Si mara zote inawezekana kukokotoa viambatanisho kwa kutumia fomula ya Newton-Leibniz. Sio viungo vyote vilivyo na antiderivatives ya kazi za msingi, kwa hivyo kupata nambari halisi inakuwa isiyo ya kweli. Wakati wa kutatua shida kama hizo, sio lazima kila wakati kupata majibu kamili kwenye pato. Kuna dhana ya takriban thamani ya muunganisho, ambayo imebainishwa na njia ya ujumuishaji wa nambari kama vile njia ya mistatili, trapezoids, Simpson na zingine.
Nakala hii imetolewa mahsusi kwa sehemu hii, kupata maadili takriban.
Kiini cha njia ya Simpson kitatambuliwa, tutapata fomula ya mstatili na makadirio ya kosa kabisa, njia ya pembetatu ya kulia na kushoto. Katika hatua ya mwisho, tutaunganisha ujuzi wetu kwa kutatua matatizo na maelezo ya kina.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Kiini cha njia ya mstatili
Ikiwa kazi y = f (x) ina mwendelezo kwenye muda [ a ; b ] na ni muhimu kuhesabu thamani ya kiungo ∫ a b f (x) d x .
Inahitajika kutumia dhana ya kiunganishi kisicho na kikomo. Kisha unapaswa kugawanya sehemu [a; b] kwa nambari n ya sehemu x i - 1; x i, i = 1, 2, . . . . , n, ambapo a = x 0< x 1 < x 2 < . . . < x n - 1 < x n = b . В промежутке отрезка x i - 1 ; x i , i = 1 , 2 , . . . , n выберем точку со значением ζ i . Из определения имеем, что существует определенный тип интегральных сумм при бесконечном уменьшении длины элементарного отрезка, который уже разбили. Это выражается формулой λ = m a x i = 1 , 2 , . . . , n (x i - x i - 1) → 0 , тогда получаем, что любая из таких интегральных сумм – приближенное значение интеграла ∫ a b f (x) d x ≈ ∑ i = 1 n f (ζ i) · (x i - x i - 1) .
Kiini cha njia ya mstatili ni kwamba thamani ya takriban inachukuliwa kuwa jumla muhimu.
Ikiwa tutagawanya sehemu inayoweza kuunganishwa [a; b] ndani ya sehemu zinazofanana kwa uhakika h, basi tunapata = x 0, x 1 = x 0 + h, x 2 = x 0 + 2 h, x 2 = x 0 + 2 h. . . , x - 1 = x 0 + (n - 1) h , x n = x 0 + n h = b, yaani, h = x i - x i - 1 = b - a n, i = 1, 2, . . . , n. Viini vya pointi ζ i huchaguliwa kuwa sehemu za msingi x i - 1; x i, i = 1, 2, . . . , n, ina maana ζ i = x i - 1 + h 2, i = 1, 2,. . . , n.
Ufafanuzi 1
Kisha thamani ya takriban ∫ a b f (x) d x ≈ ∑ i = 1 n f (ζ i) · (x i - x i - 1) imeandikwa hivi ∫ a b f (x) d x ≈ h · ∑ i = 1 n f (ζ i) x i - 1 + h 2 . Fomula hii inaitwa fomula ya njia ya mstatili.
Njia hupokea jina hili kutokana na hali ya uchaguzi wa pointi ζ i, ambapo sehemu ya sehemu inachukuliwa kuwa h = b - a n.
Hebu tuangalie njia hii katika takwimu hapa chini.
Mchoro unaonyesha wazi kwamba ukadiriaji wa kazi ya hatua ya kipande
y = f x 0 + h 2, x ∈ [ x 0; x 1) f x 1 + h 2, x ∈ [ x 1; x2). . . f x n - 1 + h 2, x ∈ [ x n - 1; x n ] hutokea katika kikomo chote cha ujumuishaji.
Kutoka upande wa kijiometri, tuna kwamba kazi isiyo hasi y = f (x) kwenye sehemu iliyopo [ a ; b ] ina thamani kamili ya kiunganishi dhahiri na inaonekana kama trapezoid iliyopinda, eneo ambalo lazima lipatikane. Hebu tuangalie takwimu hapa chini.
Ukadiriaji wa hitilafu kamili ya mbinu ya wastani ya mstatili
Ili kukadiria kosa kamili, ni muhimu kutathmini kwa muda fulani. Hiyo ni, unapaswa kupata jumla ya makosa kamili ya kila muda. Kila sehemu x i - 1; x i, i = 1, 2, . . . , n ina takriban usawa ∫ x i - 1 x i f (x) d x ≈ f x i - 1 + h 2 · h = f x i - 1 + h 2 · (x i - x i - 1) . Hitilafu kamili ya mbinu hii ya pembetatu δi, inayomilikiwa na sehemu ya i, inakokotolewa kama tofauti kati ya ufafanuzi kamili na takriban wa kiunganishi. Tuna hiyo δ i = ∫ x i - 1 x i f (x) d x - f x i - 1 + h 2 · x i - x i - 1 . Tunapata kwamba f x i - 1 + h 2 ni nambari fulani, na x i - x i - 1 = ∫ x i - 1 x i d x , kisha usemi f x i - 1 + h 2 · x i - x i - 1 kulingana na mali ya 4 ya ufafanuzi. ya viungo imeandikwa katika fomu f x i - 1 + h 2 · x i - x i - 1 = ∫ x - 1 x f x i - 1 + h 2 d x. Kutoka kwa hii tunapata sehemu hiyo nina makosa kabisa ya fomu
δ i = ∫ x i - 1 x i f (x) d x - f x i - 1 + h 2 x i - x i - 1 = = ∫ x i - 1 x i f (x) d x - ∫ x i - 1 x i x i - 1 + h 2 d x = ∫ x i - 1 x i f (x) = - f x i - 1 + h 2 d x
Ikiwa tutachukua kwamba chaguo la kukokotoa y = f (x) lina viasili vya mpangilio wa pili katika hatua x i - 1 + h 2 na mazingira yake, basi y = f (x) inapanuliwa katika safu ya Taylor katika nguvu x - x i - 1 + h 2 na neno la mabaki katika mfumo wa upanuzi wa Lagrange. Tunapata hilo
f (x) = f x i - 1 + h 2 + f " x i - 1 + h 2 x - x i - 1 + h 2 + + f "" (ε i) x - x i - 1 + h 2 2 2 ⇔ ⇔ f (x) = f (x i - 1 + h 2) = f " x i - 1 + h 2 x - x i - 1 + h 2 + + f "" (ε i) x - x i - 1 + h 2 2 2
Kulingana na sifa ya kiungo hakika, usawa unaweza kuunganishwa muda baada ya muda. Kisha tunapata hiyo
∫ x i - 1 x i f (x) - f x i - 1 + h 2 d x = ∫ x i - 1 x i f " x i - 1 + h 2 x - x i - 1 + h 2 d x + + ∫ x i - 1 x i f "" ε i · x - x i - 1 + h 2 2 2 d x = = f " x i - 1 + h 2 · x - x i - 1 + h 2 2 2 x i - 1 x i + f "" ε i · x - x i - 1 + h 2 3 6 x i - 1 x i = = f " x i - 1 + h 2 x i - h 2 2 2 - x i - 1 - x i - 1 + h 2 2 + + f "" ε i x i - h 2 3 6 - x i - 1 - x i - 1 + h 2 3 6 = = f "x i - 1 + h 2 h 2 8 - h 2 8 + f "" (ε i) h 3 48 + h 3 48 = f "" ε i h 3 24
ambapo tuna ε i ∈ x i - 1; Xi .
Kutokana na hili tunapata kwamba δ i = ∫ x i - 1 x i f (x) - f x i - 1 + h 2 d x = f "" ε i · h 3 24 .
Hitilafu kabisa ya fomula ya mistatili ya sehemu [a; b ] ni sawa na jumla ya makosa ya kila kipindi cha msingi. Tuna hiyo
δ n = ∑ i = 1 n ∫ x i - 1 x i f (x) - f x i - 1 + h 2 d x na δ n ≤ m a x x ∈ [ a ; b ] f "" (x) · n · h 3 24 = m a x x ∈ [ a ; b ] f "" (x) = b - a 3 24 n 2 .
Ukosefu wa usawa ni makadirio ya hitilafu kamili ya njia ya mstatili.
Ili kurekebisha njia, fikiria fomula.
Ufafanuzi 2
∫ a b f (x) d x ≈ h · ∑ i = 0 n - 1 f (x i) ni fomula ya pembetatu ya kushoto.
∫ a b f (x) d x ≈ h · ∑ i = 1 n f (x i) ni fomula ya pembetatu za kulia.
Hebu tuangalie mfano hapa chini.
Tofauti kati ya njia ya mstatili wa wastani ni chaguo la alama sio katikati, lakini kwenye mipaka ya kushoto na kulia ya sehemu hizi za msingi.
Hitilafu hii kamili ya njia za pembetatu ya kushoto na kulia inaweza kuandikwa kama
δ n ≤ m a x x ∈ [ a ; b ] f " (x) · h 2 · n 2 = m a x x ∈ [ a ; b ] f " (x) · (b - a) 2 2 n
Inahitajika kuzingatia utatuzi wa mifano ambapo unahitaji kukokotoa takriban thamani ya kiunganishi dhahiri kilichopo kwa kutumia mbinu ya mstatili. Aina mbili za utatuzi wa shida zinazingatiwa. Kiini cha kesi ya kwanza ni kutaja idadi ya vipindi vya kugawanya sehemu ya ushirikiano. Kiini cha pili ni uwepo wa kosa linalokubalika kabisa.
Maneno ya kazi ni kama ifuatavyo:
- fanya hesabu ya takriban ya kiungo cha uhakika kwa kutumia njia ya mstatili, kugawanya katika n idadi ya makundi ya ushirikiano;
- pata thamani ya takriban ya kiunganishi dhahiri kwa kutumia mbinu ya mstatili yenye usahihi wa mia moja.
Wacha tuzingatie suluhisho katika visa vyote viwili.
Kama mfano, tulichagua kazi ambazo zinaweza kubadilishwa ili kupata vizuia derivatives vyake. Kisha inakuwa inawezekana kuhesabu thamani halisi ya kiungo cha uhakika na kulinganisha na thamani ya takriban kwa kutumia njia ya mstatili.
Mfano 1
Kokotoa kiunganishi dhahiri ∫ 4 9 x 2 sin x 10 d x kwa kutumia mbinu ya mstatili, ukigawanya sehemu ya uunganishaji katika sehemu 10.
Suluhisho
Kutokana na hali tuliyo nayo kuwa a = 4, b = 9, n = 10, f (x) = x 2 dhambi x 10. Kuomba ∫ a b f (x) d x ≈ h · ∑ i = 1 n f x i - 1 + h 2 ni muhimu kuhesabu ukubwa wa hatua h na thamani ya kazi f (x) = x 2 dhambi x 10 kwa pointi x i - 1 + h 2, i = 12,. . . , 10 .
Tunahesabu thamani ya hatua na kupata hiyo
h = b - a n = 9 - 4 10 = 0 . 5 .
Kwa sababu x i - 1 = a + (i - 1) · h, i = 1, . . . , 10, kisha x i - 1 + h 2 = a + (i - 1) · h + h 2 = a + i - 0. 5 · h, i = 1,. . . , 10 .
Kwa kuwa mimi = 1, tunapata x i - 1 + h 2 = x 0 + h 2 = a + (i - 0.5) h = 4 + (1 - 0.5) 0. 5 = 4. 25.
Kisha unahitaji kupata thamani ya kazi
f x i - 1 + h 2 = f x 0 + h 2 = f (4.25) = 4. 25 2 dhambi (4 . 25) 10 ≈ - 1 . 616574
Kwa i = 2 tunapata x i - 1 + h 2 = x 1 + h 2 = a + i - 0. Saa 5 = 4 + (2 - 0.5) 0. 5 = 4. 75.
Kupata thamani ya kazi inayolingana huchukua fomu
f x i - 1 + h 2 = f x 1 + h 2 = f (4.75) = 4. 75 2 dhambi (4 . 75) 10 ≈ - 2 . 254654
Wacha tuwasilishe data hii kwenye jedwali hapa chini.
| i | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| x i - 1 + h 2 | 4 . 25 | 4 . 75 | 5 . 25 | 5 . 75 | 6 . 25 |
| f x i - 1 + h 2 | - 1 . 616574 | - 2 . 254654 | - 2 . 367438 | - 1 . 680497 | - 0 . 129606 |
| i | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| x i - 1 + h 2 | 6 . 75 | 7 . 25 | 7 . 75 | 8 . 25 | 8 . 75 |
| f x i - 1 + h 2 | 2 . 050513 | 4 . 326318 | 5 . 973808 | 6 . 279474 | 4 . 783042 |
Thamani za chaguo za kukokotoa lazima zibadilishwe katika fomula ya mstatili. Kisha tunapata hiyo
∫ 4 9 x 2 dhambi x 10 d x ≈ h · ∑ i = 1 n f x i - 1 + h 2 = = 0. 5 · - 1 . 616574 - 2. 25654 - 2. 367438 - 1. 680497 - 0 . 129606 + + 2 . 050513 + 4 . 326318 + 5 . 973808 + 6 . 279474 + 4 . 783042 = = 7 . 682193
Kiunga cha asili kinaweza kuhesabiwa kwa kutumia fomula ya Newton-Leibniz. Tunapata hilo
∫ 4 9 x 2 · dhambi x 10 d x = - 1 10 x 2 · cos x + 1 5 x · dhambi x + 1 5 cos x 4 9 = = 7 5 cos 4 - 4 5 dhambi 4 - 79 10 cos 9 + 9 5 dhambi 9 ≈ 7 . 630083
Tunapata kinza derivative ya usemi - 1 10 x 2 · cos x + 1 5 x · sin x + 1 5 cos x sambamba na kazi f (x) = x 2 dhambi x 10. Kutafuta unafanywa na njia ya kuunganishwa na sehemu.
Hii inaonyesha kwamba kiunganishi cha uhakika kinatofautiana na thamani iliyopatikana kwa kutatua njia ya mstatili, ambapo n = 10, na sehemu 6 za umoja. Hebu tuangalie takwimu hapa chini.
Mfano 2
Kokotoa thamani ya takriban ya kiungo bainifu ∫ 1 2 (- 0 . 03 x 3 + 0 . 26 x - 0 . 26) d x kwa kutumia njia ya mstatili wa kushoto na kulia kwa usahihi wa mia moja.
Suluhisho
Kutokana na hali tunayo kuwa a = 1, b = 2 na f (x) = - 0. 03 x 3 + 0 . 26 x - 0 . 26.
Ili kutumia formula kwa mstatili wa kulia na wa kushoto, unahitaji kujua ukubwa wa hatua h, na kuhesabu, tunagawanya sehemu ya ushirikiano katika sehemu za n. Kwa hali, tunayo kwamba usahihi unapaswa kuwa hadi 0.01, kisha kutafuta n kunawezekana kwa kukadiria kosa kabisa la njia za mstatili wa kushoto na wa kulia.
Inajulikana kuwa δ n ≤ m a x x ∈ [ a ; b ] f " (x) · (b - a) 2 2 n. Ili kufikia kiwango kinachohitajika cha usahihi, ni muhimu kupata thamani ya n ambayo ukosefu wa usawa m a x x ∈ [ a ; b ] f " (x) · (b - a) 2 2 n ≤ 0 . 01 itatekelezwa.
Hebu tutafute thamani kubwa zaidi ya moduli ya derivative ya kwanza, yaani, thamani m a x x ∈ [ a ; b ] f " (x) ya kazi ya integrand f (x) = - 0. 03 x 3 + 0. 26 x - 0. 26, iliyofafanuliwa kwa muda [ 1 ; 2 ]. Kwa upande wetu, ni muhimu fanya mahesabu yafuatayo:
f" (x) = - 0.03 x 3 + 0.26 x - 0.26" = - 0. 09 x 2 + 0 . 26
Parabola ni grafu ya integrand na matawi ya chini yaliyofafanuliwa kwenye sehemu [1; 2 ], na kwa grafu ya kupungua kwa monotonically. Ni muhimu kuhesabu thamani kamili ya derivatives katika mwisho wa makundi, na kuchagua thamani kubwa zaidi kutoka kwao. Tunapata hilo
f " (1) = - 0.09 · 1 2 + 0. 26 = 0. 17 f " (2) = - 0 . 09 · 2 2 + 0 . 26 = 0 . 1 → m a x x ∈ [ 1 ; 2 ] f " (x) = 0. 17
Kutatua viambatanisho changamano kunahusisha kuangalia sehemu kubwa na ndogo za thamani za chaguo la kukokotoa.
Kisha tunapata kwamba thamani kubwa zaidi ya chaguo la kukokotoa ina fomu:
m a x x ∈ [ a ; b ] f " (x) · (b - a) 2 2 n ≤ 0. 01 ⇔ ⇔ 0. 17 · (2 - 1) 2 2 n ≤ 0. 01 ⇔ 0. 085 n ≤ 0. 01 ⇔ n ≥ 8.5
Ugawanyiko wa nambari n haujajumuishwa, kwani n ni nambari asilia. Ili kufikia usahihi wa 0. 01, ukitumia njia ya mstatili wa kulia na wa kushoto, lazima uchague thamani yoyote ya n. Kwa uwazi wa mahesabu, wacha tuchukue n = 10.
Kisha fomula ya mistatili ya kushoto itachukua fomu ∫ a b f (x) d x ≈ h · ∑ i = 0 n - 1 f (x i) , na fomula ya wale wa kulia itachukua fomu ∫ a b f (x) d x ≈ h · ∑ i = 1 n f (x i) . Ili kuzitumia katika mazoezi, ni muhimu kupata thamani ya mwelekeo wa hatua h na f (x i), i = 0, 1, . . . , n, wapi n = 10.
Tunapata hilo
h = b - a n = 2 - 1 10 = 0 . 1
Kuamua pointi za sehemu [ a ; b ] huzalishwa kwa kutumia x i = a + i · h , i = 0 , 1 , . . . , n.
Kwa i = 0, tunapata x i = x 0 = a + i · h = 1 + 0 · 0. 1 = 1 na f (x i) = f (x 0) = f (1) = - 0. 03 · 1 3 + 0 . 26 · 1 - 0 . 26 = - 0 . 03.
Kwa i = 1, tunapata x i = x 1 = a + i · h = 1 + 1 · 0. 1 = 1 . 1 na f (x i) = f (x 1) = f (1 . 1) = - 0. 03 · (1. 1) 3 + 0 . 26 · (1. 1) - 0 . 26 = - 0 . 01393.
Mahesabu hufanywa hadi i = 10.
Hesabu lazima zionyeshwe kwenye jedwali hapa chini.
| i | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| Xi | 1 | 1 . 1 | 1 . 2 | 1 . 3 | 1 . 4 | 1 . 5 |
| f (x i) | - 0 . 03 | - 0 . 01393 | 0 . 00016 | 0 . 01209 | 0 . 02168 | 0 . 02875 |
| i | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| Xi | 1 . 6 | 1 . 7 | 1 . 8 | 1 . 9 | 2 |
| f (x i) | 0 . 03312 | 0 . 03461 | 0 . 03304 | 0 . 02823 | 0 . 02 |
Badilisha fomula kwa pembetatu za kushoto
∫ 1 2 (- 0. 03 x 3 + 0. 26 x - 0. 26) d x ≈ h · ∑ i = 0 n - 1 f (x i) = = 0. 10 . 03 - 0 . 01393 + 0 . 00016 + 0 . 01209 + 0 . 02168 + + 0. 02875 + 0 . 03312 + 0 . 03461 + 0 . 03304 + 0 . 02823 = = 0 . 014775
Badilisha katika fomula ya pembetatu za kulia
∫ 1 2 (- 0. 03 x 3 + 0. 26 x - 0. 26) d x ≈ h · ∑ i = 1 n f (x i) = = 0. 10 . 01393 + 0 . 00016 + 0 . 01209 + 0 . 02168 + 0 . 02875 + + 0 . 03312 + 0 . 03461 + 0 . 03304 + 0 . 02823 + 0 . 02 = 0 . 019775
Wacha tufanye hesabu kwa kutumia formula ya Newton-Leibniz:
∫ 1 2 (- 0. 03 x 3 + 0. 26 x - 0. 26) d x = = - 0. 03 x 4 4 + 0 . 13 x 2 - 0 . 26 x 1 2 = 0 . 0175
Fikiria takwimu hapa chini.
Maoni
Kupata thamani kubwa zaidi ya moduli ya derivative ya kwanza ni kazi inayohitaji nguvu kazi, hivyo tunaweza kuondoa matumizi ya ukosefu wa usawa kwa kukadiria hitilafu kamili na mbinu za kuunganisha nambari. Inaruhusiwa kutumia mpango.
Tunachukua thamani n = 5 ili kuhesabu thamani ya takriban ya kiungo. Ni muhimu kuongeza mara mbili idadi ya makundi ya ushirikiano, kisha n = 10, baada ya hapo thamani ya takriban imehesabiwa. inahitajika kupata tofauti kati ya maadili haya kwa n = 5 na n = 10. Wakati tofauti haipatikani kwa usahihi unaohitajika, basi thamani ya takriban inachukuliwa kuwa n = 10, iliyozunguka hadi kumi iliyo karibu.
Hitilafu inapozidi usahihi unaohitajika, n huongezeka maradufu na maadili ya takriban yanalinganishwa. Mahesabu hufanyika hadi usahihi unaohitajika unapatikana.
Kwa mistatili ya kati, vitendo sawa hufanywa, lakini mahesabu katika kila hatua yanahitaji tofauti kati ya takriban maadili muhimu ya n na 2 n. Njia hii ya kuhesabu inaitwa kanuni ya Runge.
Wacha tuhesabu viambatisho kwa usahihi wa elfu moja kwa kutumia njia ya mstatili wa kushoto.
Kwa n = 5 tunaona kwamba ∫ 1 2 (- 0.03 x 3 + 0.26 x - 0.26) d x ≈ 0. 0116, na kwa n = 10 - ∫ 1 2 (- 0. 03 x 3 + 0. 26 x - 0. 26) d x ≈ 0. 014775. Kwa kuwa tunayo hiyo 0 . 0116 - 0 . 014775 = 0 . 003175 > 0 . 001, wacha tuchukue n = 20. Tunaona kwamba ∫ 1 2 (- 0. 03 x 3 + 0. 26 x - 0. 26) d x ≈ 0. 01619375. Tunayo 0. 014775 - 0 . 01619375 = 0 . 00141875 > 0 . 001, kuchukua thamani n = 40, basi tunapata ∫ 1 2 (- 0. 03 x 3 + 0. 26 x - 0. 26) d x ≈ 0. 01686093. Tunayo hiyo 0. 1619375 - 0 . 01686093 = 0 . 00066718< 0 . 001 , тогда после округления значения проверим, что ∫ 1 2 (- 0 . 03 x 3 + 0 . 26 x - 0 . 26) d x равняется значению 0 , 017 с погрешностью 0 , 001 . Из оценок абсолютных погрешностей видно, что данный метод дает максимальную точность в отличие от метода левых и правых координат для заданного n . Отдается предпочтение методу средних прямоугольников.
Miunganisho inayoendelea na mgawanyiko usio na kikomo katika sehemu, nambari hii takriban inaelekea kwa moja halisi. Mara nyingi, njia hii inafanywa kwa kutumia programu maalum kwenye kompyuta. Kwa hivyo, kadiri thamani ya n inavyokuwa kubwa, ndivyo makosa ya kimahesabu yanavyoongezeka.
Kwa hesabu sahihi zaidi, ni muhimu kufanya hatua sahihi za kati, ikiwezekana kwa usahihi wa 0.0001.
Matokeo
Ili kuhesabu kiunganishi kisichojulikana kwa njia ya mstatili, unapaswa kutumia fomula ya fomu ∫ a b f (x) d x ≈ h · ∑ i = 1 n f (ζ i) x i - 1 + h 2 na kukadiria kosa kamili kwa kutumia δ n. ≤ m a x x ∈ [ a ; b ] f "" (x) · n · h 3 24 = m a x x ∈ [ a ; b ] f "" (x) · b - a 3 24 n 2 .
Ili kutatua kwa kutumia njia za mstatili wa kulia na kushoto, tumia fomula za fomu ∫ a b f (x) d x ≈ h · ∑ i = 0 n - 1 f (x i) na ∫ a b f (x) d x ≈ h · ∑ i = 1 n f (Xi) . Hitilafu kamili inakadiriwa kwa kutumia fomula ya fomu δ n ≤ m a x x ∈ [ a ; b ] f " (x) · h 2 · n 2 = m a x x ∈ [ a ; b ] f " (x) · b - a 2 2 n.
Ukiona hitilafu katika maandishi, tafadhali yaangazie na ubonyeze Ctrl+Enter
Na kitendawili ni kwamba kwa sababu hii (inavyoonekana) ni nadra sana katika mazoezi. Haishangazi kwamba makala hii ilionekana miaka kadhaa baada ya kuzungumza juu ya kawaida zaidi Njia za trapezoidal na Simpson, ambapo nilitaja mistatili kwa kupita tu. Walakini, leo sehemu ya viungo inakaribia kukamilika na kwa hivyo ni wakati wa kuziba pengo hili dogo. Soma, elewa na uangalie video! ….kuhusu nini? Kuhusu viungo, bila shaka =)
Taarifa ya shida tayari imesemwa katika somo hapo juu, na sasa tunasasisha nyenzo haraka:
Hebu fikiria muhimu. Yeye hawezi kuvunjika. Lakini kwa upande mwingine, kazi ya integrand kuendelea kwenye sehemu, ambayo inamaanisha eneo la mwisho ipo. Jinsi ya kuhesabu? Takriban. Na leo, kama unavyoweza kudhani, kwa kutumia njia ya mstatili.
Tunagawanya muda wa ujumuishaji kuwa 5, 10, 20 au zaidi sawa (ingawa hii haihitajiki) sehemu, zaidi, ndivyo makadirio yatakuwa sahihi zaidi. Kwenye kila sehemu tunaunda mstatili, mmoja wa pande zake ziko kwenye mhimili, na upande wa pili unaingiliana na grafu ya kiunganishi. Tunahesabu eneo la takwimu iliyopigwa, ambayo itakuwa makadirio ya eneo hilo trapezoid iliyopinda(kivuli kwenye picha ya 1).
Ni wazi, mistatili inaweza kujengwa kwa njia nyingi, lakini marekebisho 3 kawaida huzingatiwa:
1) njia ya mstatili wa kushoto;
2) njia ya mstatili wa kulia;
3) njia ya rectangles wastani.
Wacha tufanye mahesabu zaidi ndani ya mfumo wa kazi "kamili":
Mfano 1
Hesabu kiunganishi dhahiri takriban:
a) njia ya mstatili wa kushoto;
b) njia ya mistatili ya kulia.
Gawanya muda wa ujumuishaji katika sehemu sawa, duru matokeo ya hesabu hadi 0.001
Suluhisho: Ninakubali mara moja, nilichagua kwa makusudi thamani ndogo hiyo - kwa sababu ili kila kitu kiweze kuonekana kwenye kuchora - ambayo nilipaswa kulipa kwa usahihi wa makadirio.
Hebu tuhesabu hatua partitions (urefu wa kila sehemu ya kati):
Njia mistatili ya kushoto ilipata jina lake kwa sababu 
Nini UREFU mistatili kwenye sehemu za kati ni sawa maadili ya kazi upande wa kushoto mwisho wa sehemu hizi:
Kwa hali yoyote hatusahau kwamba kuzungusha kunapaswa kufanywa kwa sehemu tatu za decimal - hili ni hitaji muhimu la hali hiyo, na "shughuli za kibarua" hapa imejaa matamshi "rekebisha kazi ipasavyo."
Wacha tuhesabu eneo la takwimu iliyopigwa, ambayo ni sawa na jumla ya maeneo ya mstatili: 
Hivyo, eneo hilo trapezoid iliyopinda:. Ndio, mbinu ni mbaya sana (maelezo ya ziada yanaonekana wazi kwenye mchoro), lakini pia mfano, narudia, maandamano moja. Ni wazi kabisa kwamba kwa kuzingatia idadi kubwa ya sehemu za kati (kusafisha kizigeu), takwimu iliyopitishwa itakuwa sawa na trapezoid iliyopindika, na tutapata matokeo bora.
Wakati wa kutumia njia ya "haki". UREFU mistatili ni sawa maadili ya kazi katika haki mwisho wa sehemu za kati: 
Hebu tuhesabu thamani inayokosekana 
na eneo la takwimu iliyopigwa: 
- hapa, kama mtu angetarajia, makadirio hayazingatiwi sana:
Wacha tuandike fomula kwa fomu ya jumla. Ikiwa kazi inaendelea kwenye sehemu, na imegawanywa katika sehemu sawa: , basi kiunga cha uhakika kinaweza kuhesabiwa takriban kwa kutumia fomula:
- mistatili ya kushoto;
- mistatili ya kulia;
(formula katika shida inayofuata)- mistatili ya kati;
iko wapi hatua ya kugawa.
Tofauti yao rasmi ni nini? Katika fomula ya kwanza hakuna neno, na katika pili -
Kwa mazoezi, ni rahisi kuingiza maadili yaliyohesabiwa kwenye meza: 
na mahesabu yenyewe hufanywa katika Excel. Na haraka na bila makosa:
Jibu: 
Labda tayari umeelewa njia ya mstatili wa kati ni:
Mfano 2
Kokotoa takriban kiunganishi dhahiri kwa kutumia mbinu ya mstatili yenye usahihi wa 0.01. Anza kugawanya muda wa ujumuishaji na sehemu.
Suluhisho: kwanza, tafadhali kumbuka kuwa kiunganishi kinahitaji kuhesabiwa sahihi kwa 0.01. Maneno haya yanamaanisha nini?
Ikiwa kazi ya awali inahitajika karibu tu matokeo kwa nafasi 3 za desimali (na jinsi zitakavyokuwa kweli sio muhimu), basi thamani inayokadiriwa ya eneo hilo inapaswa kutofautiana na ukweli kwa si zaidi ya .
Na pili, taarifa ya shida haisemi ni marekebisho gani ya njia ya mstatili ya kutumia kwa suluhisho. Na kweli, ipi?
Kwa chaguo-msingi, daima tumia njia ya mistatili ya kati
Kwa nini? Na vitu vingine vyote vikiwa sawa, yeye (sehemu sawa) inatoa makadirio sahihi zaidi. Hii inahesabiwa haki katika nadharia, na hii inaonekana wazi katika mchoro: 
Urefu wa rectangles huchukuliwa hapa maadili ya kazi, imehesabiwa katikati sehemu za kati, na kwa ujumla fomula ya makadirio ya mahesabu itaandikwa kama ifuatavyo:
, iko wapi hatua ya kizigeu cha kawaida cha "sehemu sawa".
Ikumbukwe kwamba formula ya rectangles ya kati inaweza kuandikwa kwa njia kadhaa, lakini ili kuepuka kuchanganyikiwa, nitazingatia chaguo pekee ambalo unaona hapo juu.
Ni rahisi kwa muhtasari wa mahesabu, kama katika mfano uliopita, katika meza. Urefu wa makundi ya kati ni, bila shaka, sawa: - na ni dhahiri kwamba umbali kati ya midpoints ya makundi ni sawa na idadi sawa. Kwa kuwa usahihi unaohitajika wa hesabu ni , maadili lazima yawe na mviringo "na ukingo" - maeneo 4-5 ya decimal: 
Wacha tuhesabu eneo la takwimu iliyopigwa:
Wacha tuone jinsi ya kubinafsisha mchakato huu:
Kwa hivyo, kulingana na fomula ya mistatili ya kati: 
Jinsi ya kutathmini usahihi wa makadirio? Kwa maneno mengine, matokeo yako mbali kadiri gani na ukweli? (eneo la trapezoid iliyopinda)? Kuna fomula maalum ya kukadiria kosa, hata hivyo, katika mazoezi matumizi yake mara nyingi ni ngumu, na kwa hivyo tutatumia njia "iliyotumika":
Wacha tuhesabu makadirio sahihi zaidi - na idadi ya sehemu za kizigeu mara mbili: . Algorithm ya suluhisho ni sawa kabisa: 
.
Hebu tupate katikati ya sehemu ya kwanza ya kati 
na kisha ongeza 0.3 kwa thamani inayosababisha. Jedwali linaweza kuundwa katika "darasa la uchumi", lakini bado ni bora kutoruka maoni kuhusu mabadiliko gani kutoka 0 hadi 10: 
Katika Excel, mahesabu hufanywa "katika safu moja" (kwa njia, fanya mazoezi), lakini katika daftari, meza itabidi ifanywe hadithi mbili (isipokuwa, bila shaka, una mwandiko mdogo sana).
Wacha tuhesabu jumla ya eneo la mistatili kumi:
Kwa hivyo makadirio sahihi zaidi ni: 
Ambayo napendekeza ujifunze!
Mfano 3: Suluhisho: kuhesabu hatua ya kuhesabu:
Wacha tujaze jedwali la hesabu:
Wacha tuhesabu kiunga takriban kwa kutumia njia ifuatayo:
1) mistatili ya kushoto:
;
2) mistatili ya kulia:
;
3) mistatili ya kati:
.
Wacha tuhesabu kiunga kwa usahihi zaidi kwa kutumia fomula ya Newton-Leibniz:
na makosa kamili ya hesabu yanayolingana:
Jibu
:
Kwa ujumla fomula ya mstatili wa kushoto kwenye sehemu kama ifuatavyo (21) :
Katika fomula hii x 0 =a, x n =b, kwani kiunga chochote kwa ujumla kinaonekana kama: (tazama formula 18 ).
h inaweza kuhesabiwa kwa kutumia fomula 19 .
y 0 ,y 1 ,...,y n-1 x 0 , x 1 ,..., x n-1 (x i =x i-1 +h).
Fomula ya mistatili ya kulia.
Kwa ujumla fomula ya mstatili wa kulia kwenye sehemu kama ifuatavyo (22) :
Katika fomula hii x 0 =a, x n =b(tazama fomula ya mistatili ya kushoto).
h inaweza kuhesabiwa kwa kutumia fomula sawa na katika fomula ya mistatili ya kushoto.
y 1 ,y 2 ,...,y n ni maadili ya chaguo za kukokotoa sambamba f(x) katika pointi x 1 , x 2 ,..., x n (x i =x i-1 +h).
Fomula ya mistatili ya kati.
Kwa ujumla fomula ya mstatili wa kati kwenye sehemu kama ifuatavyo (23) :
Wapi x i =x i-1 +h.
Katika fomula hii, kama katika zile zilizopita, h inahitajika kuzidisha jumla ya maadili ya chaguo la kukokotoa f(x), lakini si tu kwa kubadilisha maadili yanayolingana. x 0 ,x 1 ,...,x n-1 kwenye kitendakazi f(x), na kuongeza kwa kila moja ya maadili haya h/2(x 0 +h/2, x 1 +h/2,..., x n-1 +h/2), na kisha kuzibadilisha tu kwenye kitendakazi kilichotolewa.
h inaweza kuhesabiwa kwa kutumia fomula sawa na katika fomula ya mistatili ya kushoto." [ 6 ]
Katika mazoezi, njia hizi zinatekelezwa kama ifuatavyo:
Hisabati ;
Excel .
Hisabati ;
Excel .
Ili kuhesabu kiunga kwa kutumia fomula ya mistatili wastani katika Excel, lazima ufanye hatua zifuatazo:
Endelea kufanya kazi katika hati sawa na wakati wa kuhesabu kiunga kwa kutumia fomula za mistatili ya kushoto na kulia.
Katika kiini E6 ingiza maandishi xi+h/2, na katika F6 - f (xi+h/2).
Weka fomula =B7+$B$4/2 kwenye kisanduku E7, nakili fomula hii kwa kuburuta hadi safu ya kisanduku E8:E16.
Ingiza fomula =ROOT(E7^4-E7^3+8) kwenye kisanduku F7, nakili fomula hii kwa kuburuta hadi safu ya kisanduku F8:F16.
Weka fomula =SUM(F7:F16) katika kisanduku F18.
Ingiza fomula =B4*F18 kwenye seli F19.
Ingiza wastani wa maandishi katika kisanduku F20.
Kama matokeo, tunapata zifuatazo:
Jibu: thamani ya kiunga kilichopewa ni 13.40797.
Kulingana na matokeo yaliyopatikana, tunaweza kuhitimisha kuwa fomula ya mistatili ya kati ni sahihi zaidi kuliko kanuni za mstatili wa kulia na wa kushoto.
1. Njia ya Monte Carlo
"Wazo kuu la njia ya Monte Carlo ni kurudia majaribio ya nasibu mara kadhaa. Sifa ya tabia ya njia ya Monte Carlo ni matumizi ya nambari nasibu (thamani za nambari za kutofautisha kwa nasibu). Nambari kama hizo zinaweza kupatikana kwa kutumia nambari za nasibu. Sensorer za nambari nasibu.Kwa mfano, katika lugha ya programu ya Turbo Pascal kuna utendaji wa kawaida nasibu, maadili ambayo ni nambari za nasibu zilizosambazwa sawasawa kwenye sehemu . Hii ina maana kwamba ikiwa unagawanya sehemu maalum katika idadi fulani ya vipindi sawa na kuhesabu thamani ya kazi ya nasibu idadi kubwa ya nyakati, basi takriban idadi sawa ya nambari za nasibu zitaanguka katika kila muda. Katika lugha ya programu ya bonde, sensor sawa ni kazi ya rnd. Katika kichakataji lahajedwali la MS Excel kitendakazi RAND inarejesha nambari nasibu iliyosambazwa kwa usawa kubwa kuliko au sawa na 0 na chini ya 1 (mabadiliko yanapohesabiwa upya)" [ 7 ].
Ili kuhesabu, unahitaji kutumia formula () :
Ambapo (i=1, 2, …, n) kuna nambari nasibu ziko kwenye muda .
Ili kupata nambari kama hizo kulingana na mlolongo wa nambari za nasibu x i , zilizosambazwa kwa usawa katika muda, inatosha kufanya mabadiliko x i =a+(b-a)x i .
Katika mazoezi, njia hii inatekelezwa kama ifuatavyo:
Ili kuhesabu kiunga kwa kutumia njia ya Monte Carlo katika Excel, lazima ufanye hatua zifuatazo:
Katika seli B1, ingiza maandishi n=.
Katika seli B2, ingiza maandishi a=.
Katika seli B3, ingiza maandishi b=.
Ingiza nambari 10 kwenye seli C1.
Ingiza nambari 0 kwenye seli C2.
Katika kiini C3 ingiza nambari 3.2.
Ingiza I katika kisanduku A5, xi katika B5, f(xi) katika C5.
Jaza seli A6:A15 na nambari 1,2,3, ...,10 - tangu n=10.
Ingiza fomula =RAND()*3.2 kwenye kisanduku B6 (nambari katika masafa kutoka 0 hadi 3.2 hutolewa), nakili fomula hii kwa kuiburuta kwenye safu ya visanduku B7:B15.
Ingiza fomula =ROOT(B6^4-B6^3+8) kwenye kisanduku C6 na unakili fomula hii kwa kuburuta hadi kwenye fungu la visanduku C7:C15.
Ingiza maandishi "kiasi" katika kisanduku B16, "(b-a)/n" katika B17, "I=" katika B18.
Weka fomula =SUM(C6:C15) kwenye kisanduku C16.
Ingiza fomula =(C3-C2)/C1 kwenye kisanduku C17.
Ingiza fomula =C16*C17 kwenye seli C18.
Kama matokeo, tunapata:
Jibu: thamani ya kiunga kilichopewa ni 13.12416.
Wacha tuendelee kwenye marekebisho ya njia ya mstatili.
Hii fomula ya njia ya mstatili wa kushoto.
-Hii fomula ya njia ya mstatili wa kulia.
Tofauti kutoka kwa njia ya mstatili wa kati ni kwamba pointi hazichaguliwa katikati, lakini kwa mipaka ya kushoto na ya kulia ya sehemu za msingi, kwa mtiririko huo.
Hitilafu kamili ya njia za mstatili wa kushoto na kulia inakadiriwa kama .
Mchoro wa kuzuia
Ili kuhesabu kiunga kwa kutumia fomula sahihi ya mstatili katika Excel, lazima ufanye hatua zifuatazo:
1. Endelea kufanya kazi katika hati sawa na wakati wa kuhesabu kiunganishi kwa kutumia fomula ya mstatili wa kushoto.
2. Katika seli D6 ingiza maandishi y1,…,yn.
3. Weka fomula =ROOT(B8^4-B8^3+8) kwenye kisanduku D8, nakili fomula hii kwa kuburuta hadi safu ya visanduku D9:D17.
4. Weka fomula = SUM(D7:D17) katika seli D18.
5. Ingiza fomula = B4 * D18 katika kiini D19.
6. Ingiza maandishi kulia kwenye seli D20.
Kama matokeo, tunapata zifuatazo:
Ili kuhesabu kiunga kwa kutumia fomula ya mstatili sahihi katika Mathcad, lazima ufanye hatua zifuatazo:
1. Ingiza misemo ifuatayo katika sehemu ya ingizo katika mstari mmoja kwa umbali fulani: a:=0, b:=3.2, n:=10.
2. Katika mstari unaofuata, ingiza fomula kutoka kwa kibodi h:=(b-a)/n ( ).
3. Onyesha thamani ya usemi huu karibu nayo, ili kufanya hivi, chapa kutoka kwenye kibodi: h=.
4. Hapa chini, ingiza fomula ya kuhesabu kitendakazi cha integrand, ili kufanya hivyo, chapa f(x):= kutoka kwenye kibodi, kisha ufungue upau wa vidhibiti wa "Hesabu", ama kwa kutumia ikoni, au kwa njia ifuatayo:
Baada ya hayo, kwenye upau wa vidhibiti wa “Hesabu”, chagua “Mzizi wa mraba”: , kisha kwenye mraba wa giza unaoonekana, weka usemi kutoka kwa kibodi x^4-x^3+8, songa kishale kwa kutumia mishale kwenye kibodi. ( Tafadhali kumbuka kuwa katika sehemu ya uingizaji usemi huu hubadilishwa mara moja hadi fomu ya kawaida).
5. Weka usemi I1:=0 hapa chini.
6. Weka hapa chini usemi pr_p(a,b,n,h,I1):=.
7. Kisha chagua upau wa vidhibiti wa "Kupanga" (ama: "Tazama" - "Pau za vidhibiti" - "Kupanga", au: ikoni ).
8. Kwenye upau wa zana wa "Programu", ongeza mstari wa programu: , kisha uweke mshale kwenye mstatili wa kwanza wa giza na uchague "kwa" kwenye upau wa vidhibiti wa "Programu".
9. Katika mstari unaosababisha, baada ya neno, weka mshale katika kwanza ya rectangles na aina i.
10. Kisha chagua upau wa vidhibiti wa “Matrix” (ama: “Tazama” - “Pau za vidhibiti” - “Matrix”, au: ikoni).
11. Weka kishale kwenye mstatili unaofuata wa giza na kwenye upau wa vidhibiti wa "Matrix" bofya: , ambapo chapa katika mistatili miwili inayoonekana, mtawalia: 1 na n.
12. Weka mshale kwenye mstatili wa giza chini na uongeze mstari wa programu mara mbili.
13. Baada ya hayo, rudisha mshale kwenye mstatili wa kwanza unaoonekana na uandike x1, kisha bofya "Kazi ya ndani" kwenye paneli ya "Programu": na baada ya aina hiyo a + h.
14. Weka mshale kwenye mstatili unaofuata wa giza, ambapo unaandika I1 na ugawanye (kitufe cha "Mgawo wa Mitaa") I1 + f (x1).
15. Weka mshale kwenye mstatili unaofuata wa giza, ambapo andika assign (kitufe "Kazi ya ndani") x1.
16. Katika mstatili unaofuata wa giza, ongeza mstari wa programu, ambapo katika kwanza ya rectangles zinazosababisha, chapa I1 na uwape (kitufe cha "Kazi ya Mitaa") I1 * h ( Tafadhali kumbuka kuwa ishara ya kuzidisha katika sehemu ya ingizo hubadilika kiotomatiki kuwa ishara ya kawaida).
17. Katika mstatili wa mwisho wa giza, chapa I1.
18. Hapa chini, ingiza pr_p(a,b,n,h,I1) na ubonyeze = ishara.
19. Ili kupanga jibu, unahitaji kubofya mara mbili kwenye nambari inayosababisha na uonyeshe idadi ya maeneo ya desimali - 5.
Kama matokeo, tunapata:
Jibu: thamani ya kiunga kilichopewa ni 14.45905.
Njia ya mstatili hakika ni rahisi sana kwa kuhesabu kiunga cha uhakika. Kazi hiyo ilisisimua na kuelimisha sana.
Marejeleo
http://www.cleverstudents.ru/method_of_rectangles.html
(mbinu za kuhesabu viungo)
http://algmet.narod.ru/theory_a4m/integr_prav/index.htm
(kiini cha mbinu)
http://ru.wikipedia.org/wiki/%CC%E5%F2%EE%E4_%EF%F0%FF%EC%EE%F3%E3%EE%EB%FC%ED%E8%EA%EE %E2
(wikipedia)
1) utangulizi na nadharia
2) Kiini cha njia na suluhisho kwa mifano
3) Pascal
Picha ya mchoro:
Hebu tuhesabu thamani ya takriban ya kiungo. Ili kutathmini usahihi, tunatumia njia ya hesabu ya mstatili wa kushoto na wa kulia.
Wacha tuhesabu hatua wakati wa kugawanyika katika sehemu 10:
Sehemu za mgawanyiko wa sehemu hufafanuliwa kama:
Wacha tuhesabu thamani ya takriban ya kiunganishi kwa kutumia fomula za mistatili ya kushoto:
0.1(0.6288+0.6042+0.5828+0.5642+0.5479+0.5338+0.5214+0.5105+0.5008+0.4924)0.5486
Wacha tuhesabu thamani ya takriban ya kiunganishi kwa kutumia fomula za mistatili ya kulia:
0.1(0.6042+0.5828+0.5642+0.5479+0.5338+0.5214+0.5105+0.5008+0.4924+0.4848)0.5342
Suluhisho la tatizo la thamani ya mpaka kwa mlinganyo wa kawaida wa kutofautisha kwa njia ya kufagia.
Ili takriban kutatua equation ya kawaida ya kutofautisha, unaweza kutumia njia ya kufagia.
Wacha tuzingatie equation ya tofauti ya mstari.
y""+p(x)y"+q(x)y=f(x) (1)
yenye masharti ya mpaka wa mstari wa pointi mbili
Wacha tuanzishe nukuu ifuatayo:
Njia ya kufagia ina "njia ya mbele" ambayo coefficients imedhamiriwa:
Baada ya kufanya "songa mbele", endelea kwa "kusonga nyuma", ambayo inajumuisha kuamua maadili ya kazi inayotaka kwa kutumia fomula:
Kwa kutumia njia ya kufagia, tengeneza suluhu kwa tatizo la thamani ya mpaka kwa mlinganyo wa kawaida wa kutofautisha kwa usahihi; Hatua h=0.05
2; A=1; =0; B=1.2;
 |
|||||
Tatizo la Dirichlet kwa mlinganyo wa Laplace kwa kutumia njia ya gridi ya taifa
Pata chaguo la kukokotoa endelevu u (x, y) ambalo linakidhi mlinganyo wa Laplace ndani ya eneo la mstatili
na kukubali maadili yaliyopewa kwenye mpaka wa mkoa, i.e.
ambapo fl, f 2, f 3, f 4 hupewa kazi.
Kwa kutambulisha nukuu, tunakadiria viasili vya sehemu na katika kila nodi ya gridi ya ndani kwa viwango vya tofauti vya mpangilio wa pili.
na ubadilishe mlinganyo wa Laplace na mlinganyo wa tofauti-mwisho
Hitilafu katika kuchukua nafasi ya mlinganyo tofauti na mlinganyo wa tofauti ni ukubwa.
Milinganyo (1), pamoja na thamani kwenye nodi za mpaka, huunda mfumo wa milinganyo ya aljebra ya mstari kuhusu thamani za takriban za chaguo za kukokotoa na (x, y) kwenye nodi za gridi ya taifa. Mfumo huu una fomu rahisi zaidi wakati:
Wakati wa kupata milinganyo ya gridi (2), mchoro wa nodi ulioonyeshwa kwenye Mchoro 1 ulitumiwa. 1. Seti ya nodi zinazotumiwa kukadiria equation katika hatua inaitwa kiolezo.
Picha 1
Suluhisho la nambari la tatizo la Dirichlet la mlinganyo wa Laplace katika mstatili linajumuisha kupata takriban maadili ya chaguo za kukokotoa u(x, y) kwenye nodi za gridi ya ndani. Kuamua kiasi, ni muhimu kutatua mfumo wa equations linear algebraic (2).
Katika kazi hii, inatatuliwa na njia ya Gauss--Seidel, ambayo inajumuisha kuunda mlolongo wa marudio ya fomu.
(nambari kuu inaashiria nambari ya kurudia). Wakati mlolongo unabadilika kuwa suluhisho halisi la mfumo (2). Kama hali ya mwisho wa mchakato wa kurudia, tunaweza kuchukua
Kwa hivyo, kosa katika suluhisho la takriban lililopatikana kwa njia ya gridi ya taifa lina makosa mawili: kosa katika kukaribia usawa wa tofauti kwa usawa tofauti; kosa linalotokana na suluhisho la takriban la mfumo wa milinganyo tofauti (2).
Inajulikana kuwa mpango wa tofauti ulioelezwa hapa una mali ya utulivu na muunganisho. Utulivu wa mpango unamaanisha kuwa mabadiliko madogo katika data ya awali husababisha mabadiliko madogo katika suluhisho la tatizo la tofauti. Mipango kama hiyo pekee ndiyo inayoeleweka kutumika katika mahesabu halisi. Muunganiko wa mpango unamaanisha kuwa hatua ya gridi inaelekea kuwa sifuri (), suluhu la tatizo la tofauti huelekea, kwa maana fulani, kwenye suluhisho la tatizo la awali. Kwa hiyo, kwa kuchagua hatua ndogo ya kutosha h, mtu anaweza kutatua tatizo la awali kwa usahihi kama unavyotaka.
Kwa kutumia mbinu ya gridi ya taifa, tunga suluhu ya takriban ya tatizo la Dirichlet kwa mlinganyo wa Laplace katika ABCD ya mraba yenye vipeo A(0;0) B(0;1) C(1;1) D(1;0); hatua h=0.02. Unapotatua tatizo, tumia mchakato wa wastani wa kurudia wa Liebman hadi jibu lipatikane kwa usahihi wa 0.01.
1) Wacha tuhesabu maadili ya kazi kwenye pande:
- 1. Kwa upande wa AB: kulingana na fomula. u(0;0)=0 u(0;0.2)=9.6 u(0;0.4)=16.8 u(0;0.6)=19.2 u(0;0.8)=14.4 u(0;1)=0
- 2. Upande wa BC=0
- 3. Upande CD=0
- 4. Kwa upande wa AD: kulingana na fomula u(0;0)=0 u(0.2;0)=29.376 u(0.4;0)=47.542 u(0.6;0)=47.567 u(0.8;0)= 29.44 u(1;0)=0
- 2) Kuamua maadili ya kazi katika sehemu za ndani za mkoa kwa kutumia njia ya gridi ya taifa, tunabadilisha equation ya Laplace katika kila nukta na equation ya tofauti ya mwisho kulingana na formula.
Kwa kutumia fomula hii, tutaunda equation kwa kila nukta ya ndani. Kama matokeo, tunapata mfumo wa milinganyo.
Tunatatua mfumo huu kwa kutumia mbinu ya kurudia ya aina ya Liebman. Kwa kila thamani, tunaunda mlolongo ambao tunaunda hadi muunganisho wa mia. Wacha tuandike uhusiano kwa msaada ambao tutapata vitu vya mlolongo wote:
Ili kuhesabu kutumia fomula hizi, unahitaji kuamua maadili ya awali ambayo yanaweza kupatikana kwa njia fulani.
3) Ili kupata suluhu ya takriban ya awali ya tatizo, tutafikiri kwamba chaguo za kukokotoa u(x,y) inasambazwa sawasawa kando ya mlalo wa eneo.
Kwanza, fikiria mstari wa usawa na pointi za mipaka (0;0.2) na (1;0.2).
Wacha tuonyeshe maadili yanayohitajika ya kazi katika sehemu za ndani kwa.
Kwa kuwa sehemu imegawanywa katika sehemu 5, hatua ya kipimo cha kazi
Kisha tunapata:
Vivyo hivyo, tunapata maadili ya kazi katika sehemu za ndani za mistari mingine ya mlalo. Kwa mstari wa mlalo na pointi za mpaka (0;0.4) na (1;0.4) tunayo.
Kwa mstari wa mlalo na pointi za mpaka (0;0.6) na (1;0.6) tunayo.
Mwishowe, wacha tupate maadili ya usawa na alama za mipaka (0;0.8) na (1;0.8).
Tunawasilisha maadili yote yaliyopatikana kwenye jedwali lifuatalo, ambalo linaitwa template ya sifuri: