Pata derivative ya chaguo za kukokotoa za trigonometric. Somo la algebra na mwanzo wa uchambuzi "derivative ya kazi za trigonometric"

Kutafuta derivative ya kazi ya trigonometric haja ya kutumia jedwali la derivatives, yaani derivatives 6-13.

Unapopata derivatives kuu kazi za trigonometric Ili kuepuka makosa ya kawaida, unapaswa kuzingatia pointi zifuatazo:

• katika usemi wa utendakazi, mojawapo ya istilahi huwa mara nyingi sine, kosine au kitendakazi kingine cha trigonometriki sio kutoka kwa hoja ya kazi, lakini kutoka kwa nambari (mara kwa mara), kwa hiyo derivative ya neno hili ni sawa na sifuri;
• karibu kila wakati unahitaji kurahisisha usemi uliopatikana kama matokeo ya kutofautisha, na kwa hili unahitaji kutumia ujuzi wa shughuli na sehemu kwa ujasiri;
• ili kurahisisha usemi ambao karibu kila wakati unahitaji kujua vitambulisho vya trigonometric, kwa mfano, formula pembe mbili na fomula ya umoja kama jumla ya miraba ya sine na kosine.

Mfano 1. Tafuta derivative ya chaguo za kukokotoa

Suluhisho. Hebu tuseme na derivative ya cosine kila kitu kiko wazi, wengi wanaoanza kusoma derivatives watasema. Vipi kuhusu inayotokana na sine kumi na mbili kugawanywa na pi? Jibu: hesabu sawa na sifuri! Hapa sine (kazi baada ya yote!) ni mtego, kwa sababu hoja sio mabadiliko ya X au kigezo kingine chochote, lakini nambari tu. Hiyo ni, sine ya nambari hii pia ni nambari. Na derivative ya nambari (mara kwa mara), kama tunavyojua kutoka kwa jedwali la derivatives, ni sawa na sifuri. Kwa hivyo, tunaacha tu minus sine ya X na kupata derivative yake, bila kusahau kuhusu ishara:

.

Mfano 2. Tafuta derivative ya chaguo za kukokotoa

.

Suluhisho. Muhula wa pili ni kesi sawa na muhula wa kwanza katika mfano uliopita. Hiyo ni, ni nambari, na derivative ya nambari ni sifuri. Tunapata derivative ya neno la pili kama derivative ya mgawo:

Mfano 3. Tafuta derivative ya chaguo za kukokotoa

Suluhisho. Hili ni tatizo lingine: hapa katika muda wa kwanza hakuna arcsine au kazi nyingine ya trigonometic, lakini kuna x, ambayo ina maana ni kazi ya x. Kwa hivyo, tunaitofautisha kama neno katika jumla ya kazi:

Hapa ujuzi katika shughuli na sehemu ulihitajika, yaani, katika kuondoa muundo wa hadithi tatu wa sehemu.

Mfano 4. Tafuta derivative ya chaguo za kukokotoa

.

Suluhisho. Hapa barua "phi" ina jukumu sawa na "x" katika kesi zilizopita (na kwa wengine wengi, lakini sio wote) - kutofautiana kwa kujitegemea. Kwa hiyo, tunapotafuta derivative ya bidhaa ya kazi, hatutaharakisha kutangaza derivative ya mzizi wa "phi" sawa na sifuri. Kwa hivyo:

Lakini suluhisho haliishii hapo. Kwa kuwa maneno sawa yanakusanywa katika mabano mawili, bado tunahitajika kubadilisha (kurahisisha) usemi. Kwa hivyo, tunazidisha mabano kwa sababu zilizo nyuma yao, na kisha tunaleta masharti kwa dhehebu la kawaida na kufanya mabadiliko mengine ya kimsingi:

Mfano 5. Tafuta derivative ya chaguo za kukokotoa

Suluhisho. Katika mfano huu, tutahitaji kujua ukweli kwamba kuna kazi kama hiyo ya trigonometric - secant - na fomula zake kupitia cosine. Wacha tutofautishe:

Mfano 6. Tafuta derivative ya chaguo za kukokotoa

.

Suluhisho. Katika mfano huu, tutahitajika kukumbuka fomula ya pembe mbili kutoka shuleni. Lakini kwanza tufafanue:

,

(hii ndio fomula ya pembe mbili)

Kutoka kwa mwendo wa jiometri na hisabati, watoto wa shule wamezoea ukweli kwamba wazo la derivative hupitishwa kwao kupitia eneo la takwimu, tofauti, mipaka ya kazi, na mipaka. Hebu jaribu kuangalia dhana ya derivative kutoka pembe tofauti, na kuamua jinsi kazi za derivative na trigonometric zinaweza kuunganishwa.

Kwa hivyo, wacha tuzingatie mduara fulani wa kiholela ambao unaelezewa na kazi ya kufikirika y = f(x).

Hebu fikiria kwamba ratiba ni ramani ya njia ya utalii. Ongezeko ∆x (delta x) katika takwimu ni umbali fulani wa njia, na ∆y ni mabadiliko ya urefu wa njia juu ya usawa wa bahari.
Kisha inageuka kuwa uwiano ∆x/∆y utaonyesha ugumu wa njia kwenye kila sehemu ya njia. Baada ya kujifunza thamani hii, unaweza kusema kwa ujasiri ikiwa kupanda/kuteremka ni mwinuko, ikiwa utahitaji vifaa vya kupanda na ikiwa watalii wanahitaji kifaa fulani. mafunzo ya kimwili. Lakini kiashiria hiki kitakuwa halali kwa moja tu pengo ndogo∆x.

Ikiwa mratibu wa safari anachukua maadili ya awali na pointi za mwisho njia, yaani, ∆x - itakuwa sawa na urefu njia, haitaweza kupata data ya lengo kuhusu kiwango cha ugumu wa safari. Kwa hiyo, ni muhimu kujenga grafu nyingine ambayo itaonyesha kasi na "ubora" wa mabadiliko katika njia, kwa maneno mengine, kuamua uwiano ∆x/∆y kwa kila "mita" ya njia.

Grafu hii itakuwa derivative ya taswira ya njia mahususi na itaeleza kwa ukamilifu mabadiliko yake katika kila kipindi cha riba. Ni rahisi sana kuthibitisha hili; thamani ∆x/∆y si chochote zaidi ya tofauti iliyochukuliwa maana maalum x na y. Wacha tutumie utofautishaji sio kwa kuratibu maalum, lakini kwa kazi kwa ujumla:

Vitendaji vya derivative na trigonometric

Vitendaji vya Trigonometric vimeunganishwa kwa njia isiyoweza kutenganishwa na viasili. Hii inaweza kueleweka kutoka kwa mchoro ufuatao. Kwenye picha mhimili wa kuratibu kazi Y = f (x) imeonyeshwa - curve ya bluu.

K (x0; f (x0)) - hatua ya kiholela, x0 + ∆x ni nyongeza kwenye mhimili wa OX, na f (x0 + ∆x) ni nyongeza kando ya mhimili wa OY katika hatua fulani L.

Wacha tuchore mstari wa moja kwa moja kupitia alama K na L na tujenge pembetatu ya kulia KLN. Ikiwa unasogeza kiakili sehemu ya LN kando ya grafu Y = f (x), basi pointi L na N zitaelekea kwenye maadili K (x0; f (x0)). Wacha tuite hatua hii mwanzo wa masharti wa grafu - kikomo; ikiwa chaguo la kukokotoa ni lisilo na kikomo, angalau kwenye moja ya vipindi, tabia hii pia itakuwa isiyo na kikomo, na thamani yake ya kizuizi iko karibu na 0.

Hali ya tabia hii inaweza kuelezewa na tangent kwa hatua iliyochaguliwa y = kx + b au kwa grafu ya derivative ya kazi ya awali dy - mstari wa moja kwa moja wa kijani.

Lakini trigonometry iko wapi hapa?! Kila kitu ni rahisi sana, fikiria pembetatu sahihi KLN. Thamani ya kutofautisha ya ncha maalum K ni tanjiti ya pembe α au ∠K:

Kwa njia hii, tunaweza kuelezea maana ya kijiometri ya derivative na uhusiano wake na kazi za trigonometric.

Miundo inayotokana na chaguo za kukokotoa za trigonometric

Mabadiliko ya sine, kosine, tanjiti na kotangent wakati wa kubainisha derivative lazima yakaririwe.

Fomula mbili za mwisho sio kosa, hoja ni kwamba kuna tofauti kati ya kufafanua derivative ya hoja rahisi na chaguo la kukokotoa katika nafasi sawa.

Hebu tuzingatie meza ya kulinganisha na fomula za derivatives ya sinus, cosine, tangent na cotangent:

Fomula pia zimetolewa kwa ajili ya derivatives ya arcsine, arccosine, arctangent na arccotangent, ingawa hutumiwa mara chache sana:

Ni muhimu kuzingatia kwamba fomula hapo juu haitoshi kwa suluhisho la mafanikio kazi za kawaida Uchunguzi wa Jimbo la Umoja, nini kitaonyeshwa wakati wa kutatua mfano halisi inatafuta derivative ya usemi wa trigonometric.

Zoezi: Inahitajika kupata derivative ya chaguo la kukokotoa na kupata thamani yake kwa π/4:

Suluhisho: Ili kupata y’ ni muhimu kukumbuka fomula za kimsingi za kubadilisha chaguo la kukokotoa asilia kuwa derivative, yaani.

Mada:"Derivative ya kazi za trigonometric".
Aina ya somo- somo katika kuunganisha maarifa.
Fomu ya somo- somo lililounganishwa.
Mahali pa somo katika mfumo wa somo la sehemu hii- somo la jumla.
Malengo yamewekwa kwa kina:

• kielimu: kujua sheria za kutofautisha, kuwa na uwezo wa kutumia sheria za kuhesabu derivatives wakati wa kutatua equations na usawa; kuboresha somo, ikiwa ni pamoja na computational, ujuzi na uwezo; Ujuzi wa kompyuta;
• kuendeleza: maendeleo ya ujuzi wa kiakili na mantiki na maslahi ya utambuzi;
• kielimu: kukuza uwezo wa kubadilika hali ya kisasa mafunzo.

Mbinu:

• uzazi na uzalishaji;
• vitendo na maneno;
• kazi ya kujitegemea;
• kujifunza kwa programu, T.S.O.;
• mchanganyiko wa mbele, kikundi na kazi ya mtu binafsi;
• kujifunza tofauti;
• kwa kufata neno.

Fomu za udhibiti:

• uchunguzi wa mdomo,
• udhibiti uliopangwa,
• kazi ya kujitegemea,
• kazi za mtu binafsi kwenye kompyuta,
• ukaguzi wa rika kwa kutumia kadi ya uchunguzi ya mwanafunzi.

WAKATI WA MADARASA

I. Wakati wa kuandaa

II. Usasishaji wa maarifa ya kumbukumbu

a) Mawasiliano ya malengo na malengo:

• kujua sheria za kutofautisha, kuwa na uwezo wa kutumia sheria za kuhesabu derivatives wakati wa kutatua shida, usawa na usawa;
• kuboresha somo, ikiwa ni pamoja na computational, ujuzi na uwezo; Ujuzi wa kompyuta;
• kukuza ujuzi wa kiakili na kimantiki na maslahi ya utambuzi;
• kukuza uwezo wa kuzoea hali ya kisasa ya kujifunza.

b) Kurudiwa kwa nyenzo za kielimu

Sheria za kuhesabu derivatives (kurudia fomula kwenye kompyuta na sauti). hati.7.

1. Je, derivative ya sine ni nini?
2. Je, derivative ya cosine ni nini?
3. Je, derivative ya tangent ni nini?
4. Je, derivative ya cotangent ni nini?

III. Kazi ya mdomo

Tafuta derivative.
Chaguo 1.		Chaguo la 2.
katika = 2X + 5.		katika = 2X – 5.
katika= 4cos X.		katika= 3 dhambi X.
katika=tg X+ctg X.		katika=tg X-ctg X.
katika= dhambi 3 X.		katika= cos 4 X.
Chaguzi za kujibu.
	- 4 dhambi X		- 3 cos X
1/cos 2 X+ 1/dhambi 2 X	1/cos 2 X-1/dhambi 2 X	1/dhambi 2 X-1/cos 2 X
	- 4 dhambi 4 X		- 3 kos3 X

Badilishana daftari. Katika kadi za uchunguzi, alama kazi zilizokamilishwa kwa usahihi na ishara +, na kazi zilizokamilishwa vibaya na - ishara.

IV. Kutatua milinganyo kwa kutumia derivative

- Jinsi ya kupata alama ambazo derivative ni sifuri?

Ili kupata pointi ambayo derivative kipengele hiki sawa na sifuri, unahitaji:

- kuamua asili ya kazi;
- Tafuta eneo ufafanuzi wa kazi,
- pata derivative ya kipengele hiki,
- kutatua equation f "(x) = 0,
- Chagua jibu sahihi.

Jukumu la 1.

Imetolewa: katika = X-dhambi x.
Tafuta: pointi ambapo derivative ni sifuri.
Suluhisho. Kazi inafafanuliwa na kutofautishwa kwenye seti ya nambari zote halisi, kwani kazi zinafafanuliwa na kutofautishwa kwenye seti ya nambari zote halisi. g(x) = x Na t(x) = - dhambi x.
Kwa kutumia sheria za kutofautisha, tunapata f "(x) = (x-dhambi x)" = (x)" - (dhambi x)" = 1 - cos x.
Kama f "(x) = 0, kisha 1 - cos x = 0.
cos x= 1/; tuachane na ujinga kwenye denominator, we get cos x = /2.
Kulingana na formula t= ± arccos a+ 2n, n Z, tunapata: X= ± arccos /2 + 2n, n Z.
Jibu: x = ± /4 + 2n, n Z.

V. Kutatua milinganyo kwa kutumia algoriti

Tafuta ni sehemu zipi derivative inatoweka.

f(x) = dhambi x+cos x

f(x) = dhambi 2 x – x

f(x) = 2x+cos(4 x – )

Mwanafunzi anaweza kuchagua yoyote kati ya mifano mitatu. Mfano wa kwanza umekadiriwa " 3 ", pili -" 4 ", cha tatu - " 5 " Suluhisho katika daftari ikifuatiwa na kuangalia pande zote. Mwanafunzi mmoja anaamua ubaoni. Ikiwa suluhisho linageuka kuwa sio sahihi, basi mwanafunzi anahitaji kurudi kwenye algorithm na jaribu kutatua tena.

Udhibiti uliopangwa.

Chaguo 1		Chaguo la 2
y = 2X 3		y = 3X 2
y = 1/4 X 4 + 2X 2 – 7		y = 1/2 X 4 + 4X + 5
y = X 3 + 4X 2 – 3X. Tatua mlinganyo y " = 0		y = 2X 3 – 9X 2 + 12X + 7. Tatua mlinganyo y " = 0.
y= dhambi 2 X-cos 3 X.		y= cos 2 X- dhambi 3 X.
y=tg X-ctg( X + /4).		y=ctg X+ tg ( X – /4).
y= dhambi 2 X.		y= cos 2 X.
Chaguzi za kujibu.
Wakati wa kupata fomula ya kwanza kabisa ya jedwali, tutaendelea kutoka kwa ufafanuzi wa kazi ya derivative kwa uhakika. Tupeleke wapi x- yoyote nambari halisi, hiyo ni, x- nambari yoyote kutoka kwa kikoa cha ufafanuzi wa chaguo la kukokotoa. Wacha tuandike kikomo cha uwiano wa nyongeza ya chaguo za kukokotoa hadi nyongeza ya hoja katika : Ikumbukwe kwamba chini ya ishara ya kikomo usemi hupatikana, ambayo sio kutokuwa na uhakika wa sifuri kugawanywa na sifuri, kwani nambari haina thamani isiyo na kipimo, lakini kwa usahihi sifuri. Kwa maneno mengine, ongezeko la kazi ya mara kwa mara daima ni sifuri. Hivyo, derivative ya kazi ya mara kwa marani sawa na sufuri katika kikoa kizima cha ufafanuzi. Inatokana na utendaji kazi wa nguvu. Fomula ya derivative kazi ya nguvu inaonekana kama , ambapo kielelezo uk- nambari yoyote halisi. Hebu kwanza tuthibitishe fomula ya kielelezo asilia, yaani, kwa p = 1, 2, 3, ... Tutatumia ufafanuzi wa derivative. Wacha tuandike kikomo cha uwiano wa nyongeza ya chaguo za kukokotoa hadi uongezaji wa hoja: Ili kurahisisha usemi katika nambari, tunageukia formula ya Newton binomial: Kwa hivyo, Hii inathibitisha fomula ya kitoleo cha chaguo za kukokotoa cha nguvu kwa kipeo asilia. Nyingine ya kipengele cha kukokotoa cha kukokotoa. Tunawasilisha chimbuko la fomula ya derivative kulingana na ufafanuzi: Tumefika kwa kutokuwa na uhakika. Ili kuipanua, tunatanguliza kigezo kipya, na kwa . Kisha. Katika mpito uliopita, tulitumia fomula ya kuhamia msingi mpya wa logarithmic. Wacha tubadilishe kikomo cha asili: Ikiwa tutakumbuka kikomo cha pili cha ajabu, tunafika kwenye fomula ya derivative ya chaguo za kukokotoa za kielelezo: Nyingi ya utendaji wa logarithmic. Hebu tuthibitishe fomula ya derivative ya kitendakazi cha logarithmic kwa wote x kutoka kwa kikoa cha ufafanuzi na maadili yote halali ya msingi a logarithm Kwa ufafanuzi wa derivative tunayo: Kama ulivyoona, wakati wa uthibitisho mabadiliko yalifanywa kwa kutumia mali ya logarithm. Usawa ni kweli kwa sababu ya kikomo cha pili cha kushangaza. Viingilio vya kazi za trigonometric. Ili kupata fomula za viambajengo vya utendakazi wa trigonometriki, itabidi tukumbuke baadhi ya fomula za trigonometria, pamoja na kikomo cha kwanza cha ajabu. Kwa ufafanuzi wa kinyambulisho cha chaguo za kukokotoa za sine tulicho nacho . Wacha tutumie tofauti ya formula ya sines: Inabaki kugeukia kikomo cha kwanza cha kushangaza: Hivyo, derivative ya kazi dhambi x Kuna kwani x. Fomula ya derivative ya cosine imethibitishwa kwa njia sawa kabisa. Kwa hiyo, derivative ya kazi kwani x Kuna - dhambi x. Tutapata fomula za jedwali la derivatives za tangent na cotangent kwa kutumia sheria zilizothibitishwa za utofautishaji (derivative ya sehemu). Viingilio vya kazi za hyperbolic. Sheria za upambanuzi na fomula ya kinyago cha chaguo za kukokotoa kielezio kutoka kwa jedwali la viini huturuhusu kupata fomula za viambajengo vya sine, kosine, tanjiti na kotangent. Nyingine ya chaguo za kukokotoa kinyume. Ili kuzuia mkanganyiko wakati wa uwasilishaji, wacha tuonyeshe katika usajili hoja ya kazi ambayo utofautishaji unafanywa, ambayo ni, ni derivative ya kazi. f(x) Na x. Sasa hebu tutengeneze kanuni ya kutafuta derivative utendaji wa kinyume. Wacha kazi y = f(x) Na x = g(y) kinyume, iliyofafanuliwa kwa vipindi na kwa mtiririko huo. Ikiwa kwa uhakika kuna derivative isiyo ya sifuri ya kitendakazi f(x), basi katika hatua kuna derivative ya mwisho ya kazi ya kinyume g(y), na . Katika chapisho lingine . Sheria hii inaweza kubadilishwa kwa yoyote x kutoka kwa muda, basi tunapata . Wacha tuangalie uhalali wa fomula hizi. Hebu tutafute kitendakazi kinyume cha logarithm asili (Hapa y ni kazi, na x- hoja). Baada ya kusuluhisha equation hii kwa x, tunapata (hapa x ni kazi, na y- hoja yake). Hiyo ni, na vitendaji vilivyo kinyume. Kutoka kwa jedwali la derivatives tunaona hivyo Na . Wacha tuhakikishe kuwa fomula za kupata vitokaji vya chaguo la kukokotoa kinyume hutuongoza kwenye matokeo sawa: Derivatives ya utendakazi inverse trigonometric na derivation ya fomula zao ni iliyotolewa. Vielezi vya viasili vya hali ya juu pia vinatolewa. Viungo vya kurasa zilizo na zaidi taarifa ya kina fomula za pato. Kwanza, tunapata fomula ya derivative ya arcsine. Hebu y = arcsin x. Kwa kuwa arcsine ni kazi inverse ya sine, basi . Hapa y ni kazi ya x. Tofautisha kwa heshima na kutofautisha x: . Tunatuma maombi: . Kwa hivyo tulipata: . Kwa sababu, basi. Kisha . Na formula iliyotangulia inachukua fomu: . Kutoka hapa . Kwa njia hii haswa, unaweza kupata fomula ya derivative ya arc cosine. Walakini, ni rahisi kutumia fomula inayohusiana na vitendaji kinyume vya trigonometric: . Kisha . Maelezo ya kina zaidi yanawasilishwa kwenye ukurasa "Upatikanaji wa derivatives ya arcsine na arccosine". Hapo imetolewa derivatives kwa njia mbili- iliyojadiliwa hapo juu na kulingana na fomula ya derivative ya kazi ya kinyume. Utoaji wa derivatives ya arctangent na arccotangent Kwa njia hiyo hiyo tutapata derivatives ya arctangent na arccotangent. Hebu y = arctan x. Actangent ni kitendakazi kinyume cha tanjiti: . Tofautisha kwa heshima na kutofautisha x: . Tunatumia fomula ya derivative ya kazi changamano: . Kwa hivyo tulipata: . Derivative ya arc cotangent: . Dawa za arcsine Hebu . Tayari tumepata derivative ya mpangilio wa kwanza wa arcsine: . Kwa kutofautisha, tunapata derivative ya mpangilio wa pili: ; . Inaweza pia kuandikwa katika fomu ifuatayo: . Kutoka hapa tunapata equation tofauti, ambayo imeridhika na derivatives ya arcsine ya maagizo ya kwanza na ya pili: . Kwa kutofautisha mlingano huu, tunaweza kupata viingilio vya mpangilio wa juu. Inatokana na arcsine ya mpangilio wa nth Derivative ya arcsine ya utaratibu n ina mtazamo unaofuata: , iko wapi polynomial ya digrii. Imedhamiriwa na formula: ; . Hapa . Polynomial inakidhi mlinganyo wa kutofautisha: . Inatokana na arccosine ya mpangilio wa nth Viingilio vya arc cosine hupatikana kutoka kwa viasili vya arc sine kwa kutumia fomula ya trigonometric: . Kwa hivyo, derivatives ya kazi hizi hutofautiana tu kwa ishara: . Derivatives ya arctangent Hebu . Tulipata derivative ya arc cotangent ya mpangilio wa kwanza: . Wacha tugawanye sehemu hiyo kwa fomu yake rahisi: . Hapa kuna kitengo cha kufikiria,. Tunatofautisha mara moja na kuleta sehemu kwa dhehebu moja: . Kubadilisha, tunapata: . Inatokana na arctangent ya mpangilio wa nth Kwa hivyo, derivative ya arctangent ya mpangilio wa nth inaweza kuwakilishwa kwa njia kadhaa: ; . Miche ya arc cotangent Hebu iwe sasa. Wacha tutumie fomula inayounganisha vitendaji tofauti vya trigonometric: . Kisha derivative ya mpangilio wa nth ya tangent ya arc hutofautiana tu katika ishara kutoka kwa derivative ya tangent ya arc: . Kubadilisha , tunapata: . Marejeleo: N.M. Gunther, R.O. Kuzmin, Mkusanyiko wa matatizo kwenye hisabati ya juu, "Lan", 2003.