Somo hili linashughulikia kuongeza na kutoa nambari za busara. Mada imeainishwa kama ngumu. Hapa ni muhimu kutumia arsenal nzima ya ujuzi uliopatikana hapo awali.
Sheria za kuongeza na kutoa nambari kamili pia zinatumika kwa nambari za busara. Kumbuka kwamba nambari za busara ni nambari ambazo zinaweza kuwakilishwa kama sehemu, wapi a - hii ndio nambari ya sehemu, b ni denominator ya sehemu. Ambapo, b haipaswi kuwa sifuri.
Katika somo hili, tutazidi kuita sehemu na nambari zilizochanganywa kwa kifungu kimoja cha kawaida - nambari za busara.
Urambazaji wa somo:Mfano 1. Tafuta maana ya usemi:
Wacha tuambatanishe kila nambari ya busara kwenye mabano pamoja na ishara zake. Tunazingatia kuwa nyongeza iliyotolewa katika usemi ni ishara ya operesheni na haitumiki kwa sehemu. Sehemu hii ina ishara yake ya kuongeza, ambayo haionekani kwa sababu ya ukweli kwamba haijaandikwa. Lakini tutaiandika kwa uwazi:
Hii ni nyongeza ya nambari za busara na ishara tofauti. Ili kuongeza nambari za busara na ishara tofauti, unahitaji kutoa moduli ndogo kutoka kwa moduli kubwa, na kabla ya jibu linalosababisha kuweka ishara ya nambari ya busara ambayo moduli yake ni kubwa. Na ili kuelewa ni moduli gani ni kubwa na ambayo ni ndogo, unahitaji kuwa na uwezo wa kulinganisha moduli ya sehemu hizi kabla ya kuzihesabu:
Moduli ya nambari ya busara ni kubwa kuliko moduli ya nambari ya busara. Kwa hivyo, tuliondoa kutoka. Tulipata jibu. Kisha, kupunguza sehemu hii kwa 2, tulipata jibu la mwisho.
Baadhi ya vitendo vya awali, kama vile kuweka nambari kwenye mabano na kuongeza moduli, vinaweza kurukwa. Mfano huu unaweza kuandikwa kwa ufupi:
Mfano 2. Tafuta maana ya usemi:
Wacha tuambatanishe kila nambari ya busara kwenye mabano pamoja na ishara zake. Tunazingatia kwamba minus imesimama kati ya nambari za busara ni ishara ya operesheni na haitumiki kwa sehemu. Sehemu hii ina ishara yake ya kuongeza, ambayo haionekani kwa sababu ya ukweli kwamba haijaandikwa. Lakini tutaiandika kwa uwazi:
Wacha tubadilishe kutoa na kuongeza. Wacha tukumbushe kwamba ili kufanya hivyo unahitaji kuongeza kwa minuend nambari iliyo kinyume na subtrahend:
Tulipata nyongeza ya nambari hasi za busara. Ili kuongeza nambari hasi za busara, unahitaji kuongeza moduli zao na kuweka minus mbele ya jibu linalosababisha:
Kumbuka. Sio lazima kuambatanisha kila nambari ya busara kwenye mabano. Hii inafanywa kwa urahisi, ili kuona wazi ni ishara gani nambari za busara zinazo.
Mfano 3. Tafuta maana ya usemi:
Katika usemi huu, sehemu zina madhehebu tofauti. Ili kurahisisha kazi yetu, hebu tupunguze sehemu hizi kwa dhehebu moja. Hatutakaa kwa undani juu ya jinsi ya kufanya hivyo. Ikiwa unapata shida, hakikisha kurudia somo.
Baada ya kupunguza sehemu kuwa dhehebu la kawaida, usemi utachukua fomu ifuatayo:
Hii ni nyongeza ya nambari za busara na ishara tofauti. Tunatoa moduli ndogo kutoka kwa moduli kubwa, na kabla ya jibu linalosababisha tunaweka ishara ya nambari ya busara ambayo moduli yake ni kubwa zaidi:
Wacha tuandike suluhisho la mfano huu kwa kifupi:
Mfano 4. Tafuta thamani ya usemi
Wacha tuhesabu usemi huu kama ifuatavyo: ongeza nambari za busara na, kisha toa nambari ya busara kutoka kwa matokeo yanayotokana. 
Kitendo cha kwanza:
Kitendo cha pili:
Mfano 5. Tafuta maana ya usemi:
Wacha tuwakilishe nambari kamili -1 kama sehemu, na tubadilishe nambari iliyochanganywa kuwa sehemu isiyofaa:
Wacha tuambatanishe kila nambari ya busara kwenye mabano pamoja na ishara zake:
Tulipata nyongeza ya nambari za busara na ishara tofauti. Tunatoa moduli ndogo kutoka kwa moduli kubwa, na kabla ya jibu linalosababisha tunaweka ishara ya nambari ya busara ambayo moduli yake ni kubwa zaidi:
Tulipata jibu.
Kuna suluhisho la pili. Inajumuisha kuweka sehemu nzima pamoja tofauti.
Kwa hivyo, wacha turudi kwenye usemi wa asili:
Wacha tuambatanishe kila nambari kwenye mabano. Ili kufanya hivyo, nambari iliyochanganywa ni ya muda mfupi:
Wacha tuhesabu sehemu kamili:
(−1) + (+2) = 1
Katika usemi kuu, badala ya (-1) + (+2), tunaandika kitengo kinachosababisha:
Usemi unaotokana ni. Ili kufanya hivyo, andika kitengo na sehemu pamoja:
Wacha tuandike suluhisho kwa njia fupi:
Mfano 6. Tafuta thamani ya usemi
Wacha tubadilishe nambari iliyochanganywa kuwa sehemu isiyofaa. Wacha tuandike tena iliyobaki bila kubadilisha:
Wacha tuambatanishe kila nambari ya busara kwenye mabano pamoja na ishara zake:
Wacha tubadilishe kutoa na kuongeza:
Wacha tuandike suluhisho la mfano huu kwa kifupi:
Mfano 7. Tafuta thamani ya usemi
Wacha tuwakilishe nambari kamili -5 kama sehemu, na tubadilishe nambari iliyochanganywa kuwa sehemu isiyofaa:
Wacha tulete sehemu hizi kwa dhehebu la kawaida. Baada ya kupunguzwa kwa dhehebu la kawaida, watachukua fomu ifuatayo:
Wacha tuambatanishe kila nambari ya busara kwenye mabano pamoja na ishara zake:
Wacha tubadilishe kutoa na kuongeza:
Tulipata nyongeza ya nambari hasi za busara. Wacha tuongeze moduli za nambari hizi na tuweke minus mbele ya jibu linalosababisha:
Kwa hivyo, thamani ya usemi ni.
Hebu tutatue mfano huu kwa njia ya pili. Wacha turudi kwenye usemi asilia:
Hebu tuandike nambari iliyochanganywa katika fomu iliyopanuliwa. Wacha tuandike tena iliyobaki bila mabadiliko:
Tunafunga kila nambari ya busara kwenye mabano pamoja na ishara zake:
Wacha tuhesabu sehemu kamili:
Katika usemi kuu, badala ya kuandika nambari inayosababisha -7
Usemi huo ni namna iliyopanuliwa ya kuandika nambari mchanganyiko. Tunaandika nambari −7 na sehemu pamoja ili kuunda jibu la mwisho:
Wacha tuandike suluhisho hili kwa ufupi:
Mfano 8. Tafuta thamani ya usemi
Tunafunga kila nambari ya busara kwenye mabano pamoja na ishara zake:
Wacha tubadilishe kutoa na kuongeza:
Tulipata nyongeza ya nambari hasi za busara. Wacha tuongeze moduli za nambari hizi na tuweke minus mbele ya jibu linalosababisha:
Hivyo thamani ya kujieleza ni
Mfano huu unaweza kutatuliwa kwa njia ya pili. Inajumuisha kuongeza sehemu nzima na sehemu tofauti. Wacha turudi kwenye usemi asilia:
Wacha tuambatanishe kila nambari ya busara kwenye mabano pamoja na ishara zake:
Wacha tubadilishe kutoa na kuongeza:
Tulipata nyongeza ya nambari hasi za busara. Wacha tuongeze moduli za nambari hizi na tuweke minus mbele ya jibu linalotokana. Lakini wakati huu tutaongeza sehemu nzima (-1 na -2), zote mbili za sehemu na
Wacha tuandike suluhisho hili kwa ufupi:
Mfano 9. Tafuta misemo ya kujieleza 
Wacha tubadilishe nambari zilizochanganywa kuwa sehemu zisizofaa:
Wacha tuambatanishe nambari ya busara kwenye mabano pamoja na ishara yake. Hakuna haja ya kuweka nambari ya busara kwenye mabano, kwani tayari iko kwenye mabano:
Tulipata nyongeza ya nambari hasi za busara. Wacha tuongeze moduli za nambari hizi na tuweke minus mbele ya jibu linalosababisha:
Hivyo thamani ya kujieleza ni
Sasa hebu tujaribu kutatua mfano huo kwa njia ya pili, yaani kwa kuongeza sehemu kamili na za sehemu tofauti.
Wakati huu, ili kupata suluhisho fupi, wacha tujaribu kuruka hatua kadhaa, kama vile kuandika nambari iliyochanganywa katika fomu iliyopanuliwa na kuchukua nafasi ya kutoa na kuongeza:
Tafadhali kumbuka kuwa sehemu za sehemu zimepunguzwa hadi denominator ya kawaida.
Mfano 10. Tafuta thamani ya usemi 
Wacha tubadilishe kutoa na kuongeza:
Usemi unaosababishwa hauna nambari hasi, ambayo ndio sababu kuu ya makosa. Na kwa kuwa hakuna nambari hasi, tunaweza kuondoa nyongeza mbele ya subtrahend na pia kuondoa mabano:
Matokeo yake ni usemi rahisi ambao ni rahisi kuhesabu. Wacha tuihesabu kwa njia yoyote inayofaa kwetu:
Mfano 11. Tafuta thamani ya usemi
Hii ni nyongeza ya nambari za busara na ishara tofauti. Wacha tuondoe moduli ndogo kutoka kwa moduli kubwa, na kabla ya jibu linalosababishwa tunaweka ishara ya nambari ya busara ambayo moduli yake ni kubwa zaidi:
Mfano 12. Tafuta thamani ya usemi 
Usemi huo una nambari kadhaa za busara. Kulingana na, kwanza kabisa unahitaji kufanya hatua kwenye mabano.
Kwanza, tunahesabu usemi, kisha tunaongeza matokeo yaliyopatikana.
Kitendo cha kwanza:
Kitendo cha pili:
Kitendo cha tatu:
Jibu: thamani ya kujieleza sawa
Mfano 13. Tafuta thamani ya usemi 
Wacha tubadilishe nambari zilizochanganywa kuwa sehemu zisizofaa:
Wacha tuweke nambari ya busara kwenye mabano pamoja na ishara yake. Hakuna haja ya kuweka nambari ya busara kwenye mabano, kwani tayari iko kwenye mabano:
Wacha tulete sehemu hizi kwa dhehebu la kawaida. Baada ya kupunguzwa kwa dhehebu la kawaida, watachukua fomu ifuatayo:
Wacha tubadilishe kutoa na kuongeza:
Tulipata nyongeza ya nambari za busara na ishara tofauti. Wacha tuondoe moduli ndogo kutoka kwa moduli kubwa, na kabla ya jibu linalosababishwa tunaweka ishara ya nambari ya busara ambayo moduli yake ni kubwa zaidi:
Kwa hivyo, maana ya usemi sawa
Hebu tuangalie kuongeza na kutoa desimali, ambazo pia ni nambari za kimantiki na zinaweza kuwa chanya au hasi.
Mfano 14. Tafuta thamani ya usemi -3.2 + 4.3
Wacha tuambatanishe kila nambari ya busara kwenye mabano pamoja na ishara zake. Tunazingatia kwamba nyongeza iliyotolewa katika usemi ni ishara ya operesheni na haitumiki kwa sehemu ya desimali 4.3. Sehemu hii ya desimali ina ishara yake ya kujumlisha, ambayo haionekani kwa sababu ya ukweli kwamba haijaandikwa. Lakini tutaiandika kwa uwazi:
(−3,2) + (+4,3)
Hii ni nyongeza ya nambari za busara na ishara tofauti. Ili kuongeza nambari za busara na ishara tofauti, unahitaji kutoa moduli ndogo kutoka kwa moduli kubwa, na kabla ya jibu linalosababisha kuweka nambari ya busara ambayo moduli yake ni kubwa. Na ili kuelewa ni moduli gani ni kubwa na ambayo ni ndogo, unahitaji kuwa na uwezo wa kulinganisha moduli za sehemu hizi za decimal kabla ya kuzihesabu:
(−3,2) + (+4,3) = |+4,3| − |−3,2| = 1,1
Moduli ya nambari 4.3 ni kubwa kuliko moduli ya nambari -3.2, kwa hivyo tuliondoa 3.2 kutoka 4.3. Tulipokea jibu 1.1. Jibu ni chanya, kwani jibu lazima litanguliwa na ishara ya nambari ya busara ambayo moduli yake ni kubwa zaidi. Na moduli ya nambari 4.3 ni kubwa kuliko moduli ya nambari -3.2
Kwa hivyo, thamani ya usemi -3.2 + (+4.3) ni 1.1
−3,2 + (+4,3) = 1,1
Mfano 15. Tafuta thamani ya usemi 3.5 + (−8.3)
Hii ni nyongeza ya nambari za busara na ishara tofauti. Kama katika mfano uliopita, tunatoa ndogo kutoka kwa moduli kubwa na kabla ya jibu tunaweka ishara ya nambari ya busara ambayo moduli yake ni kubwa zaidi:
3,5 + (−8,3) = −(|−8,3| − |3,5|) = −(8,3 − 3,5) = −(4,8) = −4,8
Kwa hivyo, thamani ya usemi 3.5 + (−8.3) ni -4.8
Mfano huu unaweza kuandikwa kwa ufupi:
3,5 + (−8,3) = −4,8
Mfano 16. Tafuta thamani ya usemi -7.2 + (-3.11)
Hii ni nyongeza ya nambari hasi za busara. Ili kuongeza nambari hasi za busara, unahitaji kuongeza moduli zao na kuweka minus mbele ya jibu linalosababisha.
Unaweza kuruka kiingilio na moduli ili usisumbue usemi:
−7,2 + (−3,11) = −7,20 + (−3,11) = −(7,20 + 3,11) = −(10,31) = −10,31
Kwa hivyo, thamani ya usemi -7.2 + (-3.11) ni -10.31
Mfano huu unaweza kuandikwa kwa ufupi:
−7,2 + (−3,11) = −10,31
Mfano 17. Tafuta thamani ya usemi -0.48 + (-2.7)
Hii ni nyongeza ya nambari hasi za busara. Wacha tuongeze moduli zao na tuweke minus mbele ya jibu linalosababisha. Unaweza kuruka kiingilio na moduli ili usisumbue usemi:
−0,48 + (−2,7) = (−0,48) + (−2,70) = −(0,48 + 2,70) = −(3,18) = −3,18
Mfano 18. Tafuta thamani ya usemi -4.9 - 5.9
Wacha tuambatanishe kila nambari ya busara kwenye mabano pamoja na ishara zake. Tunazingatia kwamba minus, ambayo iko kati ya nambari za busara -4.9 na 5.9, ni ishara ya operesheni na sio ya nambari 5.9. Nambari hii ya busara ina ishara yake ya kuongeza, ambayo haionekani kwa sababu ya ukweli kwamba haijaandikwa. Lakini tutaiandika kwa uwazi:
(−4,9) − (+5,9)
Wacha tubadilishe kutoa na kuongeza:
(−4,9) + (−5,9)
Tulipata nyongeza ya nambari hasi za busara. Wacha tuongeze moduli zao na tuweke minus mbele ya jibu linalosababisha:
(−4,9) + (−5,9) = −(4,9 + 5,9) = −(10,8) = −10,8
Kwa hivyo, thamani ya usemi -4.9 - 5.9 ni -10.8
−4,9 − 5,9 = −10,8
Mfano 19. Tafuta thamani ya usemi 7 - 9.3
Wacha tuweke kila nambari kwenye mabano pamoja na ishara zake.
(+7) − (+9,3)
Wacha tubadilishe kutoa na kuongeza
(+7) + (−9,3)
(+7) + (−9,3) = −(9,3 − 7) = −(2,3) = −2,3
Kwa hivyo, thamani ya usemi 7 - 9.3 ni -2.3
Wacha tuandike suluhisho la mfano huu kwa kifupi:
7 − 9,3 = −2,3
Mfano 20. Tafuta thamani ya usemi -0.25 − (-1.2)
Wacha tubadilishe kutoa na kuongeza:
−0,25 + (+1,2)
Tulipata nyongeza ya nambari za busara na ishara tofauti. Wacha tutoe moduli ndogo kutoka kwa moduli kubwa, na kabla ya jibu tunaweka ishara ya nambari ambayo moduli yake ni kubwa zaidi:
−0,25 + (+1,2) = 1,2 − 0,25 = 0,95
Wacha tuandike suluhisho la mfano huu kwa kifupi:
−0,25 − (−1,2) = 0,95
Mfano 21. Tafuta thamani ya usemi -3.5 + (4.1 - 7.1)
Wacha tufanye vitendo kwenye mabano, kisha ongeza jibu linalotokana na nambari -3.5
Kitendo cha kwanza:
4,1 − 7,1 = (+4,1) − (+7,1) = (+4,1) + (−7,1) = −(7,1 − 4,1) = −(3,0) = −3,0
Kitendo cha pili:
−3,5 + (−3,0) = −(3,5 + 3,0) = −(6,5) = −6,5
Jibu: thamani ya usemi -3.5 + (4.1 - 7.1) ni -6.5.
Mfano 22. Tafuta thamani ya usemi (3.5 − 2.9) - (3.7 − 9.1)
Wacha tufanye hatua kwenye mabano. Halafu, kutoka kwa nambari ambayo ilipatikana kama matokeo ya kutekeleza mabano ya kwanza, toa nambari ambayo ilipatikana kama matokeo ya kutekeleza mabano ya pili:
Kitendo cha kwanza:
3,5 − 2,9 = (+3,5) − (+2,9) = (+3,5) + (−2,9) = 3,5 − 2,9 = 0,6
Kitendo cha pili:
3,7 − 9,1 = (+3,7) − (+9,1) = (+3,7) + (−9,1) = −(9,1 − 3,7) = −(5,4) = −5,4
Kitendo cha tatu
0,6 − (−5,4) = (+0,6) + (+5,4) = 0,6 + 5,4 = 6,0 = 6
Jibu: thamani ya usemi (3.5 − 2.9) − (3.7 − 9.1) ni 6.
Mfano 23. Tafuta thamani ya usemi −3,8 + 17,15 − 6,2 − 6,15
Wacha tuambatanishe kila nambari ya busara kwenye mabano pamoja na ishara zake
(−3,8) + (+17,15) − (+6,2) − (+6,15)
Wacha tubadilishe kutoa na kuongeza inapowezekana:
(−3,8) + (+17,15) + (−6,2) + (−6,15)
Usemi huo una maneno kadhaa. Kwa mujibu wa sheria ya pamoja ya kuongeza, ikiwa usemi una maneno kadhaa, basi jumla haitategemea utaratibu wa vitendo. Hii ina maana kwamba masharti yanaweza kuongezwa kwa utaratibu wowote.
Wacha tusibuni tena gurudumu, lakini ongeza masharti yote kutoka kushoto kwenda kulia kwa mpangilio yanaonekana:
Kitendo cha kwanza:
(−3,8) + (+17,15) = 17,15 − 3,80 = 13,35
Kitendo cha pili:
13,35 + (−6,2) = 13,35 − −6,20 = 7,15
Kitendo cha tatu:
7,15 + (−6,15) = 7,15 − 6,15 = 1,00 = 1
Jibu: thamani ya usemi -3.8 + 17.15 - 6.2 - 6.15 ni 1.
Mfano 24. Tafuta thamani ya usemi
Hebu tubadilishe sehemu ya desimali -1.8 hadi nambari mchanganyiko. Wacha tuandike tena iliyobaki bila kubadilisha:
Kuchora. Operesheni za hesabu kwenye nambari za busara.
Maandishi:
Sheria za uendeshaji na nambari za busara:
. wakati wa kuongeza namba na ishara sawa, ni muhimu kuongeza modules zao na kuweka ishara yao ya kawaida mbele ya jumla;
. wakati wa kuongeza nambari mbili zilizo na ishara tofauti, kutoka kwa nambari iliyo na moduli kubwa, toa nambari na moduli ndogo na uweke ishara ya nambari na moduli kubwa mbele ya tofauti inayosababisha;
. Wakati wa kutoa nambari moja kutoka kwa nyingine, unahitaji kuongeza kwa minuend nambari iliyo kinyume na ile inayotolewa: a - b = a + (-b)
. wakati wa kuzidisha nambari mbili na ishara sawa, moduli zao zinazidishwa na ishara ya pamoja imewekwa mbele ya bidhaa inayosababisha;
. wakati wa kuzidisha nambari mbili na ishara tofauti, moduli zao zinazidishwa na ishara ya minus imewekwa mbele ya bidhaa inayosababisha;
. wakati wa kugawanya nambari na ishara sawa, moduli ya mgawanyiko imegawanywa na moduli ya mgawanyiko na ishara ya pamoja imewekwa mbele ya mgawo unaosababisha;
. wakati wa kugawanya nambari na ishara tofauti, moduli ya mgawanyiko imegawanywa na moduli ya mgawanyiko na ishara ya minus imewekwa mbele ya mgawo unaosababisha;
. Wakati wa kugawanya na kuzidisha sifuri kwa nambari yoyote isiyo sawa na sifuri, matokeo ni sifuri:
. Huwezi kugawanya kwa sifuri.
Makala hii inatoa muhtasari mali ya shughuli na nambari za busara. Kwanza, mali ya msingi ambayo mali nyingine zote ni msingi zinatangazwa. Baada ya hayo, mali zingine zinazotumiwa mara kwa mara za shughuli zilizo na nambari za busara hupewa.
Urambazaji wa ukurasa.
Hebu tuorodheshe mali ya msingi ya shughuli na nambari za busara(a, b na c ni nambari za kimantiki za kiholela):
- Mali ya ubadilishaji ya nyongeza a+b=b+a.
- Sifa ya pamoja ya nyongeza (a+b)+c=a+(b+c) .
- Kuwepo kwa kipengele cha neutral kwa kuongeza - sifuri, nyongeza ambayo kwa nambari yoyote haibadilishi nambari hii, yaani, a+0=a.
- Kwa kila nambari ya kimantiki a kuna nambari inayopingana −a hivi kwamba a+(−a)=0.
- Sifa ya kubadilisha ya kuzidisha nambari za kimantiki a·b=b·a.
- Sifa ya kuchanganya ya kuzidisha (a·b)·c=a·(b·c) .
- Kuwepo kwa kipengele cha upande wowote cha kuzidisha ni kitengo, kuzidisha ambacho nambari yoyote haibadilishi nambari hii, ambayo ni, a·1=a.
- Kwa kila nambari ya kimantiki isiyo sifuri a kuna nambari ya kinyume a -1 kiasi kwamba a·a −1 =1 .
- Hatimaye, kujumlisha na kuzidisha kwa nambari za kimantiki kunahusiana na sifa ya ugawaji ya kuzidisha kuhusiana na kuongeza: a·(b+c)=a·b+a·c.
Sifa zilizoorodheshwa za shughuli zilizo na nambari za busara ni za msingi, kwani mali zingine zote zinaweza kupatikana kutoka kwao.
Mali nyingine muhimu
Mbali na sifa tisa zilizoorodheshwa za msingi za shughuli na nambari za busara, kuna idadi ya mali zinazotumiwa sana. Hebu tuwape muhtasari mfupi.
Wacha tuanze na mali, ambayo imeandikwa kwa kutumia herufi kama a·(−b)=−(a·b) au kwa mujibu wa mali ya mabadiliko ya kuzidisha kama (−a) b=−(a b). Sheria ya kuzidisha nambari za busara na ishara tofauti hufuata moja kwa moja kutoka kwa mali hii; Sifa hii inafafanua sheria "pamoja na kuzidishwa kwa minus ni minus, na minus iliyozidishwa na plus ni minus."
Hapa kuna mali ifuatayo: (−a)·(−b)=a·b. Hii inamaanisha sheria ya kuzidisha nambari hasi za busara; katika kifungu hiki utapata uthibitisho wa usawa hapo juu. Sifa hii inalingana na kanuni ya kuzidisha "minus times minus is plus."
Bila shaka, inafaa kuzingatia kuzidisha nambari ya busara ya kiholela kwa sifuri: a·0=0 au 0 a=0. Wacha tuthibitishe mali hii. Tunajua kwamba 0=d+(−d) kwa d yoyote ya kimantiki, kisha a·0=a·(d+(−d)) . Sifa ya usambazaji inaruhusu usemi unaotokana kuandikwa upya kama a·d+a·(−d) , na kwa kuwa a·(−d)=−(a·d) , basi. a·d+a·(−d)=a·d+(−(a·d)). Kwa hivyo tulifikia jumla ya nambari mbili zinazopingana, sawa na a·d na −(a·d), jumla yao inatoa sifuri, ambayo inathibitisha usawa a·0=0.
Ni rahisi kugundua kuwa hapo juu tuliorodhesha tu mali ya kuongeza na kuzidisha, wakati hakuna neno lililosemwa juu ya mali ya kutoa na mgawanyiko. Hii ni kwa sababu ya ukweli kwamba kwenye seti ya nambari za busara, vitendo vya kutoa na kugawanya vimeainishwa kama kinyume cha kuongeza na kuzidisha, mtawaliwa. Hiyo ni, tofauti a-b ni jumla ya a+(−b), na mgawo a:b ni bidhaa a·b-1 (b≠0).
Kwa kuzingatia ufafanuzi huu wa kutoa na mgawanyiko, pamoja na mali ya msingi ya kuongeza na kuzidisha, unaweza kuthibitisha mali yoyote ya shughuli na nambari za busara.
Kama mfano, hebu tuthibitishe sifa ya usambazaji wa kuzidisha inayohusiana na kutoa: a·(b−c)=a·b−a·c. Msururu ufuatao wa usawa unashikilia: a·(b−c)=a·(b+(−c))= a·b+a·(−c)=a·b+(−(a·c))=a·b−a·c, ambayo ni ushahidi.
Hakimiliki na wanafunzi wajanja
Haki zote zimehifadhiwa.
Imelindwa na sheria ya hakimiliki. Hakuna sehemu ya www.site, ikijumuisha nyenzo za ndani na mwonekano, inayoweza kunakiliwa kwa njia yoyote au kutumika bila idhini ya maandishi ya mwenye hakimiliki.