Bezwzględny i względny błąd liczb.

Jako charakterystykę dokładności przybliżonych wielkości dowolnego pochodzenia wprowadzono pojęcia błędów bezwzględnych i względnych tych wielkości.

Oznaczmy przez przybliżenie dokładnej liczby A.

Definiować. Ilość nazywa się błędem przybliżonej liczbya.

Definicja. Absolutny błąd przybliżona liczba a nazywana jest ilością
.

Praktycznie dokładna liczba A jest zwykle nieznana, ale zawsze możemy wskazać granice, w których waha się błąd bezwzględny.

Definicja. Maksymalny błąd bezwzględny przybliżona liczba a nazywana jest najmniejszą z górnych granic wielkości , które można znaleźć stosując tę ​​metodę uzyskiwania liczby.

W praktyce jako wybierz jedną z górnych granic dla , całkiem blisko najmniejszego.

Ponieważ
, To
. Czasami piszą:
.

Absolutny błąd jest różnicą pomiędzy wynikiem pomiaru

i prawdziwą (rzeczywistą) wartość zmierzona ilość.

Błąd bezwzględny i maksymalny błąd bezwzględny nie są wystarczające do scharakteryzowania dokładności pomiaru lub obliczeń. Jakościowo ważniejsza jest ilość względny błąd.

Definicja. Względny błąd Liczbę przybliżoną nazywamy ilością:

Definicja. Maksymalny błąd względny przybliżona liczba, nazwijmy ją ilością

Ponieważ
.

Zatem błąd względny faktycznie określa wielkość błędu bezwzględnego na jednostkę zmierzonej lub obliczonej przybliżonej liczby a.

Przykład. Zaokrąglij dokładne liczby A do trzech cyfr znaczących, określ

błędy bezwzględne D i względne δ uzyskanego przybliżenia

Dany:

Znajdować:

∆-błąd bezwzględny

δ – błąd względny

Rozwiązanie:

=|-13.327-(-13.3)|=0.027

,A 0

*100%=0.203%

Odpowiedź:=0,027; δ=0,203%

2. Zapis dziesiętny liczby przybliżonej. Znacząca postać. Poprawne cyfry liczb (definicja cyfr poprawnych i znaczących, przykłady; teoria związku błędu względnego z liczbą cyfr poprawnych).

Prawdziwe znaki liczby.

Definicja. Cyfrą znaczącą liczby przybliżonej a jest dowolna cyfra różna od zera i zero, jeśli znajduje się pomiędzy cyframi znaczącymi lub reprezentuje zapisane miejsce po przecinku.

Na przykład w liczbie 0,00507 =
mamy 3 cyfry znaczące, a w liczbie 0,005070=
cyfry znaczące, tj. zero po prawej stronie, z zachowaniem miejsca dziesiętnego, jest znaczące.

Od tej chwili zgódźmy się na pisanie zer po prawej stronie, jeśli tylko są one znaczące. Innymi słowy, wtedy

Wszystkie cyfry a są znaczące, z wyjątkiem zer po lewej stronie.

W systemie liczb dziesiętnych dowolną liczbę a można przedstawić jako sumę skończoną lub nieskończoną (ułamek dziesiętny):

Gdzie
,
- pierwsza znacząca cyfra, m - liczba całkowita zwana najbardziej znaczącym miejscem po przecinku liczby a.

Na przykład 518,3 =, m=2.

Korzystając z notacji, wprowadzamy pojęcie poprawnych miejsc po przecinku (w znaczące liczby) około

pierwszego dnia.

Definicja. Mówi się, że w przybliżonej liczbie a postaci n są pierwszymi cyframi znaczącymi ,

gdzie i= m, m-1,..., m-n+1 są poprawne, jeśli błąd bezwzględny tej liczby nie przekracza połowy jednostki cyfry wyrażonej n-tą cyfrą znaczącą:

W przeciwnym razie ostatnia cyfra
nazwać wątpliwym.

Podczas zapisywania liczby przybliżonej bez wskazania jej błędu wymagane jest podanie wszystkich zapisanych liczb

byli wierni. Wymóg ten jest spełniony we wszystkich tablicach matematycznych.

Określenie „n poprawnych cyfr” charakteryzuje jedynie stopień dokładności liczby przybliżonej i nie należy rozumieć w ten sposób, że pierwszych n cyfr znaczących liczby przybliżonej a pokrywa się z odpowiadającymi im cyframi dokładnej liczby A. Przykładowo, dla liczby A = 10, a = 9,997, wszystkie cyfry znaczące są różne, ale liczba a ma 3 ważne cyfry znaczące. Rzeczywiście, tutaj m=0 i n=3 (znalezimy to przez selekcję).

nauczyciel matematyki w miejskiej placówce oświatowej „Szkoła średnia Upshinskaya”

Rejon Orsza Republiki Mari El

(Do podręcznika Yu.A. Makaryczewa Algebra 8)

ABSOLUTNY BŁĄD

Znajdźmy wartość y przy x = 1,5 z wykresu

y=x 2

y ≈2,3

Znajdźmy wartość y przy x = 1,5, korzystając ze wzoru

y = 1,5 2 = 2,25

Wartość przybliżona różni się od wartości dokładnej o 2,3 – 2,25 = 0,05

ABSOLUTNY BŁĄD

Znajdźmy wartość y przy x = 1,8 z wykresu

y=x 2

y ≈3,2

Znajdźmy wartość y przy x = 1,8, korzystając ze wzoru

y = 1,8 2 = 3,24

Wartość przybliżona różni się od wartości dokładnej o 3,24 – 3,2 = 0,04

ABSOLUTNY BŁĄD

X

1,5

Dokładna wartość Na

(wg wzoru)

1,8

2,25

Przybliżenie Na (w harmonogramie)

3,24

2,3

3,2

y=x 2

Definicja. Absolutny błąd

y = 2,3 AP = |2,25 – 2,3| = |- 0,0 5| = 0,05

y = 3,2 AP = |3,24 – 3,2| = | 0,0 4| = 0,04

ABSOLUTNY BŁĄD

Definicja. Absolutny błąd Wartość przybliżona nazywana jest modułem różnicy między wartościami dokładnymi i przybliżonymi.

Przykład 1 pud wynosi 16,38. Zaokrąglij tę wartość do liczb całkowitych i znajdź błąd bezwzględny wartości przybliżonej.

Rozwiązanie. 1 6,38 ≈ 16

16,38 – Dokładna wartość;

16 to wartość przybliżona.

AP = | 16,38 – 16 | = |0 ,38 | = 0, 38

ABSOLUTNY BŁĄD

Definicja. Absolutny błąd Wartość przybliżona nazywana jest modułem różnicy między wartościami dokładnymi i przybliżonymi.

Przykład 2 wiorst wynosi 1067 m. Zaokrąglij tę wartość do dziesiątek i znajdź błąd bezwzględny przybliżonej wartości.

Rozwiązanie. 10 6 7 ≈ 1070

1067 – dokładna wartość;

1070 to wartość przybliżona.

AP = | 1067 – 1070 | = |-3| = 3

ABSOLUTNY BŁĄD

Definicja. Absolutny błąd Wartość przybliżona nazywana jest modułem różnicy między wartościami dokładnymi i przybliżonymi.

Przykład 3. Starożytna rosyjska miara długości pojąć wynosi 2,13 m. Zaokrąglij tę wartość do części dziesiątych i znajdź błąd bezwzględny przybliżonej wartości.

Rozwiązanie. 2,1 3 ≈ 2,1

2,13 – dokładna wartość;

2,1 to wartość przybliżona.

AP = | 2,13 – 2,1 | = | 0,03 | = 0,03

ABSOLUTNY BŁĄD

Przykład 4. Przedstaw ułamek jako ułamek nieskończony frakcja okresowa. Zaokrąglij wynik do setnych i znajdź błąd bezwzględny przybliżonej wartości.

DOKŁADNOŚĆ PRZYBLIŻENIA

Czy zawsze można znaleźć błąd bezwzględny?

AB ≈ 5,3 cm

Znajdź długość odcinka AB

Nie możemy określić dokładnej wartości długości odcinka AB, dlatego nie da się znaleźć błędu bezwzględnego wartości przybliżonej.

W takich przypadkach błąd jest wskazywany jako liczba, powyżej której błąd bezwzględny nie może być większy.

W naszym przykładzie możemy przyjąć liczbę 0,1 jako taką liczbę.

DLACZEGO? Wartość podziału linijki wynosi 0,1 cm, dlatego błąd bezwzględny przybliżonej wartości 5,3 nie przekracza 0,1.

DOKŁADNOŚĆ PRZYBLIŻENIA

Mówią, że liczba 5,3 to przybliżona wartość długości odcinka AB (w centymetrach) z dokładnością do 0,1

AB ≈ 5,3 cm

t ≈ 28 0 z dokładnością do 1

t ≈ 14 0 z dokładnością do 2

Określ dokładność przybliżonych wartości wielkości uzyskanych podczas pomiarów przyrządami pokazanymi na rysunkach 1-4

DOKŁADNOŚĆ PRZYBLIŻENIA

Mówią, że liczba 5,3 to przybliżona wartość długości odcinka AB (w centymetrach) z dokładnością do 0,1

AB ≈ 5,3 cm

Jeśli x ≈ a a błąd bezwzględny wartości przybliżonej nie przekracza określonej liczby H , To numer A nazywa się wartością przybliżoną X z dokładnością do h

X ≈ A aż do H

X = A ± H

DOKŁADNOŚĆ PRZYBLIŻENIA

AB ≈ 5,3 cm

z dokładnością do 0,1

t ≈ 28 0 z dokładnością do 1

z dokładnością do 2

Definicja. Błąd względny (dokładność) wartości przybliżonej to stosunek błędu bezwzględnego (dokładności) do modułu wartości przybliżonej

Do oceny jakości pomiaru można zastosować definicje względny błąd I względna dokładność

l = 100,0 ± 0,1

b = 0,4 ± 0,1

WZGLĘDNY BŁĄD

Definicja .

Przykład 5. Starożytna rosyjska miara masy pud wynosi 16,38. Zaokrąglij tę wartość do liczb całkowitych i znajdź błąd względny przybliżonej wartości.

Rozwiązanie. 1 6,38 ≈ 16

16,38 – dokładna wartość;

16 to wartość przybliżona.

AP = | 16,38 – 16 | = |0 ,38 | = 0, 38

WZGLĘDNY BŁĄD

Definicja . Błąd względny wartości przybliżonej to stosunek błędu bezwzględnego do wartości bezwzględnej wartości przybliżonej

Przykład 6. Starożytna rosyjska miara długości wiorst wynosi 1067 m. Zaokrąglij tę wartość do dziesiątek i znajdź błąd względny przybliżonej wartości.

Rozwiązanie. 10 6 7 ≈ 1070

1067 – dokładna wartość;

1070 to wartość przybliżona.

AP = | 1067 – 1070 | = |-3| = 3

WZGLĘDNY BŁĄD

Przykład 7. Pomyśl o ułamku jako o nieskończonym ułamku okresowym. Zaokrąglij wynik do setnych i znajdź błąd względny przybliżonej wartości.

Błędy bezwzględne i względne służą do oceny niedokładności obliczeń wykonanych za pomocą wysoka złożoność. Wykorzystuje się je także w różnych pomiarach oraz do zaokrąglania wyników obliczeń. Przyjrzyjmy się, jak określić błąd bezwzględny i względny.

Absolutny błąd

Absolutny błąd liczby wywołaj różnicę między tą liczbą a jej dokładną wartością.
Spójrzmy na przykład : W szkole uczy się 374 uczniów. Jeśli zaokrąglimy tę liczbę do 400, wówczas bezwzględny błąd pomiaru wyniesie 400-374=26.

Aby obliczyć błąd bezwzględny, jest to konieczne więcej odejmij mniejszą.

Istnieje wzór na błąd bezwzględny. Dokładną liczbę oznaczmy literą A, a literą a – przybliżeniem dokładnej liczby. Liczba przybliżona to liczba, która nieznacznie różni się od dokładnej i zwykle zastępuje ją w obliczeniach. Wtedy formuła będzie wyglądać następująco:

Δa=A-a. Omówiliśmy powyżej, jak znaleźć błąd bezwzględny za pomocą wzoru.

W praktyce błąd bezwzględny nie jest wystarczający do dokładnej oceny pomiaru. Rzadko jest możliwe poznanie dokładnej wartości mierzonej wielkości w celu obliczenia błędu bezwzględnego. Mierząc książkę o długości 20 cm i dopuszczając błąd 1 cm, można rozważyć pomiar duży błąd. Jeśli jednak przy pomiarze ściany o długości 20 metrów popełniono błąd 1 cm, pomiar ten można uznać za tak dokładny, jak to tylko możliwe. Dlatego w praktyce więcej ważny posiada definicję względnego błędu pomiaru.

Zapisz błąd bezwzględny liczby, używając znaku ±. Na przykład , długość rolki tapety wynosi 30 m ± 3 cm Granica błędu bezwzględnego nazywana jest maksymalnym błędem bezwzględnym.

Względny błąd

Względny błąd Nazywają to stosunkiem błędu bezwzględnego liczby do samej liczby. Aby obliczyć błąd względny w przykładzie ze studentami, dzielimy 26 przez 374. Otrzymujemy liczbę 0,0695, konwertujemy ją na procent i otrzymujemy 6%. Błąd względny wyraża się w procentach, ponieważ jest to wielkość bezwymiarowa. Błąd względny jest dokładne oszacowanie błędy pomiarowe. Jeśli przy pomiarze długości odcinków 10 cm i 10 m przyjmiemy błąd bezwzględny 1 cm, wówczas błędy względne będą wynosić odpowiednio 10% i 0,1%. Dla odcinka o długości 10 cm błąd 1 cm jest bardzo duży, jest to błąd 10%. Ale dla odcinka dziesięciometrowego 1 cm nie ma znaczenia, tylko 0,1%.

Istnieją błędy systematyczne i przypadkowe. Systematyczny to błąd, który pozostaje niezmieniony podczas powtarzanych pomiarów. Błąd losowy powstaje w wyniku wpływu na proces pomiarowy czynniki zewnętrzne i może zmienić jego znaczenie.

Zasady obliczania błędów

Istnieje kilka zasad nominalnego szacowania błędów:

• podczas dodawania i odejmowania liczb konieczne jest zsumowanie ich błędów bezwzględnych;
• przy dzieleniu i mnożeniu liczb konieczne jest dodanie błędów względnych;
• Po podniesieniu do potęgi błąd względny jest mnożony przez wykładnik.

Przybliżone i dokładne liczby są zapisywane za pomocą miejsca dziesiętne. Przyjmowana jest tylko wartość średnia, ponieważ dokładna wartość może być nieskończenie długa. Aby zrozumieć, jak zapisać te liczby, musisz dowiedzieć się o liczbach prawdziwych i wątpliwych.

Liczby prawdziwe to te liczby, których stopień przekracza błąd bezwzględny liczby. Jeśli cyfra liczby jest mniejsza niż błąd bezwzględny, nazywa się to wątpliwym. Na przykład , dla ułamka 3,6714 z błędem 0,002 prawidłowymi liczbami będą 3,6,7, a wątpliwymi 1 i 4. W zapisie liczby przybliżonej pozostają tylko prawidłowe liczby. Ułamek w tym przypadku będzie wyglądał tak - 3,67.

Nazywa się różnicę między dokładną i przybliżoną wartością wielkości błąd przybliżenia ( oznaczone przez x),

te. x=x- A- błąd przybliżenia

gdzie x= A+ x,

te. wartość prawdziwa jest równa sumie wartości przybliżonej i błędu aproksymacji.

Nazywa się moduł różnicy między dokładnymi i przybliżonymi wartościami wielkości absolutny błąd przybliżona wartość liczby X.

te. - bezwzględny błąd przybliżenia.

Napisz x= oraz h oznacza, że ​​prawdziwa wartość x leży pomiędzy granicami, tj. a - godz X a + godz

Przykład 1. Przedsiębiorstwo zatrudnia 1284 pracowników i pracowników. Przy zaokrąglaniu tej liczby do 1300 błąd bezwzględny wynosi 1300 -1284 = 16. Przy zaokrąglaniu do 1280 błąd bezwzględny wynosi 1284 - 1280 = 4.

Przykład 2. Przybliżone wartości liczby x = ; Które z tych trzech przybliżeń jest najlepsze?

Rozwiązanie:

Znaleźliśmy ; Najlepsze przybliżenie liczby X Jest

Przykład 3. Długość części x (cm) zawarte w granicach 33 x 34. Znajdź granicę bezwzględnego błędu pomiaru części.

Rozwiązanie: Przyjmijmy średnią arytmetyczną granic jako przybliżoną wartość długości części: a = (33 + 34)/2 = 33,5 (cm).

Wtedy bezwzględna granica błędu dla przybliżonej wartości długości części nie przekroczy 0,5 (cm). Wartość można również znaleźć jako połowę różnicy górnej i dolne limity, tj. = (34–33)/2 = 0,5 (cm). Długość części X, znalezione z dokładnością =0,5 (cm), mieści się pomiędzy przybliżonymi wartościami liczby X:

33,5-0,5x33,5+0,5;

x=33,5 0,5 (cm).

Nazywa się stosunek bezwzględnego błędu przybliżenia do wartości bezwzględnej przybliżonej wartości wielkości względny błąd podejście i jest oznaczone przez .

Jest względnym błędem przybliżenia

Przykład 1. Podczas pomiaru długości L i średnicę przewodu L=(10,0 0,1) m , D= (2,5 0,1) mm. Który z tych pomiarów jest dokładniejszy?

Rozwiązanie: Długość przewodu mierzono z dokładnością do 0,1 m=100 mm, a średnicę przewodu z dokładnością do 0,1 mm.

Przy pomiarze długości przewodnika dopuszczalny jest błąd bezwzględny 100 mm na 10000 mm, dlatego dopuszczalny błąd bezwzględny wynosi

zmierzona ilość.

Przy pomiarze średnicy dopuszczalny błąd bezwzględny wynosi

zmierzona ilość. Dlatego pomiar długości przewodu jest dokładniejszy.

Przykład 2. Wiadomo, że 0,111 jest przybliżoną wartością Znajdź błędy bezwzględne i względne tego przybliżenia.

Rozwiązanie: Tutaj x=, A=0,111. Wtedy = x- A= 1/9 – 0,111 = 1/9000-a.p.p.,

-o.p.p

Przykład 3. W szkole uczy się 197 uczniów. Zaokrąglamy tę liczbę do 200. Błąd bezwzględny wynosi 200-197 = 3. Błąd względny jest równy lub, w zaokrągleniu,%.
W większości przypadków niemożliwe jest poznanie dokładnej wartości przybliżonej liczby, a zatem Dokładna wartość błędy. Jednak prawie zawsze można ustalić, że błąd (bezwzględny lub względny) nie przekracza określonej liczby.

Przykład 4.

Sprzedawca waży arbuza na wadze. Najmniejsza waga w zestawie to 50 g. Waga dała 3600 g. Jest to liczba przybliżona. Dokładna masa arbuz jest nieznany. Ale błąd bezwzględny nie przekracza 50 g. Błąd względny nie przekracza%.

Liczby zespolone.

Obraz graficzny Liczby zespolone.
Obraz liczb zespolonych.

Liczby zespolone są zapisane w postaci: a+bi. Tutaj A I B – liczby rzeczywiste , A I – jednostka urojona, tj. I 2 = –1.Numer A zwany odcięta, A b – rzędna Liczba zespolona a+bi. Liczba zespolona 0 +bi zwany liczba czysto urojona.Nagrywać bi oznacza to samo co 0 +bi.

Moduł liczba zespolona to długość wektora OP, przedstawiający Liczba zespolona na współrzędnej ( wyczerpujący) samolot. Sprzężone liczby zespolone mają ten sam moduł

Rozważmy w samolocie kartezjańską układ prostokątny współrzędne xOy. Każdą liczbę zespoloną z = a + bi można powiązać z punktem o współrzędnych (a;b) i odwrotnie, każdy punkt o współrzędnych (c;d) można powiązać z liczbą zespoloną w = c + di. W ten sposób ustalana jest zgodność jeden do jednego między punktami płaszczyzny a zbiorem liczb zespolonych. Dlatego liczby zespolone można przedstawić jako punkty na płaszczyźnie. Płaszczyzna, na której są przedstawione liczby zespolone, nazywana jest zwykle płaszczyzną zespoloną.

Przykład. Przedstawmy liczby na płaszczyźnie zespolonej

Z 1 = 2 + ja; z2 = 3i; z 3 = -3 + 2i; z 4 = -1 – tj.

V

A

Działania arytmetyczne na liczbach zespolonych są takie same jak na liczbach rzeczywistych: można je dodawać, odejmować, mnożyć i dzielić. Dodawanie i odejmowanie odbywa się według reguły ( A + bi) ± ( C + di) = (A ± C) + (B ± D)I, a mnożenie jest zgodne z regułą ( A + bi) · ( C + di) = (AC – bd) + (ogłoszenie + pne)I(tutaj używa się tego I 2 = –1). Liczba = A – bi zwany złożony koniugat Do z = A + bi. Równość z · = A 2 + B 2 pozwala zrozumieć, jak podzielić jedną liczbę zespoloną przez inną (niezerową) liczbę zespoloną:

Na przykład,

Zadania dla niezależna decyzja

Błąd bezwzględny i względny

Elementy teorii błędu

Liczby dokładne i przybliżone

Dokładność liczby zwykle nie budzi wątpliwości, kiedy mówimy o o całkowitych wartościach danych (2 ołówki, 100 drzew). Jednak w większości przypadków, gdy nie da się wskazać dokładnej wartości liczby (np. podczas pomiaru obiektu linijką, pobierania wyników z urządzenia itp.), mamy do czynienia z danymi przybliżonymi.

Wartość przybliżona to liczba, która nieznacznie różni się od wartości dokładnej i zastępuje ją w obliczeniach. Charakteryzuje się stopniem, w jakim przybliżona wartość liczby różni się od jej dokładnej wartości błąd .

Wyróżnia się następujące główne źródła błędów:

1. Błędy w sformułowaniu problemu, powstałe w wyniku przybliżonego opisu prawdziwe zjawisko pod względem matematyki.

2. Błędy metody, związany z trudnością lub niemożliwością rozwiązania danego problemu i zastąpienia go podobnym, tak aby możliwe było zastosowanie znanego i dostępna metoda rozwiązań i uzyskać wynik zbliżony do pożądanego.

3. Fatalne błędy, związane z przybliżonymi wartościami danych pierwotnych oraz ze względu na wykonywanie obliczeń na liczbach przybliżonych.

4. Błędy zaokrągleń związane z zaokrąglaniem wartości danych początkowych, wyników pośrednich i końcowych uzyskanych za pomocą narzędzi obliczeniowych.

Błąd bezwzględny i względny

Rachunkowość błędów jest ważny aspekt Aplikacje metody numeryczne, od czasu wystąpienia błędu ostateczny wynik rozwiązanie całego problemu jest wypadkową interakcji wszystkich typów błędów. Dlatego jednym z głównych zadań teorii błędu jest ocena dokładności wyniku na podstawie dokładności danych źródłowych.

Jeśli jest liczbą dokładną i jest jej wartością przybliżoną, to błąd (błąd) wartości przybliżonej to stopień bliskości jej wartości do jej wartości dokładnej.

Najprostszą ilościową miarą błędu jest błąd bezwzględny, który definiuje się jako

(1.1.2-1)

Jak widać ze wzoru 1.1.2-1, błąd bezwzględny ma te same jednostki miary co wartość. Dlatego nie zawsze możliwe jest wyciągnięcie prawidłowego wniosku na temat jakości przybliżenia na podstawie wielkości błędu bezwzględnego. Na przykład, jeśli , a mówimy o części maszyny, to pomiary są bardzo przybliżone, a jeśli mówimy o wielkości statku, to są bardzo dokładne. W związku z tym wprowadzono pojęcie błędu względnego, w którym wartość błędu bezwzględnego odnoszona jest do modułu wartości przybliżonej ( ).

(1.1.2-2)

Stosowanie błędów względnych jest wygodne zwłaszcza dlatego, że nie zależą one od skali wielkości i jednostek miar danych. Błąd względny mierzy się w ułamkach lub procentach. Jeśli więc np

,A , To , i jeśli I ,

a następnie .

Aby numerycznie oszacować błąd funkcji, musisz znać podstawowe zasady obliczania błędu działań:

· podczas dodawania i odejmowania liczb Błędy bezwzględne liczb sumują się

· podczas mnożenia i dzielenia liczb ich błędy względne sumują się

· podczas podnoszenia przybliżonej liczby do potęgi jego błąd względny jest mnożony przez wykładnik

Przykład 1.1.2-1. Podana funkcja: . Znajdź błędy bezwzględne i względne wartości (błąd wyniku wykonania działania arytmetyczne), jeśli wartości są znane, a 1 jest dokładną liczbą, a jej błąd wynosi zero.

Po ustaleniu w ten sposób wartości błędu względnego możemy znaleźć wartość błędu bezwzględnego jako , gdzie wartość oblicza się ze wzoru na wartości przybliżone

Ponieważ dokładna wartość ilości jest zwykle nieznana, obliczenia I według powyższych wzorów jest to niemożliwe. Dlatego w praktyce ocenia się maksymalne błędy formularza:

(1.1.2-3)

Gdzie I – znane ilości, które są górnymi granicami błędów bezwzględnych i względnych, w przeciwnym razie nazywane są maksymalnymi błędami bezwzględnymi i maksymalnymi błędami względnymi. Zatem dokładna wartość mieści się w zakresie:

Jeśli wartość w takim razie wiadomo , i jeśli ilość jest znana , To