Nadharia ya Pythagorean- moja ya nadharia za msingi za jiometri ya Euclidean, kuanzisha uhusiano
kati ya pande za pembetatu ya kulia.
Inaaminika kuwa ilithibitishwa na mwanahisabati wa Kigiriki Pythagoras, ambaye aliitwa jina lake.
Uundaji wa kijiometri wa theorem ya Pythagorean.
Nadharia hapo awali iliundwa kama ifuatavyo:
KATIKA pembetatu ya kulia eneo la mraba lililojengwa kwenye hypotenuse ni sawa na jumla ya maeneo ya viwanja,
kujengwa kwa miguu.
Uundaji wa algebraic wa nadharia ya Pythagorean.
Katika pembetatu ya kulia, mraba wa urefu wa hypotenuse sawa na jumla mraba wa urefu wa mguu.
Hiyo ni, kuashiria urefu wa hypotenuse ya pembetatu kwa c, na urefu wa miguu kupitia a Na b:
Miundo yote miwili Nadharia ya Pythagorean ni sawa, lakini uundaji wa pili ni wa msingi zaidi, haufanyi
inahitaji dhana ya eneo. Hiyo ni, taarifa ya pili inaweza kuthibitishwa bila kujua chochote kuhusu eneo hilo na
kwa kupima urefu wa pande za pembetatu ya kulia tu.
Ongea na nadharia ya Pythagorean.
Ikiwa mraba wa upande mmoja wa pembetatu ni sawa na jumla ya mraba wa pande zingine mbili, basi
pembetatu ya kulia.
Au, kwa maneno mengine:
Kwa kila tatu nambari chanya a, b Na c, vile vile
kuna pembetatu ya kulia na miguu a Na b na hypotenuse c.
Nadharia ya Pythagorean kwa pembetatu ya isosceles.
Nadharia ya Pythagorean kwa pembetatu ya usawa.
Uthibitisho wa nadharia ya Pythagorean.
Washa wakati huu V fasihi ya kisayansi Uthibitisho 367 wa nadharia hii umerekodiwa. Labda nadharia
Pythagoras ndio nadharia pekee iliyo na idadi ya kuvutia ya uthibitisho. Utofauti huo
inaweza tu kuelezewa na umuhimu wa kimsingi wa nadharia ya jiometri.
Kwa kweli, kimsingi zote zinaweza kugawanywa katika idadi ndogo ya madarasa. Maarufu zaidi kati yao:
ushahidi mbinu ya eneo, axiomatic Na ushahidi wa kigeni(Kwa mfano,
kwa kutumia milinganyo tofauti ).
1. Uthibitisho wa nadharia ya Pythagorean kwa kutumia pembetatu sawa.
Uthibitisho ufuatao wa uundaji wa aljebra ndio uthibitisho rahisi zaidi uliotungwa
moja kwa moja kutoka kwa axioms. Hasa, haitumii dhana ya eneo la takwimu.
Hebu ABC kuna pembetatu ya kulia yenye pembe ya kulia C. Wacha tuchore urefu kutoka C na kuashiria
msingi wake kupitia H.
Pembetatu ACH sawa na pembetatu AB C kwenye pembe mbili. Vivyo hivyo, pembetatu CBH sawa ABC.
Kwa kutambulisha nukuu:
tunapata:
,
ambayo inalingana na -
Imekunjwa a 2 na b 2, tunapata:
au , ambayo ndiyo ilihitaji kuthibitishwa.
2. Uthibitisho wa nadharia ya Pythagorean kwa kutumia njia ya eneo.
Ushahidi ufuatao, licha yake unyenyekevu dhahiri, si rahisi hivyo hata kidogo. Wote
tumia mali ya eneo, uthibitisho wa ambayo ushahidi mgumu zaidi nadharia ya Pythagorean yenyewe.
- Uthibitisho kwa njia ya usawa.
Wacha tupange nne sawa za mstatili
pembetatu kama inavyoonyeshwa kwenye takwimu
kulia.
Quadrangle na pande c- mraba,
tangu jumla ya mbili pembe kali 90 °, a
angle iliyofunuliwa - 180 °.
Eneo la takwimu nzima ni sawa, kwa upande mmoja,
eneo la mraba na upande ( a+b), na kwa upande mwingine, kiasi miraba minne pembetatu na
Q.E.D.
3. Uthibitisho wa nadharia ya Pythagorean kwa njia isiyo na kikomo.
Kuangalia mchoro ulioonyeshwa kwenye takwimu na
kuangalia mabadiliko ya upandea, tunaweza
andika uhusiano ufuatao kwa usio na mwisho
ndogo nyongeza za upandeNa Na a(kwa kutumia kufanana
pembetatu):
Kutumia njia ya kujitenga tofauti, tunapata:
Zaidi usemi wa jumla kubadilisha hypotenuse katika kesi ya kuongezeka kwa miguu yote miwili:
Kuunganisha kupewa equation na kutumia masharti ya awali, tunapata:
Kwa hivyo tunapata jibu tunalotaka:
Jinsi ilivyo rahisi kuona utegemezi wa quadratic inaonekana katika fomula ya mwisho kwa sababu ya mstari
uwiano kati ya pande za pembetatu na nyongeza, wakati jumla inahusiana na inayojitegemea
michango kutoka kwa kuongezeka kwa miguu tofauti.
Uthibitisho rahisi zaidi unaweza kupatikana ikiwa tunadhani kwamba moja ya miguu haipati ongezeko
(V kwa kesi hii mguu b) Kisha kwa ujumuishaji wa mara kwa mara tunapata:
Uwezo wa ubunifu kawaida huhusishwa na ubinadamu, kwa asili kuacha uchambuzi kwa kisayansi, mbinu ya vitendo na lugha kavu ya fomula na nambari. Hisabati kwa masomo ya kibinadamu Huwezi kuhusiana nayo kwa njia yoyote. Lakini bila ubunifu hautafika mbali katika "malkia wa sayansi zote" - watu wanajua hii kwa muda mrefu. Tangu wakati wa Pythagoras, kwa mfano.
Vitabu vya shule, kwa bahati mbaya, kwa kawaida havielezi kwamba katika hisabati ni muhimu sio tu kwa nadharia ya cram, axioms na formula. Ni muhimu kuelewa na kuhisi kanuni zake za msingi. Na wakati huo huo, jaribu kuachilia akili yako kutoka kwa cliches na ukweli wa kimsingi - ni katika hali kama hizi tu uvumbuzi mkubwa huzaliwa.
Uvumbuzi kama huo unatia ndani kile tunachojua leo kama nadharia ya Pythagorean. Kwa msaada wake, tutajaribu kuonyesha kwamba hisabati haiwezi tu, lakini inapaswa kusisimua. Na kwamba adventure hii haifai tu kwa wajinga wenye glasi nene, lakini kwa kila mtu mwenye nguvu katika akili na mwenye nguvu katika roho.
Kutoka kwa historia ya suala hilo
Kwa kweli, ingawa nadharia hiyo inaitwa "nadharia ya Pythagorean," Pythagoras mwenyewe hakuigundua. Pembetatu ya kulia na mali zake maalum zilisomwa muda mrefu kabla yake. Kuna maoni mawili ya polar juu ya suala hili. Kulingana na toleo moja, Pythagoras alikuwa wa kwanza kupata uthibitisho kamili wa nadharia hiyo. Kulingana na mwingine, uthibitisho sio wa uandishi wa Pythagoras.
Leo huwezi tena kuangalia nani yuko sahihi na nani sio sahihi. Kinachojulikana ni kwamba uthibitisho wa Pythagoras, ikiwa umewahi kuwepo, haujapona. Walakini, kuna maoni kwamba uthibitisho maarufu kutoka kwa Vipengele vya Euclid unaweza kuwa wa Pythagoras, na Euclid alirekodi tu.
Pia inajulikana leo kwamba matatizo kuhusu pembetatu ya kulia yanapatikana katika vyanzo vya Misri kutoka wakati wa Farao Amenemhat I, kwenye vidonge vya udongo wa Babeli kutoka kwa utawala wa Mfalme Hammurabi, katika mkataba wa kale wa Kihindi "Sulva Sutra" na kazi ya kale ya Kichina " Zhou-bi suan jin”.
Kama unaweza kuona, nadharia ya Pythagorean imechukua mawazo ya wanahisabati tangu nyakati za zamani. Hili linathibitishwa na takriban vipande 367 tofauti vya ushahidi vilivyopo leo. Katika hili, hakuna nadharia nyingine inayoweza kushindana nayo. Miongoni mwa waandishi maarufu wa uthibitisho tunaweza kukumbuka Leonardo da Vinci na Rais wa ishirini wa Marekani James Garfield. Yote hii inazungumza juu ya umuhimu mkubwa wa nadharia hii kwa hisabati: nadharia nyingi za jiometri zinatokana na hilo au kwa namna fulani zimeunganishwa nayo.
Uthibitisho wa nadharia ya Pythagorean
KATIKA vitabu vya shule Wanatoa uthibitisho wa aljebra. Lakini kiini cha theorem iko katika jiometri, basi hebu kwanza tuchunguze uthibitisho huo wa nadharia maarufu ambayo inategemea sayansi hii.
Ushahidi 1
Kwa uthibitisho rahisi zaidi wa theorem ya Pythagorean kwa pembetatu sahihi, unahitaji kuweka hali bora: basi pembetatu isiwe tu mstatili, lakini pia isosceles. Kuna sababu ya kuamini kwamba ilikuwa ni aina hii ya pembetatu ambayo wanahisabati wa zamani walizingatia hapo awali.
Kauli "Mraba uliojengwa juu ya hypotenuse ya pembetatu ya kulia ni sawa na jumla ya miraba iliyojengwa kwa miguu yake" inaweza kuonyeshwa kwa mchoro ufuatao:
Angalia pembetatu ya kulia ya isosceles ABC: Kwenye hypotenuse AC, unaweza kuunda mraba unaojumuisha pembetatu nne sawa na ABC asilia. Na kwa pande AB na BC mraba umejengwa, ambayo kila moja ina pembetatu mbili zinazofanana.
Kwa njia, mchoro huu uliunda msingi wa utani na katuni nyingi zilizowekwa kwa nadharia ya Pythagorean. maarufu zaidi pengine "Suruali ya Pythagorean ni sawa katika pande zote":
Ushahidi 2
Njia hii inachanganya aljebra na jiometri na inaweza kuchukuliwa kuwa lahaja ya uthibitisho wa kale wa Kihindi wa mwanahisabati Bhaskari.
Tengeneza pembetatu ya kulia na pande a, b na c(Mchoro 1). Kisha jenga miraba miwili na pande sawa na jumla ya urefu wa miguu miwili - (a+b). Katika kila mraba, tengeneza miundo kama ilivyo kwenye Mchoro 2 na 3.
Katika mraba wa kwanza, jenga pembetatu nne sawa na zile zilizo kwenye Mchoro 1. Matokeo yake ni miraba miwili: moja ikiwa na upande a, ya pili na upande. b.
Katika mraba wa pili, pembetatu nne zinazofanana zilizojengwa huunda mraba na upande sawa na hypotenuse c.
Jumla ya maeneo ya miraba iliyojengwa kwenye Mchoro 2 ni sawa na eneo la mraba tulilojenga kwa upande c kwenye Mchoro 3. Hii inaweza kuangaliwa kwa urahisi kwa kuhesabu eneo la miraba kwenye Mtini. 2 kulingana na fomula. Na eneo la mraba ulioandikwa kwenye Mchoro 3. kwa kutoa maeneo ya pembetatu nne sawa za kulia zilizoandikwa kwenye mraba kutoka eneo la mraba mkubwa na upande. (a+b).
Kuandika haya yote, tunayo: a 2 +b 2 =(a+b) 2 – 2ab. Fungua mabano, fanya mahesabu yote muhimu ya aljebra na upate hiyo a 2 +b 2 = a 2 +b 2. Katika kesi hii, eneo lililoandikwa kwenye Mchoro 3. mraba pia inaweza kuhesabiwa kwa kutumia fomula ya jadi S=c 2. Wale. a 2 +b 2 =c 2- umethibitisha nadharia ya Pythagorean.
Ushahidi 3
Uthibitisho wa kale wa Kihindi wenyewe ulielezewa katika karne ya 12 katika mkataba "Taji la Maarifa" ("Siddhanta Shiromani") na kama hoja kuu mwandishi anatumia rufaa iliyoelekezwa kwa vipaji vya hisabati na ujuzi wa uchunguzi wa wanafunzi na wafuasi: " Tazama!”
Lakini tutachambua uthibitisho huu kwa undani zaidi:
Ndani ya mraba, jenga pembetatu nne za kulia kama inavyoonyeshwa kwenye mchoro. Wacha tuonyeshe upande wa mraba mkubwa, unaojulikana pia kama hypotenuse, Na. Hebu tuite miguu ya pembetatu A Na b. Kwa mujibu wa kuchora, upande wa mraba wa ndani ni (a-b).
Tumia fomula kwa eneo la mraba S=c 2 kuhesabu eneo la mraba wa nje. Na wakati huo huo kuhesabu thamani sawa kwa kuongeza eneo la mraba wa ndani na maeneo ya pembetatu zote nne za kulia: (a-b) 2 2+4*1\2*a*b.
Unaweza kutumia chaguzi zote mbili kwa kuhesabu eneo la mraba ili kuhakikisha kuwa wanatoa matokeo sawa. Na hii inakupa haki ya kuandika hiyo c 2 =(a-b) 2 +4*1\2*a*b. Kama matokeo ya suluhisho, utapokea formula ya nadharia ya Pythagorean c 2 =a 2 +b 2. Nadharia imethibitishwa.
Ushahidi 4
Uthibitisho huu wa ajabu wa Kichina uliitwa "Kiti cha Bibi-arusi" - kwa sababu ya sura inayofanana na kiti inayotokana na ujenzi wote:
Inatumia mchoro ambao tumeona tayari kwenye Mchoro 3 katika uthibitisho wa pili. Na mraba wa ndani na upande c umejengwa kwa njia sawa na katika uthibitisho wa kale wa Kihindi uliotolewa hapo juu.
Ikiwa umekata kiakili pembetatu mbili za kulia za kijani kutoka kwenye mchoro kwenye Mchoro 1, uwapeleke pande tofauti ambatisha mraba na upande c na hypotenuses kwa hypotenuses ya pembetatu ya lilac, utapata takwimu inayoitwa "mwenyekiti wa bibi arusi" (Mchoro 2). Kwa uwazi, unaweza kufanya vivyo hivyo na mraba wa karatasi na pembetatu. Utahakikisha kwamba "mwenyekiti wa bibi arusi" huundwa na mraba mbili: ndogo na upande b na kubwa na upande a.
Miundo hii iliruhusu wanahisabati wa kale wa Kichina na sisi, tukiwafuata, kufikia hitimisho kwamba c 2 =a 2 +b 2.
Ushahidi 5
Hii ni njia nyingine ya kupata suluhisho la nadharia ya Pythagorean kwa kutumia jiometri. Inaitwa Njia ya Garfield.
Tengeneza pembetatu ya kulia ABC. Tunahitaji kuthibitisha hilo BC 2 = AC 2 + AB 2.
Ili kufanya hivyo, endelea mguu AC na kuunda sehemu CD, ambayo ni sawa na mguu AB. Punguza perpendicular AD sehemu ya mstari ED. Sehemu ED Na AC ni sawa. Unganisha nukta E Na KATIKA, na E Na NA na upate mchoro kama picha hapa chini:
Ili kudhibitisha mnara, tunaamua tena njia ambayo tumejaribu tayari: tunapata eneo la takwimu inayosababishwa kwa njia mbili na kusawazisha misemo kwa kila mmoja.
Tafuta eneo la poligoni KITANDA inaweza kufanywa kwa kuongeza maeneo ya pembetatu tatu zinazounda. Na mmoja wao, ERU, sio tu mstatili, lakini pia isosceles. Pia tusisahau hilo AB=CD, AC=ED Na BC=SE- hii itaturuhusu kurahisisha kurekodi na sio kuipakia. Kwa hiyo, S ABED =2*1/2(AB*AC)+1/2ВС 2.
Wakati huo huo, ni dhahiri kwamba KITANDA- Hii ni trapezoid. Kwa hivyo, tunahesabu eneo lake kwa kutumia formula: S ABED =(DE+AB)*1/2AD. Kwa mahesabu yetu, ni rahisi zaidi na wazi zaidi kuwakilisha sehemu AD kama jumla ya sehemu AC Na CD.
Wacha tuandike njia zote mbili za kuhesabu eneo la takwimu, tukiweka ishara sawa kati yao: AB*AC+1/2BC 2 =(DE+AB)*1/2(AC+CD). Tunatumia usawa wa sehemu ambazo tayari tunazijua na zilizofafanuliwa hapo juu ili kurahisisha upande wa kulia wa nukuu: AB*AC+1/2BC 2 =1/2(AB+AC) 2. Sasa hebu tufungue mabano na tubadilishe usawa: AB*AC+1/2BC 2 =1/2AC 2 +2*1/2(AB*AC)+1/2AB 2. Baada ya kukamilisha mabadiliko yote, tunapata kile tunachohitaji: BC 2 = AC 2 + AB 2. Tumethibitisha nadharia.
Bila shaka, orodha hii ya ushahidi ni mbali na kukamilika. Nadharia ya Pythagorean pia inaweza kuthibitishwa kwa kutumia vekta, nambari ngumu, milinganyo tofauti, stereometry, nk. Na hata wanafizikia: ikiwa, kwa mfano, kioevu hutiwa katika kiasi cha mraba na triangular sawa na yale yaliyoonyeshwa kwenye michoro. Kwa kumwaga kioevu, unaweza kuthibitisha usawa wa maeneo na theorem yenyewe kama matokeo.
Maneno machache kuhusu mapacha watatu wa Pythagorean
Suala hili ni kidogo au halijasomwa kabisa katika mtaala wa shule. Wakati huo huo, anavutia sana na ana umuhimu mkubwa katika jiometri. Pythagorean triples hutumiwa kutatua wengi matatizo ya hisabati. Kuzielewa kunaweza kuwa na manufaa kwako katika elimu zaidi.
Kwa hivyo watoto watatu wa Pythagorean ni nini? Hiyo ndiyo wanaiita nambari kamili, iliyokusanywa kwa tatu, jumla ya miraba ya mbili ambayo ni sawa na nambari ya tatu katika mraba.
Mara tatu ya Pythagorean inaweza kuwa:
- primitive (nambari zote tatu ni kubwa kiasi);
- sio ya zamani (ikiwa kila nambari ya mara tatu inazidishwa na nambari sawa, unapata mara tatu mpya, ambayo sio ya zamani).
Hata kabla ya zama zetu, Wamisri wa kale walivutiwa na mania kwa idadi ya triplets Pythagorean: katika matatizo walizingatia pembetatu ya kulia na pande za 3, 4 na 5 vitengo. Kwa njia, pembetatu yoyote ambayo pande zake ni sawa na namba kutoka kwa Pythagorean tatu ni mstatili kwa default.
Mifano ya mapacha watatu wa Pythagorean: (3, 4, 5), (6, 8, 10), (5, 12, 13), (9, 12, 15), (8, 15, 17), (12, 16), 20 ), (15, 20, 25), (7, 24, 25), (10, 24, 26), (20, 21, 29), (18, 24, 30), (10, 30, 34) , (21, 28, 35), (12, 35, 37), (15, 36, 39), (24, 32, 40), (9, 40, 41), (27, 36, 45), ( 14 , 48, 50), (30, 40, 50), nk.
Utumiaji wa nadharia ya vitendo
Nadharia ya Pythagorean haitumiwi tu katika hisabati, bali pia katika usanifu na ujenzi, astronomy na hata fasihi.
Kwanza kuhusu ujenzi: theorem ya Pythagorean hutumiwa sana katika matatizo viwango tofauti matatizo. Kwa mfano, angalia dirisha la Romanesque:
Wacha tuonyeshe upana wa dirisha kama b, basi radius ya semicircle kuu inaweza kuashiria kama R na kujieleza kupitia b: R=b/2. Radi ya semicircles ndogo inaweza pia kuonyeshwa kupitia b: r=b/4. Katika shida hii tunavutiwa na eneo la mduara wa ndani wa dirisha (wacha tuiite uk).
Nadharia ya Pythagorean ni muhimu tu kuhesabu R. Ili kufanya hivyo, tunatumia pembetatu ya kulia, ambayo inaonyeshwa na mstari wa dotted katika takwimu. Hypotenuse ya pembetatu ina radii mbili: b/4+p. Mguu mmoja unawakilisha radius b/4,mwingine b/2-p. Kwa kutumia nadharia ya Pythagorean, tunaandika: (b/4+p) 2 =(b/4) 2 +(b/2-p) 2. Ifuatayo, tunafungua mabano na kupata b 2 /16+ bp/2+p 2 =b 2 /16+b 2 /4-bp+p 2. Wacha tubadilishe usemi huu kuwa bp/2=b 2 /4-bp. Na kisha tunagawanya masharti yote kwa b, tunawasilisha zinazofanana ili kupata 3/2*p=b/4. Na mwisho tunapata hiyo p=b/6- ambayo ndiyo tuliyohitaji.
Kutumia theorem, unaweza kuhesabu urefu wa rafu kwa paa la gable. Tambua jinsi mnara wa simu ya rununu unahitajika ili mawimbi kufikia fulani makazi. Na hata kufunga mti wa Krismasi endelevu katika mraba wa mji. Kama unaweza kuona, nadharia hii haiishi tu kwenye kurasa za vitabu vya kiada, lakini mara nyingi ni muhimu katika maisha halisi.
Katika fasihi, nadharia ya Pythagorean imewahimiza waandishi tangu zamani na inaendelea kufanya hivyo katika wakati wetu. Kwa mfano, mwandishi wa Kijerumani wa karne ya kumi na tisa Adelbert von Chamisso aliongozwa kuandika sonnet:
Nuru ya ukweli haitatoweka hivi karibuni,
Lakini, baada ya kuangaza, hakuna uwezekano wa kufuta
Na, kama maelfu ya miaka iliyopita,
Haitasababisha shaka au mabishano.
Mwenye busara zaidi inapogusa macho yako
Nuru ya ukweli, asante miungu;
Na ng'ombe mia, kuchinjwa, kusema uwongo -
Zawadi ya kurudi kutoka kwa Pythagoras mwenye bahati.
Tangu wakati huo mafahali wamekuwa wakinguruma sana:
Milele wasiwasi kabila ng'ombe
Tukio lililotajwa hapa.
Inaonekana kwao kuwa wakati umekaribia,
Na watatolewa tena dhabihu
Nadharia fulani kubwa.
(tafsiri na Viktor Toporov)
Na katika karne ya ishirini, mwandishi wa Soviet Evgeny Veltistov, katika kitabu chake "Adventures of Electronics," alitumia sura nzima kwa uthibitisho wa nadharia ya Pythagorean. Na sura nyingine ya nusu ya hadithi kuhusu ulimwengu wa pande mbili ambao unaweza kuwepo ikiwa nadharia ya Pythagorean ikawa sheria ya msingi na hata dini kwa ulimwengu mmoja. Kuishi huko itakuwa rahisi zaidi, lakini pia ni boring zaidi: kwa mfano, hakuna mtu anayeelewa maana ya maneno "pande zote" na "fluffy".
Na katika kitabu "Adventures of Electronics," mwandishi, kupitia mdomo wa mwalimu wa hisabati Taratar, anasema: "Jambo kuu katika hisabati ni harakati ya mawazo, mawazo mapya." Ni kweli ndege hii ya ubunifu ya mawazo ambayo inaleta nadharia ya Pythagorean - sio bure kwamba ina uthibitisho mwingi tofauti. Inakusaidia kwenda zaidi ya mipaka ya unaojulikana na kutazama vitu vinavyojulikana kwa njia mpya.
Hitimisho
Makala hii imeundwa ili kukusaidia kutazama zaidi mtaala wa shule katika hisabati na ujifunze sio tu uthibitisho wa nadharia ya Pythagorean ambayo hutolewa katika vitabu vya kiada "Jiometri 7-9" (L.S. Atanasyan, V.N. Rudenko) na "Jiometri 7-11" (A.V. Pogorelov), lakini na njia zingine za kupendeza za kudhibitisha. nadharia maarufu. Na pia tazama mifano ya jinsi theorem ya Pythagorean inaweza kutumika katika maisha ya kila siku.
Kwanza, habari hii itakuruhusu kuhitimu zaidi alama za juu katika masomo ya hisabati - habari juu ya somo kutoka vyanzo vya ziada daima huthaminiwa sana.
Pili, tulitaka kukusaidia kupata hisia za jinsi hisabati sayansi ya kuvutia. Hakikisha mifano maalum kwamba daima kuna nafasi ya ubunifu ndani yake. Tunatumahi kuwa nadharia ya Pythagorean na nakala hii itakuhimiza utafutaji wa kujitegemea na uvumbuzi wa kusisimua katika hisabati na sayansi nyingine.
Tuambie katika maoni ikiwa umepata ushahidi uliotolewa katika makala ya kuvutia. Je, ulipata taarifa hii kuwa muhimu katika masomo yako? Tuandikie nini unafikiri kuhusu theorem ya Pythagorean na makala hii - tutafurahi kujadili haya yote na wewe.
blog.site, wakati wa kunakili nyenzo kwa ukamilifu au sehemu, kiunga cha chanzo asili kinahitajika.
Kila mtoto wa shule anajua kwamba mraba wa hypotenuse daima ni sawa na jumla ya miguu, ambayo kila mmoja ni mraba. Kauli hii inaitwa nadharia ya Pythagorean. Ni mojawapo ya nadharia maarufu za trigonometry na hisabati kwa ujumla. Hebu tuangalie kwa karibu zaidi.
Dhana ya pembetatu ya kulia
Kabla ya kuendelea na kuzingatia nadharia ya Pythagorean, ambayo mraba wa hypotenuse ni sawa na jumla ya miguu iliyo na mraba, tunapaswa kuzingatia dhana na mali ya pembetatu ya kulia ambayo theorem ni kweli.
Pembetatu - sura ya gorofa kuwa na pembe tatu na pande tatu. Pembetatu ya kulia, kama jina lake linavyopendekeza, ina pembe moja ya kulia, ambayo ni, pembe hii ni sawa na 90 o.
Kutoka mali ya jumla kwa pembetatu zote, inajulikana kuwa jumla ya pembe zote tatu za takwimu hii ni 180 o, ambayo ina maana kwamba kwa pembetatu ya kulia, jumla ya pembe mbili ambazo si za kulia ni 180 o - 90 o = 90 o. Ukweli wa mwisho inamaanisha kuwa pembe yoyote katika pembetatu ya kulia ambayo si sahihi daima itakuwa chini ya 90 o.
Upande ulio kinyume pembe ya kulia, kwa kawaida huitwa hypotenuse. Pande zingine mbili ni miguu ya pembetatu, zinaweza kuwa sawa kwa kila mmoja, au zinaweza kuwa tofauti. Kutoka kwa trigonometria tunajua kwamba kadiri pembe inavyoegemea upande wa pembetatu, ndivyo urefu wa upande huo unavyoongezeka. Hii inamaanisha kuwa katika pembetatu ya kulia hypotenuse (iko kinyume na pembe ya 90 o) itakuwa kubwa kila wakati kuliko mguu wowote (ilalia kinyume na pembe).< 90 o).
Nukuu ya hisabati ya nadharia ya Pythagorean
Nadharia hii inasema kwamba mraba wa hypotenuse ni sawa na jumla ya miguu, ambayo kila mmoja hapo awali ni mraba. Ili kuandika uundaji huu kihisabati, zingatia pembetatu ya kulia ambayo pande a, b na c ni miguu miwili na hypotenuse, mtawalia. Katika kesi hii, theorem, ambayo imeundwa kama mraba wa hypotenuse ni sawa na jumla ya mraba wa miguu, inaweza kuwakilishwa na formula ifuatayo: c 2 = a 2 + b 2. Kutoka hapa kanuni nyingine muhimu kwa mazoezi zinaweza kupatikana: a = √(c 2 - b 2), b = √(c 2 - a 2) na c = √(a 2 + b 2).
Kumbuka kwamba katika kesi ya mstatili pembetatu ya usawa, yaani, a = b, uundaji: mraba wa hypotenuse ni sawa na jumla ya miguu, ambayo kila moja ni ya mraba, imeandikwa kihisabati kama ifuatavyo: c 2 = a 2 + b 2 = 2a 2, ambayo inamaanisha usawa: c = a√2.
Rejea ya kihistoria
Nadharia ya Pythagorean, ambayo inasema kwamba mraba wa hypotenuse ni sawa na jumla ya miguu, ambayo kila mmoja ni mraba, ilijulikana muda mrefu kabla ya mwanafalsafa maarufu wa Kigiriki hajalizingatia. Papyri nyingi Misri ya Kale, pamoja na mabamba ya udongo ya Wababiloni yanathibitisha kwamba watu hao walitumia mali inayojulikana ya pande za pembetatu ya kulia. Kwa mfano, moja ya kwanza Piramidi za Misri, piramidi ya Khafre, ambayo ujenzi wake ulianza karne ya 26 KK (miaka 2000 kabla ya maisha ya Pythagoras), ilijengwa kwa kuzingatia ujuzi wa uwiano wa kipengele katika pembetatu sahihi 3x4x5.
Kwa nini basi theorem sasa ina jina la Kigiriki? Jibu ni rahisi: Pythagoras ndiye wa kwanza kudhibitisha nadharia hii kihisabati. Katika kunusurika kwa Babeli na Misri vyanzo vilivyoandikwa Inazungumza tu juu ya matumizi yake, lakini haitoi uthibitisho wowote wa hisabati.
Inaaminika kuwa Pythagoras alithibitisha nadharia inayohusika kwa kutumia mali pembetatu zinazofanana, ambayo aliipata kwa kuchora urefu katika pembetatu ya kulia kutoka pembe ya 90 o hadi hypotenuse.
Mfano wa kutumia nadharia ya Pythagorean
Hebu tuzingatie kazi rahisi: ni muhimu kuamua urefu wa staircase inayoelekea L, ikiwa inajulikana kuwa ina urefu wa H = mita 3, na umbali kutoka kwa ukuta ambao staircase inakaa kwa mguu wake ni P = 2.5 mita.
Katika kesi hii, H na P ni miguu, na L ni hypotenuse. Kwa kuwa urefu wa hypotenuse ni sawa na jumla ya mraba wa miguu, tunapata: L 2 = H 2 + P 2, kutoka ambapo L = √(H 2 + P 2) = √(3 2 + 2.5 2) ) = mita 3.905 au 3 m na 90, 5 cm
Nadharia ya Pythagorean isiyoweza kusahaulika. Mraba wa hypotenuse ya pembetatu ya kulia ni sawa na jumla ya mraba wa miguu yake. Kwa maneno mengine, katika pembetatu ya kulia, eneo la mraba lililojengwa kwenye hypotenuse ni sawa na jumla ya maeneo ya mraba iliyojengwa kwenye miguu yake.
Inaashiria urefu wa hypotenuse ya pembetatu kwa c, na urefu wa miguu kwa a na b:
Hypotenuse- Hii ni moja ya pande za pembetatu ya kulia. Pia katika pembetatu hii kuna mbili mguu.
Katika kesi hii, hypotenuse ni upande ambao ni kinyume na pembe ya kulia. Na miguu ni pande zinazounda pembe fulani.
Kwa mujibu wa nadharia ya Pythagorean, mraba wa hypotenuse itakuwa sawa na jumla ya mraba wa miguu.
Hiyo ni, AB = AC + BC.
Mazungumzo pia ni kweli - ikiwa usawa huu unashikilia pembetatu, basi pembetatu hii ina pembe ya kulia.
Mali hii husaidia kutatua matatizo mengi ya kijiometri.
Kuna uundaji tofauti kidogo wa nadharia hii: eneo la mraba lililojengwa kwenye hypotenuse ni sawa na jumla ya maeneo ya viwanja vilivyojengwa kwenye miguu.
Mraba wa hypotenuse ni sawa na jumla ya mraba wa miguu ... kutoka shule kwa moyo. Hii ni moja ya sheria ambazo zitakumbukwa milele.)))
Mraba wa hypotenuse ni sawa na jumla ya mraba wa miguu
Hii ni sahihi, mraba wa hypotenuse ni sawa na jumla ya mraba wa miguu. Bila shaka, hii ilifundishwa kwetu na kwamba nadharia hii ya Pythagorean inaacha bila shaka ni nzuri sana, kati ya kawaida ya kawaida, kukumbuka kile kilichofundishwa muda mrefu uliopita.
Inategemea urefu wa hypotenuse hii. Ikiwa ni sawa na mita moja, basi mraba wake ni moja mita ya mraba. Na ikiwa ni, kwa mfano, inchi 39.37, basi mraba ni inchi za mraba 1550, hakuna kitu kinachoweza kufanywa kuhusu hilo.
Mraba wa hypotenuse ni sawa na jumla ya mraba wa miguu - theorem ya Pythagorean (kwa njia, aya rahisi zaidi katika kitabu cha jiometri)
Ndiyo, mraba wa hypotenuse ni sawa na jumla ya mraba wa miguu. Hii inaonekana kuwa tuliyofundishwa shuleni. Ni miaka ngapi imepita, na bado tunakumbuka nadharia hii mpendwa. Labda nitafanya kazi kwa bidii na kuthibitisha, kama tu katika mtaala wa shule.
Pia walisema suruali ya wimbo mdogo wa Pythagorean ni sawa katika pande zote
Mwalimu alituambia kwamba ikiwa unalala na ghafla kuna moto, lazima ujue theorem ya Pythagorean))) Sawa na jumla ya mraba wa miguu.
Mraba wa hypotenuse ni sawa na jumla ya mraba wa pande zingine mbili za pembetatu (miguu).
Unaweza kukumbuka hili, au unaweza kuelewa mara moja na kwa wote kwa nini hii ni hivyo.
Kwanza, fikiria pembetatu ya kulia na miguu sawa na kuiweka ndani ya mraba na upande sawa na hypotenuse.
Eneo la mraba kubwa litakuwa sawa na eneo la nne pembetatu zinazofanana ndani yake.
Hebu tuhesabu haraka kila kitu na kupata matokeo tunayohitaji.
Ikiwa miguu si sawa, kila kitu pia ni rahisi sana:
Eneo la mraba mkubwa ni sawa na jumla ya maeneo ya pembetatu nne zinazofanana pamoja na eneo la mraba katikati.
Chochote mtu anaweza kusema, tunapata usawa kila wakati
jumla ya mraba wa miguu ni sawa na mraba wa hypotenuse.
Moja ya maarufu zaidi katika jiometri, theorem ya Pythagorean inasema:
Nadharia hii inahusu pembetatu ya kulia, ambayo ni, moja ambayo moja ya pembe ni sawa na digrii 90. Pande za pembe ya kulia huitwa miguu, na pande za oblique huitwa hypotenuse. Kwa hivyo, ikiwa utachora mraba tatu na msingi kwa kila upande wa pembetatu, basi eneo la miraba miwili karibu na mguu ni sawa na eneo la mraba karibu na hypotenuse.
Nadharia ya Pythagorean: Jumla ya maeneo ya miraba kwenye miguu ( a Na b), sawa na eneo la mraba lililojengwa kwenye hypotenuse ( c).
Muundo wa kijiometri:
Nadharia hapo awali iliundwa kama ifuatavyo:
Muundo wa algebraic:
Hiyo ni, kuashiria urefu wa hypotenuse ya pembetatu kwa c, na urefu wa miguu kupitia a Na b :
a 2 + b 2 = c 2Miundo yote miwili ya nadharia ni sawa, lakini uundaji wa pili ni wa msingi zaidi hauhitaji dhana ya eneo. Hiyo ni, kauli ya pili inaweza kuthibitishwa bila kujua chochote kuhusu eneo hilo na kwa kupima tu urefu wa pande za pembetatu ya kulia.
Ongea na nadharia ya Pythagorean:
Ushahidi
Kwa sasa, uthibitisho 367 wa nadharia hii umeandikwa katika fasihi ya kisayansi. Pengine, theorem ya Pythagorean ndiyo theorem pekee yenye idadi hiyo ya kuvutia ya uthibitisho. Utofauti huo unaweza kuelezewa tu na umuhimu wa kimsingi wa nadharia ya jiometri.
Kwa kweli, kimsingi zote zinaweza kugawanywa katika idadi ndogo ya madarasa. Maarufu zaidi kati yao: uthibitisho wa njia ya eneo, uthibitisho wa axiomatic na wa kigeni (kwa mfano, kwa kutumia milinganyo tofauti).
Kupitia pembetatu zinazofanana
Uthibitisho ufuatao wa uundaji wa aljebra ni uthibitisho rahisi zaidi, uliojengwa moja kwa moja kutoka kwa axioms. Hasa, haitumii dhana ya eneo la takwimu.
Hebu ABC kuna pembetatu ya kulia yenye pembe ya kulia C. Wacha tuchore urefu kutoka C na kuashiria msingi wake kwa H. Pembetatu ACH sawa na pembetatu ABC kwenye pembe mbili. Vivyo hivyo, pembetatu CBH sawa ABC. Kwa kutambulisha nukuu
tunapata
Nini ni sawa
Kuiongeza, tunapata
Uthibitisho kwa kutumia njia ya eneo
Uthibitisho ulio hapa chini, licha ya unyenyekevu wao dhahiri, sio rahisi hata kidogo. Wote hutumia mali ya eneo, uthibitisho wa ambayo ni ngumu zaidi kuliko uthibitisho wa theorem ya Pythagorean yenyewe.
Uthibitisho kupitia ukamilishaji
- Wacha tupange pembetatu nne sawa za kulia kama inavyoonyeshwa kwenye Mchoro 1.
- Quadrangle na pande c ni mraba, kwa kuwa jumla ya pembe mbili za papo hapo ni 90 °, na angle ya moja kwa moja ni 180 °.
- Eneo la takwimu nzima ni sawa, kwa upande mmoja, kwa eneo la mraba na upande (a + b), na kwa upande mwingine, kwa jumla ya maeneo ya pembetatu nne na mbili za ndani. mraba.
Q.E.D.
Uthibitisho kupitia usawa
Uthibitisho wa kifahari kwa kutumia vibali
Mfano wa uthibitisho mmoja kama huo unaonyeshwa kwenye mchoro wa kulia, ambapo mraba uliojengwa kwenye hypotenuse hupangwa tena katika viwanja viwili vilivyojengwa kwenye miguu.
Ushahidi wa Euclid
Kuchora kwa uthibitisho wa Euclid
Mchoro kwa uthibitisho wa Euclid
Wazo la uthibitisho wa Euclid ni kama ifuatavyo: hebu jaribu kudhibitisha kuwa nusu ya eneo la mraba lililojengwa juu ya hypotenuse ni sawa na jumla ya maeneo ya nusu ya mraba iliyojengwa kwenye miguu, na kisha maeneo ya mraba. miraba mikubwa na miwili midogo ni sawa.
Wacha tuangalie mchoro upande wa kushoto. Juu yake tulijenga miraba kwenye pande za pembetatu ya kulia na kuchora ray s kutoka kwenye kipeo cha pembe ya kulia C perpendicular kwa hypotenuse AB, inakata ABIK ya mraba, iliyojengwa juu ya hypotenuse, katika mistatili miwili - BHJI na HAKJ, kwa mtiririko huo. Inatokea kwamba maeneo ya rectangles haya ni sawa sawa na maeneo ya mraba yaliyojengwa kwenye miguu inayofanana.
Wacha tujaribu kudhibitisha kuwa eneo la DECA ya mraba ni sawa na eneo la mstatili AHJK Ili kufanya hivyo, tutatumia uchunguzi wa msaidizi: eneo la pembetatu na urefu sawa na msingi. kupewa mstatili, sawa na nusu ya eneo la mstatili uliotolewa. Hii ni matokeo ya kufafanua eneo la pembetatu kama nusu ya bidhaa ya msingi na urefu. Kutoka kwa uchunguzi huu inafuata kwamba eneo la pembetatu ACK ni sawa na eneo la pembetatu AHK (haijaonyeshwa kwenye takwimu), ambayo kwa upande wake ni sawa na nusu ya eneo la mstatili AHJK.
Hebu sasa tuthibitishe kwamba eneo la pembetatu ACK pia ni sawa na nusu ya eneo la DECA ya mraba. Kitu pekee kinachohitajika kufanywa kwa hili ni kudhibitisha usawa wa pembetatu ACK na BDA (kwani eneo la pembetatu BDA ni sawa na nusu ya eneo la mraba kulingana na mali iliyo hapo juu). Usawa huu ni dhahiri, pembetatu ni sawa kwa pande zote mbili na pembe kati yao. Yaani - AB=AK,AD=AC - usawa wa pembe CAK na BAD ni rahisi kudhibitishwa kwa njia ya mwendo: tunazungusha pembetatu CAK 90 ° kinyume cha saa, basi ni dhahiri kwamba pande zinazolingana za pembetatu mbili katika swali litapatana (kutokana na ukweli kwamba pembe kwenye vertex ya mraba ni 90 °).
Hoja ya usawa wa maeneo ya BCFG ya mraba na mstatili BHJI ni sawa kabisa.
Kwa hivyo, tulithibitisha kuwa eneo la mraba lililojengwa kwenye hypotenuse linajumuisha maeneo ya mraba iliyojengwa kwenye miguu. Wazo la uthibitisho huu linaonyeshwa zaidi na uhuishaji hapo juu.
Uthibitisho wa Leonardo da Vinci
Uthibitisho wa Leonardo da Vinci
Vipengele kuu vya uthibitisho ni ulinganifu na mwendo.
Wacha tuchunguze mchoro, kama inavyoweza kuonekana kutoka kwa ulinganifu, sehemu CI hukata mraba ABHJ katika sehemu mbili zinazofanana (tangu pembetatu ABC Na JHI sawa katika ujenzi). Kwa kutumia mzunguko wa digrii 90 kinyume cha saa, tunaona usawa wa takwimu zilizotiwa kivuli CAJI Na GDAB . Sasa ni wazi kuwa eneo la takwimu tuliyoweka kivuli ni sawa na jumla ya nusu ya maeneo ya miraba iliyojengwa kwenye miguu na eneo la pembetatu ya asili. Kwa upande mwingine, ni sawa na nusu ya eneo la mraba lililojengwa kwenye hypotenuse, pamoja na eneo la pembetatu ya asili. Hatua ya mwisho katika uthibitisho imeachwa kwa msomaji.
Uthibitisho kwa njia isiyo na kikomo
Uthibitisho ufuatao kwa kutumia milinganyo tofauti mara nyingi huhusishwa na mwanahisabati maarufu wa Kiingereza Hardy, aliyeishi katika nusu ya kwanza ya karne ya 20.
Kuangalia mchoro ulioonyeshwa kwenye takwimu na kutazama mabadiliko ya upande a, tunaweza kuandika uhusiano ufuatao kwa nyongeza za upande usio na kikomo Na Na a(kwa kutumia kufanana kwa pembetatu):
Uthibitisho kwa njia isiyo na kikomo
Kutumia njia ya kujitenga kwa vigezo, tunapata
Usemi wa jumla zaidi wa mabadiliko katika hypotenuse katika kesi ya nyongeza kwa pande zote mbili
Kuunganisha equation hii na kutumia hali ya awali, tunapata
c 2 = a 2 + b 2 + mara kwa mara.Kwa hivyo tunafikia jibu tunalotaka
c 2 = a 2 + b 2 .Kama ni rahisi kuona, utegemezi wa quadratic katika fomula ya mwisho inaonekana kwa sababu ya uwiano wa mstari kati ya pande za pembetatu na nyongeza, wakati jumla inahusishwa na michango ya kujitegemea kutoka kwa kuongezeka kwa miguu tofauti.
Uthibitisho rahisi zaidi unaweza kupatikana ikiwa tunadhania kuwa moja ya miguu haina uzoefu wa kuongezeka (katika kesi hii, mguu b) Kisha kwa ushirikiano wa mara kwa mara tunapata
Tofauti na generalizations
- Ikiwa badala ya mraba tunaunda takwimu zingine zinazofanana kwenye pande, basi jumla ifuatayo ya nadharia ya Pythagorean ni kweli: Katika pembetatu ya kulia, jumla ya maeneo ni takwimu zinazofanana kujengwa kwa miguu ni sawa na eneo la takwimu iliyojengwa kwenye hypotenuse. Hasa:
- Jumla ya maeneo ya pembetatu ya kawaida iliyojengwa kwa pande ni sawa na eneo hilo pembetatu ya kawaida, imejengwa juu ya hypotenuse.
- Jumla ya maeneo ya semicircles iliyojengwa kwa miguu (kama kwenye kipenyo) ni sawa na eneo la semicircle iliyojengwa kwenye hypotenuse. Mfano huu unatumika kuthibitisha sifa za takwimu zilizofungwa na arcs za miduara miwili na inayoitwa Hippocratic lunulae.
Hadithi
Chu-pei 500-200 BC. Upande wa kushoto ni uandishi: jumla ya mraba wa urefu wa urefu na msingi ni mraba wa urefu wa hypotenuse.
Kitabu cha kale cha Kichina cha Chu-pei kinazungumzia Pembetatu ya Pythagorean na pande za 3, 4 na 5: Katika kitabu hichohicho, mchoro unapendekezwa unaoendana na moja ya michoro ya jiometri ya Kihindu ya Bashara.
Cantor (mwanahistoria mkuu wa Kijerumani wa hisabati) anaamini kwamba usawa wa 3² + 4² = 5² ulikuwa tayari unajulikana kwa Wamisri karibu 2300 KK. e., wakati wa Mfalme Amenemhat wa Kwanza (kulingana na mafunjo 6619 ya Jumba la Makumbusho la Berlin). Kulingana na Cantor, harpedonaptes, au "vivuta kamba", vilijenga pembe za kulia kwa kutumia pembetatu za kulia zenye pande za 3, 4 na 5.
Ni rahisi sana kuzaliana njia yao ya ujenzi. Hebu tuchukue kamba kwa urefu wa m 12 na kuifunga kamba ya rangi kwa umbali wa 3 m. kutoka mwisho mmoja na mita 4 kutoka kwa mwingine. Pembe ya kulia itafungwa kati ya pande za urefu wa mita 3 na 4. Inaweza kupingwa kwa Harpedonaptians kwamba njia yao ya ujenzi inakuwa superfluous ikiwa mtu anatumia, kwa mfano, mraba wa mbao, ambayo hutumiwa na waremala wote. Hakika, michoro za Wamisri zinajulikana ambayo chombo hicho kinapatikana, kwa mfano, michoro zinazoonyesha warsha ya seremala.
Mengi zaidi yanajulikana kuhusu nadharia ya Pythagorean miongoni mwa Wababiloni. Katika andiko moja lililoanzia wakati wa Hammurabi, yaani hadi 2000 KK. e., hesabu takriban ya hypotenuse ya pembetatu ya kulia inatolewa. Kutokana na hili tunaweza kuhitimisha kuwa huko Mesopotamia waliweza kufanya mahesabu na pembetatu za kulia, angalau katika baadhi ya matukio. Kwa msingi, kwa upande mmoja, juu ya kiwango cha sasa cha maarifa juu ya hesabu ya Wamisri na Babeli, na kwa upande mwingine, kwa uchunguzi wa kina wa vyanzo vya Uigiriki, Van der Waerden (mwanahisabati wa Uholanzi) alifikia hitimisho lifuatalo:
Fasihi
Katika Kirusi
- Skopets Z. A. Miniatures za kijiometri. M., 1990
- Elensky Shch. Katika nyayo za Pythagoras. M., 1961
- Van der Waerden B.L. Sayansi ya Kuamsha. Hisabati ya Misri ya Kale, Babeli na Ugiriki. M., 1959
- Glazer G.I. Historia ya hisabati shuleni. M., 1982
- W. Litzman, "Theorem ya Pythagorean" M., 1960.
- Tovuti kuhusu nadharia ya Pythagorean yenye idadi kubwa ya uthibitisho, nyenzo zilizochukuliwa kutoka kwa kitabu na V. Litzmann, idadi kubwa michoro zinawasilishwa kwa namna ya faili tofauti za picha.
- Nadharia ya Pythagorean na sura ya mara tatu ya Pythagorean kutoka kwa kitabu cha D. V. Anosov "Mtazamo wa hisabati na kitu kutoka kwake"
- Kuhusu nadharia ya Pythagorean na mbinu za kuthibitisha G. Glaser, msomi wa Chuo cha Elimu cha Kirusi, Moscow
Kwa Kingereza
- Nadharia ya Pythagorean katika WolframMathWorld
- Cut-The-Knot, sehemu ya nadharia ya Pythagorean, kuhusu thibitisho 70 na maelezo ya ziada ya kina (Kiingereza)
Wikimedia Foundation. 2010.