Mlinganyo wa tofauti wa Bernoulli
ni equation ya fomu:
, wapi n ≠ 0
, n ≠ 1
, p na q ni vitendaji vya x.
Kutatua mlingano wa tofauti wa Bernoulli kwa kupunguza hadi mlinganyo wa mstari
Fikiria usawa wa tofauti wa Bernoulli:
(1)
,
wapi n ≠ 0
, n ≠ 1
, p na q ni vitendaji vya x.
Hebu tugawanye kwa y n. Wakati y ≠ 0
au n< 0
tuna:
(2)
.
Equation hii inaweza kupunguzwa kwa equation ya mstari kwa kutumia mabadiliko ya kutofautiana:
.
Hebu tuonyeshe. Kulingana na sheria ya kutofautisha kazi ngumu:
;
.
Hebu tubadilishe (2)
na kubadilisha:
;
.
Huu ni mstari, unaohusiana na z, mlingano wa kutofautisha. Baada ya kuitatua, kwa n > 0
, tunapaswa kuzingatia kesi y = 0
. Wakati n > 0
, y = 0
pia ni suluhisho la equation (1)
na inapaswa kujumuishwa katika jibu.
Suluhisho kwa njia ya Bernoulli
Equation katika swali (1)
inaweza pia kutatuliwa kwa njia ya Bernoulli. Ili kufanya hivyo, tunatafuta suluhisho la equation ya asili katika mfumo wa bidhaa ya kazi mbili:
y = u·v ,
ambapo wewe na v ni kazi za x. Tofautisha kwa heshima na x:
y′ = u′ v + u v′.
Badilisha katika mlingano asilia (1)
:
;
(3)
.
Kama v tunachukua suluhisho lolote lisilo la sifuri la equation:
(4)
.
Mlinganyo (4)
ni mlinganyo wenye vigeu vinavyoweza kutenganishwa. Tunaisuluhisha na kupata suluhisho fulani v = v (x). Tunabadilisha suluhisho maalum ndani (3)
. Kwa kuwa inakidhi mlinganyo (4)
, kisha usemi kwenye mabano unakuwa sufuri. Tunapata:
;
.
Hapa v ni kazi inayojulikana tayari ya x. Huu ni mlinganyo wenye vigeu vinavyoweza kutenganishwa. Tunapata suluhu yake ya jumla, na nayo suluhu ya mlinganyo wa asili y = uv.
Mfano wa kutatua usawa wa tofauti wa Bernoulli
Tatua mlinganyo
Suluhisho
Kwa mtazamo wa kwanza, mlinganyo huu wa tofauti hauonekani kuwa sawa na mlinganyo wa Bernoulli. Ikiwa tunazingatia x kuwa kigezo huru na y kuwa kigezo tegemezi (yaani, ikiwa y ni kazi ya x), basi hii ni kweli. Lakini ikiwa tutazingatia y kuwa kigezo huru na x kuwa kigezo tegemezi, basi ni rahisi kuona kwamba hii ni mlinganyo wa Bernoulli.
Kwa hivyo, tunadhani kwamba x ni kazi ya y. Wacha tubadilishe na tuzidishe kwa:
;
;
(Uk.1) .
Huu ni mlinganyo wa Bernoulli na n = 2
. Inatofautiana na mlinganyo uliojadiliwa hapo juu (1)
, tu kwa nukuu ya vigeu (x badala ya y). Tunatatua kwa njia ya Bernoulli. Wacha tufanye mbadala:
x = wewe v ,
ambapo wewe na v ni kazi za y. Tofautisha kwa heshima na y:
.
Hebu tubadilishe (Uk.1):
;
(Uk.2) .
Tunatafuta chaguo za kukokotoa zisizo za sifuri v (y), kukidhi equation:
(Uk.3) .
Tunatenganisha vigezo:
;
;
.
Acha C = 0
, kwani tunahitaji suluhisho lolote la equation (Uk.3).
;
.
Hebu tubadilishe (Uk.2) kwa kuzingatia kuwa usemi kwenye mabano ni sawa na sifuri (kutokana na (Uk.3)):
;
;
.
Hebu tutenganishe vigezo. Wakati wewe ≠ 0
tuna:
;
(Uk.4) ;
.
Katika muunganisho wa pili tunabadilisha:
;
.
Mlinganyo wa kutofautisha y" +a 0 (x)y=b(x)y n unaitwa Mlinganyo wa Bernoulli.
Kwa kuwa na n = 0 usawa wa mstari unapatikana, na kwa n = 1 - na vigezo vinavyoweza kutenganishwa, tunadhani kuwa n ≠ 0 na n ≠ 1. Gawanya pande zote mbili za (1) na y n. Kisha, kuweka, tuna. Kubadilisha usemi huu, tunapata 
, au, ambayo ni kitu kimoja, z" + (1-n)a 0 (x)z = (1-n)b(x). Huu ni mlinganyo wa mstari ambao tunajua jinsi ya kutatua.
Kusudi la huduma. Kikokotoo cha mtandaoni kinaweza kutumika kuangalia suluhisho Milinganyo tofauti ya Bernoulli.
Mfano 1. Tafuta suluhu la jumla la mlinganyo y" + 2xy = 2xy 3. Huu ni mlinganyo wa Bernoulli wa n=3. Kugawanya pande zote mbili za mlinganyo kwa y 3 tunapata. Fanya mabadiliko. Kisha na kwa hivyo mlinganyo huo umeandikwa upya kama -z. " + 4xz = 4x. Kutatua equation hii kwa njia ya tofauti ya mara kwa mara ya kiholela, tunapata 
wapi 
au, ni nini sawa, 
.
Mfano 2. y"+y+y 2 =0
y"+y = -y 2
Gawanya kwa y 2
y"/y 2 + 1/y = -1
Tunafanya mbadala:
z=1/y n-1 , i.e. z = 1/y 2-1 = 1/y
z = 1/y
z"= -y"/y 2
Tunapata: -z" + z = -1 au z" - z = 1
Mfano 3. xy’+2y+x 5 y 3 e x =0
Suluhisho.
a) Suluhisho kupitia mlingano wa Bernoulli.
Hebu tuwasilishe katika umbo: xy’+2y=-x 5 y 3 e x . Huu ni mlinganyo wa Bernoulli wa n=3. Kugawanya pande zote mbili za mlinganyo kwa y 3 tunapata: xy"/y 3 +2/y 2 =-x 5 e x. Tunafanya uingizwaji: z=1/y 2. Kisha z"=-2/y 3 na kwa hivyo mlinganyo huo huandikwa upya katika umbo : -xz"/2+2z=-x 5 e x. Huu ni mlinganyo usio homogeneous. Zingatia mlingano wa homogeneous: -xz"/2+2z=0
1. Kuisuluhisha, tunapata: z"=4z/x
Kuunganisha, tunapata:
ln(z) = 4ln(z)
z=x4. Sasa tunatafuta suluhu la mlingano asilia katika muundo: y(x) = C(x)x 4 , y"(x) = C(x)"x 4 + C(x)(x 4)"
-x/2(4C(x) x 3 +C(x)" x 4)+2y=-x 5 e x
-C(x)" x 5 /2 = -x 5 e x au C(x)" = 2e x . Kuunganisha, tunapata: C(x) = ∫2e x dx = 2e x +C
Kutoka kwa hali y(x)=C(x)y, tunapata: y(x) = C(x)y = x 4 (C+2e x) au y = Cx 4 +2x 4 e x. Tangu z=1/y 2, tunapata: 1/y 2 = Cx 4 +2x 4 e x
Mlinganyo wa Bernoulli ni moja ya maarufu milinganyo tofauti isiyo ya mstari ya mpangilio wa kwanza. Imeandikwa kwa fomu
Wapi a(x) Na b(x) ni vitendaji vinavyoendelea. Kama m= 0, basi mlingano wa Bernoulli unakuwa mlinganyo wa kutofautisha wa mstari. Katika kesi wakati m= 1, mlinganyo unakuwa mlinganyo unaoweza kutenganishwa. Kwa ujumla, lini m≠ 0.1, mlinganyo wa Bernoulli umepunguzwa hadi mlinganyo wa mstari tofauti kwa kutumia kibadala
Mlinganyo mpya wa utofautishaji wa chaguo za kukokotoa z(x) ina fomu
na inaweza kutatuliwa kwa kutumia mbinu zilizoelezwa kwenye ukurasa Milinganyo ya tofauti ya mstari wa mpangilio wa kwanza.
BERNOULI METHOD.
Equation inayozingatiwa inaweza kutatuliwa kwa njia ya Bernoulli. Ili kufanya hivyo, tunatafuta suluhisho la equation ya awali kwa namna ya bidhaa ya kazi mbili: wapi wewe, v- kazi kutoka x. Tofautisha: Badilisha katika mlingano asilia (1): 
(2) Kama v Wacha tuchukue suluhisho lolote lisilo la sifuri kwa equation: 
(3) Mlingano (3) ni mlingano wenye viambishi vinavyoweza kutenganishwa. Baada ya kupata suluhisho lake maalum v = v(x), ibadilishe kuwa (2). Kwa kuwa inatosheleza mlingano (3), usemi katika mabano huwa sufuri. Tunapata: 
Huu pia ni mlinganyo unaoweza kutenganishwa. Tunapata suluhisho lake la jumla, na kwa hilo suluhisho la mlinganyo wa asili y = uv.
64. Mlingano katika tofauti za jumla. Kipengele cha kuunganisha. Mbinu za suluhisho
Agiza kwanza mlinganyo wa kutofautisha wa fomu
kuitwa equation katika tofauti za jumla, ikiwa upande wake wa kushoto unawakilisha tofauti kamili ya kazi fulani, i.e.
Nadharia. Ili equation (1) iwe equation katika tofauti za jumla, ni muhimu na ya kutosha kwamba katika baadhi ya kikoa kilichounganishwa cha mabadiliko ya vigezo hali imeridhika.
Muunganisho wa jumla wa mlingano (1) una fomu au
Mfano 1. Tatua mlingano wa tofauti.
Suluhisho. Wacha tuangalie kuwa equation hii ni equation ya kutofautisha jumla:
hivyo ndivyo sharti (2) limeridhika. Kwa hivyo, equation hii ni equation katika tofauti za jumla na
kwa hivyo, ambapo bado kuna kazi isiyofafanuliwa.
Kuunganisha, tunapata. derivative sehemu ya kazi kupatikana lazima kuwa sawa na, ambayo inatoa kutoka wapi ili Hivyo,.
Muhimu wa jumla wa mlingano wa awali wa tofauti.
Wakati wa kuunganisha milinganyo ya tofauti, maneno yanaweza kuwekwa kwa njia ambayo michanganyiko inayoweza kuunganishwa kwa urahisi hupatikana.
65. Milinganyo ya kawaida ya tofauti ya mstari wa maagizo ya juu: homogeneous na inhomogeneous. Opereta tofauti ya mstari, mali zake (pamoja na uthibitisho).
Opereta tofauti ya mstari na sifa zake. Seti ya kazi zilizo na muda ( a , b ) sio chini n derivatives, huunda nafasi ya mstari. Fikiria mwendeshaji L n (y ), ambayo inaonyesha kazi y (x ), kuwa na viasili, kuwa kitendakazi kuwa k - n derivatives.
Mlinganyo wa tofauti wa Bernoulli ni mlinganyo wa fomu
ambapo n≠0,n≠1.
Mlinganyo huu unaweza kupangwa upya kwa kutumia mbadala
kwenye mlinganyo wa mstari
Kwa mazoezi, mlinganyo wa tofauti wa Bernoulli kawaida haupunguzwi kwa mstari, lakini hutatuliwa mara moja kwa kutumia njia sawa na equation ya mstari - ama njia ya Bernoulli au njia ya utofauti wa mara kwa mara ya kiholela.
Wacha tuangalie jinsi ya kutatua mlinganyo wa tofauti wa Bernoulli kwa kutumia mbadala y=uv (mbinu ya Bernoulli). Mpango wa suluhisho ni sawa na kwa .
Mifano. Tatua milinganyo:
1) y’x+y=-xy².
Huu ni mlinganyo wa tofauti wa Bernoulli. Wacha tuilete kwa fomu ya kawaida. Ili kufanya hivyo, gawanya sehemu zote mbili kwa x: y’+y/x=-y². Hapa p(x)=1/x, q(x)=-1, n=2. Lakini hatuhitaji mtazamo wa kawaida kutatua hili. Tutafanya kazi na fomu ya kurekodi iliyotolewa katika hali hiyo.
1) Ubadilishaji y=uv, ambapo u=u(x) na v=v(x) ni baadhi ya kazi mpya za x. Kisha y’=(uv)’=u’v+v’u. Tunabadilisha misemo inayotokana na hali: (u’v+v’u)x+uv=-xu²v².
2) Hebu tufungue mabano: u’vx+v’ux+uv=-xu²v². Sasa hebu tuunganishe masharti na v: v+v’ux=-xu²v² (I) (hatugusi neno na digrii v, ambayo iko upande wa kulia wa mlinganyo). Sasa tunahitaji usemi katika mabano uwe sawa na sufuri: u’x+u=0. Na huu ni mlinganyo wenye viambishi vinavyoweza kutenganishwa u na x. Baada ya kusuluhisha, tutakupata. Tunabadilisha u=du/dx na kutenganisha vigeu: x·du/dx=-u. Tunazidisha pande zote mbili za equation na dx na kugawanya kwa xu≠0:
(tukipata u C tunaichukua sawa na sifuri).
3) Katika equation (I) tunabadilisha =0 na kazi iliyopatikana u=1/x. Tuna mlingano: v’·(1/x)·x=-x·(1/x²)·v². Baada ya kurahisisha: v’=-(1/x)·v². Huu ni mlinganyo ulio na viambatisho vinavyoweza kutenganishwa v na x. Tunabadilisha v’=dv/dx na kutenganisha vigeu: dv/dx=-(1/x)·v². Tunazidisha pande zote mbili za equation kwa dx na kugawanya kwa v²≠0:
(tulichukua -C ili, kwa kuzidisha pande zote mbili kwa -1, kuondoa minus). Kwa hivyo, zidisha kwa (-1):
(mtu anaweza kuchukua si C, lakini ln│C│, na katika kesi hii itakuwa v=1/ln│Cx│).
2) 2y’+2y=xy².
Wacha tuhakikishe kuwa huu ni mlinganyo wa Bernoulli. Tukigawanya sehemu zote mbili kwa 2, tunapata y’+y=(x/2) y². Hapa p(x)=1, q(x)=x/2, n=2. Tunatatua equation kwa kutumia njia ya Bernoulli.
1) Uingizwaji y=uv, y’=u’v+v’u. Tunabadilisha semi hizi katika hali asili: 2(u’v+v’u)+2uv=xu²v².
2) Fungua mabano: 2u’v+2v’u+2uv=xu²v². Sasa hebu tupange masharti yaliyo na v: +2v’u=xu²v² (II). Tunahitaji usemi katika mabano uwe sawa na sufuri: 2u’+2u=0, kwa hivyo u’+u=0. Huu ni mlingano wa u na x unaoweza kutenganishwa. Hebu tuitatue na tukutafute. Tunabadilisha u’=du/dx, kutoka mahali ambapo du/dx=-u. Kuzidisha pande zote mbili za equation kwa dx na kugawanya kwa u≠0, tunapata: du/u=-dx. Wacha tuunganishe:
3) Badilisha katika (II) =0 na
Sasa tunabadilisha v'=dv/dx na kutenganisha vigeuzo:
Wacha tuunganishe:
Upande wa kushoto wa usawa ni jedwali muhimu, kiunga cha upande wa kulia kinapatikana kwa kutumia ujumuishaji na fomula ya sehemu:
Kubadilisha iliyopatikana v na du kwa kutumia ujumuishaji wa fomula ya sehemu tunayo:
Na tangu
Wacha tufanye C=-C:
4) Kwa kuwa y=uv, tunabadilisha kazi zilizopatikana u na v:
3) Unganisha mlingano x²(x-1)y’-y²-x(x-2)y=0.
Wacha tugawanye pande zote mbili za mlinganyo kwa x²(x-1)≠0 na usogeze neno na y² upande wa kulia:
Huu ni mlinganyo wa Bernoulli
1) Uingizwaji y=uv, y’=u’v+v’u. Kama kawaida, tunabadilisha semi hizi katika hali asili: x²(x-1)(u’v+v’u)-u²v²-x(x-2)uv=0.
2) Kwa hivyo x²(x-1)u’v+x²(x-1)v’u-x(x-2)uv=u²v². Tunaweka masharti yaliyo na v (v² - usiguse):
v+x²(x-1)v’u=u²v² (III). Sasa tunahitaji kwamba usemi katika mabano uwe sawa na sufuri: x²(x-1)u’-x(x-2)u=0, kwa hivyo x²(x-1)u’=x(x-2)u. Katika equation tunatenganisha vigezo u na x, u’=du/dx: x²(x-1)du/dx=x(x-2)u. Tunazidisha pande zote mbili za mlinganyo kwa dx na kugawanya kwa x²(x-1)u≠0:
Upande wa kushoto wa equation ni tabular muhimu. Sehemu ya busara upande wa kulia lazima igawanywe kuwa sehemu rahisi zaidi:
Kwa x=1: 1-2=A·0+B·1, inatoka wapi B=-1.
Kwa x=0: 0-2=A(0-1)+B·0, inatoka wapi A=2.
ln│u│=2ln│x│-ln│x-1│. Kulingana na sifa za logariti: ln│u│=ln│x²/(x-1)│, inatoka wapi u=x²/(x-1).
3) Katika usawa (III) tunabadilisha =0 na u=x²/(x-1). Tunapata: 0+x²(x-1)v’u=u²v²,
v’=dv/dx, mbadala:
badala ya C, tunachukua - C, ili, kwa kuzidisha sehemu zote mbili na (-1), tunaondoa minuses:
Sasa wacha tupunguze misemo iliyo upande wa kulia hadi dhehebu la kawaida na tupate v:
4) Kwa kuwa y=uv, kubadilisha kazi zilizopatikana u na v, tunapata:
Mifano ya kujipima mwenyewe:
1) Wacha tuhakikishe kuwa hii ni mlinganyo wa Bernoulli. Kugawanya pande zote mbili kwa x, tunayo:
1) Uingizwaji y=uv, kutoka mahali y’=u’v+v’u. Tunabadilisha hizi y na y' katika hali ya asili:
2) Weka masharti na v:
Sasa tunahitaji usemi kwenye mabano uwe sawa na sufuri na upate kutoka kwa hali hii:
Wacha tuunganishe pande zote mbili za equation:
3) Katika equation (*) tunabadilisha =0 na u=1/x²:
Wacha tuunganishe pande zote mbili za equation inayosababishwa.