, tulipata (pizza moja nzima na pizza nyingine ya sita).
Tafadhali kumbuka kuwa tumeelezea mfano huu kwa undani sana. Katika taasisi za elimu sio kawaida kuandika kwa undani vile. Unahitaji kuwa na uwezo wa kupata haraka LCM ya madhehebu na vipengele vya ziada kwao, na pia kuzidisha kwa haraka vipengele vya ziada vilivyopatikana na nambari na denomineta zako. Ikiwa tungekuwa shuleni, tungelazimika kuandika mfano huu kama ifuatavyo:
Lakini pia kuna upande mwingine wa sarafu. Ikiwa hautachukua maelezo ya kina katika hatua za kwanza za kusoma hisabati, basi maswali ya aina huanza kuonekana. "Nambari hiyo inatoka wapi?", "Kwa nini sehemu hubadilika ghafla kuwa sehemu tofauti kabisa? «.
Ili kurahisisha kuongeza sehemu na madhehebu tofauti, unaweza kutumia maagizo ya hatua kwa hatua yafuatayo:
- Pata LCM ya madhehebu ya sehemu;
- Gawanya LCM kwa denominator ya kila sehemu na upate sababu ya ziada kwa kila sehemu;
- Zidisha nambari na madhehebu ya sehemu kwa sababu zao za ziada;
- Ongeza sehemu ambazo zina dhehebu sawa;
- Ikiwa jibu linageuka kuwa sehemu isiyofaa, kisha chagua sehemu yake yote;
Mfano 2. Tafuta thamani ya usemi 
.
Hebu tumia maelekezo yaliyotolewa hapo juu.
Hatua ya 1. Tafuta LCM ya madhehebu ya sehemu
Tafuta LCM ya madhehebu ya sehemu zote mbili. Madhehebu ya sehemu ni nambari 2, 3 na 4
Hatua ya 2. Gawanya LCM kwa denominator ya kila sehemu na upate kipengele cha ziada kwa kila sehemu
Gawanya LCM kwa denominator ya sehemu ya kwanza. LCM ni namba 12, na denominator ya sehemu ya kwanza ni namba 2. Gawanya 12 na 2, tunapata 6. Tulipata sababu ya kwanza ya ziada 6. Tunaandika juu ya sehemu ya kwanza:
Sasa tunagawanya LCM na denominator ya sehemu ya pili. LCM ni namba 12, na denominator ya sehemu ya pili ni namba 3. Kugawanya 12 na 3, tunapata 4. Tunapata kipengele cha pili cha ziada 4. Tunaandika juu ya sehemu ya pili:
Sasa tunagawanya LCM na denominator ya sehemu ya tatu. LCM ni namba 12, na denominator ya sehemu ya tatu ni namba 4. Gawanya 12 na 4, tunapata 3. Tunapata kipengele cha tatu cha ziada 3. Tunaandika juu ya sehemu ya tatu:
Hatua ya 3. Zidisha nambari na denomineta za sehemu kwa sababu zao za ziada
Tunazidisha nambari na denomineta kwa sababu zao za ziada:
Hatua ya 4. Ongeza sehemu na madhehebu sawa
Tulifikia hitimisho kwamba sehemu ambazo zilikuwa na madhehebu tofauti ziligeuka kuwa sehemu ambazo zilikuwa na madhehebu sawa (ya kawaida). Kilichobaki ni kuongeza sehemu hizi. Ongeza:
Nyongeza haikutoshea kwenye mstari mmoja, kwa hivyo tulihamisha usemi uliosalia hadi mstari unaofuata. Hii inaruhusiwa katika hisabati. Wakati usemi haufai kwenye mstari mmoja, huhamishiwa kwenye mstari unaofuata, na ni muhimu kuweka ishara sawa (=) mwishoni mwa mstari wa kwanza na mwanzoni mwa mstari mpya. Alama sawa kwenye mstari wa pili inaonyesha kuwa huu ni mwendelezo wa usemi uliokuwa kwenye mstari wa kwanza.
Hatua ya 5. Ikiwa jibu linageuka kuwa sehemu isiyofaa, kisha chagua sehemu yake yote
Jibu letu liligeuka kuwa sehemu isiyofaa. Tunapaswa kuangazia sehemu yake nzima. Tunaangazia:
Tulipata jibu
Kutoa sehemu na denomineta kama
Kuna aina mbili za uondoaji wa sehemu:
- Kutoa sehemu na denomineta kama
- Kutoa sehemu na denominators tofauti
Kwanza, hebu tujifunze jinsi ya kutoa sehemu kwa kutumia kama denomineta. Kila kitu ni rahisi hapa. Ili kutoa sehemu nyingine kutoka kwa sehemu moja, unahitaji kutoa nambari ya sehemu ya pili kutoka kwa nambari ya sehemu ya kwanza, lakini acha denominator sawa.
Kwa mfano, hebu tutafute thamani ya usemi . Ili kutatua mfano huu, unahitaji kuondoa nambari ya sehemu ya pili kutoka kwa nambari ya sehemu ya kwanza, na uache denominator bila kubadilika. Hebu tufanye hivi:
Mfano huu unaweza kueleweka kwa urahisi ikiwa tunakumbuka pizza, ambayo imegawanywa katika sehemu nne. Ukikata pizza kutoka kwa pizza, utapata pizza:
Mfano 2. Tafuta thamani ya usemi.
Tena, kutoka kwa nambari ya sehemu ya kwanza, toa nambari ya sehemu ya pili, na uache denominator bila kubadilika:
Mfano huu unaweza kueleweka kwa urahisi ikiwa tunakumbuka pizza, ambayo imegawanywa katika sehemu tatu. Ukikata pizza kutoka kwa pizza, utapata pizza:
Mfano 3. Tafuta thamani ya usemi 
Mfano huu unatatuliwa kwa njia sawa na zile zilizopita. Kutoka kwa nambari ya sehemu ya kwanza unahitaji kutoa nambari za sehemu zilizobaki:
Kama unaweza kuona, hakuna chochote ngumu juu ya kutoa sehemu na madhehebu sawa. Inatosha kuelewa sheria zifuatazo:
- Ili kutoa sehemu nyingine kutoka kwa sehemu moja, unahitaji kutoa nambari ya sehemu ya pili kutoka kwa nambari ya sehemu ya kwanza, na kuacha denominator bila kubadilika;
- Ikiwa jibu linageuka kuwa sehemu isiyofaa, basi unahitaji kuonyesha sehemu yake yote.
Kutoa sehemu na denominators tofauti
Kwa mfano, unaweza kutoa sehemu kutoka kwa sehemu kwa sababu sehemu zina madhehebu sawa. Lakini huwezi kutoa sehemu kutoka kwa sehemu, kwani sehemu hizi zina madhehebu tofauti. Katika hali kama hizi, sehemu lazima zipunguzwe kwa dhehebu sawa (ya kawaida).
Nambari ya kawaida hupatikana kwa kutumia kanuni ile ile tuliyotumia wakati wa kuongeza sehemu zenye madhehebu tofauti. Kwanza kabisa, pata LCM ya madhehebu ya sehemu zote mbili. Kisha LCM imegawanywa na denominator ya sehemu ya kwanza na sababu ya kwanza ya ziada inapatikana, ambayo imeandikwa juu ya sehemu ya kwanza. Vile vile, LCM imegawanywa na denominator ya sehemu ya pili na sababu ya pili ya ziada inapatikana, ambayo imeandikwa juu ya sehemu ya pili.
Sehemu hizo basi huzidishwa na sababu zao za ziada. Kama matokeo ya shughuli hizi, sehemu ambazo zilikuwa na madhehebu tofauti hubadilishwa kuwa sehemu ambazo zina madhehebu sawa. Na tayari tunajua jinsi ya kuondoa sehemu kama hizo.
Mfano 1. Tafuta maana ya usemi:
Sehemu hizi zina madhehebu tofauti, kwa hivyo unahitaji kuzipunguza hadi sawa (kawaida) denominator.
Kwanza tunapata LCM ya madhehebu ya sehemu zote mbili. Denominator ya sehemu ya kwanza ni namba 3, na denominator ya sehemu ya pili ni namba 4. Idadi ndogo ya kawaida ya nambari hizi ni 12
LCM (3 na 4) = 12
Sasa hebu turudi kwa sehemu na
Wacha tupate sababu ya ziada kwa sehemu ya kwanza. Ili kufanya hivyo, gawanya LCM kwa denominator ya sehemu ya kwanza. LCM ni namba 12, na denominator ya sehemu ya kwanza ni namba 3. Gawanya 12 na 3, tunapata 4. Andika nne juu ya sehemu ya kwanza:
Tunafanya vivyo hivyo na sehemu ya pili. Gawanya LCM kwa denominator ya sehemu ya pili. LCM ni namba 12, na denominator ya sehemu ya pili ni namba 4. Gawanya 12 na 4, tunapata 3. Andika tatu juu ya sehemu ya pili:
Sasa tuko tayari kwa kutoa. Inabakia kuzidisha sehemu kwa sababu zao za ziada:
Tulifikia hitimisho kwamba sehemu ambazo zilikuwa na madhehebu tofauti ziligeuka kuwa sehemu ambazo zilikuwa na madhehebu sawa. Na tayari tunajua jinsi ya kuondoa sehemu kama hizo. Wacha tuchukue mfano huu hadi mwisho:
Tulipata jibu
Wacha tujaribu kuonyesha suluhisho letu kwa kutumia mchoro. Ikiwa unakata pizza kutoka kwa pizza, utapata pizza
Hii ndio toleo la kina la suluhisho. Ikiwa tungekuwa shuleni, tungelazimika kutatua mfano huu kwa ufupi. Suluhisho kama hilo lingeonekana kama hii:
Kupunguza sehemu kwa dhehebu la kawaida kunaweza pia kuonyeshwa kwa kutumia picha. Kupunguza sehemu hizi kwa denominator ya kawaida, tulipata sehemu na . Sehemu hizi zitawakilishwa na vipande sawa vya pizza, lakini wakati huu vitagawanywa katika hisa sawa (zitapunguzwa hadi denominator sawa):
Picha ya kwanza inaonyesha sehemu (vipande nane kati ya kumi na mbili), na picha ya pili inaonyesha sehemu (vipande vitatu kati ya kumi na mbili). Kwa kukata vipande vitatu kutoka vipande nane, tunapata vipande tano kati ya kumi na mbili. Sehemu inaelezea vipande hivi vitano.
Mfano 2. Tafuta thamani ya usemi 
Sehemu hizi zina madhehebu tofauti, kwa hivyo kwanza unahitaji kuzipunguza kwa dhehebu sawa (ya kawaida).
Wacha tupate LCM ya madhehebu ya sehemu hizi.
Madhehebu ya sehemu ni nambari 10, 3 na 5. Nambari isiyo ya kawaida zaidi ya nambari hizi ni 30.
LCM(10, 3, 5) = 30
Sasa tunapata vipengele vya ziada kwa kila sehemu. Ili kufanya hivyo, gawanya LCM kwa denominator ya kila sehemu.
Wacha tupate sababu ya ziada kwa sehemu ya kwanza. LCM ni nambari 30, na denominator ya sehemu ya kwanza ni namba 10. Gawanya 30 na 10, tunapata sababu ya kwanza ya ziada 3. Tunaandika juu ya sehemu ya kwanza:
Sasa tunapata sababu ya ziada kwa sehemu ya pili. Gawanya LCM kwa denominator ya sehemu ya pili. LCM ni nambari 30, na dhehebu ya sehemu ya pili ni nambari 3. Gawanya 30 na 3, tunapata kipengele cha pili cha ziada 10. Tunaandika juu ya sehemu ya pili:
Sasa tunapata sababu ya ziada kwa sehemu ya tatu. Gawanya LCM kwa denominator ya sehemu ya tatu. LCM ni namba 30, na denominator ya sehemu ya tatu ni namba 5. Gawanya 30 na 5, tunapata kipengele cha tatu cha ziada 6. Tunaandika juu ya sehemu ya tatu:
Sasa kila kitu kiko tayari kwa kuondolewa. Inabakia kuzidisha sehemu kwa sababu zao za ziada:
Tulifikia hitimisho kwamba sehemu ambazo zilikuwa na madhehebu tofauti ziligeuka kuwa sehemu ambazo zilikuwa na madhehebu sawa (ya kawaida). Na tayari tunajua jinsi ya kuondoa sehemu kama hizo. Tumalizie mfano huu.
Uendelezaji wa mfano hautafaa kwenye mstari mmoja, kwa hiyo tunahamisha kuendelea kwa mstari unaofuata. Usisahau kuhusu ishara sawa (=) kwenye mstari mpya:
Jibu liligeuka kuwa sehemu ya kawaida, na kila kitu kinaonekana kutufaa, lakini ni mbaya sana na mbaya. Tunapaswa kuifanya iwe rahisi zaidi. Je, nini kifanyike? Unaweza kufupisha sehemu hii.
Ili kupunguza sehemu, unahitaji kugawanya nambari yake na denominator na (GCD) ya nambari 20 na 30.
Kwa hivyo, tunapata gcd ya nambari 20 na 30:
Sasa tunarudi kwa mfano wetu na kugawanya nambari na dhehebu la sehemu na gcd iliyopatikana, ambayo ni, na 10.
Tulipata jibu
Kuzidisha sehemu kwa nambari
Ili kuzidisha sehemu kwa nambari, unahitaji kuzidisha nambari ya sehemu kwa nambari hiyo na kuacha denominator bila kubadilika.
Mfano 1. Zidisha sehemu kwa nambari 1.
Zidisha nambari ya sehemu kwa nambari 1
Rekodi inaweza kueleweka kama kuchukua muda wa nusu 1. Kwa mfano, ikiwa unachukua pizza mara moja, utapata pizza
Kutoka kwa sheria za kuzidisha tunajua kwamba ikiwa hali ya kuzidisha na sababu zimebadilishwa, bidhaa haitabadilika. Ikiwa usemi umeandikwa kama , basi bidhaa bado itakuwa sawa na . Tena, sheria ya kuzidisha nambari nzima na sehemu inafanya kazi:
Nukuu hii inaweza kueleweka kama kuchukua nusu ya moja. Kwa mfano, ikiwa kuna pizza 1 nzima na tukachukua nusu yake, basi tutakuwa na pizza:
Mfano 2. Tafuta thamani ya usemi
Zidisha nambari ya sehemu kwa 4
Jibu lilikuwa sehemu isiyofaa. Wacha tuangazie sehemu yake yote:
Usemi huo unaweza kueleweka kama kuchukua robo mbili mara 4. Kwa mfano, ukichukua pizza 4, utapata pizza mbili nzima
Na ikiwa tutabadilishana na kuzidisha na kuzidisha, tunapata usemi . Pia itakuwa sawa na 2. Usemi huu unaweza kueleweka kama kuchukua pizza mbili kutoka kwa pizza nne nzima:
Nambari inayozidishwa na sehemu na denominator ya sehemu hutatuliwa ikiwa zina sababu ya kawaida kubwa kuliko moja.
Kwa mfano, usemi unaweza kutathminiwa kwa njia mbili.
Njia ya kwanza. Zidisha nambari 4 kwa nambari ya sehemu, na uache denominator ya sehemu bila kubadilika:
Njia ya pili. Nne zikizidishwa na nne katika denominator ya sehemu zinaweza kupunguzwa. Hizi nne zinaweza kupunguzwa na 4, kwani kigawanyiko kikuu cha kawaida kwa nne nne ni nne yenyewe:
Tulipata matokeo sawa 3. Baada ya kupunguza nne, nambari mpya zinaundwa mahali pao: mbili. Lakini kuzidisha moja na tatu, na kisha kugawanya kwa moja haibadilishi chochote. Kwa hivyo, suluhisho linaweza kuandikwa kwa ufupi:
Kupunguza kunaweza kufanywa hata wakati tuliamua kutumia njia ya kwanza, lakini katika hatua ya kuzidisha nambari 4 na nambari 3 tuliamua kutumia kupunguzwa:
Lakini kwa mfano, usemi unaweza tu kuhesabiwa kwa njia ya kwanza - kuzidisha 7 na dhehebu la sehemu, na uache denominator bila kubadilika:
Hii ni kutokana na ukweli kwamba nambari ya 7 na denominator ya sehemu hawana mgawanyiko wa kawaida zaidi ya moja, na ipasavyo usifute.
Baadhi ya wanafunzi wanafupisha kimakosa nambari inayozidishwa na nambari ya sehemu. Huwezi kufanya hivi. Kwa mfano, ingizo lifuatalo sio sahihi:
Kupunguza sehemu kunamaanisha hivyo nambari na denominator itagawanywa kwa nambari sawa. Katika hali na usemi, mgawanyiko unafanywa tu kwa nambari, kwani kuandika hii ni sawa na kuandika . Tunaona kwamba mgawanyiko unafanywa tu katika nambari, na hakuna mgawanyiko hutokea katika denominator.
Kuzidisha sehemu
Ili kuzidisha sehemu, unahitaji kuzidisha nambari zao na denominators. Ikiwa jibu linageuka kuwa sehemu isiyofaa, unahitaji kuonyesha sehemu yake yote.
Mfano 1. Tafuta thamani ya usemi.
Tulipata jibu. Inashauriwa kupunguza sehemu hii. Sehemu inaweza kupunguzwa na 2. Kisha suluhisho la mwisho litachukua fomu ifuatayo:
Usemi huo unaweza kueleweka kama kuchukua pizza kutoka nusu ya pizza. Wacha tuseme tuna nusu ya pizza:
Jinsi ya kuchukua theluthi mbili kutoka nusu hii? Kwanza unahitaji kugawanya nusu hii katika sehemu tatu sawa:
Na chukua mbili kutoka kwa vipande hivi vitatu:
Tutafanya pizza. Kumbuka jinsi pizza inavyoonekana wakati imegawanywa katika sehemu tatu:
Kipande kimoja cha pizza hii na vipande viwili tulivyochukua vitakuwa na vipimo sawa:
Kwa maneno mengine, tunazungumza juu ya pizza ya ukubwa sawa. Kwa hivyo thamani ya usemi ni
Mfano 2. Tafuta thamani ya usemi
Zidisha nambari ya sehemu ya kwanza kwa nambari ya sehemu ya pili, na denominator ya sehemu ya kwanza na denominator ya sehemu ya pili:
Jibu lilikuwa sehemu isiyofaa. Wacha tuangazie sehemu yake yote:
Mfano 3. Tafuta thamani ya usemi
Zidisha nambari ya sehemu ya kwanza kwa nambari ya sehemu ya pili, na denominator ya sehemu ya kwanza na denominator ya sehemu ya pili:
Jibu liligeuka kuwa sehemu ya kawaida, lakini itakuwa nzuri ikiwa imefupishwa. Ili kupunguza sehemu hii, unahitaji kugawanya nambari na denominator ya sehemu hii na kigawanyiko kikubwa zaidi cha kawaida (GCD) cha nambari 105 na 450.
Kwa hivyo, wacha tupate gcd ya nambari 105 na 450:
Sasa tunagawanya nambari na dhehebu la jibu letu na gcd ambayo tumepata sasa, ambayo ni, kwa 15.
Inawakilisha nambari nzima kama sehemu
Nambari yoyote nzima inaweza kuwakilishwa kama sehemu. Kwa mfano, nambari 5 inaweza kuwakilishwa kama . Hii haitabadilisha maana ya tano, kwani usemi unamaanisha "nambari ya tano iliyogawanywa na moja," na hii, kama tunavyojua, ni sawa na tano:
Nambari za kubadilishana
Sasa tutafahamiana na mada ya kuvutia sana katika hisabati. Inaitwa "nambari za nyuma".
Ufafanuzi. Nyuma kwa nambaria ni nambari ambayo, ikizidishwa nayoa anatoa moja.
Wacha tubadilishe ufafanuzi huu badala ya kutofautisha a nambari 5 na jaribu kusoma ufafanuzi:
Nyuma kwa nambari 5 ni nambari ambayo, ikizidishwa nayo 5 anatoa moja.
Inawezekana kupata nambari ambayo, ikizidishwa na 5, inatoa moja? Inageuka kuwa inawezekana. Wacha tufikirie tano kama sehemu:
Kisha zidisha sehemu hii peke yake, badilisha tu nambari na denominator. Kwa maneno mengine, wacha tuzidishe sehemu yenyewe, tu juu chini:
Nini kitatokea kama matokeo ya hili? Ikiwa tutaendelea kutatua mfano huu, tunapata moja:
Hii inamaanisha kuwa kinyume cha nambari 5 ni nambari , kwani unapozidisha 5 kwa kupata moja.
Uwiano wa nambari pia unaweza kupatikana kwa nambari nyingine yoyote kamili.
Unaweza pia kupata ulinganifu wa sehemu nyingine yoyote. Ili kufanya hivyo, pindua tu.
Kugawanya sehemu kwa nambari
Wacha tuseme tuna nusu ya pizza:
Wacha tuigawanye kwa usawa kati ya mbili. Kila mtu atapata pizza ngapi?
Inaweza kuonekana kwamba baada ya kugawanya nusu ya pizza, vipande viwili sawa vilipatikana, ambayo kila mmoja hujumuisha pizza. Kwa hivyo kila mtu anapata pizza.