С помощью определенного интеграла можно вычислять площади плоских фигур, так как эта задача всегда сводится к вычислению площадей криволинейных трапеций.
Площадь всякой фигуры в прямоугольной системе координат может быть составлена из площадей криволинейных трапеций, прилегающих к оси Ох или к оси Оу .
Задачи на вычисление площадей плоских фигур удобно решать по следующему плану:
1. По условию задачи сделать схематический чертеж
2. Представить искомую площадь как сумму или разность площадей криволинейных трапеций. Из условия задачи и чертежа определяют пределы интегрирования для каждой составляющей криволинейной трапеции.
3. Записывают каждую функцию в виде y = f(x) .
4. Вычисляют площади каждой криволинейной трапеции и площадь искомой фигуры.
Рассмотрим несколько вариантов расположения фигур.
1). Пусть на отрезке [a; b ] функция f(x) принимает неотрицательные значения. Тогда график функции y = f(x) расположен над осью Ох .
S =
2). Пусть на отрезке [a; b ] неположительная непрерывная функция f(x). Тогда график функции y = f(x) расположен под осью Ох :
Площадь такой фигуры вычисляется по формуле:S = -
Площадь такой фигуры вычисляется по формуле:S = 
4). Пусть на отрезке [a; b
] функция f(x)
принимает как положительные, так и отрицательные значения. Тогда отрезок [a; b
] нужно разбить на такие части, в каждой из которых функция не изменяет знак, затем по приведенным выше формулам вычислить соответствующие этим частям площади и найденные площади сложить.
S 1 = S 2 = - S ф = S 1 + S 2
Урок по математике для первого курса учреждений среднего профессионального образования
Тема: “Вычисление площадей плоских фигур с помощью определенного интеграла”.
Преподаватель математики С.Б. Баранова
Образовательные задачи:
обеспечить повторение, обобщение и систематизацию материала по данной теме;
создать условия контроля (самоконтроля) знаний и умений.
Развивающие задачи:
способствовать формированию умений применять приемы сравнения, обобщения, выделения главного;
продолжить развитие математического кругозора, мышления и речи, внимания и памяти.
Воспитательные задачи:
содействовать воспитанию интереса к математике;
воспитание активности, мобильности, умения общаться.
Тип урока – комбинированный урок с элементами проблемного обучения.
Методы и приёмы обучения – проблемный, наглядный, самостоятельная работа студентов, самопроверка.
Оборудование – приложение к уроку, таблицы.
План урока
Организационный момент. Подготовка студентов к работе на занятии.
Подготовка студентов к активной деятельности (проверка вычислительных навыков и таблиц интегралов по группам).
Подготовка к изучению нового материала через повторение и актуализацию опорных знаний.
Работа с новым материалом.
Первичное осмысление и применение изученного материала, его закрепление.
Домашнее задание.
Применение знаний.
Подведение итогов.
Рефлексия.
Ход урока
1. Организационный момент.
Понятие определенного интеграла является одним из основных понятий математики. К концу 17 в. Ньютоном и Лейбницем был создан аппарат дифференциального и интегрального исчисления, который составляет основу математического анализа.
На предыдущих занятиях мы научились “брать” неопределенные интегралы, вычислять определенные интегралы. Но куда важнее применение определенного интеграла. Мы знаем, что с его помощью можно вычислять площади криволинейных трапеций. Сегодня мы ответим на вопрос: “Как это сделать?”
2. Подготовка студентов к активной деятельности.
Но сначала нам необходимо проверить вычислительные навыки и знание таблицы интегралов. Перед вами задание, результатом выполнения которого будет высказывание французского математика С.Д. Пуассона (Жизнь украшается двумя вещами: занятием математикой и ее преподаванием).
Задание выполняется парами ().
3. Подготовка к изучению нового материала через повторение и актуализацию опорных знаний.
Переходим к теме нашего занятия “Вычисления площадей плоских фигур с помощью определенного интеграла”. Кроме умения вычислять определенный интеграл, нам нужно вспомнить свойства площадей. В чем они заключаются?
Равные фигуры имеют равные площади.
Если фигура разбита на две части, то её площадь находится как сумма площадей отдельных частей.
Также нам нужно повторить правило интеграла суммы и формулу Ньютона-Лейбница.
4. Работа с новым интегралом
1. Определенный интеграл служит для вычисления площадей криволинейных трапеций. Но на практике чаще встречаются фигуры, которые таковыми не являются и нам необходимо научиться находить площади именно таких фигур.
Работа по таблице “Основные случаи расположения плоской фигуры и соответствующие формулы площадей” ().
2. Давай проверим себя.
Работа с заданием () с последующей проверкой (таблица №3).
3. Но умения правильно выбирать формулы для площади недостаточно. На следующей таблице () в каждом из заданий есть “внешняя” причина, не позволяющая вычислить площадь фигуры. Найдём их.
а) не указаны формулы для графиков функций.
б) нет пределов интегрирования.
в) не указаны названия графиков и нет одного предела.
г) не указана формула одного из графиков.
4. С учетом проделанной работы, сформулируем и запишем алгоритм решения задач на тему урока.
Построить графики данных линий. Определить искомую фигуру.
Найти пределы интегрирования.
Записать площадь искомой фигуры с помощью определенного интеграла.
Вычислить полученный интеграл.
5. Первичное осмысление и применение изученного материала, его закрепление.
1. С учетом алгоритма выполним задание №2 из последней таблицы.
Рисунок 1
Решение:
Для точки А:
– не удовлетворяет условию задания
Для точки В:
– не удовлетворяет условию задачи.
Ответ: (кв. ед).
2. Но при выполнении этого задания алгоритм применялся не полностью. Для его отработки выполним следующее задание
Задание. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями , .
Рисунок 2
Решение:
– парабола, вершина (m,n).
(0;2) – вершина
Найдём пределы интегрирования.
Ответ: (кв.ед).
6. Домашнее задание.
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями (задание разобрать).
7. Применение знаний.
Самостоятельная работа (Приложение №5))
8. Подведение итогов.
научились составлять формулы для нахождения площадей плоских фигур;
находить пределы интегрирования;
вычислять площади фигур.
9. Рефлексия.
Студентам раздаются листочки. Они должны оценить свою работу, выбрав один из предложенных вариантов ответа.
Оценить степень сложности урока.
Вам было на уроке:
легко;
обычно;
трудно.
усвоил полностью, могу применить;
усвоил полностью, но затрудняюсь в применении;
усвоил частично;
не усвоил.
Просмотрев ответы, сделать вывод о подготовленности студентов к практической работе.
Используемая литература:
Валуцэ И.И., Дилигулин Г.Д. Математика для техникумов.
Крамер Н.Ш., Путко Б.А., Тришин И.М. Высшая математика для экономистов.
Данко П.Е., Попов А.Г. Высшая математика, ч.1.
Званич Л.И., Рязановский А.Р. М., Новая школа.
Газета “Математика”. Издательский дом “Первое сентября”.
Приложение № 1
Вычислите определённые интегралы и вы узнаете одно из высказываний французского математика С.Д.Пуассона.
9
Жизнь
Тремя
Двумя
Вещами
Занятием
Математикой
Арифметикой
Преподаванием
Её
Украшается
Забыванием
Приложение № 2
ОСНОВНЫЕ СЛУЧАИ РАСПОЛОЖЕНИЯ ПЛОСКОЙ ФИГУРЫ И СООТВЕТСТВУЮЩИЕ ФОРМУЛЫ ПЛОЩАДЕЙ
______________________________________
_
__________________________________
______
________________________________
______
___________________________________
Фигура симметричная относительно оси ординат или начала координат.
Приложение № 3
Используя определенный интеграл, запишите формулы для вычисления площадей фигур, заштрихованных на рисунке.
_________________________________________
__________________________________________
___________________________________________
___________________________________________
____________________________________________
Приложение № 4
Найти «внешнюю» причину, не позволяющую вычислить площадь фигуры.
Рисунок 1
Рисунок 2
Рисунок 3
Рисунок 4
_____________________________
Приложение № 5
Самостоятельная работа
Вариант 1
Запишите с помощью интегралов площади фигур и вычислите их
Нарисуйте фигуры, пл ощади которых равны следующим интегралам:
Самостоятельная работа
Вариант 2
Установите, верны ли следующие утверждения:
Запишите с помощью интегралов площади фигур и вычислите их
Нарисуйте фигуры, площади которых равны следующим интегралам:
26. Вычисление площадей плоских фигур с помощью определенного интеграла
Определение 1.
Криволинейной
трапецией
, порожденной графиком
неотрицательной функцииf
на отрезке,
называется фигура, ограниченная отрезком
оси абсцисс, отрезками прямых
,
и графиком функции
на
.
1. Разобьем
отрезок
точками
на частичные отрезки.
2. В
каждом отрезке
(гдеk
=1,2,...,n
)
выберем произвольную точку
.
3. Вычислим
площади прямоугольников, у которых
основания есть отрезки
оси абсцисс, а высоты имеют длины
.
Тогда площадь ступенчатой фигуры,
образованной этими прямоугольниками,
равна
.
Заметим, что чем меньше длины частичных отрезков, тем более ступенчатая фигура по расположению близка к данной криволинейной трапеции. Поэтому естественно дать следующее определение.
Определение 2.
Площадью
криволинейной трапеции,
порожденной графиком неотрицательной
функции f
на отрезке
,
называется предел (при стремлении к 0
длин всех частичных отрезков) площадей
ступенчатых фигур, если:
1) этот предел существует и конечен;
2) не
зависит от способа разбиения отрезка
на частичные отрезки;
3) не
зависит от выбора точек
.
Теорема 1.
Если функция
непрерывна и неотрицательна на отрезке
,
то криволинейная трапеция
F
,
порожденная графиком функции
f
на
,
имеет площадь, которая вычисляется по
формуле
.
С помощью определенного интеграла можно вычислять площади плоских фигур и более сложного вида.
Если f
иg
- непрерывные и неотрицательные на
отрезке
функции, причем для всехx
из отрезка
выполняется неравенство
,
то площадь фигурыF
,ограниченной
прямыми
,
и графиками функций
,
,
вычисляется по формуле
.
Замечание. Если отбросить условие неотрицательности функцийf иg , последняя формула остается верной.
Тема 9. Дифференциальные уравнения
27. Понятие о дифференциальном уравнении. Общее и частное решение. Задача Коши. Задача о построении математической модели демографического процесса
Теория дифференциальных уравнений возникла в конце 17 века под влиянием потребностей механики и других естественнонаучных дисциплин, по существу одновременно с интегральным и дифференциальным исчислением.
Определение 1.
n
-го
порядка
называется уравнение вида,
в котором
- неизвестная функция.
Определение 2.
Функция
называется решениям дифференциального
уравнения на промежуткеI
, если при подстановке этой функции и
ее производных дифференциальное
уравнение обращается в тождество.
Решить дифференциальное уравнение - это найти все его решения.
Определение 3. График решения дифференциального уравнения называетсяинтегральной кривой дифференциального уравнения.
Определение 4.
Обыкновенным
дифференциальным уравнением
1-го
порядка
называется уравнение вида
.
Определение 5.
Уравнение вида
называется дифференциальным уравнением
1-го порядка
,разрешенным
относительно производной
.
Как правило, любое дифференциальное уравнение имеет бесконечно много решений. Чтобы выделить из совокупности всех решений какое-либо одно, надо наложить дополнительные условия.
Определение 6.
Условие вида
,
накладываемое на решение дифференциального
уравнения 1-го порядка, называетсяначальным условием
, илиусловием
Коши
.
Геометрически это означает, что
соответствующая интегральная кривая
проходит через точку
.
Определение 7.
Общим решением
дифференциального уравнения 1-го
порядка
на плоской областиD
называется однопараметрическое семейство
функций
,
удовлетворяющее условиям:
1) для любого
функция
является решением уравнения;
2) для каждой точки
существует такое значение параметра
,
что соответствующая функция
является решением уравнения, удовлетворяющим
начальному условию
.
Определение 8. Решение, получаемое из общего решения при некотором значении параметра, называетсячастным решением дифференциального уравнения.
Определение 9. Особым решением дифференциального уравнения называется всякое решение, которое не может быть получено из общего решения ни при каком значении параметра.
Решение дифференциальных уравнений - очень сложная задача, и, вообще говоря, чем выше порядок уравнения, тем труднее указать способы решения уравнения. Даже для дифференциальных уравнений первого порядка удается лишь в небольшом числе частных случаев указать приемы нахождения общего решения. Более того, и в этих случаях искомое решение не всегда является элементарной функцией.
Одна из основных задач теории дифференциальных уравнений, впервые изучавшаяся О. Коши, состоит в отыскании решения дифференциального уравнения, удовлетворяющего заданным начальным условиям.
Например, всегда ли существует решение
дифференциального уравнения
,
удовлетворяющее начальному условию
,
и будет ли оно единственным? Вообще
говоря, ответ отрицательный. В самом
деле, уравнение
,
правая часть которого непрерывна на
всей плоскости, имеет решенияy
=0
иy
=(x
+C
) 3 ,C
R
. Следовательно, через любую точку оси
Ох
проходит две интегральные кривые.
Таким образом, функция должна удовлетворять
некоторым требованиям. В следующей
теореме содержится один из вариантов
достаточных условий для существования
и единственности решения дифференциального
уравнения
,
удовлетворяющего начальному условию
.
Из определения следует, что для неотрицательной функции f(x) определенный интегралравен площади криволинейной трапеции, ограниченной кривой у =f(x), прямыми х = а, х =bи осью абсциссy= 0 (рисунок 4.1).
Если функция – f(x)
неположительна, то определенный интеграл
равен площади соответствующей
криволинейной трапеции, взятой со знаком
минус (рисунок 4.7).
Рисунок 4.7 – Геометрический смысл определенного интеграла для неположительной функции
Для произвольной
непрерывной функции f(x)
определенный интеграл
равен сумме площадей криволинейных
трапеций, лежащих под графиком функцииf(x) и выше
оси абсцисс, за вычетом суммы площадей
криволинейных трапеций, лежащих над
графиком функцииf(x)
и ниже оси абсцисс (рисунок 4.8).
Рисунок 4.8 – Геометрический смысл определенного интеграла для произвольной непрерывной функции f(x) (знаком «плюс» помечена площадь, которую прибавляют, а «минусом» - та, которую вычитают).
При вычислении на
практике площадей криволинейных фигур
часто используется следующая формула:
,
гдеS– площадь фигуры,
заключенной между кривыми y = f 1 (x)
и y = f 2 (x) на отрезке [а,b],
а f 1 (x) и f 2 (x) - непрерывные
функции, заданные на этом отрезке, такие,
что f 1 (x) ≥ f 2 (x) (см. рисунки
4.9, 4.10).
При изучении экономического смысла производной было выяснено, что производная выступает как скорость изменения некоторого экономического объекта или процесса во времени или относительного другого исследуемого фактора. Чтобы установить экономический смысл определенного интеграла, необходимо саму эту скорость рассмотреть в виде функции от времени или другого фактора. Тогда, так как определенный интеграл представляет собой изменение первообразной, мы получим, что в экономике он оценивает изменение этого объекта (процесса) за определенный период времени (или при определенном изменении другого фактора).
Например, если функция
q=q(t)
описывает производительность труда в
зависимости от времени, то определенный
интеграл от этой функции
представляет собой объем выпущенной
продукцииQза промежуток
времени отt 0 доt 1 .
Методы вычисления определенных интегралов основаны на рассмотренных ранее методах интегрирования (доказательств проводить не будем).
При нахождении
неопределенного интеграла мы пользовались
методом замены переменной, основанным
на формуле: f(x)dx=
=f((t))`(t)dt, где x =(t)
- функция, дифференцируемая на
рассматриваемом промежутке. Для
определенного интеграла формула замены
переменной примет вид
,
где
и для всех.
Пример 1 . Найти
Пусть t= 2 –x 2 . Тогдаdt= -2xdxиxdx= - ½dt.
При х = 0 t= 2 – 0 2 = 2. При х = 1t= 2 – 1 2 = 1. Тогда
Пример 2 . Найти
Пример 3 . Найти
Формула интегрирования
по частям для определенного интеграла
примет вид:
,
где
.
Пример 1 . Найти
Пусть u=ln(1 +x),dv=dx. Тогда
Пример 2 . Найти
Вычисление площадей плоских фигур с помощью определенного интеграла
Пример 1. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями у = х 2 – 2 иy=x.
График функции y= х 2 – 2 представляет собой параболу с точкой
минимума приx= 0,y= -2; ось абсцисс пересекается в точках
.
График функции у = х – прямая,
биссектриса неотрицательной координатной
четверти.
Найдем координаты точек пересечения параболы у = х 2 – 2 и прямой у = х, решив систему этих уравнений:
х 2 – х - 2 = 0
х = 2; y= 2 или х = -1;y= -1
Таким образом, фигуру, площадь которой необходимо найти, можно представить на рисунке 4.9.
Рисунок 4.9 – Фигура, ограниченная линиями у = х 2 – 2 иy=x
На отрезке [-1, 2] х ≥ х 2 – 2 .
Воспользуемся формулой
,
полагая f 1 (х) = х; f 2 (х) = х 2 – 2;a= -1;b= 2.
Пример 2. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями у = 4 - х 2 иy= х 2 – 2x.
График функции y = 4 - х 2 представляет собой параболу с точкой максимума приx= 0,y= 4; ось абсцисс пересекается в точках 2 и -2. График функции у = х 2 – 2x– парабола с точкой минимума при 2x- 2 = 0, х = 1;y= -1; ось абсцисс пересекается в точках 0 и 2.
Найдем координаты точек пересечения кривых:
4 - х 2 = х 2 – 2х
2х 2 – 2х - 4 = 0
х 2 – х - 2 = 0
х = 2; y= 0 или х = -1;y= 3
Таким образом, фигуру, площадь которой необходимо найти, можно предствить на рисунке 4.10.
Рисунок 4.10 - Фигура, ограниченная линиями у = 4 - х 2 иy= х 2 – 2x
На отрезке [-1, 2] 4 - х 2 ≥ х 2 – 2x.
Воспользуемся формулой
,
полагая f 1 (х) = 4 -
- х 2 ; f 2 (х)
= х 2 – 2х;a= -1;b= 2.
Пример 3. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями у = 1/х;y= х 2 иy= 4 в неотрицательной координатной четверти.
График функции у = 1/х представляет собой гиперболу, при положительных х она выпукла вниз; оси координат являются асимптотами. График функции у = х 2 в неотрицательной координатной четверти – ветвь параболы с точкой минимума в начале координат. Эти графики пересекаются при 1/х = х 2 ; х 3 = 1; х = 1; у = 1.
Прямую y= 4 график функции у = 1/х пересекает при х =1/4, а график функции у = х 2 при х = 2 (или -2).
Таким образом, фигуру, площадь которой необходимо найти, можно представить на рисунке 4.11.
Рисунок 4.11 - Фигура, ограниченная линиями у = 1/х; y= х 2 иy= 4 в неотрицательной координатной четверти
Искомая площадь фигуры ABCравна разности между площадью прямоугольника АВНЕ, которая равна 4*(2 – ¼) = 7, и суммой площадей двух криволинейных трапеций АСFЕ и СВНF. Вычислим площадь АСFЕ:
Вычислим площадь СВНF:
.
Итак, искомая площадь равна 7 – (ln4 + 7/3) = 14/3 –ln43,28 (ед. 2).
Переходим к рассмотрению приложений интегрального исчисления. На этом уроке мы разберем типовую и наиболее распространенную задачу вычисления площади плоской фигуры с помощью определенного интеграла . Наконец-то все ищущие смысл в высшей математике – да найдут его. Мало ли. Придется вот в жизни приближать дачный участок элементарными функциями и находить его площадь с помощью определенного интеграла.
Для успешного освоения материала, необходимо:
1) Разбираться в неопределенном интеграле хотя бы на среднем уровне. Таким образом, чайникам для начала следует ознакомиться с уроком Не.
2) Уметь применять формулу Ньютона-Лейбница и вычислять определенный интеграл. Наладить теплые дружеские отношения с определенными интегралами можно на странице Определенный интеграл. Примеры решений . Задание «вычислить площадь с помощью определенного интеграла» всегда предполагает построение чертежа , поэтому актуальным вопросом будут также ваши знания и навыки построения чертежей. Как минимум, надо уметь строить прямую, параболу и гиперболу.
Начнем с криволинейной трапеции. Криволинейной трапеция - это плоская фигура, ограниченная графиком некоторой функции y = f (x ), осью OX и линиями x = a ; x = b .
Площадь криволинейной трапеции численно равна определенному интегралу
У любого определенного интеграла (который существует) есть очень хороший геометрический смысл. На уроке Определенный интеграл. Примеры решений мы говорили, что определенный интеграл – это число. А сейчас пришла пора констатировать еще один полезный факт. С точки зрения геометрии определенный интеграл – это ПЛОЩАДЬ . То есть, определенному интегралу (если он существует) геометрически соответствует площадь некоторой фигуры . Рассмотрим определенный интеграл
Подынтегральная функция
задает на плоскости кривую (её при желании можно начертить), а сам определенный интеграл численно равен площади соответствующей криволинейной трапеции.
Пример 1
, , , .
Это типовая формулировка задания. Важнейший момент решения – построение чертежа . Причем, чертеж необходимо построить ПРАВИЛЬНО .
При построении чертежа я рекомендую следующий порядок: сначала лучше построить все прямые (если они есть) и только потом – параболы, гиперболы, графики других функций. С техникой поточечного построения можно ознакомиться в справочном материале Графики и свойства элементарных функций . Там же можно найти очень полезный применительно к нашему уроку материал – как быстро построить параболу.
В данной задаче решение может выглядеть так.
Выполним чертеж (обратите внимание, что уравнение y = 0 задает ось OX ):
Штриховать криволинейную трапецию не будем, здесь очевидно, о какой площади идет речь. Решение продолжается так:
На отрезке [-2; 1] график функции y = x 2 + 2 расположен над осью OX , поэтому:
Ответ: .
У кого возникли трудности с вычислением определенного интеграла и применением формулы Ньютона-Лейбница
,
обратитесь к лекции Определенный интеграл. Примеры решений . После того, как задание выполнено, всегда полезно взглянуть на чертеж и прикинуть, реальный ли получился ответ. В данном случае «на глазок» подсчитываем количество клеточек в чертеже – ну, примерно 9 наберётся, похоже на правду. Совершенно понятно, что если бы у нас получился, скажем, ответ: 20 квадратных единиц, то, очевидно, что где-то допущена ошибка – в рассматриваемую фигуру 20 клеточек явно не вмещается, от силы десяток. Если ответ получился отрицательным, то задание тоже решено некорректно.
Пример 2
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями xy = 4, x = 2, x = 4 и осью OX .
Это пример для самостоятельного решения. Полное решение и ответ в конце урока.
Что делать, если криволинейная трапеция расположена под осью OX ?
Пример 3
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y = e - x , x = 1 и координатными осями.
Решение: Выполним чертеж:
Если криволинейная трапеция полностью расположена под осью OX , то её площадь можно найти по формуле:
В данном случае:
.
Внимание! Не следует путать два типа задач:
1) Если Вам предложено решить просто определенный интеграл без всякого геометрического смысла, то он может быть отрицательным.
2) Если Вам предложено найти площадь фигуры с помощью определенного интеграла, то площадь всегда положительна! Именно поэтому в только что рассмотренной формуле фигурирует минус.
На практике чаще всего фигура расположена и в верхней и в нижней полуплоскости, а поэтому, от простейших школьных задачек переходим к более содержательным примерам.
Пример 4
Найти площадь плоской фигуры, ограниченной линиями y = 2x – x 2 , y = -x .
Решение: Сначала нужно выполнить чертеж. При построении чертежа в задачах на площадь нас больше всего интересуют точки пересечения линий. Найдем точки пересечения параболы y = 2x – x 2 и прямой y = -x . Это можно сделать двумя способами. Первый способ – аналитический. Решаем уравнение:
Значит, нижний предел интегрирования a = 0, верхний предел интегрирования b = 3. Часто выгоднее и быстрее построить линии поточечно, при этом пределы интегрирования выясняются как бы «сами собой». Тем не менее, аналитический способ нахождения пределов все-таки приходится иногда применять, если, например, график достаточно большой, или поточенное построение не выявило пределов интегрирования (они могут быть дробными или иррациональными). Возвращаемся к нашей задаче: рациональнее сначала построить прямую и только потом параболу. Выполним чертеж:
Повторимся, что при поточечном построении пределы интегрирования чаще всего выясняются «автоматоматически».
А теперь рабочая формула:
Если на отрезке [a ; b ] некоторая непрерывная функция f (x ) больше либо равна некоторой непрерывной функции g (x ), то площадь соответствующей фигуры можно найти по формуле:
Здесь уже не надо думать, где расположена фигура – над осью или под осью, а важно, какой график ВЫШЕ (относительно другого графика), а какой – НИЖЕ .
В рассматриваемом примере очевидно, что на отрезке парабола располагается выше прямой, а поэтому из 2x – x 2 необходимо вычесть –x .
Завершение решения может выглядеть так:
Искомая фигура ограничена параболой y = 2x – x 2 сверху и прямой y = -x снизу.
На отрезке 2x – x 2 ≥ -x . По соответствующей формуле:
Ответ: .
На самом деле, школьная формула для площади криволинейной трапеции в нижней полуплоскости (см. пример №3) – частный случай формулы
.
Поскольку ось OX задается уравнением y = 0, а график функции g (x ) расположен ниже оси OX , то
.
А сейчас пара примеров для самостоятельного решения
Пример 5
Пример 6
Найти площадь фигуры, ограниченной линиями
В ходе решения задач на вычисление площади с помощью определенного интеграла иногда случается забавный казус. Чертеж выполнен правильно, расчеты – правильно, но, по невнимательности,… найдена площадь не той фигуры.
Пример 7
Сначала выполним чертеж:
Фигура, площадь которой нам нужно найти, заштрихована синим цветом (внимательно смотрите на условие – чем ограничена фигура!). Но на практике, по невнимательности, нередко решают, что нужно найти площадь фигуры, которая заштрихована зеленым цветом!
Этот пример еще и полезен тем, что в нём площадь фигуры считается с помощью двух определенных интегралов. Действительно:
1) На отрезке [-1; 1] над осью OX расположен график прямой y = x +1;
2) На отрезке над осью OX расположен график гиперболы y = (2/x ).
Совершенно очевидно, что площади можно (и нужно) приплюсовать, поэтому:
Ответ:
Пример 8
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями
Представим уравнения в «школьном» виде
и выполним поточечный чертеж:
Из чертежа видно, что верхний предел у нас «хороший»: b = 1.
Но чему равен нижний предел?! Понятно, что это не целое число, но какое?
Может быть, a =(-1/3)? Но где гарантия, что чертеж выполнен с идеальной точностью, вполне может оказаться что a =(-1/4). А если мы вообще неправильно построили график?
В таких случаях приходиться тратить дополнительное время и уточнять пределы интегрирования аналитически.
Найдем точки пересечения графиков
Для этого решаем уравнение:
.
Следовательно, a =(-1/3).
Дальнейшее решение тривиально. Главное, не запутаться в подстановках и знаках. Вычисления здесь не самые простые. На отрезке
, 
,
по соответствующей формуле:
Ответ: 
В заключение урока, рассмотрим два задания сложнее.
Пример 9
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями
Решение: Изобразим данную фигуру на чертеже.
Для поточечного построения чертежа необходимо знать внешний вид синусоиды. Вообще, полезно знать графики всех элементарных функций, а также некоторые значения синуса. Их можно найти в таблице значений тригонометрических функций . В ряде случаев (например, в этом) допускается построение схематического чертежа, на котором принципиально правильно должны быть отображены графики и пределы интегрирования.
С пределами интегрирования здесь проблем нет, они следуют прямо из условия:
– «икс» изменяется от нуля до «пи». Оформляем дальнейшее решение:
На отрезке график функции y = sin 3 x расположен над осью OX , поэтому:
(1) Как интегрируются синусы и косинусы в нечетных степенях, можно посмотреть на уроке Интегралы от тригонометрических функций . Отщипываем один синус.
(2) Используем основное тригонометрическое тождество в виде
(3) Проведем замену переменной t = cos x , тогда: расположен над осью , поэтому:
.
.
Примечание: обратите внимание, как берется интеграл от тангенса в кубе, здесь использовано следствие основного тригонометрического тождества
.