Maagizo
Tunafafanua mteremko kuelekea kwenye mzingo kwenye sehemu ya M.
Mviringo unaowakilisha grafu ya chaguo za kukokotoa y = f(x) ni endelevu katika kitongoji fulani cha nukta M (pamoja na nukta M yenyewe).
Ikiwa thamani f‘(x0) haipo, basi ama hakuna tanjiti, au inaendeshwa kiwima. Kwa kuzingatia hili, kuwepo kwa derivative ya kazi katika hatua ya x0 ni kutokana na kuwepo kwa tangent isiyo ya wima kwa grafu ya kazi kwenye hatua (x0, f (x0)). Katika kesi hii, mgawo wa angular wa tangent itakuwa sawa na f "(x0). Kwa hivyo, inakuwa wazi. maana ya kijiometri derivative - hesabu ya mteremko wa tangent.
Pata thamani ya abscissa ya hatua ya tangent, ambayo inaonyeshwa na barua "a". Iwapo itaambatana na nukta tangazo fulani, basi "a" itakuwa mratibu wake wa x. Amua thamani kazi f(a) kwa kubadilisha katika mlingano kazi thamani ya abscissa
Amua derivative ya kwanza ya equation kazi f’(x) na ubadilishe thamani ya nukta “a” ndani yake.
Chukua mlingano wa jumla tangent, ambayo inafafanuliwa kama y = f(a) = f (a)(x – a), na kubadilisha thamani zilizopatikana za a, f(a), f "(a) ndani yake. Matokeo yake, suluhisho la grafu na tangent itapatikana.
Tatua tatizo kwa njia tofauti ikiwa nukta ya tanjiti uliyopewa hailingani na hatua ya tanjiti. Katika kesi hii, ni muhimu kubadilisha "a" badala ya nambari katika equation ya tangent. Baada ya hayo, badala ya herufi "x" na "y", badilisha thamani ya kuratibu kupewa point. Tatua mlingano unaotokana ambao "a" haijulikani. Chomeka thamani inayotokana na mlinganyo wa tangent.
Andika mlinganyo wa mlinganyo wenye herufi "a" ikiwa taarifa ya tatizo inabainisha mlinganyo kazi na mlinganyo mstari sambamba kuhusiana na tangent inayotaka. Baada ya hayo tunahitaji derivative kazi, kwa kuratibu kwa uhakika "a". Badilisha thamani inayofaa kwenye mlinganyo wa tanjiti na utatue chaguo za kukokotoa.
Katika makala hii tutachambua aina zote za matatizo ya kupata
Hebu tukumbuke maana ya kijiometri ya derivative: ikiwa tanjiti imechorwa kwa grafu ya chaguo la kukokotoa kwa uhakika, basi mgawo wa mteremko wa tangent ( sawa na tangent pembe kati ya tangent na mwelekeo mzuri wa mhimili) ni sawa na derivative ya kazi katika hatua.
Wacha tuichukue kwenye tangent hatua ya kiholela na kuratibu:
Na fikiria pembetatu ya kulia:
Katika pembetatu hii 
Kutoka hapa 
Huu ni mlinganyo wa tanjenti inayochorwa kwenye grafu ya chaguo za kukokotoa kwenye hatua.
Ili kuandika equation ya tangent, tunahitaji tu kujua equation ya kazi na hatua ambayo tangent inatolewa. Kisha tunaweza kupata na.
Kuna aina tatu kuu za matatizo ya tangent equation.
1. Kutokana na hatua ya kuwasiliana
2. Mgawo wa mteremko wa tangent hutolewa, yaani, thamani ya derivative ya kazi katika hatua.
3. Imetolewa ni kuratibu za hatua ambayo tangent inatolewa, lakini ambayo sio hatua ya tangency.
Hebu tuangalie kila aina ya kazi.
1 . Andika mlinganyo wa tangent kwenye grafu ya chaguo za kukokotoa 
kwa uhakika .
.
b) Tafuta thamani ya derivative kwa uhakika. Kwanza hebu tupate derivative ya kazi
Wacha tubadilishe maadili yaliyopatikana kwenye equation ya tangent:
Hebu tufungue mabano upande wa kulia wa equation. Tunapata:
Jibu: .
2. Pata abscissa ya pointi ambazo kazi ni tangent kwa grafu 
sambamba na mhimili wa x.
Ikiwa tanjiti ni sambamba na mhimili wa x, kwa hivyo pembe kati ya tanjiti na mwelekeo chanya wa mhimili. sawa na sifuri, kwa hiyo tangent ya pembe ya tangent ni sifuri. Hii ina maana kwamba thamani ya derivative ya chaguo za kukokotoa katika maeneo ya mawasiliano ni sifuri.
a) Tafuta derivative ya kitendakazi .
b) Wacha tulinganishe derivative na sifuri na tupate maadili ambayo tangent ni sawa na mhimili:
Kusawazisha kila sababu na sifuri, tunapata:
Jibu: 0;3;5
3. Andika milinganyo ya tanjiti kwenye grafu ya chaguo za kukokotoa , sambamba moja kwa moja .
Tanjenti ni sambamba na mstari. Mteremko wa mstari huu ni -1. Kwa kuwa tangent ni sawa na mstari huu, kwa hiyo, mteremko wa tangent pia ni -1. Hiyo ni tunajua mteremko wa tangent, na hivyo, thamani derivative katika hatua ya tangency.
Hii ni aina ya pili ya tatizo kupata mlinganyo wa tangent.
Kwa hivyo, tunapewa kazi na thamani ya derivative katika hatua ya tangency.
a) Tafuta pointi ambazo derivative ya kazi ni sawa na -1.
Kwanza, hebu tupate mlinganyo wa derivative.
Wacha tulinganishe derivative kwa nambari -1.
Wacha tupate thamani ya chaguo la kukokotoa kwa uhakika.
(kwa masharti)
.
b) Tafuta mlinganyo wa tangent kwa grafu ya chaguo la kukokotoa katika hatua.
Wacha tupate thamani ya chaguo la kukokotoa kwa uhakika.
(kwa masharti).
Wacha tubadilishe maadili haya kwenye equation ya tangent:
.
Jibu:
4 . Andika mlinganyo wa tangent kwa curve , kupita kwa uhakika
Kwanza, hebu tuangalie ikiwa uhakika ni hatua ya msingi. Ikiwa hatua ni hatua ya tangent, basi ni ya grafu ya kazi, na viwianishi vyake lazima vikidhi equation ya kazi. Wacha tubadilishe viwianishi vya nukta kwenye mlinganyo wa chaguo la kukokotoa.
Kichwa="1sqrt(8-3^2)">. Мы получили под корнем !} nambari hasi, usawa sio kweli, na uhakika sio wa grafu ya kazi na sio mahali pa kuwasiliana.
Hii ndiyo aina ya mwisho ya tatizo kupata mlinganyo wa tangent. Jambo la kwanza tunahitaji kupata abscissa ya hatua ya tangent.
Hebu tupate thamani.
Wacha iwe mahali pa kuwasiliana. Hatua ni ya tanjiti ya grafu ya chaguo za kukokotoa. Ikiwa tutabadilisha viwianishi vya hatua hii kwenye equation ya tangent, tunapata usawa sahihi:
.
Thamani ya chaguo la kukokotoa katika hatua ni 
.
Wacha tupate thamani ya derivative ya chaguo la kukokotoa kwenye hatua.
Kwanza, hebu tupate derivative ya kazi. Hii.
Derivative katika hatua ni sawa na 
.
Wacha tubadilishe misemo kwa na katika mlinganyo wa tanjiti. Tunapata equation kwa:
Wacha tusuluhishe mlingano huu.
Punguza nambari na denominator ya sehemu kwa 2:
Wacha tupunguze upande wa kulia wa equation dhehebu la kawaida. Tunapata:
Wacha turahisishe nambari ya sehemu na kuzidisha pande zote mbili kwa - usemi huu ni mkubwa kuliko sifuri.
Tunapata equation
Hebu tuitatue. Ili kufanya hivyo, hebu tupunguze sehemu zote mbili na tuendelee kwenye mfumo.
Kichwa = "delim(lbrace)(matrix(2)(1)((64-48(x_0)+9(x_0)^2=8-(x_0)^2) (8-3x_0>=0 )))()">!}
Wacha tusuluhishe equation ya kwanza.
Hebu tuamue mlinganyo wa quadratic, tunapata
Kizizi cha pili hakikidhi masharti title="8-3x_0>=0">, следовательно, у нас только одна точка касания и её абсцисса равна .!}
Wacha tuandike mlinganyo wa tanjiti hadi mkunjo kwenye hatua. Ili kufanya hivyo, badilisha thamani kwenye equation 
- Tayari tumeirekodi.
Jibu:
.
Fikiria takwimu ifuatayo:
Inaonyesha kazi fulani y = f(x), ambayo inaweza kutofautishwa katika hatua a. Pointi M yenye viwianishi (a; f(a)) imetiwa alama. Sekanti MR huchorwa kupitia sehemu ya kiholela P(a + ∆x; f(a + ∆x)) ya grafu.
Ikiwa sasa hatua P imehamishwa kando ya grafu hadi kwa M, basi mstari wa moja kwa moja MR utazunguka karibu na uhakika M. Katika kesi hii, ∆x itaelekea sifuri. Kuanzia hapa tunaweza kuunda ufafanuzi wa tangent hadi grafu ya chaguo la kukokotoa.
Tanji kwenye grafu ya chaguo za kukokotoa
Tanje kwa grafu ya chaguo za kukokotoa ni nafasi ya kuzuia ya sekanti kwani nyongeza ya hoja inaelekea kuwa sifuri. Inapaswa kueleweka kuwa kuwepo kwa derivative ya kazi f katika hatua x0 ina maana kwamba katika hatua hii ya grafu kuna. tangent kwake.
Katika kesi hii, mgawo wa angular wa tangent itakuwa sawa na derivative ya chaguo hili la kukokotoa katika hatua hii f’(x0). Hii ndiyo maana ya kijiometri ya derivative. Tanje kwa grafu ya chaguo za kukokotoa f inayoweza kutofautishwa katika nukta x0 ni mstari fulani ulionyooka unaopita kwenye ncha (x0;f(x0)) na kuwa na mgawo wa angular f’(x0).
Mlinganyo wa tangent
Wacha tujaribu kupata mlinganyo wa tangent kwa grafu ya baadhi ya chaguo za kukokotoa f kwa uhakika A(x0; f(x0)). Equation ya mstari wa moja kwa moja na mteremko k ina mtazamo unaofuata:
Kwa kuwa mgawo wetu wa mteremko ni sawa na derivative f’(x0), basi equation itachukua fomu ifuatayo: y = f’(x0)*x + b.
Sasa hebu tuhesabu thamani ya b. Ili kufanya hivyo, tunatumia ukweli kwamba kazi hupitia hatua A.
f(x0) = f’(x0)*x0 + b, kutoka hapa tunaeleza b na kupata b = f(x0) - f’(x0)*x0.
Tunabadilisha thamani inayotokana na mlinganyo wa tangent:
y = f’(x0)*x + b = f’(x0)*x + f(x0) - f’(x0)*x0 = f(x0) + f’(x0)*(x - x0).
y = f(x0) + f’(x0)*(x - x0).
Fikiria mfano ufuatao: pata mlinganyo wa tangent kwa grafu ya chaguo za kukokotoa f(x) = x 3 - 2*x 2 + 1 katika hatua x = 2.
2. f(x0) = f(2) = 2 2 - 2*2 2 + 1 = 1.
3. f’(x) = 3*x 2 - 4*x.
4. f’(x0) = f’(2) = 3*2 2 - 4*2 = 4.
5. Badilisha maadili yaliyopatikana kwenye fomula ya tangent, tunapata: y = 1 + 4 * (x - 2). Kufungua mabano na kuleta masharti yanayofanana tunapata: y = 4*x - 7.
Jibu: y = 4*x - 7.
Mpango wa jumla wa kutunga mlinganyo wa tangent kwa grafu ya chaguo za kukokotoa y = f(x):
1. Amua x0.
2. Kokotoa f(x0).
3. Kokotoa f’(x)
Tangent ni mstari ulionyooka , ambayo inagusa grafu ya kazi katika hatua moja na pointi zote ambazo ziko kwenye umbali mfupi zaidi kutoka kwa grafu ya kazi. Kwa hivyo, tanjiti hupitisha tanjiti kwa grafu ya chaguo la kukokotoa kwa pembe fulani na tanjiti kadhaa haziwezi kupita katika hatua ya tanjiti. pembe tofauti. Milinganyo ya tanji na milinganyo ya kawaida kwa grafu ya chaguo za kukokotoa hutengenezwa kwa kutumia derivative.
Mlinganyo wa tanjiti unatokana na mlingano wa mstari .
Hebu tupate equation ya tangent, na kisha equation ya kawaida kwa grafu ya kazi.
y = kx + b .
Ndani yake k- mgawo wa angular.
Kuanzia hapa tunapata kiingilio kifuatacho:
y - y 0 = k(x - x 0 ) .
Thamani inayotokana f "(x 0 ) kazi y = f(x) kwa uhakika x0 sawa na mteremko k=tg φ tangent kwa grafu ya chaguo za kukokotoa iliyochorwa kupitia nukta M0 (x 0 , y 0 ) , Wapi y0 = f(x 0 ) . Hii ni maana ya kijiometri ya derivative .
Kwa hivyo, tunaweza kuchukua nafasi k juu f "(x 0 ) na upate yafuatayo mlinganyo wa tanjenti kwa grafu ya chaguo za kukokotoa :
y - y 0 = f "(x 0 )(x - x 0 ) .
Katika shida zinazojumuisha kutunga equation ya tangent kwa grafu ya chaguo la kukokotoa (na tutahamia kwao hivi karibuni), unahitaji kuleta matokeo formula hapo juu equation kwa equation ya mstari wa moja kwa moja katika fomu ya jumla. Ili kufanya hivyo, unahitaji kuhamisha barua na nambari zote kwa upande wa kushoto equation, na uache sifuri upande wa kulia.
Sasa kuhusu equation ya kawaida. Kawaida - hii ni mstari wa moja kwa moja unaopitia hatua ya tangency kwa grafu ya kazi perpendicular kwa tangent. Mlinganyo wa kawaida :
(x - x 0 ) + f "(x 0 )(y - y 0 ) = 0
Ili kuwasha moto, unaulizwa kutatua mfano wa kwanza mwenyewe, na kisha uangalie suluhisho. Kuna kila sababu ya kutumaini kwamba kazi hii haitakuwa "baridi ya kuoga" kwa wasomaji wetu.
Mfano 0. Unda mlinganyo wa tanjiti na mlinganyo wa kawaida wa grafu ya chaguo za kukokotoa katika hatua moja M (1, 1) .
Mfano 1. Andika mlinganyo wa tanjiti na mlinganyo wa kawaida kwa grafu ya chaguo za kukokotoa 
, ikiwa abscissa ni tangent .
Wacha tupate derivative ya kazi:
Sasa tuna kila kitu kinachohitaji kubadilishwa kwenye ingizo lililotolewa katika usaidizi wa kinadharia ili kupata mlinganyo wa tangent. Tunapata
Katika mfano huu, tulikuwa na bahati: mteremko uligeuka kuwa sawa na sifuri, kwa hivyo, kando punguza mlinganyo kuwa muonekano wa jumla haikuhitajika. Sasa tunaweza kuunda equation ya kawaida:
Katika mchoro ulio hapa chini: grafu ya chaguo za kukokotoa rangi ya burgundy, tangent Rangi ya kijani, machungwa ya kawaida.
Mfano unaofuata pia sio ngumu: kazi, kama ilivyo hapo awali, pia ni polynomial, lakini mteremko hautakuwa sawa na sifuri, kwa hivyo hatua moja zaidi itaongezwa - kuleta equation kwa fomu ya jumla.
Mfano 2.
Suluhisho. Wacha tupate uratibu wa nukta ya tangent:
Wacha tupate derivative ya kazi:
.
Wacha tupate thamani ya derivative katika hatua ya tangency, ambayo ni, mteremko wa tangent:
Tunabadilisha data yote iliyopatikana kwenye "fomula tupu" na kupata equation ya tangent:
Tunaleta equation kwa fomu yake ya jumla (tunakusanya herufi na nambari zote isipokuwa sifuri upande wa kushoto, na kuacha sifuri kulia):
Tunatengeneza equation ya kawaida:
Mfano 3. Andika equation ya tangent na equation ya kawaida kwa grafu ya kazi ikiwa abscissa ni hatua ya tangency.
Suluhisho. Wacha tupate uratibu wa nukta ya tangent:
Wacha tupate derivative ya kazi:
.
Wacha tupate thamani ya derivative katika hatua ya tangency, ambayo ni, mteremko wa tangent:
.
Tunapata equation ya tangent:
Kabla ya kuleta equation kwa fomu yake ya jumla, unahitaji "kuichana" kidogo: kuzidisha neno kwa muda na 4. Tunafanya hivi na kuleta equation kwa fomu yake ya jumla:
Tunatengeneza equation ya kawaida:
Mfano 4. Andika equation ya tangent na equation ya kawaida kwa grafu ya kazi ikiwa abscissa ni hatua ya tangency.
Suluhisho. Wacha tupate uratibu wa nukta ya tangent:
.
Wacha tupate derivative ya kazi:
Wacha tupate thamani ya derivative katika hatua ya tangency, ambayo ni, mteremko wa tangent:
.
Tunapata equation ya tangent:
Tunaleta equation kwa fomu yake ya jumla:
Tunatengeneza equation ya kawaida:
Kosa la kawaida wakati wa kuandika milinganyo na milinganyo ya kawaida si kutambua kwamba chaguo la kukokotoa lililotolewa katika mfano ni changamano na kukokotoa derivative yake kama derivative ya chaguo za kukokotoa rahisi. Mifano ifuatayo tayari imetoka kazi ngumu(somo linalolingana litafungua kwenye dirisha jipya).
Mfano 5. Andika equation ya tangent na equation ya kawaida kwa grafu ya kazi ikiwa abscissa ni hatua ya tangency.
Suluhisho. Wacha tupate uratibu wa nukta ya tangent:
Makini! Kazi hii- ngumu, kwani hoja ya msingi (2 x) yenyewe ni kazi. Kwa hivyo, tunapata derivative ya chaguo za kukokotoa kama derivative ya chaguo la kukokotoa changamani.
Mfano 1. Imepewa kazi f(x) = 3x 2 + 4x- 5. Hebu tuandike equation ya tangent kwa grafu ya kazi f(x) kwenye hatua ya grafu na abscissa x 0 = 1.
Suluhisho. Nyingine ya chaguo za kukokotoa f(x) ipo kwa x yoyote R . Hebu tumtafute:
= (3x 2 + 4x- 5)′ = 6 x + 4.
Kisha f(x 0) = f(1) = 2; (x 0) = = 10. Mlinganyo wa tanjiti una fomu:
y = (x 0) (x – x 0) + f(x 0),
y = 10(x – 1) + 2,
y = 10x – 8.
Jibu. y = 10x – 8.
Mfano 2. Imepewa kazi f(x) = x 3 – 3x 2 + 2x+ 5. Hebu tuandike equation ya tangent kwa grafu ya kazi f(x), sambamba na mstari y = 2x – 11.
Suluhisho. Nyingine ya chaguo za kukokotoa f(x) ipo kwa x yoyote R . Hebu tumtafute:
= (x 3 – 3x 2 + 2x+ 5)′ = 3 x 2 – 6x + 2.
Tangu tangent kwa grafu ya chaguo za kukokotoa f(x) kwenye hatua ya abscissa x 0 ni sambamba na mstari y = 2x- 11, basi mteremko wake ni sawa na 2, yaani ( x 0) = 2. Wacha tupate abscissa hii kutoka kwa hali ambayo 3 x– 6x 0 + 2 = 2. Usawa huu ni halali tu wakati x 0 = 0 na saa x 0 = 2. Kwa kuwa katika hali zote mbili f(x 0) = 5, kisha moja kwa moja y = 2x + b hugusa grafu ya chaguo la kukokotoa ama katika uhakika (0; 5) au katika uhakika (2; 5).
Katika kesi ya kwanza ni kweli usawa wa nambari 5 = 2×0 + b, wapi b= 5, na katika kesi ya pili usawa wa nambari 5 = 2×2 + ni kweli b, wapi b = 1.
Kwa hiyo kuna tangents mbili y = 2x+ 5 na y = 2x+ 1 kwa grafu ya chaguo la kukokotoa f(x), sambamba na mstari y = 2x – 11.
Jibu. y = 2x + 5, y = 2x + 1.
Mfano 3. Imepewa kazi f(x) = x 2 – 6x+ 7. Hebu tuandike mlinganyo wa tangent kwa grafu ya kazi f(x), kupita kwa uhakika A (2; –5).
Suluhisho. Kwa sababu f(2) -5, kisha onyesha A si ya grafu ya chaguo za kukokotoa f(x) Hebu x 0 - abscissa ya hatua ya tangent.
Nyingine ya chaguo za kukokotoa f(x) ipo kwa x yoyote R . Hebu tumtafute:
= (x 2 – 6x+ 1)′ = 2 x – 6.
Kisha f(x 0) = x– 6x 0 + 7; (x 0) = 2x 0 – 6. Mlinganyo wa tanjiti una namna:
y = (2x 0 – 6)(x – x 0) + x– 6x+ 7,
y = (2x 0 – 6)x– x+ 7.
Tangu uhakika A ni mali ya tangent, basi usawa wa nambari ni kweli
–5 = (2x 0 – 6)×2– x+ 7,
wapi x 0 = 0 au x 0 = 4. Hii ina maana kwamba kwa njia ya uhakika A unaweza kuchora tanjenti mbili kwenye grafu ya chaguo la kukokotoa f(x).
Kama x 0 = 0, basi mlinganyo wa tangent una fomu y = –6x+ 7. Ikiwa x 0 = 4, basi equation ya tangent ina fomu y = 2x – 9.
Jibu. y = –6x + 7, y = 2x – 9.
Mfano 4. Kazi zilizotolewa f(x) = x 2 – 2x+ 2 na g(x) = –x 2 - 3. Hebu tuandike equation ya tangent ya kawaida kwa grafu za kazi hizi.
Suluhisho. Hebu x 1 - abscissa ya hatua ya tangency ya mstari unaohitajika na grafu ya kazi f(x), A x 2 - abscissa ya hatua ya tangency ya mstari sawa na grafu ya kazi g(x).
Nyingine ya chaguo za kukokotoa f(x) ipo kwa x yoyote R . Hebu tumtafute:
= (x 2 – 2x+ 2)′ = 2 x – 2.
Kisha f(x 1) = x– 2x 1 + 2; (x 1) = 2x 1 - 2. Mlinganyo wa tanjiti una fomu:
y = (2x 1 – 2)(x – x 1) + x– 2x 1 + 2,
y = (2x 1 – 2)x – x+ 2. (1)
Wacha tupate derivative ya chaguo la kukokotoa g(x):
= (–x 2 – 3)′ = –2 x.