Физические величины характеризуются понятием «точность погрешности». Есть высказывание, что путем проведения измерений можно прийти к познанию. Так удастся узнать, какова высота дома или длина улицы, как и многие другие.
Введение
Разберемся в значении понятия «измерить величину». Процесс измерения заключается в том, чтобы сравнить её с однородными величинами, которые принимают в качестве единицы.
Для определения объёма используются литры, для вычисления массы применяются граммы. Чтобы было удобнее производить расчеты, ввели систему СИ международной классификации единиц.
За измерение длины вязли метры, массы - килограммы, объёма - кубические литры, времени - секунды, скорости - метры за секунду.
При вычислении физических величин не всегда нужно пользоваться традиционным способом, достаточно применить вычисление при помощи формулы. К примеру, для вычисления таких показателей, как средняя скорость, необходимо поделить пройденное расстояние на время, проведенное в пути. Так производятся вычисления средней скорости.
Применяя единицы измерения, которые в десять, сто, тысячу раз превышают показатели принятых измерительных единиц, их называют кратными.
Наименование каждой приставки соответствует своему числу множителя:
- Дека.
- Гекто.
- Кило.
- Мега.
- Гига.
- Тера.
В физической науке для записи таких множителей используется степень числа 10. К примеру, миллион обозначается как 10 6 .
В простой линейке длина имеет единицу измерения - сантиметр. Она в 100 раз меньше метра. 15-сантиметровая линейка имеет длину 0,15 м.
Линейка является простейшим видом измерительных приборов для того, чтобы измерять показатели длины. Более сложные приборы представлены термометром - чтобы гигрометром - чтобы определять влажность, амперметром - замерять уровень силы, с которой распространяется электрический ток.
Насколько точны будут показатели проведенных измерений?
Возьмем линейку и простой карандаш. Наша задача заключается в измерении длины этой канцелярской принадлежности.
Для начала потребуется определить, какова цена деления, указанная на шкале измерительного прибора. На двух делениях, которые являются ближайшими штрихами шкалы, написаны цифры, к примеру, «1» и «2».
Необходимо подсчитать, сколько делений заключено в промежутке этих цифр. При правильном подсчете получится «10». Вычтем от того числа, которое является большим, число, которое будет меньшим, и поделим на число, которое составляют деления между цифрами:
(2-1)/10 = 0,1 (см)
Так определяем, что ценой, определяющей деление канцелярской принадлежности, является число 0,1 см или 1 мм. Наглядно показано, как определяется показатель цены для деления с применением любого измерительного прибора.
Измеряя карандаш с длиной, которая немного меньше, чем 10 см, воспользуемся полученными знаниями. При отсутствии на линейке мелкого деления, следовал бы вывод, что предмет имеет длину 10 см. Это приблизительное значение названо измерительной погрешностью. Она указывает на тот уровень неточности, которая может допускаться при проведении измерений.
Определяя параметры длины карандаша с более высоким уровнем точности, большей ценой деления достигается большая измерительная точность, которая обеспечивает меньшую погрешность.
При этом абсолютно точного выполнения измерений не может быть. А показатели не должны превышать размеры цены деления.
Установлено, что размеры измерительной погрешности составляют ½ цены, которая указана на делениях прибора, который применяется для определения размеров.
После выполнения замеров карандаша в 9,7 см определим показатели его погрешности. Это промежуток 9,65 - 9,85 см.
Формулой, измеряющей такую погрешность, является вычисление:
А = а ± D (а)
А - в виде величины для измерительных процессов;
а - значение результата замеров;
D - обозначение абсолютной погрешности.
При вычитании или складывании величин с погрешностью результат будет равен сумме показателей погрешности, которую составляет каждая отдельная величина.
Знакомство с понятием
Если рассматривать в зависимости от способа её выражения, можно выделить такие разновидности:
- Абсолютную.
- Относительную.
- Приведенную.
Абсолютная погрешность измерений обозначается буквой «Дельта» прописной. Это понятие определяется в виде разности между измеренными и действительными значениями той физической величины, которая измеряется.
Выражением абсолютной погрешность измерений являются единицы той величины, которую необходимо измерить.
При измерении массы она будет выражаться, к примеру, в килограммах. Это не эталон точности измерений.
Как рассчитать погрешность прямых измерений?
Есть способы изображения погрешности измерения и их вычисления. Для этого важно уметь определять физическую величину с необходимой точностью, знать, что такое абсолютная погрешность измерений, что её никто никогда не сможет найти. Можно вычислить только её граничное значение.
Даже если условно употребляется этот термин, он указывает именно на граничные данные. Абсолютная и относительная погрешность измерений обозначаются одинаковыми буквами, разница в их написании.
При измерении длины абсолютная погрешность будет измеряться в тех единицах, в которых исчисляться длина. А относительная погрешность вычисляется без размеров, так как она является отношением абсолютной погрешности к результату измерения. Такую величину часто выражают в процентах или в долях.
Абсолютная и относительная погрешность измерений имеют несколько разных способов вычисления в зависимости от того, какой физических величин.
Понятие прямого измерения
Абсолютная и относительная погрешность прямых измерений зависят от класса точности прибора и умения определять погрешность взвешивания.
Прежде чем говорить о том, как вычисляется погрешность, необходимо уточнить определения. Прямым называется измерение, при котором происходит непосредственное считывание результата с приборной шкалы.
Когда мы пользуемся термометром, линейкой, вольтметром или амперметром, то всегда проводим именно прямые измерения, так как применяем непосредственно прибор со шкалой.
Есть два фактора, которые влияют на результативность показаний:
- Погрешностью приборов.
- Погрешностью системы отсчета.
Граница абсолютной погрешности при прямых измерениях будет равна сумме погрешности, которую показывает прибор, и погрешности, которая происходит в процессе отсчета.
D = D (пр.) + D (отс.)
Пример с медицинским термометром
Показатели погрешности указаны на самом приборе. На медицинском термометре прописана погрешность 0,1 градусов Цельсия. Погрешность отсчета составляет половину цены деления.
D отс. = С/2
Если цена деления 0,1 градуса, то для медицинского термометра можно произвести вычисления:
D = 0,1 o С + 0,1 o С / 2 = 0,15 o С
На тыльной стороне шкалы другого термометра есть ТУ и указано, что для правильности измерений необходимо погружать термометр всей тыльной частью. не указана. Остается только погрешность отсчета.
Если цена деления шкалы этого термометра равна 2 o С, то можно измерять температуру с точностью до 1 o С. Таковы пределы допускаемой абсолютной погрешности измерений и вычисление абсолютной погрешности измерений.
Особую систему вычисления точности используют в электроизмерительных приборах.
Точность электроизмерительных приборов
Чтобы задать точность таких устройств, используется величина, называемая классом точности. Для её обозначения применяют букву «Гамма». Чтобы точно произвести определение абсолютной и относительной погрешности измерений, нужно знать класс точности прибора, который указан на шкале.
Возьмем, к примеру, амперметр. На его шкале указан класс точности, который показывает число 0,5. Он пригоден для измерений на постоянном и переменном токе, относится к устройствам электромагнитной системы.
Это достаточно точный прибор. Если сравнить его со школьным вольтметром, видно, что у него класс точности - 4. Эту величину обязательно знать для дальнейших вычислений.
Применение знаний
Таким образом, D c = c (max) Х γ /100
Этой формулой и будем пользоваться для конкретных примеров. Воспользуемся вольтметром и найдем погрешность измерения напряжения, которое дает батарейка.
Подключим батарейку непосредственно к вольтметру, предварительно проверив, стоит ли стрелка на нуле. При подключении прибора стрелка отклонилась на 4,2 деления. Это состояние можно охарактеризовать так:
- Видно, что максимальное значение U для данного предмета равно 6.
- Класс точности -(γ) = 4.
- U(о) = 4,2 В.
- С=0,2 В
Пользуясь этими данными формулы, абсолютная и относительная погрешность измерений вычисляется так:
D U = DU (пр.)+ С/2
D U (пр.) = U (max) Х γ /100
D U (пр.) = 6 В Х 4/100 = 0, 24 В
Это погрешность прибора.
Расчет абсолютной погрешности измерений в этом случае будет выполнен так:
D U = 0,24 В + 0,1 В = 0,34 В
По рассмотренной формуле без труда можно узнать, как рассчитать абсолютную погрешность измерений.
Существует правило округления погрешностей. Оно позволяет найти средний показатель между границей абсолютной погрешности и относительной.
Учимся определять погрешность взвешивания
Это один из примеров прямых измерений. На особом месте стоит взвешивание. Ведь у рычажных весов нет шкалы. Научимся определять погрешность такого процесса. На точность измерения массы влияет точность гирь и совершенство самих весов.
Мы пользуемся рычажными весами с набором гирь, которые необходимо класть именно на правую чашу весов. Для взвешивания возьмем линейку.
Перед началом опыта нужно уравновесить весы. Линейку кладем на левую чашу.
Масса будет равна сумме установленных гирь. Определим погрешность измерения этой величины.
D m = D m (весов) + D m (гирь)
Погрешность измерения массы складывается из двух слагаемых, связанных с весами и гирями. Чтобы узнать каждую из этих величин, на заводах по выпуску весов и гирь продукция снабжается специальными документами, которые позволяют вычислить точность.
Применение таблиц
Воспользуемся стандартной таблицей. Погрешность весов зависит от того, какую массу положили на весы. Чем она больше, тем, соответственно, больше и погрешность.
Даже если положить очень легкое тело, погрешность будет. Этот связано с процессом трения, происходящим в осях.
Вторая таблица относится к набору гирь. На ней указано, что каждая из них имеет свою погрешность массы. 10-граммовая имеет погрешность в 1 мг, как и 20-граммовая. Просчитаем сумму погрешностей каждой из этих гирек, взятой из таблицы.
Удобно писать массу и погрешность массы в двух строчках, которые расположены одна под другой. Чем меньше гири, тем точнее измерение.
Итоги
В ходе рассмотренного материала установлено, что определить абсолютную погрешность невозможно. Можно лишь установить её граничные показатели. Для этого используются формулы, описанные выше в вычислениях. Данный материал предложен для изучения в школе для учеников 8-9 классов. На основе полученных знаний можно решать задачи на определение абсолютной и относительной погрешности.
Абсолютная и относительная погрешность числа.
В качестве характеристик точности приближенных величин любого происхождения вводятся понятия абсолютной и относительной погрешности этих величин.
Обозначим через а приближение к точному числу А.
Определени . Величина называется погрешностью приближенного числаа.
Определение
.
Абсолютной погрешностью
приближенного
числа а
называется
величина
.
Практически точное число А обычно неизвестно, но мы всегда можем указать границы, в которых изменяется абсолютная погрешность.
Определение
.
Предельной абсолютной погрешностью
приближенного
числа а
называется
наименьшая из верхних границ для величины
,
которую можно найти при данном способе
получения числаа.
На практике в
качестве
выбирают одну
из верхних границ для
,
достаточно близкую к наименьшей.
Поскольку
,
то
.
Иногда пишут:
.
Абсолютная погрешность - это разница между результатом измерения
и истинным (действительным) значением измеряемой величины.
Абсолютная погрешность и предельная абсолютная погрешность не достаточны для характеристики точности измерения или вычисления. Качественно более существенна величина относительной погрешности.
Определение
.
Относительной погрешностью
приближенного
числа а назовем
величину:
Определение
.
Предельной относительной погрешностью
приближенного
числа а назовем
величину
Так как
.
Таким образом, относительная погрешность определяет фактически величину абсолютной погрешности, приходящейся на единицу измеряемого или вычисляемого приближенного числа а.
Пример. Округляя точные числа А до трех значащих цифр, определить
абсолютную Dи относительную δ погрешности полученных приближенных
Дано:
Найти:
∆-абсолютная погрешность
δ –относительная погрешность
Решение:
=|-13.327-(-13.3)|=0.027
,a
0
*100%=0.203%
Ответ: =0,027; δ=0.203%
2.Десятичная запись приближенного числа. Значащая цифра. Верные знаки числа(определение верных и значащих цифр, примеры; теория о связи относительной погрешности и числа верных знаков).
Верные знаки числа.
Определение . Значащей цифрой приближенного числа а называется всякая цифра, отличная от нуля, и нуль, если он расположен между значащими цифрами или является представителем сохраненного десятичного разряда.
Например, в числе
0,00507 =
имеем
3 значащие цифры, а в числе 0,005070=
значащие цифры,
т.е. нуль справа, сохраняя десятичный
разряд, является значащим.
Условимся впредь нули справа записывать, если только они являются значащими. Тогда, иначе говоря,
значащими являются все цифры числа а, кроме нулей слева.
В десятичной системе счисления всякое число а может быть представлено в виде конечной или бесконечной суммы (десятичной дроби):
где
,
- первая значащая
цифра, m -
целое число, называемое старшим десятичным
разрядом числа а.
Например, 518,3 =, m=2.
Пользуясь записью , введем понятие о верных десятичных знаках (в значащих цифрах) приближенно-
го числа.
Определение
.
Говорят, что в приближенном числе а
формы
n -
первых значащих цифр
,
где i= m, m-1,..., m-n+1 являются верными, если абсолютная погрешность этого числа не превышает половины единицы разряда, выражаемого n-й значащей цифрой:
В противном случае
последняя цифра
называется
сомнительной.
При записи приближенного числа без указания его погрешности требуют, чтобы все записанные цифры
были верными. Это требование соблюдено во всех математических таблицах.
Термин “n верных знаков” характеризует лишь степень точности приближенного числа и его не следует понимать так, что n первых значащих цифр приближенного числа а совпадает с соответствующими цифрами точного числа А. Например, у чисел А=10, а=9,997 все значащие цифры различны, но число а имеет 3 верных значащих цифры. Действительно, здесь m=0 и n=3 (находим подбором).
Как уже говорилось ранее, когда мы сравниваем точность измерения некоторой приближенной величины, мы используем абсолютную погрешность.
Понятие абсолютной погрешности
Абсолютная погрешность приближенного значения - это модуль разности точного значения и приближенного значения.
Абсолютную погрешность можно применять для сравнения точности приближений одинаковых величин, а если мы собираемся сравнивать точности приближения различных величин, тогда одной абсолютной погрешности недостаточно.
Например: Длина листа бумаги формата А4 равна (29.7 ± 0.1) см. А расстояние от Санкт-Петербурга до Москвы равно (650± 1) км. Абсолютная погрешность в первом случае не превосходит одного миллиметра, а во втором - одного километра. Вопрос, сравнить точность этих измерений.
Если вы думаете, что длина листа измерена точнее потому, что величина абсолютной погрешности не превышает 1 мм. То вы ошибаетесь. Напрямую сравнить эти величины нельзя. Проведем некоторые рассуждения.
При измерении длины листа абсолютная погрешность не превышает 0.1 см на 29.7 см, то есть в процентном соотношении это составляет 0.1/29.7 *100% = 0.33% измеряемой величины.
Когда мы измеряем расстояние от Санкт-Петербурга до Москвы абсолютная погрешность не превышает 1 км на 650 км, что в процентном соотношении составляет 1/650 *100% = 0.15% измеряемой величины. Видим, что расстояние между городами измерено точнее, чем длинна листа формата А4.
Понятие относительной погрешности
Здесь для оценки качества приближения вводится новое понятие относительная погрешность. Относительная погрешность - это частное от деления абсолютной погрешности на модуль приближенного значений измеряемой величины. Обычно, относительную погрешность выражают в процентах. В нашем примере мы получили две относительных погрешности равные 0.33% и 0.15%.
Как вы уже догадались, относительная погрешность величина всегда положительная. Это следует из того, что абсолютная погрешность всегда положительная величина, и мы делим её на модуль, а модуль тоже всегда положителен.
На практике обычно числа, над которыми производятся вычисления, являются приближенными значениями тех или иных величин. Для краткости речи приближенное значение величины называют приближенным числом. Истинное значение величины называют точным числом. Приближенное число имеет практическую ценность лишь тогда, когда мы можем определить, с какой степенью точности оно дано, т.е. оценить его погрешность. Напомним основные понятия из общего курса математики.
Обозначим: x - точное число (истинное значение величины), а -приближенное число (приближенное значение величины).
Определение 1 . Погрешностью (или истинной погрешностью) приближенного числа называется разность между числом x и его приближенным значением а . Погрешность приближенного числа а будем обозначать . Итак,
Точное число x чаще всего бывает неизвестно, поэтому найти истинную и абсолютную погрешности не представляет возможным. С другой стороны, бывает необходимо оценить абсолютную погрешность, т.е. указать число, которого не может превысить абсолютная погрешность. Например, измеряя длину предмета данным инструментом, мы должны быть уверены в том, что погрешность полученного числового значения не превысит некоторого числа, например 0,1 мм. Другими словами, мы должны знать границу абсолютной погрешности. Эту границу будем называть предельной абсолютной погрешностью.
Определение 3 . Предельной абсолютной погрешностью приближенного числа а называется положительное число такое, что , т.е.
Значит, х по недостатку, - по избытку. Применяют также такую запись:
| . | (2.5) |
Ясно, что предельная абсолютная погрешность определяется неоднозначно: если некоторое число есть предельная абсолютная погрешность, то любое большее число тоже есть предельная абсолютная погрешность. На практике стараются выбирать возможно меньшее и простое по записи (с 1-2 значащими цифрами) число , удовлетворяющее неравенству (2.3).
Пример. Определить истинную, абсолютную и предельную абсолютную погрешности числа а = 0,17, взятого в качестве приближенного значения числа .
Истинная погрешность: 
Абсолютная погрешность: 
За предельную абсолютную погрешность можно принять число и любое большее число. В десятичной записи будем иметь: Заменяя это число большим и возможно более простым по записи, примем:
Замечание . Если а есть приближенное значение числа х , причем предельная абсолютная погрешность равна h , то говорят, что а есть приближенное значение числа х с точностью до h.
Знания абсолютной погрешности недостаточно для характеристики качества измерения или вычисления. Пусть, например, получены такие результаты при измерении длины. Расстояние между двумя городами S 1 =500 1 км и расстояние между двумя зданиями в городе S 2 =10 1 км. Хотя абсолютные погрешности обоих результатов одинаковы, однако существенное значение имеет то, что в первом случае абсолютная погрешность в 1 км приходится на 500 км, во втором - на 10 км. Качество измерения в первом случае лучше, чем во втором. Качество результата измерения или вычисления характеризуется относительной погрешностью.
Определение 4. Относительной погрешностью приближенного значения а числа х называется отношение абсолютной погрешности числа а к абсолютному значению числа х :
Определение 5. Предельной относительной погрешностью приближенного числа а называется положительное число такое, что .
Так как , то из формулы (2.7) следует, что можно вычислить по формуле
| . | (2.8) |
Для краткости речи в тех случаях, когда это не вызывает недоразумений, вместо “предельная относительная погрешность” говорят просто “относительная погрешность”.
Предельную относительную погрешность часто выражают в процентах.
Пример 1 . . Полагая , можем принять = . Производя деление и округляя (обязательно в сторону увеличения), получим =0,0008=0,08%.
Пример 2. При взвешивании тела получен результат: p=23,4 0,2 г. Имеем =0,2. . Производя деление и округляя, получим =0,9%.
Формула (2.8) определяет зависимость между абсолютной и относительной погрешностями. Из формулы (2.8) следует:
| . | (2.9) |
Пользуясь формулами (2.8) и (2.9), мы можем, если известно число а , по данной абсолютной погрешности находить относительную погрешность и наоборот.
Заметим, что формулы (2.8) и (2.9) часто приходится применять и тогда, когда мы еще не знаем приближенного числа а с требуемой точностью, а знаем грубое приближенное значение а . Например, требуется измерить длину предмета с относительной погрешностью не выше 0,1%. Спрашивается: возможно ли измерить длину с нужной точностью при помощи штангенциркуля, позволяющего измерить длину с абсолютной погрешностью до 0,1 мм? Пусть мы еще не измеряли предмет точным инструментом, но знаем, что грубое приближенное значение длины - около 12 см. По формуле (1.9) находим абсолютную погрешность:
Отсюда видно, что при помощи штангенциркуля возможно выполнить измерение с требуемой точностью.
В процессе вычислительной работы часто приходится переходить от абсолютной погрешности к относительной, и наоборот, что делается с помощью формул (1.8) и (1.9).
Ни одно измерение не свободно от погрешностей, или, точнее, вероятность измерения без погрешностей приближается к нулю. Род и причины погрешностей весьма разнообразны и на них влияют многие факторы (рис.1.2).
Общая характеристика влияющих факторов может быть систематизирована с различных точек зрения, например, по влиянию перечисленных факторов (рис.1.2).
По результатам измерения погрешности можно разделить на три вида: систематические, случайные и промахи.
Систематические погрешности, в свою очередь, делят на группы по причине их возникновения и характеру проявления. Они могут быть устранены различными способами, например, введением поправок.
рис. 1.2
Случайные погрешности вызываются сложной совокупностью изменяющихся факторов, обычно неизвестных и трудно поддающихся анализу. Их влияние на результат измерения можно уменьшить, например, путем многократных измерений с дальнейшей статистической обработкой полученных результатов методом теории вероятностей.
К промахам относятся грубые погрешности, которые возникают при внезапных изменениях условия эксперимента. Эти погрешности по своей природе тоже случайны, и после выявления должны быть исключены.
Точность измерений оценивается погрешностями измерений, которые подразделяются по природе возникновения на инструментальную и методическую и по методу вычислений на абсолютную, относительную и приведенную.
Инструментальная погрешность характеризуется классом точности измерительного прибора, который приведен в его паспорте в виде нормируемых основной и дополнительных погрешностей.
Методическая погрешность обусловлена несовершенством методов и средств измерений.
Абсолютная погрешность есть разность между измеренным G u и истинным G значениями величины, определяемая по формуле:
Δ=ΔG=G u -G
Заметим, что величина имеет размерность измеряемой величины.
Относительную погрешность находят из равенства
δ=±ΔG/G u ·100%
Приведенную погрешность рассчитывают по формуле (класс точности измерительного прибора)
δ=±ΔG/G норм ·100%
где G норм – нормирующее значение измеряемой величины. Ее принимают равной:
а) конечному значению шкалы прибора, если нулевая отметка находится на краю или вне шкалы;
б) сумме конечных значений шкалы без учета знаков, если нулевая отметка расположена внутри шкалы;
в) длине шкалы, если шкала неравномерная.
Класс точности прибора устанавливается при его проверке и является нормируемой погрешностью, вычисляемой по формулам
γ=±ΔG/G норм ·100%, если ΔG m =const
где ΔG m – наибольшая возможная абсолютная погрешность прибора;
G k – конечное значение предела измерения прибора; с и d – коэффициенты, учитывающие конструктивные параметры и свойства измерительного механизма прибора.
Например, для вольтметра с постоянной относительной погрешностью имеет место равенство
δ m =±c
Относительная и приведенная погрешности связаны следующими зависимостями:
а) для любого значения приведенной погрешности
δ=±γ·G норм /G u
б) для наибольшей приведенной погрешности
δ=±γ m ·G норм /G u
Из этих соотношений следует, что при измерениях, например вольтметром, в цепи при одном и том же значении напряжения относительная погрешность тем больше, чем меньше измеряемое напряжение. И если этот вольтметр выбран неправильно, то относительная погрешность может быть соизмерима со значением G н , что является недопустимым. Заметим, что в соответствии с терминологией решаемых задач, например, при измерении напряжения G = U , при измерении тока C = I , буквенные обозначения в формулах для вычисления погрешностей необходимо заменять на соответствующие символы.
Пример 1.1. Вольтметром, имеющим значения γ m = 1,0 % , U н = G норм, G k = 450 В , измеряют напряжение U u , равное 10 В. Оценим погрешности измерений.
Решение.
Ответ. Погрешность измерений составляет 45 %. При такой погрешности измеренное напряжение нельзя считать достоверным.
При ограниченных возможностях выбора прибора (вольтметра), методическая погрешность может быть учтена поправкой, вычисленной по формуле
Пример 1.2. Вычислить абсолютную погрешность вольтметра В7-26 при измерениях напряжения в цепи постоянного тока. Класс точности вольтметра задан максимально приведенной погрешностью γ m =±2,5 % . Используемый в работе предел шкалы вольтметра U норм =30 В.
Решение. Абсолютная погрешность вычисляется по известным формулам:
(так как приведенная погрешность, по определению, выражается формулой 
, то отсюда можно найти и абсолютную погрешность: 
Ответ. ΔU = ±0,75 В .
Важными этапами в процессе измерений являются обработка результатов и правила округления. Теория приближенных вычислений позволяет, зная степень точности данных, оценить степень точности результатов еще до выполнения действий: отобрать данные с надлежащей степенью точности, достаточной для обеспечения требуемой точности результата, но не слишком большую, чтобы избавить вычислителя от бесполезных расчетов; рационализировать сам процесс вычисления, освободив его от тех выкладок, которые не окажут влияния на точные цифры результаты.
При обработке результатов применяют правила округления.
- Правило 1. Если первая из отбрасываемых цифр больше пяти, то последняя из сохраняемых цифр увеличивается на единицу.
- Правило 2. Если первая из отбрасываемых цифр меньше пяти, то увеличение не делается.
- Правило 3. Если отбрасываемая цифра равняется пяти, а за ней нет значащих цифр, то округление производится на ближайшее четное число, т.е. последняя сохраняемая цифра остается неизменной, если она четная, и увеличивается, если она не четная.
Если за цифрой пять есть значащие цифры, то округление производится по правилу 2.
Применяя правило 3 к округлению одного числа, мы не увеличиваем точность округления. Но при многочисленных округлениях избыточные числа будут встречаться примерно столь же часто, как недостаточно. Взаимная компенсация погрешности обеспечит наибольшую точность результата.
Число, заведомо превышающее абсолютную погрешность (или в худшем случае равное ей), называется предельной абсолютной погрешностью.
Величина предельной погрешности не является вполне определенной. Для каждого приближенного числа должна быть известна его предельная погрешность (абсолютная или относительная).
Когда она прямо не указана, то подразумевается, что предельная абсолютная погрешность составляет половину единицы последнего выписанного разряда. Так, если приведено приближенное число 4,78 без указания предельной погрешности, то подразумевается, что предельная абсолютная погрешность составляет 0,005. Вследствие этого соглашения всегда можно обойтись без указания предельной погрешности числа, округленного по правилам 1-3, т.е., если приближенное число обозначить буквой α , то
Где Δn – предельная абсолютная погрешность; а δ n – предельная относительная погрешность.
Кроме того, при обработке результатов используются правила нахождения погрешности суммы, разности, произведения и частного.
- Правило 1. Предельная абсолютная погрешность суммы равна сумме предельных абсолютных погрешностей отдельных слагаемых, но при значительном числе погрешностей слагаемых обычно происходит взаимная компенсация погрешностей, поэтому истинная погрешность суммы лишь в исключительных случаях совпадает с предельной погрешностью или близка к ней.
- Правило 2. Предельная абсолютная погрешность разности равна сумме предельных абсолютных погрешностей уменьшаемого или вычитаемого.
Предельную относительную погрешность легко найти, вычислив предельную абсолютную погрешность.
- Правило 3. Предельная относительная погрешность суммы (но не разности) лежит между наименьшей и наибольшей из относительных погрешностей слагаемых.
Если все слагаемые имеют одну и ту же предельную относительную погрешность, то и сумма имеет ту же предельную относительную погрешность. Иными словами, в этом случае точность суммы (в процентном выражении) не уступает точности слагаемых.
В противоположность сумме разность приближенных чисел может быть менее точной, чем уменьшаемое и вычитаемое. Потеря точности особенно велика в том случае, когда уменьшаемое и вычитаемое мало отличаются друг от друга.
- Правило 4. Предельная относительная погрешность произведения приближенно равна сумме предельных относительных погрешностей сомножителей: δ=δ 1 +δ 2 , или, точнее, δ=δ 1 +δ 2 +δ 1 δ 2 где δ – относительная погрешность произведения, δ 1 δ 2 - относительные погрешности сомножителей.
Примечания :
1. Если перемножаются приближенные числа с одним и тем же количеством значащих цифр, то в произведении следует сохранить столько же значащих цифр. Последняя из сохраняемых цифр будет не вполне надежна.
2. Если некоторые сомножители имеют больше значащих цифр, чем другие, то до умножения следует первые округлить, сохранив в них столько цифр, сколько имеет наименее точный сомножитель или еще одну (в качестве запасной), дальнейшие цифры сохранять бесполезно.
3. Если требуется, чтобы произведение двух чисел имело заранее данное число вполне надежное, то в каждом из сомножителей число точных цифр (полученное измерением или вычислением) должно быть на единицу больше. Если количество сомножителей больше двух и меньше десяти, то в каждом из сомножителей число точных цифр для полной гарантии должно быть на две единицы больше, чем требуемое число точных цифр. Практически же вполне достаточно взять лишь одну лишнюю цифру.
- Правило 5. Предельная относительная погрешность частного приближенно равна сумме предельных относительных погрешностей делимого и делителя. Точная величина предельной относительной погрешности всегда превышает приближенную. Процент превышения примерно равен предельно относительной погрешности делителя.
Пример 1.3. Найти предельную абсолютную погрешность частного 2,81: 0,571.
Решение. Предельная относительная погрешность делимого есть 0,005:2,81=0,2%; делителя – 0,005:0,571=0,1%; частного – 0,2% + 0,1%=0,3%. Предельная абсолютная погрешность частного приближенно составит 2,81:0,571·0,0030=0,015
Значит, в частном 2,81:0,571=4,92 уже третья значащая цифра не надежна.
Ответ. 0,015.
Пример 1.4. Вычислить относительную погрешность показаний вольтметра, включенного по схеме (рис. 1.3), которая получается, если предположить, что вольтметр имеет бесконечно большое сопротивление и не вносит искажений в измеряемую цепь. Классифицировать погрешность измерения для этой задачи.
рис. 1.3
Решение.
Обозначим показания реального вольтметра через И, а вольтметра с бесконечно большим сопротивлениемчерез И ∞ . Искомая относительная погрешность 
Заметим, что
тогда получим
Так как R И >>R и R > r, то дробь в знаменателе последнего равенства много меньше единицы. Поэтому можно воспользоваться приближенной формулой 
, справедливой при λ≤1
для любого α
. Предположив, что в этой формуле α
= -1 и λ= rR (r+R) -1 R И -1
, получим δ ≈ rR/(r+R) R И
.
Чем больше сопротивление вольтметра по сравнению с внешним сопротивлением цепи, тем меньше погрешность. Но условие R< Ответ.
Погрешность систематическая методическая. Пример 1.5.
В цепь постоянного тока (рис.1.4) включены приборы: А – амперметр типа М 330 класса точности К А = 1,5 с пределом измерения I k = 20 А; А 1 – амперметр типа М 366 класса точности К А1 = 1,0 с пределом измерения I к1 = 7,5 А. Найти наибольшую возможную относительную погрешность измерения тока I 2 и возможные пределы его действительного значения, если приборы показали, что I=8,0А. и I 1 = 6,0А. Классифицировать измерение. рис. 1.4
Решение.
Определяем ток I 2
по показаниям прибора (без учета их погрешностей): I 2 =I-I 1 =8,0-6,0=2,0 А.
Найдем модули абсолютных погрешностей амперметров А и А 1 Для А
имеем равенство Найдем сумму модулей абсолютных погрешностей: Следовательно, наибольшая возможная и той же величины, выраженная в долях этой величины, равна 1 . 10 3 – для одного прибора; 2·10 3 – для другого прибора. Какой из этих приборов будет наиболее точным? Решение.
Точность прибора характеризуется значением, обратным погрешности (чем точнее прибор, тем меньше погрешность), т.е. для первого прибора это составит 1/(1 . 10 3) = 1000, для второго – 1/(2 . 10 3) = 500. Заметим, что 1000 > 500. Следовательно, первый прибор точнее второго в два раза. К аналогичному выводу можно прийти, проверив соответствие погрешностей: 2 . 10 3 / 1 . 10 3 = 2. Ответ.
Первый прибор в два раза точнее второго. Пример 1.6.
Найти сумму приближенных замеров прибора. Найти количество верных знаков: 0,0909 + 0,0833 + 0,0769 + 0.0714 + 0,0667 + 0.0625 + 0,0588+ 0,0556 + 0,0526. Решение.
Сложив все результаты замеров, получим 0,6187. Предельная наибольшая погрешность суммы 0,00005·9=0,00045. Значит, в последнем четвертом знаке суммы возможна ошибка до 5 единиц. Поэтому округляем сумму до третьего знака, т.е. тысячных, получаем 0,619 – результат, в котором все знаки верные. Ответ.
0,619. Количество верных знаков – три знака после запятой.
для амперметра 