Jeden z klasyczne definicje Pojęcie „funkcji” uważa się za definicję opartą na odpowiednikach. Przedstawmy kilka takich definicji.
Definicja 1
Nazywa się relację, w której każda wartość zmiennej niezależnej odpowiada pojedynczej wartości zmiennej zależnej funkcjonować.
Definicja 2
Niech będą dane dwa niepuste zbiory $X$ i $Y$. Korespondencja $f$, która dopasowuje każde $x\w X$ do jednego i tylko jednego $y\w Y$, nazywa się funkcjonować($f:X → Y$).
Definicja 3
Niech $M$ i $N$ będą dwoma dowolnymi zbiorami liczb. Mówi się, że funkcja $f$ jest zdefiniowana na $M$, przyjmując wartości z $N$, jeśli każdy element $x\w X$ jest powiązany z jednym i tylko jednym elementem z $N$.
Poniższa definicja jest podana poprzez pojęcie zmienny rozmiar. Ilość zmienna to ilość, która jest to badanie przyjmuje różne wartości liczbowe.
Definicja 4
Niech $M$ będzie zbiorem wartości zmiennej $x$. Następnie, jeśli każda wartość $x\w M$ odpowiada jednej określonej wartości innej zmiennej, $y$ jest funkcją wartości $x$ określonej na zbiorze $M$.
Definicja 5
Niech $X$ i $Y$ będą pewnymi zbiorami liczb. Funkcja to zbiór $f$ uporządkowanych par liczb $(x,\ y)$ takich, że $x\in X$, $y\in Y$ i każde $x$ jest zawarte w jednej i tylko jednej parze liczb tego zestawu, a każdy $y$ znajduje się w co najmniej jednej parze.
Definicja 6
Dowolny zbiór $f=\(\left(x,\ y\right)\)$ uporządkowanych par $\left(x,\ y\right)$ taki, że dla dowolnych par $\left(x",\ y" \right)\in f$ i $\left(x"",\ y""\right)\in f$ z warunku $y"≠ y""$ wynika, że $x"≠x""$ wynosi nazywa się funkcją lub wyświetlaczem.
Definicja 7
Funkcja $f:X → Y$ jest zbiorem $f$ uporządkowanych par $\left(x,\ y\right)\in X\times Y$ takich, że dla dowolnego elementu $x\in X$ istnieje unikalny element $y\in Y$ taki, że $\left(x,\ y\right)\in f$, czyli funkcja jest krotką obiektów $\left(f,\ X,\ Y\right) $.
W tych definicjach
$x$ jest zmienną niezależną.
$y$ jest zmienną zależną.
Wszystko możliwa wartość Zmienna $x$ nazywana jest dziedziną funkcji, a wszystkie możliwe wartości zmiennej $y$ nazywane są dziedziną funkcji.
Analityczna metoda wyznaczania funkcji
Do tej metody potrzebujemy pojęcia wyrażenia analitycznego.
Definicja 8
Wyrażenie analityczne jest iloczynem wszystkiego, co możliwe operacje matematyczne nad dowolnymi liczbami i zmiennymi.
Analityczny sposób określenia funkcji polega na określeniu jej za pomocą wyrażenia analitycznego.
Przykład 1
$y=x^2+7x-3$, $y=\frac(x+5)(x+2)$, $y=cos5x$.
Plusy:
- Za pomocą wzorów możemy wyznaczyć wartość funkcji dla dowolnej pewna wartość zmienna $x$;
- Tak zdefiniowane funkcje można badać za pomocą przyrządu Analiza matematyczna.
Wady:
- Niska widoczność.
- Czasami trzeba dokonać bardzo uciążliwych obliczeń.
Tabelaryczna metoda określania funkcji
Ta metoda przypisania polega na zapisaniu wartości zmiennej zależnej dla kilku wartości zmiennej niezależnej. Wszystko to jest wpisane do tabeli.
Przykład 2
Obrazek 1.
Plus: Dla dowolnej wartości zmiennej niezależnej $x$, która zostanie wpisana do tabeli, od razu znana jest odpowiadająca jej wartość funkcji $y$.
Wady:
- Najczęściej nie kompletne zadanie Funkcje;
- Niska widoczność.
funkcja to zgodność pomiędzy elementami dwóch zbiorów, ustalona zgodnie z zasadą, że każdemu elementowi jednego zbioru przyporządkowuje się jakiś element innego zbioru.
wykres funkcji to umiejscowienie punkty płaszczyzny, których odcięta (x) i rzędna (y) są powiązane określoną funkcją:
punkt znajduje się (lub znajduje się) na wykresie funkcji wtedy i tylko wtedy, gdy .
Zatem funkcję można odpowiednio opisać jej wykresem.
Metoda tabelaryczna. Dość powszechnym sposobem jest określenie tabeli indywidualne wartości argument i odpowiadające im wartości funkcji. Ten sposób definiowania funkcji stosuje się wtedy, gdy dziedziną definicji funkcji jest zbiór dyskretny skończony.
Dzięki tabelarycznej metodzie określania funkcji można w przybliżeniu obliczyć wartości funkcji, które nie są zawarte w tabeli, odpowiadające wartościom pośrednim argumentu. Aby to zrobić, użyj metody interpolacji.
Zaletą tabelarycznej metody określania funkcji jest to, że umożliwia określenie jednej lub drugiej konkretne wartości natychmiast, bez dodatkowych pomiarów i obliczeń. Jednak w niektórych przypadkach tabela nie definiuje funkcji całkowicie, a jedynie dla niektórych wartości argumentu i nie zapewnia wizualnej reprezentacji charakteru zmiany funkcji w zależności od zmiany argumentu.
Metoda graficzna. Wykres funkcji y = f(x) jest zbiorem wszystkich punktów na płaszczyźnie, których współrzędne spełniają podane równanie.
Graficzny sposób określenia funkcji nie zawsze pozwala na dokładne określenie wartości liczbowych argumentu. Ma jednak dużą przewagę nad innymi metodami – widoczność. W inżynierii i fizyce często stosuje się graficzną metodę określania funkcji, a jedynym dostępnym sposobem jest wykres.
Do zadanie graficzne funkcja była w miarę poprawna z matematycznego punktu widzenia, należy wskazać dokładną konstrukcję geometryczną wykresu, która najczęściej jest dana równaniem. Prowadzi to do następującego sposobu określania funkcji.
Metoda analityczna. Najczęściej prawo ustanawiające związek między argumentem a funkcją jest określone za pomocą formuł. Ta metoda określania funkcji nazywa się analityczną.
Metoda ta umożliwia każdej wartości liczbowej argumentu x znalezienie jej odpowiednika wartość numeryczna działa dokładnie lub z pewną dokładnością.
Jeśli związek między x i y jest określony wzorem rozwiązanym w odniesieniu do y, tj. ma postać y = f(x), to mówimy, że funkcja x jest dana jawnie.
Jeśli wartości x i y są powiązane jakimś równaniem w postaci F(x,y) = 0, tj. wzór nie jest rozwiązany dla y, co oznacza, że funkcja y = f(x) jest podana implicytnie.
Funkcję można zdefiniować różne formuły NA różne obszary obszary Twojego zadania.
Metoda analityczna jest najczęstszym sposobem określania funkcji. Zwartość, zwięzłość, możliwość obliczenia wartości funkcji, gdy dowolna wartość argument z dziedziny definicji, możliwość zastosowania aparatu analizy matematycznej do danej funkcji, to główne zalety analitycznej metody wyznaczania funkcji. Do wad można zaliczyć brak widoczności, który rekompensuje możliwość zbudowania wykresu i konieczność wykonywania czasami bardzo uciążliwych obliczeń.
Metoda werbalna. Ta metoda jest taka zależność funkcjonalna wyrażone słowami.
Przykład 1: funkcja E(x) jest częścią całkowitą x. Ogólnie rzecz biorąc, E(x) = [x] oznacza największą liczbę całkowitą, która nie przekracza x. Innymi słowy, jeśli x = r + q, gdzie r jest liczbą całkowitą (może być ujemną), a q należy do przedziału = r. Funkcja E(x) = [x] jest stała w przedziale = r.
Przykład 2: funkcja y = (x) - frakcja liczby. Dokładniej, y =(x) = x - [x], gdzie [x] jest częścią całkowitą liczby x. Ta funkcja jest zdefiniowana dla wszystkich x. Jeśli x - dowolna liczba, następnie przedstawiając to w postaci x = r + q (r = [x]), gdzie r jest liczbą całkowitą, a q leży w przedziale .
Widzimy, że dodanie n do argumentu x nie zmienia wartości funkcji.
Najmniejsza niezerowa liczba w n to , więc okres wynosi sin 2x .
Wywoływana jest wartość argumentu, przy której funkcja jest równa 0 zero (źródło) Funkcje.
Funkcja może mieć wiele zer.
Na przykład funkcja y = x (x + 1)(x-3) ma trzy zera: x = 0, x = - 1, x =3.
Geometrycznie zero funkcji jest odciętą punktu przecięcia wykresu funkcji z osią X .
Rysunek 7 przedstawia wykres funkcji z zerami: x = a, x = b i x = c.
Jeżeli wykres funkcji w nieskończoność zbliża się do określonej linii w miarę oddalania się od początku, wówczas nazywa się tę prostą asymptota.
Funkcja odwrotna
Niech będzie dana funkcja y=ƒ(x) z dziedziną definicji D i zbiorem wartości E. Jeśli każdej wartości yєE odpowiada pojedyncza wartość xєD, to funkcję x=φ(y) definiuje się za pomocą dziedzina definicji E i zbiór wartości D (patrz rys. 102 ).
Taka funkcja φ(y) nazywana jest odwrotnością funkcji ƒ(x) i zapisywana poniższy formularz: x=j(y)=f -1 (y). O funkcjach y=ƒ(x) i x=φ(y) mówi się, że są wzajemnie odwrotne. Aby znaleźć funkcję x=φ(y), odwrotną do funkcji y=ƒ (x), wystarczy rozwiązać równanie ƒ(x)=y dla x (jeśli to możliwe).
1. Dla funkcji y=2x funkcją odwrotną jest funkcja x=y/2;
2. Dla funkcji y=x2 xє funkcją odwrotną jest x=√y; zauważ, że dla funkcji y=x 2 zdefiniowanej na odcinku [-1; 1], odwrotność nie istnieje, ponieważ jedna wartość y odpowiada dwóm wartościom x (więc jeśli y = 1/4, to x1 = 1/2, x2 = -1/2).
Z definicji funkcji odwrotnej wynika, że funkcja y=ƒ(x) ma odwrotność wtedy i tylko wtedy, gdy funkcja ƒ(x) określa zgodność jeden do jednego pomiędzy zbiorami D i E. Wynika z tego, że dowolna rygorystycznie funkcja monotoniczna ma odwrotnie. Co więcej, jeśli funkcja rośnie (maleje), to funkcja odwrotna również rośnie (maleje).
Należy zauważyć, że funkcję y=ƒ(x) i jej odwrotność x=φ(y) obrazuje ta sama krzywa, czyli ich wykresy są zbieżne. Jeśli przyjmiemy, że jak zwykle zmienną niezależną (czyli argumentem) oznaczymy przez x, a zmienną zależną przez y, to funkcja odwrotna funkcji y=ƒ(x) zostanie zapisana w postaci y=φ( X).
Oznacza to, że punkt M 1 (x o;y o) krzywej y=ƒ(x) staje się punktem M 2 (y o;x o) krzywej y=φ(x). Ale punkty M 1 i M 2 są symetryczne względem prostej y=x (patrz ryc. 103). Dlatego wykresy są wzajemnie funkcje odwrotne y=ƒ(x) i y=φ(x) są symetryczne względem dwusiecznej pierwszego i trzeciego kąta współrzędnych.
Niech będzie zdefiniowana funkcja у=ƒ(u) na zbiorze D, a funkcja u= φ(х) na zbiorze D 1, a dla x D 1 odpowiednią wartość u=φ(х) є D. Następnie na zbiorze D 1 funkcja u=ƒ(φ(x)), którą nazywamy funkcją zespoloną x (lub superpozycją określone funkcje lub funkcja funkcji).
Zmienna u=φ(x) nazywana jest argumentem pośrednim funkcji zespolonej.
Na przykład funkcja y=sin2x jest superpozycją dwóch funkcji y=sinu i u=2x. Funkcja złożona może mieć kilka argumentów pośrednich.
4. Podstawowe funkcje elementarne i ich wykresy.
Następujące funkcje nazywane są głównymi funkcjami elementarnymi.
1) Funkcja wykładnicza y=a x,a>0, a ≠ 1. Na ryc. Pokazano 104 wykresy funkcje wykładnicze, odpowiedni różne powody stopni.
2) Funkcja potęgowa y=x α, αєR. Przykłady wykresów funkcje mocy, odpowiedni różne wskaźniki stopnie widoczne na zdjęciach
3) Funkcja logarytmiczna y=log a x, a>0,a≠1;Wykresy funkcje logarytmiczne, odpowiadające różnym zasadom, pokazano na ryc. 106.
4) Funkcje trygonometryczne y=sinx, y=cosx, y=tgx, y=ctgx; Wykresy funkcji trygonometrycznych mają postać pokazaną na ryc. 107.
5) Odwróć funkcje trygonometryczne y=arcsinx, y=arccosх, y=arctgx, y=arcctgx. Na ryc. 108 przedstawia wykresy odwrotnych funkcji trygonometrycznych.
Funkcja zdefiniowana przez pojedynczą formułę złożoną z basic funkcje elementarne i stałe przy użyciu liczby skończonej działania arytmetyczne(dodawanie, odejmowanie, mnożenie, dzielenie) oraz operacje polegające na pobieraniu funkcji z funkcji nazywane są funkcją elementarną.
Przykładami funkcji elementarnych są funkcje
Przykładami funkcji nieelementarnych są funkcje
5. Pojęcia granicy ciągu i funkcji. Właściwości granic.
Granica funkcji (wartość graniczna funkcji) w danym punkcie, ograniczająca dziedzinę definicji funkcji, to wartość, do której dąży wartość rozpatrywanej funkcji, gdy jej argument zmierza do danego punktu.
W matematyce granica ciągu elementy przestrzeni metrycznej lub przestrzeni topologicznej to element tej samej przestrzeni, który ma właściwość „przyciągania” elementów podana sekwencja. Granicą ciągu elementów przestrzeni topologicznej jest taki punkt, że w każdym jego sąsiedztwie znajdują się wszystkie elementy ciągu, zaczynając od określonej liczby. W przestrzeni metrycznej sąsiedztwa definiuje się za pomocą funkcji odległości, zatem pojęcie granicy formułuje się w języku odległości. Historycznie rzecz biorąc, pierwszą była koncepcja granicy sekwencja liczb, który pojawia się w analizie matematycznej, gdzie służy jako podstawa systemu przybliżeń i jest szeroko stosowany w konstrukcji rachunku różniczkowego i całkowego.
Przeznaczenie:
(czyta: granicą x-n-tego ciągu, gdy en dąży do nieskończoności, jest a)
Właściwość ciągu mającego granicę nazywa się konwergencja: jeśli ciąg ma granicę, to się tak mówi podana sekwencja zbiega się; V W przeciwnym razie(jeśli ciąg nie ma granicy) mówią, że ciąg różni się. W przestrzeni Hausdorffa, a w szczególności w przestrzeni metrycznej, każdy podciąg ciągu zbieżnego jest zbieżny, a jego granica pokrywa się z granicą ciągu pierwotnego. Innymi słowy, ciąg elementów przestrzeni Hausdorffa nie może mieć dwóch różnych granic. Może się jednak okazać, że ciąg nie ma granicy, ale istnieje podciąg (danego ciągu), który ma granicę. Jeśli z dowolnego ciągu punktów w przestrzeni można zidentyfikować podciąg zbieżny, to mówimy o tym dana przestrzeń ma właściwość zwartości sekwencyjnej (lub po prostu zwartości, jeśli zwartość jest definiowana wyłącznie w kategoriach sekwencji).
Pojęcie granicy ciągu jest bezpośrednio powiązane z pojęciem punktu granicznego (zbioru): jeśli zbiór ma punkt graniczny, to istnieje ciąg elementów tego zbioru zbieżny do tego punktu.
Definicja
Niech będzie dana przestrzeń topologiczna i ciąg, a jeśli istnieje element taki, że
gdzie jest zbiorem otwartym zawierającym , to nazywa się to granicą ciągu. Jeśli przestrzeń jest metryczna, wówczas granicę można określić za pomocą metryki: jeśli istnieje taki element, że
gdzie jest metryka, nazywa się to granicą.
· Jeżeli przestrzeń wyposażona jest w topologię antydyskretną, wówczas granicą dowolnego ciągu będzie dowolny element przestrzeni.
6. Granica funkcji w punkcie. Granice jednostronne.
Funkcja jednej zmiennej. Wyznaczanie granicy funkcji w punkcie według Cauchy'ego. Numer B nazywamy granicą funkcji Na = F(X) Na X, dążenie do A(lub w punkcie A), jeśli dla dowolnej liczby dodatniej istnieje taka Liczba dodatnia że dla wszystkich x ≠ a, takie, że | X – A | < , выполняется неравенство
| F(X) – A | < .
Wyznaczanie granicy funkcji w punkcie według Heinego. Numer B nazywamy granicą funkcji Na = F(X) Na X, dążenie do A(lub w punkcie A), jeśli dla dowolnego ciągu ( X n), zbiegający się do A(mający na celu A, posiadający liczbę graniczną A) i przy dowolnej wartości n x n ≠ A, podciąg ( y n= F(X n)) zbiega się do B.
W definicjach tych zakłada się, że funkcja Na = F(X) jest zdefiniowany w pewnym sąsiedztwie punktu A, może z wyjątkiem samego punktu A.
Definicje Cauchy'ego i Heinego granicy funkcji w punkcie są równoważne: jeśli liczba B służy jako granica dla jednego z nich, to dotyczy to również drugiego.
Określony limit jest oznaczony w następujący sposób:
Geometrycznie istnienie granicy funkcji w punkcie Cauchy’ego oznacza, że dla dowolnej liczby > 0 możemy wskazać płaszczyzna współrzędnych taki prostokąt o podstawie 2 > 0, wysokości 2 i środku w punkcie ( A; B), że wszystkie punkty wykresu danej funkcji na przedziale ( A– ; A+ ), z możliwym wyjątkiem punktu M(A; F(A)), leżą w tym prostokącie
Limit jednostronny w analizie matematycznej granica funkcji numerycznej, oznaczająca „zbliżanie się” do punktu granicznego po jednej stronie. Takie limity nazywane są odpowiednio lewe ograniczenie(Lub ogranicz w lewo) I granica prawa (ogranicz w prawo). Niech tak będzie przez jakiś czas zestaw numeryczny dany funkcja numeryczna a liczba jest punktem granicznym dziedziny definicji. Istnieć różne definicje dla jednostronnych granic funkcji w punkcie, ale wszystkie są równoważne.
Poczynimy szereg uwag wyjaśniających dotyczących określenia funkcji za pomocą wyrażenia lub wzoru analitycznego, co w analizie matematycznej odgrywa niezwykle ważną rolę.
1° Przede wszystkim, jakie operacje lub działania analityczne można uwzględnić w tych wzorach? Na pierwszym miejscu znajdują się wszystkie operacje badane w elementarnej algebrze i trygonometrii: działania arytmetyczne, potęgowanie (i ekstrakcja pierwiastków), logarytm, przejście od kątów do ich wartości trygonometrycznych i odwrotnie [patrz. poniżej 48 - 51]. Jednak, co warto podkreślić, w miarę rozwoju naszych informacji o analizie do ich liczby dodawane będą kolejne operacje, przede wszystkim przejście do granicy, z którą Czytelnik jest już zaznajomiony z rozdziałem I.
Zatem, pełna treść Termin „wyrażenie analityczne” lub „formuła” będzie odkrywany dopiero stopniowo.
2° Uwaga druga dotyczy zakresu definiowania funkcji za pomocą wyrażenia lub wzoru analitycznego.
Każde wyrażenie analityczne zawierające argument x ma, że tak powiem, naturalny zakres: jest to zbiór wszystkich tych wartości x, dla których zachowuje znaczenie, to znaczy ma dobrze określoną, skończoną, rzeczywistą wartość. Wyjaśnijmy to na prostych przykładach.
Zatem dla wyrażenia takim obszarem będzie cały zbiór liczb rzeczywistych. Dla wyrażenia obszar ten zostanie zredukowany do zamkniętego przedziału, po przekroczeniu którego jego wartość przestaje być rzeczywista. Wręcz przeciwnie, wyrażenie będzie musiało zawierać otwarty przedział jako naturalny obszar zastosowania, ponieważ na końcach jego mianownik zmienia się na 0. Czasami zakres wartości, dla którego wyrażenie zachowuje swoje znaczenie, składa się z izolowanych przedziałów: w tym celu będą przerwy dla - interwały itp.
Jak ostatni przykład rozważ sumę nieskończonego postępu geometrycznego
Jeśli zatem, jak wiemy, ta granica istnieje i ma znaczenie. Gdy granica jest albo równa, albo w ogóle nie istnieje. Zatem dla danego wyrażenia analitycznego naturalną dziedziną zastosowania byłby przedział otwarty
W kolejnej prezentacji będziemy musieli wziąć pod uwagę zarówno bardziej złożone, jak i bardziej ogólne wyrażenia analityczne i niejednokrotnie będziemy badać właściwości określonych funkcji podobne wyrażenie w całym obszarze, w którym zachowuje znaczenie, czyli badając samą aparaturę analityczną.
Możliwy jest jednak także inny stan rzeczy, na który uważamy za konieczne wcześniejsze zwrócenie uwagi czytelnika. Wyobraźmy sobie, że niektórzy konkretne pytanie, w którym zmienna x jest zasadniczo ograniczona zakresem zmienności X, doprowadziło do rozważenia funkcji, która pozwala na wyrażenie analityczne. Choć może się zdarzyć, że wyrażenie to będzie miało znaczenie poza obszarem X, to oczywiście nadal nie da się go przekroczyć. Wyrażenie analityczne pełni tu rolę podrzędną, pomocniczą.
Na przykład, jeśli eksploracja swobodny spadek ciężki punkt z wysokości nad powierzchnią ziemi, skorzystamy ze wzoru
Rozważanie tego byłoby absurdem wartości ujemne t lub wartości większe niż for, jak łatwo zauważyć w tym punkcie już spadnie na ziemię. I to pomimo faktu, że samo wyrażenie zachowuje znaczenie dla wszystkich prawdziwych.
3° Może się zdarzyć, że funkcja nie jest określona tym samym wzorem dla wszystkich wartości argumentu, ale dla niektórych - jednym wzorem, a dla innych - innym. Przykładem takiej funkcji w przedziale jest funkcja określona trzema wzorami:
i wreszcie, jeśli .
Wspomnijmy jeszcze o funkcji Dirichleta (P.G. Lejeune-Dinchleta), którą definiujemy następująco:
Na koniec wspólnie z Kroneckerem (L. Kroneckcf) rozważymy funkcję, którą nazwał „signum” i oznaczył przez
jest dane, czyli znane, jeśli dla każdej wartości z możliwej liczby argumentów można znaleźć odpowiadającą jej wartość funkcji. Najczęstsze trzy sposób określenia funkcji: tabelaryczne, graficzne, analityczne, istnieją także metody werbalne i rekurencyjne.
1. Metoda tabelaryczna najczęściej stosowany (tablice logarytmów, pierwiastków kwadratowych), jego główną zaletą jest możliwość uzyskania wartość numeryczna funkcji, wadą jest to, że tabela może być trudna do odczytania i czasami nie zawiera pośrednich wartości argumentów.
Na przykład:
|
X |
||||
|
y |
Argument X przyjmuje wartości określone w tabeli oraz Na ustala się na podstawie tego argumentu X.
2. Metoda graficzna polega na narysowaniu linii (wykresu), w której odcięte reprezentują wartości argumentu, a rzędne reprezentują odpowiednie wartości funkcji. Często dla jasności przyjmuje się, że skale na osiach są różne.
Na przykład: znaleźć zgodnie z harmonogramem Na, co odpowiada x = 2,5 konieczne jest narysowanie prostopadłej do osi X przy znaku 2,5 . Znak można wykonać dość dokładnie za pomocą linijki. Następnie znajdujemy to na X = 2,5 Na równa się 7,5 , jeśli jednak musimy znaleźć wartość Na Na X równy 2,76 , To metoda graficzna określenie funkcji nie będzie wystarczająco dokładne, ponieważ Linijka nie pozwala na tak dokładne pomiary.
Zaletami tej metody określania funkcji są łatwość i integralność percepcji, ciągłość zmian w wywodzie; Wadą jest obniżony stopień dokładności i trudność uzyskania dokładnych wartości.
3. Metoda analityczna polega na określeniu funkcji za pomocą jednego lub większej liczby wzorów. Główną zaletą tej metody jest wysoka celność wyznaczenie funkcji z interesującego nas argumentu, jednak wadą jest czas potrzebny na wykonanie dodatkowych operacji matematycznych.
Na przykład:
Funkcję można ustawić za pomocą wzór matematyczny y=x2, a następnie, jeśli X równa się 2 , To Na równa się 4, budujemy X w kwadrat.
4. Metoda werbalna polega na określeniu funkcji w zwykłym języku, tj. słowa. W takim przypadku konieczne jest podanie wartości wejściowych, wyjściowych i zgodności między nimi.
Na przykład:
Można ustnie określić funkcję (zadanie), która zostanie przyjęta jako argument naturalny X z odpowiednią wartością sumy cyfr tworzących wartość Na. Wyjaśnijmy: jeśli X równa się 4 , To Na równa się 4 , i jeśli X równa się 358 , To Na równa sumie 3 + 5 + 8 , tj. 16 . Dalsze podobne.
5. Sposób rekurencyjny polega na określeniu funkcji sama w sobie, podczas gdy wartości funkcji są określane poprzez inne jego wartości. Ta metoda określania funkcji jest używana przy określaniu zbiorów i serii.
Na przykład:
Podczas rozkładu Liczby Eulera jest dana funkcją:
Jego skrót podano poniżej:
Na bezpośrednie obliczenia występuje nieskończona rekurencja, ale można udowodnić, że wartość f(n) ze zwiększającą się N dąży do jedności (dlatego pomimo nieskończoności szeregu wartość Liczby Eulera Z pewnością). Do przybliżonego obliczenia wartości mi wystarczy w pewnym stopniu z wyprzedzeniem sztucznie ograniczyć głębokość rekurencji podany numer a po dotarciu do niego użyj go zamiast tego f(n) jednostka.
Różne sposoby określania funkcji Analityczne, graficzne, tabelaryczne to najprostsze, a przez to najpopularniejsze sposoby określania funkcji i na nasze potrzeby te metody są w zupełności wystarczające. AnalitycznygraficznytabelarycznyW rzeczywistości w matematyce jest ich całkiem sporo na różne sposoby przypisania funkcji, a jedno z nich ma charakter werbalny, który stosuje się w bardzo wyjątkowych sytuacjach.
Słowny sposób określenia funkcji Funkcję można określić również w sposób werbalny, czyli opisowy. Na przykład tak zwana funkcja Dirichleta jest dana przez w następujący sposób: funkcja y jest równa 0 dla wszystkich wymiernych i 1 dla wszystkich irracjonalne wartości argument x. Takiej funkcji nie można określić tabelą, ponieważ jest ona zdefiniowana na całej osi liczbowej, a zbiór wartości jej argumentu jest nieskończony. Graficznie tę funkcję również nie da się określić. Znaleziono wyrażenie analityczne dla tej funkcji, ale jest ono tak złożone, że nie ma Praktyczne znaczenie. Metoda werbalna daje jej krótką i jasną definicję.
Przykład 1 Funkcja y = f (x) jest zdefiniowana na zbiorze wszystkich liczb nieujemnych za pomocą następna zasada: każda liczba x 0 jest przypisana do pierwszego miejsca po przecinku Notacja dziesiętna liczby x. Jeśli, powiedzmy, x = 2,534, to f(x) = 5 (pierwsze miejsce po przecinku to liczba 5); jeśli x = 13,002, to f(x) = 0; jeśli x = 2/3, to zapisując 2/3 jako nieskończone dziesiętny 0,6666..., znajdujemy f(x) = 6. Jaka jest wartość f(15)? Jest równa 0, ponieważ 15 = 15 000... i widzimy, że pierwsze miejsce po przecinku wynosi 0 (ogólnie równość 15 = 14 999... jest prawdziwa, ale matematycy zgodzili się nie brać pod uwagę nieskończone okresowe ułamki dziesiętne z okresem 9).
Każdy liczba nieujemna x można zapisać jako ułamek dziesiętny (skończony lub nieskończony), dlatego dla każdej wartości x możemy znaleźć pewna liczba wartości pierwszego miejsca po przecinku, więc możemy mówić o funkcji, choć nieco nietypowej. re (f) = . = 2 [" title="Funkcja zdefiniowana przez warunki: f (x) jest liczbą całkowitą; f (x) x;x; f + 1 > x,x, całkowitą częścią liczby nazywa się częścią całkowitą liczby D (f) = (-;+), E (f) = Z (zbiór liczb całkowitych) Dla części całkowitej liczby x należy zastosować zapis [ x ] = 2 [" class="link_thumb"> 7 !} Funkcja, którą wyznaczają następujące warunki: f (x) – liczba całkowita; f(x)x;x; f + 1 > x,x, część całkowita liczby nazywana jest częścią całkowitą liczby. D (f) = (-;+), E (f) = Z (zbiór liczb całkowitych) Dla części całkowitej liczby x należy zastosować zapis [x]. = 2 = 47 [ - 0,23] = - 1 x,x, część całkowita liczby nazywana jest częścią całkowitą liczby. D (f) = (-;+), E (f) = Z (zbiór liczb całkowitych) Dla części całkowitej liczby x należy zastosować zapis [x]. = 2 ["> x,x, część całkowita liczby nazywana jest częścią całkowitą liczby. D (f) = (-;+), E (f) = Z (zbiór liczb całkowitych) Dla części całkowitej liczby x stosuje się zapis [ x ]. = 2 = 47 [ - 0,23] = - 1"> x,x, część całkowita liczby nazywana jest częścią całkowitą liczby. D (f) = (-;+), E (f) = Z (zbiór liczb całkowitych) Dla części całkowitej liczby x należy zastosować zapis [x]. = 2 [" title="Funkcja zdefiniowana przez warunki: f (x) jest liczbą całkowitą; f (x) x;x; f + 1 > x,x, całkowitą częścią liczby nazywa się częścią całkowitą liczby D (f) = (-;+), E (f) = Z (zbiór liczb całkowitych) Dla części całkowitej liczby x należy zastosować zapis [ x ] = 2 ["> title="Funkcja, którą wyznaczają następujące warunki: f (x) – liczba całkowita; f(x)x;x; f + 1 > x,x, część całkowita liczby nazywana jest częścią całkowitą liczby. D (f) = (-;+), E (f) = Z (zbiór liczb całkowitych) Dla części całkowitej liczby x należy zastosować zapis [x]. = 2 ["> !}
Ze wszystkich powyższe metody określenie funkcji daje największe możliwości wykorzystania aparatu analizy matematycznej Metoda analityczna, i nn nn najbardziej wizualna jest grafika gg. Dlatego analiza matematyczna opiera się na głębokiej syntezie analitycznej i metody geometryczne. Badanie funkcji zdefiniowanych analitycznie jest znacznie łatwiejsze i staje się jaśniejsze, jeśli równolegle bada się także wykresy tych funkcji.
X y=x
Wielki matematyk- Dirichlet B profesor w Berlinie, od 1855 na uniwersytecie w Getyndze. Główne prace dotyczące teorii liczb i analizy matematycznej. W dziedzinie analizy matematycznej Dirichlet jako pierwszy precyzyjnie sformułował i zgłębił tę koncepcję zbieżność warunkowa szereg, ustalił test na zbieżność szeregu (tzw. test Dirichleta, 1862), dał (1829) rygorystyczny dowód na możliwość rozwinięcia funkcji o ostateczny numer wzloty i upadki. Znaczące prace Dirichleta poświęcone są mechanice i fizyka matematyczna(Zasada Dirichleta w teorii funkcja harmoniczna). Dirichlet Peter Gustav Lejeune () Niemiecki matematyk, zagraniczny członek korespondent. Petersburska Akademia Nauk (c), członek London Towarzystwo Królewskie(1855), Akademia Nauk w Paryżu (1854), Akademia Nauk w Berlinie. Dirichlet udowodnił twierdzenie o istnieniu w nieskończoność duża liczba liczby pierwsze w dowolnym ciągu arytmetycznym liczb całkowitych, których pierwszy człon i różnica są wzajemnie liczbami pierwszymi i badali (1837) prawo rozkładu liczb pierwszych w postępy arytmetyczne i dlatego wprowadzono seria funkcjonalna specjalny typ(tzw. szereg Dirichleta).
