Arcsine ni nini, arccosine? arctangent ni nini, arccotangent?
Makini!
Kuna ziada
nyenzo katika Sehemu Maalum ya 555.
Kwa wale ambao "sio sana ..."
Na kwa wale ambao "sana ...")
Kwa dhana arcsine, arccosine, arctangent, arccotangent Idadi ya wanafunzi ni waangalifu. Yeye haelewi maneno haya na, kwa hiyo, haamini familia hii nzuri.) Lakini bure. Hizi ni dhana rahisi sana. Ambayo, kwa njia, hufanya maisha iwe rahisi sana kwa mtu mwenye ujuzi wakati wa kutatua hesabu za trigonometric!
Mashaka juu ya unyenyekevu? Kwa bure.) Hapa na sasa utaona hili.
Kwa kweli, kwa kuelewa, itakuwa nzuri kujua nini sine, cosine, tangent na cotangent ni. Ndio, maadili yao ya jedwali kwa pembe zingine ... Angalau kwa maneno ya jumla zaidi. Kisha hakutakuwa na matatizo hapa pia.
Kwa hivyo, tunashangaa, lakini kumbuka: arcsine, arccosine, arctangent na arccotangent ni baadhi tu ya pembe. Hakuna zaidi, si chini. Kuna pembe, sema 30 °. Na kuna kona arcsin0.4. Au arctg(-1.3). Kuna kila aina ya pembe.) Unaweza tu kuandika pembe kwa njia tofauti. Unaweza kuandika pembe kwa digrii au radians. Au unaweza - kupitia sine, cosine, tangent na cotangent ...
Usemi huo unamaanisha nini
arcsin 0.4?
Hii ni pembe ambayo sine ni 0.4! Ndiyo ndiyo. Hii ndio maana ya arcsine. Nitarudia haswa: arcsin 0.4 ni pembe ambayo sine ni sawa na 0.4.
Ni hayo tu.
Ili kuweka wazo hili rahisi kichwani mwako kwa muda mrefu, nitatoa hata muhtasari wa neno hili mbaya - arcsine:
arc dhambi 0,4
kona, sine ya ambayo sawa na 0.4
Kama ilivyoandikwa, ndivyo inavyosikika.) Karibu. Console arc maana yake arc(neno upinde unajua?), kwa sababu watu wa zamani walitumia arcs badala ya pembe, lakini hii haibadilishi kiini cha jambo hilo. Kumbuka utunzi huu wa kimsingi wa neno la hisabati! Aidha, kwa arccosine, arctangent na arccotangent, decoding hutofautiana tu kwa jina la kazi.
Arccos 0.8 ni nini?
Hii ni pembe ambayo kosini yake ni 0.8.
arctg(-1,3) ni nini?
Hii ni pembe ambayo tangent yake ni -1.3.
Arcctg 12 ni nini?
Hii ni pembe ambayo cotangent yake ni 12.
Usambuaji kama huo wa kimsingi huruhusu, kwa njia, kuzuia makosa makubwa.) Kwa mfano, usemi arccos1,8 unaonekana kuheshimika. Wacha tuanze kusimbua: arccos1.8 ni pembe ambayo kosini ni sawa na 1.8... Rukia-ruka!? 1.8! Cosine haiwezi kuwa kubwa kuliko moja!!!
Haki. Usemi arccos1,8 hauna maana. Na kuandika usemi kama huo katika jibu fulani kutamfurahisha sana mhakiki.)
Cha msingi, kama unavyoona.) Kila pembe ina sine na kosine yake ya kibinafsi. Na karibu kila mtu ana tangent yao wenyewe na cotangent. Kwa hiyo, kwa kujua kazi ya trigonometric, tunaweza kuandika angle yenyewe. Hivi ndivyo arcsines, arccosines, arctangents na arccotangents zimekusudiwa. Kuanzia sasa nitaita familia hii yote kwa jina duni - matao. Ili kuandika kidogo.)
Makini! Maneno ya msingi na Fahamu matao ya kufafanua hukuruhusu kutatua kwa utulivu na kwa ujasiri kazi anuwai. Na katika isiyo ya kawaida Ni yeye pekee anayeokoa kazi.
Inawezekana kubadili kutoka kwa arcs hadi digrii za kawaida au radians?- Ninasikia swali la tahadhari.)
Kwa nini isiwe hivyo!? Kwa urahisi. Unaweza kwenda huko na kurudi. Aidha, wakati mwingine hii lazima ifanyike. Arches ni jambo rahisi, lakini kwa namna fulani ni shwari bila wao, sawa?)
Kwa mfano: arcsin 0.5 ni nini?
Hebu tukumbuke kusimbua: arcsin 0.5 ni pembe ambayo sine ni 0.5. Sasa washa kichwa chako (au Google)) na ukumbuke ni pembe gani iliyo na sine ya 0.5? Sine ni sawa na 0.5 y Pembe ya digrii 30. Ni hayo tu: arcsin 0.5 ni pembe ya 30 °. Unaweza kuandika kwa usalama:
arcsin 0.5 = 30 °
Au, rasmi zaidi, kwa suala la radians:
Hiyo ndiyo yote, unaweza kusahau kuhusu arcsine na kuendelea kufanya kazi na digrii za kawaida au radians.
Ikiwa ulitambua arcsine, arccosine ni nini... arctangent ni nini, arctangent... Unaweza kushughulika kwa urahisi, kwa mfano, mnyama kama huyo.)
Mtu asiyejua atarudi nyuma kwa hofu, ndiyo ...) Lakini mtu mwenye ujuzi kumbuka kusimbua: arcsine ni pembe ambayo sine ... Na kadhalika. Ikiwa mtu mwenye ujuzi pia anajua meza ya sines ... Jedwali la cosines. Jedwali la tangents na cotangents, basi hakuna matatizo wakati wote!
Inatosha kutambua kwamba:
Nitaifafanua, i.e. Acha nitafsiri fomula kwa maneno: pembe ambayo tanjiti yake ni 1 (arctg1)- hii ni angle ya 45 °. Au, ambayo ni sawa, Pi/4. Vile vile:
na ndivyo ... Tunabadilisha matao yote na maadili katika radians, kila kitu kimepunguzwa, kilichobaki ni kuhesabu ni kiasi gani 1+1 ni. Itakuwa 2.) Ambayo ni jibu sahihi.
Hivi ndivyo unavyoweza (na unapaswa) kuhama kutoka arcsines, arccosines, arctangents na arccotangents hadi digrii za kawaida na radians. Hii hurahisisha sana mifano ya kutisha!
Mara nyingi, katika mifano hiyo, ndani ya matao kuna hasi maana. Kama, arctg(-1.3), au, kwa mfano, arccos(-0.8)... Hili si tatizo. Hapa kuna fomula rahisi za kuhama kutoka kwa maadili hasi hadi chanya:
Unahitaji, sema, kuamua thamani ya usemi:
Hili linaweza kutatuliwa kwa kutumia mduara wa trigonometric, lakini hutaki kuchora. Naam, sawa. Tunahama kutoka hasi maadili ndani ya arc cosine ya k chanya kulingana na formula ya pili:
Ndani ya arc cosine upande wa kulia iko tayari chanya maana. Nini
lazima ujue tu. Kilichobaki ni kubadilisha radians badala ya arc cosine na kuhesabu jibu:
Ni hayo tu.
Vikwazo vya arcsine, arccosine, arctangent, arccotangent.
Je, kuna tatizo na mifano 7 - 9? Kweli, ndio, kuna ujanja fulani hapo.)
Mifano hii yote, kutoka 1 hadi 9, inachambuliwa kwa makini katika Sehemu ya 555. Nini, jinsi gani na kwa nini. Pamoja na mitego yote ya siri na hila. Pamoja na njia za kurahisisha suluhisho. Kwa njia, sehemu hii ina habari nyingi muhimu na vidokezo vya vitendo juu ya trigonometry kwa ujumla. Na si tu katika trigonometry. Inasaidia sana.
Ikiwa unapenda tovuti hii ...
Kwa njia, nina tovuti kadhaa za kupendeza kwako.)
Unaweza kufanya mazoezi ya kutatua mifano na kujua kiwango chako. Inajaribu kwa uthibitishaji wa papo hapo. Wacha tujifunze - kwa hamu!)
Unaweza kufahamiana na kazi na derivatives.
Kazi za sin, cos, tg na ctg daima huambatana na arcsine, arccosine, arctangent na arccotangent. Moja ni tokeo la nyingine, na jozi za chaguo za kukokotoa ni muhimu kwa kufanya kazi na usemi wa trigonometric.
Fikiria mchoro wa mduara wa kitengo, ambao unaonyesha maadili ya kazi za trigonometric.
Tukikokotoa arcs OA, arcos OC, arcctg DE na arcctg MK, basi zote zitakuwa sawa na thamani ya pembe α. Fomula zilizo hapa chini zinaonyesha uhusiano kati ya vitendakazi vya msingi vya trigonometric na safu zao zinazolingana.
Ili kuelewa zaidi juu ya mali ya arcsine, ni muhimu kuzingatia kazi yake. Ratiba ina umbo la curve asymmetric inayopita katikati ya kuratibu.
Tabia za arcsine:
Ikiwa tunalinganisha grafu dhambi Na arcsin, kazi mbili za trigonometric zinaweza kuwa na mifumo ya kawaida.
arc cosine
Arccos ya nambari ni thamani ya pembe α, cosine ambayo ni sawa na a.
Mviringo y = arcos x huakisi grafu ya arcsin x, tofauti pekee ikiwa ni kwamba inapitia nukta π/2 kwenye mhimili wa OY.
Wacha tuangalie kazi ya arc cosine kwa undani zaidi:
- Kazi hufafanuliwa kwa muda [-1; 1].
- ODZ kwa arccos - .
- Grafu iko kabisa katika robo ya kwanza na ya pili, na kazi yenyewe sio hata au isiyo ya kawaida.
- Y = 0 kwa x = 1.
- Curve hupungua kwa urefu wake wote. Baadhi ya sifa za arc cosine zinapatana na kazi ya kosine.
Baadhi ya sifa za arc cosine zinapatana na kazi ya kosine.
Labda watoto wa shule watapata uchunguzi kama huo "wa kina" wa "matao" sio lazima. Walakini, vinginevyo, kazi zingine za mitihani ya msingi zinaweza kuwaongoza wanafunzi kwenye mwisho mbaya.
Zoezi 1. Onyesha kazi zilizoonyeshwa kwenye takwimu.
Jibu: mchele. 1 - 4, Kielelezo 2 - 1.
Katika mfano huu, mkazo ni juu ya vitu vidogo. Kwa kawaida, wanafunzi hawana makini sana na ujenzi wa grafu na kuonekana kwa kazi. Kwa kweli, kwa nini kumbuka aina ya curve ikiwa inaweza kupangwa kila wakati kwa kutumia alama zilizohesabiwa. Usisahau kwamba chini ya hali ya mtihani, muda uliotumika kwenye kuchora kwa kazi rahisi utahitajika kutatua kazi ngumu zaidi.
Arctangent
Arctg nambari a ni thamani ya pembe α kiasi kwamba tanjenti yake ni sawa na a.
Ikiwa tutazingatia grafu ya arctangent, tunaweza kuonyesha sifa zifuatazo:
- Grafu haina kikomo na imefafanuliwa kwa muda (- ∞; + ∞).
- Arctangent ni kazi isiyo ya kawaida, kwa hiyo, arctan (- x) = - arctan x.
- Y = 0 kwa x = 0.
- Mviringo huongezeka katika safu nzima ya ufafanuzi.
Wacha tuwasilishe uchambuzi mfupi wa kulinganisha wa tg x na arctg x katika mfumo wa jedwali.
Arccotangent
Arcctg ya nambari - inachukua thamani α kutoka kwa muda (0; π) hivi kwamba cotangent yake ni sawa na a.
Sifa za kazi ya arc cotangent:
- Muda wa ufafanuzi wa chaguo za kukokotoa ni usio na mwisho.
- Aina mbalimbali za maadili zinazokubalika ni muda (0; π).
- F(x) sio sawa na isiyo ya kawaida.
- Kwa urefu wake wote, grafu ya kazi inapungua.
Ni rahisi sana kulinganisha ctg x na arctg x; unahitaji tu kufanya michoro mbili na kuelezea tabia ya curves.
Jukumu la 2. Linganisha grafu na fomu ya nukuu ya chaguo la kukokotoa.
Ikiwa tunafikiri kimantiki, ni wazi kutoka kwa grafu kwamba kazi zote mbili zinaongezeka. Kwa hiyo, takwimu zote mbili zinaonyesha kazi fulani ya arctan. Kutoka kwa mali ya arctangent inajulikana kuwa y=0 kwa x = 0,
Jibu: mchele. 1 - 1, mtini. 2 - 4.
Vitambulisho vya Trigonometric arcsin, arcos, arctg na arcctg
Hapo awali, tayari tumetambua uhusiano kati ya matao na kazi za msingi za trigonometry. Utegemezi huu unaweza kuonyeshwa kwa idadi ya fomula zinazoruhusu mtu kueleza, kwa mfano, sine ya hoja kupitia arcsine yake, arccosine, au kinyume chake. Ujuzi wa vitambulisho vile unaweza kuwa muhimu wakati wa kutatua mifano maalum.
Pia kuna uhusiano wa arcctg na arcctg:
Jozi nyingine muhimu ya fomula huweka thamani ya jumla ya arcsin na arcos, pamoja na arcctg na arcctg ya pembe sawa.
Mifano ya kutatua matatizo
Kazi za trigonometry zinaweza kugawanywa katika vikundi vinne: kuhesabu thamani ya nambari ya usemi maalum, jenga grafu ya kazi fulani, pata uwanja wake wa ufafanuzi au ODZ na ufanyie mabadiliko ya uchambuzi ili kutatua mfano.
Wakati wa kutatua aina ya kwanza ya shida, lazima uzingatie mpango wa hatua ufuatao:
Wakati wa kufanya kazi na grafu za kazi, jambo kuu ni ujuzi wa mali zao na kuonekana kwa curve. Kutatua milinganyo ya trigonometric na ukosefu wa usawa kunahitaji majedwali ya utambulisho. Kadiri mwanafunzi anavyokumbuka fomula, ndivyo inavyokuwa rahisi kupata jibu la kazi hiyo.
Wacha tuseme katika Mtihani wa Jimbo Iliyounganishwa unahitaji kupata jibu la mlinganyo kama:
Ikiwa unabadilisha kwa usahihi usemi na kuleta kwa fomu inayotakiwa, basi kutatua ni rahisi sana na haraka. Kwanza, hebu tusogeze arcsin x kwa upande wa kulia wa usawa.
Ikiwa unakumbuka formula arcsin (dhambi α) = α, basi tunaweza kupunguza utaftaji wa majibu ya kutatua mfumo wa milinganyo miwili:
Kizuizi cha mfano x kiliibuka, tena kutoka kwa mali ya arcsin: ODZ kwa x [-1; 1]. Wakati ≠0, sehemu ya mfumo ni equation ya quadratic na mizizi x1 = 1 na x2 = - 1/a. Wakati a = 0, x itakuwa sawa na 1.
Somo na uwasilishaji juu ya mada: "Arcsine. Jedwali la arcsines. Mfumo y=arcsin(x)"
Nyenzo za ziada
Watumiaji wapendwa, usisahau kuacha maoni yako, hakiki, matakwa! Nyenzo zote zimeangaliwa na programu ya kupambana na virusi.
Miongozo na viigizaji katika duka la mtandaoni la Integral kwa daraja la 10 kutoka 1C
Mazingira ya programu "1C: Mjenzi wa Hisabati 6.1"
Kutatua matatizo katika jiometri. Kazi zinazoingiliana za kujenga katika nafasi
Tutajifunza nini:
1. Arcsine ni nini?
2. Nukuu ya arcsine.
3. Historia kidogo.
4. Ufafanuzi.
6. Mifano.
arcsine ni nini?
Jamani, tayari tumejifunza jinsi ya kutatua milinganyo ya cosine, hebu sasa tujifunze jinsi ya kutatua milinganyo sawa ya sine. Zingatia dhambi(x)= √3/2. Ili kutatua mlingano huu, unahitaji kuunda mstari wa moja kwa moja y= √3/2 na uone ni katika pointi gani inaingilia mduara wa nambari. Inaweza kuonekana kuwa mstari wa moja kwa moja unaingilia mduara kwa pointi mbili F na G. Pointi hizi zitakuwa suluhisho la equation yetu. Wacha tutengeneze upya F kama x1, na G kama x2. Tayari tumepata suluhisho la mlingano huu na tukapata: x1= π/3 + 2πk,
na x2= 2π/3 + 2πk.
Kutatua equation hii ni rahisi sana, lakini jinsi ya kutatua, kwa mfano, equation
dhambi(x)= 5/6. Ni wazi, equation hii pia itakuwa na mizizi miwili, lakini ni maadili gani yatalingana na suluhisho kwenye mduara wa nambari? Wacha tuangalie kwa karibu equation yetu sin(x)= 5/6.
Suluhisho la equation yetu itakuwa pointi mbili: F= x1 + 2πk na G= x2++2πk,
ambapo x1 ni urefu wa arc AF, x2 ni urefu wa arc AG.
Kumbuka: x2= π - x1, kwa sababu AF= AC - FC, lakini FC= AG, AF= AC - AG= π - x1.
Lakini pointi hizi ni nini?
Wanakabiliwa na hali kama hiyo, wanahisabati walikuja na ishara mpya - arcsin(x). Soma kama arcsine.
Kisha suluhisho la equation yetu litaandikwa kama ifuatavyo: x1= arcsin(5/6), x2= π -arcsin(5/6).
Na suluhisho kwa fomu ya jumla: x= arcsin(5/6) + 2πk na x= π - arcsin(5/6) + 2πk.
Arcsine ni pembe (urefu wa arc AF, AG) sine, ambayo ni sawa na 5/6.
Historia kidogo ya arcsine
_3.jpg)
Historia ya asili ya ishara yetu ni sawa na ile ya arccos. Alama ya arcsin inaonekana kwanza katika kazi za mwanahisabati Scherfer na mwanasayansi maarufu wa Ufaransa J.L. Lagrange. Hapo awali, wazo la arcsine lilizingatiwa na D. Bernouli, ingawa aliandika kwa alama tofauti.
Alama hizi zilikubaliwa kwa ujumla tu mwishoni mwa karne ya 18. Kiambishi awali "arc" kinatokana na Kilatini "arcus" (upinde, arc). Hii inaendana kabisa na maana ya dhana: arcsin x ni pembe (au mtu anaweza kusema arc) ambayo sine ni sawa na x.
Ufafanuzi wa arcsine
Ikiwa |a|≤ 1, basi arcsin(a) ni nambari kutoka kwa sehemu [- π/2; π/2], ambayo sine ni sawa na a.
_2.jpg)
Ikiwa |a|≤ 1, basi equation sin(x)= a ina suluhisho: x= arcsin(a) + 2πk na
x= π - arcsin(a) + 2πk
_3.jpg)
Hebu tuandike upya:
x= π - arcsin(a) + 2πk = -arcsin(a) + π(1 + 2k).
Jamani, angalieni kwa makini masuluhisho yetu mawili. Unafikiria nini: zinaweza kuandikwa kwa kutumia fomula ya jumla? Kumbuka kwamba ikiwa kuna ishara ya kujumlisha mbele ya arcsine, basi π inazidishwa na nambari ya 2πk, na ikiwa kuna ishara ya minus, basi kizidishi ni 2k+1 isiyo ya kawaida.
Kwa kuzingatia hili, tunaandika fomula ya jumla ya kutatua equation sin(x)=a: _4.jpg)
Kuna matukio matatu ambayo ni vyema kuandika ufumbuzi kwa njia rahisi:
dhambi(x)=0, kisha x= πk,
sin(x)=1, kisha x= π/2 + 2πk,
sin(x)=-1, kisha x= -π/2 + 2πk.
Kwa yoyote -1 ≤ a ≤ 1 usawa unashikilia: arcsin(-a)=-arcsin(a).
_5.jpg)
Wacha tuandike jedwali la maadili ya cosine kinyume chake na tupate jedwali la arcsine.
Mifano
1. Kokotoa: arcsin(√3/2).
Suluhisho: Acha arcsin(√3/2)= x, kisha dhambi(x)= √3/2. Kwa ufafanuzi: - π/2 ≤x≤ π/2. Wacha tuangalie maadili ya sine kwenye jedwali: x= π/3, kwa sababu dhambi(π/3)= √3/2 na –π/2 ≤ π/3 ≤ π/2.
Jibu: arcsin(√3/2)= π/3.
2. Hesabu: arcsin(-1/2).
Suluhisho: Acha arcsin(-1/2)= x, kisha sin(x)= -1/2. Kwa ufafanuzi: - π/2 ≤x≤ π/2. Wacha tuangalie maadili ya sine kwenye jedwali: x= -π/6, kwa sababu sin(-π/6)= -1/2 na -π/2 ≤-π/6≤ π/2.
Jibu: arcsin(-1/2)=-π/6.
3. Hesabu: arcsin (0).
Suluhisho: Acha arcsin(0)= x, kisha sin(x)= 0. Kwa ufafanuzi: - π/2 ≤x≤ π/2. Wacha tuangalie maadili ya sine kwenye jedwali: inamaanisha x= 0, kwa sababu dhambi(0)= 0 na - π/2 ≤ 0 ≤ π/2. Jibu: arcsin(0)=0.
4. Tatua mlingano: dhambi(x) = -√2/2.
x= arcsin(-√2/2) + 2πk na x= π - arcsin(-√2/2) + 2πk.
Hebu tuangalie thamani katika jedwali: arcsin (-√2/2)= -π/4.
Jibu: x= -π/4 + 2πk na x= 5π/4 + 2πk.
5. Tatua mlingano: sin(x) = 0.
Suluhisho: Wacha tutumie ufafanuzi, basi suluhisho litaandikwa kwa fomu:
x= arcsin(0) + 2πk na x= π - arcsin(0) + 2πk. Wacha tuangalie thamani kwenye jedwali: arcsin(0)= 0.
Jibu: x= 2πk na x= π + 2πk
6. Tatua mlingano: dhambi(x) = 3/5.
Suluhisho: Wacha tutumie ufafanuzi, basi suluhisho litaandikwa kwa fomu:
x= arcsin(3/5) + 2πk na x= π - arcsin(3/5) + 2πk.
Jibu: x= (-1) n - arcsin(3/5) + πk.
7. Tatua kukosekana kwa usawa sin(x) Suluhisho: Sine ni mratibu wa nukta kwenye duara la nambari. Hii inamaanisha: tunahitaji kupata alama ambazo mpangilio wake ni chini ya 0.7. Hebu tuchore mstari ulionyooka y=0.7. Inaingilia mduara wa nambari kwa pointi mbili. Kutokuwa na usawa y Kisha suluhu la ukosefu wa usawa litakuwa: -π – arcsin(0.7) + 2πk _7.jpg)
Shida za arcsine kwa suluhisho la kujitegemea
1) Kokotoa: a) arcsin(√2/2), b) arcsin(1/2), c) arcsin(1), d) arcsin(-0.8).2) Tatua mlingano: a) dhambi(x) = 1/2, b) dhambi(x) = 1, c) dhambi(x) = √3/2, d) dhambi(x) = 0.25,
e) dhambi(x) = -1.2.
3) Tatua ukosefu wa usawa: a) dhambi (x)> 0.6, b) dhambi (x)≤ 1/2.
Arcsine (y = arcsin x)
ni kitendakazi kinyume cha sine (x = dhambi -1 ≤ x ≤ 1 na seti ya maadili -π /2 ≤y ≤ π/2.
dhambi(arcsin x) = x
arcsin(dhambi x) = x
Arcsine wakati mwingine huonyeshwa kama ifuatavyo:
.
Grafu ya kazi ya arcsine
Grafu ya kazi y = arcsin x
Grafu ya arcsine hupatikana kutoka kwa grafu ya sine ikiwa abscissa na axes za kuratibu zimebadilishwa. Ili kuondoa utata, anuwai ya maadili ni mdogo kwa muda ambao kazi ni monotonic. Ufafanuzi huu unaitwa thamani kuu ya arcsine.
Arccosine, arccos
Arc cosine (y = arccos x)
ni kazi kinyume cha kosine (x = kwani y) Ina upeo -1 ≤ x ≤ 1 na maana nyingi 0 ≤ y ≤ π.
cos(arccos x) = x
arccos(cos x) = x
Arccosine wakati mwingine huonyeshwa kama ifuatavyo:
.
Grafu ya kazi ya arc cosine
Grafu ya kazi y = arccos x
Grafu ya arc cosine hupatikana kutoka kwa grafu ya cosine ikiwa abscissa na axes za kuratibu zimebadilishwa. Ili kuondoa utata, anuwai ya maadili ni mdogo kwa muda ambao kazi ni monotonic. Ufafanuzi huu unaitwa thamani kuu ya arc cosine.
Usawa
Kazi ya arcsine ni isiyo ya kawaida:
arcsin(- x) = arcsin(-sin arcsin x) = arcsin(dhambi(-arcsin x)) = - arcsin x
Utendakazi wa arc cosine sio sawa au isiyo ya kawaida:
arccos(- x) = arccos(-cos arccos x) = arccos(cos(π-arccos x)) = π - arccos x ≠ ± arccos x
Mali - uliokithiri, ongezeko, kupungua
Kazi za arcsine na arccosine zinaendelea katika kikoa chao cha ufafanuzi (angalia uthibitisho wa mwendelezo). Sifa kuu za arcsine na arccosine zinawasilishwa kwenye meza.
| y = arcsin x | y = arccos x | |
| Upeo na mwendelezo | - 1 ≤ x ≤ 1 | - 1 ≤ x ≤ 1 |
| Msururu wa maadili | ||
| Kupanda, kushuka | kuongezeka kwa monotonically | monotonically hupungua |
| Juu | ||
| Kiwango cha chini | ||
| Sufuri, y = 0 | x = 0 | x = 1 |
| Kata pointi na mhimili wa kuratibu, x = 0 | y = 0 | y = π/ 2 |
Jedwali la arcsines na arccosines
Jedwali hili linaonyesha maadili ya arcsines na arccosines, kwa digrii na radians, kwa maadili fulani ya hoja.
| x | arcsin x | arccos x | ||
| mvua ya mawe | furahi. | mvua ya mawe | furahi. | |
| - 1 | - 90 ° | - | 180° | π |
| - | - 60 ° | - | 150° | |
| - | - 45 ° | - | 135° | |
| - | - 30 ° | - | 120° | |
| 0 | 0° | 0 | 90° | |
| 30° | 60° | |||
| 45° | 45° | |||
| 60° | 30° | |||
| 1 | 90° | 0° | 0 | |
≈ 0,7071067811865476
≈ 0,8660254037844386
Mifumo
Jumla na tofauti formula
saa au
saa na
saa na
saa au
saa na
saa na
katika
katika
katika
katika
Vielezi kupitia logariti, nambari changamano
Vielezi kupitia vitendaji vya hyperbolic
Viingilio
;
.
Tazama Utokezi wa arcsine na derivatives ya arccosine > > >
Vito vya mpangilio wa juu:
,
iko wapi polynomial ya digrii. Imedhamiriwa na formula:
;
;
.
Tazama Utoaji wa vito vya mpangilio wa juu wa arcsine na arccosine > > >
Viunganishi
Tunafanya badala ya x = dhambi. Tunaunganisha kwa sehemu, kwa kuzingatia kwamba -π/ 2 ≤ t ≤ π/2,
gharama t ≥0:
.
Wacha tueleze arc cosine kupitia arc sine:
.
Upanuzi wa mfululizo
Wakati |x|< 1
mtengano ufuatao hufanyika:
;
.
Vitendaji kinyume
Inverses ya arcsine na arccosine ni sine na cosine, kwa mtiririko huo.
Fomula zifuatazo ni halali katika kikoa kizima cha ufafanuzi:
dhambi(arcsin x) = x
cos(arccos x) = x .
Fomula zifuatazo ni halali tu kwenye seti ya maadili ya arcsine na arccosine:
arcsin(dhambi x) = x katika
arccos(cos x) = x katika .
Marejeleo:
I.N. Bronstein, K.A. Semendyaev, Kitabu cha hesabu cha wahandisi na wanafunzi wa vyuo vikuu, "Lan", 2009.
Arctangent (y = arctan x)
ni kitendakazi kinyume cha tangent (x = tg y
tg(arctg x) = x
arctan(tg x) = x
Arctangent inaonyeshwa kama ifuatavyo:
.
Grafu ya kazi ya arctangent
Grafu ya kazi y = arctan x
Grafu ya arctangent hupatikana kutoka kwa grafu ya tangent ikiwa abscissa na axes za kuratibu zimebadilishwa. Ili kuondoa utata, seti ya maadili ni mdogo kwa muda ambao kazi ni monotonic. Ufafanuzi huu unaitwa thamani kuu ya arctangent.
Arccotangent, arcctg
Arc tangent (y = arcctg x)
ni kitendakazi kinyume cha kotangenti (x = ctg y) Ina kikoa cha ufafanuzi na seti ya maana.
ctg(arcctg x) = x
arcctg(ctg x) = x
Arccotangent inaonyeshwa kama ifuatavyo:
.
Grafu ya kitendakazi cha tanjiti kinyume
Grafu ya kazi y = arcctg x
Grafu ya kotanjiti ya arc hupatikana kutoka kwa grafu ya kotanji ikiwa abscissa na shoka za kuratibu zimebadilishwa. Ili kuondoa utata, anuwai ya maadili ni mdogo kwa muda ambao kazi ni monotonic. Ufafanuzi huu unaitwa thamani kuu ya arc cotangent.
Usawa
Kazi ya arctangent ni isiyo ya kawaida:
arctan(- x) = arctg(-tg arctg x) = arctg(tg(-arctg x)) = - arctan x
Kitendakazi kinyume cha tanjiti si sawa au isiyo ya kawaida:
arcctg(- x) = arcctg(-ctg arcctg x) = arcctg(ctg(π-arcctg x)) = π - arcctg x ≠ ± arcctg x.
Mali - uliokithiri, ongezeko, kupungua
Kazi za arctangent na arccotangent ni endelevu katika kikoa chao cha ufafanuzi, yaani, kwa x zote. (tazama uthibitisho mwendelezo). Mali kuu ya arctangent na arccotangent yanawasilishwa kwenye meza.
| y = arctan x | y = arcctg x | |
| Upeo na mwendelezo | - ∞ < x < + ∞ | - ∞ < x < + ∞ |
| Maana nyingi | ||
| Kupanda, kushuka | kuongezeka kwa monotonically | monotonically hupungua |
| Juu, chini | Hapana | Hapana |
| Sufuri, y = 0 | x = 0 | Hapana |
| Kata pointi na mhimili wa kuratibu, x = 0 | y = 0 | y = π/ 2 |
| - | π | |
| 0 |
Jedwali la arctangents na arccotangents
Jedwali hili linaonyesha maadili ya arctangents na arccotangents, kwa digrii na radians, kwa maadili fulani ya hoja.
| x | arctan x | arcctg x | ||
| mvua ya mawe | furahi. | mvua ya mawe | furahi. | |
| - ∞ | - 90 ° | - | 180° | π |
| - | - 60 ° | - | 150° | |
| - 1 | - 45 ° | - | 135° | |
| - | - 30 ° | - | 120° | |
| 0 | 0° | 0 | 90° | |
| 30° | 60° | |||
| 1 | 45° | 45° | ||
| 60° | 30° | |||
| + ∞ | 90° | 0° | 0 | |
≈ 0,5773502691896258
≈ 1,7320508075688772
Mifumo
Jumla na tofauti formula
katika
katika
katika
katika
katika
katika
Vielezi kupitia logariti, nambari changamano
,
.
Vielezi kupitia vitendaji vya hyperbolic
Viingilio
Tazama Utoaji wa viambishi vya arctangent na akkotangent > > >
Vito vya mpangilio wa juu:
Hebu . Kisha derivative ya mpangilio wa nth ya arctangent inaweza kuwakilishwa kwa mojawapo ya njia zifuatazo:
;
.
Alama inamaanisha sehemu ya kufikiria ya usemi ufuatao.
Angalia Upataji wa viasili vya mpangilio wa juu vya arctangent na arccotangent > > >
Fomula za derivatives za maagizo matano ya kwanza pia zimetolewa hapo.
Vivyo hivyo kwa arc tangent. Hebu . Kisha
;
.
Viunganishi
Tunafanya badala ya x = tg t na kuunganisha kwa sehemu:
;
;
;
Wacha tueleze arc tangent kupitia arc tangent:
.
Upanuzi wa mfululizo wa nguvu
Wakati |x| ≤ 1
mtengano ufuatao hufanyika:
;
.
Vitendaji kinyume
Inverses ya arctangent na arccotangent ni tangent na cotangent, kwa mtiririko huo.
Fomula zifuatazo ni halali katika kikoa kizima cha ufafanuzi:
tg(arctg x) = x
ctg(arcctg x) = x .
Fomula zifuatazo ni halali kwa seti ya thamani za arctangent na arctangent:
arctan(tg x) = x katika
arcctg(ctg x) = x katika .
Marejeleo:
I.N. Bronstein, K.A. Semendyaev, Kitabu cha hesabu cha wahandisi na wanafunzi wa vyuo vikuu, "Lan", 2009.