ULINGANIFU WA TAKWIMU ZA ENEO
Kulingana na maarufu Mwanahisabati wa Ujerumani G. Weyl (1885-1955), “ulinganifu ni wazo ambalo kupitia hilo mwanadamu amejaribu kwa karne nyingi kuelewa na kuunda utaratibu, uzuri na ukamilifu.”
Picha nzuri ulinganifu unaonyeshwa na kazi za sanaa: usanifu, uchoraji, uchongaji, nk.
Dhana ya ulinganifu wa takwimu kwenye ndege ilijadiliwa katika kozi ya planimetry. Hasa, dhana za ulinganifu wa kati na axial zilifafanuliwa. Kwa takwimu za anga dhana ya ulinganifu imefafanuliwa kwa njia sawa.
Hebu tuangalie ulinganifu wa kati kwanza.
ulinganifu kuhusu uhakika O aliita kituo cha ulinganifu, ikiwa O ni sehemu ya katikati ya sehemu AA." Pointi O inachukuliwa kuwa linganifu yenyewe.
Mabadiliko ya nafasi ambayo kila nukta A inahusishwa na nukta A ambayo ni ulinganifu nayo (kuhusiana na nukta O) inaitwa. ulinganifu wa kati. Point O inaitwa kituo cha ulinganifu.
Takwimu mbili Ф na Ф" zinaitwa ulinganifu wa kati, ikiwa kuna mabadiliko ya ulinganifu ambayo huchukua moja yao hadi nyingine.
Takwimu F inaitwa ulinganifu wa kati, ikiwa ina ulinganifu wa kati kwa yenyewe.
Kwa mfano, parallelepiped ina ulinganifu wa kati kuhusu hatua ya makutano ya diagonal zake. Mpira na tufe zina ulinganifu wa kati kuhusu vituo vyao.
Kati ya polihedra ya kawaida, mchemraba, octahedron, icosahedron na dodecahedron zina ulinganifu wa kati. Tetrahedron sio takwimu ya ulinganifu wa kati.
Hebu fikiria baadhi ya mali ya ulinganifu wa kati.
Mali 1. Ikiwa O 1, O 2 ni vituo vya ulinganifu wa takwimu Ф, kisha hatua O 3, ulinganifu O 1 unaohusiana na O 2 pia ni kitovu cha ulinganifu wa takwimu hii.
Ushahidi. Acha A iwe nukta angani, A 2 - hatua inayolingana nayo, inayohusiana na O 2, A 1 - onyesha ulinganifu kwa A 2 kuhusiana na O 1 na A 3 - sehemu ya ulinganifu A 1 jamaa na O 2 (Mchoro 1).
Kisha pembetatu O 2 O 1 A 1 na O 2 O 3 A 3 , O 2 O 1 A 2 na O 2 O 3 A ni sawa. Kwa hivyo A na A 3 ulinganifu kuhusu O 3 . Kwa hivyo, ulinganifu kuhusu O 3 ni muundo wa ulinganifu kwa heshima ya O 2, O 1 na O 2 . Kwa hiyo, kwa ulinganifu huu, takwimu F inabadilika yenyewe, i.e. O 3 ndio kitovu cha ulinganifu wa takwimu F.
Matokeo.Kielelezo chochote hakina kituo cha ulinganifu, au kina kituo kimoja cha ulinganifu, au kina vituo vingi vya ulinganifu.
Kwa kweli, ikiwa O 1, O 2 ni vituo vya ulinganifu wa takwimu Ф, kisha hatua O 3, ulinganifu O 1 unaohusiana na O 2 pia ni kitovu cha ulinganifu wa takwimu hii. Vile vile, point O 4 ulinganifu O 2 ikilinganishwa na O 3 pia ni katikati ya ulinganifu wa takwimu Ф, nk Kwa hiyo, katika kesi hii takwimu Ф ina vituo vingi vya ulinganifu.
Hebu sasa tuzingatie dhana ulinganifu wa axial.
Alama A na A" kwenye nafasi zinaitwa ulinganifu kuhusu mstari ulionyooka a, kuitwa mhimili wa ulinganifu, ikiwa ni sawa a hupitia katikati ya sehemu ya AA" na inalingana na sehemu hii. Kila ncha ya mstari ulionyooka a inachukuliwa kuwa linganifu yenyewe.
Mabadiliko ya nafasi ambayo kila nukta A inahusishwa na nukta A ambayo ni linganifu nayo (inayohusiana na mstari uliopeanwa. a), inayoitwa ulinganifu wa axial. Moja kwa moja a katika kesi hii inaitwa mhimili wa ulinganifu.
Takwimu mbili zinaitwa ulinganifu kuhusu mstari ulionyooka a, ikiwa mabadiliko ya ulinganifu kuhusu mstari huu yanabadilisha moja yao hadi nyingine.
Takwimu F katika nafasi inaitwa linganifu kuhusiana na moja kwa moja a, ikiwa ni ulinganifu kwa yenyewe.
Kwa mfano, parallelepiped ya mstatili ina ulinganifu kuhusu mstari wa moja kwa moja unaopita katikati ya nyuso za kinyume. Silinda ya duara ya kulia ina ulinganifu kuhusu mhimili wake, mpira na tufe ni ulinganifu kuhusu mistari yoyote iliyonyooka inayopitia vituo vyao, nk.
Mchemraba una shoka tatu za ulinganifu zinazopita katikati ya nyuso zinazopingana na shoka sita za ulinganifu zinazopita katikati ya kingo kinyume.
Tetrahedron ina shoka tatu za ulinganifu zinazopita katikati ya kingo kinyume.
Oktahedron ina shoka tatu za ulinganifu zinazopita vipeo vya kinyume na shoka sita za ulinganifu kupita katikati ya kingo kinyume.
Icosahedron na dodekahedron kila moja ina shoka kumi na tano za ulinganifu zinazopita katikati ya kingo kinyume.
Mali 3. Kamaa 1 ,
a 2 - axes ya ulinganifu wa takwimu Ф, kisha mstari wa moja kwa mojaa 3, ulinganifu a 1 jamaa a 2 pia ni mhimili wa ulinganifu wa takwimu hii.
Uthibitisho ni sawa na uthibitisho wa Mali 1.
Mali 4.Ikiwa mistari miwili ya pembeni inayoingiliana kwenye nafasi ni shoka za ulinganifu wa takwimu F, basi mstari wa moja kwa moja unaopita kwenye sehemu ya makutano na ya pembeni kwa ndege ya mistari hii pia itakuwa mhimili wa ulinganifu wa takwimu F.
Ushahidi. Fikiria shoka za kuratibu O x, O y, O z. Ulinganifu kuhusu mhimili wa O x x, y,
z) hadi hatua ya takwimu Ф na kuratibu ( x, -y, -z) Vile vile, ulinganifu kuhusu mhimili wa O y hutafsiri hatua ya takwimu Ф na kuratibu ( x,
–y, –z) hadi hatua ya takwimu Ф na kuratibu (- x, -y, z)
.
Kwa hivyo, muundo wa ulinganifu huu hutafsiri hatua ya takwimu Ф na kuratibu ( x, y, z) hadi hatua ya takwimu Ф na kuratibu (- x, -y, z) Kwa hivyo, mhimili wa O z ni mhimili wa ulinganifu wa takwimu F.
Matokeo.Kielelezo chochote katika nafasi hakiwezi kuwa na idadi hata (isiyo ya sifuri) ya shoka za ulinganifu.
Kwa kweli, wacha turekebishe mhimili fulani wa ulinganifu a. Kama b- mhimili wa ulinganifu, hauingiliani a au haiingilii kwa pembe ya kulia, basi kuna mhimili mwingine wa ulinganifu kwa ajili yake b', linganifu kwa heshima na a. Ikiwa mhimili wa ulinganifu b misalaba a kwa pembe ya kulia, basi kuna mhimili mwingine wa ulinganifu kwa ajili yake b', kupita kwenye hatua ya makutano na perpendicular kwa ndege ya mistari a Na b. Kwa hiyo, pamoja na mhimili wa ulinganifu a labda hata au nambari isiyo na kikomo shoka za ulinganifu. Kwa hivyo, idadi ya jumla hata (isiyo ya sifuri) ya axes ya ulinganifu haiwezekani.
Mbali na shoka za ulinganifu zilizofafanuliwa hapo juu, tunazingatia pia mhimili wa ulinganifu n- utaratibu,
n 2
.
Moja kwa moja a kuitwa mhimili wa ulinganifu n- utaratibu takwimu Ф, ikiwa wakati wa kuzunguka takwimu Ф karibu na mstari wa moja kwa moja a kwa pembe, takwimu F imejumuishwa na yenyewe.
Ni wazi kwamba mhimili wa 2 wa ulinganifu ni mhimili wa ulinganifu.
Kwa mfano, katika sahihi n-piramidi ya kaboni, mstari wa moja kwa moja unaopita juu na katikati ya msingi ni mhimili wa ulinganifu. n- utaratibu.
Wacha tujue ni shoka zipi za ulinganifu polihedra ya kawaida inayo.
Mchemraba una shoka tatu za mpangilio wa 4 za ulinganifu zinazopita katikati ya nyuso zinazopingana, shoka nne za mpangilio wa 3 za ulinganifu zinazopita kwenye vipeo vilivyo kinyume, na shoka sita za mpangilio wa 2 za ulinganifu zinazopita katikati ya kingo kinyume.
Tetrahedron ina shoka tatu za ulinganifu wa mpangilio wa pili unaopita katikati ya kingo kinyume.
Icosahedron ina shoka sita za mpangilio wa 5 za ulinganifu zinazopitia wima kinyume; shoka kumi za ulinganifu wa mpangilio wa 3 zinazopita katikati ya nyuso zinazopingana na shoka kumi na tano za ulinganifu wa mpangilio wa 2 zinazopita katikati ya kingo kinyume.
Dodekahedron ina shoka sita za mpangilio wa 5 wa ulinganifu unaopita katikati ya nyuso tofauti; shoka kumi za ulinganifu za mpangilio wa 3 zinazopita katika vipeo vilivyo kinyume na vishoka kumi na tano vya ulinganifu wa mpangilio wa 2 vinavyopita katikati ya kingo kinyume.
Hebu fikiria dhana ulinganifu wa kioo.
Alama A na A" kwenye nafasi zinaitwa ulinganifu kuhusiana na ndege au, kwa maneno mengine, kioo linganifu, ikiwa ndege hii inapita katikati ya sehemu ya AA" na ni ya kawaida kwake. Kila sehemu ya ndege inachukuliwa kuwa linganifu yenyewe.
Mabadiliko ya nafasi ambayo kila nukta A inahusishwa na nukta A ambayo ni linganifu nayo (inayohusiana na ndege fulani) inaitwa. ulinganifu wa kioo. Ndege inaitwa ndege ya ulinganifu.
Takwimu mbili zinaitwa kioo linganifu jamaa na ndege ikiwa mabadiliko ya ulinganifu kuhusiana na ndege hii hubadilisha moja yao hadi nyingine.
Takwimu F katika nafasi inaitwa kioo linganifu, ikiwa ni kioo chenye ulinganifu.
Kwa mfano, parallelepiped ya mstatili ni kioo chenye ulinganifu kuhusu ndege inayopita kwenye mhimili wa ulinganifu na sambamba na mojawapo ya jozi za nyuso zinazopingana. Silinda ni kioo-linganifu kwa heshima na ndege yoyote inayopita kwenye mhimili wake, nk.
Miongoni mwa polihedra ya kawaida, mchemraba na octahedron kila moja ina ndege tisa za ulinganifu. Tetrahedron ina ndege sita za ulinganifu. Icosahedron na dodekahedron kila moja ina ndege kumi na tano za ulinganifu zinazopitia jozi za kingo kinyume.
Mali 5. Muundo wa mbili ulinganifu wa kioo kiasi ndege sambamba ni tafsiri sambamba na vekta perpendicular kwa ndege hizi na sawa katika ukubwa wa mara mbili ya umbali kati ya ndege hizi.
Matokeo. Usafiri sambamba unaweza kuzingatiwa kama muundo wa ulinganifu wa vioo viwili.
Mali 6. Muundo wa ulinganifu wa vioo viwili kuhusiana na ndege zinazokatiza katika mstari wa moja kwa moja ni mzunguko wa kuzunguka mstari huu wa moja kwa moja kwa pembe sawa na mara mbili ya angle ya dihedral kati ya ndege hizi. Hasa, ulinganifu wa axial ni muundo wa ulinganifu wa kioo mbili kuhusu ndege za perpendicular.
Matokeo. Mzunguko unaweza kuzingatiwa kama muundo wa ulinganifu wa vioo viwili.
Mali 7. Ulinganifu wa kati unaweza kuwakilishwa kama muundo wa ulinganifu wa vioo vitatu.
Tunathibitisha mali hii kwa kutumia kuratibu mbinu. Hebu tuelekeze A
katika nafasi ina viwianishi ( x, y, z).
Ulinganifu wa kioo kwa heshima na ndege ya kuratibu hubadilisha ishara ya kuratibu inayofanana. Kwa mfano, ulinganifu wa kioo kuhusu ndege ya O xy hutafsiri hoja na kuratibu ( x, y, z) kwa uhakika na kuratibu ( x, y, -z) Muundo wa ulinganifu wa kioo tatu kwa heshima na kuratibu ndege hutafsiri hoja na kuratibu ( x, y, z) kwa uhakika na viwianishi (- x, -y, -z), ambayo ni ya ulinganifu wa kati pa kuanzia A.
Harakati zinazobadilisha takwimu F ndani yenyewe huunda kikundi kinachohusiana na muundo. Inaitwa kikundi cha ulinganifu F takwimu
Hebu tupate utaratibu wa kikundi cha ulinganifu wa mchemraba.
Ni wazi kwamba harakati yoyote ambayo huhamisha mchemraba ndani yenyewe huacha katikati ya mchemraba mahali, huhamisha vituo vya nyuso kwenye vituo vya nyuso, katikati ya kingo hadi katikati ya kingo, na wima kwa wima.
Kwa hivyo, kutaja harakati za mchemraba, inatosha kuamua mahali ambapo katikati ya uso huenda, katikati ya makali ya uso huu na vertex ya makali.
Hebu tuchunguze mgawanyiko wa mchemraba katika tetrahedrons, wima ya kila mmoja ambayo ni katikati ya mchemraba, katikati ya uso, katikati ya makali ya uso huu, na vertex ya makali. Kuna tetrahedra kama hizo 48. Kwa kuwa harakati imedhamiriwa kabisa na ni ipi kati ya tetrahedra tetrahedron fulani inatafsiriwa ndani, mpangilio wa kikundi cha ulinganifu wa mchemraba utakuwa sawa na 48.
Maagizo ya makundi ya ulinganifu wa tetrahedron, octahedron, icosahedron na dodecahedron hupatikana kwa njia sawa.
Wacha tupate kikundi cha ulinganifu mduara wa kitengo S 1 . Kikundi hiki kinaashiria O (2). Ni kundi lisilo na kikomo la topolojia. Hebu tufikirie mduara wa kitengo kama kikundi nambari ngumu modulo sawa na moja. Kuna epimorphism asilia p:O(2) --> S 1 , ambayo huhusisha kipengele u cha kikundi O(2) na kipengele u(1) katika S 1 . Kiini cha uchoraji wa ramani hii ni kikundi Z 2 , inayotokana na ulinganifu wa mduara wa kitengo unaohusiana na mhimili wa Ox. Kwa hivyo O(2)/Z 2S 1 . Zaidi ya hayo, ikiwa tunapuuza muundo wa kikundi, basi kuna O (2) homeomorphism na bidhaa moja kwa moja S 1 na Z2.
Vile vile, kikundi cha ulinganifu cha tufe yenye pande mbili S 2 inaashiria O(3), na kwake kuna isomorphism O(3)/O(2) S 2 .
Vikundi vya ulinganifu vya tufe za n-dimensional hucheza jukumu muhimu V sehemu za kisasa topolojia: nadharia ya wingi, nadharia ya nafasi zenye nyuzi, n.k.
Moja ya maonyesho ya kushangaza ya ulinganifu katika asili ni fuwele. Sifa za fuwele zimedhamiriwa na sifa za muundo wao wa kijiometri, haswa, mpangilio wa ulinganifu wa atomi kwenye kimiani ya fuwele. Maumbo ya nje ya fuwele ni matokeo ya ulinganifu wao wa ndani.
Mawazo ya kwanza, ambayo bado hayaeleweki kwamba atomi katika fuwele zimepangwa kwa mpangilio wa kawaida, wa kawaida, wa ulinganifu yalionyeshwa katika kazi za wanasayansi mbalimbali wa asili tayari wakati ambapo dhana yenyewe ya atomi haikuwa wazi na hapakuwa na ushahidi wa majaribio. muundo wa atomiki vitu. Umbo la nje la ulinganifu la fuwele bila hiari lilipendekeza wazo kwamba muundo wa ndani wa fuwele unapaswa kuwa wa ulinganifu na wa kawaida. Sheria za ulinganifu wa fomu ya nje ya fuwele zilianzishwa kikamilifu katikati ya karne ya 19, na mwishoni mwa karne hii sheria za ulinganifu ambazo miundo ya atomiki katika fuwele ziliwekwa wazi na kwa usahihi.
Mwanzilishi wa nadharia ya hisabati ya muundo wa fuwele ni mwanahisabati bora wa Kirusi na mtaalamu wa fuwele - Evgraf Stepanovich Fedorov (1853-1919). Hisabati, kemia, jiolojia, madini, petrografia, madini - E.S. Fedorov alitoa mchango mkubwa kwa kila moja ya maeneo haya. Mnamo 1890, alipata madhubuti ya kihesabu yote iwezekanavyo sheria za kijiometri mchanganyiko wa vipengele vya ulinganifu katika miundo ya kioo, kwa maneno mengine, ulinganifu wa mpangilio wa chembe ndani ya fuwele. Ilibadilika kuwa idadi ya sheria hizo ni mdogo. Fedorov alionyesha kuwa kuna vikundi 230 vya ulinganifu wa nafasi, ambavyo baadaye viliitwa Fedorov kwa heshima ya mwanasayansi. Ilikuwa juhudi kubwa iliyofanywa miaka 10 kabla ya ufunguzi eksirei, miaka 27 kabla hazijatumiwa kuthibitisha kuwepo kwa kimiani kioo. Kuwepo kwa vikundi 230 vya Fedorov ni moja ya sheria muhimu zaidi za kijiometri za fuwele za kisasa za muundo. "Utendaji mkubwa wa kisayansi wa E.S. Fedorov, ambaye aliweza kuleta "machafuko" yote ya asili ya uundaji wa fuwele nyingi chini ya mpango mmoja wa kijiometri, bado unaibua kupendeza. Ugunduzi huu ni sawa na ugunduzi. meza ya mara kwa mara DI. Mendeleev. "Ufalme wa Fuwele" ni mnara usioweza kutikisika na kilele cha mwisho cha crystallography ya classical Fedorov," alisema Academician A.V. Shubnikov.
Fasihi
1. Hadamard J. Jiometri ya msingi. Sehemu ya II. Stereometry. - toleo la 3. - M.: Uchpedgiz, 1958.
2. Weil G. Symmetry. - M.: Nauka, 1968.
3. Wigner E. Masomo juu ya ulinganifu. - M.: Mir, 1971.
4. Gardner M. Ulimwengu huu wa kulia, wa kushoto. - M.: Mir, 1967.
5. Gilde V. Dunia ya Mirror. - M.: Mir, 1982.
6. Kompaneets A.S. Ulinganifu katika micro- na macrocosm. - M.: Nauka, 1978.
7. Paramonova I.M. Ulinganifu katika hisabati. - M.: MTsNMO, 2000.
8. Perepelkin D.I. Kozi ya jiometri ya msingi. Sehemu ya II. Jiometri katika nafasi. – M.-L.: Jumba la Uchapishaji la Jimbo. kiufundi-kinadharia fasihi, 1949.
9. Sonin A.S. Uelewa wa ukamilifu (ulinganifu, asymmetry, dissymmetry, antisymmetry). - M.: Maarifa, 1987.
10. Tarasov L.V. Ulimwengu huu wenye ulinganifu wa kushangaza. - M.: Elimu, 1982.
11. Mifumo ya ulinganifu. - M.: Mir, 1980.
12. Shafranovsky I.I. Ulinganifu katika asili. - toleo la 2. - L.; 1985.
13. Shubnikov A.V., Koptsik V.A. Ulinganifu katika sayansi na sanaa. - M.: Nauka, 1972.
SURA YA TATU
POLYhedra
V. DHANA YA ULINGANIFU WA TAKWIMU ZA ENEO
99. Ulinganifu wa kati. Nambari mbili huitwa ulinganifu kwa heshima na nukta yoyote O katika nafasi ikiwa kila nukta A ya kielelezo kimoja inalingana katika mchoro mwingine hadi A", iliyoko kwenye mstari ulionyooka OA upande wa pili wa nukta O, kwa umbali. sawa na umbali uhakika A kutoka kwa uhakika O (Mchoro 114). Point O inaitwa kituo cha ulinganifu takwimu.
Mfano wa vile takwimu za ulinganifu katika nafasi ambayo tayari tumekutana nayo (§ 53), wakati, kwa kuendelea zaidi ya vertex ya kando na nyuso za pembe ya polyhedral, tulipata pembe ya polyhedral ya ulinganifu kwa moja iliyotolewa. Sehemu zinazofanana na pembe zinazounda takwimu mbili za ulinganifu ni sawa kwa kila mmoja. Walakini, takwimu kwa ujumla haziwezi kuitwa sawa: haziwezi kuunganishwa kwa kila mmoja kwa sababu ya ukweli kwamba mpangilio wa sehemu katika takwimu moja ni tofauti na nyingine, kama tulivyoona katika mfano wa pembe za ulinganifu wa polyhedral.
Katika baadhi ya matukio, takwimu za ulinganifu zinaweza kuunganishwa, lakini sehemu zao zisizofaa zitapatana. Kwa mfano, hebu tuchukue mstari wa moja kwa moja pembe ya pembe tatu(Mchoro 115) na vertex katika hatua O na kingo OX, OY, OZ.
Wacha tutengeneze pembe ya ulinganifu OX"Y"Z". Pembe OXYZ inaweza kuunganishwa na OX"Y"Z" ili OX ya ukingo ilingane na OY", na ukingo OY ulandane na OX". Ikiwa tutachanganya kingo zinazolingana OX na OX" na OY na OY", basi kingo za OZ na OZ" zitaelekezwa kwa mwelekeo tofauti.
Ikiwa takwimu za ulinganifu pamoja zinaunda mwili mmoja wa kijiometri, basi mwili huu wa kijiometri unasemekana kuwa na kituo cha ulinganifu. Kwa hivyo, ikiwa mwili uliopewa una kitovu cha ulinganifu, basi kila nukta ya mwili huu inalingana na sehemu ya ulinganifu, ambayo pia ni ya mwili uliopewa. Kati ya hizo tulizozipitia miili ya kijiometri kuwa na kitovu cha ulinganifu, kwa mfano: 1) bomba la parallele, 2) prism iliyo na poligoni ya kawaida kwenye msingi wake. idadi sawa pande
Tetrahedron ya kawaida haina kituo cha ulinganifu.
100. Ulinganifu kuhusiana na ndege. Takwimu mbili za anga zinaitwa ulinganifu kwa heshima na ndege P ikiwa kila nukta A katika takwimu moja inalingana na nukta A katika nyingine, na sehemu AA" ni ya kawaida kwa ndege P na imegawanywa katika nusu katika hatua ya makutano na. ndege hii.
Nadharia. Sehemu zote mbili zinazolingana katika takwimu mbili za ulinganifu ni sawa kwa kila mmoja.
Wacha takwimu mbili zipewe, zenye ulinganifu kwa heshima na ndege P. Wacha tuchague alama mbili A na B za takwimu ya kwanza, acha A" na B" ziwe alama zinazolingana za takwimu ya pili (Mchoro 116, takwimu sio. inavyoonyeshwa kwenye mchoro).
Acha C iwe mahali pa makutano ya sehemu ya AA" na ndege P, D iwe mahali pa makutano ya sehemu ya BB" na ndege sawa. Kwa kuunganisha pointi C na D kwa mstari wa moja kwa moja, tunapata quadrilaterals mbili ABDC na A"B"DC. Kwa kuwa AC = A"C, BD = B"D na
/
ACD = /
A.C.D. /
BDC = /
Katika "DC, kama pembe za kulia, basi pande hizi nne ni sawa (ambayo inathibitishwa kwa urahisi na nafasi ya juu). Kwa hivyo, AB = A"B". Inafuata mara moja kutoka kwa nadharia hii kwamba ndege inayolingana na pembe za dihedral takwimu mbili ambazo ni linganifu jamaa na ndege ni sawa na kila mmoja. Walakini, haiwezekani kuchanganya takwimu hizi mbili na kila mmoja ili sehemu zao zinazolingana zifanane, kwani mpangilio wa sehemu katika takwimu moja ni. kinyume cha hapo, ambayo hufanyika katika nyingine (hii itathibitishwa hapa chini, § 102). Mfano rahisi zaidi wa takwimu mbili ambazo ni linganifu zinazohusiana na ndege ni: kitu chochote na tafakari yake katika kioo gorofa; kila takwimu ni linganifu na yake picha ya kioo jamaa na ndege ya kioo.
Ikiwa mwili wowote wa kijiometri unaweza kugawanywa katika sehemu mbili ambazo zina ulinganifu kwa heshima na ndege fulani, basi ndege hii inaitwa ndege ya ulinganifu wa mwili huu.
Miili ya kijiometri iliyo na ndege ya ulinganifu ni ya kawaida sana katika asili na ndani maisha ya kila siku. Mwili wa wanadamu na wanyama una ndege ya ulinganifu, ikigawanya katika sehemu za kulia na za kushoto.
Mfano huu unaonyesha wazi kwamba takwimu za ulinganifu haziwezi kuunganishwa. Kwa hivyo, mikono ya mikono ya kulia na ya kushoto ni ya ulinganifu, lakini haiwezi kuunganishwa, ambayo inaweza kuonekana angalau kutokana na ukweli kwamba glavu sawa haiwezi kufaa kwa mikono ya kulia na ya kushoto. Nambari kubwa vitu vya nyumbani vina ndege ya ulinganifu: mwenyekiti, meza ya chakula cha jioni, bookcase, sofa, nk Baadhi, kama meza ya dining, hata hawana moja, lakini ndege mbili za ulinganifu (Mchoro 117).
Kawaida, wakati wa kuzingatia kitu ambacho kina ndege ya ulinganifu, tunajitahidi kuchukua nafasi hiyo kuhusiana na kwamba ndege ya ulinganifu wa mwili wetu, au angalau kichwa chetu, inafanana na ndege ya ulinganifu wa kitu yenyewe. Kwa kesi hii. umbo linganifu somo linaonekana hasa.
101. Ulinganifu kuhusu mhimili. Mhimili wa ulinganifu wa mpangilio wa pili. Takwimu mbili zinaitwa ulinganifu kwa heshima na mhimili wa l (mhimili ni mstari wa moja kwa moja) ikiwa kila nukta A ya takwimu ya kwanza inalingana na hatua A" ya takwimu ya pili, ili sehemu AA" ni perpendicular kwa mhimili wa l, huingiliana nayo na imegawanywa katika nusu katika hatua ya makutano. Mhimili wa l wenyewe unaitwa mhimili wa pili wa ulinganifu.
Kutoka kwa ufafanuzi huu inafuata mara moja kwamba ikiwa miili miwili ya kijiometri, yenye ulinganifu juu ya mhimili wowote, imeunganishwa na ndege inayoelekea kwenye mhimili huu, basi katika sehemu hiyo tunapata takwimu mbili za gorofa, zenye ulinganifu kuhusu hatua ya makutano ya ndege na mhimili wa ulinganifu wa miili.
Kuanzia hapa ni rahisi zaidi kukisia kwamba miili miwili ambayo ni linganifu kuhusu mhimili inaweza kuunganishwa na nyingine kwa kuzungusha mmoja wao 180 ° kuzunguka mhimili wa ulinganifu. Kwa kweli, hebu tufikirie ndege zote zinazowezekana perpendicular kwa mhimili wa ulinganifu.
Kila ndege kama hiyo inayokatiza miili yote miwili ina takwimu ambazo zina ulinganifu kwa heshima na mahali ambapo ndege hukutana na mhimili wa ulinganifu wa miili. Ikiwa unalazimisha ndege ya kukata kupiga slide yenyewe, ikizunguka karibu na mhimili wa ulinganifu wa mwili kwa 180 °, basi takwimu ya kwanza inafanana na ya pili.
Hii ni kweli kwa ndege yoyote ya kukata. Mzunguko wa sehemu zote za mwili kwa 180 ° ni sawa na mzunguko wa mwili mzima kwa 180 ° kuzunguka mhimili wa ulinganifu. Hapa ndipo uhalali wa kauli yetu unapofuata.
Ikiwa, baada ya kuzunguka takwimu ya anga karibu na mstari fulani wa moja kwa moja kwa 180 °, inafanana na yenyewe, basi takwimu inasemekana kuwa na mstari huu wa moja kwa moja kama mhimili wa ulinganifu wa pili.
Jina "mhimili wa ulinganifu wa mpangilio wa pili" linaelezewa na ukweli kwamba wakati wa mapinduzi kamili kuzunguka mhimili huu, mwili, katika mchakato wa kuzunguka, utachukua nafasi mara mbili sanjari na ile ya asili (pamoja na ile ya asili). Mifano ya miili ya kijiometri ambayo ina mhimili wa ulinganifu wa mpangilio wa pili ni:
1) piramidi ya kawaida na idadi sawa ya nyuso za upande; mhimili wake wa ulinganifu ni urefu wake;
2) mchemraba; ina axes tatu za ulinganifu: mistari ya moja kwa moja inayounganisha vituo vya nyuso zake kinyume;
3) prism sahihi na idadi sawa ya nyuso za upande. Mhimili wa ulinganifu wake ni kila mstari wa moja kwa moja unaounganisha vituo vya jozi yoyote ya nyuso zake kinyume (nyuso za upande na besi mbili za prism). Ikiwa idadi ya nyuso za nyuma za prism ni 2 k, basi idadi ya shoka kama hizo za ulinganifu zitakuwa k+ 1. Kwa kuongeza, mhimili wa ulinganifu kwa prism hiyo ni kila mstari wa moja kwa moja unaounganisha katikati ya kingo zake za kinyume. Miche ina shoka kama hizo za ulinganifu A.
Kwa hivyo moja sahihi ni 2 k- prism yenye sura ina 2 k+1 shoka, ulinganifu.
102. Utegemezi kati ya aina mbalimbali ulinganifu katika nafasi. Kuna uhusiano kati ya aina tofauti za ulinganifu katika nafasi - axial, planar na kati - iliyoonyeshwa na theorem ifuatayo.
Nadharia. Ikiwa takwimu F ni ya ulinganifu na takwimu F" inayohusiana na ndege P na wakati huo huo inalingana na takwimu F" kuhusiana na hatua O iliyolala kwenye ndege P, basi takwimu F" na F" zinalingana na mhimili unaopita kwa uhakika O na unaoelekea kwenye ndege R.
Hebu tuchukue hatua fulani A ya takwimu F (Mchoro 118). Inalingana na hatua A" ya takwimu F" na hatua A" ya takwimu F" (takwimu F, F" na F" wenyewe hazionyeshwa kwenye kuchora).
Hebu B iwe hatua ya makutano ya sehemu ya AA "na ndege P. Hebu tuchore ndege kupitia pointi A, A" na O. Ndege hii itakuwa perpendicular kwa ndege P, kwa kuwa inapita kwenye mstari wa moja kwa moja AA " , inayoelekea kwenye ndege hii. Katika ndege AA"O tutachora mstari wa moja kwa moja wa OH ulio sawa na OB. Mstari huu wa moja kwa moja wa OH pia utakuwa perpendicular kwa ndege P. Kisha, basi C iwe mahali pa makutano ya mistari ya moja kwa moja AA na OH.
Katika pembetatu AA"A"" sehemu ya BO inaunganisha sehemu za kati za pande AA" na AA", kwa hivyo, BO || AA"A", lakini BO_|_OH, ambayo inamaanisha AA"_|_OH. Zaidi ya hayo, tangu O ni pande za katikati AA", na CO || AA", kisha A"C = A"C. Kuanzia hapa tunahitimisha kwamba pointi A" na A" zinalingana kwa heshima na mhimili wa OH. Ndivyo ilivyo kwa pointi nyingine zote za takwimu. Hii ina maana kwamba nadharia yetu ni Imethibitishwa. Inafuata mara moja kutoka kwa nadharia hii, kwamba takwimu mbili ambazo zinahusiana na ndege haziwezi kuunganishwa kwa njia ambayo sehemu zao zinazolingana zimeunganishwa. Kwa kweli, takwimu F" imeunganishwa na F" kwa kuzunguka OH. mhimili kwa 180°. Lakini takwimu F" na F haziwezi kuunganishwa kuwa linganifu kuhusu uhakika, kwa hivyo, takwimu F na F" pia haziwezi kuunganishwa.
103. Axes ya ulinganifu wa maagizo ya juu. Kielelezo ambacho kina mhimili wa ulinganifu hujipanga yenyewe baada ya kuzunguka mhimili wa ulinganifu kupitia pembe ya 180°. Lakini kunaweza kuwa na kesi wakati takwimu inakuja katika usawa na nafasi ya kuanzia baada ya kuzunguka kwa mhimili fulani kupitia pembe chini ya 180 °. Kwa hivyo, ikiwa mwili hufanya hivyo zamu kamili karibu na mhimili huu, basi wakati wa mchakato wa mzunguko utafanana mara kadhaa na nafasi yake ya awali. Mhimili huu wa mzunguko unaitwa mhimili wa ulinganifu hali ya juu, na idadi ya nafasi za mwili zinazolingana na ile ya asili inaitwa mpangilio wa mhimili wa ulinganifu. Mhimili huu hauwezi sanjari na mhimili wa ulinganifu wa mpangilio wa pili. Kwa hivyo, piramidi ya kawaida ya pembetatu haina mhimili wa ulinganifu wa mpangilio wa pili, lakini urefu wake hutumika kama mhimili wa ulinganifu wa mpangilio wa tatu kwa hiyo. Kwa hakika, baada ya kuzunguka piramidi hii karibu na urefu kwa pembe ya 120 °, inafanana na yenyewe (Mchoro 119).
Wakati piramidi inapozunguka urefu, inaweza kuchukua nafasi tatu zinazofanana na moja ya awali, ikiwa ni pamoja na ya awali. Ni rahisi kutambua kwamba kila mhimili wa ulinganifu wa mpangilio hata wakati huo huo ni mhimili wa ulinganifu wa mpangilio wa pili.
Mifano ya shoka za ulinganifu za hali ya juu:
1) Sahihi n-piramidi ya kaboni ina mhimili wa ulinganifu n- utaratibu. Mhimili huu ni urefu wa piramidi.
2) Sahihi n- prism ya kaboni ina mhimili wa ulinganifu n- utaratibu. Mhimili huu ni mstari wa moja kwa moja unaounganisha vituo vya besi za prism.
104. Ulinganifu wa mchemraba. Kama ilivyo kwa parallelepiped yoyote, hatua ya makutano ya diagonals ya mchemraba ni katikati ya ulinganifu wake.
Mchemraba una ndege tisa za ulinganifu: ndege sita za diagonal na ndege tatu zinazopita katikati ya kila nne ya kingo zake sambamba.
Mchemraba una axes tisa za ulinganifu wa utaratibu wa pili: mistari sita ya moja kwa moja inayounganisha katikati ya kando yake kinyume, na mistari mitatu ya moja kwa moja inayounganisha vituo vya nyuso kinyume (Mchoro 120).
Mistari hii ya mwisho iliyonyooka ni shoka za ulinganifu wa mpangilio wa nne. Kwa kuongeza, mchemraba una shoka nne za mpangilio wa tatu za ulinganifu, ambazo ni diagonal zake. Kwa kweli, diagonal ya mchemraba AG (Kielelezo 120) ni wazi inaelekea kwenye kingo za AB, AD na AE, na kingo hizi zimeelekezwa kwa kila mmoja. Ikiwa tunaunganisha pointi B, D na E, tunapata sahihi piramidi ya pembe tatu ADBE, ambayo diagonal ya mchemraba AG hutumika kama urefu wake. Wakati piramidi hii inajipanga yenyewe wakati inazungushwa karibu na urefu, mchemraba wote utafanana na nafasi yake ya awali. Kama ni rahisi kuona, mchemraba hauna shoka zingine za ulinganifu. Hebu tuone ngapi njia tofauti mchemraba unaweza kuunganishwa na yenyewe. Mzunguko karibu na mhimili wa kawaida wa ulinganifu hutoa nafasi moja ya mchemraba, tofauti na ile ya awali, ambayo mchemraba kwa ujumla umeunganishwa na yenyewe.
Mzunguko kuzunguka mhimili wa mpangilio wa tatu hutoa nafasi mbili kama hizo, na kuzunguka kwa mhimili wa mpangilio wa nne hutoa nafasi tatu kama hizo. Kwa kuwa mchemraba una shoka sita za mpangilio wa pili (hizi ni shoka za kawaida za ulinganifu), shoka nne za mpangilio wa tatu na shoka tatu za mpangilio wa nne, kuna 6 1 + 4 2 + 3 3 = nafasi 23 za mchemraba, tofauti na ile ya asili, ambayo imejumuishwa na wewe mwenyewe.
Ni rahisi kuthibitisha moja kwa moja kwamba nafasi hizi zote ni tofauti kutoka kwa mtu mwingine, na pia kutoka kwa nafasi ya awali ya mchemraba. Pamoja na nafasi ya kuanzia, wanaunda njia 24 za kuchanganya mchemraba na yenyewe.
Mwalimu wa hisabati Kochkina L.K.
Somo ULINGANIFU WA AXIAL NA WA KATI
Lengo la somo:
Kufundisha kujenga pointi linganifu na kutambua takwimu zilizo na ulinganifu wa axial na ulinganifu wa kati, uundaji wa uwakilishi wa anga wa wanafunzi. Kukuza uwezo wa kuona na kufikiria; kukuza shauku katika somo kwa kutumia teknolojia ya habari. Ukuzaji wa uwezo wa wanafunzi wa hisabati. Kukuza mtu anayejua kuthamini uzuri.
Matokeo yanayotarajiwa Wanafunzi wataweza kuunda takwimu linganifu zinazohusiana na kituo na mstari
Vifaa vya somo:
Matumizi ya teknolojia ya habari (uwasilishaji).
Wakati wa madarasa
I. Wakati wa shirika.
Fahamisha mada ya somo, tengeneza malengo ya somo.
II. Onyesho la uwasilishaji: "Ulimwengu wa Ulinganifu"(kwa wanafunzi)
III. fanyia kazi mada ya somo(fanya kazi kwa vikundi)
Wanafunzi hukamilisha kazi kwa kujitegemea. Baada ya kukamilika, habari hubadilishwa.
Chaguo 1
kifungu cha 47
ulinganifu wa axial
Chaguo la 2
kifungu cha 47
ulinganifu wa kati
Si kweli
Si kweli
Hebu fikiria sheria za kujenga takwimu za ulinganifu.
1 .Ulinganifu wa kati ni ulinganifu kuhusu uhakika.
Alama A na B zina ulinganifu kuhusiana na sehemu fulani ya O ikiwa nukta O ni sehemu ya katikati ya sehemu ya AB.
Algorithm ya kuunda takwimu ya ulinganifu wa kati
Wacha tujenge pembetatu A 1 B 1 C 1, ulinganifu kwa pembetatu ABC, inayohusiana na kituo (pointi) O.
Kwa hii; kwa hili:
Hebu tuunganishe pointi A, B, C na kituo cha O na endelea sehemu hizi;
2. Pima sehemu AO, VO, CO na uweke mbali, kwa upande mwingine wa hatua O, sehemu sawa nao (AO=A 1 O 1, BO=B 1 O 1, CO=C 1 O 1);
3. Unganisha pointi zinazotokana na sehemu A 1 B 1, A 1 C 1, B 1 C 1.
4. Imepokelewa ∆A 1 KATIKA 1 NA 1 linganifu ∆ABC.
Pointi O inaitwa katikati ya ulinganifu wa takwimu, na takwimu inaitwa ulinganifu wa kati.
Kazi nambari 1 Takwimu inaonyesha sehemu ya takwimu ambayo katikati ya ulinganifu ni uhakika M. Eleza ujenzi wake
Kazi nambari 2 Angalia usahihi wa ujenzi wa takwimu kutoka No 1 na jirani yako kwenye dawati. Tengeneza sehemu ya pembe nne kwenye daftari yake na uweke alama ya uhakika O ambayo si ya sehemu hii ya nne. Rudisha daftari lako na utengeneze ulinganifu wa pembe nne kwa ulichopewa kuhusiana na ncha O.
Hakikisha kuwa kazi imekamilika kwa usahihi.
2. Ulinganifu wa axial - huu ni ulinganifu kuhusu mhimili uliochorwa (mstari ulionyooka).
Alama A na B zina ulinganifu kuhusiana na baadhi ya mstari a ikiwa pointi hizi ziko kwenye mstari unaoendana na huu na kwa umbali sawa.
Mhimili wa ulinganifu ni mstari wa moja kwa moja wakati unapigwa ambayo "nusu" zinapatana, na takwimu inaitwa ulinganifu kuhusu mhimili fulani.
Algorithm ya kuunda kielelezo cha ulinganifu kwa heshima na mstari fulani ulionyooka
Hebu tutengeneze pembetatu A 1 B 1 C 1, yenye ulinganifu kwa pembetatu ABC kuhusiana na mstari ulionyooka a.
Kwa hii; kwa hili:
1. Chora kutoka kwenye wima pembetatu ABC mistari iliyonyooka kwa mstari wa moja kwa moja a na iendelee zaidi.
2. Pima umbali kutoka kwa wima ya pembetatu hadi pointi zinazosababisha kwenye mstari wa moja kwa moja na upange umbali sawa kwa upande mwingine wa mstari wa moja kwa moja.
3. Unganisha pointi zinazotokana na sehemu A 1 B 1, B 1 C 1, B 1 C 1.
4. Imepokelewa ∆ A 1 KATIKA 1 NA 1 linganifu ∆ABC.
Kazi kutoka kwa kitabu cha maandishi Na. 248-252, Na. 261
jenga kielelezo ambacho ni cha ulinganifu kwa heshima ya mstari wa moja kwa moja a (ubaoni na kwenye daftari).
VI. Kwa muhtasari wa somo.
Tafakari Ni aina gani za ulinganifu ulizozifahamu katika somo?
Rudia ufafanuzi. Kazi ya ubunifu: Baada ya kusoma alfabeti ya Kirusi (kwa chaguo 1) na Alfabeti ya Kilatini(kwa chaguo 2), chagua herufi hizo ambazo zina ulinganifu. Wasilisha matokeo ya utafiti katika umbizo la A4. Wale ambao wana nia mada hii, anaweza kushiriki mradi wa ubunifu"Ulinganifu katika shule ninayopenda"
Kazi nambari 4 Jaza jedwali:
Sehemu ya mstari
Moja kwa moja
Ray
Mraba
Kituo kimoja cha ulinganifu
Vituo vingi vya ulinganifu
Mhimili mmoja wa ulinganifu
Shoka mbili za ulinganifu
Shoka nne za ulinganifu
Mishoka mingi isiyo na kikomo ya ulinganifu
Chaguo 1
kifungu cha 47
ulinganifu wa axial
Chaguo la 2
kifungu cha 47
ulinganifu wa kati
Ulinganifu wa axial ni ulinganifu unaohusiana na __________
Ulinganifu wa kati ni ulinganifu kuhusu _______________
Pointi mbili A na A 1 zinaitwa ulinganifu kwa heshima ya mstari wa moja kwa moja a ikiwa ____________
Alama mbili A na A 1 zinaitwa ulinganifu kwa heshima ya alama O ikiwa___________
Mstari A unaitwa _______________
Pointi O inaitwa ____________________
Kielelezo kinasemekana kuwa na ulinganifu kuhusiana na mstari ulionyooka a ikiwa kwa kila nukta ya kielelezo, nukta inayolingana nayo ni ya_________
Kielelezo kinaitwa ulinganifu kuhusiana na ncha O ikiwa kwa kila nukta ya kielelezo, nukta inayolingana nayo ni ya______
Je, ulinganifu wa jamaa na takwimu zilizonyooka ni sawa?
Si kweli
Je, takwimu zina ulinganifu kuhusu nukta sawa?
Ulinganifu unahusishwa na maelewano na utaratibu. Na kwa sababu nzuri. Kwa sababu swali la ulinganifu ni nini, kuna jibu katika mfumo wa tafsiri halisi kutoka kwa Kigiriki cha kale. Na inageuka kuwa inamaanisha uwiano na kutobadilika. Na ni nini kinachoweza kuwa na utaratibu zaidi kuliko ufafanuzi mkali wa eneo? Na ni nini kinachoweza kuitwa kuwa sawa zaidi kuliko kitu ambacho kinalingana kabisa na saizi?
Je, ulinganifu unamaanisha nini katika sayansi tofauti?
Biolojia. Sehemu muhimu ya ulinganifu ndani yake ni kwamba wanyama na mimea wana sehemu zilizopangwa mara kwa mara. Aidha, hakuna ulinganifu mkali katika sayansi hii. Daima kuna baadhi ya asymmetry. Inakubali kwamba sehemu za yote haziendani na usahihi kabisa.
Kemia. Molekuli za dutu zina muundo fulani katika mpangilio wao. Ni ulinganifu wao unaoelezea mali nyingi za vifaa katika crystallography na matawi mengine ya kemia.Fizikia. Mfumo wa miili na mabadiliko ndani yake huelezewa kwa kutumia milinganyo. Zina vyenye vipengele vya ulinganifu, ambavyo hurahisisha suluhisho zima. Hii inakamilishwa kwa kutafuta kiasi kilichohifadhiwa.
Hisabati. Ni pale ambapo kimsingi hufafanua ulinganifu ni nini. Aidha thamani ya juu inapewa kipaumbele katika jiometri. Hapa, ulinganifu ni uwezo wa kuonyesha katika takwimu na miili. KATIKA kwa maana finyu inakuja chini tu kwa picha ya kioo.
Je, kamusi mbalimbali hufafanua vipi ulinganifu?
Haijalishi ni nani kati yao tunayetazama, neno "usawa" litaonekana kila mahali. Katika Dahl mtu anaweza pia kuona tafsiri kama usawa na usawa. Kwa maneno mengine, ulinganifu unamaanisha sawa. Pia inasema kwamba inachosha; kitu ambacho hakina inaonekana kuvutia zaidi.
Alipoulizwa ulinganifu ni nini, kamusi ya Ozhegov tayari inazungumza juu ya usawa katika nafasi ya sehemu zinazohusiana na uhakika, mstari au ndege.
Kamusi ya Ushakov pia inataja usawa, na pia mawasiliano kamili ya sehemu mbili za jumla kwa kila mmoja.
Ni lini tunazungumza juu ya asymmetry?
Kiambishi awali “a” kinakanusha maana ya nomino kuu. Kwa hiyo, asymmetry ina maana kwamba mpangilio wa vipengele haitoi kwa muundo fulani. Hakuna kutoweza kubadilika ndani yake.
Neno hili linatumika katika hali ambapo nusu mbili za kitu hazifanani kabisa. Mara nyingi hazifanani kabisa.
Katika asili hai, asymmetry ina jukumu muhimu. Aidha, inaweza kuwa na manufaa na madhara. Kwa mfano, moyo umewekwa katika nusu ya kushoto ya kifua. Kwa sababu ya hii, mapafu ya kushoto ni ndogo sana kwa saizi. Lakini ni lazima.
Kuhusu ulinganifu wa kati na axial
Katika hisabati, aina zifuatazo zinajulikana:
- katikati, yaani, kufanywa kuhusiana na hatua moja;
- axial, ambayo inazingatiwa karibu na mstari wa moja kwa moja;
- maalum, inategemea tafakari;
- ulinganifu wa kuhamisha.
Je, mhimili na kituo cha ulinganifu ni nini? Hii ni hatua au mstari unaohusiana ambao hatua yoyote kwenye mwili inaweza kupata nyingine. Zaidi ya hayo, umbali kutoka kwa asili hadi ule unaosababishwa umegawanywa kwa nusu na mhimili au kituo cha ulinganifu. Vidokezo hivi vinaposonga, vinaelezea njia zinazofanana.
Njia rahisi zaidi ya kuelewa ni ulinganifu gani kuhusu mhimili ni kwa mfano. Karatasi ya daftari inahitaji kukunjwa kwa nusu. Mstari wa kukunjwa utakuwa mhimili wa ulinganifu. Ikiwa unatoa mstari wa perpendicular kwake, basi pointi zote juu yake zitakuwa na pointi ziko kwa umbali sawa upande wa pili wa mhimili.
Katika hali ambapo ni muhimu kupata katikati ya ulinganifu, unahitaji kufanya kwa njia ifuatayo. Ikiwa kuna takwimu mbili, basi pata pointi zao zinazofanana na uziunganishe na sehemu. Kisha ugawanye katika nusu. Wakati kuna takwimu moja tu, ujuzi wa mali zake unaweza kusaidia. Mara nyingi kituo hiki kinapatana na hatua ya makutano ya diagonals au urefu.
Ni maumbo gani yana ulinganifu?
Takwimu za kijiometri zinaweza kuwa na ulinganifu wa axial au kati. Lakini sivyo hali inayohitajika, kuna vitu vingi ambavyo havimiliki kabisa. Kwa mfano, parallelogram ina moja ya kati, lakini haina axial. Lakini trapezoids zisizo za isosceles na pembetatu hazina ulinganifu kabisa.
Ikiwa ulinganifu wa kati unazingatiwa, kuna takwimu nyingi ambazo zina. Hizi ni sehemu na mduara, msambamba na poligoni zote za kawaida zenye idadi ya pande zinazoweza kugawanywa kwa mbili.
Katikati ya ulinganifu wa sehemu (pia mduara) ni katikati yake, na kwa parallelogram inafanana na makutano ya diagonals. Ukiwa poligoni za kawaida hatua hii pia inafanana na katikati ya takwimu.
Ikiwa mstari wa moja kwa moja unaweza kupigwa kwenye takwimu, ambayo inaweza kukunjwa, na nusu mbili zinapatana, basi (mstari wa moja kwa moja) itakuwa mhimili wa ulinganifu. Kinachovutia ni shoka ngapi za ulinganifu wa maumbo tofauti.
Kwa mfano, spicy au angle butu ina mhimili mmoja tu, ambao ni sehemu yake miwili.
Ikiwa unahitaji kupata mhimili katika pembetatu ya isosceles, basi unahitaji kuteka urefu kwa msingi wake. Mstari huo utakuwa mhimili wa ulinganifu. Na moja tu. Na katika moja ya usawa kutakuwa na watatu wao mara moja. Kwa kuongeza, pembetatu pia ina ulinganifu wa kati kuhusiana na hatua ya makutano ya urefu.
Mduara unaweza kuwa na idadi isiyo na kikomo ya shoka za ulinganifu. Mstari wowote wa moja kwa moja unaopita katikati yake unaweza kutimiza jukumu hili.
Mstatili na rhombus zina shoka mbili za ulinganifu. Katika kwanza, hupita katikati ya pande, na kwa pili, hupatana na diagonals.
Mraba unachanganya takwimu mbili zilizopita na ina shoka 4 za ulinganifu mara moja. Wao ni sawa na wale wa rhombus na mstatili.
"Pointi ya ulinganifu" - Symmetry katika usanifu. Mifano ya ulinganifu takwimu za gorofa. Pointi mbili A na A1 zinaitwa ulinganifu kwa heshima na O ikiwa O ni sehemu ya kati ya sehemu AA1. Mifano ya takwimu ambazo zina ulinganifu wa kati ni duara na parallelogram. Pointi C inaitwa kitovu cha ulinganifu. Ulinganifu katika sayansi na teknolojia.
"Ujenzi wa takwimu za kijiometri" - Kipengele cha elimu. Udhibiti na marekebisho ya assimilation. Utafiti wa nadharia ambayo njia inategemea. Katika stereometry - si miundo kali. Miundo ya Stereometric. Mbinu ya algebra. Njia ya mabadiliko (kufanana, ulinganifu, uhamisho sambamba Nakadhalika.). Kwa mfano: moja kwa moja; angle bisector; midperpendicular.
"Takwimu ya mwanadamu" - Sura na mienendo ya mwili wa mwanadamu imedhamiriwa kwa kiasi kikubwa na mifupa. Sahihi na uigizaji wa maonyesho. Unafikiri kutakuwa na kazi kwa msanii kwenye sarakasi? Mifupa ina jukumu la sura katika muundo wa takwimu. Mwili Mkuu (tumbo, kifua) Hakuzingatia Kichwa, uso, mikono. A. Mathis. Uwiano. Ugiriki ya Kale.
“Ulinganifu kuhusu mstari ulionyooka” - Ulinganifu kuhusu mstari ulionyooka unaitwa ulinganifu wa axial. Mstari ulionyooka a ni mhimili wa ulinganifu. Ulinganifu ni sawa sawa. Bulavin Pavel, daraja la 9B. Je, kila kielelezo kina shoka ngapi za ulinganifu? Kielelezo kinaweza kuwa na shoka moja au zaidi za ulinganifu. Ulinganifu wa kati. Isosceles trapezoid. Mstatili.
"Maeneo ya jiometri ya takwimu" - Nadharia ya Pythagorean. Viwanja takwimu mbalimbali. Tatua fumbo. Takwimu zilizo na maeneo sawa huitwa sawa katika eneo. Vitengo vya kipimo cha eneo. Eneo la pembetatu. Mstatili, pembetatu, parallelogram. Centimita ya mraba. Takwimu eneo sawa. Takwimu sawa b). Milimita ya mraba. V). Ni eneo gani la takwimu inayoundwa na takwimu A na D?
"Kikomo cha chaguo la kukokotoa kwa uhakika" - , Kisha katika kesi hii. Wakati wa kujitahidi. Kikomo cha chaguo za kukokotoa kwa uhakika. Kuendelea kwa hatua. Sawa na thamani ya chaguo la kukokotoa katika. Lakini wakati wa kuhesabu kikomo cha kazi katika. Sawa na thamani. Kujieleza. Kutamani. Au tunaweza kusema hivi: katika kitongoji kidogo cha uhakika. Imekusanywa kutoka. Suluhisho. Kuendelea kwa vipindi. Katikati.