Inamaanisha nini ikiwa kibaguzi ni 0. Kupata kibaguzi, fomula, kulinganisha na sifuri

Ubaguzi ni neno lenye thamani nyingi. Katika makala hii tutazungumzia juu ya ubaguzi wa polynomial, ambayo inakuwezesha kuamua ikiwa kupewa polynomial ufumbuzi halali. Fomula ya polynomial ya quadratic inaonekana ndani kozi ya shule algebra na uchambuzi. Jinsi ya kupata ubaguzi? Ni nini kinachohitajika kutatua equation?

Polynomial ya quadratic au equation ya shahada ya pili inaitwa i * w ^ 2 + j * w + k ni sawa na 0, ambapo "i" na "j" ni coefficients ya kwanza na ya pili, kwa mtiririko huo, "k" ni mara kwa mara, wakati mwingine huitwa "neno la kukataa," na "w" ni kutofautiana. Mizizi yake itakuwa maadili yote ya kutofautisha ambayo inageuka kuwa kitambulisho. Usawa kama huo unaweza kuandikwa upya kama bidhaa ya i, (w - w1) na (w - w2) sawa na 0. Katika kesi hii, ni dhahiri kwamba ikiwa mgawo "i" hautakuwa sifuri, basi kazi kwenye upande wa kushoto utakuwa sufuri ikiwa tu x itachukua thamani w1 au w2. Thamani hizi ni matokeo ya kuweka polynomial sawa na sifuri.

Ili kupata thamani ya kutofautiana ambayo polynomial ya quadratic inapotea, ujenzi wa msaidizi hutumiwa, umejengwa juu ya coefficients yake na kuitwa kibaguzi. Muundo huu umehesabiwa kulingana na formula D sawa na j * j - 4 * i * k. Kwa nini inatumika?

Anasema wapo matokeo halali.
Yeye husaidia kuhesabu.

Thamani hii inaonyeshaje uwepo wa mizizi halisi:

Ikiwa ni chanya, basi tunaweza kupata mizizi miwili katika kanda nambari za kweli.
Ikiwa mbaguzi sawa na sifuri, basi suluhisho zote mbili zinapatana. Tunaweza kusema kuwa kuna suluhisho moja tu, na ni kutoka kwa uwanja wa nambari halisi.
Ikiwa kibaguzi ni chini ya sifuri, basi polynomial haina mizizi halisi.

Chaguzi za hesabu za kupata nyenzo

Kwa jumla (7 * w^2; 3 * w; 1) sawa na 0 Tunahesabu D kwa kutumia formula 3 * 3 - 4 * 7 * 1 = 9 - 28, tunapata -19. Thamani ya kibaguzi chini ya sifuri inaonyesha kuwa hakuna matokeo kwenye mstari halisi.

Ikiwa tutazingatia 2 * w^2 - 3 * w + 1 sawa na 0, kisha D inakokotolewa kama (-3) mraba ukiondoa bidhaa ya nambari (4; 2; 1) na sawa na 9 - 8, yaani, 1. Thamani chanya huonyesha matokeo mawili kwenye mstari halisi.

Ikiwa tutachukua jumla (w ^ 2; 2 * w; 1) na kuilinganisha na 0, D inakokotolewa kama miraba miwili ukiondoa bidhaa ya nambari (4; 1; 1). Usemi huu utarahisisha hadi 4 - 4 na kwenda hadi sifuri. Inatokea kwamba matokeo ni sawa. Ukiangalia kwa karibu fomula hii, itakuwa wazi kuwa hii ni " mraba kamili" Hii ina maana kwamba usawa unaweza kuandikwa tena kwa fomu (w + 1) ^ 2 = 0. Ikawa dhahiri kwamba matokeo katika tatizo hili ni "-1". Katika hali ambapo D ni 0, upande wa kushoto Sawa zinaweza kukunjwa kwa kutumia fomula ya "mraba wa jumla".

Kutumia kibaguzi katika kuhesabu mizizi

Ujenzi huu wa msaidizi hauonyeshi tu idadi ya ufumbuzi halisi, lakini pia husaidia kupata yao. Fomula ya jumla Hesabu ya mlinganyo wa shahada ya pili ni:

w = (-j +/- d) / (2 * i), ambapo d ndiye kibaguzi kwa nguvu ya 1/2.

Wacha tuseme kibaguzi ni chini ya sifuri, basi d ni ya kufikiria na matokeo yake ni ya kufikiria.

D ni sifuri, kisha d sawa na D kwa nguvu ya 1/2 pia ni sifuri. Suluhisho: -j / (2 * i). Tena kwa kuzingatia 1 * w ^ 2 + 2 * w + 1 = 0, tunapata matokeo sawa na -2 / (2 * 1) = -1.

Tuseme D > 0, basi d ni nambari halisi, na jibu hapa linagawanyika katika sehemu mbili: w1 = (-j + d) / (2 * i) na w2 = (-j - d) / (2 * i) ). Matokeo yote mawili yatakuwa halali. Hebu tuangalie 2 * w ^ 2 - 3 * w + 1 = 0. Hapa kibaguzi na d ni moja. Inatokea kwamba w1 ni sawa na (3 + 1) imegawanywa na (2 * 2) au 1, na w2 ni sawa na (3 - 1) imegawanywa na 2 * 2 au 1/2.

Matokeo ya kusawazisha usemi wa quadratic hadi sifuri huhesabiwa kulingana na algorithm:

Uamuzi wa wingi ufumbuzi halali.
Hesabu d = D^(1/2).
Kupata matokeo kulingana na formula (-j +/- d) / (2 * i).
Kubadilisha matokeo yaliyopatikana kwa usawa wa asili kwa uthibitishaji.

Baadhi ya kesi maalum

Kulingana na mgawo, suluhisho linaweza kurahisishwa kwa kiasi fulani. Kwa wazi, ikiwa mgawo wa kutofautiana kwa nguvu ya pili ni sifuri, basi usawa wa mstari unapatikana. Wakati mgawo wa kutofautisha kwa nguvu ya kwanza ni sifuri, basi chaguzi mbili zinawezekana:

polynomial inapanuliwa katika tofauti ya mraba wakati neno la bure ni hasi;
kwa chanya mara kwa mara, hakuna masuluhisho ya kweli yanaweza kupatikana.

Ikiwa neno la bure ni sifuri, basi mizizi itakuwa (0; -j)

Lakini kuna kesi zingine maalum ambazo hurahisisha kupata suluhisho.

Ilipunguza mlinganyo wa shahada ya pili

Iliyopewa inaitwa vile quadratic trinomial, ambapo mgawo mbele ya neno linaloongoza ni moja. Kwa hali hii, nadharia ya Vieta inatumika, ambayo inasema kwamba jumla ya mizizi ni sawa na mgawo wa kutofautisha kwa nguvu ya kwanza, iliyozidishwa na -1, na bidhaa inalingana na "k" ya mara kwa mara.

Kwa hivyo, w1 + w2 ni sawa na -j na w1 * w2 ni sawa na k ikiwa mgawo wa kwanza ni mmoja. Ili kuthibitisha usahihi wa uwakilishi huu, unaweza kueleza w2 = -j - w1 kutoka kwa fomula ya kwanza na kuiweka katika usawa wa pili w1 * (-j - w1) = k. Matokeo yake ni usawa wa awali w1 ^ 2 + j * w1 + k = 0.

Ni muhimu kuzingatia, kwamba i * w ^ 2 + j * w + k = 0 inaweza kupatikana kwa kugawanya kwa "i". Matokeo yatakuwa: w^2 + j1 * w + k1 = 0, ambapo j1 ni sawa na j/i na k1 ni sawa na k/i.

Hebu tuangalie tayari kutatuliwa 2 * w^2 - 3 * w + 1 = 0 na matokeo w1 = 1 na w2 = 1/2. Tunahitaji kugawanya kwa nusu, kwa matokeo w ^ 2 - 3/2 * w + 1/2 = 0. Hebu tuangalie kwamba hali ya theorem ni kweli kwa matokeo yaliyopatikana: 1 + 1/2 = 3/ 2 na 1*1/2 = 1/2.

Hata sababu ya pili

Ikiwa kipengele cha kutofautisha kwa nguvu ya kwanza (j) kinaweza kugawanywa na 2, basi itawezekana kurahisisha formula na kutafuta suluhisho kwa njia ya robo ya kibaguzi D/4 = (j/2) ^ 2 - i * k. inageuka w = (-j +/- d/2) / i, ambapo d/2 = D/4 kwa nguvu ya 1/2.

Ikiwa i = 1, na mgawo j ni sawa, basi suluhisho litakuwa bidhaa ya -1 na nusu ya mgawo wa kutofautiana w, pamoja na / kuondoa mzizi wa mraba wa nusu hii ukiondoa "k" mara kwa mara. Mfumo: w = -j/2 +/- (j^2/4 - k)^1/2.

Utaratibu wa juu wa kibaguzi

Ubaguzi wa utatu wa shahada ya pili uliojadiliwa hapo juu ndio unaotumika sana kesi maalum. Katika hali ya jumla, ubaguzi wa polynomial ni miraba iliyozidishwa ya tofauti za mizizi ya polynomia hii. Kwa hiyo, ubaguzi sawa na sifuri inaonyesha uwepo wa angalau suluhisho mbili nyingi.

Fikiria i * w^3 + j * w^2 + k * w + m = 0.

D = j^2 * k^2 - 4 * i * k^3 - 4 * i^3 * k - 27 * i^2 * m^2 + 18 * i * j * k * m.

Tuseme kibaguzi kinazidi sifuri. Hii ina maana kwamba kuna mizizi mitatu katika eneo la idadi halisi. Kwa sifuri kuna suluhisho nyingi. Ikiwa D< 0, то два корня комплексно-сопряженные, которые дают maana hasi wakati squaring, na pia mzizi mmoja ni halisi.

Video

Video yetu itakuambia kwa undani kuhusu kuhesabu kibaguzi.

Hukupata jibu la swali lako? Pendekeza mada kwa waandishi.

Milinganyo ya quadratic inasomwa katika daraja la 8, kwa hivyo hakuna chochote ngumu hapa. Uwezo wa kuyatatua ni muhimu kabisa.

Mlinganyo wa quadratic ni equation ya fomu ax 2 + bx + c = 0, ambapo coefficients a, b na c ni. nambari za kiholela, na ≠ 0.

Kabla ya kusoma mbinu maalum suluhisho, kumbuka kuwa kila kitu milinganyo ya quadratic inaweza kugawanywa katika madarasa matatu:

Usiwe na mizizi;
Kuwa na mzizi mmoja;
Kuwa na mbili mizizi mbalimbali.

Hii ni tofauti muhimu kati ya equations za quadratic na zile za mstari, ambapo mzizi huwa daima na ni wa kipekee. Jinsi ya kuamua ni mizizi ngapi equation ina? Kuna jambo la ajabu kwa hili - kibaguzi.

Mbaguzi

Acha shoka la quadratic equation 2 + bx + c = 0. Kisha kibaguzi ni nambari D = b 2 - 4ac tu.

Unahitaji kujua formula hii kwa moyo. Inatoka wapi sio muhimu sasa. Jambo lingine ni muhimu: kwa ishara ya kibaguzi unaweza kuamua ni mizizi ngapi equation ya quadratic ina. Yaani:

Ikiwa D< 0, корней нет;
Ikiwa D = 0, kuna mzizi mmoja;
Ikiwa D> 0, kutakuwa na mizizi miwili.

Tafadhali kumbuka: kibaguzi kinaonyesha idadi ya mizizi, na sio ishara zao zote, kwani kwa sababu fulani watu wengi wanaamini. Angalia mifano na utaelewa kila kitu mwenyewe:

Kazi. Equations za quadratic zina mizizi ngapi:

x 2 - 8x + 12 = 0;

5x 2 + 3x + 7 = 0;

x 2 − 6x + 9 = 0.

Wacha tuandike coefficients ya equation ya kwanza na tupate kibaguzi:
a = 1, b = -8, c = 12;
D = (−8) 2 - 4 1 12 = 64 - 48 = 16

Kwa hivyo kibaguzi ni chanya, kwa hivyo equation ina mizizi miwili tofauti. Tunachambua equation ya pili kwa njia sawa:
a = 5; b = 3; c = 7;
D = 3 2 - 4 5 7 = 9 - 140 = -131.

Ubaguzi ni hasi, hakuna mizizi. Equation ya mwisho iliyobaki ni:
a = 1; b = -6; c = 9;
D = (−6) 2 - 4 1 9 = 36 - 36 = 0.

Kibaguzi ni sifuri - mzizi utakuwa mmoja.

Tafadhali kumbuka kuwa migawo imeandikwa kwa kila mlinganyo. Ndiyo, ni muda mrefu, ndiyo, ni wa kuchosha, lakini huwezi kuchanganya tabia mbaya na kufanya makosa ya kijinga. Chagua mwenyewe: kasi au ubora.

Kwa njia, ikiwa unapata hutegemea, baada ya muda hutahitaji kuandika coefficients zote. Utafanya shughuli kama hizo katika kichwa chako. Watu wengi huanza kufanya hivi mahali fulani baada ya hesabu 50-70 kutatuliwa - kwa ujumla, sio sana.

Mizizi ya equation ya quadratic

Sasa hebu tuendelee kwenye suluhisho lenyewe. Ikiwa kibaguzi D> 0, mizizi inaweza kupatikana kwa kutumia fomula:

Fomula ya msingi ya mizizi ya equation ya quadratic

Wakati D = 0, unaweza kutumia yoyote ya fomula hizi - utapata nambari sawa, ambayo itakuwa jibu. Hatimaye, ikiwa D< 0, корней нет — ничего считать не надо.

x 2 - 2x - 3 = 0;

15 - 2x - x 2 = 0;

x 2 + 12x + 36 = 0.

Mlingano wa kwanza:
x 2 - 2x - 3 = 0 ⇒ a = 1; b = -2; c = -3;
D = (−2) 2 − 4 1 (-3) = 16.

D > 0  mlingano una mizizi miwili. Hebu tutafute:

Mlinganyo wa pili:
15 − 2x − x 2 = 0 ⇒ a = -1; b = -2; c = 15;
D = (−2) 2 − 4 · (-1) · 15 = 64.

D > 0  mlingano tena una mizizi miwili. Hebu tutafute

\[\anza(align) & ((x)_(1))=\frac(2+\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \kulia))=-5; \\ & ((x)_(2))=\frac(2-\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \kulia))=3. \\ \mwisho(patanisha)\]

Hatimaye, equation ya tatu:
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
D = 12 2 - 4 1 36 = 0.

D = 0  mlingano una mzizi mmoja. Fomula yoyote inaweza kutumika. Kwa mfano, ya kwanza:

Kama unaweza kuona kutoka kwa mifano, kila kitu ni rahisi sana. Ikiwa unajua fomula na unaweza kuhesabu, hakutakuwa na matatizo. Mara nyingi, makosa hutokea wakati wa kubadilisha coefficients hasi kwenye fomula. Hapa tena, mbinu iliyoelezwa hapo juu itasaidia: angalia formula halisi, andika kila hatua - na hivi karibuni utaondoa makosa.

Milinganyo ya quadratic isiyo kamili

Inatokea kwamba equation ya quadratic ni tofauti kidogo na ile iliyotolewa katika ufafanuzi. Kwa mfano:

x 2 + 9x = 0;
x 2 − 16 = 0.

Ni rahisi kutambua kwamba milinganyo hii inakosa mojawapo ya istilahi. Milinganyo kama hiyo ya quadratic ni rahisi hata kusuluhisha kuliko ile ya kawaida: hauitaji hata kuhesabu kibaguzi. Kwa hivyo, wacha tuanzishe dhana mpya:

Ax ya equation 2 + bx + c = 0 inaitwa equation ya quadratic isiyo kamili ikiwa b = 0 au c = 0, i.e. mgawo wa variable x au kipengele bure ni sawa na sifuri.

Bila shaka, kesi ngumu sana inawezekana wakati coefficients hizi zote mbili ni sawa na sifuri: b = c = 0. Katika kesi hii, equation inachukua fomu ax 2 = 0. Ni wazi, equation vile ina mizizi moja: x. = 0.

Hebu fikiria kesi zilizobaki. Hebu b = 0, kisha tupate equation isiyo kamili ya quadratic ya fomu ax 2 + c = 0. Hebu tuibadilishe kidogo:

Tangu hesabu Kipeo ipo tu kutoka nambari isiyo hasi, usawa wa mwisho unaeleweka tu kwa (−c /a) ≥ 0. Hitimisho:

Ikiwa katika equation isiyo kamili ya quadratic ya fomu ax 2 + c = 0 usawa (-c / a) ≥ 0 imeridhika, kutakuwa na mizizi miwili. Fomula imetolewa hapo juu;
Ikiwa (−c /a)< 0, корней нет.

Kama unavyoona, ubaguzi haukuhitajika - katika hesabu za quadratic ambazo hazijakamilika hakuna. mahesabu magumu. Kwa kweli, si lazima hata kukumbuka usawa (-c / a) ≥ 0. Inatosha kueleza thamani x 2 na kuona ni nini upande wa pili wa ishara sawa. Ikiwa huko nambari chanya- kutakuwa na mizizi miwili. Ikiwa ni hasi, hakutakuwa na mizizi kabisa.

Sasa hebu tuangalie equations ya fomu ax 2 + bx = 0, ambayo kipengele cha bure ni sawa na sifuri. Kila kitu ni rahisi hapa: daima kutakuwa na mizizi miwili. Inatosha kuzingatia polynomial:

Kuondolewa kizidishi cha kawaida nje ya mabano

Bidhaa ni sifuri wakati angalau moja ya sababu ni sifuri. Hapa ndipo mizizi inatoka. Kwa kumalizia, wacha tuangalie baadhi ya milinganyo hii:

Kazi. Tatua milinganyo ya quadratic:

x 2 - 7x = 0;

5x 2 + 30 = 0;

4x 2 − 9 = 0.

x 2 - 7x = 0 ⇒ x · (x - 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x 2 = −(−7)/1 = 7.

5x 2 + 30 = 0 ⇒ 5x 2 = -30 ⇒ x 2 = -6. Hakuna mizizi, kwa sababu mraba hauwezi kuwa sawa na nambari hasi.

4x 2 - 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1.5; x 2 = -1.5.

Miongoni mwa kozi nzima mtaala wa shule Katika aljebra, moja ya mada pana zaidi ni mada ya milinganyo ya quadratic. Katika kesi hii, equation ya quadratic inaeleweka kama equation ya fomu ax 2 + bx + c = 0, ambapo a ≠ 0 (soma: iliyozidishwa na x mraba pamoja na be x pamoja na ce ni sawa na sifuri, ambapo a sio. sawa na sifuri). Katika kesi hii, nafasi kuu inachukuliwa na fomula za kupata kibaguzi cha equation ya quadratic. aina maalum, ambayo inaeleweka kama usemi unaokuruhusu kuamua uwepo au kutokuwepo kwa mizizi katika equation ya quadratic, pamoja na nambari yao (ikiwa ipo).

Mfumo (mlinganyo) wa kibaguzi wa mlinganyo wa roboduara

Fomula inayokubalika kwa ujumla ya kibaguzi cha mlinganyo wa quadratic inaonekana kama hii kwa njia ifuatayo: D = b 2 - 4ac. Kwa kuhesabu kibaguzi kwa kutumia formula maalum, huwezi kuamua tu uwepo na idadi ya mizizi ya equation ya quadratic, lakini pia kuchagua njia ya kupata mizizi hii, ambayo kuna kadhaa kulingana na aina ya equation ya quadratic.

Inamaanisha nini ikiwa kibaguzi ni sifuri \ Mfumo wa mizizi ya mlinganyo wa quadratic ikiwa kibaguzi ni sifuri

Ubaguzi, kama ifuatavyo kutoka kwa fomula, umeonyeshwa Barua ya Kilatini D. Katika kesi wakati kibaguzi ni sawa na sifuri, inapaswa kuhitimishwa kuwa equation ya quadratic ya fomu ax 2 + bx + c = 0, ambapo ≠ 0, ina mizizi moja tu, ambayo huhesabiwa kwa kutumia fomula iliyorahisishwa. . Formula hii inatumika tu wakati sifuri kibaguzi na inaonekana kama hii: x = -b/2a, ambapo x ni mzizi wa equation ya quadratic, b na a ni viambatisho sambamba vya mlingano wa quadratic. Ili kupata mzizi wa equation ya quadratic, unahitaji kugawanya thamani hasi ya kutofautiana b kwa mara mbili ya thamani ya kutofautiana a. Usemi unaotokana utakuwa suluhisho la mlinganyo wa quadratic.

Kutatua equation ya quadratic kwa kutumia kibaguzi

Ikiwa, wakati wa kuhesabu kibaguzi kwa kutumia formula hapo juu, inageuka thamani chanya(D ni kubwa kuliko sifuri), basi equation ya quadratic ina mizizi miwili, ambayo huhesabiwa kwa kutumia fomula zifuatazo: x 1 = (–b + vD)/2a, x 2 = (–b – vD)/2a. Mara nyingi, kibaguzi hakihesabiwi tofauti, lakini usemi mkali katika mfumo wa fomula ya kibaguzi hubadilishwa tu kuwa thamani D ambayo mzizi hutolewa. Ikiwa kutofautisha b kuna thamani sawa, basi kuhesabu mizizi ya equation ya quadratic ya fomu ax 2 + bx + c = 0, ambapo ≠ 0, unaweza pia kutumia. fomula zifuatazo: x 1 = (–k + v(k2 – ac))/a, x 2 = (–k + v(k2 – ac))/a, ambapo k = b/2.

Katika baadhi ya matukio kwa suluhisho la vitendo Kwa milinganyo ya quadratic, unaweza kutumia Nadharia ya Vieta, ambayo inasema kwamba kwa jumla ya mizizi ya equation ya quadratic ya fomu x 2 + px + q = 0, thamani x 1 + x 2 = -p itakuwa halali, na. kwa bidhaa ya mizizi ya equation maalum, usemi x 1 x x 2 = q.

Je, kibaguzi kinaweza kuwa chini ya sifuri?

Wakati wa kuhesabu thamani ya kibaguzi, unaweza kukutana na hali ambayo haiingii chini ya kesi yoyote iliyoelezwa - wakati kibaguzi kina thamani hasi (yaani, chini ya sifuri). Katika kesi hii, inakubalika kwa ujumla kuwa equation ya quadratic ya fomu ax 2 + bx + c = 0, ambapo ≠ 0, mizizi halisi haina, kwa hivyo, suluhisho lake litakuwa mdogo kwa kuhesabu kibaguzi, na fomula zilizo hapo juu za mizizi ya equation ya quadratic katika kwa kesi hii haitatumika. Wakati huo huo, katika jibu la equation ya quadratic imeandikwa kwamba "equation haina mizizi halisi."

Video ya ufafanuzi:

Equations za quadratic mara nyingi huonekana wakati wa suluhisho kazi mbalimbali fizikia na hisabati. Katika makala haya tutaangalia jinsi ya kutatua usawa huu kwa njia ya ulimwengu wote"kupitia mbaguzi". Mifano ya kutumia ujuzi uliopatikana pia hutolewa katika makala.

Tutazungumza juu ya equations gani?

Kielelezo hapa chini kinaonyesha fomula ambayo x ni tofauti isiyojulikana na wahusika wa Kilatini a, b, c inawakilisha nambari fulani zinazojulikana.

Kila moja ya alama hizi inaitwa mgawo. Kama unavyoona, nambari "a" inaonekana kabla ya mabadiliko ya x mraba. Hii kiwango cha juu kujieleza, kwa hivyo inaitwa equation ya quadratic. Jina lake lingine hutumiwa mara nyingi: equation ya mpangilio wa pili. Thamani ya yenyewe ni mgawo wa mraba(imesimama kwenye kigezo cha mraba), b ni mgawo wa mstari(iko karibu na variable iliyoinuliwa kwa nguvu ya kwanza), hatimaye, nambari c ni neno la bure.

Kumbuka kwamba fomu ya equation iliyoonyeshwa kwenye takwimu hapo juu ni classical ya jumla usemi wa quadratic. Kwa kuongezea, kuna milinganyo mingine ya mpangilio wa pili ambayo mgawo b na c inaweza kuwa sifuri.

Wakati kazi imewekwa kusuluhisha usawa unaohusika, hii inamaanisha kuwa maadili kama haya ya mabadiliko x yanahitaji kupatikana ambayo yanaweza kukidhi. Jambo la kwanza unahitaji kukumbuka hapa ni jambo linalofuata: kwa kuwa nguvu ya juu ya X ni 2, basi aina hii misemo haiwezi kuwa na suluhu zaidi ya 2. Hii inamaanisha kwamba ikiwa, wakati wa kusuluhisha equation, maadili 2 ya x yalipatikana ambayo yanakidhi, basi unaweza kuwa na uhakika kuwa hakuna nambari ya 3, ukiibadilisha kwa x, usawa pia utakuwa wa kweli. Suluhisho la equation katika hisabati huitwa mizizi yake.

Njia za kutatua milinganyo ya mpangilio wa pili

Kutatua milinganyo ya aina hii inahitaji ujuzi wa nadharia fulani juu yao. Katika kozi ya aljebra ya shule wanazingatia 4 mbinu mbalimbali ufumbuzi. Hebu tuorodheshe:

kutumia factorization;
kutumia formula kwa mraba kamili;
kwa kutumia grafu ya kazi inayolingana ya quadratic;
kwa kutumia mlinganyo wa kibaguzi.

Faida ya njia ya kwanza ni unyenyekevu wake, hata hivyo, haiwezi kutumika kwa milinganyo yote. Njia ya pili ni ya ulimwengu wote, lakini ni ngumu sana. Njia ya tatu inatofautishwa na uwazi wake, lakini sio rahisi kila wakati na inatumika. Na mwishowe, kutumia mlinganyo wa kibaguzi ni njia ya ulimwengu wote na rahisi kupata mizizi ya mlingano wowote wa mpangilio wa pili. Kwa hiyo, katika makala hii tutazingatia tu.

Mfumo wa kupata mizizi ya equation

Hebu tugeukie muonekano wa jumla mlinganyo wa quadratic. Hebu tuandike: a*x²+ b*x + c =0. Kabla ya kutumia njia ya kutatua "kwa njia ya kibaguzi," unapaswa daima kuleta usawa kwa fomu yake ya maandishi. Hiyo ni, lazima iwe na maneno matatu (au chini ikiwa b au c ni 0).

Kwa mfano, ikiwa kuna usemi: x²-9*x+8 = -5*x+7*x², basi unapaswa kwanza kuhamisha masharti yake yote kwa upande mmoja wa usawa na kuongeza masharti yaliyo na kutofautisha x katika nguvu sawa.

Katika kesi hii, operesheni hii itasababisha usemi ufuatao: -6*x²-4*x+8=0, ambayo ni sawa na equation 6*x²+4*x-8=0 (hapa tulizidisha kushoto na pande za kulia za usawa kwa -1) .

Katika mfano hapo juu, a = 6, b=4, c=-8. Kumbuka kuwa masharti yote ya usawa yanayozingatiwa yanafupishwa kila wakati, kwa hivyo ikiwa ishara "-" inaonekana, hii inamaanisha kuwa mgawo unaolingana ni hasi, kama nambari c katika kesi hii.

Baada ya kuchunguza jambo hili, hebu sasa tuendelee kwenye formula yenyewe, ambayo inafanya uwezekano wa kupata mizizi ya equation ya quadratic. Inaonekana kama ile iliyoonyeshwa kwenye picha hapa chini.

Kama inavyoonekana kutoka kwa usemi huu, hukuruhusu kupata mizizi miwili (makini na ishara "±"). Ili kufanya hivyo, inatosha kuchukua nafasi ya coefficients b, c, na a ndani yake.

Dhana ya ubaguzi

KATIKA aya iliyotangulia fomula ilitolewa ambayo hukuruhusu kutatua haraka usawa wowote wa mpangilio wa pili. Ndani yake, usemi mkali unaitwa ubaguzi, yaani, D = b²-4*a*c.

Kwa nini sehemu hii ya fomula imeangaziwa, na hata ina jina sahihi? Ukweli ni kwamba kibaguzi huunganisha coefficients zote tatu za equation katika usemi mmoja. Ukweli wa mwisho inamaanisha kuwa hubeba habari kamili juu ya mizizi, ambayo inaweza kuonyeshwa kwenye orodha ifuatayo:

D>0: usawa una 2 ufumbuzi mbalimbali, zote mbili ambazo ni nambari halisi.
D=0: Mlinganyo una mzizi mmoja tu, na ni nambari halisi.

Kazi ya uamuzi wa kibaguzi

Hebu tutoe mfano rahisi wa jinsi ya kupata mbaguzi. Acha usawa ufuatao utolewe: 2*x² - 4+5*x-9*x² = 3*x-5*x²+7.

Hebu tuletee mtazamo wa kawaida, tunapata: (2*x²-9*x²+5*x²) + (5*x-3*x) + (- 4-7) = 0, ambayo tunafikia usawa: -2*x²+ 2*x- 11 = 0. Hapa a=-2, b=2, c=-11.

Sasa unaweza kutumia fomula iliyo hapo juu kwa kibaguzi: D = 2² - 4*(-2)*(-11) = -84. Nambari inayotokana ni jibu la kazi. Kwa kuwa kibaguzi katika mfano ni chini ya sifuri, tunaweza kusema kwamba equation hii ya quadratic haina mizizi halisi. Suluhisho lake litakuwa nambari tu za aina ngumu.

Mfano wa kukosekana kwa usawa kupitia kwa mbaguzi

Hebu tutatue matatizo ya aina tofauti kidogo: kutokana na usawa -3*x²-6*x+c = 0. Ni muhimu kupata maadili ya c ambayo D>0.

Katika kesi hii, coefficients 2 tu kati ya 3 hujulikana, hivyo haiwezekani kuhesabu thamani halisi ya kibaguzi, lakini inajulikana kuwa ni chanya. Tunatumia ukweli wa mwisho tunapotunga ukosefu wa usawa: D= (-6)²-4*(-3)*c>0 => 36+12*c>0. Kutatua usawa unaosababishwa husababisha matokeo: c> -3.

Wacha tuangalie nambari inayosababisha. Ili kufanya hivyo, tunahesabu D kwa kesi 2: c=-2 na c=-4. Nambari -2 inakidhi matokeo yaliyopatikana (-2> -3), kibaguzi kinacholingana kitakuwa na thamani: D = 12>0. Kwa upande mwingine, nambari -4 haikidhi usawa (-4. Kwa hivyo, nambari yoyote c ambayo ni kubwa kuliko -3 itakidhi hali hiyo.

Mfano wa kutatua equation

Hebu tuwasilishe tatizo ambalo linahusisha sio tu kupata kibaguzi, lakini pia kutatua equation. Inahitajika kupata mizizi ya usawa -2*x²+7-9*x = 0.

Katika mfano huu, kibaguzi ni sawa na thamani ifuatayo: D = 81-4*(-2)*7= 137. Kisha mizizi ya equation imedhamiriwa kama ifuatavyo: x = (9±√137)/(- 4). Hii maadili halisi mizizi, ukihesabu mzizi takriban, basi unapata nambari: x = -5.176 na x = 0.676.

Tatizo la kijiometri

Tutatua tatizo ambalo litahitaji si tu uwezo wa kuhesabu kibaguzi, lakini pia matumizi ya ujuzi kufikiri dhahania na ujuzi wa jinsi ya kuandika milinganyo ya quadratic.

Bob alikuwa na duvet ya mita 5 x 4. Mvulana alitaka kushona karibu na mzunguko mzima strip inayoendelea kutoka kitambaa nzuri. Ukanda huu utakuwa nene kiasi gani ikiwa tunajua kwamba Bob ana mita 10 ya kitambaa.

Acha kamba iwe na unene wa x m, basi eneo la kitambaa kando ya blanketi litakuwa (5+2*x)*x, na kwa kuwa kuna pande 2 ndefu, tunayo: 2*x. *(5+2*x). Kwa upande mfupi, eneo la kitambaa kilichoshonwa kitakuwa 4 * x, kwa kuwa kuna 2 ya pande hizi, tunapata thamani 8 * x. Kumbuka kuwa thamani 2*x iliongezwa kwa upande mrefu kwa sababu urefu wa blanketi uliongezeka kwa nambari hiyo. Jumla ya eneo la kitambaa kilichoshonwa kwenye blanketi ni 10 m². Kwa hiyo, tunapata usawa: 2*x*(5+2*x) + 8*x = 10 => 4*x²+18*x-10 = 0.

Kwa mfano huu, kibaguzi ni sawa na: D = 18²-4*4*(-10) = 484. Mzizi wake ni 22. Kwa kutumia formula, tunapata mizizi inayohitajika: x = (-18±22)/( 2*4) = (- 5; 0.5). Kwa wazi, kati ya mizizi miwili, nambari 0.5 tu inafaa kulingana na hali ya shida.

Kwa hivyo, kipande cha kitambaa ambacho Bob hushona kwenye blanketi yake kitakuwa na upana wa 50 cm.