Pata wingi wa takwimu bapa iliyopakana na mistari mtandaoni. Kuhesabu eneo la takwimu iliyofungwa na mistari

Katika sehemu iliyotangulia ya uchanganuzi maana ya kijiometri uhakika muhimu, tulipokea idadi ya fomula za kukokotoa eneo trapezoid iliyopinda:

Yandex.RTB R-A-339285-1

S (G) = ∫ a b f (x) d x kwa utendaji unaoendelea na usio hasi y = f (x) kwenye muda [ a ; b] ,

S (G) = - ∫ a b f (x) d x kwa utendaji unaoendelea na usio chanya y = f (x) kwenye muda [ a ; b] .

Fomula hizi zinatumika kutatua kwa kazi rahisi. Kwa kweli, mara nyingi tutalazimika kufanya kazi na takwimu ngumu zaidi. Katika suala hili, tutatoa sehemu hii kwa uchambuzi wa algorithms kwa kuhesabu eneo la takwimu ambazo zimezuiwa na kazi katika fomu wazi, i.e. kama y = f(x) au x = g(y).

Nadharia

Acha kazi y = f 1 (x) na y = f 2 (x) zifafanuliwe na ziendelee kwenye muda [ a ; b ] , na f 1 (x) ≤ f 2 (x) kwa thamani yoyote x kutoka kwa [ a ; b] . Kisha formula ya kuhesabu eneo la takwimu G, mdogo kwa mistari x = a, x = b, y = f 1 (x) na y = f 2 (x) itakuwa na umbo S (G) = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x.

Njia kama hiyo itatumika kwa eneo la takwimu iliyofungwa na mistari y = c, y = d, x = g 1 (y) na x = g 2 (y): S (G) = ∫ c d ( g 2 (y) - g 1 (y) d y .

Ushahidi

Wacha tuangalie kesi tatu ambazo formula itakuwa halali.

Katika kesi ya kwanza, kwa kuzingatia mali ya kuongeza eneo, jumla ya maeneo ya takwimu ya awali G na trapezoid curvilinear G 1 ni sawa na eneo la takwimu G 2. Ina maana kwamba

Kwa hiyo, S (G) = S (G 2) - S (G 1) = ∫ a b f 2 (x) d x - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 (x) - f 1 (x)) dx.

Tunaweza kufanya mpito wa mwisho kwa kutumia sifa ya tatu ya kiunganishi dhahiri.

Katika kesi ya pili, usawa ni kweli: S (G) = S (G 2) + S (G 1) = ∫ a b f 2 (x) d x + - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 ( x) - f 1 (x)) d x

Mchoro wa picha utaonekana kama hii:

Ikiwa vitendaji vyote viwili si chanya, tunapata: S (G) = S (G 2) - S (G 1) = - ∫ a b f 2 (x) d x - - - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 (x) - f 1 (x)) d x . Mchoro wa picha utaonekana kama hii:

Hebu tuendelee kuzingatia kesi ya jumla, wakati y = f 1 (x) na y = f 2 (x) zinapokatiza mhimili wa O x.

Tunaashiria sehemu za makutano kama x i, i = 1, 2, . . . , n - 1 . Pointi hizi ziligawanya sehemu [a; b ] katika n sehemu x i - 1; x i, i = 1, 2, . . . , n, wapi α = x 0< x 1 < x 2 < . . . < x n - 1 < x n = b . Фигуру G можно представить объединением фигур G i , i = 1 , 2 , . . . , n . Очевидно, что на своем интервале G i попадает под один из трех рассмотренных ранее случаев, поэтому их площади находятся как S (G i) = ∫ x i - 1 x i (f 2 (x) - f 1 (x)) d x , i = 1 , 2 , . . . , n

Kwa hivyo,

S (G) = ∑ i = 1 n S (G i) = ∑ i = 1 n ∫ x i x i f 2 (x) - f 1 (x)) d x = = ∫ x 0 x n (f 2 (x) - f ( x)) d x = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x

Tunaweza kufanya mpito wa mwisho kwa kutumia sifa ya tano ya kiunganishi dhahiri.

Wacha tuonyeshe kesi ya jumla kwenye grafu.

Fomula S (G) = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x inaweza kuchukuliwa kuwa imethibitishwa.

Sasa hebu tuendelee kuchambua mifano ya kuhesabu eneo la takwimu ambazo zimepunguzwa na mistari y = f (x) na x = g (y).

Tutaanza kuzingatia yoyote ya mifano kwa kuunda grafu. Picha itatuwezesha kuwakilisha takwimu tata jinsi ya kuchanganya zaidi takwimu rahisi. Ikiwa ni ngumu kwako kuunda grafu na takwimu juu yao, unaweza kusoma sehemu hiyo juu ya kazi za kimsingi, mabadiliko ya kijiometri ya grafu za kazi, na pia kuunda grafu wakati wa kusoma kazi.

Mfano 1

Inahitajika kuamua eneo la takwimu, ambayo ni mdogo na parabola y = - x 2 + 6 x - 5 na mistari ya moja kwa moja y = - 1 3 x - 1 2, x = 1, x = 4.

Suluhisho

Wacha tuchore mistari kwenye grafu ndani Mfumo wa Cartesian kuratibu

Kwenye sehemu [ 1 ; 4 ] grafu ya parabola y = - x 2 + 6 x - 5 iko juu ya mstari wa moja kwa moja y = - 1 3 x - 1 2. Katika suala hili, kupata jibu tunatumia fomula iliyopatikana hapo awali, na vile vile njia ya kuhesabu kiunga fulani kwa kutumia formula ya Newton-Leibniz:

S (G) = ∫ 1 4 - x 2 + 6 x - 5 - - 1 3 x - 1 2 d x = = ∫ 1 4 - x 2 + 19 3 x - 9 2 d x = - 1 3 x 3 + 19 6 x 2 - 9 2 x 1 4 = = - 1 3 4 3 + 19 6 4 2 - 9 2 4 - - 1 3 1 3 + 19 6 1 2 - 9 2 1 = = - 64 3 + 152 3 - 18 + 1 3 - 19 6 + 9 2 = 13

Jibu: S(G) = 13

Hebu tuangalie mfano tata zaidi.

Mfano 2

Inahitajika kuhesabu eneo la takwimu, ambayo ni mdogo na mistari y = x + 2, y = x, x = 7.

Suluhisho

KATIKA kwa kesi hii tunayo mstari mmoja tu ulio sawa sambamba na mhimili wa x. Hii ni x = 7. Hii inatuhitaji kupata kikomo cha pili cha ujumuishaji sisi wenyewe.

Wacha tujenge grafu na kupanga juu yake mistari iliyotolewa katika taarifa ya shida.

Kuwa na grafu mbele ya macho yetu, tunaweza kuamua kwa urahisi kwamba kikomo cha chini cha ushirikiano kitakuwa abscissa ya hatua ya makutano ya grafu ya mstari wa moja kwa moja y = x na nusu-parabola y = x + 2. Ili kupata abscissa tunatumia usawa:

y = x + 2 O DZ: x ≥ - 2 x 2 = x + 2 2 x 2 - x - 2 = 0 D = (- 1) 2 - 4 1 (- 2) = 9 x 1 = 1 + 9 2 = 2 ∈ O DZ x 2 = 1 - 9 2 = - 1 ∉ O DZ

Inabadilika kuwa abscissa ya sehemu ya makutano ni x = 2.

Tunatoa mawazo yako kwa ukweli kwamba katika mfano wa jumla katika mchoro, mistari y = x + 2, y = x inapita kwenye hatua (2; 2), hivyo mahesabu ya kina kama haya yanaweza kuonekana kuwa sio lazima. Tumeleta hii hapa ufumbuzi wa kina tu kwa sababu kuna zaidi kesi ngumu suluhisho linaweza lisiwe wazi sana. Hii ina maana kwamba daima ni bora kuhesabu kuratibu za makutano ya mistari kwa uchambuzi.

Kwa muda [2; 7] grafu ya chaguo za kukokotoa y = x iko juu ya grafu ya chaguo za kukokotoa y = x + 2. Wacha tutumie formula kuhesabu eneo:

S (G) = ∫ 2 7 (x - x + 2) d x = x 2 2 - 2 3 · (x + 2) 3 2 2 7 = = 7 2 2 - 2 3 · (7 + 2) 3 2 - 2 2 2 - 2 3 2 + 2 3 2 = = 49 2 - 18 - 2 + 16 3 = 59 6

Jibu: S (G) = 59 6

Mfano 3

Inahitajika kuhesabu eneo la takwimu, ambayo ni mdogo na grafu za kazi y = 1 x na y = - x 2 + 4 x - 2.

Suluhisho

Wacha tupange mistari kwenye grafu.

Hebu tufafanue mipaka ya ushirikiano. Ili kufanya hivyo, tunaamua kuratibu za pointi za makutano ya mistari kwa kusawazisha maneno 1 x na - x 2 + 4 x - 2. Isipokuwa kwamba x si sifuri, usawa 1 x = - x 2 + 4 x - 2 inakuwa sawa na mlinganyo wa shahada ya tatu - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 = 0 na coefficients kamili. Ili kuonyesha upya kumbukumbu yako ya algorithm ya kutatua milinganyo kama hii, tunaweza kurejelea sehemu ya "Kutatua milinganyo ya ujazo."

Mzizi wa equation hii ni x = 1: - 1 3 + 4 1 2 - 2 1 - 1 = 0.

Kugawanya usemi - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 kwa binomial x - 1, tunapata: - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 ⇔ - (x - 1) (x 2 - 3 x - 1) = 0

Tunaweza kupata mizizi iliyobaki kutoka kwa equation x 2 - 3 x - 1 = 0:

x 2 - 3 x - 1 = 0 D = (- 3) 2 - 4 · 1 · (- 1) = 13 x 1 = 3 + 13 2 ≈ 3 . 3; x 2 = 3 - 13 2 ≈ - 0 . 3

Tulipata muda x ∈ 1; 3 + 13 2, ambayo takwimu G iko juu ya bluu na chini ya mstari mwekundu. Hii inatusaidia kuamua eneo la takwimu:

S (G) = ∫ 1 3 + 13 2 - x 2 + 4 x - 2 - 1 x d x = - x 3 3 + 2 x 2 - 2 x - ln x 1 3 + 13 2 = = - 3 + 13 2 3 3 + 2 3 + 13 2 2 - 2 3 + 13 2 - ln 3 + 13 2 - - - 1 3 3 + 2 1 2 - 2 1 - ln 1 = 7 + 13 3 - ln 3 + 13 2

Jibu: S (G) = 7 + 13 3 - ln 3 + 13 2

Mfano 4

Inahitajika kuhesabu eneo la takwimu, ambayo ni mdogo na curves y = x 3, y = - logi 2 x + 1 na mhimili wa abscissa.

Suluhisho

Wacha tupange mistari yote kwenye grafu. Tunaweza kupata grafu ya chaguo za kukokotoa y = - logi 2 x + 1 kutoka kwa grafu y = logi 2 x ikiwa tutaiweka kwa ulinganifu kuhusu mhimili wa x na kuisogeza juu kitengo kimoja. Mlinganyo wa mhimili wa x ni y = 0.

Wacha tuweke alama alama za makutano ya mistari.

Kama inavyoonekana kutoka kwa takwimu, grafu za kazi y = x 3 na y = 0 zinaingiliana kwa uhakika (0; 0). Hii hutokea kwa sababu x = 0 ndiyo pekee mizizi halisi equation x 3 = 0 .

x = 2 ni mzizi pekee wa equation - logi 2 x + 1 = 0, hivyo grafu za kazi y = - logi 2 x + 1 na y = 0 huingilia kwa uhakika (2; 0).

x = 1 ndio mzizi pekee wa equation x 3 = - logi 2 x + 1 . Katika suala hili, grafu za kazi y = x 3 na y = - logi 2 x + 1 zinaingiliana kwa uhakika (1; 1). Taarifa ya mwisho haiwezi kuwa dhahiri, lakini equation x 3 = - logi 2 x + 1 haiwezi kuwa na mizizi zaidi ya moja, kwa kuwa kazi y = x 3 inaongezeka sana, na kazi y = - logi 2 x + 1 ni. kupungua kabisa.

Suluhisho zaidi linajumuisha chaguzi kadhaa.

Chaguo #1

Tunaweza kufikiria takwimu G kama jumla ya trapezoid mbili za curvilinear ziko juu ya mhimili wa x, ya kwanza ambayo iko chini. mstari wa kati kwenye sehemu x ∈ 0; 1, na ya pili iko chini ya mstari mwekundu kwenye sehemu x ∈ 1; 2. Hii ina maana kwamba eneo litakuwa sawa na S (G) = ∫ 0 1 x 3 d x + ∫ 1 2 (- logi 2 x + 1) d x.

Chaguo nambari 2

Kielelezo G kinaweza kuwakilishwa kama tofauti ya takwimu mbili, ya kwanza ambayo iko juu ya mhimili wa x na chini ya mstari wa bluu kwenye sehemu x ∈ 0; 2, na ya pili kati ya mistari nyekundu na bluu kwenye sehemu x ∈ 1; 2. Hii inaruhusu sisi kupata eneo kama ifuatavyo:

S (G) = ∫ 0 2 x 3 d x - ∫ 1 2 x 3 - (- logi 2 x + 1) d x

Katika kesi hii, ili kupata eneo utalazimika kutumia fomula ya fomu S (G) = ∫ c d (g 2 (y) - g 1 (y)) d y. Kwa kweli, mistari iliyofunga takwimu inaweza kuwakilishwa kama kazi za hoja y.

Wacha tusuluhishe milinganyo y = x 3 na - logi 2 x + 1 kwa heshima na x:

y = x 3 ⇒ x = y 3 y = - gogo 2 x + 1 ⇒ gogo 2 x = 1 - y ⇒ x = 2 1 - y

Tunapata eneo linalohitajika:

S (G) = ∫ 0 1 (2 1 - y - y 3) d y = - 2 1 - y ln 2 - y 4 4 0 1 = = - 2 1 - 1 ln 2 - 1 4 4 - - 2 1 - 0 ln 2 - 0 4 4 = - 1 ln 2 - 1 4 + 2 ln 2 = 1 ln 2 - 1 4

Jibu: S (G) = 1 ln 2 - 1 4

Mfano 5

Inahitajika kuhesabu eneo la takwimu, ambayo ni mdogo na mistari y = x, y = 2 3 x - 3, y = - 1 2 x + 4.

Suluhisho

Tutachora mstari kwenye grafu na mstari mwekundu, iliyotolewa na kipengele y = x. Tunatoa mstari y = - 1 2 x + 4 katika bluu, na mstari y = 2 3 x - 3 katika nyeusi.

Wacha tuweke alama kwenye sehemu za makutano.

Wacha tupate sehemu za makutano ya grafu za kazi y = x na y = - 1 2 x + 4:

x = - 1 2 x + 4 O DZ: x ≥ 0 x = - 1 2 x + 4 2 ⇒ x = 1 4 x 2 - 4 x + 16 ⇔ x 2 - 20 x + 64 = 0 D = (- 20 ) 2 - 4 1 64 = 144 x 1 = 20 + 144 2 = 16; x 2 = 20 - 144 2 = 4 Angalia: x 1 = 16 = 4, - 1 2 x 1 + 4 = - 1 2 16 + 4 = - 4 ⇒ x 1 = 16 sio Je, suluhisho la equation x 2 = 4 = 2, - 1 2 x 2 + 4 = - 1 2 4 + 4 = 2 ⇒ x 2 = 4 ni suluhisho la mlinganyo ⇒ (4; 2) hatua ya makutano i y = x na y = - 1 2 x + 4

Wacha tupate sehemu ya makutano ya grafu za kazi y = x na y = 2 3 x - 3:

x = 2 3 x - 3 O DZ: x ≥ 0 x = 2 3 x - 3 2 ⇔ x = 4 9 x 2 - 4 x + 9 ⇔ 4 x 2 - 45 x + 81 = 0 D = (- 45) 2 - 4 4 81 = 729 x 1 = 45 + 729 8 = 9, x 2 45 - 729 8 = 9 4 Angalia: x 1 = 9 = 3, 2 3 x 1 - 3 = 2 3 9 - 3 = 3 ⇒ x 1 = 9 ndio suluhisho la mlinganyo ⇒ (9 ; 3) nukta a s y = x na y = 2 3 x - 3 x 2 = 9 4 = 3 2, 2 3 x 1 - 3 = 2 3 9 4 - 3 = - 3 2 ⇒ x 2 = 9 4 Hakuna suluhisho la mlingano

Wacha tupate hatua ya makutano ya mistari y = - 1 2 x + 4 na y = 2 3 x - 3:

1 2 x + 4 = 2 3 x - 3 ⇔ - 3 x + 24 = 4 x - 18 ⇔ 7 x = 42 ⇔ x = 6 - 1 2 6 + 4 = 2 3 6 - 3 = 1 ⇒ (6; 1) ) hatua ya makutano y = - 1 2 x + 4 na y = 2 3 x - 3

Mbinu namba 1

Wacha tufikirie eneo la takwimu inayotaka kama jumla ya maeneo ya takwimu za mtu binafsi.

Kisha eneo la takwimu ni:

S (G) = ∫ 4 6 x - - 1 2 x + 4 d x + ∫ 6 9 x - 2 3 x - 3 d x = = 2 3 x 3 2 + x 2 4 - 4 x 4 6 + 2 3 x 3 2 - x 2 3 + 3 x 6 9 = = 2 3 6 3 2 + 6 2 4 - 4 6 - 2 3 4 3 2 + 4 2 4 - 4 4 + + 2 3 9 3 2 - 9 2 3 + 3 9 - 2 3 6 3 2 - 6 2 3 + 3 6 = = - 25 3 + 4 6 + - 4 6 + 12 = 11 3

Mbinu namba 2

Eneo la takwimu asili linaweza kuwakilishwa kama jumla ya takwimu zingine mbili.

Kisha tunatatua equation ya mstari unaohusiana na x, na tu baada ya hayo tunatumia formula ya kuhesabu eneo la takwimu.

y = x ⇒ x = y 2 mstari mwekundu y = 2 3 x - 3 ⇒ x = 3 2 y + 9 2 mstari mweusi y = - 1 2 x + 4 ⇒ x = - 2 y + 8 s i n i a l i n e

Kwa hivyo eneo ni:

S (G) = ∫ 1 2 3 2 y + 9 2 - - 2 y + 8 d y + ∫ 2 3 3 2 y + 9 2 - y 2 d y = = ∫ 1 2 7 2 y - 7 2 d y + 2 3 3 2 y + 9 2 - y 2 d y = = 7 4 y 2 - 7 4 y 1 2 + - y 3 3 + 3 y 2 4 + 9 2 y 2 3 = 7 4 2 2 - 7 4 2 - 7 4 1 2 - 7 4 1 + + - 3 3 3 + 3 3 2 4 + 9 2 3 - - 2 3 3 + 3 2 2 4 + 9 2 2 = = 7 4 + 23 12 = 11 3

Kama unaweza kuona, maadili ni sawa.

Jibu: S (G) = 11 3

Matokeo

Ili kupata eneo la takwimu ambalo limepunguzwa na mistari fulani, tunahitaji kuunda mistari kwenye ndege, kupata pointi zao za makutano, na kutumia fomula ili kupata eneo hilo. KATIKA sehemu hii Tuliangalia lahaja za kawaida za shida.

Ukiona hitilafu katika maandishi, tafadhali yaangazie na ubonyeze Ctrl+Enter

Wacha tuendelee kwenye maombi hesabu muhimu. Katika somo hili tutachambua kazi ya kawaida na ya kawaida mahesabu ya eneo sura ya gorofa kwa kutumia kiungo dhahiri. Hatimaye kila kitu kutafuta maana V hisabati ya juu- wapate kumpata. Hauwezi kujua. Itabidi tuiletee karibu maishani eneo la nyumba ya nchi kazi za kimsingi na upate eneo lake kwa kutumia kiunganishi dhahiri.

Ili kufanikiwa kwa nyenzo, lazima:

1) Kuelewa kiungo kisicho na kikomo angalau kwa kiwango cha wastani. Kwa hivyo, dummies inapaswa kwanza kusoma somo Sivyo.

2) Awe na uwezo wa kutumia fomula ya Newton-Leibniz na kukokotoa kiunga kamili. Weka joto mahusiano ya kirafiki na viambatanisho dhahiri vinaweza kupatikana kwenye ukurasa Dhahiri muhimu. Mifano ya ufumbuzi. Kazi "kuhesabu eneo kwa kutumia kiunganishi cha uhakika" daima inahusisha kujenga kuchora, Ndiyo maana suala la mada Maarifa na ujuzi wako katika kuchora pia utakuwepo. Kwa uchache, unahitaji kuwa na uwezo wa kujenga mstari wa moja kwa moja, parabola na hyperbola.

Wacha tuanze na trapezoid iliyopindika. Trapezoidi iliyopinda ni kielelezo bapa kinachopakana na grafu ya baadhi ya utendaji y = f(x), mhimili OX na mistari x = a; x = b.

Eneo la trapezoid ya curvilinear ni nambari sawa na kiunganishi dhahiri

Kiunga chochote cha uhakika (kilichopo) kina maana nzuri sana ya kijiometri. Kwenye somo Dhahiri muhimu. Mifano ya ufumbuzi tulisema kuwa kiunganishi dhahiri ni nambari. Na sasa ni wakati wa kusema moja zaidi ukweli muhimu. Kwa mtazamo wa jiometri, kiunga cha uhakika ni AREA. Hiyo ni, kiunga cha uhakika (ikiwa kipo) kijiometri inalingana na eneo la takwimu fulani. Fikiria kiunga cha uhakika

Integrand

inafafanua curve kwenye ndege (inaweza kuchorwa ikiwa inataka), na kiunga halisi yenyewe ni nambari. sawa na eneo trapezoid iliyopinda inayolingana.

Mfano 1

, , , .

Hii ni taarifa ya kawaida ya mgawo. Jambo muhimu zaidi katika uamuzi ni ujenzi wa kuchora. Aidha, kuchora lazima kujengwa HAKI.

Wakati wa kuunda mchoro, ninapendekeza agizo lifuatalo: mwanzoni ni bora kuunda mistari yote iliyonyooka (ikiwa ipo) na tu Kisha- parabolas, hyperbolas, grafu za kazi zingine. Mbinu ya ujenzi wa hatua kwa hatua inaweza kupatikana ndani nyenzo za kumbukumbu Grafu na mali kazi za msingi . Huko unaweza pia kupata nyenzo muhimu sana kwa somo letu - jinsi ya kujenga parabola haraka.

Katika shida hii, suluhisho linaweza kuonekana kama hii.

Wacha tufanye mchoro (kumbuka kuwa equation y= 0 inabainisha mhimili OX):

Hatutaweka kivuli kwenye trapezoid iliyopindika; hapa ni dhahiri ni eneo gani tunazungumzia. Suluhisho linaendelea kama hii:

Kwenye sehemu [-2; 1] grafu ya kazi y = x 2 + 2 iko juu ya mhimiliOX, Ndiyo maana:

Jibu: .

Nani ana shida katika kuhesabu kiunganishi dhahiri na kutumia fomula ya Newton-Leibniz

rejea hotuba Dhahiri muhimu. Mifano ya ufumbuzi. Baada ya kazi kukamilika, ni muhimu kila wakati kutazama mchoro na kujua ikiwa jibu ni la kweli. Katika kesi hii, tunahesabu idadi ya seli kwenye mchoro "kwa jicho" - vizuri, kutakuwa na karibu 9, inaonekana kuwa kweli. Ni wazi kabisa kwamba ikiwa tutapata, sema, jibu: 20 vitengo vya mraba, basi ni dhahiri kwamba kosa lilifanywa mahali fulani - seli 20 haziingii kwenye takwimu inayohusika, angalau dazeni. Ikiwa jibu ni hasi, basi kazi pia ilitatuliwa vibaya.

Mfano 2

Kuhesabu eneo la takwimu iliyofungwa na mistari xy = 4, x = 2, x= 4 na mhimili OX.

Huu ni mfano kwa uamuzi wa kujitegemea. Suluhisho kamili na jibu mwishoni mwa somo.

Nini cha kufanya ikiwa trapezoid iliyopotoka iko chini ya mhimiliOX?

Mfano 3

Kuhesabu eneo la takwimu iliyofungwa na mistari y = e-x, x= 1 na kuratibu shoka.

Suluhisho: Wacha tufanye mchoro:

Ikiwa trapezoid iliyopotoka iko kabisa chini ya mhimili OX , basi eneo lake linaweza kupatikana kwa kutumia formula:

Kwa kesi hii:

Makini! Aina mbili za kazi hazipaswi kuchanganyikiwa:

1) Iwapo utaulizwa kutatua kiunganishi dhahiri bila maana yoyote ya kijiometri, basi inaweza kuwa hasi.

2) Ikiwa utaulizwa kupata eneo la takwimu kwa kutumia kiunga fulani, basi eneo hilo huwa chanya kila wakati! Ndio maana minus inaonekana katika fomula iliyojadiliwa hivi punde.

Kwa mazoezi, mara nyingi takwimu hiyo iko katika ndege ya juu na ya chini, na kwa hiyo, kutokana na matatizo rahisi ya shule tunaendelea kwa mifano yenye maana zaidi.

Mfano 4

Pata eneo la takwimu ya ndege iliyofungwa na mistari y = 2x – x 2 , y = -x.

Suluhisho: Kwanza unahitaji kufanya kuchora. Wakati wa kuunda mchoro katika shida za eneo, tunavutiwa zaidi na sehemu za makutano ya mistari. Wacha tupate sehemu za makutano ya parabola y = 2x – x 2 na moja kwa moja y = -x. Hii inaweza kufanyika kwa njia mbili. Njia ya kwanza ni ya uchambuzi. Tunatatua equation:

Hii ina maana kwamba kikomo cha chini cha ushirikiano a = 0, kikomo cha juu ushirikiano b= 3. Mara nyingi ni faida zaidi na kwa haraka zaidi kuunda mistari hatua kwa hatua, na mipaka ya kuunganisha inakuwa wazi "yenyewe." Hata hivyo, njia ya uchambuzi kutafuta mipaka bado wakati mwingine inapaswa kutumika ikiwa, kwa mfano, grafu ni kubwa kabisa, au ujenzi wa kina haukuonyesha mipaka ya ushirikiano (zinaweza kuwa za sehemu au zisizo na maana). Wacha turudi kwenye kazi yetu: ni busara zaidi kwanza kuunda mstari ulionyooka na kisha tu parabola. Wacha tufanye mchoro:

Wacha turudie kwamba wakati wa kujenga pointwise, mipaka ya ujumuishaji mara nyingi huamuliwa "moja kwa moja".

Na sasa formula ya kufanya kazi:

Ikiwa kwenye sehemu [ a; b] utendakazi fulani endelevu f(x) kubwa kuliko au sawa na baadhi kazi inayoendelea g(x), basi eneo la takwimu inayolingana linaweza kupatikana kwa kutumia formula:

Hapa huhitaji tena kufikiri juu ya wapi takwimu iko - juu ya mhimili au chini ya mhimili, lakini ni muhimu ni grafu ipi iliyo JUU(kuhusiana na grafu nyingine), na ipi iliyo HAPA CHINI.

Katika mfano unaozingatiwa, ni dhahiri kwamba kwenye sehemu parabola iko juu ya mstari wa moja kwa moja, na kwa hiyo kutoka 2. x – x 2 lazima iondolewe - x.

Suluhisho lililokamilishwa linaweza kuonekana kama hii:

Takwimu inayotakiwa imepunguzwa na parabola y = 2x – x 2 juu na moja kwa moja y = -x chini.

Kwenye sehemu ya 2 x – x 2 ≥ -x. Kulingana na formula inayolingana:

Jibu: .

Kwa kweli, formula ya shule kwa eneo la trapezoid iliyopinda katika nusu-ndege ya chini (tazama mfano Na. 3) - kesi maalum fomula

Kwa sababu mhimili OX iliyotolewa na equation y= 0, na grafu ya chaguo la kukokotoa g(x) iko chini ya mhimili OX, Hiyo

Na sasa mifano michache kwa suluhisho lako mwenyewe

Mfano 5

Mfano 6

Pata eneo la takwimu iliyofungwa na mistari

Wakati wa kutatua matatizo yanayohusisha eneo la kukokotoa kwa kutumia kiunganishi dhahiri, tukio la kuchekesha wakati mwingine hutokea. Mchoro ulifanyika kwa usahihi, mahesabu yalikuwa sahihi, lakini kwa sababu ya kutojali ... Eneo la takwimu mbaya lilipatikana.

Mfano 7

Kwanza, wacha tufanye mchoro:

Kielelezo ambacho eneo ambalo tunahitaji kupata ni kivuli cha bluu(angalia kwa makini hali - jinsi takwimu ni mdogo!). Lakini kwa mazoezi, kwa sababu ya kutojali, mara nyingi huamua kwamba wanahitaji kupata eneo la takwimu ambalo lina kivuli. kijani!

Mfano huu pia ni muhimu kwa kuwa huhesabu eneo la takwimu kwa kutumia viambatanisho viwili dhahiri. Kweli:

1) Kwenye sehemu [-1; 1] juu ya mhimili OX grafu iko sawa y = x+1;

2) Kwenye sehemu iliyo juu ya mhimili OX grafu ya hyperbola iko y = (2/x).

Ni dhahiri kwamba maeneo yanaweza (na yanapaswa) kuongezwa, kwa hivyo:

Jibu:

Mfano 8

Kuhesabu eneo la takwimu iliyofungwa na mistari

Hebu tuwasilishe milinganyo katika fomu ya "shule".

na tengeneza mchoro wa hatua kwa hatua:

Kutoka kwa mchoro ni wazi kuwa kikomo chetu cha juu ni "nzuri": b = 1.

Lakini ni nini kikomo cha chini?! Ni wazi kuwa hii sio nambari kamili, lakini ni nini?

Labda, a=(-1/3)? Lakini ni wapi dhamana ya kwamba mchoro unafanywa kwa usahihi kamili, inaweza kugeuka kuwa hivyo a=(-1/4). Ikiwa tutaunda grafu vibaya?

Katika hali kama hizi, lazima utumie Muda wa ziada na kufafanua mipaka ya ushirikiano kwa uchambuzi.

Wacha tupate sehemu za makutano ya grafu

Ili kufanya hivyo, tunatatua equation:

Kwa hivyo, a=(-1/3).

Suluhisho zaidi ni ndogo. Jambo kuu sio kuchanganyikiwa katika uingizwaji na ishara. Mahesabu hapa sio rahisi zaidi. Kwenye sehemu

, ,

kulingana na formula inayofaa:

Jibu:

Kuhitimisha somo, hebu tuangalie kazi mbili ngumu zaidi.

Mfano 9

Kuhesabu eneo la takwimu iliyofungwa na mistari

Suluhisho: Wacha tuonyeshe takwimu hii kwenye mchoro.

Ili kuchora mchoro wa hatua kwa hatua unahitaji kujua mwonekano sinusoids. Kwa ujumla, ni muhimu kujua grafu za kazi zote za msingi, pamoja na maadili kadhaa ya sine. Wanaweza kupatikana katika jedwali la maadili kazi za trigonometric . Katika baadhi ya matukio (kwa mfano, katika kesi hii), inawezekana kujenga mchoro wa schematic, ambayo grafu na mipaka ya ushirikiano inapaswa kuonyeshwa kimsingi kwa usahihi.

Hakuna shida na mipaka ya ujumuishaji hapa; wanafuata moja kwa moja kutoka kwa hali:

- "x" hubadilika kutoka sufuri hadi "pi". Wacha tufanye uamuzi zaidi:

Kwenye sehemu, grafu ya chaguo za kukokotoa y= dhambi 3 x iko juu ya mhimili OX, Ndiyo maana:

(1) Unaweza kuona jinsi sine na kosini zimeunganishwa katika nguvu zisizo za kawaida katika somo Viunga vya kazi za trigonometric. Tunapunguza sinus moja.

(2) Tunatumia utambulisho mkuu wa trigonometric katika fomu

(3) Wacha tubadilishe utofauti t=cos x, basi: iko juu ya mhimili, kwa hivyo:

Kumbuka: kumbuka jinsi sehemu ya tangent katika mchemraba inachukuliwa; safu ya ile kuu inatumiwa hapa kitambulisho cha trigonometric

Kazi Nambari 3. Fanya mchoro na uhesabu eneo la takwimu iliyofungwa na mistari

Utumiaji wa muhimu kwa suluhisho matatizo yaliyotumika

Uhesabuji wa eneo

Kiunganishi dhahiri cha chaguo endelevu cha chaguo za kukokotoa zisizo hasi f(x) kiidadi sawa na eneo la trapezoid ya curvilinear iliyopakana na curve y = f (x), mhimili wa O x na mistari iliyonyooka x = a na x = b. Kwa mujibu wa hili, formula ya eneo imeandikwa kama ifuatavyo:

Hebu tuangalie baadhi ya mifano ya kuhesabu maeneo ya takwimu za ndege.

Kazi Nambari 1. Kuhesabu eneo lililofungwa na mistari y = x 2 +1, y = 0, x = 0, x = 2.

Suluhisho. Wacha tujenge takwimu ambayo tutalazimika kuhesabu eneo.

y = x 2 + 1 ni parabola ambayo matawi yake yanaelekezwa juu, na parabola huhamishwa juu na kitengo kimoja kinachohusiana na mhimili wa O y (Mchoro 1).

Kielelezo 1. Grafu ya kazi y = x 2 + 1

Kazi Nambari 2. Kokotoa eneo lililofungwa na mistari y = x 2 - 1, y = 0 katika safu kutoka 0 hadi 1.

Suluhisho. Grafu ya kazi hii ni parabola ya matawi ambayo yanaelekezwa juu, na parabola inabadilishwa kuhusiana na mhimili wa O y chini na kitengo kimoja (Mchoro 2).

Kielelezo 2. Grafu ya kazi y = x 2 - 1

Kazi Nambari 3. Fanya mchoro na uhesabu eneo la takwimu iliyofungwa na mistari

y = 8 + 2x - x 2 na y = 2x - 4.

Suluhisho. Ya kwanza ya mistari hii miwili ni parabola na matawi yake yanaelekezwa chini, kwani mgawo wa x 2 ni hasi, na mstari wa pili ni mstari wa moja kwa moja unaoingiliana na axes zote mbili za kuratibu.

Ili kuunda parabola, tunapata kuratibu za vertex yake: y'=2 - 2x; 2 - 2x = 0, x = 1 - abscissa ya vertex; y(1) = 8 + 2∙1 – 1 2 = 9 ni mratibu wake, N (1;9) ni kipeo.

Sasa hebu tupate pointi za makutano ya parabola na mstari wa moja kwa moja kwa kutatua mfumo wa equations:

Kusawazisha pande za kulia za mlinganyo ambao pande zake za kushoto ni sawa.

Tunapata 8 + 2x - x 2 = 2x - 4 au x 2 - 12 = 0, kutoka wapi .

Kwa hiyo, pointi ni pointi za makutano ya parabola na mstari wa moja kwa moja (Mchoro 1).

Kielelezo 3 Grafu za kazi y = 8 + 2x - x 2 na y = 2x - 4

Hebu tujenge mstari wa moja kwa moja y = 2x - 4. Inapita kupitia pointi (0;-4), (2;0) kwenye axes za kuratibu.

Ili kuunda parabola, unaweza pia kutumia sehemu zake za makutano na mhimili wa 0x, ambayo ni, mizizi ya equation 8 + 2x - x 2 = 0 au x 2 - 2x - 8 = 0. Kutumia nadharia ya Vieta, ni rahisi. kupata mizizi yake: x 1 = 2, x 2 = 4.

Kielelezo cha 3 kinaonyesha takwimu (sehemu ya kimfano M 1 N M 2) iliyofungwa na mistari hii.

Sehemu ya pili ya shida ni kupata eneo la takwimu hii. Eneo lake linaweza kupatikana kwa kutumia kiunganishi cha uhakika kulingana na fomula .

Imetumika kwa hali hii, tunapata muhimu:

2 Kuhesabu kiasi cha mwili wa mzunguko

Kiasi cha mwili kilichopatikana kutokana na kuzunguka kwa curve y = f(x) kuzunguka mhimili wa O x huhesabiwa kwa fomula:

Wakati wa kuzunguka mhimili wa O y, fomula inaonekana kama:

Kazi nambari 4. Tambua kiasi cha mwili kilichopatikana kutokana na mzunguko wa trapezoid iliyopigwa iliyofungwa na mistari ya moja kwa moja x = 0 x = 3 na curve y = karibu na mhimili wa O x.

Suluhisho. Hebu tuchore picha (Kielelezo 4).

Kielelezo 4. Grafu ya kazi y =

Kiasi kinachohitajika ni

Kazi nambari 5. Kuhesabu kiasi cha mwili kilichopatikana kutoka kwa mzunguko wa trapezoid iliyopigwa iliyofungwa na y = x 2 na mistari ya moja kwa moja y = 0 na y = 4 karibu na mhimili wa O y.

Suluhisho. Tuna:

Kagua maswali

Kwa kweli, ili kupata eneo la takwimu, hauitaji ujuzi mwingi wa ujumuishaji usio na kipimo na dhahiri. Kazi "kuhesabu eneo kwa kutumia kiunganishi cha uhakika" daima inahusisha kujenga kuchora, kwa hivyo ujuzi wako na ustadi wa kuchora itakuwa suala muhimu zaidi. Katika suala hili, ni muhimu kuburudisha kumbukumbu yako ya grafu za kazi za kimsingi za kimsingi, na, kwa kiwango cha chini, uweze kuunda mstari wa moja kwa moja na hyperbola.

Trapezoidi iliyopinda ni kielelezo bapa kinachopakana na mhimili, mistari iliyonyooka, na grafu ya chaguo za kukokotoa inayoendelea kwenye sehemu ambayo haibadilishi ishara kwenye muda huu. Hebu takwimu hii iko si kidogo mhimili wa x:

Kisha eneo la curvilinear trapezoid ni nambari sawa na kiunganishi dhahiri. Kiunga chochote cha uhakika (kilichopo) kina maana nzuri sana ya kijiometri.

Kwa mtazamo wa jiometri, kiunga cha uhakika ni AREA.

Hiyo ni, kiunga fulani (ikiwa kipo) kijiometri inalingana na eneo la takwimu fulani. Kwa mfano, fikiria kiunga cha uhakika. Mchanganyiko hufafanua curve kwenye ndege iliyo juu ya mhimili (wale wanaotaka wanaweza kutengeneza mchoro), na kiunga cha uhakika yenyewe ni nambari sawa na eneo la trapezoid inayolingana ya curvilinear.

Mfano 1

Hii ni taarifa ya kawaida ya mgawo. Kwanza na wakati muhimu zaidi ufumbuzi - kuchora kuchora. Aidha, kuchora lazima kujengwa HAKI.

Katika shida hii, suluhisho linaweza kuonekana kama hii.
Wacha tuchore mchoro (kumbuka kuwa equation inafafanua mhimili):

Kwenye sehemu, grafu ya kazi iko juu ya mhimili, Ndiyo maana:

Jibu:

Baada ya kazi kukamilika, ni muhimu kila wakati kutazama mchoro na kujua ikiwa jibu ni la kweli. Katika kesi hii, "kwa jicho" tunahesabu idadi ya seli kwenye mchoro - vizuri, kutakuwa na karibu 9, inaonekana kuwa kweli. Ni wazi kabisa kwamba ikiwa tutapata, sema, jibu: vitengo 20 vya mraba, basi ni dhahiri kwamba kosa lilifanywa mahali fulani - seli 20 ni wazi haziingii kwenye takwimu inayohusika, zaidi ya dazeni. Ikiwa jibu ni hasi, basi kazi pia ilitatuliwa vibaya.

Mfano 3

Kuhesabu eneo la takwimu iliyofungwa na mistari na kuratibu shoka.

Suluhisho: Wacha tufanye mchoro:

Ikiwa trapezoid iliyopotoka iko chini ya mhimili(au angalau sio juu zaidi mhimili uliopewa), basi eneo lake linaweza kupatikana kwa kutumia formula:

Kwa kesi hii:

Makini! Aina mbili za kazi hazipaswi kuchanganyikiwa:

1) Iwapo utaulizwa kutatua kiunganishi dhahiri bila maana yoyote ya kijiometri, basi inaweza kuwa hasi.

2) Ikiwa utaulizwa kupata eneo la takwimu kwa kutumia kiunga fulani, basi eneo hilo huwa chanya kila wakati! Ndio maana minus inaonekana katika fomula iliyojadiliwa hivi punde.

Kwa mazoezi, mara nyingi takwimu hiyo iko katika ndege ya juu na ya chini, na kwa hiyo, kutokana na matatizo rahisi ya shule tunaendelea kwa mifano yenye maana zaidi.

Mfano 4

Tafuta eneo la takwimu ya ndege iliyofungwa na mistari, .

Suluhisho: Kwanza unahitaji kukamilisha kuchora. Kwa ujumla, wakati wa kuunda mchoro katika shida za eneo, tunavutiwa zaidi na sehemu za makutano ya mistari. Hebu tupate pointi za makutano ya parabola na mstari wa moja kwa moja. Hii inaweza kufanyika kwa njia mbili. Njia ya kwanza ni ya uchambuzi. Tunatatua equation:

Hii ina maana kwamba kikomo cha chini cha ujumuishaji ni, kikomo cha juu cha ujumuishaji ni.

Ikiwezekana, ni bora kutotumia njia hii..

Ni faida zaidi na haraka zaidi kuunda mistari hatua kwa hatua, na mipaka ya ujumuishaji inakuwa wazi "yenyewe." Walakini, njia ya uchambuzi ya kupata mipaka bado wakati mwingine inapaswa kutumika ikiwa, kwa mfano, grafu ni kubwa ya kutosha, au ujenzi wa kina haukufunua mipaka ya ujumuishaji (zinaweza kuwa za sehemu au zisizo na maana). Na pia tutazingatia mfano kama huo.

Wacha turudi kwenye kazi yetu: ni busara zaidi kwanza kuunda mstari ulionyooka na kisha tu parabola. Wacha tufanye mchoro:

Na sasa formula ya kufanya kazi: Ikiwa kuna utendakazi unaoendelea kwenye sehemu kubwa kuliko au sawa na kazi fulani inayoendelea, kisha eneo la takwimu, kupunguzwa na ratiba kazi zilizopewa na mistari iliyonyooka , , inaweza kupatikana kwa kutumia fomula:

Hapa hauitaji tena kufikiria ni wapi takwimu iko - juu ya mhimili au chini ya mhimili, na, kwa kusema, ni muhimu ni grafu ipi iliyo JUU(kuhusiana na grafu nyingine), na ipi iliyo HAPA CHINI.

Katika mfano unaozingatiwa, ni dhahiri kwamba kwenye sehemu parabola iko juu ya mstari wa moja kwa moja, na kwa hiyo ni muhimu kuondoa kutoka.

Suluhisho lililokamilishwa linaweza kuonekana kama hii:

Takwimu inayotakiwa imepunguzwa na parabola hapo juu na mstari wa moja kwa moja chini.
Kwenye sehemu, kulingana na formula inayolingana:

Jibu:

Mfano 4

Kuhesabu eneo la takwimu iliyofungwa na mistari , , , .

Suluhisho: Kwanza, hebu tufanye mchoro:

Kielelezo ambacho eneo ambalo tunahitaji kupata ni kivuli cha bluu(angalia kwa makini hali - jinsi takwimu ni mdogo!). Lakini kwa mazoezi, kwa sababu ya kutojali, "glitch" mara nyingi hutokea kwamba unahitaji kupata eneo la takwimu ambalo lina kivuli kijani!

Mfano huu pia ni muhimu kwa kuwa huhesabu eneo la takwimu kwa kutumia viambatanisho viwili dhahiri.

Kweli:

1) Kwenye sehemu ya juu ya mhimili kuna grafu ya mstari wa moja kwa moja;

2) Kwenye sehemu ya juu ya mhimili kuna grafu ya hyperbola.

Ni dhahiri kwamba maeneo yanaweza (na yanapaswa) kuongezwa, kwa hivyo:

Dhahiri muhimu. Jinsi ya kuhesabu eneo la takwimu

Wacha tuendelee kuzingatia matumizi ya hesabu muhimu. Katika somo hili tutachambua kazi ya kawaida na ya kawaida - jinsi ya kutumia kiunga fulani kuhesabu eneo la takwimu ya ndege. Hatimaye, wale ambao wanatafuta maana katika hisabati ya juu - wapate. Hauwezi kujua. Katika maisha halisi, italazimika kukadiria njama ya dacha kwa kutumia kazi za kimsingi na kupata eneo lake kwa kutumia kiunganishi dhahiri.

Ili kufanikiwa kwa nyenzo, lazima:

1) Elewa kiunganishi kisichojulikana angalau katika kiwango cha kati. Kwa hivyo, dummies inapaswa kwanza kusoma somo Sivyo.

2) Awe na uwezo wa kutumia fomula ya Newton-Leibniz na kukokotoa kiunga kamili. Unaweza kuanzisha mahusiano ya kirafiki ya joto na viungo fulani kwenye ukurasa Dhahiri muhimu. Mifano ya ufumbuzi.

Kwa kweli, kila mtu anafahamu kazi ya kutafuta eneo hilo kwa kutumia kiungo dhahiri tangu shuleni, na hatutakwenda mbali zaidi kutoka. mtaala wa shule. Nakala hii inaweza kuwa haikuwepo kabisa, lakini ukweli ni kwamba shida hutokea katika kesi 99 kati ya 100, wakati mwanafunzi anaugua shule inayochukiwa na kwa shauku bwana wa kozi ya hisabati ya juu.

Nyenzo za warsha hii zinawasilishwa kwa urahisi, kwa undani na kwa kiwango cha chini cha nadharia.

Wacha tuanze na trapezoid iliyopindika.

Trapezoid ya Curvilinear ni kielelezo bapa kinachopakana na mhimili, mistari iliyonyooka, na grafu ya chaguo za kukokotoa inayoendelea kwa muda ambayo haibadilishi ishara kwenye muda huu. Hebu takwimu hii iko si kidogo mhimili wa x:

Kisha eneo la curvilinear trapezoid ni nambari sawa na kiunganishi dhahiri. Kiunga chochote cha uhakika (kilichopo) kina maana nzuri sana ya kijiometri. Kwenye somo Dhahiri muhimu. Mifano ya ufumbuzi Nilisema kuwa kiunganishi dhahiri ni nambari. Na sasa ni wakati wa kusema ukweli mwingine muhimu. Kwa mtazamo wa jiometri, kiunga cha uhakika ni AREA.

Hiyo ni, kiunga cha uhakika (ikiwa kipo) kijiometri inalingana na eneo la takwimu fulani. Kwa mfano, fikiria kiunga cha uhakika. Mchanganyiko hufafanua curve kwenye ndege iliyo juu ya mhimili (wale wanaotaka wanaweza kutengeneza mchoro), na kiunga cha uhakika yenyewe ni nambari sawa na eneo la trapezoid inayolingana ya curvilinear.

Mfano 1

Hii ni taarifa ya kawaida ya mgawo. Jambo la kwanza na muhimu zaidi katika uamuzi ni ujenzi wa kuchora. Aidha, kuchora lazima kujengwa HAKI.

Wakati wa kuunda mchoro, ninapendekeza agizo lifuatalo: mwanzoni ni bora kuunda mistari yote iliyonyooka (ikiwa ipo) na tu Kisha- parabolas, hyperbolas, grafu za kazi zingine. Ni faida zaidi kujenga grafu za kazi hatua kwa hatua, mbinu ya ujenzi wa hatua kwa hatua inaweza kupatikana katika nyenzo za kumbukumbu Grafu na mali ya kazi za msingi. Huko unaweza pia kupata nyenzo muhimu sana kwa somo letu - jinsi ya kujenga parabola haraka.

Katika shida hii, suluhisho linaweza kuonekana kama hii.
Wacha tuchore mchoro (kumbuka kuwa equation inafafanua mhimili):

Sitaweka kivuli kwenye trapezoid iliyopinda; ni dhahiri hapa tunazungumzia eneo gani. Suluhisho linaendelea kama hii:

Kwenye sehemu, grafu ya kazi iko juu ya mhimili, Ndiyo maana:

Jibu:

Nani ana shida katika kuhesabu kiunganishi dhahiri na kutumia fomula ya Newton-Leibniz , rejea hotuba Dhahiri muhimu. Mifano ya ufumbuzi.

Baada ya kazi kukamilika, ni muhimu kila wakati kutazama mchoro na kujua ikiwa jibu ni la kweli. Katika kesi hii, tunahesabu idadi ya seli kwenye mchoro "kwa jicho" - vizuri, kutakuwa na karibu 9, inaonekana kuwa kweli. Ni wazi kabisa kwamba ikiwa tutapata, sema, jibu: vitengo 20 vya mraba, basi ni dhahiri kwamba kosa lilifanywa mahali fulani - seli 20 ni wazi haziingii kwenye takwimu inayohusika, zaidi ya dazeni. Ikiwa jibu ni hasi, basi kazi pia ilitatuliwa vibaya.

Mfano 2

Kuhesabu eneo la takwimu iliyofungwa na mistari, , na mhimili

Huu ni mfano kwako kutatua peke yako. Suluhisho kamili na jibu mwishoni mwa somo.

Nini cha kufanya ikiwa trapezoid iliyopotoka iko chini ya mhimili?

Mfano 3

Kuhesabu eneo la takwimu iliyofungwa na mistari na kuratibu shoka.

Suluhisho: Wacha tufanye mchoro:

Ikiwa trapezoid iliyopotoka iko chini ya mhimili(au angalau sio juu zaidi mhimili uliopewa), basi eneo lake linaweza kupatikana kwa kutumia formula:
Kwa kesi hii:

Makini! Aina mbili za kazi hazipaswi kuchanganyikiwa:

1) Iwapo utaulizwa kutatua kiunganishi dhahiri bila maana yoyote ya kijiometri, basi inaweza kuwa hasi.

2) Ikiwa utaulizwa kupata eneo la takwimu kwa kutumia kiunga fulani, basi eneo hilo huwa chanya kila wakati! Ndio maana minus inaonekana katika fomula iliyojadiliwa hivi punde.

Kwa mazoezi, mara nyingi takwimu hiyo iko katika ndege ya juu na ya chini, na kwa hiyo, kutokana na matatizo rahisi ya shule tunaendelea kwa mifano yenye maana zaidi.

Mfano 4

Tafuta eneo la takwimu ya ndege iliyofungwa na mistari, .

Hii ina maana kwamba kikomo cha chini cha ujumuishaji ni, kikomo cha juu cha ujumuishaji ni.
Ikiwezekana, ni bora kutotumia njia hii..

Ni faida zaidi na haraka zaidi kuunda mistari hatua kwa hatua, na mipaka ya ujumuishaji inakuwa wazi "yenyewe." Mbinu ya ujenzi wa hatua kwa hatua kwa grafu mbalimbali inajadiliwa kwa undani katika usaidizi Grafu na mali ya kazi za msingi. Walakini, njia ya uchambuzi ya kupata mipaka bado wakati mwingine inapaswa kutumika ikiwa, kwa mfano, grafu ni kubwa ya kutosha, au ujenzi wa kina haukufunua mipaka ya ujumuishaji (zinaweza kuwa za sehemu au zisizo na maana). Na pia tutazingatia mfano kama huo.

Wacha turudi kwenye kazi yetu: ni busara zaidi kwanza kuunda mstari ulionyooka na kisha tu parabola. Wacha tufanye mchoro:

Ninarudia kwamba wakati wa kujenga kwa uhakika, mipaka ya ujumuishaji mara nyingi hupatikana "moja kwa moja".

Na sasa formula ya kufanya kazi: Ikiwa kuna utendakazi unaoendelea kwenye sehemu kubwa kuliko au sawa na kazi fulani inayoendelea , basi eneo la takwimu lililofungwa na grafu za kazi hizi na mistari , , inaweza kupatikana kwa kutumia formula:

Hapa hauitaji tena kufikiria ni wapi takwimu iko - juu ya mhimili au chini ya mhimili, na, kwa kusema, ni muhimu ni grafu ipi iliyo JUU(kuhusiana na grafu nyingine), na ipi iliyo HAPA CHINI.

Katika mfano unaozingatiwa, ni dhahiri kwamba kwenye sehemu parabola iko juu ya mstari wa moja kwa moja, na kwa hiyo ni muhimu kuondoa kutoka.

Suluhisho lililokamilishwa linaweza kuonekana kama hii:

Takwimu inayotakiwa imepunguzwa na parabola hapo juu na mstari wa moja kwa moja chini.
Kwenye sehemu, kulingana na formula inayolingana:

Jibu:

Kwa kweli, formula ya shule ya eneo la trapezoid ya curvilinear katika nusu ya chini ya ndege (angalia mfano rahisi No. 3) ni kesi maalum ya formula. . Kwa kuwa mhimili umetajwa na equation, na grafu ya kazi iko sio juu zaidi shoka, basi

Na sasa mifano michache kwa suluhisho lako mwenyewe

Mfano 5

Mfano 6

Tafuta eneo la takwimu iliyofungwa na mistari, .

Mfano 7

Kuhesabu eneo la takwimu iliyofungwa na mistari , , , .

Suluhisho: Kwanza, hebu tufanye mchoro:

...Eh, mchoro ulitoka ujinga, lakini kila kitu kinaonekana kusomeka.

Mfano huu pia ni muhimu kwa kuwa huhesabu eneo la takwimu kwa kutumia viambatanisho viwili dhahiri. Kweli:

1) Kwenye sehemu ya juu ya mhimili kuna grafu ya mstari wa moja kwa moja;

2) Kwenye sehemu ya juu ya mhimili kuna grafu ya hyperbola.

Ni dhahiri kwamba maeneo yanaweza (na yanapaswa) kuongezwa, kwa hivyo:

Jibu:

Tuendelee na kazi nyingine ya maana.

Mfano 8

Kuhesabu eneo la takwimu iliyofungwa na mistari,
Wacha tuwasilishe milinganyo katika fomu ya "shule" na tufanye mchoro wa hatua kwa hatua:

Kutoka kwa kuchora ni wazi kwamba kikomo chetu cha juu ni "nzuri":.
Lakini ni nini kikomo cha chini?! Ni wazi kuwa hii sio nambari kamili, lakini ni nini? Labda ? Lakini iko wapi dhamana ya kwamba mchoro unafanywa kwa usahihi kamili, inaweza kugeuka kuwa ... Au mizizi. Ikiwa tutaunda grafu vibaya?

Katika hali hiyo, unapaswa kutumia muda wa ziada na kufafanua mipaka ya ushirikiano kwa uchambuzi.

Wacha tupate sehemu za makutano ya mstari wa moja kwa moja na parabola.
Ili kufanya hivyo, tunatatua equation:

,

Kweli,.

Suluhisho zaidi ni ndogo, jambo kuu sio kuchanganyikiwa katika mbadala na ishara; mahesabu hapa sio rahisi zaidi.

Kwenye sehemu , kulingana na fomula inayolingana:

Jibu:

Kweli, kuhitimisha somo, hebu tuangalie kazi mbili ngumu zaidi.

Mfano 9

Kuhesabu eneo la takwimu iliyofungwa na mistari,

Suluhisho: Wacha tuonyeshe takwimu hii kwenye mchoro.

Damn, nilisahau kusaini ratiba, na, samahani, sikutaka kufanya upya picha. Sio siku ya kuchora, kwa kifupi, leo ndio siku =)

Kwa ujenzi wa hatua kwa hatua, ni muhimu kujua kuonekana kwa sinusoid (na kwa ujumla ni muhimu kujua. grafu za kazi zote za msingi), na vile vile maadili kadhaa, yanaweza kupatikana ndani meza ya trigonometric. Katika baadhi ya matukio (kama ilivyo katika kesi hii), inawezekana kujenga mchoro wa schematic, ambayo grafu na mipaka ya ushirikiano inapaswa kuonyeshwa kimsingi kwa usahihi.

Hakuna shida na mipaka ya ujumuishaji hapa; wanafuata moja kwa moja kutoka kwa hali: "x" hubadilika kutoka sifuri hadi "pi". Wacha tufanye uamuzi zaidi:

Kwenye sehemu, grafu ya kazi iko juu ya mhimili, kwa hivyo: