Kizuia derivative
Ufafanuzi kazi ya antiderivative
- Kazi y=F(x) inaitwa antiderivative ya kazi y=f(x) kwa muda fulani X, ikiwa kwa kila mtu X ∈X usawa unashikilia: F’(x) = f(x)
Inaweza kusomwa kwa njia mbili:
- f derivative ya kipengele cha kukokotoa F
- F antiderivative ya kazi f
Mali ya antiderivatives
- Kama F(x)- antiderivative ya kazi f(x) kwa muda fulani, basi chaguo la kukokotoa f(x) lina vizuia derivative nyingi sana, na vizuia derivative hizi zote zinaweza kuandikwa katika umbo. F(x) + C, ambapo C ni mara kwa mara kiholela.
Tafsiri ya kijiometri
- Grafu za antiderivatives zote za kazi fulani f(x) zinapatikana kutoka kwa grafu ya kizuia derivative yoyote uhamisho sambamba kando ya mhimili wa O katika.
Sheria za kuhesabu antiderivatives
- Kizuia derivative cha jumla ni sawa na jumla ya vizuia derivatives. Kama F(x)- antiderivative kwa f(x), na G(x) ni kizuia derivative cha g(x), Hiyo F(x) + G(x)- antiderivative kwa f(x) + g(x).
- Kuzidisha mara kwa mara inaweza kuchukuliwa nje ya ishara ya derivative. Kama F(x)- antiderivative kwa f(x), Na k- mara kwa mara, basi k·F(x)- antiderivative kwa k f(x).
- Kama F(x)- antiderivative kwa f(x), Na k, b- mara kwa mara, na k ≠ 0, Hiyo 1/k F(kx + b)- antiderivative kwa f(kx + b).
Kumbuka!
Kitendaji chochote F(x) = x 2 + C , ambapo C ni mara kwa mara kiholela, na tu kazi kama hiyo ni kinza derivative kwa kazi hiyo f(x) = 2x.
- Kwa mfano:
F"(x) = (x 2 + 1)" = 2x = f(x);
f(x) = 2x, kwa sababu F"(x) = (x 2 – 1)" = 2x = f(x);
f(x) = 2x, kwa sababu F"(x) = (x 2 –3)" = 2x = f(x);
Uhusiano kati ya grafu za chaguo za kukokotoa na kizuia derivative yake:
- Ikiwa grafu ya chaguo la kukokotoa f(x)>0 F(x) huongezeka kwa muda huu.
- Ikiwa grafu ya chaguo la kukokotoa f(x)<0 kwa muda, kisha grafu ya antiderivative yake F(x) hupungua kwa muda huu.
- Kama f(x)=0, kisha grafu ya kizuia derivative yake F(x) katika hatua hii mabadiliko kutoka kuongezeka hadi kupungua (au kinyume chake).
Ili kuashiria antiderivative, ishara ya muunganisho usio na kipimo hutumiwa, ambayo ni, muhimu bila kuonyesha mipaka ya ujumuishaji.
Muhimu usio na kikomo
Ufafanuzi:
- Kiunga kisicho na kikomo cha chaguo za kukokotoa f(x) ni usemi F(x) + C, yaani, seti ya vizuia derivatives zote za chaguo za kukokotoa f(x). Kiunga kisicho na kikomo kinaonyeshwa kama ifuatavyo: \int f(x) dx = F(x) + C
- f(x)- inayoitwa kazi ya integrand;
- f(x) dx- inayoitwa integrand;
- x- inayoitwa kutofautiana kwa ushirikiano;
- F(x)- moja ya antiderivatives ya kazi f (x);
- NA- mara kwa mara ya kiholela.
Sifa za kiunganishi kisicho na kikomo
- Derivative ya kiunganishi kisichojulikana ni sawa na kiunganishi: (\int f(x) dx)\prime= f(x) .
- Sababu ya mara kwa mara ya integrand inaweza kuchukuliwa nje ya ishara muhimu: \int k \cdot f(x) dx = k \cdot \int f(x) dx.
- Muhimu wa jumla (tofauti) ya kazi ni sawa na jumla (tofauti) ya viambatanisho vya kazi hizi: \int (f(x) \pm g(x)) dx = \int f(x) dx \pm \int g(x) dx.
- Kama k, b ni viunga, na k ≠ 0, basi \int f(kx + b) dx = \frac(1)(k) \cdot F(kx + b) + C.
Jedwali la vizuia derivatives na viunganishi visivyojulikana
| Kazi f(x) | Kizuia derivative F(x) + C | Viunga visivyo na kikomo \int f(x) dx = F(x) + C |
| 0 | C | \nt 0 dx = C |
| f(x) = k | F(x) = kx + C | \nt kdx = kx + C |
| f(x) = x^m, m\sio =-1 | F(x) = \frac(x^(m+1))(m+1) + C | \int x(^m)dx = \frac(x^(m+1))(m+1) + C |
| f(x) = \frac(1)(x) | F(x) = l n \lvert x \rvert + C | \int \frac(dx)(x) = l n \lvert x \rvert + C |
| f(x) = e^x | F(x) = e^x + C | \int e(^x )dx = e^x + C |
| f(x) = a^x | F(x) = \frac(a^x)(l na) + C | \int a(^x )dx = \frac(a^x)(l na) + C |
| f(x) = \dhambi x | F(x) = -\cos x + C | \int \sin x dx = -\cos x + C |
| f(x) = \cos x | F(x) =\dhambi x + C | \nt \cos x dx = \sin x + C |
| f(x) = \frac(1)(\dhambi (^2) x) | F(x) = -\ctg x + C | \int \frac (dx)(\sin (^2) x) = -\ctg x + C |
| f(x) = \frac(1)(\cos (^2) x) | F(x) = \tg x + C | \int \frac(dx)(\sin (^2) x) = \tg x + C |
| f(x) = \sqrt(x) | F(x) =\frac(2x \sqrt(x))(3) + C | |
| f(x) =\frac(1)( \sqrt(x)) | F(x) =2\sqrt(x) + C | |
| f(x) =\frac(1)( \sqrt(1-x^2)) | F(x)=\arcsin x + C | \int \frac(dx)( \sqrt(1-x^2))=\arcsin x + C |
| f(x) =\frac(1)( \sqrt(1+x^2)) | F(x)=\arctg x + C | \int \frac(dx)( \sqrt(1+x^2))=\arctg x + C |
| f(x)=\frac(1)( \sqrt(a^2-x^2)) | F(x)=\arcsin \frac (x)(a)+ C | \int \frac(dx)( \sqrt(a^2-x^2)) =\arcsin \frac (x)(a)+ C |
| f(x)=\frac(1)( \sqrt(a^2+x^2)) | F(x)=\arctg \frac (x)(a)+ C | \int \frac(dx)( \sqrt(a^2+x^2)) = \frac (1)(a) \arctg \frac (x)(a)+ C |
| f(x) =\frac(1)( 1+x^2) | F(x)=\arctg + C | \int \frac(dx)( 1+x^2)=\arctg + C |
| f(x)=\frac(1)( \sqrt(x^2-a^2)) (a \si= 0) | F(x)=\frac(1)(2a)l n \lvert \frac (x-a)(x+a) \rvert + C | \int \frac(dx)( \sqrt(x^2-a^2))=\frac(1)(2a)l n \lvert \frac (x-a)(x+a) \rvert + C |
| f(x)=\tg x | F(x)= - l n \lvert \cos x \rvert + C | \int \tg x dx =- l n \lvert \cos x \rvert + C |
| f(x)=\ctg x | F(x)= l n \lvert \sin x \rvert + C | \int \ctg x dx = l n \lvert \sin x \rvert + C |
| f(x)=\frac(1)(\sin x) | F(x)= l n \lvert \tg \frac(x)(2) \rvert + C | \int \frac (dx)(\dhambi x) = l n \lvert \tg \frac(x)(2) \rvert + C |
| f(x)=\frac(1)(\cos x) | F(x)= l n \lvert \tg (\frac(x)(2) +\frac(\pi)(4)) \rvert + C | \int \frac (dx)(\cos x) = l n \lvert \tg (\frac(x)(2) +\frac(\pi)(4)) \rvert + C |
Fomula ya Newton-Leibniz
Hebu f(x) kipengele hiki F kizuia derivative yake kiholela.
\int_(a)^(b) f(x) dx =F(x)|_(a)^(b)= F(b) - F(a)
Wapi F(x)- antiderivative kwa f(x)
Hiyo ni, muhimu ya kazi f(x) kwa muda ni sawa na tofauti ya antiderivatives katika pointi b Na a.
Eneo la trapezoid iliyopotoka
Trapezoid ya Curvilinear ni kielelezo kinachofungwa na grafu ya chaguo za kukokotoa ambayo si hasi na inayoendelea kwa muda f, Mhimili wa ng'ombe na mistari iliyonyooka x = a Na x = b.
Eneo la trapezoid iliyopinda hupatikana kwa kutumia formula ya Newton-Leibniz:
S= \int_(a)^(b) f(x) dx
Hapo awali, kutokana na kazi iliyotolewa, inayoongozwa na kanuni na sheria mbalimbali, tulipata derivative yake. Derivative ina matumizi mengi: ni kasi ya harakati (au, kwa ujumla, kasi ya mchakato wowote); mgawo wa angular wa tangent kwa grafu ya kazi; kwa kutumia derivative, unaweza kuchunguza kazi kwa monotonicity na extrema; inasaidia kutatua matatizo ya utoshelezaji.
Lakini pamoja na tatizo la kutafuta kasi kulingana na sheria inayojulikana ya mwendo, pia kuna tatizo la kinyume - tatizo la kurejesha sheria ya mwendo kulingana na kasi inayojulikana. Hebu tuchunguze mojawapo ya matatizo haya.
Mfano 1. Sehemu ya nyenzo husogea kwa mstari ulionyooka, kasi yake kwa wakati t inatolewa na fomula v=gt. Tafuta sheria ya mwendo.
Suluhisho. Hebu s = s(t) iwe sheria inayotakiwa ya mwendo. Inajulikana kuwa s"(t) = v(t). Hii ina maana kwamba ili kutatua tatizo unahitaji kuchagua chaguo za kukokotoa s = s(t), derivative yake ambayo ni sawa na gt. Si vigumu kukisia. kwamba \(s(t) = \frac(gt^ 2)(2) \).Kwa kweli
\(s"(t) = \kushoto(\frac(gt^2)(2) \kulia)" = \frac(g)(2)(t^2)" = \frac(g)(2) \ cdot 2t = gt\)
Jibu: \(s(t) = \frac(gt^2)(2) \)
Hebu tuangalie mara moja kwamba mfano unatatuliwa kwa usahihi, lakini haujakamilika. Tulipata \(s(t) = \frac(gt^2)(2) \). Kwa kweli, tatizo lina masuluhisho mengi sana: utendakazi wowote wa fomu \(s(t) = \frac(gt^2)(2) + C\), ambapo C ni kigezo cha kiholela, kinaweza kutumika kama sheria ya mwendo, kwani \(\kushoto (\frac(gt^2)(2) +C \kulia)" = gt \)
Ili kufanya tatizo kuwa maalum zaidi, tulipaswa kurekebisha hali ya awali: onyesha uratibu wa hatua ya kusonga kwa wakati fulani, kwa mfano saa t = 0. Ikiwa, sema, s (0) = s 0, kisha kutoka kwa usawa s(t) = (gt 2)/2 + C tunapata: s(0) = 0 + C, yaani C = s 0. Sasa sheria ya mwendo imefafanuliwa kipekee: s(t) = (gt 2)/2 + s 0.
Katika hisabati, shughuli za kinyume hupewa majina tofauti, nukuu maalum huvumbuliwa, kwa mfano: squaring (x 2) na mizizi ya mraba (\(\sqrt(x) \)), sine (sin x) na arcsine (arcsin x) na nk Mchakato wa kutafuta derivative ya kazi fulani inaitwa utofautishaji, na utendakazi wa kinyume, yaani mchakato wa kutafuta kitendakazi kutoka kwa derivative fulani, ni ushirikiano.
Neno "derivative" lenyewe linaweza kuhesabiwa haki "katika maneno ya kila siku": chaguo za kukokotoa y = f(x) "huzaa" kwa chaguo mpya la kukokotoa y" = f"(x). Chaguo za kukokotoa y = f(x) hufanya kama "mzazi", lakini wanahisabati, kwa kawaida, hawaite "mzazi" au "mtayarishaji" wanasema kwamba ni, kuhusiana na chaguo la kukokotoa y" = f"( x) , picha ya msingi, au ya awali.
Ufafanuzi. Chaguo za kukokotoa y = F(x) huitwa kizuia derivative kwa chaguo za kukokotoa y = f(x) kwenye muda X ikiwa usawa F"(x) = f(x) unashikilia kwa \(x \katika X\)
Kwa mazoezi, muda wa X kawaida haujabainishwa, lakini huonyeshwa (kama kikoa asili cha ufafanuzi wa kazi).
Hebu tutoe mifano.
1) Chaguo za kukokotoa y = x 2 ni kizuia derivative kwa chaguo za kukokotoa y = 2x, kwani kwa x yoyote usawa (x 2)" = 2x ni kweli.
2) Kitendakazi y = x 3 ni kizuia derivative kwa chaguo za kukokotoa y = 3x 2, kwani kwa x yoyote usawa (x 3)" = 3x 2 ni kweli.
3) Chaguo za kukokotoa y = sin(x) ni kizuia chaguo za kukokotoa y = cos(x), kwani kwa x yoyote usawa (sin(x))" = cos(x) ni kweli.
Wakati wa kupata antiderivatives, pamoja na derivatives, sio tu formula hutumiwa, lakini pia baadhi ya sheria. Zinahusiana moja kwa moja na sheria zinazolingana za kuhesabu derivatives.
Tunajua kwamba derivative ya jumla ni sawa na jumla ya derivatives yake. Sheria hii hutoa kanuni inayolingana ya kupata antiderivatives.
Kanuni ya 1. Kizuia derivative cha jumla ni sawa na jumla ya vizuia derivatives.
Tunajua kwamba sababu ya mara kwa mara inaweza kuondolewa kutoka kwa ishara ya derivative. Sheria hii hutoa kanuni inayolingana ya kupata antiderivatives.
Kanuni ya 2. Ikiwa F(x) ni kizuia derivative cha f(x), basi kF(x) ni kinza-derivative cha kf(x).
Nadharia 1. Ikiwa y = F(x) ni kizuia derivative cha chaguo za kukokotoa y = f(x), basi kinza-derivative cha chaguo za kukokotoa y = f(kx + m) ni chaguo za kukokotoa \(y=\frac(1)(k)F. (kx+m) \)
Nadharia 2. Ikiwa y = F(x) ni kizuia derivative kwa chaguo za kukokotoa y = f(x) kwenye kipindi cha X, basi chaguo la kukokotoa y = f(x) lina vizuia derivative nyingi sana, na zote zina umbo y = F(x) + C.
Mbinu za ujumuishaji
Njia mbadala ya kubadilisha (mbinu mbadala)
Njia ya ujumuishaji kwa uingizwaji inahusisha kuanzishwa kwa tofauti mpya ya ujumuishaji (yaani, uingizwaji). Katika kesi hii, kiunganishi kilichopewa kinapunguzwa kwa kiunga kipya, ambacho ni tabular au inaweza kupunguzwa kwake. Hakuna njia za jumla za kuchagua mbadala. Uwezo wa kuamua kwa usahihi uingizwaji hupatikana kupitia mazoezi.
Wacha iwe muhimu kuhesabu muhimu \(\textstyle \int F(x)dx \). Wacha tufanye badala \(x= \varphi(t) \) ambapo \(\varphi(t) \) ni chaguo la kukokotoa ambalo lina derivative inayoendelea.
Kisha \(dx = \varphi " (t) \cdot dt \) na kulingana na mali ya kutobadilika ya fomula ya ujumuishaji kwa muunganisho usiojulikana, tunapata fomula ya ujumuishaji kwa kubadilisha:
\(\int F(x) dx = \int F(\varphi(t)) \cdot \varphi " (t) dt \)
Ujumuishaji wa maneno ya fomu \(\textstyle \int \sin^n x \cos^m x dx \)
Ikiwa m ni isiyo ya kawaida, m > 0, basi ni rahisi zaidi kufanya badala ya sin x = t.
Ikiwa n ni isiyo ya kawaida, n > 0, basi ni rahisi zaidi kufanya badala ya cos x = t.
Ikiwa n na m ni sawa, basi ni rahisi zaidi kufanya mbadala tg x = t.
Kuunganishwa kwa sehemu
Ujumuishaji kwa sehemu - kutumia fomula ifuatayo ya ujumuishaji:
\(\textstyle \int u \cdot dv = u \cdot v - \int v \cdot du \)
au:
\(\textstyle \int u \cdot v" \cdot dx = u \cdot v - \int v \cdot u" \cdot dx \)
Jedwali la viambatanisho visivyojulikana (vizuia derivatives) vya baadhi ya vipengele
$$ \int 0 \cdot dx = C $$ $$ \int 1 \cdot dx = x+C $$$$ \int x^n dx = \frac(x^(n+1))(n+1) ) +C \;\; (n \neq -1) $$ $$ \int \frac(1)(x) dx = \ln |x| +C $$ $$ \int e^x dx = e^x +C $$$$ \int a^x dx = \frac(a^x)(\ln a) +C \;\; (a>0, \;\; a \neq 1) $$ $$ \int \cos x dx = \sin x +C $$$$ \int \sin x dx = -\cos x +C $$ $ $ \int \frac(dx)(\cos^2 x) = \text(tg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sin^2 x) = -\text(ctg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sqrt(1-x^2)) = \text(arcsin) x +C $$$$ \int \frac(dx)(1+x^2 ) = \text(arctg) x +C $$ $$ \int \text(ch) x dx = \text(sh) x +C $$ $$ \int \text(sh) x dx = \text(ch ) x +C $$Somo hili ni la kwanza katika mfululizo wa video kuhusu ujumuishaji. Ndani yake tutachambua kizuia derivative ya kazi ni nini, na pia tutasoma njia za kimsingi za kuhesabu antiderivatives hizi.
Kwa kweli, hakuna chochote ngumu hapa: kimsingi yote inakuja kwa wazo la derivative, ambalo unapaswa kuwa tayari kulifahamu :)
Mara moja nitagundua kuwa kwa kuwa hili ni somo la kwanza kabisa katika mada yetu mpya, leo hakutakuwa na mahesabu na fomula ngumu, lakini kile tutachojifunza leo kitakuwa msingi wa mahesabu ngumu zaidi na ujenzi wakati wa kuhesabu viunga na maeneo magumu. .
Kwa kuongezea, tunapoanza kusoma ujumuishaji na viambatanisho haswa, tunadhania kabisa kwamba mwanafunzi tayari angalau anafahamu dhana za derivatives na ana ujuzi wa kimsingi katika kuzihesabu. Bila ufahamu wazi wa hili, hakuna chochote cha kufanya katika ushirikiano.
Hata hivyo, hapa kuna moja ya matatizo ya kawaida na ya siri. Ukweli ni kwamba, wakati wa kuanza kuhesabu antiderivatives zao za kwanza, wanafunzi wengi huwachanganya na derivatives. Matokeo yake, makosa ya kijinga na ya kukera yanafanywa wakati wa mitihani na kazi ya kujitegemea.
Kwa hivyo, sasa sitatoa ufafanuzi wazi wa antiderivative. Kwa kurudi, napendekeza uone jinsi inavyohesabiwa kwa kutumia mfano maalum maalum.
Antiderivative ni nini na inahesabiwaje?
Tunajua formula hii:
\[((\kushoto(((x)^(n))) \kulia))^(\prime ))=n\cdot ((x)^(n-1))\]
Derivative hii imehesabiwa kwa urahisi:
\[(f)"\kushoto(x \kulia)=((\kushoto(((x)^(3)) \kulia))^(\prime ))=3((x)^(2))\ ]
Wacha tuangalie kwa uangalifu usemi unaosababishwa na tueleze $((x)^(2))$:
\[((x)^(2))=\frac(((\left(((x)^(3))) \kulia))^(\prime ))))(3)\]
Lakini tunaweza kuiandika kwa njia hii, kulingana na ufafanuzi wa derivative:
\[((x)^(2))=((\kushoto(\frac(((x)^(3))))(3) \kulia))^(\prime))\]
Na sasa tahadhari: kile tulichoandika tu ni ufafanuzi wa antiderivative. Lakini ili kuiandika kwa usahihi, unahitaji kuandika yafuatayo:
Wacha tuandike usemi ufuatao kwa njia ile ile:
Ikiwa tutarekebisha sheria hii kwa jumla, tunaweza kupata fomula ifuatayo:
\[((x)^(n))\to \frac(((x)^(n+1)))(n+1)\]
Sasa tunaweza kuunda ufafanuzi wazi.
Kipinga derivative ya chaguo za kukokotoa ni chaguo la kukokotoa ambalo kinyambulisho chake ni sawa na kitendakazi asilia.
Maswali kuhusu kazi ya antiderivative
Inaweza kuonekana kuwa ufafanuzi rahisi na unaoeleweka. Walakini, baada ya kuisikia, mwanafunzi anayesikiliza atakuwa na maswali kadhaa mara moja:
- Wacha tuseme, sawa, fomula hii ni sahihi. Hata hivyo, katika kesi hii, na $ n = 1 $, tuna matatizo: "zero" inaonekana katika denominator, na hatuwezi kugawanya na "sifuri".
- Fomula imezuiwa kwa digrii pekee. Jinsi ya kuhesabu antiderivative, kwa mfano, ya sine, cosine na trigonometry nyingine yoyote, pamoja na constants.
- Swali linalowezekana: inawezekana kila wakati kupata kizuia derivative? Ikiwa ndio, basi vipi kuhusu kizuia derivative ya jumla, tofauti, bidhaa, nk?
Nitajibu swali la mwisho mara moja. Kwa bahati mbaya, antiderivative, tofauti na derivative, si mara zote kuchukuliwa. Hakuna formula ya ulimwengu wote ambayo kutoka kwa ujenzi wowote wa awali tutapata kazi ambayo itakuwa sawa na ujenzi huu sawa. Kuhusu nguvu na mara kwa mara, tutazungumza juu yake sasa.
Kutatua matatizo na kazi za nguvu
\[((x)^(-1))\to \frac(((x)^(-1+1))))(-1+1)=\frac(1)(0)\]
Kama unavyoona, fomula hii ya $((x)^(-1))$ haifanyi kazi. Swali linatokea: ni nini kinachofanya kazi basi? Je, hatuwezi kuhesabu $((x)^(-1))$? Bila shaka tunaweza. Hebu tukumbuke hili kwanza:
\[((x)^(-1))=\frac(1)(x)\]
Sasa hebu tufikirie: derivative ya ambayo chaguo la kukokotoa ni sawa na $\frac(1)(x)$. Ni wazi, mwanafunzi yeyote ambaye amesoma mada hii angalau kidogo atakumbuka kuwa usemi huu ni sawa na derivative ya logarithm asili:
\[((\kushoto(\ln x \kulia))^(\prime ))=\frac(1)(x)\]
Kwa hivyo, tunaweza kuandika yafuatayo kwa ujasiri:
\[\frac(1)(x)=((x)^(-1))\kwa \ln x\]
Unahitaji kujua fomula hii, kama tu derivative ya chaguo za kukokotoa nguvu.
Kwa hivyo kile tunachojua hadi sasa:
- Kwa kitendakazi cha nguvu - $((x)^(n))\to \frac(((x)^(n+1))))(n+1)$
- Kwa mara kwa mara - $=const\to \cdot x$
- Kesi maalum ya chaguo za kukokotoa nishati ni $\frac(1)(x)\to \ln x$
Na ikiwa tutaanza kuzidisha na kugawanya kazi rahisi zaidi, tunawezaje kuhesabu antiderivative ya bidhaa au mgawo. Kwa bahati mbaya, mlinganisho na derivative ya bidhaa au quotient haifanyi kazi hapa. Hakuna fomula ya kawaida. Kwa visa vingine, kuna fomula maalum za hila - tutafahamiana nazo katika masomo ya video yajayo.
Walakini, kumbuka: hakuna fomula ya jumla inayofanana na fomula ya kuhesabu derivative ya mgawo na bidhaa.
Kutatua matatizo ya kweli
Kazi nambari 1
Wacha tuhesabu kila moja ya kazi za nguvu kando:
\[((x)^(2))\to \frac(((x)^(3))))(3)\]
Kurudi kwa usemi wetu, tunaandika muundo wa jumla:
Tatizo namba 2
Kama nilivyosema tayari, prototypes za kazi na maelezo "kwa uhakika" hazizingatiwi. Walakini, hapa unaweza kufanya kwa njia ifuatayo:
Tuligawanya sehemu hiyo kwa jumla ya sehemu mbili.
Wacha tufanye hesabu:
Habari njema ni kwamba kujua fomula za kuhesabu antiderivatives, unaweza tayari kuhesabu miundo ngumu zaidi. Hata hivyo, wacha tuende mbali zaidi na kupanua ujuzi wetu zaidi kidogo. Ukweli ni kwamba miundo na misemo mingi, ambayo, kwa mtazamo wa kwanza, haina uhusiano wowote na $((x)^(n))$, inaweza kuwakilishwa kama nguvu na kiashiria cha busara, yaani:
\[\sqrt(x)=((x)^(\frac(1)(2)))\]
\[\sqrt[n](x)=((x)^(\frac(1)(n)))\]
\[\frac(1)(((x)^(n))))=((x)^(-n))\]
Mbinu hizi zote zinaweza na zinapaswa kuunganishwa. Maneno ya nguvu yanaweza kuwa
- kuzidisha (kuongeza digrii);
- kugawanya (digrii zinatolewa);
- kuzidisha kwa mara kwa mara;
- na kadhalika.
Kutatua vielezi vya nguvu kwa kutumia kipeo cha busara
Mfano #1
Wacha tuhesabu kila mzizi kando:
\[\sqrt(x)=((x)^(\frac(1)(2)))\kwa \frac(((x)^(\frac(1)(2)+1)))(\ frac(1)(2)+1)=\frac(((x)^(\frac(3)(2))))(\frac(3)(2))=\frac(2\cdot (( x)^(\frac(3)(2))))(3)\]
\[\sqrt(x)=((x)^(\frac(1)(4)))\kwa \frac(((x)^(\frac(1)(4))))(\frac( 1)(4)+1)=\frac(((x)^(\frac(5)(4))))(\frac(5)(4))=\frac(4\cdot ((x) ^(\frac(5)(4))))(5)\]
Kwa jumla, muundo wetu wote unaweza kuandikwa kama ifuatavyo:
Mfano Nambari 2
\[\frac(1)(\sqrt(x))=((\left(\sqrt(x) \kulia))^(-1))=((\left(((x)^(\frac) 1)(2))) \kulia))^(-1))=((x)^(-\frac(1)(2)))\]
Kwa hivyo tunapata:
\[\frac(1)(((x)^(3)))=((x)^(-3))\to \frac(((x)^(-3+1))))(-3) +1)=\frac(((x)^(-2)))(-2)=-\frac(1)(2((x)^(2)))\]
Kwa jumla, kukusanya kila kitu kwa usemi mmoja, tunaweza kuandika:
Mfano Nambari 3
Kuanza, tunaona kuwa tayari tumehesabu $\sqrt(x)$:
\[\sqrt(x)\to \frac(4((x)^(\frac(5)(4)))))(5)\]
\[((x)^(\frac(3)(2)))\kwa \frac(((x)^(\frac(3)(2)+1)))(\frac(3)(2) )+1)=\frac(2\cdot ((x)^(\frac(5)(2))))(5)\]
Hebu tuandike upya:
Natumai sitamshangaza mtu yeyote nikisema kwamba kile ambacho tumesoma hivi punde ni mahesabu rahisi tu ya antiderivatives, ujenzi wa kimsingi zaidi. Wacha sasa tuangalie mifano ngumu zaidi, ambayo, pamoja na antiderivatives za jedwali, utahitaji pia kukumbuka mtaala wa shule, ambayo ni, fomula zilizofupishwa za kuzidisha.
Kutatua mifano ngumu zaidi
Kazi nambari 1
Wacha tukumbuke fomula ya tofauti ya mraba:
\[((\kushoto(a-b \kulia))^(2))=((a)^(2))-ab+((b)^(2))\]
Wacha tuandike tena kazi yetu:
Sasa tunapaswa kupata mfano wa kazi kama hii:
\[((x)^(\frac(2)(3)))\kwa \frac(3\cdot ((x)^(\frac(5)(3))))(5)\]
\[((x)^(\frac(1)(3)))\to \frac(3\cdot ((x)^(\frac(4)(3))))(4)\]
Wacha tuweke kila kitu pamoja katika muundo wa kawaida:
Tatizo namba 2
Katika kesi hii, tunahitaji kupanua mchemraba tofauti. Hebu tukumbuke:
\[((\ kushoto(a-b \kulia))^(3))=((a)^(3))-3((a)^(2))\cdot b+3a\cdot ((b)^ (2))-((b)^(3))\]
Kwa kuzingatia ukweli huu, tunaweza kuandika kama hii:
Wacha tubadilishe utendaji wetu kidogo:
Tunahesabu kama kawaida - kwa kila muhula kando:
\[((x)^(-3))\kwa \frac(((x)^(-2)))(-2)\]
\[((x)^(-2))\kwa \frac(((x)^(-1))))(-1)\]
\[((x)^(-1))\kwa \ln x\]
Wacha tuandike muundo unaosababisha:
Tatizo namba 3
Hapo juu tunayo mraba wa jumla, wacha tuipanue:
\[\frac((\left(x+\sqrt(x)) \kulia))^(2)))(x)=\frac(((x)^(2))+2x\cdot \sqrt(x )+((\kushoto(\sqrt(x)\kulia))^(2)))(x)=\]
\[=\frac(((x)^(2)))(x)+\frac(2x\sqrt(x))(x)+\frac(x)(x)=x+2((x) ^(\frac(1)(2)))+1\]
\[((x)^(\frac(1)(2)))\to \frac(2\cdot ((x)^(\frac(3)(2)))))(3)\]
Wacha tuandike suluhisho la mwisho:
Sasa tahadhari! Jambo muhimu sana, ambalo linahusishwa na sehemu ya simba ya makosa na kutokuelewana. Ukweli ni kwamba hadi sasa, kuhesabu antiderivatives kwa msaada wa derivatives na kuleta mabadiliko, hatukufikiri juu ya nini derivative ya mara kwa mara ni sawa. Lakini derivative ya mara kwa mara ni sawa na "sifuri". Hii ina maana kwamba unaweza kuandika chaguzi zifuatazo:
- $((x)^(2))\to \frac(((x)^(3))))(3)$
- $((x)^(2))\to \frac(((x)^(3))))(3)+1$
- $((x)^(2))\to \frac(((x)^(3))))(3)+C$
Hii ni muhimu sana kuelewa: ikiwa derivative ya kazi daima ni sawa, basi kazi sawa ina idadi isiyo na kipimo ya antiderivatives. Tunaweza tu kuongeza nambari zozote zisizobadilika kwa vizuia derivatives zetu na kupata mpya.
Sio bahati mbaya kwamba katika maelezo ya shida ambazo tumetatua hivi punde, iliandikwa "Andika aina ya jumla ya vizuia derivatives." Wale. Tayari imechukuliwa mapema kuwa hakuna hata mmoja wao, lakini umati mzima. Lakini, kwa kweli, hutofautiana tu katika $C $ mara kwa mara mwishoni. Kwa hivyo, katika kazi zetu tutasahihisha kile ambacho hatukukamilisha.
Kwa mara nyingine tena tunaandika upya miundo yetu:
Katika hali kama hizi, unapaswa kuongeza kuwa $C$ ni mara kwa mara - $C=const$.
Katika kazi yetu ya pili tunapata ujenzi ufuatao:
Na ya mwisho:
Na sasa tulipata kile kilichohitajika kwetu katika hali ya asili ya shida.
Kutatua matatizo ya kupata antiderivatives na uhakika fulani
Sasa kwa kuwa tunajua juu ya viboreshaji na upekee wa uandishi wa antiderivatives, ni sawa kabisa kwamba aina inayofuata ya shida inatokea wakati, kutoka kwa seti ya dawa zote, inahitajika kupata moja na pekee ambayo inaweza kupita kwa uhakika fulani. . Kazi hii ni nini?
Ukweli ni kwamba antiderivatives zote za kazi fulani hutofautiana tu kwa kuwa zinahamishwa kwa wima na nambari fulani. Na hii inamaanisha kuwa haijalishi ni hatua gani kwenye ndege ya kuratibu tunayochukua, antiderivative moja hakika itapita, na, zaidi ya hayo, moja tu.
Kwa hivyo, shida ambazo tutasuluhisha sasa zimeundwa kama ifuatavyo: sio tu kupata kizuia derivative, kujua fomula ya kazi ya asili, lakini chagua ile ambayo hupitia hatua uliyopewa, kuratibu ambazo zitapewa shida. kauli.
Mfano #1
Kwanza, hebu tuhesabu kila neno:
\[((x)^(4))\to \frac(((x)^(5))))(5)\]
\[((x)^(3))\kwa \frac(((x)^(4))))(4)\]
Sasa tunabadilisha misemo hii katika muundo wetu:
Chaguo hili la kukokotoa lazima lipitie hatua $M\left(-1;4 \kulia)$. Inamaanisha nini kwamba inapita kwa uhakika? Hii ina maana kwamba ikiwa badala ya $x$ tutaweka $-1$ kila mahali, na badala ya $F\left(x \kulia)$ - $-4$, basi tunapaswa kupata usawa sahihi wa nambari. Hebu tufanye hivi:
Tunaona kuwa tunayo mlinganyo wa $C$, kwa hivyo wacha tujaribu kuitatua:
Wacha tuandike suluhisho ambalo tulikuwa tunatafuta:
Mfano Nambari 2
Kwanza kabisa, ni muhimu kufunua mraba wa tofauti kwa kutumia fomula iliyofupishwa ya kuzidisha:
\[((x)^(2))\to \frac(((x)^(3))))(3)\]
Ujenzi wa asili utaandikwa kama ifuatavyo:
Sasa wacha tupate $C$: badala ya kuratibu za uhakika $M$:
\[-1=\frac(8)(3)-12+18+C\]
Tunatoa $C$:
Inabakia kuonyesha usemi wa mwisho:
Kutatua matatizo ya trigonometric
Kama mguso wa mwisho kwa yale ambayo tumezungumza hivi punde, ninapendekeza kuzingatia shida mbili ngumu zaidi ambazo zinahusisha trigonometry. Ndani yao, kwa njia ile ile, utahitaji kupata antiderivatives kwa kazi zote, kisha chagua kutoka kwa seti hii pekee ambayo hupitia hatua ya $ M$ kwenye ndege ya kuratibu.
Kuangalia mbele, ningependa kutambua kwamba mbinu ambayo tutatumia sasa kupata antiderivatives ya kazi za trigonometric ni, kwa kweli, mbinu ya jumla ya kujijaribu.
Kazi nambari 1
Wacha tukumbuke formula ifuatayo:
\[((\left(\text(tg)x \kulia))^(\prime ))=\frac(1)(((\cos )^(2))x)\]
Kulingana na hili, tunaweza kuandika:
Wacha tubadilishe kuratibu za point $M$ kwenye usemi wetu:
\[-1=\text(tg)\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(\text(4))+C\]
Hebu tuandike upya usemi huo kwa kuzingatia ukweli huu:
Tatizo namba 2
Hii itakuwa ngumu zaidi kidogo. Sasa utaona kwa nini.
Wacha tukumbuke formula hii:
\[((\ kushoto(\text(ctg)x \kulia))^(\prime ))=-\frac(1)(((\sin )^(2))x)\]
Ili kuondoa "minus", unahitaji kufanya yafuatayo:
\[((\kushoto(-\text(ctg)x \kulia))^(\prime ))=\frac(1)(((\sin )^(2))x)\]
Hapa kuna muundo wetu
Wacha tubadilishe kuratibu za uhakika $M$:
Kwa jumla, tunaandika ujenzi wa mwisho:
Hiyo ndiyo yote nilitaka kukuambia kuhusu leo. Tulisoma neno la antiderivatives, jinsi ya kuzihesabu kutoka kwa kazi za kimsingi, na pia jinsi ya kupata kizuia derivative kinachopitia sehemu fulani kwenye ndege ya kuratibu.
Natumai somo hili litakusaidia kuelewa mada hii ngumu angalau kidogo. Kwa hali yoyote, ni juu ya antiderivatives kwamba integrals usio na ukomo na usiojulikana hujengwa, kwa hiyo ni muhimu kabisa kuhesabu. Hiyo yote ni kwangu. Tuonane tena!
Somo na uwasilishaji juu ya mada: "Kitendaji cha antiderivative. Grafu ya chaguo za kukokotoa"
Nyenzo za ziada
Watumiaji wapendwa, usisahau kuacha maoni yako, hakiki, matakwa! Nyenzo zote zimeangaliwa na programu ya kupambana na virusi.
Vifaa vya kufundishia na viigizaji katika duka la mtandaoni la Integral kwa daraja la 11
Matatizo ya algebraic na vigezo, darasa la 9-11
"Kazi maingiliano ya kujenga katika nafasi kwa darasa la 10 na 11"
Kazi ya antiderivative. Utangulizi
Guys, mnajua jinsi ya kupata derivatives ya kazi kwa kutumia kanuni na sheria mbalimbali. Leo tutajifunza uendeshaji wa inverse wa kuhesabu derivative. Dhana ya derivative mara nyingi hutumika katika maisha halisi. Acha nikukumbushe: derivative ni kiwango cha mabadiliko ya kazi katika hatua maalum. Michakato inayohusisha mwendo na kasi imeelezewa vyema katika masharti haya.Hebu tuangalie tatizo hili: “Kasi ya kitu kinachotembea katika mstari ulionyooka inaelezewa na fomula $V=gt$ Inahitajika kurejesha sheria ya mwendo.
Suluhisho.
Tunajua fomula vizuri: $S"=v(t)$, ambapo S ni sheria ya mwendo.
Jukumu letu linakuja kutafuta chaguo za kukokotoa $S=S(t)$ ambazo toleo lake ni sawa na $gt$. Ukiangalia kwa makini, unaweza kukisia kuwa $S(t)=\frac(g*t^2)(2)$.
Hebu tuangalie usahihi wa suluhisho la tatizo hili: $S"(t)=(\frac(g*t^2)(2))"=\frac(g)(2)*2t=g*t$.
Kujua derivative ya kazi, tulipata kazi yenyewe, yaani, tulifanya operesheni ya inverse.
Lakini inafaa kulipa kipaumbele kwa hatua hii. Suluhisho la tatizo letu linahitaji ufafanuzi; ikiwa tutaongeza nambari yoyote (mara kwa mara) kwa chaguo za kukokotoa zilizopatikana, basi thamani ya kiingilio haitabadilika: $S(t)=\frac(g*t^2)(2)+ c,c=const$.
$S"(t)=(\frac(g*t^2)(2))"+c"=g*t+0=g*t$.
Guys, makini: tatizo letu lina idadi kubwa ya ufumbuzi!
Ikiwa shida haielezei hali ya awali au nyingine, usisahau kuongeza mara kwa mara kwenye suluhisho. Kwa mfano, kazi yetu inaweza kutaja msimamo wa mwili wetu mwanzoni mwa harakati. Kisha si vigumu kuhesabu mara kwa mara kwa kubadilisha sifuri kwenye equation inayosababisha, tunapata thamani ya mara kwa mara.
Operesheni hii inaitwaje?
Uendeshaji wa kinyume cha utofautishaji unaitwa ushirikiano.
Kutafuta kazi kutoka kwa derivative iliyotolewa - ushirikiano.
Kazi yenyewe itaitwa antiderivative, yaani, picha ambayo derivative ya kazi ilipatikana.
Ni desturi kuandika kizuia derivative kwa herufi kubwa $y=F"(x)=f(x)$.
Ufafanuzi. Chaguo za kukokotoa $y=F(x)$ huitwa kipingamizi cha chaguo za kukokotoa $у=f(x)$ kwenye muda X ikiwa kwa $хϵХ$ yoyote usawa $F'(x)=f(x)$ unashikilia. .
Wacha tufanye meza ya antiderivatives kwa kazi mbalimbali. Inapaswa kuchapishwa kama ukumbusho na kukariri.
Katika meza yetu, hakuna masharti ya awali yaliyotajwa. Hii ina maana kwamba mara kwa mara inapaswa kuongezwa kwa kila usemi ulio upande wa kulia wa jedwali. Tutafafanua sheria hii baadaye.
Sheria za kutafuta antiderivatives
Hebu tuandike sheria chache ambazo zitatusaidia katika kutafuta antiderivatives. Wote ni sawa na sheria za kutofautisha.Kanuni ya 1. Kizuia derivative cha jumla ni sawa na jumla ya vizuia derivatives. $F(x+y)=F(x)+F(y)$.
Mfano.
Tafuta kizuia derivative cha chaguo za kukokotoa $y=4x^3+cos(x)$.
Suluhisho.
Kizuia derivative ya jumla ni sawa na jumla ya vizuia derivatives, basi tunahitaji kupata kizuia derivative kwa kila kazi iliyowasilishwa.
$f(x)=4x^3$ => $F(x)=x^4$.
$f(x)=cos(x)$ => $F(x)=sin(x)$.
Kisha kizuia derivative cha chaguo la kukokotoa la awali kitakuwa: $y=x^4+sin(x)$ au chaguo la kukokotoa la fomu $y=x^4+sin(x)+C$.
Kanuni ya 2. Ikiwa $F(x)$ ni kizuia derivative cha $f(x)$, basi $k*F(x)$ ni kinza-derivative cha chaguo za kukokotoa $k*f(x)$.(Tunaweza kuchukua mgawo kwa urahisi kama chaguo za kukokotoa).
Mfano.
Tafuta antiderivatives ya kazi:
a) $y=8sin(x)$.
b) $y=-\frac(2)(3)cos(x)$.
c) $y=(3x)^2+4x+5$.
Suluhisho.
a) Kizuia derivative cha $sin(x)$ ni minus $cos(x)$. Kisha antiderivative ya kazi ya awali itachukua fomu: $y=-8cos(x)$.
B) Kizuia derivative cha $cos(x)$ ni $sin(x)$. Kisha antiderivative ya kazi ya awali itachukua fomu: $y=-\frac(2)(3)sin(x)$.
C) Kizuia derivative cha $x^2$ ni $\frac(x^3)(3)$. Kizuia derivative cha x ni $\frac(x^2)(2)$. Kizuia derivative cha 1 ni x. Kisha kizuia derivative cha kitendakazi asili kitachukua fomu: $y=3*\frac(x^3)(3)+4*\frac(x^2)(2)+5*x=x^3+2x ^2+5x$ .
Kanuni ya 3. Iwapo $у=F(x)$ ni kizuia derivative cha chaguo za kukokotoa $y=f(x)$, basi kizuia derivative cha chaguo za kukokotoa $y=f(kx+m)$ ni chaguo za kukokotoa $y=\frac(1 )(k)* F(kx+m)$.
Mfano.
Pata antiderivatives ya kazi zifuatazo:
a) $y=cos(7x)$.
b) $y=dhambi(\frac(x)(2))$.
c) $y=(-2x+3)^3$.
d) $y=e^(\frac(2x+1)(5))$.
Suluhisho.
a) Kizuia derivative cha $cos(x)$ ni $sin(x)$. Kisha kizuia derivative cha chaguo za kukokotoa $y=cos(7x)$ kitakuwa kazi $y=\frac(1)(7)*sin(7x)=\frac(sin(7x))(7)$.
B) Kizuia derivative cha $sin(x)$ ni minus $cos(x)$. Kisha kizuia derivative cha chaguo za kukokotoa $y=sin(\frac(x)(2))$ itakuwa kazi $y=-\frac(1)(\frac(1)(2))cos(\frac(x) )(2) )=-2cos(\frac(x)(2))$.
C) Kizuia derivative cha $x^3$ ni $\frac(x^4)(4)$, kisha kizuia derivative cha chaguo za kukokotoa asili $y=-\frac(1)(2)*\frac(((--) 2x+3) )^4)(4)=-\frac(((-2x+3))^4)(8)$.
D) Rahisisha usemi kwa nguvu $\frac(2x+1)(5)=\frac(2)(5)x+\frac(1)(5)$.
Kizuia derivative ya kazi ya kielelezo ni yenyewe utendaji wa kielelezo. Kizuia derivative cha chaguo la kukokotoa la awali kitakuwa $y=\frac(1)(\frac(2)(5))e^(\frac(2)(5)x+\frac(1)(5))=\frac (5)( 2)*e^(\frac(2x+1)(5))$.
Nadharia. Ikiwa $y=F(x)$ ni kizuia derivative cha chaguo za kukokotoa $y=f(x)$ kwenye muda X, basi chaguo la kukokotoa $y=f(x)$ lina vizuia derivative nyingi sana, na zote zina fomu $y=F(x)+С$.
Ikiwa katika mifano yote iliyozingatiwa hapo juu ilikuwa ni lazima kupata seti ya antiderivatives zote, basi C mara kwa mara inapaswa kuongezwa kila mahali.
Kwa chaguo za kukokotoa $y=cos(7x)$ vizuia derivative zote vina fomu: $y=\frac(sin(7x))(7)+C$.
Kwa chaguo za kukokotoa $y=(-2x+3)^3$ vizuia derivative zote zina fomu: $y=-\frac(((-2x+3)))^4)(8)+C$.
Mfano.
Na kupewa sheria mabadiliko katika kasi ya mwili baada ya muda $v=-3sin(4t)$ pata sheria ya mwendo $S=S(t)$, ikiwa ndani wakati wa kuanzia wakati mwili ulikuwa na kuratibu sawa na 1.75.
Suluhisho.
Kwa kuwa $v=S’(t)$, tunahitaji kupata kizuia derivative kwa kasi fulani.
$S=-3*\frac(1)(4)(-cos(4t))+C=\frac(3)(4)cos(4t)+C$.
Katika tatizo hili hutolewa hali ya ziada- wakati wa mwanzo wa wakati. Hii ina maana kwamba $t=0$.
$S(0)=\frac(3)(4)cos(4*0)+C=\frac(7)(4)$.
$\frac(3)(4)cos(0)+C=\frac(7)(4)$.
$\frac(3)(4)*1+C=\frac(7)(4)$.
$C=$1.
Kisha sheria ya mwendo inaelezewa na fomula: $S=\frac(3)(4)cos(4t)+1$.
Matatizo ya kutatua kwa kujitegemea
1. Tafuta vizuia derivatives vya kazi:a) $y=-10sin(x)$.
b) $y=\frac(5)(6)cos(x)$.
c) $y=(4x)^5+(3x)^2+5x$.
2. Tafuta vizuia derivative vya kazi zifuatazo:
a) $y=cos(\frac(3)(4)x)$.
b) $y=dhambi(8x)$.
c) $y=((7x+4))^4$.
d) $y=e^(\frac(3x+1)(6))$.
3. Kulingana na sheria iliyotolewa ya mabadiliko ya kasi ya mwili baada ya muda $v=4cos(6t)$, pata sheria ya mwendo $S=S(t)$ ikiwa katika wakati wa mwanzo mwili ulikuwa na kuratibu sawa na 2.