Hebu kazi u = f (x, y, z) inayoendelea katika baadhi ya mikoa D na ina sehemu zinazoendelea kutoka sehemu nyingine katika eneo hili. Wacha tuchague jambo katika eneo linalozingatiwa M(x,y,z) na chora vekta kutoka kwake S, kosini za mwelekeo ambazo ni cosα, cosβ, cosγ. Kwenye vekta S kwa mbali Δ s kuanzia mwanzo tutapata hoja M 1 (x+Δ x, y+Δ y, z+Δ z), Wapi
Hebu tufikirie ongezeko kamili la chaguo la kukokotoa f kama:
Wapi 
Baada ya kugawanywa na Δ s tunapata:
Kwa sababu ya 
usawa uliopita unaweza kuandikwa upya kama:
Gradient.
Ufafanuzi Kikomo cha uwiano katika inaitwa derivative ya kipengele cha kukokotoa u = f (x, y, z) katika mwelekeo wa vector S na imeteuliwa.
Katika kesi hii, kutoka (1) tunapata:
(2)
Kumbuka 1. Viingilio vya sehemu ni hali maalum ya derivative ya mwelekeo. Kwa mfano, lini 
tunapata:
Alama 2. Hapo juu, maana ya kijiometri ya viasili vya sehemu vya kazi ya viambajengo viwili vilifafanuliwa kuwa mgawo wa angular wa tanjenti hadi mistari ya makutano ya uso, ambayo ni grafu ya kazi, yenye ndege. x = x 0 Na y = y 0. Kwa njia sawa, tunaweza kuzingatia derivative ya kazi hii katika mwelekeo l kwa uhakika M(x 0, y 0) kama mgawo wa angular wa mstari wa makutano ya uso fulani na ndege inayopita kwenye uhakika M sambamba na mhimili wa O z na moja kwa moja l.
Ufafanuzi Vekta ambayo viwianishi vyake katika kila sehemu ya eneo fulani ni sehemu ya sehemu za chaguo za kukokotoa u = f (x, y, z) katika hatua hii inaitwa upinde rangi kazi u = f (x, y, z).
Uteuzi: grad u = .
Tabia za gradient.
1. Derivative kwa heshima na mwelekeo wa baadhi ya vector S ni sawa na makadirio ya grad ya vekta u kwa vekta S . Ushahidi. Vekta ya mwelekeo wa kitengo S inaonekana kama e S =(cosα, cosβ, cosγ), kwa hivyo upande wa kulia wa fomula (4.7) ni bidhaa ya scalar ya daraja la vekta. u Na e s , yaani, makadirio maalum.
2. Derivative katika hatua fulani katika mwelekeo wa vector S ina thamani kubwa zaidi sawa na |grad u|, ikiwa mwelekeo huu unaambatana na mwelekeo wa gradient. Ushahidi. Hebu tuonyeshe angle kati ya vectors S na daraja u kupitia φ. Kisha kutoka kwa mali 1 inafuata kwamba |grad u|∙cosφ, (4.8) kwa hivyo, thamani yake kuu inafikiwa kwa φ=0 na ni sawa na |grad u|.
3. Derivative katika mwelekeo wa vector perpendicular kwa grad vector u, ni sawa na sifuri.
Ushahidi. Katika kesi hii, katika fomula (4.8) 
4. Ikiwa z = f(x,y) ni kazi ya vigeu viwili, kisha grad f= kuelekezwa perpendicular kwa mstari wa ngazi f (x,y) = c, kupita katika hatua hii.
Uliokithiri wa kazi za vigezo kadhaa. Hali ya lazima kwa uliokithiri. Hali ya kutosha kwa hali ya juu. Ukali wa masharti. Njia ya kuzidisha lagrange. Kupata thamani kubwa na ndogo zaidi.
Ufafanuzi 1. Nukta M 0 (x 0, y 0) kuitwa kiwango cha juu kazi z = f (x, y), Kama f (x o, y o) > f(x,y) kwa pointi zote (x, y) M0.
Ufafanuzi 2. Nukta M 0 (x 0, y 0) kuitwa kiwango cha chini kazi z = f (x, y), Kama f (x o, y o) < f(x,y) kwa pointi zote (x, y) kutoka eneo fulani la uhakika M0.
Kumbuka 1. Pointi za juu na za chini zinaitwa pointi kali kazi za vigezo kadhaa.
Rekea 2. Kipengele cha mwisho cha kazi ya idadi yoyote ya vigeuzi huamuliwa kwa njia sawa.
Nadharia 1(masharti ya lazima kwa uliokithiri). Kama M 0 (x 0, y 0)- sehemu ya mwisho ya utendaji z = f (x, y), basi katika hatua hii viambishi vya sehemu ya mpangilio wa kwanza wa kazi hii ni sawa na sifuri au haipo.
Ushahidi.
Hebu turekebishe thamani ya kutofautiana katika, kuhesabu y = y 0. Kisha kazi f (x, y 0) itakuwa kazi ya kigezo kimoja X, kwa ajili yake x = x 0 ni hatua kali. Kwa hivyo, kwa nadharia ya Fermat, au haipo. Taarifa hiyo hiyo inathibitishwa vivyo hivyo kwa .
Ufafanuzi 3. Pointi zinazomilikiwa na kikoa cha chaguo za kukokotoa za viambishi kadhaa ambapo sehemu ya sehemu ya chaguo za kukokotoa ni sawa na sifuri au haipo huitwa. pointi za stationary kipengele hiki.
Maoni. Kwa hivyo, uliokithiri unaweza kufikiwa tu katika vituo vya stationary, lakini si lazima kuzingatiwa katika kila mmoja wao.
Nadharia 2(hali ya kutosha kwa extremum). Hebu katika baadhi ya jirani ya uhakika M 0 (x 0, y 0), ambayo ni sehemu ya kusimama ya utendaji z = f (x, y), chaguo hili la kukokotoa lina viambajengo vinavyoendelea vya sehemu hadi mpangilio wa 3 ukijumlisha. Wacha tuonyeshe basi:
1) f(x,y) ina katika hatua M0 kiwango cha juu kama AC–B² > 0, A < 0;
2) f(x,y) ina katika hatua M0 kiwango cha chini kama AC–B² > 0, A > 0;
3) hakuna uliokithiri katika hatua muhimu ikiwa AC–B² < 0;
4) ikiwa AC–B² = 0, utafiti zaidi unahitajika.
Mfano. Wacha tupate alama za juu zaidi za chaguo la kukokotoa z = x² - 2 xy + 2y² +2 x. Ili kupata pointi za stationary, tunatatua mfumo 
. Kwa hivyo, hatua ya kusimama ni (-2,-1). Ambapo A = 2, KATIKA = -2, NA= 4. Kisha AC–B² = 4 > 0, kwa hivyo, katika hatua ya kusimama kiwango cha juu kinafikiwa, ambacho ni cha chini (kwa kuwa A > 0).
Ukali wa masharti.
Ufafanuzi 4. Ikiwa hoja za kukokotoa f (x 1 , x 2 ,…, x n) wamefungwa na masharti ya ziada katika fomu m milinganyo ( m< n) :
φ 1 ( x 1, x 2,…, x n) = 0, φ 2 ( x 1, x 2,…, x n) = 0, ..., φ m ( x 1, x 2,…, x n) = 0, (1)
ambapo kazi φ i zina derivatives za sehemu zinazoendelea, basi milinganyo (1) huitwa milinganyo ya uunganisho.
Ufafanuzi wa 5. Upeo wa utendaji f (x 1 , x 2 ,…, x n) wakati masharti (1) yanatimizwa, inaitwa ukali wa masharti.
Maoni. Tunaweza kutoa tafsiri ifuatayo ya kijiometri ya upeo wa masharti wa kazi ya vigeu viwili: acha hoja za chaguo za kukokotoa. f(x,y) inayohusiana na mlinganyo φ (x,y)= 0, ikifafanua mkunjo fulani katika ndege ya O xy. Kuunda upya vielelezo kwa ndege O kutoka kwa kila sehemu ya curve hii xy mpaka inaingiliana na uso z = f (x,y), tunapata curve ya anga iliyo juu ya uso juu ya curve φ (x,y)= 0. Kazi ni kupata pointi za mwisho za curve inayosababisha, ambayo, bila shaka, katika hali ya jumla hailingani na pointi zisizo na masharti za kazi. f(x,y).
Wacha tuamue hali zinazohitajika kwa ukomo wa masharti kwa utendaji wa anuwai mbili kwa kuanzisha kwanza ufafanuzi ufuatao:
Ufafanuzi 6. Kazi L (x 1 , x 2 ,…, x n) = f (x 1 , x 2 ,…, x n) + λ 1 φ 1 (x 1 , x 2 ,…, x n) +
+ λ 2 φ 2 (x 1 , x 2 ,…, x n) +…+λ m φ m (x 1 , x 2 ,…, x n), (2)
Wapi λi - baadhi ni mara kwa mara, huitwa Kazi ya Lagrange, na nambari λ i– vizidishi vya Lagrange visivyo na kikomo.
Nadharia(masharti ya lazima kwa upeo wa masharti). Upeo wa masharti wa chaguo za kukokotoa z = f (x, y) mbele ya equation ya kuunganisha φ ( x, y)= 0 inaweza kupatikana tu katika sehemu zisizohamishika za kazi ya Lagrange L (x, y) = f (x, y) + λφ (x, y).
Uga wa scalar sehemu ya nafasi (au nafasi yote) inaitwa, kila nukta ambayo thamani ya nambari ya idadi fulani ya scalar inalingana.
Mifano
Mwili ambao una thamani fulani ya joto katika kila hatua ni uga wa scalar.
Mwili usio na homogeneous, kila hatua ambayo inalingana na wiani fulani - uwanja wa wiani wa scalar.
Katika matukio haya yote, kiasi cha scalar U haitegemei wakati, lakini inategemea nafasi (kuratibu) ya uhakika M katika nafasi, yaani, ni kazi ya vigezo vitatu, inaitwa. kazi ya shamba. Na kinyume chake, kila kazi ya vigezo tatu u=f(x, y, z) inabainisha uwanja fulani wa scalar.
Kazi ya uwanja wa gorofa ya scalar inategemea vigezo viwili z=f(x, y).
Fikiria uwanja wa scalar u=f(x, y, z).
Vekta ambayo viwianishi vyake ni viasili vya sehemu ya chaguo za kukokotoa katika sehemu fulani huitwa upinde rangi kazi katika hatua hii au upinde rangi wa uga wa scalar.
Fikiria vekta na pointi mbili juu yake M 0 (x 0, y 0, z 0) Na. Wacha tupate nyongeza ya kazi katika mwelekeo:
Derivative ya mwelekeo kikomo kifuatacho kinaitwa ikiwa kipo:
wapi cosines ya mwelekeo wa vector; α, β, γ ni pembe zinazoundwa na vekta yenye shoka za kuratibu, ikiwa .
Kwa utendaji wa vigeu viwili, fomula hizi huchukua fomu:
au 
,
kwa sababu.
Kuna uhusiano kati ya gradient na derivative mwelekeo katika hatua moja.
Nadharia. Bidhaa ya scalar ya gradient ya kazi na vekta ya mwelekeo fulani ni sawa na derivative ya kazi hii katika mwelekeo wa vector hii:
.
Matokeo. Derivative ya mwelekeo ina thamani kubwa zaidi ikiwa mwelekeo huu unaambatana na mwelekeo wa gradient (jithibitishe kwa kutumia ufafanuzi wa bidhaa ya scalar na kudhani kwamba ).
Hitimisho:
1. Upinde rangi ni vekta inayoonyesha mwelekeo wa ongezeko kubwa la utendaji kazi katika sehemu fulani na kuwa na moduli kiidadi sawa na kasi ya ongezeko hili:
.
2. Derivative ya mwelekeo ni kiwango cha mabadiliko ya kazi katika mwelekeo: ikiwa, basi kazi katika mwelekeo huu huongezeka, ikiwa, basi kazi hupungua.
3. Ikiwa vector inafanana na moja ya vectors, basi derivative kwa heshima na mwelekeo wa vector hii inafanana na derivative ya sehemu inayofanana.
Kwa mfano, ikiwa, basi.
Mfano
Kazi imetolewa 
, nukta A(1, 2) na vekta.
Tafuta: 1);
Suluhisho
1) Tafuta sehemu ya sehemu za chaguo za kukokotoa na uzihesabu kwa uhakika A.
, .
Kisha 
.
2) Tafuta cosine za mwelekeo wa vekta:
Jibu: ; .
Fasihi [ 1,2]
Maswali ya kujipima mwenyewe:
1. Ni nini kinachoitwa kazi ya vigezo viwili, uwanja wake wa ufafanuzi?
2. Viingilio vya sehemu huamuliwaje?
3. Ni nini maana ya kijiometri ya sehemu ya sehemu?
4. Ni nini kinachoitwa gradient ya uwanja wa scalar katika hatua fulani?
5. Derivative ya mwelekeo inaitwaje?
6. Tengeneza sheria za kutafuta extrema ya kazi ya vigezo viwili.
Chaguo 1
Kazi nambari 1
A) 
; b) 
;
V); G) 
.
Kazi nambari 2 Chunguza kitendakazi kwa mwendelezo: pata alama za kutoendelea na ubaini aina yao. Tengeneza grafu ya mpangilio wa chaguo za kukokotoa.
Jukumu No. Kwa kuzingatia nambari changamano Z. Inahitajika: andika nambari Z kwa njia za aljebraic na trigonometric. .
Kazi nambari 4.
1) y = 3x 5 - sinx, 2) y = tgx, 3) y = , 4) .
Kazi nambari 5. Chunguza chaguo za kukokotoa kwa kutumia mbinu tofauti za kalkulasi na, kwa kutumia matokeo ya utafiti, tengeneza grafu. .
Kazi Nambari 6. Chaguo za kukokotoa z=f(x,y) zimetolewa. Angalia ikiwa kitambulisho F≡0 kinashikilia? 
Kazi Nambari 7 Imepewa kazi Z=x 2 +xy+y 2, uhakika na vekta. Tafuta:
1) daraja z kwa uhakika A;
2) derivative kwa uhakika A katika mwelekeo wa vector .
Chaguo la 2
Kazi nambari 1 Kuhesabu mipaka ya chaguo za kukokotoa bila kutumia sheria ya L'Hopital.
A) 
; b) 
;
V) 
; G) 
.
Kazi nambari 2 Chunguza kitendakazi kwa mwendelezo: pata alama za kutoendelea na ubaini aina yao. Tengeneza grafu ya mpangilio wa chaguo za kukokotoa.
Kazi nambari 3 Kwa kuzingatia nambari changamano Z. Inahitajika: andika nambari Z kwa njia za aljebraic na trigonometric.
Kazi nambari 4. Pata derivatives ya utaratibu wa kwanza wa vipengele hivi.
Tukianzisha dhana ya derivative ya sehemu ya chaguo za kukokotoa za vigeu kadhaa, tuliongeza viambajengo kimoja kimoja, tukiacha hoja zingine zote bila kubadilika. Hasa, ikiwa tunazingatia kazi ya viambatisho viwili z = f(x,y), basi kutofautisha x kulipewa nyongeza Δx, na kisha katika kikoa cha ufafanuzi wa chaguo la kukokotoa kulikuwa na mpito kutoka kwa uhakika na viwianishi. (x,y) hadi hatua iliyo na viwianishi (x + Δx ; y); au kigezo y kilipewa nyongeza ya Δy, na kisha katika kikoa cha ufafanuzi wa chaguo za kukokotoa kulikuwa na mpito kutoka sehemu yenye viwianishi (x,y) hadi hatua yenye viwianishi (x; y + Δy) (ona Mchoro 5.6). ) Kwa hivyo, hatua ambayo tulichukua derivative ya sehemu ya kazi iliyosogezwa katika mwelekeo sambamba na shoka za kuratibu kwenye ndege (ama sambamba na mhimili wa x au sambamba na kuratibu). Hebu sasa tuzingatie kesi wakati mwelekeo unaweza kuchukuliwa kiholela, i.e. nyongeza hutolewa kwa vigezo kadhaa mara moja. Kwa kesi ya kazi ya vigezo viwili, tutahamia kwa uhakika (x + Δx; y + Δy), na uhamisho utakuwa Δ l(ona Mchoro 5.6).
Wakati wa kusonga katika mwelekeo fulani, kazi ya z itaongeza Δ l z = f(x + Δx; y + Δy) – f(x,y), inayoitwa ongezeko la chaguo la kukokotoa z katika mwelekeo fulani. l.
Nyingi ya z l`katika mwelekeo l
kazi za vigezo viwili
z = f(x,y) ni kikomo cha uwiano wa nyongeza ya chaguo la kukokotoa katika mwelekeo huu hadi thamani ya uhamishaji Δ l kwani mwisho huwa na sifuri, i.e. .
Nyingine ya z l` inaashiria kiwango cha mabadiliko ya kazi katika mwelekeo l.
Dhana ya derivative ya mwelekeo inaweza kujumuishwa kwa jumla kwa kazi na idadi yoyote ya vigezo.
Mchoro 5.6 - Kusonga hatua katika mwelekeo l
Inaweza kuthibitishwa kuwa z l` = z x `cos α + z y `cos β, ambapo α na β ni pembe zinazoundwa na mwelekeo wa harakati ya uhakika na axes za kuratibu (ona Mchoro 5.6).
Kwa mfano, hebu tutafute derivative ya chaguo la kukokotoa z = ln (x 2 + xy) kwenye uhakika.
(3; 1) katika mwelekeo kutoka hatua hii hadi hatua (6; -3) (ona Mchoro 5.7).
Ili kufanya hivyo, kwanza tafuta derivatives ya sehemu ya kazi hii kwa uhakika (3; 1): z x ` = (2x + y)/(x 2 + xy) = (2*3 + 1)/(3 2 + 3* 1) = 7/12;
z y ` = x/(x 2 + xy) = 3/(3 2 + 3*1) = 3/12 = 1/4.
Kumbuka kwamba Δx = 6 - 3 = 3; Δy = -3 - 1 = -4; (Δ l) 2 = 9 + 16 = 25;
|Δ l| = 5. Kisha cos α = 3/5; cos β = -4/5; z l` =
z x `cos α +
z y `cos β = (7/12)*(3/5) - (1/4)*(4/5) = (7/4)*(1/5) - (1/4)*(4 / 5) = (7*1 – 1*4)/(4*5) = 3/20.
Utendaji wa gradient
Kutoka kwa kozi ya hisabati ya shule tunajua kwamba vekta kwenye ndege ni sehemu iliyoelekezwa. Mwanzo na mwisho wake una viwianishi viwili. Kuratibu za vekta huhesabiwa kwa kuondoa kuratibu za kuanza kutoka kwa kuratibu za mwisho.
Wazo la vekta linaweza kupanuliwa hadi nafasi ya n-dimensional (badala ya kuratibu mbili kutakuwa na kuratibu za n).
Gradient grad z ya chaguo za kukokotoa z = f(x 1, x 2, ...x n) ni vekta ya vipengee vya sehemu ya chaguo za kukokotoa kwenye hatua, i.e. vekta yenye kuratibu 
.
Inaweza kuthibitishwa kuwa kipenyo cha chaguo cha kukokotoa kinaashiria mwelekeo wa ukuaji wa haraka zaidi wa kiwango cha chaguo za kukokotoa katika hatua moja.
Kwa mfano, kwa kazi z = 2x 1 + x 2 (ona Mchoro 5.8), gradient katika hatua yoyote itakuwa na kuratibu (2; 1). Unaweza kuijenga kwenye ndege kwa njia mbalimbali, ukichukua hatua yoyote kama mwanzo wa vekta. Kwa mfano, unaweza kuunganisha uhakika (0; 0) kwa uhakika (2; 1), au uhakika (1; 0) kwa uhakika (3; 1), au uhakika (0; 3) kwa uhakika (2; 4), au kadhalika. .P. (Ona Mchoro 5.8). Vekta zote zilizoundwa kwa njia hii zitakuwa na kuratibu (2 - 0; 1 - 0) =
= (3 – 1; 1 – 0) = (2 – 0; 4 – 3) = (2; 1).
Kutoka kwa Mchoro 5.8 inaonekana wazi kuwa kiwango cha kazi huongezeka kwa mwelekeo wa gradient, kwani mistari ya ngazi iliyojengwa inalingana na viwango vya 4> 3> 2.
Kielelezo 5.8 - Gradient ya chaguo za kukokotoa z = 2x 1 + x 2
Hebu fikiria mfano mwingine - kazi z = 1/(x 1 x 2). Kiwango cha kukokotoa cha chaguo hili la kukokotoa hakitakuwa sawa kila wakati katika sehemu tofauti, kwani viwianishi vyake huamuliwa na fomula (-1/(x 1 2 x 2); -1/(x 1 x 2 2)).
Kielelezo 5.9 kinaonyesha mistari ya kiwango cha kazi z = 1/(x 1 x 2) kwa viwango vya 2 na 10 (mstari wa moja kwa moja 1/(x 1 x 2) = 2 unaonyeshwa na mstari wa nukta, na mstari wa moja kwa moja.
1/(x 1 x 2) = 10 - mstari imara).
Mchoro 5.9 - Gradients ya chaguo za kukokotoa z = 1/(x 1 x 2) katika sehemu mbalimbali
Chukua, kwa mfano, hatua (0.5; 1) na uhesabu gradient katika hatua hii: (-1/(0.5 2 *1); -1/(0.5*1 2)) = (-4; - 2). Kumbuka kwamba hatua (0.5; 1) iko kwenye mstari wa ngazi 1/(x 1 x 2) = 2, kwa sababu z = f(0.5; 1) = 1/(0.5*1) = 2. Kuonyesha vekta ( -4; -2) katika Mchoro 5.9, tunaunganisha uhakika (0.5; 1) na uhakika (-3.5; -1), kwa sababu
(-3,5 – 0,5; -1 - 1) = (-4; -2).
Hebu tuchukue hatua nyingine kwenye mstari wa ngazi sawa, kwa mfano, hatua (1; 0.5) (z = f (1; 0.5) = 1/(0.5*1) = 2). Hebu tuhesabu gradient katika hatua hii
(-1/(1 2 *0.5); -1/(1*0.5 2)) = (-2; -4). Ili kuionyesha kwenye Mchoro 5.9, tunaunganisha uhakika (1; 0.5) na uhakika (-1; -3.5), kwa sababu (-1 - 1; -3.5 - 0.5) = (-2; - 4).
Wacha tuchukue hatua nyingine kwenye mstari wa kiwango sawa, lakini sasa tu katika robo ya kuratibu isiyo chanya. Kwa mfano, uhakika (-0.5; -1) (z = f(-0.5; -1) = 1/((-1)*(-0.5)) = 2). Gradienti katika hatua hii itakuwa sawa na
(-1/((-0.5) 2 *(-1)); -1/(((-0.5)*(-1) 2)) = (4; 2). Hebu tuionyeshe kwenye Mchoro 5.9 kwa kuunganisha uhakika (-0.5; -1) na uhakika (3.5; 1), kwa sababu (3.5 – (-0.5); 1 – (-1)) = (4 ; 2).
Ikumbukwe kwamba katika kesi zote tatu zinazozingatiwa, gradient inaonyesha mwelekeo wa ukuaji wa ngazi ya kazi (kuelekea mstari wa ngazi 1 / (x 1 x 2) = 10 > 2).
Inaweza kuthibitishwa kuwa gradient daima ni perpendicular kwa mstari wa ngazi (uso wa ngazi) unaopitia hatua fulani.