ni polihedron ambayo huundwa na msingi wa piramidi na sehemu inayofanana nayo. Tunaweza kusema kwamba piramidi iliyopunguzwa ni piramidi iliyokatwa juu. Takwimu hii ina mali nyingi za kipekee:
- Nyuso za upande wa piramidi ni trapezoids;
- Kingo za pembeni za piramidi ya kawaida iliyopunguzwa urefu sawa na kutega msingi kwa pembeni sawa;
- Misingi ni poligoni zinazofanana;
- Katika piramidi iliyopunguzwa ya kawaida, nyuso zinafanana na isosceles trapezoids, eneo ambalo ni sawa. Pia huelekezwa kwa msingi kwa pembe moja.
Njia ya eneo la uso la piramidi iliyopunguzwa ni jumla ya maeneo ya pande zake: 
Kwa kuwa pande za piramidi iliyopunguzwa ni trapezoids, kuhesabu vigezo italazimika kutumia formula. eneo la trapezoid. Kwa piramidi ya kawaida iliyopunguzwa, unaweza kutumia formula tofauti kwa kuhesabu eneo hilo. Kwa kuwa pande zake zote, nyuso, na pembe kwenye msingi ni sawa, inawezekana kutumia mzunguko wa msingi na apothem, na pia hupata eneo hilo kwa njia ya pembe kwenye msingi.
Ikiwa, kwa mujibu wa masharti katika piramidi ya kawaida iliyopunguzwa, apothem (urefu wa upande) na urefu wa pande za msingi hutolewa, basi eneo hilo linaweza kuhesabiwa kupitia nusu ya bidhaa ya jumla ya mzunguko. misingi na nukuu:
Wacha tuangalie mfano wa kuhesabu eneo la uso la piramidi iliyopunguzwa.
Imepewa piramidi ya pentagonal ya kawaida. Apothem l= 5 cm, urefu wa makali katika msingi mkubwa ni a= 6 cm, na makali iko kwenye msingi mdogo b= 4 cm. Kuhesabu eneo la piramidi iliyopunguzwa.
Kwanza, hebu tupate mzunguko wa besi. Kwa kuwa tunapewa piramidi ya pentagonal, tunaelewa kuwa besi ni pentagoni. Hii ina maana kwamba katika msingi kuna takwimu na tano pande zinazofanana. Wacha tupate mzunguko wa msingi mkubwa:
Kwa njia hiyo hiyo tunapata mzunguko wa msingi mdogo:
Sasa tunaweza kuhesabu eneo la piramidi ya kawaida iliyopunguzwa. Badilisha data kwenye fomula:
Kwa hivyo, tulihesabu eneo la piramidi iliyopunguzwa ya kawaida kupitia mizunguko na apothem.
Njia nyingine ya kuhesabu eneo la uso wa piramidi ya kawaida ni formula kupitia pembe kwenye msingi na eneo la besi hizi.
Hebu tuangalie mfano wa hesabu. Tunakumbuka hilo formula hii inatumika tu kwa piramidi ya kawaida iliyopunguzwa.
Acha ile iliyo sahihi itolewe piramidi ya quadrangular. Makali ya msingi wa chini ni = 6 cm, na makali ya msingi wa juu ni b = cm 4. Pembe ya dihedral kwenye msingi ni β = 60 °. Pata eneo la uso la piramidi iliyopunguzwa ya kawaida.
Kwanza, hebu tuhesabu eneo la besi. Kwa kuwa piramidi ni ya kawaida, kingo zote za besi ni sawa kwa kila mmoja. Kwa kuzingatia kwamba msingi ni quadrilateral, tunaelewa kuwa itakuwa muhimu kuhesabu eneo la mraba. Ni bidhaa ya upana na urefu, lakini wakati wa mraba maadili haya ni sawa. Wacha tupate eneo la msingi mkubwa: 
Sasa tunatumia maadili yaliyopatikana kuhesabu eneo la uso wa upande. 
Kujua fomula chache rahisi, tulihesabu kwa urahisi eneo la trapezoid ya nyuma ya piramidi iliyopunguzwa kwa kutumia maadili anuwai.
Sura ya IV. Mistari iliyonyooka na ndege angani. Polyhedra
§ 58. Piramidi na piramidi iliyopunguzwa
Msomaji tayari ana wazo la piramidi kutoka kwa kozi ya jiometri darasa la VIII. Hebu tukumbushe jinsi ya kujenga piramidi. Juu ya uso R Wacha tutengeneze poligoni, kwa mfano pentagoni ABCDE. Nje ya ndege R Hebu tuchukue hatua S. Kwa kuunganisha sehemu ya S na sehemu kwa pointi zote za poligoni, tunapata piramidi ya SABCDE (Mchoro 184).
Point S inaitwa juu, na poligoni ABCDE ni msingi piramidi hii. Kwa hivyo, piramidi yenye S ya juu na msingi ABCDE ni muungano wa sehemu zote ambapo M ABCDE.
Pembetatu SAB, SBC, SCD, SDE, SEA huitwa upande kingo piramidi, vipengele vya kawaida inakabiliwa na SA, SB, SC, SD, SE - mbavu za pembeni.
Piramidi zinaitwa kulingana na idadi ya pande za msingi. Katika Mtini. 185 inaonyesha picha za piramidi za pembetatu, quadrangular na hexagonal.
Ndege inayopita juu ya piramidi na diagonal ya msingi inaitwa diagonal, na sehemu inayotokana ni diagonal. Katika Mtini. 186 moja ya sehemu za diagonal piramidi ya hexagonal yenye kivuli.
Sehemu ya perpendicular inayotolewa kwa njia ya juu ya piramidi kwa ndege ya msingi wake inaitwa urefu wa piramidi (mwisho wa sehemu hii ni juu ya piramidi na msingi wa perpendicular).
Piramidi inaitwa sahihi, ikiwa msingi piramidi - poligoni ya kawaida na sehemu ya juu ya piramidi inaonyeshwa katikati yake.
Wote nyuso za upande piramidi ya kawaida - sanjari pembetatu za isosceles. Piramidi sahihi ina kila kitu mbavu za pembeni sanjari.
Urefu wa uso wa upande wa piramidi ya kawaida inayotolewa kutoka kwenye vertex yake inaitwa apothem piramidi. Maneno yote ya piramidi ya kawaida yanafanana.
Ikiwa tutateua upande wa msingi kama A, na apothem kupitia h, basi eneo la uso wa upande mmoja wa piramidi ni 1/2 ah.
Jumla ya maeneo ya nyuso zote za upande wa piramidi inaitwa eneo la uso wa pembeni piramidi na imeteuliwa na upande wa S.
Kwa sababu uso wa upande piramidi ya kawaida inajumuisha P nyuso zinazolingana, basi
S upande = 1/2 ahn=P h / 2 ,
ambapo P ni mzunguko wa msingi wa piramidi. Kwa hivyo,
S upande =P h / 2
yaani Eneo la uso wa upande wa piramidi ya kawaida ni sawa na nusu ya bidhaa ya mzunguko wa msingi na apothem.
Mraba uso kamili piramidi imehesabiwa na formula
S = S ocn. + S upande. .
Kiasi cha piramidi ni sawa na theluthi moja ya bidhaa ya eneo la msingi wake Socn. kwa urefu H:
V = 1 / 3 S kuu. N.
Upatikanaji wa fomula hii na zingine zitatolewa katika moja ya sura zinazofuata.
Hebu sasa tujenge piramidi kwa njia tofauti. Hebu angle ya polyhedral itolewe, kwa mfano, pentahedral, na vertex S (Mchoro 187).
Hebu tuchore ndege R hivyo kwamba inakatiza kingo zote za iliyotolewa pembe ya polyhedral V pointi tofauti A, B, C, D, E (Mchoro 188). Kisha piramidi ya SABCDE inaweza kuzingatiwa kama makutano ya pembe ya polihedra na nusu ya nafasi na mpaka. R, ambayo vertex S iko.
Kwa wazi, idadi ya nyuso zote za piramidi inaweza kuwa ya kiholela, lakini si chini ya nne. Wakati wa kuvuka pembe tatu Ndege hiyo inageuka kuwa piramidi ya pembetatu yenye pande nne. Piramidi yoyote ya pembetatu wakati mwingine huitwa tetrahedron, ambayo ina maana ya tetrahedron.
Piramidi iliyokatwa inaweza kupatikana ikiwa piramidi inaingiliwa na ndege sambamba na ndege ya msingi.
Katika Mtini. 189 inaonyesha taswira ya piramidi iliyokatwa pembe nne.
Piramidi zilizokatwa pia huitwa triangular, quadrangular, p-angular kulingana na idadi ya pande za msingi. Kutoka kwa ujenzi wa piramidi iliyopunguzwa inafuata kwamba ina misingi miwili: juu na chini. Misingi ya piramidi iliyopunguzwa ni poligoni mbili, ambazo pande zake zinafanana kwa jozi. Nyuso za upande wa piramidi iliyopunguzwa ni trapezoids.
Urefu piramidi iliyopunguzwa ni sehemu ya perpendicular inayotolewa kutoka kwa hatua yoyote ya msingi wa juu hadi ndege ya chini.
Piramidi iliyopunguzwa mara kwa mara inayoitwa sehemu ya piramidi ya kawaida iliyofungwa kati ya msingi na ndege ya sehemu inayofanana na msingi. Urefu wa uso wa upande wa piramidi ya kawaida iliyopunguzwa (trapezoid) inaitwa apothem.
Inaweza kuthibitishwa kuwa piramidi iliyofupishwa ya kawaida ina kingo za kando zinazofanana, nyuso zote za pembeni zinalingana, na nukta zote zinalingana.
Ikiwa katika truncated sahihi n-piramidi ya makaa ya mawe kupitia A Na b n onyesha urefu wa pande za besi za juu na za chini, na kupitia h ni urefu wa apothem, basi eneo la kila upande wa uso wa piramidi ni sawa na
1 / 2 (A + b n) h
Jumla ya maeneo ya nyuso zote za nyuma za piramidi inaitwa eneo la uso wake wa upande na imeteuliwa S upande. . Ni wazi, kwa truncated sahihi n-piramidi ya makaa ya mawe
S upande = n 1 / 2 (A + b n) h.
Kwa sababu pa= P na nb n= P 1 - mzunguko wa besi za piramidi iliyopunguzwa, basi
S upande = 1 / 2 (P + P 1) h,
Hiyo ni, eneo la uso wa kando wa piramidi ya kawaida iliyopunguzwa ni sawa na nusu ya bidhaa ya jumla ya mzunguko wa besi zake na apothem.
Nadharia.Ikiwa piramidi imekatizwa na ndege inayofanana na msingi, basi:
1) mbavu za upande na urefu zitagawanywa katika sehemu za uwiano;
2) katika sehemu ya msalaba utapata poligoni sawa na msingi;
3) maeneo ya sehemu na besi zinahusiana kama miraba ya umbali wao kutoka juu.
Inatosha kuthibitisha theorem kwa piramidi ya triangular.
Kwa kuwa ndege sambamba zimekatizwa na ndege ya tatu kwa mistari sambamba, basi (AB) || (A 1 B 1), (BC) ||(B 1 C 1), (AC) || (A 1 C 1) (Mchoro 190).
Mistari sambamba hukata pande za pembe katika sehemu za uwiano, na kwa hiyo
Kwa hivyo, /\ S.A.B. /\ SA 1 B 1 na
/\ SBC /\ SB 1 C 1 na
Hivyo,
Pembe zinazolingana za pembetatu ABC na A 1 B 1 C 1 zinalingana, kama pembe zilizo na pande zinazofanana na zinazofanana. Ndiyo maana
/\ ABC /\ A 1 B 1 C 1
Viwanja pembetatu zinazofanana yanahusiana kama miraba ya pande zinazolingana:
Piramidi ni polihedron, ambayo uso wake ni poligoni. msingi ), na nyuso zingine zote ni pembetatu zilizo na vertex ya kawaida ( nyuso za upande ) (Mchoro 15). Piramidi inaitwa sahihi , ikiwa msingi wake ni poligoni ya kawaida na juu ya piramidi inakadiriwa katikati ya msingi (Mchoro 16). Piramidi ya pembetatu yenye kingo zote sawa inaitwa tetrahedron .
Ubavu wa pembeni ya piramidi ni upande wa uso wa upande ambao sio wa msingi Urefu piramidi ni umbali kutoka juu yake hadi ndege ya msingi. Mipaka yote ya nyuma ya piramidi ya kawaida ni sawa kwa kila mmoja, nyuso zote za nyuma ni pembetatu sawa za isosceles. Urefu wa uso wa upande wa piramidi ya kawaida inayotolewa kutoka kwenye vertex inaitwa apothem . Sehemu ya diagonal inaitwa sehemu ya piramidi na ndege inayopitia kingo mbili za kando ambazo si za uso mmoja.
Eneo la uso wa baadaye piramidi ni jumla ya maeneo ya nyuso zote za upande. Jumla ya eneo la uso inaitwa jumla ya maeneo ya nyuso zote za upande na msingi.
Nadharia
1. Ikiwa katika piramidi kingo zote za kando zimeelekezwa kwa ndege ya msingi, basi sehemu ya juu ya piramidi inakadiriwa katikati ya duara iliyozungukwa karibu na msingi.
2. Ikiwa kingo zote za upande wa piramidi zina urefu sawa, basi sehemu ya juu ya piramidi inakadiriwa katikati ya duara iliyozunguka karibu na msingi.
3. Ikiwa nyuso zote katika piramidi zimeelekezwa kwa usawa kwenye ndege ya msingi, basi juu ya piramidi inakadiriwa katikati ya mduara ulioandikwa kwenye msingi.
Ili kuhesabu kiasi cha piramidi ya kiholela, formula sahihi ni:
Wapi V- kiasi;
S msingi- eneo la msingi;
H- urefu wa piramidi.
Kwa piramidi ya kawaida, fomula zifuatazo ni sahihi:
Wapi uk- mzunguko wa msingi;
h a- apothem;
H- urefu;
S kamili
S upande
S msingi- eneo la msingi;
V- kiasi cha piramidi ya kawaida.
Piramidi iliyokatwa inayoitwa sehemu ya piramidi iliyofungwa kati ya msingi na ndege ya kukata sambamba na msingi wa piramidi (Mchoro 17). Piramidi iliyopunguzwa mara kwa mara inayoitwa sehemu ya piramidi ya kawaida iliyofungwa kati ya msingi na ndege ya kukata sambamba na msingi wa piramidi.
Sababu piramidi iliyopunguzwa - poligoni zinazofanana. Nyuso za upande - trapezoids. Urefu ya piramidi iliyopunguzwa ni umbali kati ya besi zake. Ulalo piramidi iliyopunguzwa ni sehemu inayounganisha wima ambazo hazilala kwenye uso mmoja. Sehemu ya diagonal ni sehemu ya piramidi iliyokatwa na ndege inayopita kwenye kingo mbili za kando ambazo si za uso mmoja.
Kwa piramidi iliyopunguzwa fomula zifuatazo ni halali:
(4)
Wapi S 1 , S 2 - maeneo ya besi ya juu na ya chini;
S kamili- eneo la jumla la uso;
S upande- eneo la uso wa upande;
H- urefu;
V- kiasi cha piramidi iliyopunguzwa.
Kwa piramidi ya kawaida iliyopunguzwa formula ni sahihi:
Wapi uk 1 , uk 2 - mzunguko wa besi;
h a- apothem ya piramidi ya kawaida iliyopunguzwa.
Mfano 1. Katika piramidi ya kawaida ya pembetatu, pembe ya dihedral kwenye msingi ni 60º. Pata tangent ya angle ya mwelekeo wa makali ya upande kwa ndege ya msingi.
Suluhisho. Hebu tufanye kuchora (Mchoro 18).
Piramidi ni sahihi, ikimaanisha kwenye msingi pembetatu ya usawa na nyuso zote za upande ni pembetatu sawa za isosceles. Pembe ya dihedral kwenye msingi ni pembe ya mwelekeo wa uso wa upande wa piramidi kwa ndege ya msingi. Pembe ya mstari kutakuwa na pembe a kati ya perpendiculars mbili: nk. Sehemu ya juu ya piramidi inaonyeshwa katikati ya pembetatu (katikati ya duara na mduara ulioandikwa wa pembetatu. ABC) Pembe ya mwelekeo wa makali ya upande (kwa mfano S.B.) ni pembe kati ya makali yenyewe na makadirio yake kwenye ndege ya msingi. Kwa ubavu S.B. pembe hii itakuwa pembe SBD. Ili kupata tangent unahitaji kujua miguu HIVYO Na O.B.. Acha urefu wa sehemu BD sawa na 3 A. Nukta KUHUSU sehemu ya mstari BD imegawanywa katika sehemu: na Kutoka tunapata HIVYO: Kutoka tunapata:
Jibu:
Mfano 2. Pata kiasi cha piramidi ya kawaida ya quadrangular iliyopunguzwa ikiwa diagonals ya besi zake ni sawa na cm na cm, na urefu wake ni 4 cm.
Suluhisho. Ili kupata kiasi cha piramidi iliyopunguzwa, tunatumia formula (4). Ili kupata eneo la besi, unahitaji kupata pande za mraba wa msingi, ukijua diagonal zao. Pande za besi ni sawa na 2 cm na 8 cm, kwa mtiririko huo. Hii ina maana maeneo ya besi na Kubadilisha data zote kwenye fomula, tunahesabu kiasi cha piramidi iliyopunguzwa:
Jibu: 112 cm 3.
Mfano 3. Pata eneo la uso wa nyuma wa piramidi ya kawaida ya pembetatu iliyopunguzwa, pande za besi ambazo ni 10 cm na 4 cm, na urefu wa piramidi ni 2 cm.
Suluhisho. Hebu tufanye kuchora (Mchoro 19).
Uso wa upande wa piramidi hii ni trapezoid ya isosceles. Ili kuhesabu eneo la trapezoid, unahitaji kujua msingi na urefu. Misingi hutolewa kulingana na hali, urefu tu bado haujulikani. Tutampata kutoka wapi A 1 E perpendicular kutoka kwa uhakika A 1 kwenye ndege ya msingi wa chini, A 1 D- perpendicular kutoka A 1 kwa AC. A 1 E= 2 cm, kwa kuwa hii ni urefu wa piramidi. Kutafuta DE Hebu tufanye mchoro wa ziada unaoonyesha mtazamo wa juu (Mchoro 20). Nukta KUHUSU- makadirio ya vituo vya besi za juu na za chini. tangu (tazama Mchoro 20) na Kwa upande mwingine sawa- radius iliyoandikwa kwenye mduara na OM- radius iliyoandikwa kwenye mduara:
MK = DE.
Kulingana na nadharia ya Pythagorean kutoka
Sehemu ya uso wa upande:
Jibu:
Mfano 4. Chini ya piramidi iko trapezoid ya isosceles, ambayo msingi wake A Na b (a> b) Kila uso wa upande huunda pembe sawa na ndege ya msingi wa piramidi j. Pata jumla ya eneo la piramidi.
Suluhisho. Hebu tufanye kuchora (Mchoro 21). Jumla ya eneo la piramidi SABCD sawa na jumla ya maeneo na eneo la trapezoid ABCD.
Wacha tutumie taarifa kwamba ikiwa nyuso zote za piramidi zimeelekezwa kwa usawa kwenye ndege ya msingi, basi vertex inakadiriwa katikati ya duara iliyoandikwa kwenye msingi. Nukta KUHUSU- makadirio ya vertex S kwenye msingi wa piramidi. Pembetatu SOD ni makadirio ya othogonal ya pembetatu CSD kwa ndege ya msingi. Kwa nadharia ya eneo makadirio ya orthogonal sura ya gorofa tunapata:
Vile vile, hii ina maana kwamba tatizo limepunguzwa kwa kutafuta eneo la trapezoid ABCD. Wacha tuchore trapezoid ABCD tofauti (Mchoro 22). Nukta KUHUSU- katikati ya duara iliyoandikwa kwenye trapezoid.
Kwa kuwa mduara unaweza kuandikwa kwenye trapezoid, basi au Kutoka kwa nadharia ya Pythagorean tunayo.
Kisha
Eneo la trapezoid:
Jibu:
Mfano 5. Msingi wa piramidi ni pembetatu ya usawa na upande A. Moja ya nyuso za upande ni pembetatu ya kulia ya isosceles, ndege ambayo ni perpendicular kwa ndege ya msingi. Pata eneo la uso la piramidi.
Suluhisho. Hebu tufanye kuchora (Mchoro 23).
Sehemu ya uso ya piramidi hii SABC inajumuisha jumla ya maeneo ya nyuso zake za upande. Nyuso za pembeni ni pembetatu, moja ikiwa ya mstatili na isosceles (), zingine mbili ni. pembetatu sawa Hebu fikiria - kulingana na hali. Hebu tuhesabu eneo lake: Kwa kuwa ni isosceles, basi na tangu wakati huo na kwa hiyo ndani
Kisha
Hebu tuzingatie S.E. tunapata kutoka Kwa nadharia ya Pythagorean tunayo Tunapata DE. Kwa kufanya hivyo, fikiria pembetatu ya equilateral ya msingi (Mchoro 24). Katika sehemu DE ni mstari wa kati, ambayo ina maana sisi kupata S.E.:
Sehemu ya uso ya piramidi ni:
Jibu:
Kazi za uamuzi wa kujitegemea
Mimi ngazi
1.1. Makali ya pembeni ya piramidi ya kawaida ya quadrangular ni sawa na diagonal ya msingi, urefu ambao ni cm, Tafuta urefu wa piramidi na upande wa msingi wake.
1.2. Msingi wa piramidi ni pembetatu yenye pande 6 cm, 8 cm na cm 10. Nyuso za upande zinakabiliwa na ndege ya msingi kwa pembe ya 60º. Tafuta urefu wa piramidi.
1.3. Pata eneo la jumla la piramidi ya kawaida ya hexagonal, ukijua kwamba apothem ni 10 cm na radius ya mduara iliyozunguka msingi ni 6 cm.
1.4. Pata urefu wa piramidi ya kawaida ya quadrangular ambayo upande wake ni 6 cm ikiwa kiasi chake ni sawa na kiasi cha mchemraba na upande wa 4 cm.
1.5. Mipaka ya pembeni ya piramidi ya pembetatu ni ya pande zote na ni sawa b. Tafuta kiasi cha piramidi.
1.6. Pande za besi za piramidi ya kawaida ya truncated quadrangular ni 8 cm na cm 4. Makali ya upande ni cm.. Pata urefu wa piramidi.
1.7. Kingo za pembeni za piramidi ya kawaida iliyopunguzwa ya hexagonal huelekezwa kwenye ndege ya msingi wa chini kwa pembe ya 45º. Pande za besi ni 10 cm na cm 5. Pata urefu wa makali ya upande na urefu wa piramidi.
1.8. Uso wa pembeni wa piramidi iliyopunguzwa ya heptagonal ni isosceles trapezoid, mstari wa kati ambayo ni sm 13 na urefu wa sm 8. Kokotoa eneo la uso wa kando wa piramidi.
1.9. Jumla ya eneo la piramidi iliyopunguzwa ya pembetatu ni sawa na cm 2. Pande za besi ni 10 cm na cm 6. Pata tangent ya angle kati ya makali ya upande na upande wa msingi wa chini.
1.10. Katika piramidi ya kawaida ya quadrangular iliyopunguzwa, pande za besi ni 5 cm na 17 cm, nyuso za upande zimeelekezwa kwa ndege ya msingi kwa pembe ya 45º. Kuhesabu kiasi cha piramidi.
Kiwango cha II
2.1. Kwa kutumia upande wa msingi sawa na cm 5 na urefu sawa na cm 12, pata apothem na makali ya pembeni ya piramidi ya kawaida ya hexagonal.
2.2. Pata umbali kati ya vituo vya miduara iliyoandikwa kwenye nyuso za karibu za tetrahedron. Radi ya duara ni dm.
2.3. Msingi wa piramidi ni rhombus yenye upande wa cm 6 na pembe ya 45º, yote. pembe za dihedral na pande za msingi wa piramidi sawa na 30º. Kuhesabu jumla ya eneo la piramidi.
2.4. Katika piramidi ya kawaida ya pembetatu, makali ya upande ni 8 cm, na pembe ya gorofa kwenye kilele ni 30º. Pata jumla ya eneo la piramidi.
2.5. Moja ya wengi majengo makubwa ya zamani - piramidi ya Cheops - ina sura ya piramidi ya kawaida ya quadrangular yenye urefu wa m 150 na makali ya upande wa m 220. Pata kiasi cha piramidi hii.
2.6. Amua kiasi cha piramidi ya kawaida ya pembetatu ikiwa uso wa upande umeelekezwa kwa ndege ya msingi kwa pembe ya 60º na kuondolewa kutoka. vertex kinyume kwa umbali wa cm 3.
2.7. Katika piramidi ya kawaida ya quadrangular truncated, pande za besi ni 15 dm na 5 dm. Sehemu ya sehemu ya mlalo yenye mlalo ni sawa na dm 2. Pata jumla ya eneo la piramidi.
2.8. Misingi ya piramidi iliyopunguzwa ni pembetatu za isosceles, zao pande sawa- 8 cm na 4 cm, pembe kwenye wima ya pembetatu ni sawa na 120º. Makali yanayopita kwenye wima ya pembe hizi ni ya kawaida kwa ndege ya besi na ni sawa na cm 3. Kuhesabu eneo la uso wa upande wa piramidi.
2.9. Piramidi ya kawaida ya quadrangular, upande wa msingi ambao ni 1500 cm na urefu ni 2000 cm, inaunganishwa na ndege sambamba na msingi. Pata kiasi cha piramidi iliyopunguzwa ikiwa urefu wake ni 1400 cm.
2.10. Katika piramidi ya kawaida ya truncated ya triangular, pande za besi ni 7 cm na 3 cm, na apothem ni cm 5. Pata kiasi cha piramidi.
3.1. Msingi wa piramidi ni pembetatu ya usawa. Moja ya nyuso za nyuma za piramidi ni sawa na ndege ya msingi, zingine mbili zinaunda pembe na ndege ya msingi. a. Tafuta cosine ya pembe kati ya nyuso hizi.
3.2. Wote sehemu za diagonal piramidi ya kawaida ya hexagonal SABCDEF sawa kwa ukubwa. Pata pembe kati ya ndege ya msingi na ndege ya kukata S.A.C..
3.3. Nukta M- katikati ya mbavu S.B. piramidi SABC, msingi ambao ni pembetatu ya kawaida ABC, na makali ya upande S.C. perpendicular kwa ndege ABC Na S.C. = 2AB. Tafuta umbali kutoka kwa uhakika M kwa mstari ulionyooka A.C., Kama AB = a.
3.4. Msingi wa piramidi ni rhombus yenye upande A na angle ya papo hapo a. Nyuso mbili za upande ni za msingi kwa msingi, na zingine mbili zimeelekezwa kwake kwa pembe j. Pata eneo la uso la piramidi.
3.5. Msingi wa piramidi ni trapezoid ya isosceles, kona kali ambayo a, na eneo hilo Q. Kila uso wa upande huunda pembe na msingi b. Tafuta kiasi cha piramidi.
3.16. Msingi wa piramidi iliyopunguzwa ni mstatili na pande 6 cm na cm 8. Moja ya kando ya upande ni perpendicular kwa ndege ya msingi na ni sawa na cm 7. Kilele cha msingi wa juu kinapangwa kwenye hatua ya makutano ya diagonals ya msingi wa chini. Pata urefu wa kingo za upande uliobaki na pembe ya mwelekeo wa makali ya upande mkubwa kwa ndege ya msingi.
3.7. Misingi ya piramidi iliyopunguzwa ni mraba na pande za cm 8 na cm 4. Moja ya nyuso za upande ni perpendicular kwa ndege ya msingi na ni. trapezoid ya isosceles. Uso ulio kinyume chake huunda pembe ya 60º na ndege ya msingi. Pata eneo la nyuso za nyuma za piramidi.
3.8. Pande za besi na urefu wa piramidi ya kawaida ya quadrangular iliyopunguzwa iko katika uwiano wa 7: 4: 2, eneo la uso wa upande ni 110 dm 2. Kuhesabu jumla ya eneo la piramidi.
3.9. Pata kiasi cha piramidi ya kawaida iliyopunguzwa ya pembetatu ambayo pande za besi ni 3 m na 2 m, na eneo la uso wa upande ni sawa na jumla ya maeneo ya besi.
3.10. Pande za besi za piramidi ya kawaida ya quadrangular truncated ni sawa na 2 cm na 1 cm, urefu ni cm 3. Kupitia hatua ya makutano ya diagonals ya piramidi, sambamba na misingi ya piramidi, kuna ndege. kugawanya piramidi katika sehemu mbili. Pata kiasi cha kila sehemu inayosababisha.
Silinda
Uso wa cylindrical ni uso unaoundwa na mistari yote iliyonyooka inayopitia kila sehemu ya mkunjo uliopeanwa sambamba na mstari uliotolewa moja kwa moja (Mchoro 25).
Curve hii inaitwa mwongozo , na mistari iliyonyooka - kutengeneza uso wa cylindrical.
Sawa ya uso wa mviringo wa silinda ni uso unaoundwa na mistari yote iliyonyooka inayopita katika kila nukta ya duara fulani iliyo sawa na ndege ya duara hii. Katika kile kinachofuata tutaita kwa ufupi uso huu wa cylindrical (Mchoro 26).
Silinda(silinda moja kwa moja ya mviringo) inaitwa mwili wa kijiometri, mdogo na uso wa cylindrical na ndege mbili za sambamba ambazo ni perpendicular kwa jenereta za uso (Mchoro 27).
Silinda inaweza kuzingatiwa kama mwili unaopatikana kwa kuzungusha mstatili kuzunguka mhimili ulio na moja ya pande za mstatili.
Miduara miwili inayofunga silinda inaitwa yake sababu . Mstari wa moja kwa moja unaopita katikati ya miduara hii inaitwa mhimili silinda. Sehemu zinazounda uso wa cylindrical huitwa kutengeneza silinda. Urefu ya silinda ni umbali kati ya besi zake. Sehemu ya Axial inayoitwa sehemu inayopita kwenye mhimili wa silinda. silinda inaitwa mstatili na pande sawa na urefu mzunguko wa msingi na urefu wa jenereta ya silinda.
| ABC, ambayo miguu yake ni kipenyo cha msingi AC na urefu Jua, na hypotenuse ni diagonal ya sehemu AB. Kwa kuwa ni isosceles na AC = BC = 8 cm AC- kipenyo kinamaanisha radius |
Mchele. 32 Mtini. 33 Mtini. 34
Koni inaweza kuzingatiwa kama mwili unaopatikana kwa mzunguko pembetatu ya kulia karibu na mhimili ulio na moja ya miguu ya pembetatu.
Mduara unaofunga koni unaitwa yake msingi . Vertex ya uso wa conical inaitwa juu koni Sehemu inayounganisha vertex ya koni na katikati ya msingi wake inaitwa urefu koni Makundi kutengeneza uso wa conical, zinaitwa kutengeneza koni Mhimili ya koni ni mstari wa moja kwa moja unaopita juu ya koni na katikati ya msingi wake. Sehemu ya Axial inayoitwa sehemu inayopita kwenye mhimili wa koni. Maendeleo ya uso wa upande Koni inaitwa sekta, radius ambayo ni sawa na urefu wa jenereta ya koni, na urefu wa arc ya sekta hiyo ni sawa na mzunguko wa msingi wa koni.
Njia sahihi za koni ni:
Wapi R- radius ya msingi;
H- urefu;
l- urefu wa jenereta;
S msingi- eneo la msingi;
S upande- eneo la uso wa upande;
S kamili- eneo la jumla la uso;
V- kiasi cha koni.
Koni iliyokatwa inayoitwa sehemu ya koni iliyofungwa kati ya msingi na ndege ya kukata sambamba na msingi wa koni (Mchoro 35).
Koni iliyokatwa inaweza kuzingatiwa kama mwili unaopatikana kwa mzunguko trapezoid ya mstatili karibu na mhimili ulio na upande trapezoid perpendicular kwa besi.
Miduara miwili inayofunga koni inaitwa yake sababu . Urefu ya koni iliyopunguzwa ni umbali kati ya besi zake. Sehemu zinazounda uso wa conical wa koni iliyokatwa huitwa kutengeneza . Mstari wa moja kwa moja unaopita katikati ya besi huitwa mhimili koni iliyopunguzwa. Sehemu ya Axial inayoitwa sehemu inayopita kwenye mhimili wa koni iliyokatwa.
Kwa koni iliyopunguzwa fomula sahihi ni:
(8)
Wapi R- radius ya msingi wa chini;
r- radius ya msingi wa juu;
H- urefu, l - urefu wa jenereta;
S upande- eneo la uso wa upande;
S kamili- eneo la jumla la uso;
V- kiasi cha koni iliyokatwa.
Mfano 1. Sehemu ya msalaba ya koni sambamba na msingi hugawanya urefu kwa uwiano wa 1: 3, kuhesabu kutoka juu. Pata eneo la uso wa koni iliyokatwa ikiwa radius ya msingi na urefu wa koni ni 9 cm na 12 cm.
Suluhisho. Hebu tufanye kuchora (Kielelezo 36).