Ufafanuzi wa kikomo cha mwisho cha mlolongo hutolewa. Sifa zinazohusiana na ufafanuzi sawa hujadiliwa. Ufafanuzi umetolewa kuwa hatua a sio kikomo cha mlolongo. Mifano inazingatiwa ambayo kuwepo kwa kikomo kunathibitishwa kwa kutumia ufafanuzi.
Hapa tutaangalia ufafanuzi wa kikomo cha mwisho cha mlolongo. Kesi ya mlolongo unaobadilika kuwa usio na mwisho inajadiliwa kwenye ukurasa "Ufafanuzi wa mlolongo mkubwa usio na kikomo".
Ufafanuzi.
(xn), ikiwa kwa nambari yoyote chanya ε > 0
kuna nambari asilia N ε kulingana na ε hivi kwamba kwa nambari zote asili n > N ε ukosefu wa usawa
| x n - a|< ε
.
Kikomo cha mlolongo kinaonyeshwa kama ifuatavyo:
.
Au kwa.
Wacha tubadilishe ukosefu wa usawa:
;
;
.
Muda wazi (a - ε, a + ε) huitwa ε - kitongoji cha uhakika a.
Mlolongo ambao una kikomo unaitwa mlolongo wa kuunganika. Pia inasemekana kuwa mlolongo huungana kwa a. Mlolongo ambao hauna kikomo unaitwa tofauti.
Kutoka kwa ufafanuzi inafuata kwamba ikiwa mlolongo una kikomo a, haijalishi ni ε-jirani ya uhakika a tunayochagua, nje yake kunaweza kuwa na idadi ndogo tu ya vitu vya mlolongo, au hakuna kabisa (seti tupu) . Na kitongoji chochote cha ε kina idadi isiyo na kikomo ya vipengele. Kwa kweli, baada ya kutoa nambari fulani ε, kwa hivyo tunayo nambari . Kwa hivyo vipengele vyote vya mlolongo na nambari , kwa ufafanuzi, ziko katika ε - kitongoji cha uhakika a . Vipengele vya kwanza vinaweza kupatikana popote. Hiyo ni, nje ya ujirani wa ε hakuwezi kuwa zaidi ya vipengele - yaani, nambari ya mwisho.
Pia tunaona kuwa tofauti sio lazima iwe na sifuri, ambayo ni, kupungua kila wakati. Inaweza kuwa sifuri isiyo ya monotonically: inaweza kuongezeka au kupungua, ikiwa na upeo wa ndani. Walakini, maxima haya, kadiri n inavyoongezeka, inapaswa kuwa sifuri (labda pia sio monotonically).
Kwa kutumia alama za kimantiki za kuwepo na ulimwengu, ufafanuzi wa kikomo unaweza kuandikwa kama ifuatavyo:
(1)
.
Kuamua kuwa a sio kikomo
Sasa fikiria taarifa ya mwongozo kwamba nambari a sio kikomo cha mlolongo.
Nambari a sio kikomo cha mlolongo, ikiwa kuna vile kwamba kwa nambari yoyote ya asili n kuna m asili kama hiyo > n, Nini
.
Hebu tuandike kauli hii kwa kutumia alama za kimantiki.
(2)
.
Taarifa kwamba nambari a sio kikomo cha mlolongo, maana yake
unaweza kuchagua ε - kitongoji cha uhakika a, nje ambayo kutakuwa na idadi isiyo na kikomo ya vitu vya mlolongo..
Hebu tuangalie mfano. Hebu mlolongo na kipengele cha kawaida upewe
(3)
Ujirani wowote wa sehemu una idadi isiyo na kikomo ya vipengele. Walakini, hatua hii sio kikomo cha mlolongo, kwani kitongoji chochote cha uhakika pia kina idadi isiyo na kikomo ya vitu. Hebu tuchukue ε - kitongoji cha uhakika na ε = 1
. Hii itakuwa muda (-1, +1)
. Vipengele vyote isipokuwa ile ya kwanza iliyo na hata n ni ya kipindi hiki. Lakini vipengele vyote vilivyo na n isiyo ya kawaida viko nje ya muda huu, kwa vile vinakidhi usawa wa x n > 2
. Kwa kuwa idadi ya vipengele isiyo ya kawaida haina kikomo, kutakuwa na idadi isiyo na kikomo ya vipengele nje ya kitongoji kilichochaguliwa. Kwa hiyo, uhakika sio kikomo cha mlolongo.
Sasa tutaonyesha hii, tukifuata kabisa taarifa (2). Hoja sio kikomo cha mlolongo (3), kwa kuwa kuna kwamba, kwa n yoyote ya asili, kuna isiyo ya kawaida ambayo ukosefu wa usawa unashikilia.
.
Inaweza pia kuonyeshwa kuwa hatua yoyote a haiwezi kuwa kikomo cha mlolongo huu. Tunaweza kuchagua kila wakati ε - kitongoji cha uhakika a ambacho hakina nukta 0 au nukta 2. Na kisha nje ya kitongoji kilichochaguliwa kutakuwa na idadi isiyo na kikomo ya vipengele vya mlolongo.
Ufafanuzi sawa
Tunaweza kutoa ufafanuzi sawa wa kikomo cha mlolongo ikiwa tutapanua dhana ya ε - jirani. Tutapata ufafanuzi sawa ikiwa, badala ya ε-kitongoji, kina kitongoji chochote cha uhakika a.
Kuamua ujirani wa uhakika
Kitongoji cha uhakika a muda wowote wazi ulio na hatua hii unaitwa. Kihesabu, kitongoji kinafafanuliwa kama ifuatavyo: , ambapo ε 1
na ε 2
- nambari chanya za kiholela.
Kisha ufafanuzi wa kikomo utakuwa kama ifuatavyo.
Ufafanuzi sawa wa kikomo cha mfuatano
Nambari a inaitwa kikomo cha mlolongo, ikiwa kwa kitongoji chake chochote kuna nambari ya asili N hivi kwamba vitu vyote vya mlolongo na nambari ni vya kitongoji hiki.
Ufafanuzi huu pia unaweza kuwasilishwa kwa fomu iliyopanuliwa.
Nambari a inaitwa kikomo cha mlolongo, ikiwa kwa nambari zozote chanya na kuna nambari asilia N kulingana na na hivyo kwamba ukosefu wa usawa unashikilia kwa nambari zote asilia.
.
Uthibitisho wa usawa wa ufafanuzi
Hebu tuthibitishe kwamba fasili mbili za kikomo cha mfuatano uliowasilishwa hapo juu ni sawa.
Acha nambari a iwe kikomo cha mlolongo kulingana na ufafanuzi wa kwanza. Hii inamaanisha kuwa kuna chaguo za kukokotoa, ili kwa nambari yoyote chanya ε kutokuwepo kwa usawa zifuatazo kukidhi:
(4)
katika .
Hebu tuonyeshe kwamba nambari a ni kikomo cha mlolongo kwa ufafanuzi wa pili. Hiyo ni, tunahitaji kuonyesha kuwa kuna kazi kama kwamba kwa nambari yoyote chanya ε 1
na ε 2
ukosefu wa usawa ufuatao unatimizwa:
(5)
katika .
Hebu tuwe na nambari mbili chanya: ε 1
na ε 2
. Na awe mdogo wao: . Kisha; ; . Wacha tuitumie hii katika (5):
.
Lakini ukosefu wa usawa umeridhika. Kisha kukosekana kwa usawa (5) pia kuridhika kwa .
Hiyo ni, tumepata chaguo la kukokotoa ambalo kutokuwepo kwa usawa (5) kunaridhishwa kwa nambari zozote chanya ε 1
na ε 2
.
Sehemu ya kwanza imethibitishwa.
Sasa acha nambari a iwe kikomo cha mlolongo kulingana na ufafanuzi wa pili. Hii ina maana kwamba kuna kipengele cha kukokotoa ambacho kwa nambari zozote chanya ε 1
na ε 2
ukosefu wa usawa ufuatao unatimizwa:
(5)
katika .
Hebu tuonyeshe kwamba nambari a ni kikomo cha mlolongo kwa ufafanuzi wa kwanza. Ili kufanya hivyo unahitaji kuweka. Kisha wakati ukosefu wa usawa ufuatao unashikilia:
.
Hii inalingana na ufafanuzi wa kwanza na .
Usawa wa ufafanuzi umethibitishwa.
Mifano
Hapa tutaangalia mifano kadhaa ambayo tunahitaji kuthibitisha kwamba nambari iliyotolewa ni kikomo cha mlolongo. Katika kesi hii, unahitaji kutaja nambari chanya ya kiholela ε na ufafanue chaguo za kukokotoa N ya ε kiasi kwamba ukosefu wa usawa .
Mfano 1
Thibitisha hilo.
(1)
.
Kwa upande wetu;
.
.
Wacha tutumie sifa za usawa. Kisha ikiwa na, basi
.
.
Kisha
katika .
Hii inamaanisha kuwa nambari ndio kikomo cha mlolongo uliopeanwa:
.
Mfano 2
Kwa kutumia ufafanuzi wa kikomo cha mlolongo, thibitisha hilo
.
Wacha tuandike ufafanuzi wa kikomo cha mlolongo:
(1)
.
Kwa upande wetu,;
.
Weka nambari chanya na :
.
Wacha tutumie sifa za usawa. Kisha ikiwa na, basi
.
Hiyo ni, kwa chanya yoyote, tunaweza kuchukua nambari yoyote asilia kubwa kuliko au sawa na:
.
Kisha
katika .
.
Mfano 3
.
Tunatanguliza nukuu , .
Wacha tubadilishe tofauti:
.
Kwa asili n = 1, 2, 3, ...
tuna:
.
Wacha tuandike ufafanuzi wa kikomo cha mlolongo:
(1)
.
Weka nambari chanya na :
.
Kisha ikiwa na, basi
.
Hiyo ni, kwa chanya yoyote, tunaweza kuchukua nambari yoyote asilia kubwa kuliko au sawa na:
.
Ambapo
katika .
Hii inamaanisha kuwa nambari ndio kikomo cha mlolongo:
.
Mfano 4
Kwa kutumia ufafanuzi wa kikomo cha mlolongo, thibitisha hilo
.
Wacha tuandike ufafanuzi wa kikomo cha mlolongo:
(1)
.
Kwa upande wetu,;
.
Weka nambari chanya na :
.
Kisha ikiwa na, basi
.
Hiyo ni, kwa chanya yoyote, tunaweza kuchukua nambari yoyote asilia kubwa kuliko au sawa na:
.
Kisha
katika .
Hii inamaanisha kuwa nambari ndio kikomo cha mlolongo:
.
Marejeleo:
L.D. Kudryavtsev. Kozi ya uchambuzi wa hisabati. Juzuu 1. Moscow, 2003.
SENTIMITA. Nikolsky. Kozi ya uchambuzi wa hisabati. Juzuu 1. Moscow, 1983.
Leo darasani tutaangalia mlolongo mkali Na ufafanuzi mkali wa kikomo cha chaguo za kukokotoa, na pia kujifunza kutatua matatizo husika ya asili ya kinadharia. Nakala hiyo inakusudiwa hasa kwa wanafunzi wa mwaka wa kwanza wa sayansi ya asili na utaalam wa uhandisi ambao walianza kusoma nadharia ya uchambuzi wa hesabu na kupata shida katika kuelewa sehemu hii ya hesabu ya juu. Kwa kuongeza, nyenzo zinapatikana kabisa kwa wanafunzi wa shule ya upili.
Kwa miaka mingi ya kuwepo kwa tovuti hii, nimepokea barua kadhaa zilizo na takriban maudhui yafuatayo: "Sielewi uchambuzi wa hisabati vizuri, nifanye nini?", "Sielewi hesabu hata kidogo, mimi nina. kufikiria kuacha masomo yangu,” nk. Na hakika, ni matan ambaye mara nyingi hupunguza kikundi cha wanafunzi baada ya kipindi cha kwanza. Kwa nini hali iko hivi? Kwa sababu somo ni gumu sana? Hapana kabisa! Nadharia ya uchanganuzi wa hisabati sio ngumu sana kwani ni ya kipekee. Na unahitaji kumkubali na kumpenda jinsi alivyo =)
Wacha tuanze na kesi ngumu zaidi. Jambo la kwanza na muhimu zaidi ni kwamba sio lazima uache masomo yako. Kuelewa kwa usahihi, unaweza kuacha kila wakati;-) Kwa kweli, ikiwa baada ya mwaka mmoja au miwili unahisi mgonjwa kutoka kwa utaalam wako uliochaguliwa, basi ndio, unapaswa kufikiria juu yake. (na usikasirike!) kuhusu mabadiliko ya shughuli. Lakini kwa sasa inafaa kuendelea. Na tafadhali sahau kifungu "Sielewi chochote" - haifanyiki kwamba hauelewi chochote KABISA.
Nini cha kufanya ikiwa nadharia ni mbaya? Hii, kwa njia, inatumika si tu kwa uchambuzi wa hisabati. Ikiwa nadharia ni mbaya, basi kwanza unahitaji kuzingatia sana mazoezi. Katika kesi hii, kazi mbili za kimkakati zinatatuliwa mara moja:
- Kwanza, sehemu kubwa ya maarifa ya kinadharia ilijitokeza kupitia mazoezi. Na ndiyo sababu watu wengi wanaelewa nadharia kupitia ... - ni sawa! Hapana, hapana, haufikirii juu ya hilo =)
- Na, pili, ujuzi wa vitendo uwezekano mkubwa "utakuvuta" kupitia mtihani, hata ikiwa ... lakini hebu tusisimke sana! Kila kitu ni kweli na kila kitu kinaweza "kuinuliwa" kwa muda mfupi sana. Uchambuzi wa hisabati ni sehemu ninayopenda zaidi ya hisabati ya juu, na kwa hivyo sikuweza kusaidia lakini kukupa mkono wa kusaidia:
Mwanzoni mwa muhula wa 1, vikomo vya mlolongo na vikomo vya utendaji kawaida hufunikwa. Huelewi haya ni nini na hujui jinsi ya kuyatatua? Anza na makala Vikomo vya kazi, ambayo dhana yenyewe inachunguzwa "kwenye vidole" na mifano rahisi zaidi inachambuliwa. Kisha, fanyia kazi masomo mengine juu ya mada, ikijumuisha somo kuhusu ndani ya mlolongo, ambayo kwa kweli tayari nimeunda ufafanuzi mkali.
Je! ni ishara gani zaidi ya ishara na moduli za ukosefu wa usawa unazojua?
- fimbo ndefu wima inasomeka hivi: "vile vile", "vile vile", "vile vile" au "vile vile", kwa upande wetu, ni wazi, tunazungumza juu ya nambari - kwa hivyo "hivyo";
- kwa wote "en" kubwa kuliko;
– ishara ya moduli inamaanisha umbali, i.e. ingizo hili linatuambia kuwa umbali kati ya maadili ni chini ya epsilon.
Kweli, ni ngumu kuua? =)
Baada ya kufahamu mazoezi hayo, ninatazamia kukuona katika aya inayofuata:
Na kwa kweli, hebu fikiria kidogo - jinsi ya kuunda ufafanuzi mkali wa mlolongo? ...Jambo la kwanza linalokuja akilini duniani somo la vitendo: "kikomo cha mfuatano ni nambari ambayo washiriki wa mfuatano hukaribia karibu kabisa."
Sawa, hebu tuandike baadae :
Si vigumu kuelewa hilo baadae 
karibia sana nambari -1, na masharti yaliyohesabiwa 
- kwa "moja".
Au labda kuna mipaka miwili? Lakini basi kwa nini mlolongo wowote hauwezi kuwa na kumi au ishirini kati yao? Unaweza kwenda mbali kwa njia hii. Katika suala hili, ni mantiki kudhani kwamba ikiwa mlolongo una kikomo, basi ni wa pekee.
Kumbuka : mlolongo hauna kikomo, lakini zifuatazo mbili zinaweza kutofautishwa kutoka kwake (tazama hapo juu), ambayo kila moja ina kikomo chake.
Kwa hivyo, ufafanuzi hapo juu unageuka kuwa haukubaliki. Ndio, inafanya kazi kwa kesi kama (ambayo sikuitumia kwa usahihi katika maelezo rahisi ya mifano ya vitendo), lakini sasa tunahitaji kupata ufafanuzi mkali.
Jaribio la pili: "kikomo cha mlolongo ni nambari ambayo washiriki WOTE wa mfuatano huikaribia, isipokuwa labda mwisho wingi." Hii ni karibu na ukweli, lakini bado sio sahihi kabisa. Kwa hiyo, kwa mfano, mlolongo 
nusu ya maneno haifikii sifuri kabisa - ni sawa nayo =) Kwa njia, "mwanga wa mwanga" kwa ujumla huchukua maadili mawili yaliyowekwa.
Uundaji si vigumu kufafanua, lakini basi swali lingine linatokea: jinsi ya kuandika ufafanuzi katika alama za hisabati? Ulimwengu wa kisayansi ulipambana na tatizo hili kwa muda mrefu hadi hali hiyo ilipotatuliwa maestro maarufu, ambayo, kimsingi, ilirasimisha uchambuzi wa hesabu wa classical katika ukali wake wote. Cauchy alipendekeza upasuaji mazingira , ambayo kwa kiasi kikubwa iliendeleza nadharia.
Fikiria hatua fulani na yake kiholela- mazingira:
Thamani ya "epsilon" daima ni chanya, na, zaidi ya hayo, tuna haki ya kuichagua sisi wenyewe. Tuchukulie kuwa katika mtaa huu kuna wanachama wengi (sio lazima wote) mlolongo fulani. Jinsi ya kuandika ukweli kwamba, kwa mfano, muda wa kumi ni katika jirani? Wacha iwe upande wake wa kulia. Kisha umbali kati ya pointi na unapaswa kuwa chini ya "epsilon":. Walakini, ikiwa "x kumi" iko upande wa kushoto wa hatua "a", basi tofauti itakuwa mbaya, na kwa hivyo ishara lazima iongezwe kwake. moduli: .
Ufafanuzi: nambari inaitwa kikomo cha mfuatano ikiwa kwa yoyote mazingira yake (iliyochaguliwa mapema) kuna nambari ya asili kama hiyo YOTE washiriki wa mlolongo walio na nambari za juu watakuwa ndani ya kitongoji:
Au kwa kifupi: ikiwa
Kwa maneno mengine, haijalishi thamani ya "epsilon" tunayochukua ni ndogo kiasi gani, mapema au baadaye "mkia usio na kikomo" wa mlolongo utakuwa KABISA katika kitongoji hiki.
Kwa mfano, "mkia usio na mwisho" wa mlolongo itaingia KABISA kitongoji chochote kidogo cha uhakika. Kwa hivyo thamani hii ndio kikomo cha mlolongo kwa ufafanuzi. Acha nikukumbushe kwamba mlolongo ambao kikomo chake ni sifuri huitwa usio na kikomo.
Ikumbukwe kwamba kwa mlolongo haiwezekani tena kusema "mkia usio na mwisho" itaingia"- washiriki walio na nambari zisizo za kawaida kwa kweli ni sawa na sifuri na "usiendi popote" =) Ndio maana kitenzi "itaonekana" kinatumika katika ufafanuzi. Na, kwa kweli, washiriki wa mlolongo kama huu pia "hawaendi popote." Kwa njia, angalia ikiwa nambari ni kikomo chake.
Sasa tutaonyesha kwamba mlolongo hauna kikomo. Fikiria, kwa mfano, jirani ya uhakika. Ni wazi kabisa kwamba hakuna nambari kama hiyo ambayo baada yake maneno YOTE yataishia katika eneo fulani - maneno yasiyo ya kawaida daima "yataruka" hadi "minus moja". Kwa sababu sawa, hakuna kikomo kwa uhakika.
Wacha tuunganishe nyenzo na mazoezi:
Mfano 1
Thibitisha kuwa kikomo cha mlolongo ni sifuri. Bainisha nambari ambayo baada yake washiriki wote wa mfuatano wamehakikishiwa kuwa ndani ya mtaa wowote mdogo wa uhakika.
Kumbuka : Kwa mfuatano mwingi, nambari asilia inayohitajika inategemea thamani - kwa hivyo nukuu .
Suluhisho: zingatia kiholela kuna yoyote nambari - hivi kwamba washiriki WOTE walio na nambari nyingi zaidi watakuwa ndani ya mtaa huu:
Ili kuonyesha uwepo wa nambari inayotakiwa, tunaionyesha kupitia .
Kwa kuwa kwa thamani yoyote ya "en", ishara ya moduli inaweza kuondolewa:
Tunatumia vitendo vya "shule" na ukosefu wa usawa ambao nilirudia darasani Ukosefu wa usawa wa mstari Na Kikoa cha Kazi. Katika kesi hii, hali muhimu ni kwamba "epsilon" na "en" ni chanya:
Kwa kuwa tunazungumza juu ya nambari za asili upande wa kushoto, na upande wa kulia kwa ujumla ni sehemu, inahitaji kuzungushwa:
Kumbuka : wakati mwingine kitengo kinaongezwa kwa haki ya kuwa upande salama, lakini kwa kweli hii ni overkill. Kuzungumza kwa ulinganifu, ikiwa tutadhoofisha matokeo kwa kufupisha chini, basi nambari inayofaa karibu zaidi ("tatu") bado itatosheleza usawa wa asili.
Sasa tunaangalia usawa na kukumbuka kile tulichozingatia hapo awali kiholela-jirani, i.e. "epsilon" inaweza kuwa sawa na yeyote nambari chanya.
Hitimisho: kwa ujirani wowote mdogo kiholela wa uhakika, thamani ilipatikana 
. Kwa hivyo, nambari ni kikomo cha mlolongo kwa ufafanuzi. Q.E.D.
Kwa njia, kutokana na matokeo yaliyopatikana 
muundo wa asili unaonekana wazi: kitongoji kidogo, nambari kubwa, baada ya hapo washiriki WOTE wa mlolongo watakuwa katika kitongoji hiki. Lakini haijalishi "epsilon" ni ndogo, daima kutakuwa na "mkia usio na mwisho" ndani na nje - hata ikiwa ni kubwa, hata hivyo. mwisho idadi ya wanachama.
Je, maoni yako yakoje? =) Ninakubali kwamba ni ajabu kidogo. Lakini madhubuti! Tafadhali soma tena na ufikirie kila kitu tena.
Wacha tuangalie mfano kama huo na ujue mbinu zingine za kiufundi:
Mfano 2
Suluhisho: kwa ufafanuzi wa mlolongo ni muhimu kuthibitisha hilo (Sema kwa sauti !!!).
Hebu tuzingatie kiholela- ujirani wa uhakika na kuangalia, ipo nambari asilia - kiasi kwamba kwa idadi kubwa zaidi ukosefu wa usawa ufuatao unashikilia: 
Ili kuonyesha kuwepo kwa vile , unahitaji kueleza "en" kupitia "epsilon". Tunarahisisha usemi chini ya ishara ya moduli: 
Moduli inaharibu ishara ya minus: 
Denominator ni chanya kwa "en" yoyote, kwa hivyo, vijiti vinaweza kuondolewa:
Changanya: 
Sasa tunahitaji kutoa mzizi wa mraba, lakini kukamata ni kwamba kwa baadhi ya "epsilon" upande wa kulia utakuwa mbaya. Ili kuepuka shida hii tuimarishe usawa kwa moduli: 
Kwa nini hili linaweza kufanywa? Ikiwa, kwa kiasi kikubwa, inageuka kuwa, basi hali hiyo pia itaridhika. Moduli inaweza ongeza tu nambari inayotakiwa, na hiyo itatufaa pia! Kwa kusema, ikiwa mia moja inafaa, basi ya mia mbili pia inafaa! Kwa mujibu wa ufafanuzi, unahitaji kuonyesha ukweli halisi wa kuwepo kwa idadi hiyo(angalau baadhi), baada ya hapo wanachama wote wa mlolongo watakuwa katika -jirani. Kwa njia, hii ndiyo sababu hatuogopi mzunguko wa mwisho wa upande wa kulia kwenda juu.
Kuchimba mizizi: 
Na kuzunguka matokeo: 
Hitimisho: kwa sababu thamani "epsilon" ilichaguliwa kiholela, basi kwa kitongoji chochote kidogo cha uhakika thamani ilipatikana. 
, kiasi kwamba kwa idadi kubwa zaidi ukosefu wa usawa unashikilia 
. Hivyo, 
a-kipaumbele. Q.E.D.
Nashauri hasa kuelewa uimarishaji na kudhoofisha usawa ni mbinu ya kawaida na ya kawaida sana katika uchambuzi wa hisabati. Kitu pekee unachohitaji kufuatilia ni usahihi wa hii au hatua hiyo. Kwa hiyo, kwa mfano, usawa 
kwa hali yoyote haiwezekani kulegeza, kupunguza, kusema, moja: 
Tena, kwa masharti: ikiwa nambari inafaa kabisa, basi ya awali inaweza kutoshea tena.
Mfano ufuatao wa suluhisho la kujitegemea:
Mfano 3
Kwa kutumia ufafanuzi wa mlolongo, thibitisha hilo 
Suluhu fupi na jibu mwishoni mwa somo.
Ikiwa mlolongo kubwa isiyo na kikomo, basi ufafanuzi wa kikomo umeundwa kwa njia sawa: hatua inaitwa kikomo cha mlolongo ikiwa kwa yoyote, kubwa upendavyo nambari, kuna nambari ambayo kwa nambari zote kubwa, ukosefu wa usawa utaridhika. Nambari inaitwa karibu na uhakika "plus infinity":
Kwa maneno mengine, haijalishi ni thamani gani tunayochukua, "mkia usio na kipimo" wa mlolongo lazima uingie kwenye -jirani ya uhakika, na kuacha tu idadi ndogo ya masharti upande wa kushoto.
Mfano wa kawaida:
Na nukuu iliyofupishwa: , ikiwa
Kwa kesi hiyo, andika ufafanuzi mwenyewe. Toleo sahihi liko mwishoni mwa somo.
Mara tu unapozingatia mifano ya vitendo na kubaini ufafanuzi wa kikomo cha mlolongo, unaweza kurejea kwenye fasihi kwenye calculus na/au daftari lako la mihadhara. Ninapendekeza kupakua kiasi cha 1 cha Bohan (rahisi - kwa wanafunzi wa mawasiliano) na Fichtenholtz (kwa undani zaidi na kwa undani). Miongoni mwa waandishi wengine, ninapendekeza Piskunov, ambaye kozi yake inalenga vyuo vikuu vya kiufundi.
Jaribu kusoma kwa uangalifu nadharia zinazohusu kikomo cha mlolongo, uthibitisho wao, matokeo. Mara ya kwanza, nadharia inaweza kuonekana "ya mawingu", lakini hii ni ya kawaida - unahitaji tu kuizoea. Na wengi watapata ladha yake!
Ufafanuzi mkali wa kikomo cha chaguo za kukokotoa
Hebu tuanze na kitu kimoja - jinsi ya kuunda dhana hii? Ufafanuzi wa kimatamshi wa kikomo cha chaguo za kukokotoa umeundwa kwa urahisi zaidi: "nambari ni kikomo cha chaguo la kukokotoa ikiwa na "x" inayoelekea. (kushoto na kulia), maadili yanayolingana ya kazi huwa na » (angalia mchoro). Kila kitu kinaonekana kuwa cha kawaida, lakini maneno ni maneno, maana ni maana, ikoni ni ikoni, na hakuna maelezo madhubuti ya kihesabu. Na katika aya ya pili tutafahamiana na njia mbili za kutatua suala hili.
Acha kazi ifafanuliwe kwa muda fulani, isipokuwa uwezekano wa uhakika. Katika fasihi ya kielimu inakubalika kwa ujumla kuwa kazi huko Sivyo imefafanuliwa: 
Uchaguzi huu unasisitiza kiini cha kikomo cha chaguo za kukokotoa: "x" karibu sana approaches , na maadili yanayolingana ya chaguo la kukokotoa ni karibu sana Kwa . Kwa maneno mengine, dhana ya kikomo haimaanishi "njia halisi" kwa pointi, lakini yaani makadirio ya karibu kabisa, haijalishi ikiwa chaguo za kukokotoa zimefafanuliwa katika hatua au la.
Ufafanuzi wa kwanza wa kikomo cha chaguo za kukokotoa, haishangazi, umeundwa kwa kutumia mifuatano miwili. Kwanza, dhana zinahusiana, na, pili, mipaka ya kazi kawaida husomwa baada ya mipaka ya mlolongo.
Fikiria mlolongo 
pointi (sio kwenye mchoro), mali ya muda na tofauti na, ambayo huungana Kwa . Halafu maadili yanayolingana ya kazi pia huunda mlolongo wa nambari, washiriki ambao wapo kwenye mhimili wa kuratibu.
Kikomo cha chaguo za kukokotoa kulingana na Heine kwa yoyote mlolongo wa pointi 
(ya na tofauti na), ambayo hubadilika hadi uhakika , mlolongo unaolingana wa thamani za chaguo za kukokotoa hubadilika hadi .
Eduard Heine ni mwanahisabati wa Ujerumani. ...Na hakuna haja ya kufikiria kitu kama hicho, kuna shoga mmoja tu huko Uropa - Gay-Lussac =)
Ufafanuzi wa pili wa kikomo uliundwa ... ndiyo, ndiyo, wewe ni sahihi. Lakini kwanza, hebu tuelewe muundo wake. Fikiria kiholela -ujirani wa uhakika (Jirani "nyeusi"). Kulingana na aya iliyotangulia, kiingilio kinamaanisha hivyo thamani fulani kazi iko ndani ya kitongoji cha "epsilon".
Sasa tunapata -jirani inayolingana na ujirani uliopewa (chora kiakili mistari yenye vitone vyeusi kutoka kushoto kwenda kulia na kisha kutoka juu hadi chini). Kumbuka kwamba thamani imechaguliwa pamoja na urefu wa sehemu ndogo, katika kesi hii - pamoja na urefu wa sehemu fupi ya kushoto. Kwa kuongezea, "raspberry" - ujirani wa uhakika unaweza hata kupunguzwa, kwani katika ufafanuzi ufuatao ukweli wenyewe wa kuwepo ni muhimu mtaa huu. Na, vile vile, nukuu inamaanisha kuwa thamani fulani iko ndani ya kitongoji cha "delta".
Kikomo cha utendakazi cha Cauchy: nambari inaitwa kikomo cha chaguo la kukokotoa katika hatua ikiwa kwa yoyote iliyochaguliwa mapema jirani (ndogo upendavyo), ipo- ujirani wa uhakika, HIVYO, kwamba: Thamani za AS PEKEE (ya) imejumuishwa katika eneo hili: (mishale nyekundu)- KWA hivyo mara moja maadili ya kazi yanayolingana yamehakikishwa kuingia -jirani: (mishale ya bluu).
Lazima nikuonye kwamba kwa ajili ya uwazi, niliboresha kidogo, kwa hivyo usitumie kupita kiasi =)
Ingizo fupi: , ikiwa
Nini kiini cha ufafanuzi? Kwa kusema kwa mfano, kwa kupunguza ujirani kabisa, "tunaandamana" maadili ya kazi hadi kikomo chao, na kuwaacha bila njia mbadala ya kukaribia mahali pengine. Sio kawaida kabisa, lakini tena kali! Ili kuelewa wazo kikamilifu, soma tena maneno tena.
! Tahadhari: ikiwa unahitaji tu kuunda Ufafanuzi wa Heine au tu Ufafanuzi wa Cauchy tafadhali usisahau kuhusu muhimu maoni ya awali: "Fikiria kazi ambayo inafafanuliwa kwa muda fulani, isipokuwa uwezekano wa nukta". Nilisema hili mara moja mwanzoni kabisa na sikurudia kila wakati.
Kulingana na nadharia inayolingana ya uchambuzi wa hesabu, ufafanuzi wa Heine na Cauchy ni sawa, lakini chaguo la pili ndio maarufu zaidi. (bado!), ambayo pia huitwa "kikomo cha lugha":
Mfano 4
Kwa kutumia ufafanuzi wa kikomo, thibitisha hilo 
Suluhisho: kazi imefafanuliwa kwenye mstari mzima wa nambari isipokuwa nukta. Kwa kutumia ufafanuzi, tunathibitisha kuwepo kwa kikomo katika hatua fulani.
Kumbuka : thamani ya kitongoji cha "delta" inategemea "epsilon", kwa hivyo jina
Hebu tuzingatie kiholela-mazingira. Kazi ni kutumia thamani hii kuangalia kama ipo- mazingira, HIVYO, ambayo kutokana na ukosefu wa usawa 
ukosefu wa usawa unafuata 
.
Kwa kudhani kuwa, tunabadilisha ukosefu wa usawa wa mwisho: 
(ilipanua utatu wa quadratic)
Nambari ya kudumu A kuitwa kikomo mifuatano(x n ), ikiwa kwa nambari yoyote ndogo chanya kiholelaε > 0 kuna nambari N ambayo ina maadili yote x n, ambayo n>N, inakidhi ukosefu wa usawa
|x n - a|< ε. (6.1)
Iandike kama ifuatavyo: au x n → a.
Kutokuwepo kwa usawa (6.1) ni sawa na usawa maradufu
a- ε< x n < a + ε, (6.2)
ambayo ina maana kwamba pointi x n, kuanzia nambari fulani n>N, lala ndani ya muda (a-ε, a+ ε ), yaani. kuanguka katika ndogo yoyoteε -ujirani wa uhakika A.
Mlolongo wenye kikomo unaitwa kuungana, vinginevyo - tofauti.
Wazo la kikomo cha chaguo la kukokotoa ni ujumuishaji wa dhana ya kikomo cha mfuatano, kwa kuwa kikomo cha mfuatano kinaweza kuzingatiwa kama kikomo cha chaguo za kukokotoa x n = f(n) cha hoja kamili. n.
Acha kazi f(x) itolewe na iruhusu a - hatua ya kikomo kikoa cha ufafanuzi wa chaguo hili la kukokotoa la D(f), i.e. hatua kama hiyo, kitongoji chochote ambacho kina alama za seti ya D(f) isipokuwa a. Nukta a inaweza au isiwe ya seti ya D(f).
Ufafanuzi 1.Nambari ya mara kwa mara A inaitwa kikomo kazi f(x) katika x→a, ikiwa kwa mlolongo wowote (x n ) wa thamani za hoja zinazosimamia A, mfuatano unaolingana (f(x n)) una kikomo sawa A.
Ufafanuzi huu unaitwa kwa kufafanua kikomo cha kazi kulingana na Heine, au" katika lugha ya mfuatano”.
Ufafanuzi 2. Nambari ya mara kwa mara A inaitwa kikomo kazi f(x) katika x→a, ikiwa, kwa kubainisha nambari chanya ya kiholela ε, mtu anaweza kupata vile δ>0 (kulingana na ε), ambayo ni ya kila mtu x, amelala ndaniε-vitongoji vya nambari A, i.e. Kwa x, kutosheleza ukosefu wa usawa
0 <
x-a< ε
, thamani za chaguo za kukokotoa f(x) zitawekwa ndaniε-kitongoji cha nambari A, i.e.|f(x)-A|<
ε.
Ufafanuzi huu unaitwa kwa kufafanua kikomo cha kazi kulingana na Cauchy, au "katika lugha ε - δ “.
Ufafanuzi wa 1 na 2 ni sawa. Ikiwa chaguo za kukokotoa f(x) kama x →a ina kikomo, sawa na A, hii imeandikwa kwa fomu
. (6.3)
Katika tukio ambalo mlolongo (f(x n)) unaongezeka (au kupungua) bila kikomo kwa njia yoyote ya kukadiria. x kwa kikomo chako A, basi tutasema kwamba kazi f(x) ina kikomo kisicho na mwisho, na uandike kwa fomu:
Tofauti (yaani mfuatano au chaguo la kukokotoa) ambalo kikomo chake ni sifuri huitwa ndogo isiyo na kikomo.
Tofauti ambayo kikomo chake ni sawa na infinity inaitwa kubwa isiyo na kikomo.
Ili kupata kikomo katika mazoezi, nadharia zifuatazo hutumiwa.
Nadharia 1 . Ikiwa kila kikomo kipo
(6.4)
(6.5)
(6.6)
Maoni. Maneno kama 0/0, ∞/∞, ∞-∞ , 0*∞ , - hazina uhakika, kwa mfano, uwiano wa idadi mbili ndogo au kubwa sana, na kupata kikomo cha aina hii inaitwa "kufichua kutokuwa na uhakika."
Nadharia 2. (6.7)
hizo. mtu anaweza kwenda kwa kikomo kulingana na nguvu na kiboreshaji cha mara kwa mara, haswa, 
;
(6.8)
(6.9)
Nadharia 3.
(6.10)
(6.11)
Wapi e » 2.7 - msingi wa logarithm ya asili. Fomula (6.10) na (6.11) inaitwa ya kwanza kikomo cha ajabu na kikomo cha pili cha kushangaza.
Matokeo ya formula (6.11) pia hutumiwa katika mazoezi:
(6.12)
(6.13)
(6.14)
hasa kikomo,
Ikiwa x → a na kwa wakati mmoja x > a, kisha andika x→a + 0. Ikiwa, hasa, a = 0, basi badala ya ishara 0+0 andika +0. Vile vile ikiwa x→a na wakati huo huo x 
na wanaitwa ipasavyo kikomo cha kulia Na kikomo cha kushoto kazi f(x) kwa uhakika A. Ili kuwe na kikomo cha chaguo la kukokotoa f(x) kama x→a ni muhimu na inatosha ili 
. Chaguo za kukokotoa f(x) huitwa kuendelea kwa uhakika x 0 ikiwa kikomo
. (6.15)
Masharti (6.15) yanaweza kuandikwa upya kama:
,
yaani, kupita kwa kikomo chini ya ishara ya kazi inawezekana ikiwa ni kuendelea katika hatua fulani.
Ikiwa usawa (6.15) umekiukwa, basi tunasema hivyo katika x = xo kazi f(x) Ina pengo Zingatia chaguo za kukokotoa y = 1/x. Kikoa cha ufafanuzi wa chaguo hili la kukokotoa ni seti R, isipokuwa kwa x = 0. Hatua x = 0 ni hatua ya kikomo ya kuweka D (f), kwa kuwa katika jirani yoyote yake, i.e. katika muda wowote wazi ulio na nukta 0, kuna alama kutoka kwa D(f), lakini yenyewe sio ya seti hii. Thamani f(x o)= f(0) haijafafanuliwa, kwa hivyo katika hatua x o = 0 kazi ina kutoendelea.
Chaguo za kukokotoa f(x) huitwa kuendelea kulia kwa uhakika x o ikiwa kikomo
,
Na kuendelea upande wa kushoto kwa uhakika x o, ikiwa kikomo
.
Mwendelezo wa chaguo za kukokotoa katika hatua moja xo ni sawa na mwendelezo wake katika hatua hii kwa kulia na kushoto.
Ili kazi iendelee kwa uhakika xo, kwa mfano, upande wa kulia, ni muhimu, kwanza, kuwa na kikomo cha mwisho, na pili, kwamba kikomo hiki kiwe sawa na f (x o). Kwa hiyo, ikiwa angalau moja ya masharti haya mawili haipatikani, basi kazi itakuwa na kutoendelea.
1. Ikiwa kikomo kipo na si sawa na f(x o), basi wanasema hivyo kazi f(x) kwa uhakika x o ina kupasuka kwa aina ya kwanza, au ruka.
2. Ikiwa kikomo ni+∞ au -∞ au haipo, basi wanasema hivyo ndani hatua xo kipengele cha kukokotoa kina kutoendelea aina ya pili.
Kwa mfano, kazi y = kitanda x kwa x→ +0 ina kikomo sawa na +∞, ambayo inamaanisha kuwa katika hatua x=0 ina kutoendelea kwa aina ya pili. Kazi y = E(x) (sehemu kamili ya x) kwa pointi na abscissas nzima ina discontinuities ya aina ya kwanza, au anaruka.
Chaguo la kukokotoa ambalo ni endelevu katika kila hatua katika muda huitwa kuendelea V . Kazi inayoendelea inawakilishwa na mkunjo thabiti.
Matatizo mengi yanayohusiana na ukuaji unaoendelea wa kiasi fulani husababisha kikomo cha pili cha ajabu. Kazi kama hizo, kwa mfano, ni pamoja na: ukuaji wa amana kulingana na sheria ya riba ya kiwanja, ukuaji wa idadi ya watu wa nchi, kuoza kwa vitu vyenye mionzi, kuenea kwa bakteria, nk.
Hebu tuzingatie mfano wa Ya. I. Perelman, kutoa tafsiri ya nambari e katika tatizo la riba kiwanja. Nambari e kuna kikomo 
. Katika benki za akiba, pesa za riba huongezwa kwa mtaji uliowekwa kila mwaka. Ikiwa utaftaji unafanywa mara nyingi zaidi, basi mtaji unakua haraka, kwani kiasi kikubwa kinahusika katika malezi ya riba. Wacha tuchukue mfano wa kinadharia, uliorahisishwa sana. Wacha wakanushaji 100 wawekwe benki. vitengo kulingana na 100% kwa mwaka. Ikiwa pesa za riba zinaongezwa kwa mtaji uliowekwa tu baada ya mwaka, basi kwa kipindi hiki 100 den. vitengo itabadilika kuwa vitengo 200 vya fedha. Sasa wacha tuone ni nini 100 denize itageuka. vitengo, ikiwa pesa za riba zinaongezwa kwa mtaji uliowekwa kila baada ya miezi sita. Baada ya miezi sita, pango 100. vitengo itakua hadi 100×
1.5 = 150, na baada ya miezi sita - 150×
1.5 = 225 (den. vitengo). Ikiwa utaftaji unafanywa kila 1/3 ya mwaka, basi baada ya mwaka pango 100. vitengo itageuka kuwa 100× (1 +1/3) 3 " 237 (tundu. vitengo). Tutaongeza masharti ya kuongeza pesa za riba hadi mwaka 0.1, hadi mwaka 0.01, hadi mwaka 0.001, n.k. Kisha kutoka kwa shimo 100. vitengo baada ya mwaka itakuwa:
100 × (1 +1/10) 10 »259 (vizio vya shimo),
100 × (1+1/100) 100 »270 (vizio vya shimo),
100 × (1+1/1000) 1000 »271 (tundu. vitengo).
Kwa kupunguzwa kwa ukomo kwa masharti ya kuongeza riba, mtaji uliokusanywa haukua kwa muda usiojulikana, lakini unakaribia kikomo fulani sawa na takriban 271. Mtaji uliowekwa kwa 100% kwa mwaka hauwezi kuongezeka kwa zaidi ya mara 2.71, hata ikiwa riba iliyopatikana. ziliongezwa kwa mji mkuu kila sekunde kwa sababu kikomo
Mfano 3.1.Kwa kutumia ufafanuzi wa kikomo cha mfuatano wa nambari, thibitisha kwamba mfuatano x n =(n-1)/n una kikomo sawa na 1.
Suluhisho.Tunahitaji kuthibitisha hilo, haijalishi ni niniε > 0, haijalishi tunachukua nini, kwa kuwa kuna nambari ya asili N ambayo kwa wote n N ukosefu wa usawa unashikilia.|x n -1|< ε.
Hebu tuchukue yoyote e > 0. Tangu; x n -1 =(n+1)/n - 1= 1/n, basi kupata N inatosha kutatua ukosefu wa usawa 1/n.< e. Kwa hivyo n>1/ e na, kwa hivyo, N inaweza kuchukuliwa kama sehemu kamili ya 1/ e , N = E(1/ e ) Kwa hivyo tumethibitisha kuwa kikomo.
Mfano 3.2
. Tafuta kikomo cha mfuatano uliotolewa na neno la kawaida 
.
Suluhisho.Wacha tutumie kikomo cha nadharia ya jumla na tupate kikomo cha kila muhula. Wakati n→ ∞ nambari na kipunguzo cha kila neno huwa na ukomo, na hatuwezi kutumia moja kwa moja nadharia ya kikomo cha mgawo. Kwa hivyo, kwanza tunabadilisha x n, kugawanya nambari na denominata ya muhula wa kwanza kwa n 2, na ya pili n. Halafu, kwa kutumia kikomo cha mgawo na kikomo cha nadharia ya jumla, tunapata:
.
Mfano 3.3. 
. Tafuta .
Suluhisho. 
.
Hapa tulitumia kikomo cha nadharia ya digrii: kikomo cha digrii ni sawa na kiwango cha kikomo cha msingi.
Mfano 3.4
. Tafuta ( 
).
Suluhisho.Haiwezekani kutumia kikomo cha nadharia ya tofauti, kwa kuwa tuna kutokuwa na uhakika wa fomu ∞-∞ . Wacha tubadilishe fomula ya neno la jumla:
.
Mfano 3.5 . Chaguo za kukokotoa f(x)=2 1/x zimetolewa. Thibitisha kuwa hakuna kikomo.
Suluhisho.Wacha tutumie ufafanuzi 1 wa kikomo cha chaguo za kukokotoa kupitia mlolongo. Hebu tuchukue mlolongo ( x n ) kugeuza hadi 0, i.e. Hebu tuonyeshe kwamba thamani f(x n)= inatenda tofauti kwa mlolongo tofauti. Acha x n = 1/n. Ni wazi, basi kikomo 
Wacha tuchague kama x n mlolongo wenye neno la kawaida x n = -1/n, pia unaelekea sifuri. 
Kwa hiyo hakuna kikomo.
Mfano 3.6 . Thibitisha kuwa hakuna kikomo.
Suluhisho.Hebu x 1 , x 2 ,..., x n ,... iwe mlolongo kwa ajili yake
. Je, mlolongo (f(x n)) = (dhambi x n) hufanyaje kwa tofauti x n → ∞
Ikiwa x n = p n, basi dhambi x n = dhambi uk n = 0 kwa wote n na kikomo Ikiwa
x n =2 p n+ p /2, kisha dhambi x n = dhambi(2 p n+ p /2) = dhambi uk /2 = 1 kwa wote n na kwa hivyo kikomo. Kwa hivyo haipo.
Wijeti ya kuhesabu vikomo mtandaoni
Katika dirisha la juu, badala ya sin(x)/x, ingiza kitendakazi ambacho kikomo unachotaka kupata. Katika dirisha la chini, ingiza nambari ambayo x huelekea na ubofye kitufe cha Calcular, pata kikomo kinachohitajika. Na ikiwa kwenye dirisha la matokeo bonyeza Onyesha hatua kwenye kona ya juu ya kulia, utapata suluhisho la kina.
Sheria za kuingiza vipengele: sqrt(x) - mzizi wa mraba, cbrt(x) - mchemraba mzizi, exp(x) - kielezi, ln(x) - logarithm asili, sin(x) - sine, cos(x) - cosine, tan (x) - tangent, cot(x) - cotangent, arcsin(x) - arcsine, arccos(x) - arccosine, arctan(x) - arctangent. Ishara: * kuzidisha, / mgawanyiko, ^ ufafanuzi, badala yake usio na mwisho Infinity. Mfano: chaguo la kukokotoa limeingizwa kama sqrt(tan(x/2)).
Hisabati ni sayansi inayojenga ulimwengu. Mwanasayansi na mtu wa kawaida - hakuna mtu anayeweza kufanya bila hiyo. Kwanza, watoto wadogo hufundishwa kuhesabu, kisha kuongeza, kupunguza, kuzidisha na kugawanya; kwa shule ya kati, alama za barua zinatumika, na katika shule ya upili haziwezi kuepukwa tena.
Lakini leo tutazungumza juu ya nini hisabati yote inayojulikana inategemea. Kuhusu jumuiya ya nambari inayoitwa "mipaka ya mlolongo".
Mlolongo ni nini na kikomo chao kiko wapi?
Maana ya neno "mlolongo" sio ngumu kutafsiri. Huu ni mpangilio wa vitu ambapo mtu au kitu kiko katika mpangilio au foleni fulani. Kwa mfano, foleni ya tikiti kwa mbuga ya wanyama ni mlolongo. Na kunaweza kuwa na moja tu! Ikiwa, kwa mfano, unatazama foleni kwenye duka, hii ni mlolongo mmoja. Na ikiwa mtu mmoja kutoka kwenye foleni hii anaondoka ghafla, basi hii ni foleni tofauti, utaratibu tofauti.
Neno "kikomo" pia linatafsiriwa kwa urahisi - ni mwisho wa kitu. Walakini, katika hisabati, mipaka ya mlolongo ni zile maadili kwenye safu ya nambari ambayo mlolongo wa nambari huelekea. Kwa nini inajitahidi na sio mwisho? Ni rahisi, nambari ya nambari haina mwisho, na mlolongo mwingi, kama miale, una mwanzo tu na unaonekana kama hii:
x 1, x 2, x 3,...x n...
Kwa hivyo ufafanuzi wa mfuatano ni kazi ya hoja asilia. Kwa maneno rahisi, hii ni safu ya washiriki wa seti fulani.
Mlolongo wa nambari unaundwaje?
Mfano rahisi wa mfuatano wa nambari unaweza kuonekana kama hii: 1, 2, 3, 4, ...n...
Mara nyingi, kwa madhumuni ya vitendo, mlolongo hujengwa kutoka kwa nambari, na kila mwanachama wa pili wa mfululizo, hebu tuonyeshe X, ana jina lake mwenyewe. Kwa mfano:
x 1 ndiye mshiriki wa kwanza wa mfuatano;
x 2 ni muhula wa pili wa mfuatano;
x 3 ni muhula wa tatu;
x n ni neno la nth.
Katika mbinu za vitendo, mlolongo hutolewa na formula ya jumla ambayo kuna kutofautiana fulani. Kwa mfano:
X n =3n, basi safu ya nambari yenyewe itaonekana kama hii:
Ni vyema kukumbuka kwamba wakati wa kuandika mlolongo kwa ujumla, unaweza kutumia barua yoyote ya Kilatini, si tu X. Kwa mfano: y, z, k, nk.
Ukuaji wa hesabu kama sehemu ya mfuatano
Kabla ya kutafuta mipaka ya mlolongo, inashauriwa kuzama zaidi katika dhana ya mfululizo wa nambari kama hiyo, ambayo kila mtu alikutana nayo wakati wa shule ya kati. Ukuaji wa hesabu ni msururu wa nambari ambamo tofauti kati ya istilahi zilizo karibu ni thabiti.
Shida: "Acha 1 = 15, na hatua ya kuendelea ya safu ya nambari d = 4. Tengeneza masharti 4 ya kwanza ya mfululizo huu"
Suluhisho: a 1 = 15 (kwa hali) ni muda wa kwanza wa maendeleo (nambari ya mfululizo).
na 2 = 15+4=19 ni muhula wa pili wa mwendelezo.
na 3 =19+4=23 ni muhula wa tatu.
na 4 =23+4=27 ni muhula wa nne.
Hata hivyo, kwa kutumia njia hii ni vigumu kufikia maadili makubwa, kwa mfano hadi 125. . Hasa kwa kesi kama hizo, fomula inayofaa kwa mazoezi ilitolewa: n =a 1 +d(n-1). Katika kesi hii, 125 =15+4(125-1)=511.
Aina za mlolongo
Misururu mingi haina mwisho, inafaa kukumbuka maisha yako yote. Kuna aina mbili za kuvutia za mfululizo wa nambari. Ya kwanza imetolewa na fomula n =(-1) n. Wanahisabati mara nyingi huita mlolongo huu kuwa flasher. Kwa nini? Wacha tuangalie safu yake ya nambari.
1, 1, -1, 1, -1, 1, nk Kwa mfano kama huu, inakuwa wazi kuwa nambari katika mlolongo zinaweza kurudiwa kwa urahisi.
Mlolongo wa kiwanda. Ni rahisi kukisia - fomula inayofafanua mlolongo ina kipengele. Kwa mfano: n = (n+1)!
Kisha mlolongo utaonekana kama hii:
a 2 = 1x2x3 = 6;
na 3 = 1x2x3x4 = 24, nk.
Mfuatano unaofafanuliwa na mwendelezo wa hesabu unaitwa kupungua kabisa ikiwa ukosefu wa usawa -1 utaridhika kwa masharti yake yote. na 3 = - 1/8, nk. Kuna hata mlolongo unaojumuisha nambari sawa. Kwa hivyo, n = 6 inajumuisha idadi isiyo na kikomo ya sita. Vikomo vya mfuatano vimekuwepo kwa muda mrefu katika hisabati. Bila shaka, wanastahili kubuni yao wenyewe yenye uwezo. Kwa hiyo, wakati wa kujifunza ufafanuzi wa mipaka ya mlolongo. Kwanza, hebu tuangalie kikomo cha kazi ya mstari kwa undani: Ni rahisi kuelewa kuwa ufafanuzi wa kikomo cha mlolongo unaweza kutengenezwa kama ifuatavyo: hii ni nambari fulani ambayo washiriki wote wa mlolongo hukaribia kabisa. Mfano rahisi: a x = 4x+1. Kisha mlolongo yenyewe utaonekana kama hii. 5, 9, 13, 17, 21…x… Kwa hivyo, mlolongo huu utaongezeka kwa muda usiojulikana, ambayo inamaanisha kikomo chake ni sawa na infinity kama x→∞, na inapaswa kuandikwa kama hii: Ikiwa tutachukua mlolongo sawa, lakini x inaelekea 1, tunapata: Na safu ya nambari itakuwa kama hii: 1.4, 1.8, 4.6, 4.944, nk Kila wakati unahitaji kubadilisha nambari karibu na moja (0.1, 0.2, 0.9, 0.986). Kutoka kwa mfululizo huu ni wazi kwamba kikomo cha kazi ni tano. Kutoka kwa sehemu hii inafaa kukumbuka ni nini kikomo cha mlolongo wa nambari, ufafanuzi na njia ya kutatua shida rahisi. Baada ya kuchunguza kikomo cha mlolongo wa nambari, ufafanuzi wake na mifano, unaweza kuendelea na mada ngumu zaidi. Vikomo vyote vya mfuatano vinaweza kutengenezwa kwa fomula moja, ambayo kwa kawaida huchanganuliwa katika muhula wa kwanza. Kwa hivyo, seti hii ya herufi, moduli na ishara za usawa inamaanisha nini? ∀ ni kihesabu cha ulimwengu wote, kinachochukua nafasi ya misemo "kwa wote", "kwa kila kitu", nk. ∃ ni kibainishi kinachowezekana, katika kesi hii inamaanisha kuwa kuna thamani fulani N inayomilikiwa na seti ya nambari asilia. Fimbo ndefu ya wima inayofuata N inamaanisha kuwa seti iliyopewa N ni "hivyo." Kwa mazoezi, inaweza kumaanisha "vile vile", "vile vile", nk. Ili kuimarisha nyenzo, soma fomula kwa sauti. Njia ya kupata kikomo cha mlolongo, ambayo ilijadiliwa hapo juu, ingawa ni rahisi kutumia, sio busara sana katika mazoezi. Jaribu kupata kikomo cha kazi hii: Ikiwa tutabadilisha maadili tofauti ya "x" (kuongezeka kila wakati: 10, 100, 1000, nk), basi tunapata ∞ kwenye nambari, lakini pia ∞ kwenye denominator. Hii inasababisha sehemu ya kushangaza: Lakini hii ni kweli? Kuhesabu kikomo cha mlolongo wa nambari katika kesi hii inaonekana rahisi sana. Ingewezekana kuacha kila kitu kama ilivyo, kwa sababu jibu liko tayari, na lilipokelewa chini ya hali nzuri, lakini kuna njia nyingine mahsusi kwa kesi kama hizo. Kwanza, wacha tupate digrii ya juu zaidi katika nambari ya sehemu - hii ni 1, kwani x inaweza kuwakilishwa kama x 1. Sasa wacha tupate digrii ya juu zaidi katika dhehebu. Pia 1. Wacha tugawanye nambari na dhehebu kwa kutofautisha hadi kiwango cha juu zaidi. Katika kesi hii, gawanya sehemu kwa x 1. Ifuatayo, tutapata ni thamani gani kila neno lililo na kigezo huelekea. Katika kesi hii, sehemu ndogo huzingatiwa. Kama x→∞, thamani ya kila sehemu huelekea sifuri. Unapowasilisha kazi yako kwa maandishi, unapaswa kufanya maelezo ya chini yafuatayo: Hii inasababisha usemi ufuatao: Kwa kweli, sehemu zilizo na x hazikuwa sufuri! Lakini thamani yao ni ndogo sana kwamba inaruhusiwa kabisa kutoizingatia katika mahesabu. Kwa kweli, x haitakuwa sawa na 0 katika kesi hii, kwa sababu huwezi kugawanya kwa sifuri. Tuseme profesa ana mlolongo changamano, uliotolewa, kwa wazi, na fomula tata sawa. Profesa amepata jibu, lakini ni sawa? Baada ya yote, watu wote hufanya makosa. Auguste Cauchy aliwahi kuja na njia bora ya kuthibitisha mipaka ya mlolongo. Mbinu yake iliitwa ujanja ujanja. Tuseme kwamba kuna hatua fulani a, ujirani wake katika pande zote mbili kwenye mstari wa nambari ni sawa na ε ("epsilon"). Kwa kuwa tofauti ya mwisho ni umbali, thamani yake daima ni chanya. Sasa hebu tufafanue mlolongo fulani x n na tuchukulie kuwa muhula wa kumi wa mfuatano (x 10) umejumuishwa katika kitongoji cha a. Je, tunawezaje kuandika ukweli huu katika lugha ya hisabati? Wacha tuseme x 10 iko upande wa kulia wa nukta a, kisha umbali x 10 -a<ε, однако, если расположить «икс десятое» левее точки а, то расстояние получится отрицательным, а это невозможно, значит, следует занести левую часть неравенства под модуль. Получится |х 10 -а|<ε. Sasa ni wakati wa kuelezea kwa vitendo formula iliyojadiliwa hapo juu. Ni sawa kuita nambari fulani kuwa sehemu ya mwisho ya mlolongo ikiwa kwa kikomo chake chochote usawa wa ε>0 umeridhika, na kitongoji kizima kina nambari yake ya asili N, ili washiriki wote wa mlolongo wenye nambari za juu zaidi. itakuwa ndani ya mlolongo |x n - a|< ε. Kwa ujuzi huo ni rahisi kutatua mipaka ya mlolongo, kuthibitisha au kupinga jibu tayari. Nadharia juu ya mipaka ya mlolongo ni sehemu muhimu ya nadharia, bila ambayo mazoezi haiwezekani. Kuna nadharia kuu nne tu, kukumbuka ambayo inaweza kurahisisha suluhisho au uthibitisho: Wakati mwingine unahitaji kutatua tatizo la kinyume, ili kuthibitisha kikomo fulani cha mlolongo wa nambari. Hebu tuangalie mfano. Thibitisha kuwa kikomo cha mlolongo uliotolewa na fomula ni sifuri. Kulingana na sheria iliyojadiliwa hapo juu, kwa mlolongo wowote ukosefu wa usawa |x n - a|<ε. Подставим заданное значение и точку отсчёта. Получим: Hebu tueleze n kwa njia ya "epsilon" ili kuonyesha kuwepo kwa nambari fulani na kuthibitisha uwepo wa kikomo cha mlolongo. Katika hatua hii, ni muhimu kukumbuka kuwa "epsilon" na "en" ni nambari nzuri na si sawa na sifuri. Sasa inawezekana kuendelea na mabadiliko zaidi kwa kutumia ujuzi kuhusu ukosefu wa usawa uliopatikana katika shule ya upili. Inakuwaje kuwa n > -3 + 1/ε. Kwa kuwa inafaa kukumbuka kuwa tunazungumza juu ya nambari za asili, matokeo yanaweza kuzungushwa kwa kuiweka kwenye mabano ya mraba. Kwa hivyo, ilithibitishwa kuwa kwa thamani yoyote ya kitongoji cha "epsilon" cha uhakika a = 0, thamani ilipatikana ili kutokuwepo kwa usawa wa awali. Kuanzia hapa tunaweza kusema kwa usalama kwamba nambari a ni kikomo cha mlolongo fulani. Q.E.D. Njia hii rahisi inaweza kutumika kuthibitisha kikomo cha mlolongo wa nambari, bila kujali jinsi inaweza kuwa ngumu kwa mtazamo wa kwanza. Jambo kuu sio hofu wakati unapoona kazi. Kuwepo kwa kikomo cha uthabiti sio lazima katika mazoezi. Unaweza kukutana kwa urahisi na mfululizo wa nambari ambazo hazina mwisho. Kwa mfano, sawa "mwanga wa mwanga" x n = (-1) n. ni dhahiri kwamba mfuatano unaojumuisha tarakimu mbili pekee, unaorudiwa kwa mzunguko, hauwezi kuwa na kikomo. Hadithi hiyo hiyo inarudiwa kwa mfuatano unaojumuisha nambari moja, zile za sehemu, zisizo na uhakika wa mpangilio wowote wakati wa hesabu (0/0, ∞/∞, ∞/0, n.k.). Hata hivyo, ni lazima ikumbukwe kwamba mahesabu yasiyo sahihi pia hutokea. Wakati mwingine kuangalia mara mbili suluhisho lako mwenyewe kutakusaidia kupata kikomo cha mlolongo. Mifano kadhaa ya mlolongo na mbinu za kuzitatua zilijadiliwa hapo juu, na sasa hebu tujaribu kuchukua kesi maalum zaidi na kuiita "mlolongo wa monotoniki." Ufafanuzi: mlolongo wowote unaweza kuitwa kuongezeka kwa monotonically ikiwa ukosefu mkali wa x n unashikilia.< x n +1. Также любую последовательность справедливо называть монотонной убывающей, если для неё выполняется неравенство x n >x n +1. Pamoja na masharti haya mawili, pia kuna usawa usio na usawa unaofanana. Ipasavyo, x n ≤ x n +1 (mlolongo usiopungua) na x n ≥ x n +1 (mlolongo usiozidi). Lakini ni rahisi kuelewa hili kwa mifano. Mlolongo uliotolewa na formula x n = 2+n huunda mfululizo wa nambari zifuatazo: 4, 5, 6, nk Huu ni mlolongo wa kuongezeka kwa monotonically. Na tukichukua x n =1/n, tunapata mfululizo: 1/3, ¼, 1/5, nk. Huu ni mlolongo wa kupungua kwa monotonically. Mfuatano ulio na mipaka ni mfuatano ambao una kikomo. Mfuatano wa kuunganika ni msururu wa nambari ambao una kikomo kisicho na kikomo. Kwa hivyo, kikomo cha mfuatano uliowekewa mipaka ni nambari yoyote halisi au changamano. Kumbuka kwamba kunaweza kuwa na kikomo kimoja tu. Kikomo cha mfuatano wa muunganisho ni wingi usio na kikomo (halisi au changamano). Ikiwa unachora mchoro wa mlolongo, basi kwa hatua fulani itaonekana kuunganishwa, huwa na kugeuka kuwa thamani fulani. Kwa hivyo jina - mlolongo wa kuunganika. Kunaweza kuwa au kusiwe na kikomo kwa mlolongo kama huo. Kwanza, ni muhimu kuelewa wakati iko; kutoka hapa unaweza kuanza wakati wa kudhibitisha kutokuwepo kwa kikomo. Kati ya mlolongo wa monotonic, mchanganyiko na tofauti hutofautishwa. Convergent ni mfuatano ambao huundwa na seti ya x na ina kikomo halisi au changamani katika seti hii. Divergent ni mlolongo ambao hauna kikomo katika seti yake (si halisi wala changamano). Zaidi ya hayo, mlolongo huungana ikiwa, katika uwakilishi wa kijiometri, mipaka yake ya juu na ya chini hukutana. Kikomo cha mfuatano wa kuunganika kinaweza kuwa sifuri katika hali nyingi, kwani mlolongo wowote usio na kikomo una kikomo kinachojulikana (sifuri). Mlolongo wowote wa muunganisho unaochukua, wote wamewekewa mipaka, lakini si mfuatano wote wenye mipaka huungana. Jumla, tofauti, bidhaa ya mifuatano miwili ya muunganisho pia ni mfuatano wa kuunganika. Hata hivyo, mgawo unaweza pia kuunganishwa ikiwa umefafanuliwa! Vikomo vya mlolongo ni muhimu (katika hali nyingi) kama tarakimu na nambari: 1, 2, 15, 24, 362, nk. Inabadilika kuwa shughuli zingine zinaweza kufanywa kwa mipaka. Kwanza, kama tarakimu na nambari, mipaka ya mlolongo wowote inaweza kuongezwa na kupunguzwa. Kulingana na nadharia ya tatu juu ya mipaka ya mlolongo, usawa wafuatayo unashikilia: kikomo cha jumla ya mlolongo ni sawa na jumla ya mipaka yao. Pili, kwa kuzingatia nadharia ya nne juu ya mipaka ya mlolongo, usawa wafuatayo ni kweli: kikomo cha bidhaa ya nambari ya nth ya mlolongo ni sawa na bidhaa ya mipaka yao. Vile vile ni kweli kwa mgawanyiko: kikomo cha mgawo wa mlolongo mbili ni sawa na mgawo wa mipaka yao, isipokuwa kwamba kikomo sio sifuri. Baada ya yote, ikiwa kikomo cha mlolongo ni sawa na sifuri, basi mgawanyiko kwa sifuri utatokea, ambayo haiwezekani. Inaweza kuonekana kuwa kikomo cha mlolongo wa nambari tayari kimejadiliwa kwa undani, lakini misemo kama vile nambari "ndogo sana" na "kubwa isiyo na kikomo" imetajwa zaidi ya mara moja. Ni wazi, ikiwa kuna mlolongo 1/x, ambapo x→∞, basi sehemu kama hiyo haina kikomo, na ikiwa mlolongo huo huo, lakini kikomo huwa na sifuri (x→0), basi sehemu hiyo inakuwa thamani kubwa sana. Na idadi kama hiyo ina sifa zao wenyewe. Sifa za kikomo cha mlolongo unao na maadili yoyote ndogo au kubwa ni kama ifuatavyo. Kwa kweli, kuhesabu kikomo cha mlolongo sio kazi ngumu kama unajua algorithm rahisi. Lakini mipaka ya uthabiti ni mada ambayo inahitaji umakini wa hali ya juu na uvumilivu. Kwa kweli, inatosha kufahamu tu kiini cha suluhisho la misemo kama hiyo. Kuanzia ndogo, unaweza kufikia urefu mkubwa kwa muda.Kuamua Kikomo cha Mlolongo
Uteuzi wa jumla kwa kikomo cha mlolongo
Kutokuwa na uhakika na uhakika wa kikomo
Mtaa ni nini?
Nadharia
Uthibitisho wa mlolongo
Au labda hayupo?
Mlolongo wa monotoniki
Kikomo cha mfuatano wa kuunganika na wenye mipaka
Ukomo wa mlolongo wa monotonic
Vitendo mbalimbali na mipaka
Mali ya wingi wa mlolongo