Zachowanie Twojej prywatności jest dla nas ważne. Z tego powodu opracowaliśmy Politykę prywatności, która opisuje, w jaki sposób wykorzystujemy i przechowujemy Twoje dane. Zapoznaj się z naszymi praktykami dotyczącymi prywatności i daj nam znać, jeśli masz jakiekolwiek pytania.
Gromadzenie i wykorzystywanie danych osobowych
Dane osobowe to dane, które można wykorzystać do identyfikacji konkretnej osoby lub skontaktowania się z nią.
Możesz zostać poproszony o podanie swoich danych osobowych w dowolnym momencie kontaktu z nami.
Poniżej znajduje się kilka przykładów rodzajów danych osobowych, które możemy gromadzić i sposobu, w jaki możemy je wykorzystywać.
Jakie dane osobowe zbieramy:
- Kiedy składasz wniosek na stronie, możemy zbierać różne informacje, w tym Twoje imię i nazwisko, numer telefonu, adres e-mail itp.
Jak wykorzystujemy Twoje dane osobowe:
- Gromadzone przez nas dane osobowe pozwalają nam kontaktować się z Tobą w sprawie wyjątkowych ofert, promocji i innych wydarzeń oraz nadchodzących wydarzeń.
- Od czasu do czasu możemy wykorzystywać Twoje dane osobowe do wysyłania ważnych powiadomień i komunikatów.
- Możemy również wykorzystywać dane osobowe do celów wewnętrznych, takich jak przeprowadzanie audytów, analiza danych i różnych badań w celu ulepszenia świadczonych przez nas usług i przedstawienia rekomendacji dotyczących naszych usług.
- Jeśli bierzesz udział w losowaniu nagród, konkursie lub podobnej promocji, możemy wykorzystać podane przez Ciebie informacje w celu administrowania takimi programami.
Ujawnianie informacji osobom trzecim
Nie udostępniamy otrzymanych od Państwa informacji osobom trzecim.
Wyjątki:
- Jeżeli jest to konieczne – zgodnie z przepisami prawa, procedurą sądową, w postępowaniu sądowym i/lub na podstawie publicznych żądań lub wniosków organów rządowych na terytorium Federacji Rosyjskiej – do ujawnienia Twoich danych osobowych. Możemy również ujawnić informacje o Tobie, jeśli uznamy, że takie ujawnienie jest konieczne lub odpowiednie ze względów bezpieczeństwa, egzekwowania prawa lub innych celów ważnych dla społeczeństwa.
- W przypadku reorganizacji, fuzji lub sprzedaży możemy przekazać zebrane dane osobowe odpowiedniej następczej stronie trzeciej.
Ochrona danych osobowych
Podejmujemy środki ostrożności – w tym administracyjne, techniczne i fizyczne – aby chronić Twoje dane osobowe przed utratą, kradzieżą i niewłaściwym wykorzystaniem, a także nieuprawnionym dostępem, ujawnieniem, zmianą i zniszczeniem.
Szanowanie Twojej prywatności na poziomie firmy
Aby zapewnić bezpieczeństwo Twoich danych osobowych, przekazujemy naszym pracownikom standardy dotyczące prywatności i bezpieczeństwa oraz rygorystycznie egzekwujemy praktyki dotyczące prywatności.
Rozwiąż system z dwiema niewiadomymi - oznacza to znalezienie wszystkich par wartości zmiennych, które spełniają każde z podanych równań. Każda taka para nazywana jest rozwiązanie systemowe.
Przykład:
Para wartości \(x=3\);\(y=-1\) jest rozwiązaniem pierwszego układu, gdyż przy podstawianiu do układu tych trójek i minusów zamiast \(x\) i \ (y\), oba równania staną się poprawnymi równościami \(\begin(cases)3-2\cdot (-1)=5 \\3 \cdot 3+2 \cdot (-1)=7 \end( sprawy)\)
Ale \(x=1\); \(y=-2\) - nie jest rozwiązaniem pierwszego układu, gdyż po podstawieniu drugie równanie „nie jest zbieżne” \(\begin(cases)1-2\cdot(-2)=5 \\3 \cdot1+2 \cdot(-2)≠7 \end(przypadki)\)
Należy pamiętać, że takie pary są często zapisywane krócej: zamiast „\(x=3\); \(y=-1\)” zapisuje się je w ten sposób: \((3;-1)\).
Jak rozwiązać układ równań liniowych?
Istnieją trzy główne sposoby rozwiązywania układów równań liniowych:
- Metoda substytucyjna.
-
\(\begin(przypadki)13x+9y=17\\12x-2y=26\koniec(przypadki)\)
W drugim równaniu każdy wyraz jest parzysty, dlatego upraszczamy równanie, dzieląc je przez \(2\).
\(\begin(przypadki)13x+9y=17\\6x-y=13\koniec(przypadki)\)
Układ ten można rozwiązać na dowolny z poniższych sposobów, jednak wydaje mi się, że najwygodniejsza jest tutaj metoda podstawieniowa. Wyraźmy y z drugiego równania.
\(\begin(przypadki)13x+9y=17\\y=6x-13\end(przypadki)\)
Podstawmy \(6x-13\) zamiast \(y\) do pierwszego równania.
\(\begin(przypadki)13x+9(6x-13)=17\\y=6x-13\end(przypadki)\)
Pierwsze równanie zamieniło się w zwykłe. Rozwiążmy to.
Najpierw otwórzmy nawiasy.
\(\begin(przypadki)13x+54x-117=17\\y=6x-13\end(przypadki)\)
Przesuńmy \(117\) w prawo i przedstawmy podobne terminy.
\(\begin(przypadki)67x=134\\y=6x-13\end(przypadki)\)
Podzielmy obie strony pierwszego równania przez \(67\).
\(\begin(przypadki)x=2\\y=6x-13\end(przypadki)\)
Hurra, znaleźliśmy \(x\)! Podstawmy jego wartość do drugiego równania i znajdźmy \(y\).
\(\begin(cases)x=2\\y=12-13\end(cases)\)\(\Leftrightarrow\)\(\begin(cases)x=2\\y=-1\end(cases )\)
Zapiszmy odpowiedź.
\(\begin(cases)x-2y=5\\3x+2y=7 \end(cases)\)\(\Leftrightarrow\) \(\begin(cases)x=5+2y\\3x+2y= 7\end(przypadki)\)\(\Leftrightarrow\)
Zastąp powstałe wyrażenie zamiast tej zmiennej innym równaniem układu.
\(\Leftrightarrow\) \(\begin(cases)x=5+2y\\3(5+2y)+2y=7\end(cases)\)\(\Leftrightarrow\)
Przeanalizujmy dwa rodzaje rozwiązań układów równań:
1. Rozwiązanie układu metodą podstawieniową.
2. Rozwiązywanie układu poprzez dodawanie (odejmowanie) równań układu.
Aby rozwiązać układ równań metodą podstawieniową musisz postępować zgodnie z prostym algorytmem:
1. Ekspresowy. Z dowolnego równania wyrażamy jedną zmienną.
2. Zastępca. Zamiast wyrażonej zmiennej zastępujemy wynikową wartość innym równaniem.
3. Rozwiąż powstałe równanie z jedną zmienną. Znajdujemy rozwiązanie systemu.
Rozwiązać metodą dodawania (odejmowania) wyraz po wyrazie potrzebować:
1. Wybierz zmienną, dla której stworzymy identyczne współczynniki.
2. Dodajemy lub odejmujemy równania, w wyniku czego otrzymujemy równanie z jedną zmienną.
3. Rozwiąż powstałe równanie liniowe. Znajdujemy rozwiązanie systemu.
Rozwiązaniem układu są punkty przecięcia wykresów funkcji.
Rozważmy szczegółowo rozwiązanie systemów na przykładach.
Przykład 1:
Rozwiążmy metodą podstawieniową
Rozwiązywanie układu równań metodą podstawieniową2x+5y=1 (1 równanie)
x-10y=3 (drugie równanie)
1. Ekspresowy
Widać, że w drugim równaniu występuje zmienna x o współczynniku 1, co oznacza, że najłatwiej jest wyrazić zmienną x z drugiego równania.
x=3+10 lat
2. Po wyrażeniu podstawiamy 3+10y do pierwszego równania zamiast zmiennej x.
2(3+10 lat)+5 lat=1
3. Rozwiąż powstałe równanie z jedną zmienną.
2(3+10y)+5y=1 (otwórz nawiasy)
6+20 lat+5 lat=1
25 lat=1-6
25 lat=-5 |: (25)
y=-5:25
y=-0,2
Rozwiązaniem układu równań są punkty przecięcia wykresów, dlatego musimy znaleźć x i y, ponieważ punkt przecięcia składa się z x i y. Znajdźmy x, w pierwszym punkcie, w którym to wyraziliśmy, podstawiamy y.
x=3+10 lat
x=3+10*(-0,2)=1
Zwyczajowo zapisuje się punkty, w pierwszej kolejności zapisujemy zmienną x, a w drugiej kolejności zmienną y.
Odpowiedź: (1; -0,2)
Przykład nr 2:
Rozwiążmy to za pomocą metody dodawania (odejmowania) wyraz po wyrazie.
Rozwiązywanie układu równań metodą dodawania3x-2y=1 (1 równanie)
2x-3y=-10 (drugie równanie)
1. Wybieramy zmienną, powiedzmy, że wybieramy x. W pierwszym równaniu zmienna x ma współczynnik 3, w drugim - 2. Musimy ustawić takie same współczynniki, w tym celu mamy prawo pomnożyć równania lub podzielić przez dowolną liczbę. Mnożymy pierwsze równanie przez 2, a drugie przez 3 i otrzymujemy całkowity współczynnik 6.
3x-2 lata=1 |*2
6x-4 lata=2
2x-3 lata=-10 |*3
6x-9 lat=-30
2. Odejmij drugie od pierwszego równania, aby pozbyć się zmiennej x. Rozwiąż równanie liniowe.
__6x-4 lata=2
5 lat=32 | :5
y=6,4
3. Znajdź x. Podstawiamy znalezione y do dowolnego z równań, powiedzmy do pierwszego równania.
3x-2 lata = 1
3x-2*6,4=1
3x-12,8=1
3x=1+12,8
3x=13,8 |:3
x=4,6
Punktem przecięcia będzie x=4,6; y=6,4
Odpowiedź: (4,6; 6,4)
Chcesz bezpłatnie przygotować się do egzaminów? Korepetytor online za darmo. Bez żartów.
Tym filmem rozpoczynam serię lekcji poświęconych układom równań. Dzisiaj porozmawiamy o rozwiązywaniu układów równań liniowych metoda dodawania– To jedna z najprostszych metod, ale jednocześnie jedna z najskuteczniejszych.
Metoda dodawania składa się z trzech prostych kroków:
- Przyjrzyj się systemowi i wybierz zmienną, która ma takie same (lub przeciwne) współczynniki w każdym równaniu;
- Wykonaj odejmowanie algebraiczne (dla liczb przeciwnych - dodawanie) równań od siebie, a następnie przynieś podobne wyrazy;
- Rozwiąż nowe równanie otrzymane po drugim kroku.
Jeśli wszystko zostanie wykonane poprawnie, na wyjściu otrzymamy jedno równanie z jedną zmienną— nie będzie trudno go rozwiązać. Następnie pozostaje tylko zastąpić znaleziony korzeń oryginalnym systemem i uzyskać ostateczną odpowiedź.
Jednak w praktyce wszystko nie jest takie proste. Istnieje kilka powodów:
- Rozwiązywanie równań metodą dodawania oznacza, że wszystkie proste muszą zawierać zmienne o równych/przeciwnych współczynnikach. Co zrobić, jeśli ten wymóg nie jest spełniony?
- Nie zawsze po dodaniu/odjęciu równań we wskazany sposób otrzymamy piękną konstrukcję, którą można łatwo rozwiązać. Czy można w jakiś sposób uprościć obliczenia i przyspieszyć obliczenia?
Aby poznać odpowiedź na te pytania, a jednocześnie zrozumieć kilka dodatkowych niuansów, z którymi nie radzi sobie wielu uczniów, obejrzyj moją lekcję wideo:
Tą lekcją rozpoczynamy cykl wykładów poświęconych układom równań. Zaczniemy od najprostszych z nich, czyli tych, które zawierają dwa równania i dwie zmienne. Każdy z nich będzie liniowy.
Systemy to materiał dla klasy 7, ale lekcja ta przyda się także uczniom szkół średnich, którzy chcą odświeżyć swoją wiedzę na ten temat.
Ogólnie rzecz biorąc, istnieją dwie metody rozwiązywania takich systemów:
- Metoda dodawania;
- Metoda wyrażania jednej zmiennej za pomocą drugiej.
Dziś zajmiemy się pierwszą metodą - zastosujemy metodę odejmowania i dodawania. Ale aby to zrobić, musisz zrozumieć następujący fakt: gdy masz dwa lub więcej równań, możesz wziąć dowolne dwa z nich i dodać je do siebie. Są dodawane członek po członku, tj. Do „X” dodawane są „X” i podawane są podobne, „Y” z „Y” znów są podobne, a to, co jest na prawo od znaku równości, też jest do siebie dodawane i tam też są podane podobne .
Wynikiem takich machinacji będzie nowe równanie, które jeśli będzie miało pierwiastki, to z pewnością znajdą się wśród pierwiastków pierwotnego równania. Dlatego naszym zadaniem jest wykonać odejmowanie lub dodawanie w taki sposób, aby zniknęło $x$ lub $y$.
Jak to osiągnąć i jakiego narzędzia do tego użyć – porozmawiamy o tym teraz.
Rozwiązywanie prostych problemów za pomocą dodawania
Uczymy się więc korzystać z metody dodawania na przykładzie dwóch prostych wyrażeń.
Zadanie nr 1
\[\left\( \begin(align)& 5x-4y=22 \\& 7x+4y=2 \\\end(align) \right.\]
Zauważ, że $y$ ma współczynnik $-4$ w pierwszym równaniu i $+4$ w drugim. Są one wzajemnie przeciwne, więc logiczne jest założenie, że jeśli je zsumujemy, to w powstałej sumie „gry” ulegną wzajemnemu zniszczeniu. Dodaj to i uzyskaj:
Rozwiążmy najprostszą konstrukcję:
Świetnie, znaleźliśmy „x”. Co powinniśmy z tym teraz zrobić? Mamy prawo zastąpić go dowolnym równaniem. Zastąpmy w pierwszym:
\[-4y=12\po lewej| :\lewo(-4 \prawo) \prawo.\]
Odpowiedź: $\lewo(2;-3 \prawo)$.
Problem nr 2
\[\left\( \begin(align)& -6x+y=21 \\& 6x-11y=-51 \\\end(align) \right.\]
Tutaj sytuacja jest zupełnie podobna, tyle że z „X”. Dodajmy je:
Mamy najprostsze równanie liniowe, rozwiążmy je:
Teraz znajdźmy $x$:
Odpowiedź: $\lewo(-3;3\prawo)$.
Ważne punkty
Właśnie rozwiązaliśmy dwa proste układy równań liniowych metodą dodawania. Kluczowe punkty ponownie:
- Jeżeli dla jednej ze zmiennych istnieją przeciwne współczynniki, wówczas konieczne jest dodanie wszystkich zmiennych w równaniu. W tym przypadku jeden z nich zostanie zniszczony.
- Podstawiamy znalezioną zmienną do dowolnego równania układu, aby znaleźć drugie.
- Ostateczny zapis odpowiedzi można przedstawić na różne sposoby. Na przykład tak - $x=...,y=...$, lub w postaci współrzędnych punktów - $\left(...;... \right)$. Druga opcja jest lepsza. Najważniejszą rzeczą do zapamiętania jest to, że pierwsza współrzędna to $x$, a druga to $y$.
- Nie zawsze obowiązuje zasada zapisywania odpowiedzi w postaci współrzędnych punktu. Na przykład nie można go użyć, gdy zmienne to nie $x$ i $y$, ale na przykład $a$ i $b$.
W poniższych zadaniach rozważymy technikę odejmowania, gdy współczynniki nie są przeciwne.
Rozwiązywanie prostych problemów metodą odejmowania
Zadanie nr 1
\[\left\( \begin(align)& 10x-3y=5 \\& -6x-3y=-27 \\\end(align) \right.\]
Zauważ, że nie ma tutaj przeciwnych współczynników, ale są identyczne. Dlatego od pierwszego równania odejmujemy drugie:
Teraz podstawimy wartość $x$ do dowolnego równania układu. Przejdźmy najpierw:
Odpowiedź: $\lewo(2;5\prawo)$.
Problem nr 2
\[\left\( \begin(align)& 5x+4y=-22 \\& 5x-2y=-4 \\\end(align) \right.\]
Ponownie widzimy ten sam współczynnik 5 $ dla $ x $ w pierwszym i drugim równaniu. Dlatego logiczne jest założenie, że należy odjąć drugie od pierwszego równania:
Obliczyliśmy jedną zmienną. Teraz znajdźmy drugą, na przykład, podstawiając wartość $y$ do drugiej konstrukcji:
Odpowiedź: $\lewo(-3;-2 \prawo)$.
Niuanse rozwiązania
Co więc widzimy? Zasadniczo schemat nie różni się od rozwiązania poprzednich systemów. Jedyna różnica polega na tym, że nie dodajemy równań, ale je odejmujemy. Wykonujemy odejmowanie algebraiczne.
Innymi słowy, gdy tylko zobaczysz układ składający się z dwóch równań z dwiema niewiadomymi, pierwszą rzeczą, na którą musisz zwrócić uwagę, są współczynniki. Jeśli gdziekolwiek są takie same, równania są odejmowane, a jeśli są przeciwne, stosowana jest metoda dodawania. Robi się to zawsze tak, aby jedna z nich zniknęła, a w równaniu końcowym, które pozostaje po odjęciu, pozostaje tylko jedna zmienna.
Oczywiście to nie wszystko. Teraz rozważymy układy, w których równania są na ogół niespójne. Te. Nie ma w nich zmiennych, które byłyby takie same lub przeciwne. W tym przypadku do rozwiązania takich układów stosuje się dodatkową technikę, a mianowicie mnożenie każdego z równań przez specjalny współczynnik. Jak go znaleźć i jak ogólnie rozwiązać takie systemy, porozmawiamy o tym teraz.
Rozwiązywanie problemów poprzez mnożenie przez współczynnik
Przykład 1
\[\left\( \begin(align)& 5x-9y=38 \\& 3x+2y=8 \\\end(align) \right.\]
Widzimy, że ani dla $x$, ani dla $y$ współczynniki nie tylko są sobie przeciwne, ale też w żaden sposób nie są skorelowane z drugim równaniem. Współczynniki te w żaden sposób nie znikną, nawet jeśli równania dodamy lub odejmiemy od siebie. Dlatego konieczne jest zastosowanie mnożenia. Spróbujmy pozbyć się zmiennej $y$. W tym celu mnożymy pierwsze równanie przez współczynnik $y$ z drugiego równania, a drugie równanie przez współczynnik $y$ z pierwszego równania, bez dotykania znaku. Mnożymy i otrzymujemy nowy system:
\[\left\( \begin(align)& 10x-18y=76 \\& 27x+18y=72 \\\end(align) \right.\]
Spójrzmy na to: przy $y$ współczynniki są odwrotne. W takiej sytuacji konieczne jest zastosowanie metody dodawania. Dodajmy:
Teraz musimy znaleźć $y$. Aby to zrobić, zamień $x$ w pierwszym wyrażeniu:
\[-9y=18\po lewej| :\lewo(-9 \prawo) \prawo.\]
Odpowiedź: $\lewo(4;-2 \prawo)$.
Przykład nr 2
\[\left\( \begin(align)& 11x+4y=-18 \\& 13x-6y=-32 \\\end(align) \right.\]
Ponownie współczynniki żadnej ze zmiennych nie są spójne. Pomnóżmy przez współczynniki $y$:
\[\left\( \begin(align)& 11x+4y=-18\left| 6 \right. \\& 13x-6y=-32\left| 4 \right. \\\end(align) \right .\]
\[\left\( \begin(align)& 66x+24y=-108 \\& 52x-24y=-128 \\\end(align) \right.\]
Nasz nowy system jest odpowiednikiem poprzedniego, ale współczynniki $y$ są wzajemnie przeciwne, dlatego łatwo jest zastosować tutaj metodę dodawania:
Teraz znajdźmy $y$, podstawiając $x$ do pierwszego równania:
Odpowiedź: $\lewo(-2;1\prawo)$.
Niuanse rozwiązania
Kluczowa zasada jest tutaj następująca: mnożymy zawsze tylko przez liczby dodatnie - to uchroni Cię przed głupimi i obraźliwymi błędami związanymi ze zmianą znaków. Ogólnie schemat rozwiązania jest dość prosty:
- Patrzymy na system i analizujemy każde równanie.
- Jeśli zobaczymy, że ani $y$, ani $x$ współczynniki nie są spójne, tj. nie są one ani równe, ani przeciwne, wówczas wykonujemy następujące czynności: wybieramy zmienną, której musimy się pozbyć, a następnie patrzymy na współczynniki tych równań. Jeśli pomnożymy pierwsze równanie przez współczynnik z drugiego, a drugie odpowiednio pomnożymy przez współczynnik z pierwszego, to ostatecznie otrzymamy układ całkowicie równoważny poprzedniemu i współczynniki $ y$ będzie spójne. Wszystkie nasze działania czy przekształcenia mają na celu jedynie uzyskanie jednej zmiennej w jednym równaniu.
- Znajdujemy jedną zmienną.
- Podstawiamy znalezioną zmienną do jednego z dwóch równań układu i znajdujemy drugie.
- Odpowiedź zapisujemy w postaci współrzędnych punktów, jeśli mamy zmienne $x$ i $y$.
Ale nawet tak prosty algorytm ma swoje subtelności, na przykład współczynniki $x$ lub $y$ mogą być ułamkami zwykłymi i innymi „brzydkimi” liczbami. Rozpatrzymy teraz te przypadki osobno, ponieważ w nich można działać nieco inaczej niż zgodnie ze standardowym algorytmem.
Rozwiązywanie problemów z ułamkami zwykłymi
Przykład 1
\[\left\( \begin(align)& 4m-3n=32 \\& 0,8m+2,5n=-6 \\\end(align) \right.\]
Po pierwsze, zauważ, że drugie równanie zawiera ułamki. Pamiętaj jednak, że możesz podzielić 4 USD przez 0,8 USD. Otrzymamy 5 dolarów. Pomnóżmy drugie równanie przez 5 $:
\[\left\( \begin(align)& 4m-3n=32 \\& 4m+12,5m=-30 \\\end(align) \right.\]
Odejmujemy od siebie równania:
Znaleźliśmy $n$, teraz policzmy $m$:
Odpowiedź: $n=-4;m=5$
Przykład nr 2
\[\left\( \begin(align)& 2,5p+1,5k=-13\left| 4 \right. \\& 2p-5k=2\left| 5 \right. \\\end(align )\ Prawidłowy.\]
Tutaj, podobnie jak w poprzednim systemie, występują współczynniki ułamkowe, ale dla żadnej ze zmiennych współczynniki nie pasują do siebie całkowitą liczbę razy. Dlatego używamy standardowego algorytmu. Pozbądź się $p$:
\[\left\( \begin(align)& 5p+3k=-26 \\& 5p-12,5k=5 \\\end(align) \right.\]
Stosujemy metodę odejmowania:
Znajdźmy $p$, podstawiając $k$ do drugiej konstrukcji:
Odpowiedź: $p=-4;k=-2$.
Niuanse rozwiązania
To wszystko optymalizacja. W pierwszym równaniu w ogóle nie mnożyliśmy przez nic, ale pomnożyliśmy drugie równanie przez 5 $. W rezultacie otrzymaliśmy spójne, a nawet identyczne równanie dla pierwszej zmiennej. W drugim systemie zastosowaliśmy standardowy algorytm.
Ale jak znaleźć liczby, przez które można pomnożyć równania? W końcu, jeśli pomnożymy przez ułamki, otrzymamy nowe ułamki. Dlatego ułamki należy pomnożyć przez liczbę, która dałaby nową liczbę całkowitą, a następnie zmienne należy pomnożyć przez współczynniki, zgodnie ze standardowym algorytmem.
Na zakończenie chciałbym zwrócić uwagę na format zapisu odpowiedzi. Jak już mówiłem, ponieważ tutaj nie mamy $x$ i $y$, ale inne wartości, stosujemy niestandardowy zapis postaci:
Rozwiązywanie złożonych układów równań
Na zakończenie dzisiejszego samouczka wideo przyjrzyjmy się kilku naprawdę złożonym systemom. Ich złożoność będzie polegała na tym, że będą miały zmienne zarówno po lewej, jak i po prawej stronie. Dlatego, aby je rozwiązać, będziemy musieli zastosować przetwarzanie wstępne.
System nr 1
\[\left\(\begin(align)& 3\left(2x-y \right)+5=-2\left(x+3y\right)+4 \\& 6\left(y+1 \right )-1=5\left(2x-1 \right)+8 \\\end(align) \right.\]
Każde równanie ma pewną złożoność. Dlatego traktujmy każde wyrażenie jak zwykłą konstrukcję liniową.
W sumie otrzymujemy system finalny, będący odpowiednikiem pierwotnego:
\[\left\( \begin(align)& 8x+3y=-1 \\& -10x+6y=-2 \\\end(align) \right.\]
Spójrzmy na współczynniki $y$: $3$ mieści się w $6$ dwa razy, zatem pomnóżmy pierwsze równanie przez $2$:
\[\left\( \begin(align)& 16x+6y=-2 \\& -10+6y=-2 \\\end(align) \right.\]
Współczynniki $y$ są teraz równe, więc odejmujemy drugi od pierwszego równania: $$
Teraz znajdźmy $y$:
Odpowiedź: $\lewo(0;-\frac(1)(3) \prawo)$
System nr 2
\[\left\( \begin(align)& 4\left(a-3b \right)-2a=3\left(b+4 \right)-11 \\& -3\left(b-2a \right )-12=2\left(a-5 \right)+b \\\end(align) \right.\]
Przekształćmy pierwsze wyrażenie:
Zajmijmy się tym drugim:
\[-3\lewo(b-2a \prawo)-12=2\lewo(a-5 \prawo)+b\]
\[-3b+6a-12=2a-10+b\]
\[-3b+6a-2a-b=-10+12\]
W sumie nasz początkowy system będzie miał następującą postać:
\[\left\( \begin(align)& 2a-15b=1 \\& 4a-4b=2 \\\end(align) \right.\]
Patrząc na współczynniki $a$, widzimy, że pierwsze równanie należy pomnożyć przez $2$:
\[\left\( \begin(align)& 4a-30b=2 \\& 4a-4b=2 \\\end(align) \right.\]
Odejmij drugą od pierwszej konstrukcji:
Teraz znajdźmy $a$:
Odpowiedź: $\lewo(a=\frac(1)(2);b=0 \prawo)$.
To wszystko. Mam nadzieję, że ten samouczek wideo pomoże Ci zrozumieć ten trudny temat, jakim jest rozwiązywanie układów prostych równań liniowych. W przyszłości lekcji na ten temat będzie znacznie więcej: przyjrzymy się bardziej złożonym przykładom, w których będzie więcej zmiennych, a same równania będą nieliniowe. Do zobaczenia!
Układy równań są szeroko stosowane w sektorze gospodarczym do matematycznego modelowania różnych procesów. Na przykład przy rozwiązywaniu problemów związanych z zarządzaniem i planowaniem produkcji, tras logistycznych (problem transportu) lub rozmieszczenia sprzętu.
Układy równań wykorzystuje się nie tylko w matematyce, ale także w fizyce, chemii i biologii przy rozwiązywaniu problemów wyznaczania wielkości populacji.
Układ równań liniowych to dwa lub więcej równań z kilkoma zmiennymi, dla których konieczne jest znalezienie wspólnego rozwiązania. Taki ciąg liczb, dla którego wszystkie równania stają się prawdziwymi równościami lub dowodzą, że ciąg nie istnieje.
Równanie liniowe
Równania w postaci ax+by=c nazywane są liniowymi. Oznaczenia x, y to niewiadome, których wartość należy znaleźć, b, a to współczynniki zmiennych, c to wolny składnik równania.
Rozwiązanie równania poprzez jego wykreślenie będzie wyglądać jak linia prosta, której wszystkie punkty są rozwiązaniami wielomianu.
Rodzaje układów równań liniowych
Za najprostsze przykłady uważa się układy równań liniowych z dwiema zmiennymi X i Y.
F1(x, y) = 0 i F2(x, y) = 0, gdzie F1,2 to funkcje, a (x, y) to zmienne funkcyjne.
Rozwiązać układ równań - oznacza to znalezienie wartości (x, y), przy których układ zamienia się w prawdziwą równość lub ustalenie, że odpowiednie wartości x i y nie istnieją.
Para wartości (x, y), zapisana jako współrzędne punktu, nazywana jest rozwiązaniem układu równań liniowych.
Jeśli systemy mają jedno wspólne rozwiązanie lub nie ma żadnego rozwiązania, nazywa się je równoważnymi.
Jednorodne układy równań liniowych to układy, których prawa strona jest równa zeru. Jeżeli prawa część po znaku równości ma wartość lub jest wyrażona funkcją, to taki układ jest heterogeniczny.
Liczba zmiennych może być znacznie większa niż dwie, wtedy powinniśmy mówić o przykładzie układu równań liniowych z trzema lub więcej zmiennymi.
W obliczu systemów uczniowie zakładają, że liczba równań musi koniecznie pokrywać się z liczbą niewiadomych, ale tak nie jest. Liczba równań w układzie nie zależy od zmiennych, może być ich tyle, ile potrzeba.
Proste i złożone metody rozwiązywania układów równań
Nie ma ogólnej metody analitycznej rozwiązywania takich układów, wszystkie metody opierają się na rozwiązaniach numerycznych. Szkolny kurs matematyki szczegółowo opisuje takie metody jak permutacja, dodawanie algebraiczne, podstawienie, a także metody graficzne i macierzowe, rozwiązanie metodą Gaussa.
Głównym zadaniem nauczania metod rozwiązywania problemów jest nauczenie prawidłowej analizy systemu i znalezienia optymalnego algorytmu rozwiązania dla każdego przykładu. Najważniejsze nie jest zapamiętywanie systemu zasad i działań dla każdej metody, ale zrozumienie zasad stosowania konkretnej metody
Rozwiązywanie przykładów układów równań liniowych w programie nauczania ogólnego w klasie VII jest dość proste i szczegółowo wyjaśnione. W każdym podręczniku do matematyki tej sekcji poświęca się wystarczająco dużo uwagi. Rozwiązywanie przykładów układów równań liniowych metodą Gaussa i Cramera jest szerzej studiowane na pierwszych latach studiów wyższych.
Rozwiązywanie układów metodą podstawieniową
Działania metody podstawieniowej mają na celu wyrażenie wartości jednej zmiennej za pomocą drugiej. Wyrażenie podstawiamy do pozostałego równania, a następnie sprowadzamy do postaci z jedną zmienną. Czynność powtarza się w zależności od ilości niewiadomych w systemie
Podajmy rozwiązanie przykładowego układu równań liniowych klasy 7 metodą podstawieniową:
Jak widać na przykładzie zmienną x wyrażono poprzez F(X) = 7 + Y. Powstałe wyrażenie, podstawione w miejsce X do 2. równania układu, pozwoliło otrzymać w 2. równaniu jedną zmienną Y . Rozwiązanie tego przykładu jest łatwe i pozwala uzyskać wartość Y. Ostatnim krokiem jest sprawdzenie uzyskanych wartości.
Nie zawsze możliwe jest rozwiązanie przykładowego układu równań liniowych przez podstawienie. Równania mogą być złożone i wyrażenie zmiennej w kategoriach drugiej niewiadomej będzie zbyt kłopotliwe do dalszych obliczeń. Jeżeli w systemie są więcej niż 3 niewiadome, rozwiązywanie przez podstawienie również jest niewłaściwe.
Rozwiązanie przykładowego układu równań liniowych niejednorodnych:
Rozwiązanie wykorzystujące dodawanie algebraiczne
Szukając rozwiązań układów metodą dodawania, równania dodaje się termin po wyrazie i mnoży przez różne liczby. Ostatecznym celem operacji matematycznych jest równanie z jedną zmienną.
Stosowanie tej metody wymaga praktyki i obserwacji. Rozwiązywanie układu równań liniowych metodą dodawania, gdy występują 3 lub więcej zmiennych, nie jest łatwe. Dodawanie algebraiczne jest wygodne w użyciu, gdy równania zawierają ułamki zwykłe i dziesiętne.
Algorytm rozwiązania:
- Pomnóż obie strony równania przez określoną liczbę. W wyniku operacji arytmetycznej jeden ze współczynników zmiennej powinien przyjąć wartość 1.
- Dodaj wynikowe wyrażenie termin po terminie i znajdź jedną z niewiadomych.
- Podstaw uzyskaną wartość do drugiego równania układu, aby znaleźć pozostałą zmienną.
Metoda rozwiązania poprzez wprowadzenie nowej zmiennej
Nową zmienną można wprowadzić, jeżeli układ wymaga znalezienia rozwiązania nie więcej niż dwóch równań, liczba niewiadomych również nie powinna przekraczać dwóch.
Metodę tę stosuje się w celu uproszczenia jednego z równań poprzez wprowadzenie nowej zmiennej. Nowe równanie rozwiązuje się dla wprowadzonej niewiadomej, a otrzymaną wartość wykorzystuje się do wyznaczenia pierwotnej zmiennej.
Przykład pokazuje, że wprowadzając nową zmienną t, możliwe było sprowadzenie pierwszego równania układu do standardowego trójmianu kwadratowego. Wielomian można rozwiązać, znajdując dyskryminator.
Wartość dyskryminatora należy znaleźć ze znanego wzoru: D = b2 - 4*a*c, gdzie D jest pożądanym wyróżnikiem, b, a, c są współczynnikami wielomianu. W podanym przykładzie a=1, b=16, c=39, zatem D=100. Jeśli dyskryminator jest większy od zera, to są dwa rozwiązania: t = -b±√D / 2*a, jeśli dyskryminator jest mniejszy od zera, to jest jedno rozwiązanie: x = -b / 2*a.
Rozwiązanie dla powstałych układów można znaleźć metodą addycji.
Wizualna metoda rozwiązywania układów
Nadaje się do 3 układów równań. Metoda polega na konstruowaniu wykresów każdego równania wchodzącego w skład układu na osi współrzędnych. Współrzędne punktów przecięcia krzywych będą rozwiązaniem ogólnym układu.
Metoda graficzna ma wiele niuansów. Przyjrzyjmy się kilku przykładom rozwiązywania układów równań liniowych w sposób wizualny.
Jak widać na przykładzie, dla każdej prostej skonstruowano dwa punkty, arbitralnie wybrano wartości zmiennej x: 0 i 3. Na podstawie wartości x znaleziono wartości dla y: 3 i 0. Na wykresie zaznaczono punkty o współrzędnych (0, 3) i (3, 0) i połączono je linią.
Kroki należy powtórzyć dla drugiego równania. Punkt przecięcia prostych jest rozwiązaniem układu.
Poniższy przykład wymaga znalezienia graficznego rozwiązania układu równań liniowych: 0,5x-y+2=0 i 0,5x-y-1=0.
Jak widać na przykładzie układ nie ma rozwiązania, ponieważ wykresy są równoległe i nie przecinają się na całej długości.
Układy z przykładów 2 i 3 są podobne, ale po zbudowaniu staje się oczywiste, że ich rozwiązania są różne. Należy pamiętać, że nie zawsze można stwierdzić, czy układ ma rozwiązanie, czy nie, zawsze konieczne jest skonstruowanie wykresu.
Macierz i jej odmiany
Macierze służą do zwięzłego pisania układu równań liniowych. Macierz to specjalny rodzaj tabeli wypełnionej liczbami. n*m ma n - wierszy i m - kolumn.
Macierz jest kwadratowa, gdy liczba kolumn i wierszy jest równa. Macierz-wektor jest macierzą jednokolumnową z nieskończenie możliwą liczbą wierszy. Macierz z jedynkami wzdłuż jednej z przekątnych i innymi elementami zerowymi nazywa się tożsamością.
Macierz odwrotna to macierz, po pomnożeniu, przez którą pierwotna zamienia się w macierz jednostkową; taka macierz istnieje tylko dla pierwotnej kwadratowej.
Zasady przekształcania układu równań w macierz
W odniesieniu do układów równań współczynniki i wyrazy wolne równań zapisuje się jako liczby macierzowe; jedno równanie to jeden wiersz macierzy.
Mówi się, że wiersz macierzy jest niezerowy, jeśli przynajmniej jeden element wiersza jest różny od zera. Dlatego jeśli w którymkolwiek z równań liczba zmiennych jest różna, wówczas w miejsce brakującej niewiadomej należy wpisać zero.
Kolumny macierzy muszą ściśle odpowiadać zmiennym. Oznacza to, że współczynniki zmiennej x można zapisać tylko w jednej kolumnie, np. w pierwszej, współczynnik nieznanej y - tylko w drugiej.
Podczas mnożenia macierzy wszystkie elementy macierzy są kolejno mnożone przez liczbę.
Opcje znajdowania macierzy odwrotnej
Wzór na znalezienie macierzy odwrotnej jest dość prosty: K -1 = 1 / |K|, gdzie K -1 jest macierzą odwrotną, a |K| jest wyznacznikiem macierzy. |K| nie może być równe zero, wówczas układ ma rozwiązanie.
Wyznacznik można łatwo obliczyć dla macierzy dwa na dwa, wystarczy pomnożyć elementy przekątne przez siebie. Dla opcji „trzy na trzy” istnieje wzór |K|=a 1 b 2 c 3 + a 1 b 3 c 2 + a 3 b 1 c 2 + a 2 b 3 c 1 + a 2 b 1 c 3 + za 3 b 2 do 1 . Możesz skorzystać ze wzoru lub pamiętać, że musisz wziąć po jednym elemencie z każdego wiersza i każdej kolumny, aby w pracy nie powtarzały się numery kolumn i rzędów elementów.
Rozwiązywanie przykładów układów równań liniowych metodą macierzową
Macierzowa metoda znajdowania rozwiązania pozwala na ograniczenie uciążliwych wpisów przy rozwiązywaniu układów z dużą liczbą zmiennych i równań.
W przykładzie a nm to współczynniki równań, macierz to wektor. x n to zmienne, a b n to terminy wolne.
Rozwiązywanie układów metodą Gaussa
W matematyce wyższej metodę Gaussa bada się łącznie z metodą Cramera, a proces znajdowania rozwiązań układów nazywa się metodą rozwiązań Gaussa-Cramera. Metody te służą do znajdowania zmiennych układów o dużej liczbie równań liniowych.
Metoda Gaussa jest bardzo podobna do rozwiązań metodą podstawienia i dodawania algebraicznego, ale jest bardziej systematyczna. Na zajęciach szkolnych stosuje się rozwiązanie metodą Gaussa dla układów 3 i 4 równań. Celem metody jest sprowadzenie układu do postaci odwróconego trapezu. Za pomocą przekształceń algebraicznych i podstawień wartość jednej zmiennej znajduje się w jednym z równań układu. Drugie równanie jest wyrażeniem z 2 niewiadomymi, natomiast 3 i 4 z 3 i 4 zmiennymi.
Po doprowadzeniu układu do opisanej postaci dalsze rozwiązanie sprowadza się do sekwencyjnego podstawienia znanych zmiennych do równań układu.
W podręcznikach szkolnych dla klasy 7 przykład rozwiązania metodą Gaussa opisano w następujący sposób:
Jak widać na przykładzie, w kroku (3) otrzymano dwa równania: 3x 3 -2x 4 =11 i 3x 3 +2x 4 =7. Rozwiązanie któregokolwiek z równań pozwoli ci znaleźć jedną ze zmiennych x n.
Twierdzenie 5, o którym mowa w tekście, stwierdza, że jeśli jedno z równań układu zostanie zastąpione równaniem równoważnym, wówczas powstały układ będzie również równoważny pierwotnemu.
Metoda Gaussa jest trudna do zrozumienia dla gimnazjalistów, ale jest jednym z najciekawszych sposobów rozwijania pomysłowości dzieci zapisanych do zaawansowanych programów nauczania na lekcjach matematyki i fizyki.
Aby ułatwić rejestrację, obliczenia zwykle wykonuje się w następujący sposób:
Współczynniki równań i wyrazy wolne zapisuje się w postaci macierzy, gdzie każdemu wierszowi macierzy odpowiada jedno z równań układu. oddziela lewą stronę równania od prawej. Cyfry rzymskie wskazują numery równań w układzie.
Najpierw zapisz macierz, z którą będziesz pracować, a następnie wszystkie czynności wykonane z jednym z wierszy. Otrzymaną macierz zapisuje się po znaku „strzałki” i kontynuuje niezbędne działania algebraiczne aż do uzyskania wyniku.
Wynikiem powinna być macierz, w której jedna z przekątnych jest równa 1, a wszystkie pozostałe współczynniki są równe zeru, to znaczy macierz jest zredukowana do postaci jednostkowej. Nie możemy zapomnieć o wykonaniu obliczeń z liczbami po obu stronach równania.
Ta metoda zapisywania jest mniej uciążliwa i pozwala nie rozpraszać się wypisywaniem wielu niewiadomych.
Swobodne korzystanie z dowolnej metody rozwiązania będzie wymagało ostrożności i pewnego doświadczenia. Nie wszystkie metody mają charakter stosowany. Niektóre metody znajdowania rozwiązań są bardziej preferowane w określonym obszarze działalności człowieka, inne służą celom edukacyjnym.