Wakati ukosefu wa usawa wa kielelezo hauna suluhu. Kutatua usawa wa kielelezo: njia za kimsingi

Mchoro katika Kielelezo 5:

Na mfano ufuatao: Tatua ukosefu wa usawa 0.6 2x - 3< 0,36 .

Kufuatia mchoro katika Mchoro 5, tunapata
2x – 3 > kumbukumbu 0.6 0.36,
2х - 3 > 2,
2x> 5,
x> 2.5

Jibu: (2,5; +∞) .

Wacha tuchunguze mpango wa mwisho wa kutatua usawa wa fomu na f(x)< b , katika a>0 Na b<0 , iliyotolewa katika Kielelezo 6:

Kwa mfano, wacha tusuluhishe ukosefu wa usawa:

Tunakumbuka kuwa haijalishi ni nambari gani tunayobadilisha kwa x, upande wa kushoto wa usawa daima ni mkubwa kuliko sifuri, na kwa upande wetu usemi huu ni chini ya -8, i.e. na sifuri, ambayo ina maana hakuna ufumbuzi.

Jibu: hakuna masuluhisho.

Kujua jinsi ya kutatua usawa rahisi zaidi wa kielelezo, unaweza kuendelea na kutatua ukosefu wa usawa wa kielelezo.

Mfano 1.

Pata thamani kamili ya x ambayo inakidhi ukosefu wa usawa

Kwa kuwa 6 x ni kubwa kuliko sifuri (bila x je dhehebu huenda hadi sifuri), tukizidisha pande zote mbili za usawa na 6 x, tunapata:

440 - 2 6 2x > 8, basi
- 2 6 2x > 8 - 440,
- 2 6 2х > - 332,
6 2x< 216,
2x< 3,

x< 1,5. Наибольшее целое число из помежутка (–∞; 1,5) это число 1.

Jibu: 1.

Mfano 2.

Tatua ukosefu wa usawa 2 2 x - 3 2 x + 2 ≤ 0

Hebu tuashiria 2 x kwa y, tupate usawa y 2 - 3y + 2 ≤ 0, na kutatua ukosefu huu wa usawa wa quadratic.

y 2 - 3y +2 = 0,
y 1 = 1 na y 2 = 2.

Matawi ya parabola yanaelekezwa juu, wacha tuchore grafu:

Kisha suluhisho la ukosefu wa usawa litakuwa ukosefu wa usawa 1< у < 2, вернемся к нашей переменной х и получим неравенство 1< 2 х < 2, решая которое и найдем ответ 0 < x < 1.

Jibu: (0; 1) .

Mfano 3. Tatua ukosefu wa usawa 5 x +1 – 3 x +2< 2·5 x – 2·3 x –1
Hebu tukusanye misemo yenye misingi sawa katika sehemu moja ya ukosefu wa usawa

5 x +1 - 2 5 x< 3 x +2 – 2·3 x –1

Wacha tuchukue x 5 kutoka kwa mabano upande wa kushoto wa ukosefu wa usawa, na 3 x upande wa kulia wa ukosefu wa usawa na tupate ukosefu wa usawa.

5 x (5 - 2)< 3 х (9 – 2/3),
3 5 x< (25/3)·3 х

Gawanya pande zote mbili za usawa kwa usemi 3 3 x, ishara ya usawa haibadilika, kwani 3 3 x ni nambari nzuri, tunapata usawa:

X< 2 (так как 5/3 > 1).

Jibu: (–∞; 2) .

Ikiwa una maswali kuhusu kusuluhisha ukosefu wa usawa wa kielelezo au ungependa kufanya mazoezi ya kutatua mifano kama hiyo, jiandikishe kwa masomo yangu. Mkufunzi Valentina Galinevskaya.

tovuti, wakati wa kunakili nyenzo kwa ukamilifu au sehemu, kiunga cha chanzo kinahitajika.

Kutatua matatizo mengi ya hisabati kwa njia moja au nyingine kunahusisha kubadilisha usemi wa nambari, aljebra au utendaji kazi. Ya juu inatumika hasa kwa uamuzi. Katika matoleo ya Mtihani wa Jimbo la Umoja katika hisabati, aina hii ya shida inajumuisha, haswa, kazi C3. Kujifunza kutatua kazi za C3 ni muhimu sio tu kwa madhumuni ya kupitisha kwa ufanisi Mtihani wa Jimbo la Umoja, lakini pia kwa sababu ujuzi huu utakuwa muhimu wakati wa kusoma kozi ya hisabati katika shule ya sekondari.

Wakati wa kukamilisha kazi za C3, unapaswa kutatua aina mbalimbali za equations na kutofautiana. Miongoni mwao ni mantiki, irrational, exponential, logarithmic, trigonometric, zenye modules (maadili kamili), pamoja na wale waliounganishwa. Nakala hii inajadili aina kuu za hesabu za kielelezo na usawa, pamoja na njia mbali mbali za kuzitatua. Soma kuhusu kusuluhisha aina nyingine za milinganyo na ukosefu wa usawa katika sehemu ya "" katika vifungu vinavyohusu mbinu za kutatua matatizo ya C3 kutoka kwa Mtihani wa Jimbo Pamoja katika hisabati.

Kabla ya kuanza kuchambua maalum milinganyo ya kielelezo na ukosefu wa usawa, kama mwalimu wa hesabu, ninapendekeza usome nyenzo za kinadharia ambazo tutahitaji.

Utendakazi wa kielelezo

Utendakazi wa kielelezo ni nini?

Kazi ya fomu y = a x, Wapi a> 0 na a≠ 1 inaitwa utendaji wa kielelezo.

Msingi sifa za utendaji wa kielelezo y = a x:

Grafu ya Kazi ya Kipengele

Grafu ya kitendakazi cha kielelezo ni kielelezo:

Grafu za kazi za kielelezo (vielelezo)

Kutatua milinganyo ya kielelezo

Elekezi huitwa milinganyo ambapo kigezo kisichojulikana kinapatikana tu katika vielelezo vya baadhi ya mamlaka.

Kwa ufumbuzi milinganyo ya kielelezo unahitaji kujua na uweze kutumia nadharia rahisi ifuatayo:

Nadharia 1. Mlingano wa kielelezo a f(x) = a g(x) (wapi a > 0, a≠ 1) ni sawa na mlinganyo f(x) = g(x).

Kwa kuongeza, ni muhimu kukumbuka kanuni za msingi na shughuli na digrii:

Title="Imetolewa na QuickLaTeX.com">!}

Mfano 1. Tatua mlinganyo:

Suluhisho: Tunatumia fomula hapo juu na uingizwaji:

Equation basi inakuwa:

Ubaguzi wa matokeo ya mlinganyo wa quadratic ni chanya:

Title="Imetolewa na QuickLaTeX.com">!}

Hii ina maana kwamba equation hii ina mizizi miwili. Tunawapata:

Kuendelea kubadili uingizwaji, tunapata:

Mlinganyo wa pili hauna mizizi, kwa kuwa utendaji wa kielelezo ni chanya katika kikoa kizima cha ufafanuzi. Wacha tusuluhishe ya pili:

Kwa kuzingatia kile kilichosemwa katika Theorem 1, tunaendelea na mlinganyo sawa: x= 3. Hii itakuwa jibu kwa kazi.

Jibu: x = 3.

Mfano 2. Tatua mlinganyo:

Suluhisho: Mlinganyo hauna vizuizi kwa anuwai ya maadili yanayokubalika, kwani usemi mkali unaeleweka kwa thamani yoyote. x(tendakazi ya kielelezo y = 9 4 -x chanya na si sawa na sifuri).

Tunatatua equation kwa mabadiliko sawa kwa kutumia sheria za kuzidisha na mgawanyiko wa mamlaka:

Mpito wa mwisho ulifanyika kwa mujibu wa Theorem 1.

Jibu:x= 6.

Mfano 3. Tatua mlinganyo:

Suluhisho: pande zote mbili za mlinganyo wa asili zinaweza kugawanywa na 0.2 x. Mpito huu utakuwa sawa, kwa kuwa usemi huu ni mkubwa kuliko sifuri kwa thamani yoyote x(kitendaji cha kielelezo ni chanya kabisa katika kikoa chake cha ufafanuzi). Kisha equation inachukua fomu:

Jibu: x = 0.

Mfano 4. Tatua mlinganyo:

Suluhisho: tunarahisisha mlinganyo kuwa wa msingi kwa njia ya mabadiliko sawa kwa kutumia sheria za mgawanyiko na kuzidisha nguvu zilizotolewa mwanzoni mwa kifungu:

Kugawanya pande zote mbili za equation na 4 x, kama katika mfano uliopita, ni mabadiliko sawa, kwani usemi huu sio sawa na sifuri kwa maadili yoyote. x.

Jibu: x = 0.

Mfano 5. Tatua mlinganyo:

Suluhisho: kazi y = 3x, imesimama upande wa kushoto wa equation, inaongezeka. Kazi y = —x-2/3 upande wa kulia wa equation inapungua. Hii ina maana kwamba ikiwa grafu za kazi hizi zinaingiliana, basi katika hatua moja. Katika kesi hii, ni rahisi nadhani kwamba grafu zinaingiliana kwa uhakika x= -1. Hakutakuwa na mizizi mingine.

Jibu: x = -1.

Mfano 6. Tatua mlinganyo:

Suluhisho: tunarahisisha mlingano kwa njia ya mageuzi sawa, tukikumbuka kila mahali kwamba utendaji wa kipeo ni mkubwa zaidi kuliko sifuri kwa thamani yoyote. x na kutumia sheria za kuhesabu bidhaa na sehemu ya mamlaka iliyotolewa mwanzoni mwa kifungu:

Jibu: x = 2.

Kutatua ukosefu wa usawa wa kielelezo

Elekezi huitwa kukosekana kwa usawa ambapo kigezo kisichojulikana kimo tu katika wafadhili wa baadhi ya mamlaka.

Kwa ufumbuzi ukosefu wa usawa wa kielelezo ujuzi wa nadharia ifuatayo inahitajika:

Nadharia 2. Kama a> 1, basi ukosefu wa usawa a f(x) > a g(x) ni sawa na ukosefu wa usawa wa maana sawa: f(x) > g(x) Ikiwa 0< a < 1, то показательное неравенство a f(x) > a g(x) ni sawa na ukosefu wa usawa na maana tofauti: f(x) < g(x).

Mfano 7. Tatua ukosefu wa usawa:

Suluhisho: Wacha tuwasilishe usawa wa asili katika fomu:

Hebu tugawanye pande zote mbili za ukosefu huu wa usawa kwa 3 2 x, katika kesi hii (kwa sababu ya uchanya wa chaguo la kukokotoa y= 3 2x) ishara ya ukosefu wa usawa haitabadilika:

Wacha tutumie mbadala:

Kisha ukosefu wa usawa utachukua fomu:

Kwa hivyo, suluhisho la ukosefu wa usawa ni muda:

kuhamia badala ya kinyume, tunapata:

Kwa sababu ya uchanya wa chaguo za kukokotoa, ukosefu wa usawa wa kushoto unaridhika kiotomatiki. Kwa kutumia mali inayojulikana ya logarithm, tunaendelea na usawa sawa:

Kwa kuwa msingi wa shahada ni nambari kubwa kuliko moja, sawa (kwa Nadharia ya 2) ni mpito kwa ukosefu wa usawa ufuatao:

Kwa hivyo, hatimaye tunapata jibu:

Mfano 8. Tatua ukosefu wa usawa:

Suluhisho: Kwa kutumia sifa za kuzidisha na mgawanyiko wa mamlaka, tunaandika upya ukosefu wa usawa katika fomu:

Wacha tuanzishe kigezo kipya:

Kwa kuzingatia uingizwaji huu, ukosefu wa usawa unachukua fomu:

Kuzidisha nambari na denominator ya sehemu na 7, tunapata ukosefu wa usawa ufuatao:

Kwa hivyo, maadili yafuatayo ya kutofautisha yanakidhi usawa t:

Kisha, tukihamia kwa uingizwaji wa nyuma, tunapata:

Kwa kuwa msingi wa shahada hapa ni mkubwa zaidi ya moja, mpito kwa ukosefu wa usawa utakuwa sawa (na Theorem 2):

Hatimaye tunapata jibu:

Mfano 9. Tatua ukosefu wa usawa:

Suluhisho:

Tunagawanya pande zote mbili za ukosefu wa usawa kwa usemi:

Daima ni kubwa kuliko sifuri (kutokana na chanya cha kazi ya kielelezo), kwa hivyo hakuna haja ya kubadilisha ishara ya usawa. Tunapata:

t iko katika muda:

Tukiendelea na ubadilisho wa kinyume, tunapata kwamba ukosefu wa usawa wa asili umegawanyika katika hali mbili:

Ukosefu wa usawa wa kwanza hauna suluhu kutokana na uchanya wa utendaji kazi wa kielelezo. Wacha tusuluhishe ya pili:

Mfano 10. Tatua ukosefu wa usawa:

Suluhisho:

Matawi ya Parabola y = 2x+2-x 2 imeelekezwa chini, kwa hivyo imepunguzwa kutoka juu na dhamana inayofikia kwenye kipeo chake:

Matawi ya Parabola y = x 2 -2x+2 kwenye kiashirio imeelekezwa juu, ambayo inamaanisha kuwa imepunguzwa kutoka chini na thamani inayofikia kwenye kipeo chake:

Wakati huo huo, kazi pia inageuka kuwa imefungwa kutoka chini y = 3 x 2 -2x+2, ambayo iko upande wa kulia wa mlingano. Inafikia thamani yake ndogo katika hatua sawa na parabola katika kielelezo, na thamani hii ni 3 1 = 3. Kwa hiyo, usawa wa awali unaweza kuwa kweli ikiwa kazi ya kushoto na kazi ya kulia inachukua thamani. , sawa na 3 (makutano ya safu za maadili ya kazi hizi ni nambari hii tu). Hali hii imeridhika katika hatua moja x = 1.

Jibu: x= 1.

Ili kujifunza kuamua milinganyo ya kielelezo na ukosefu wa usawa, ni muhimu kutoa mafunzo mara kwa mara katika kuyatatua. Vifaa anuwai vya kufundishia, vitabu vya shida katika hisabati ya msingi, makusanyo ya shida za ushindani, madarasa ya hesabu shuleni, na vile vile masomo ya mtu binafsi na mwalimu wa kitaalam yanaweza kukusaidia katika kazi hii ngumu. Kwa dhati ninakutakia mafanikio katika maandalizi yako na matokeo bora katika mtihani.

Sergey Valerevich

P.S. Wageni wapendwa! Tafadhali usiandike maombi ya kutatua milinganyo yako kwenye maoni. Kwa bahati mbaya, sina wakati kabisa wa hii. Ujumbe kama huo utafutwa. Tafadhali soma makala. Labda ndani yake utapata majibu ya maswali ambayo hayakuruhusu kutatua kazi yako peke yako.

Milinganyo ya kielelezo na ukosefu wa usawa ni zile ambazo zisizojulikana zimo katika kipeo.

Utatuzi wa milinganyo ya kielelezo mara nyingi huja kwenye kusuluhisha mlinganyo a x = a b, ambapo > 0, a ≠ 1, x haijulikani. Mlinganyo huu una mzizi mmoja x = b, kwani nadharia ifuatayo ni kweli:

Nadharia. Ikiwa > 0, a ≠ 1 na x 1 = a x 2, basi x 1 = x 2.

Hebu tuthibitishe kauli iliyozingatiwa.

Hebu tufikiri kwamba usawa x 1 = x 2 haushiki, i.e. x 1< х 2 или х 1 = х 2 . Пусть, например, х 1 < х 2 . Тогда если а >1, kisha utendaji wa kipeo y = a x huongezeka na kwa hivyo ukosefu wa usawa a x 1 lazima utimizwe< а х 2 ; если 0 < а < 1, то функция убывает и должно выполняться неравенство а х 1 >ya x 2. Katika visa vyote viwili tulipokea ukinzani kwa sharti a x 1 = a x 2.

Hebu fikiria matatizo kadhaa.

Tatua mlingano 4 ∙ 2 x = 1.

Suluhisho.

Hebu tuandike equation katika fomu 2 2 ∙ 2 x = 2 0 - 2 x+2 = 2 0, ambayo tunapata x + 2 = 0, i.e. x = -2.

Jibu. x = -2.

Tatua mlingano 2 3x ∙ 3 x = 576.

Suluhisho.

Kwa kuwa 2 3x = (2 3) x = 8 x, 576 = 24 2, mlinganyo unaweza kuandikwa kama 8 x ∙ 3 x = 24 2 au kama 24 x = 24 2.

Kuanzia hapa tunapata x = 2.

Jibu. x = 2.

Tatua mlingano 3 x+1 – 2∙3 x - 2 = 25.

Suluhisho.

Kuchukua sababu ya kawaida 3 x - 2 nje ya mabano upande wa kushoto, tunapata 3 x - 2 ∙ (3 3 - 2) = 25 - 3 x - 2 ∙ 25 = 25,

wapi 3 x - 2 = 1, i.e. x – 2 = 0, x = 2.

Jibu. x = 2.

Tatua mlingano 3 x = 7 x.

Suluhisho.

Tangu 7 x ≠ 0, mlinganyo unaweza kuandikwa kama 3 x /7 x = 1, kutoka (3/7) x = 1, x = 0.

Jibu. x = 0.

Tatua mlingano 9 x – 4 ∙ 3 x – 45 = 0.

Suluhisho.

Kwa kuchukua nafasi ya 3 x = a, mlinganyo huu unapunguzwa hadi mlinganyo wa quadratic 2 - 4a - 45 = 0.

Kutatua equation hii, tunapata mizizi yake: a 1 = 9, na 2 = -5, wapi 3 x = 9, 3 x = -5.

Equation 3 x = 9 ina mzizi 2, na equation 3 x = -5 haina mizizi, kwani kazi ya kielelezo haiwezi kuchukua maadili hasi.

Jibu. x = 2.

Kusuluhisha kukosekana kwa usawa kwa kielelezo mara nyingi kunatokana na kusuluhisha kukosekana kwa usawa a x > a b au x< а b . Эти неравенства решаются с помощью свойства возрастания или убывания показательной функции.

Hebu tuangalie matatizo fulani.

Tatua ukosefu wa usawa 3 x< 81.

Suluhisho.

Wacha tuandike ukosefu wa usawa katika fomu 3 x< 3 4 . Так как 3 >1, basi kazi y = 3 x inaongezeka.

Kwa hivyo, kwa x< 4 выполняется неравенство 3 х < 3 4 , а при х ≥ 4 выполняется неравенство 3 х ≥ 3 4 .

Kwa hivyo, kwa x< 4 неравенство 3 х < 3 4 является верным, а при х ≥ 4 – неверным, т.е. неравенство
3 x< 81 выполняется тогда и только тогда, когда х < 4.

Jibu. X< 4.

Tatua ukosefu wa usawa 16 x +4 x – 2 > 0.

Suluhisho.

Wacha tuonyeshe 4 x = t, kisha tupate usawa wa quadratic t2 + t - 2 > 0.

Ukosefu huu wa usawa unashikilia kwa t< -2 и при t > 1.

Kwa kuwa t = 4 x, tunapata usawa mbili 4 x< -2, 4 х > 1.

Ukosefu wa usawa wa kwanza hauna suluhu, kwani 4 x > 0 kwa zote x € R.

Tunaandika usawa wa pili katika fomu 4 x > 4 0, wapi x > 0.

Jibu. x> 0.

Tatua mlinganyo kwa mchoro (1/3) x = x - 2/3.

Suluhisho.

1) Wacha tujenge grafu za kazi y = (1/3) x na y = x - 2/3.

2) Kulingana na takwimu yetu, tunaweza kuhitimisha kwamba grafu za kazi zinazozingatiwa zinaingiliana kwa uhakika na abscissa x ≈ 1. Kuangalia kunathibitisha kwamba

x = 1 ndio mzizi wa equation hii:

(1/3) 1 = 1/3 na 1 - 2/3 = 1/3.

Kwa maneno mengine, tumepata mojawapo ya mizizi ya equation.

3) Wacha tutafute mizizi mingine au tuthibitishe kuwa hakuna. Kazi (1/3) x inapungua, na kazi y = x - 2/3 inaongezeka. Kwa hivyo, kwa x> 1, maadili ya kazi ya kwanza ni chini ya 1/3, na ya pili - zaidi ya 1/3; kwa x< 1, наоборот, значения первой функции больше 1/3, а второй – меньше 1/3. Геометрически это означает, что графики этих функций при х >1 na x< 1 «расходятся» и потому не могут иметь точек пересечения при х ≠ 1.

Jibu. x = 1.

Kumbuka kwamba kutokana na ufumbuzi wa tatizo hili, hasa, inafuata kwamba ukosefu wa usawa (1/3) x > x - 2/3 umeridhika kwa x.< 1, а неравенство (1/3) х < х – 2/3 – при х > 1.

tovuti, wakati wa kunakili nyenzo kwa ukamilifu au sehemu, kiunga cha chanzo kinahitajika.

Somo na uwasilishaji juu ya mada: "Milingano ya kielelezo na usawa wa kielelezo"

Nyenzo za ziada
Watumiaji wapendwa, usisahau kuacha maoni yako, hakiki, matakwa! Nyenzo zote zimeangaliwa na programu ya kupambana na virusi.

Vifaa vya kufundishia na viigizaji katika duka la mtandaoni la Integral kwa daraja la 11
Mwongozo wa mwingiliano wa darasa la 9-11 "Trigonometry"
Mwongozo wa mwingiliano wa darasa la 10-11 "Logarithms"

Ufafanuzi wa Milinganyo ya Kielelezo

Ufafanuzi. Milinganyo ya fomu: $a^(f(x))=a^(g(x))$, ambapo $a>0$, $a≠1$ huitwa milinganyo ya kielelezo.

Kukumbuka nadharia ambazo tulisoma katika mada "Kazi ya Kielelezo", tunaweza kuanzisha nadharia mpya:
Nadharia. Mlingano wa kielelezo $a^(f(x))=a^(g(x))$, ambapo $a>0$, $a≠1$ ni sawa na mlinganyo $f(x)=g(x) $.

Mifano ya milinganyo ya kielelezo

B) $\sqrt(\frac(2)(3))=((\frac(2)(3))))^(\frac(1)(5))$.
Kisha mlinganyo wetu unaweza kuandikwa upya: $((\frac(2)(3)))^(2x+0.2)=((\frac(2)(3))))^(\frac(1)(5) ) =((\frac(2)(3)))^(0.2)$.
$2х+0.2=0.2$.
$x=0$.
Jibu: $x=0$.

C) Mlinganyo wa asili ni sawa na mlinganyo: $x^2-6x=-3x+18$.
$x^2-3x-18=0$.
$(x-6)(x+3)=0$.
$x_1=6$ na $x_2=-3$.
Jibu: $x_1=6$ na $x_2=-3$.

Mfano.
Tatua mlingano: $\frac(((0.25))^(x-0.5))(\sqrt(4))=16*((0.0625)))^(x+1)$.
Suluhisho:
Wacha tufanye mfululizo wa vitendo kwa kufuatana na tulete pande zote mbili za mlinganyo wetu kwa misingi sawa.
Wacha tufanye shughuli kadhaa upande wa kushoto:
1) $((0.25))^(x-0.5)=((\frac(1)(4))))^(x-0.5)$.
2) $\sqrt(4)=4^(\frac(1)(2))$.
3) $\frac(((0.25))^(x-0.5))(\sqrt(4))=\frac((((\frac(1)(4))))^(x-0 ,5)) (4^(\frac(1)(2)))= \frac(1)(4^(x-0.5+0.5))=\frac(1)(4^x) =((\frac(1) (4)))^x$.
Wacha tuendelee upande wa kulia:
4) $16=4^2$.
5) $((0.0625))^(x+1)=\frac(1)((16)^(x+1))=\frac(1)(4^(2x+2))$.
6) $16*((0.0625))^(x+1)=\frac(4^2)(4^(2x+2))=4^(2-2x-2)=4^(-2x )= \frac(1)(4^(2x))=((\frac(1)(4)))^(2x)$.
Mlinganyo wa asili ni sawa na mlinganyo:
$((\frac(1)(4)))^x=((\frac(1)(4)))^(2x)$.
$x=2x$.
$x=0$.
Jibu: $x=0$.

Mfano.
Tatua mlingano: $9^x+3^(x+2)-36=0$.
Suluhisho:
Hebu tuandike upya mlingano wetu: $((3^2))^x+9*3^x-36=0$.
$((3^x))^2+9*3^x-36=0$.
Wacha tufanye mabadiliko ya vigeu, acha $a=3^x$.
Katika vigezo vipya, mlinganyo utachukua fomu: $a^2+9a-36=0$.
$(a+12)(a-3)=0$.
$a_1=-12$ na $a_2=3$.
Hebu tufanye mabadiliko ya kinyume ya vigeu: $3^x=-12$ na $3^x=3$.
Katika somo la mwisho tulijifunza kwamba maneno ya kielelezo yanaweza kuchukua tu maadili mazuri, kumbuka grafu. Hii inamaanisha kuwa equation ya kwanza haina suluhu, equation ya pili ina suluhu moja: $x=1$.
Jibu: $x=1$.

Hebu tukumbushe jinsi ya kutatua milinganyo ya kielelezo:
1. Mbinu ya picha. Tunawakilisha pande zote mbili za equation kwa namna ya kazi na kujenga grafu zao, kupata pointi za makutano ya grafu. (Tulitumia njia hii katika somo lililopita).
2. Kanuni ya usawa wa viashiria. Kanuni hiyo inatokana na ukweli kwamba misemo miwili iliyo na besi sawa ni sawa ikiwa na tu ikiwa digrii (vielezi) vya besi hizi ni sawa. $a^(f(x))=a^(g(x))$$f(x)=g(x)$.
3. Njia ya uingizwaji inayobadilika. Njia hii inapaswa kutumika ikiwa equation, wakati wa kubadilisha vigezo, hurahisisha fomu yake na ni rahisi zaidi kutatua.

Mfano.
Tatua mfumo wa milinganyo: $\anza (kesi) (27)^y*3^x=1, \\ 4^(x+y)-2^(x+y)=12. \mwisho (kesi)$.
Suluhisho.
Wacha tuzingatie hesabu zote mbili za mfumo kando:
$27^y*3^x=1$.
$3^(miaka 3)*3^x=3^0$.
$3^(3y+x)=3^0$.
$x+3y=0$.
Fikiria equation ya pili:
$4^(x+y)-2^(x+y)=12$.
$2^(2(x+y))-2^(x+y)=12$.
Wacha tutumie njia ya mabadiliko ya vigeu, acha $y=2^(x+y)$.
Kisha equation itachukua fomu:
$y^2-y-12=0$.
$(y-4)(y+3)=0$.
$y_1=4$ na $y_2=-3$.
Wacha tuendelee kwenye vigeu vya awali, kutoka kwa mlinganyo wa kwanza tunapata $x+y=2$. Equation ya pili haina suluhu. Kisha mfumo wetu wa awali wa milinganyo ni sawa na mfumo: $\anza (kesi) x+3y=0, \\ x+y=2. \mwisho (kesi)$.
Ondoa ya pili kutoka kwa equation ya kwanza, tunapata: $\anza (kesi) 2y=-2, \\ x+y=2. \mwisho (kesi)$.
$\anza (kesi) y=-1, \\ x=3. \mwisho (kesi)$.
Jibu: $(3;-1)$.

Ukosefu wa usawa wa kielelezo

Nadharia. Ikiwa $a>1$, basi ukosefu wa usawa wa kielelezo $a^(f(x))>a^(g(x))$ ni sawa na ukosefu wa usawa $f(x)>g(x)$.
Ikiwa $0 a^(g(x))$ ni sawa na ukosefu wa usawa $f(x)

Mfano.
Tatua ukosefu wa usawa:
a) $3^(2x+3)>81$.
b) $((\frac(1)(4)))^(2x-4) c) $(0.3)^(x^2+6x)≤(0.3)^(4x+15)$ .
Suluhisho.
a) $3^(2x+3)>81$.
$3^(2x+3)>3^4$.
Ukosefu wetu wa usawa ni sawa na ukosefu wa usawa:
$2x+3>4$.
$2x>$1.
$x>0.5$.

B) $((\frac(1)(4)))^(2x-4) $((\frac(1)(4)))^(2x-4) Katika mlinganyo wetu, msingi ni wakati ambapo digrii ni chini ya 1, basi Wakati wa kuchukua nafasi ya usawa na sawa, ni muhimu kubadili ishara.
$2x-4>2$.
$x>3$.

C) Ukosefu wetu wa usawa ni sawa na ukosefu wa usawa:
$x^2+6x≥4x+15$.
$x^2+2x-15≥0$.
$(x-3)(x+5)≥0$.
Wacha tutumie njia ya suluhisho la muda:
Jibu: $(-∞;-5]U)