Wakati wa kupata fomula ya kwanza kabisa ya jedwali, tutaendelea kutoka kwa ufafanuzi wa kazi ya derivative kwa uhakika. Tupeleke wapi x- yoyote nambari halisi, hiyo ni, x- nambari yoyote kutoka kwa kikoa cha ufafanuzi wa chaguo la kukokotoa. Wacha tuandike kikomo cha uwiano wa nyongeza ya chaguo za kukokotoa hadi nyongeza ya hoja katika : 
Ikumbukwe kwamba chini ya ishara ya kikomo usemi hupatikana, ambayo sio kutokuwa na uhakika wa sifuri kugawanywa na sifuri, kwani nambari haina thamani isiyo na kipimo, lakini kwa usahihi sifuri. Kwa maneno mengine, ongezeko la kazi ya mara kwa mara daima ni sifuri.
Hivyo, derivative ya kazi ya mara kwa marani sawa na sufuri katika kikoa kizima cha ufafanuzi.
Inatokana na utendaji kazi wa nguvu.
Fomula ya derivative kazi ya nguvu inaonekana kama 
, ambapo kielelezo uk- nambari yoyote halisi.
Hebu kwanza tuthibitishe fomula ya kielelezo asilia, yaani, kwa p = 1, 2, 3, ...
Tutatumia ufafanuzi wa derivative. Wacha tuandike kikomo cha uwiano wa nyongeza ya chaguo za kukokotoa hadi uongezaji wa hoja: 
Ili kurahisisha usemi katika nambari, tunageukia formula ya Newton binomial: 
Kwa hivyo, 
Hii inathibitisha fomula ya derivative ya chaguo za kukokotoa za nguvu kwa kipeo asilia.
Nyingine ya kipengele cha kukokotoa cha kukokotoa.
Tunawasilisha chimbuko la fomula ya derivative kulingana na ufafanuzi:
Tumefika kwa kutokuwa na uhakika. Ili kuipanua, tunatanguliza kigezo kipya, na kwa . Kisha. Katika mpito uliopita, tulitumia fomula ya kuhamia msingi mpya wa logarithmic.
Wacha tubadilishe kikomo cha asili: 
Ikiwa unakumbuka ya pili kikomo cha ajabu, kisha tunafika kwenye fomula ya derivative ya chaguo la kukokotoa la kielelezo: 
Nyingine ya kitendakazi cha logarithmic.
Hebu tuthibitishe fomula ya derivative ya kitendakazi cha logarithmic kwa wote x kutoka kwa kikoa cha ufafanuzi na maadili yote halali ya msingi a logarithm Kwa ufafanuzi wa derivative tunayo: 
Kama ulivyoona, wakati wa uthibitisho mabadiliko yalifanywa kwa kutumia mali ya logarithm. Usawa 
ni kweli kutokana na kikomo cha pili cha ajabu.
Viingilio vya kazi za trigonometric.
Ili kupata fomula za viambajengo vya utendakazi wa trigonometriki, itabidi tukumbuke baadhi ya fomula za trigonometria, pamoja na kikomo cha kwanza cha ajabu.
Kwa ufafanuzi wa kinyambulisho cha chaguo za kukokotoa za sine tulicho nacho 
.
Wacha tutumie tofauti ya formula ya sines: 
Inabaki kugeukia kikomo cha kwanza cha kushangaza: 
Hivyo, derivative ya kazi dhambi x Kuna kwani x.
Fomula ya derivative ya cosine imethibitishwa kwa njia sawa kabisa. 
Kwa hiyo, derivative ya kazi kwani x Kuna - dhambi x.
Tutapata fomula za jedwali la derivatives za tangent na cotangent kwa kutumia sheria zilizothibitishwa za utofautishaji (derivative ya sehemu). 
Viingilio vya kazi za hyperbolic.
Sheria za upambanuzi na fomula ya kinyago cha chaguo za kukokotoa kielezio kutoka kwa jedwali la viini huturuhusu kupata fomula za viasili vya sine, kosine, tanjiti na kotanjiti. 
Nyingine ya chaguo za kukokotoa kinyume.
Ili kuzuia mkanganyiko wakati wa uwasilishaji, wacha tuonyeshe katika usajili hoja ya kazi ambayo utofautishaji unafanywa, ambayo ni, ni derivative ya kazi. f(x) Na x.
Sasa hebu tutengeneze kanuni ya kutafuta derivative utendaji wa kinyume.
Wacha kazi y = f(x) Na x = g(y) kinyume, iliyofafanuliwa kwa vipindi na kwa mtiririko huo. Ikiwa kwa uhakika kuna derivative isiyo ya sifuri ya kitendakazi f(x), basi katika hatua kuna derivative ya mwisho ya kazi ya kinyume g(y), na 
. Katika chapisho jingine 
.
Sheria hii inaweza kubadilishwa kwa yoyote x kutoka kwa muda, basi tunapata 
.
Wacha tuangalie uhalali wa fomula hizi.
Hebu tutafute kitendakazi kinyume cha logarithm asili 
(Hapa y ni kazi, na x- hoja). Baada ya kusuluhisha equation hii kwa x, tunapata (hapa x ni kazi, na y- hoja yake). Hiyo ni, 
na vitendaji vilivyo kinyume.
Kutoka kwa jedwali la derivatives tunaona hivyo 
Na 
.
Wacha tuhakikishe kuwa fomula za kupata vitokaji vya chaguo la kukokotoa kinyume hutuongoza kwenye matokeo sawa: 
Uthibitisho na chimbuko la fomula ya kinyago cha sine - sin(x) imewasilishwa. Mifano ya kukokotoa viasili vya sin 2x, sine mraba na mchemraba. Utoaji wa fomula ya kinyago cha nth ili sine.
Dawa inayotokana na kutofautisha x kutoka sine ya x ni sawa na kosine ya x:
(dhambi x)′ = cos x.
Ushahidi
Ili kupata fomula ya derivative ya sine, tutatumia ufafanuzi wa derivative:
.
Ili kupata kikomo hiki, tunahitaji kubadilisha usemi kwa njia ya kupunguza kuwa sheria, mali na sheria zinazojulikana. Ili kufanya hivyo tunahitaji kujua mali nne.
1)
Maana ya kikomo cha kwanza cha kushangaza:
(1)
;
2)
Mwendelezo wa kazi ya cosine:
(2)
;
3)
Fomula za Trigonometric. Tutahitaji formula ifuatayo:
(3)
;
4)
Kikomo cha mali:
Ikiwa na, basi
(4)
.
Wacha tuzitumie sheria hizi kwa kikomo chetu. Kwanza tunabadilisha usemi wa aljebra
.
Ili kufanya hivyo, tunatumia formula
(3)
.
Kwa upande wetu
; . Kisha
;
;
;
.
Sasa wacha tufanye badala. Katika , . Wacha tutumie kikomo cha kwanza cha kushangaza (1):
.
Wacha tufanye mbadala sawa na tutumie mali ya mwendelezo (2):
.
Kwa kuwa mipaka iliyohesabiwa hapo juu ipo, tunatumia kipengele (4):
.
Fomula ya derivative ya sine imethibitishwa.
Mifano
Hebu tuzingatie mifano rahisi kutafuta viini vya chaguo za kukokotoa zilizo na sine. Tutapata derivatives ya kazi zifuatazo:
y = dhambi 2x; y = dhambi 2 x na y = dhambi 3 x.
Mfano 1
Tafuta derivative ya dhambi 2x.
Suluhisho
Kwanza, wacha tupate derivative ya sehemu rahisi zaidi:
(2x)′ = 2(x)′ = 2 1 = 2.
Tunatuma maombi.
.
Hapa .
Jibu
(dhambi 2x)′ = 2 cos 2x.
Mfano 2
Tafuta kitoleo cha sine mraba:
y = dhambi 2 x.
Suluhisho
Wacha tuandike tena kazi asilia kwa njia inayoeleweka zaidi:
.
Wacha tupate derivative ya sehemu rahisi zaidi:
.
Tumia fomula ya derivative kazi tata.
.
Hapa .
Unaweza kutumia moja ya fomula za trigonometry. Kisha
.
Jibu
Mfano 3
Tafuta derivative ya sine cubed:
y = dhambi 3 x.
Vito vya mpangilio wa juu
Kumbuka kwamba derivative ya dhambi x agizo la kwanza linaweza kuonyeshwa kupitia sine kama ifuatavyo:
.
Wacha tupate derivative ya mpangilio wa pili kwa kutumia fomula ya derivative ya kazi ngumu:
.
Hapa .
Sasa tunaweza kugundua utofauti huo dhambi x husababisha hoja yake kuongezeka kwa . Kisha derivative ya agizo la nth ina fomu:
(5)
.
Hebu tuthibitishe hili kwa kutumia mbinu induction ya hisabati.
Tayari tumeangalia kuwa kwa , fomula (5) ni halali.
Hebu tuchukulie kwamba fomula (5) ni halali kwa thamani fulani. Wacha tuthibitishe kwamba inafuata kutoka kwa hii kwamba fomula (5) imeridhika kwa .
Wacha tuandike fomula (5) kwa:
.
Tunatofautisha equation hii kwa kutumia sheria ya kutofautisha kazi ngumu:
.
Hapa .
Kwa hivyo tulipata:
.
Ikiwa tutabadilisha , basi fomula hii itachukua fomu (5).
Fomula imethibitishwa.
Derivatives ya inverses zinawasilishwa kazi za trigonometric na kupatikana kwa fomula zao. Vielezi vya viasili vya hali ya juu pia vinatolewa. Viungo vya kurasa zilizo na zaidi taarifa ya kina fomula za pato.
Kwanza, tunapata fomula ya derivative ya arcsine. Hebu
y = arcsin x.
Kwa kuwa arcsine ni kazi inverse ya sine, basi
.
Hapa y ni kazi ya x. Tofautisha kwa heshima na kutofautisha x:
.
Tunatuma maombi:
.
Kwa hivyo tulipata:
.
Kwa sababu, basi. Kisha
.
Na formula iliyotangulia inachukua fomu:
. Kutoka hapa
.
Kwa njia hii haswa, unaweza kupata fomula ya derivative ya arc cosine. Walakini, ni rahisi kutumia fomula inayohusiana na vitendaji kinyume vya trigonometric:
.
Kisha
.
Maelezo ya kina zaidi yanawasilishwa kwenye ukurasa "Upatikanaji wa derivatives ya arcsine na arccosine". Hapo imetolewa derivatives kwa njia mbili- iliyojadiliwa hapo juu na kulingana na fomula ya derivative ya kazi ya inverse.
Utoaji wa derivatives ya arctangent na arccotangent
Kwa njia hiyo hiyo tutapata derivatives ya arctangent na arccotangent.
Hebu
y = arctan x.
Actangent ni kitendakazi kinyume cha tanjiti:
.
Tofautisha kwa heshima na kutofautisha x:
.
Tunatumia fomula ya derivative ya kazi changamano:
.
Kwa hivyo tulipata:
.
Derivative ya arc cotangent:
.
Dawa za arcsine
Hebu
.
Tayari tumepata derivative ya mpangilio wa kwanza wa arcsine:
.
Kwa kutofautisha, tunapata derivative ya mpangilio wa pili:
;
.
Inaweza pia kuandikwa katika fomu ifuatayo:
.
Kutoka hapa tunapata equation tofauti, ambayo imeridhika na derivatives ya arcsine ya maagizo ya kwanza na ya pili:
.
Kwa kutofautisha mlingano huu, tunaweza kupata viingilio vya mpangilio wa juu.
Inatokana na arcsine ya mpangilio wa nth
Derivative ya arcsine ya mpangilio wa nth ina mtazamo unaofuata:
,
iko wapi polynomial ya digrii. Imedhamiriwa na formula:
;
.
Hapa .
Polynomial inakidhi mlinganyo wa kutofautisha:
.
Inatokana na arccosine ya mpangilio wa nth
Viingilio vya arc cosine hupatikana kutoka kwa viasili vya arc sine kwa kutumia fomula ya trigonometric:
.
Kwa hivyo, derivatives ya kazi hizi hutofautiana tu kwa ishara:
.
Derivatives ya arctangent
Hebu .
.
Tulipata derivative ya arc cotangent ya mpangilio wa kwanza:
.
Wacha tugawanye sehemu hiyo kwa fomu yake rahisi:
Hapa kuna kitengo cha kufikiria,.
.
Tunatofautisha mara moja na kuleta sehemu kwa dhehebu moja:
.
Kubadilisha, tunapata:
Inatokana na arctangent ya mpangilio wa nth
;
.
Kwa hivyo, derivative ya arctangent ya mpangilio wa nth inaweza kuwakilishwa kwa njia kadhaa:
Miche ya arc cotangent
.
Hebu iwe sasa. Wacha tutumie fomula inayounganisha vitendaji tofauti vya trigonometric:
.
Kisha derivative ya mpangilio wa nth ya tangent ya arc hutofautiana tu katika ishara kutoka kwa derivative ya tangent ya arc:
.
Kubadilisha , tunapata:
Marejeleo: N.M. Gunter, R.O. Kuzmin, Mkusanyiko wa matatizo kwenye hisabati ya juu