Niech funkcja u = fa (x, y, z) ciągły w jakimś regionie D i ma ciągłe pochodne cząstkowe w tym obszarze. Wybierzmy punkt w rozważanym obszarze M(x,y,z) i narysuj z niego wektor S, których cosinusy kierunkowe to cosα, cosβ, cosγ. Na wektorze S w odległości Δ S od początku znajdziemy punkt M 1 (x+Δ x, y+Δ y, z+Δ z), Gdzie
Wyobraźmy sobie pełny przyrost funkcji F Jak:
Gdzie 
Po podzieleniu przez Δ S otrzymujemy:
Ponieważ 
poprzednią równość można przepisać jako:
Gradient.
Definicja Nazywa się granicę stosunku w pochodna funkcji u = fa (x, y, z) w kierunku wektora S i jest wyznaczony.
W tym przypadku z (1) otrzymujemy:
(2)
Uwaga 1. Pochodne cząstkowe są szczególnym przypadkiem pochodnej kierunkowej. Na przykład kiedy 
otrzymujemy:
Uwaga 2. Powyżej znaczenie geometryczne pochodnych cząstkowych funkcji dwóch zmiennych zdefiniowano jako współczynniki kątowe stycznych do linii przecięcia powierzchni, będącej wykresem funkcji, z płaszczyznami x = x 0 I y = y 0. W podobny sposób możemy rozważyć pochodną tej funkcji w kierunku l w tym punkcie M(x 0, y 0) jako współczynnik kątowy linii przecięcia danej powierzchni i płaszczyzny przechodzącej przez punkt M równolegle do osi O z i proste l.
Definicja Wektor, którego współrzędne w każdym punkcie pewnego obszaru są pochodnymi cząstkowymi funkcji u = fa (x, y, z) w tym momencie nazywa się gradient Funkcje u = fa (x, y, z).
Oznaczenie: absolwent ty = .
Właściwości gradientu.
1. Pochodna po kierunku jakiegoś wektora S równa się rzutowi grad wektora ty do wektora S . Dowód. Wektor kierunku jednostki S wygląda jak eS =(cosα, cosβ, cosγ), zatem prawa strona wzoru (4.7) jest iloczynem skalarnym wektorów grad ty I i s , czyli określony rzut.
2. Pochodna w danym punkcie w kierunku wektora S ma największą wartość równą |grad ty|, jeżeli kierunek ten pokrywa się z kierunkiem gradientu. Dowód. Oznaczmy kąt między wektorami S i absolwent ty przez φ. Następnie z własności 1 wynika, że |grad ty|∙cosφ, (4,8) zatem największą jego wartość osiąga się przy φ=0 i jest ona równa |grad ty|.
3. Pochodna w kierunku wektora prostopadłego do gradu wektora ty, jest równe zeru.
Dowód. W tym przypadku we wzorze (4.8) 
4. Jeśli z = f(x,y) jest funkcją dwóch zmiennych, a następnie grad F= skierowany prostopadle do linii poziomu fa (x, y) = c, przechodząc przez ten punkt.
Ekstrema funkcji kilku zmiennych. Warunek konieczny ekstremum. Warunek wystarczający na ekstremum. Ekstremum warunkowe. Metoda mnożnika Lagrange'a. Znajdowanie największych i najmniejszych wartości.
Definicja 1. Kropka M 0 (x 0, y 0) zwany maksymalny punkt Funkcje z = fa (x, y), Jeśli fa (x o, y o) > f(x, y) za wszystkie punkty (x, y) M 0.
Definicja 2. Kropka M 0 (x 0, y 0) zwany minimalny punkt Funkcje z = fa (x, y), Jeśli fa (x o, y o) < f(x, y) za wszystkie punkty (x, y) z jakiegoś sąsiedztwa punktu M 0.
Uwaga 1. Nazywa się punkty maksymalne i minimalne punkty ekstremalne funkcje kilku zmiennych.
Uwaga 2. W podobny sposób wyznacza się ekstremum funkcji dowolnej liczby zmiennych.
Twierdzenie 1(warunki konieczne dla ekstremum). Jeśli M 0 (x 0, y 0)– ekstremum funkcji z = fa (x, y), wówczas w tym momencie pochodne cząstkowe pierwszego rzędu tej funkcji są równe zeru lub nie istnieją.
Dowód.
Ustalmy wartość zmiennej Na, liczenie y = y 0. Następnie funkcja f (x, y 0) będzie funkcją jednej zmiennej X, dla którego x = x 0 jest punktem ekstremalnym. Dlatego zgodnie z twierdzeniem Fermata lub nie istnieje. To samo stwierdzenie zostało udowodnione podobnie dla .
Definicja 3. Punkty należące do dziedziny funkcji kilku zmiennych, w których pochodne cząstkowe funkcji są równe zeru lub w ogóle nie istnieją, nazywane są punktami punkty stacjonarne tę funkcję.
Komentarz. Zatem ekstremum można osiągnąć tylko w punktach stacjonarnych, ale niekoniecznie jest ono obserwowane w każdym z nich.
Twierdzenie 2(warunki wystarczające na ekstremum). Wpuśćmy jakieś sąsiedztwo punktu M 0 (x 0, y 0), który jest punktem stacjonarnym funkcji z = fa (x, y), funkcja ta ma ciągłe pochodne cząstkowe do trzeciego rzędu włącznie. Oznaczmy wtedy:
1) f(x, y) ma w tym punkcie M 0 maksymalnie, jeśli AC–B² > 0, A < 0;
2) f(x, y) ma w tym punkcie M 0 minimum jeśli AC–B² > 0, A > 0;
3) w punkcie krytycznym nie ma ekstremum jeśli AC–B² < 0;
4) jeśli AC–B² = 0, potrzebne są dalsze badania.
Przykład. Znajdźmy ekstrema funkcji z = x² - 2 xy + 2y² + 2 X. Aby znaleźć punkty stacjonarne, rozwiązujemy system 
. Zatem punkt stacjonarny to (-2, -1). W której A = 2, W = -2, Z= 4. Następnie AC–B² = 4 > 0 zatem w punkcie stacjonarnym osiągane jest ekstremum, czyli minimum (ponieważ A > 0).
Ekstremum warunkowe.
Definicja 4. Jeśli argumenty funkcji f (x 1 , x 2 ,…, x n) są związani dodatkowymi warunkami w formularzu M równania ( M< n) :
φ 1 ( x 1, x 2,…, x n) = 0, φ 2 ( x 1, x 2,…, x n) = 0, …, φ m ( x 1, x 2,…, x n) = 0, (1)
gdzie funkcje φ i mają ciągłe pochodne cząstkowe, wówczas wywołuje się równania (1). równania połączeń.
Definicja 5. Ekstremum funkcji f (x 1 , x 2 ,…, x n) gdy spełnione są warunki (1), nazywa się to ekstremum warunkowe.
Komentarz. Możemy zaproponować następującą interpretację geometryczną ekstremum warunkowego funkcji dwóch zmiennych: niech argumenty funkcji f(x, y) powiązane równaniem φ (x, y)= 0, definiując pewną krzywą w płaszczyźnie O xy. Rekonstrukcja prostopadłych do płaszczyzny O z każdego punktu tej krzywej xy aż do zetknięcia się z powierzchnią z = f (x, y), otrzymujemy krzywą przestrzenną leżącą na powierzchni powyżej krzywej φ (x, y)= 0. Zadanie polega na znalezieniu ekstremów wynikowej krzywej, które oczywiście w ogólnym przypadku nie pokrywają się z bezwarunkowymi ekstremami funkcji f(x, y).
Wyznaczmy warunki konieczne ekstremum warunkowego dla funkcji dwóch zmiennych, wprowadzając najpierw następującą definicję:
Definicja 6. Funkcjonować L (x 1 , x 2 ,…, x n) = fa (x 1 , x 2 ,…, x n) + λ 1 φ 1 (x 1 , x 2 ,…, x n) +
+ λ 2 φ 2 (x 1 , x 2 ,…, x n) +…+λ m φ m (x 1 , x 2 ,…, x n), (2)
Gdzie λi – niektóre są stałe, tzw Funkcja Lagrange'a i liczby λi– nieokreślone mnożniki Lagrange'a.
Twierdzenie(warunki konieczne dla ekstremum warunkowego). Ekstremum warunkowe funkcji z = fa (x, y) w obecności równania sprzężenia φ ( x, y)= 0 można osiągnąć tylko w stacjonarnych punktach funkcji Lagrange'a L (x, y) = fa (x, y) + λφ (x, y).
Pole skalarne nazywana jest część przestrzeni (lub cała przestrzeń), każdy punkt, któremu odpowiada wartość liczbowa jakiejś wielkości skalarnej.
Przykłady
Ciało, które ma w każdym punkcie określoną wartość temperatury, jest polem skalarnym.
Ciało niejednorodne, którego każdy punkt odpowiada określonej gęstości - skalarnemu polu gęstości.
We wszystkich tych przypadkach wielkość skalarna U nie zależy od czasu, ale zależy od położenia (współrzędnych) punktu M w przestrzeni, czyli jest funkcją trzech zmiennych, nazywa się to funkcja pola. I odwrotnie, każda funkcja trzech zmiennych u=f(x, y, z) określa pewne pole skalarne.
Funkcja płaskiego pola skalarnego zależy od dwóch zmiennych z=f(x, y).
Rozważmy pole skalarne u=f(x, y, z).
Wektor, którego współrzędne są pochodnymi cząstkowymi funkcji obliczonej w danym punkcie, nazywa się gradient funkcji w tym punkcie lub gradientu pola skalarnego.
Rozważmy wektor i dwa znajdujące się na nim punkty M 0 (x 0 , y 0 , z 0) I . Znajdźmy przyrost funkcji w kierunku:
Kierunkowa pochodna wywoływany jest następujący limit, jeśli istnieje:
gdzie są cosinusy kierunku wektora; α, β, γ są kątami utworzonymi przez wektor z osiami współrzędnych, jeśli .
Dla funkcji dwóch zmiennych wzory te mają postać:
Lub 
,
ponieważ .
Istnieje związek pomiędzy gradientem i pochodną kierunkową w tym samym punkcie.
Twierdzenie. Iloczyn skalarny gradientu funkcji i wektora pewnego kierunku jest równy pochodnej tej funkcji w kierunku tego wektora:
.
Konsekwencja. Pochodna kierunkowa ma największą wartość, jeśli kierunek ten pokrywa się z kierunkiem gradientu (uzasadnij, że skorzystasz z definicji iloczynu skalarnego i założysz, że ).
Wnioski:
1. Gradient jest wektorem wskazującym kierunek największego wzrostu funkcji w danym punkcie i posiadającym moduł liczbowo równy szybkości tego wzrostu:
.
2. Pochodna kierunkowa to szybkość zmiany funkcji w kierunku: jeśli , to funkcja w tym kierunku rośnie, jeśli , to funkcja maleje.
3. Jeżeli wektor pokrywa się z jednym z wektorów, to pochodna względem kierunku tego wektora pokrywa się z odpowiednią pochodną cząstkową.
Na przykład, jeśli , to .
Przykład
Podana funkcja 
, kropka A(1, 2) i wektor.
Znajdź: 1) ;
Rozwiązanie
1) Znajdź pochodne cząstkowe funkcji i oblicz je w punkcie A.
, .
Następnie 
.
2) Znajdź cosinusy kierunkowe wektora:
Odpowiedź: ; .
Literatura [ 1,2]
Pytania testowe:
1. Co nazywa się funkcją dwóch zmiennych i jest jej dziedziną definicji?
2. Jak wyznacza się pochodne cząstkowe?
3. Jakie jest geometryczne znaczenie pochodnych cząstkowych?
4. Jak nazywa się gradient pola skalarnego w danym punkcie?
5. Jak nazywa się pochodna kierunkowa?
6. Formułować zasady znajdowania ekstremów funkcji dwóch zmiennych.
opcja 1
Zadanie nr 1
A) 
; B) 
;
V) ; G) 
.
Zadanie nr 2 Zbadaj ciągłość funkcji: znajdź punkty nieciągłości funkcji i określ ich typ. Zbuduj schematyczny wykres funkcji.
Zadanie nr. Biorąc pod uwagę liczbę zespoloną Z. Wymagane: zapisz liczbę Z w postaci algebraicznej i trygonometrycznej. .
Zadanie nr 4.
1) y = 3x 5 – sinx, 2) y = tgx, 3) y = , 4) .
Zadanie nr 5. Zbadaj funkcję metodami rachunku różniczkowego i na podstawie wyników badań skonstruuj wykres. .
Zadanie nr 6. Podana jest funkcja z=f(x,y). Sprawdź, czy zachodzi tożsamość F≡0? 
Zadanie nr 7 Biorąc pod uwagę funkcję Z=x 2 +xy+y 2, punkt i wektor. Znajdować:
1) stopień z w tym punkcie A;
2) pochodna w punkcie A w kierunku wektora .
Opcja 2
Zadanie nr 1 Oblicz granice funkcji bez korzystania z reguły L'Hopitala.
A) 
; B) 
;
V) 
; G) 
.
Zadanie nr 2 Zbadaj ciągłość funkcji: znajdź punkty nieciągłości funkcji i określ ich typ. Zbuduj schematyczny wykres funkcji.
Zadanie nr 3 Biorąc pod uwagę liczbę zespoloną Z. Wymagane: zapisz liczbę Z w postaci algebraicznej i trygonometrycznej.
Zadanie nr 4. Znajdź pochodne pierwszego rzędu tych funkcji.
Wprowadzając koncepcję pochodnej cząstkowej funkcji kilku zmiennych, inkrementowaliśmy zmienne indywidualnie, pozostawiając wszystkie pozostałe argumenty bez zmian. W szczególności, jeśli rozpatrzymy funkcję dwóch zmiennych z = f(x,y), to albo zmiennej x podano przyrost Δx, a następnie w dziedzinie definicji funkcji nastąpiło przejście od punktu o współrzędnych (x,y) do punktu o współrzędnych (x + Δx ; y); lub zmiennej y nadano przyrost Δy, a następnie w dziedzinie definicji funkcji nastąpiło przejście od punktu o współrzędnych (x,y) do punktu o współrzędnych (x; y + Δy) (patrz rysunek 5.6 ). Zatem punkt, w którym obliczyliśmy pochodną cząstkową funkcji, poruszał się w kierunkach równoległych do osi współrzędnych na płaszczyźnie (albo równolegle do osi x, albo równolegle do rzędnej). Rozważmy teraz przypadek, gdy kierunek można obrać dowolnie, tj. przyrosty są podawane do kilku zmiennych jednocześnie. Dla przypadku funkcji dwóch zmiennych przejdziemy do punktu (x + Δx; y + Δy), a przemieszczenie będzie wynosić Δ l(patrz rysunek 5.6).
Podczas poruszania się w danym kierunku funkcja z będzie zwiększać Δ l z = f(x + Δx; y + Δy) – f(x,y), zwane przyrostem funkcji z w danym kierunku l.
Pochodna z l`w kierunku l
funkcje dwóch zmiennych
z = f(x,y) jest granicą stosunku przyrostu funkcji w tym kierunku do wartości przemieszczenia Δ l ponieważ ta ostatnia dąży do zera, tj. .
Pochodna z l` charakteryzuje szybkość zmiany funkcji w kierunku l.
Pojęcie pochodnej kierunkowej można uogólnić na funkcje z dowolną liczbą zmiennych.
Rysunek 5.6 – Przesuwanie punktu w określonym kierunku l
Można udowodnić, że Z l` = z x `cos α + z y `cos β, gdzie α i β to kąty utworzone przez kierunek ruchu punktu z osiami współrzędnych (patrz rysunek 5.6).
Na przykład znajdźmy pochodną funkcji z = ln (x 2 + xy) w punkcie
(3; 1) w kierunku przechodzącym od tego punktu do punktu (6; -3) (patrz rysunek 5.7).
Aby to zrobić, najpierw znajdź pochodne cząstkowe tej funkcji w punkcie (3; 1): z x ` = (2x + y)/(x 2 + xy) = (2*3 + 1)/(3 2 + 3* 1) = 7/12;
z y ` = x/(x 2 + xy) = 3/(3 2 + 3*1) = 3/12 = 1/4.
Należy zauważyć, że Δx = 6 – 3 = 3; Δy = -3 – 1 = -4; (Δ l) 2 = 9 + 16 = 25;
|Δ l| = 5. Wtedy cos α = 3/5; cos β = -4/5; z l` =
z x `cos α +
z y `cos β = (7/12)*(3/5) - (1/4)*(4/5) = (7/4)*(1/5) - (1/4)*(4 / 5) = (7*1 – 1*4)/(4*5) = 3/20.
Funkcja gradientu
Ze szkolnych zajęć z matematyki wiemy, że wektor na płaszczyźnie jest odcinkiem skierowanym. Jego początek i koniec mają dwie współrzędne. Współrzędne wektora oblicza się odejmując współrzędne początkowe od współrzędnych końcowych.
Pojęcie wektora można rozszerzyć na przestrzeń n-wymiarową (zamiast dwóch współrzędnych będzie n współrzędnych).
Gradient grad z funkcji z = f(x 1, x 2, ...x n) jest wektorem pochodnych cząstkowych funkcji w punkcie, tj. wektor ze współrzędnymi 
.
Można udowodnić, że gradient funkcji charakteryzuje kierunek najszybszego wzrostu poziomu funkcji w punkcie.
Na przykład dla funkcji z = 2x 1 + x 2 (patrz rysunek 5.8) gradient w dowolnym punkcie będzie miał współrzędne (2; 1). Można go skonstruować na płaszczyźnie na różne sposoby, przyjmując dowolny punkt jako początek wektora. Na przykład możesz połączyć punkt (0; 0) z punktem (2; 1) lub punkt (1; 0) z punktem (3; 1) lub punkt (0; 3) z punktem (2; 4), czy tak dalej. (Patrz rysunek 5.8). Wszystkie tak skonstruowane wektory będą miały współrzędne (2 – 0; 1 – 0) =
= (3 – 1; 1 – 0) = (2 – 0; 4 – 3) = (2; 1).
Z rysunku 5.8 wyraźnie widać, że poziom funkcji wzrasta w kierunku gradientu, ponieważ zbudowane linie poziomu odpowiadają wartościom poziomu 4 > 3 > 2.
Rysunek 5.8 - Gradient funkcji z = 2x 1 + x 2
Rozważmy inny przykład - funkcję z = 1/(x 1 x 2). Gradient tej funkcji nie będzie już zawsze taki sam w różnych punktach, ponieważ jej współrzędne są określone wzorami (-1/(x 1 2 x 2); -1/(x 1 x 2 2)).
Rysunek 5.9 przedstawia linie poziomu funkcji z = 1/(x 1 x 2) dla poziomów 2 i 10 (prosta 1/(x 1 x 2) = 2 jest oznaczona linią przerywaną, a linia prosta
1/(x 1 x 2) = 10 – linia ciągła).
Rysunek 5.9 - Gradienty funkcji z = 1/(x 1 x 2) w różnych punktach
Weźmy na przykład punkt (0,5; 1) i oblicz nachylenie w tym punkcie: (-1/(0,5 2 *1); -1/(0,5*1 2)) = (-4; - 2). Zauważ, że punkt (0,5; 1) leży na linii poziomu 1/(x 1 x 2) = 2, ponieważ z = f(0,5; 1) = 1/(0,5*1) = 2. Aby zobrazować wektor ( -4; -2) na rysunku 5.9 łączymy punkt (0,5; 1) z punktem (-3,5; -1), ponieważ
(-3,5 – 0,5; -1 - 1) = (-4; -2).
Weźmy inny punkt na tej samej linii poziomu, na przykład punkt (1; 0,5) (z = f(1; 0,5) = 1/(0,5*1) = 2). Obliczmy gradient w tym punkcie
(-1/(1 2 *0,5); -1/(1*0,5 2)) = (-2; -4). Aby zobrazować to na rysunku 5.9, łączymy punkt (1; 0,5) z punktem (-1; -3,5), ponieważ (-1 - 1; -3,5 - 0,5) = (-2; - 4).
Weźmy inny punkt na tej samej linii poziomu, ale tylko teraz w ćwiartce współrzędnych niedodatnich. Na przykład punkt (-0,5; -1) (z = f(-0,5; -1) = 1/((-1)*(-0,5)) = 2). Nachylenie w tym punkcie będzie równe
(-1/((-0,5) 2 *(-1)); -1/((-0,5)*(-1) 2)) = (4; 2). Przedstawmy to na rysunku 5.9, łącząc punkt (-0,5; -1) z punktem (3,5; 1), ponieważ (3,5 – (-0,5); 1 – (-1)) = (4 ; 2).
Należy zauważyć, że we wszystkich trzech rozpatrywanych przypadkach gradient wskazuje kierunek wzrostu poziomu funkcji (w stronę linii poziomu 1/(x 1 x 2) = 10 > 2).
Można wykazać, że nachylenie jest zawsze prostopadłe do linii poziomu (poziomej powierzchni) przechodzącej przez dany punkt.