1°. Równania wykładnicze nazywane są równaniami zawierającymi zmienną w wykładniku.
Rozwiązywanie równań wykładniczych opiera się na własności potęg: dwie potęgi o tej samej podstawie są równe wtedy i tylko wtedy, gdy ich wykładniki są równe.
2°. Podstawowe metody rozwiązywania równań wykładniczych:
1) najprostsze równanie ma rozwiązanie;
2) równanie postaci logarytmicznej o podstawie A zredukować do formy;
3) równanie postaci jest równoważne równaniu;
4) równanie postaci 
jest równoważne równaniu.
5) równanie postaci redukuje się poprzez podstawienie do równania, a następnie rozwiązuje się układ prostych równań wykładniczych;
6) równanie z odwrotnością 
przez podstawienie sprowadzają się do równania, a następnie rozwiązują układ równań;
7) równania jednorodne pod względem g(x) I bg(x) jeśli się uwzględni 
Uprzejmy 
poprzez zamianę sprowadza się je do równania, a następnie rozwiązuje się układ równań.
Klasyfikacja równań wykładniczych.
1. Równania rozwiązywane poprzez przejście do jednej podstawy.
Przykład 18. Rozwiąż równanie 
.
Rozwiązanie: Wykorzystajmy fakt, że wszystkie podstawy potęg są potęgami liczby 5: .
2. Równania rozwiązywane poprzez przejście do jednego wykładnika.
Równania te rozwiązuje się poprzez przekształcenie pierwotnego równania do postaci , co sprowadza się do najprostszego rozwiązania za pomocą właściwości proporcji.
Przykład 19. Rozwiąż równanie:
3. Równania rozwiązane poprzez usunięcie wspólnego czynnika z nawiasów.
Jeśli każdy wykładnik w równaniu różni się od drugiego o określoną liczbę, wówczas równania rozwiązuje się, umieszczając wykładnik o najmniejszym wykładniku poza nawiasem.
Przykład 20. Rozwiąż równanie.
Rozwiązanie: Weźmy stopień o najmniejszym wykładniku z nawiasów po lewej stronie równania:
Przykład 21. Rozwiąż równanie 
Rozwiązanie: Zgrupujmy oddzielnie po lewej stronie równania wyrazy zawierające potęgi o podstawie 4, po prawej stronie o podstawie 3, a następnie umieśćmy w nawiasach potęgi o najmniejszym wykładniku:
4. Równania redukujące do równań kwadratowych (lub sześciennych)..
Poniższe równania sprowadzają się do równania kwadratowego dla nowej zmiennej y:
a) rodzaj substytucji, w tym przypadku;
b) rodzaj podstawienia oraz .
Przykład 22. Rozwiąż równanie 
.
Rozwiązanie: Zmieńmy zmienną i rozwiążmy równanie kwadratowe:
.
Odpowiedź: 0; 1.
5. Równania jednorodne pod względem funkcji wykładniczych.
Równanie postaci jest równaniem jednorodnym drugiego stopnia ze względu na niewiadome x I bx. Takie równania są redukowane poprzez najpierw podzielenie obu stron przez, a następnie podstawienie ich do równań kwadratowych.
Przykład 23. Rozwiąż równanie.
Rozwiązanie: Podziel obie strony równania przez:
Układając , otrzymujemy równanie kwadratowe z pierwiastkami .
Teraz problem sprowadza się do rozwiązania układu równań 
. Z pierwszego równania dowiadujemy się, że . Drugie równanie nie ma pierwiastków, ponieważ dla dowolnej wartości X.
Odpowiedź: -1/2.
6. Równania wymierne ze względu na funkcje wykładnicze.
Przykład 24. Rozwiąż równanie.
Rozwiązanie: Podziel licznik i mianownik ułamka przez 3x i zamiast dwóch otrzymujemy jedną funkcję wykładniczą:
7. Równania postaci 
.
Takie równania ze zbiorem wartości dopuszczalnych (APV), określonym przez warunek, biorąc logarytm obu stron równania, sprowadza się do równania równoważnego, które z kolei jest równoważne zbiorowi dwóch równań lub.
Przykład 25. Rozwiąż równanie: .
.
Materiał dydaktyczny.
Rozwiąż równania:
1. ; 2. ; 3. 
;
4. 
; 5. ; 6. ;
9. 
; 10. 
; 11. 
;
14. 
; 15. ;
16. 
; 17. 
;
18. ; 19. 
;
20. ; 21. 
;
22. 
; 23. 
;
24. 
; 25. 
.
26. Znajdź iloczyn pierwiastków równania 
.
27. Znajdź sumę pierwiastków równania 
.
Znajdź znaczenie wyrażenia:
28. , gdzie x 0- pierwiastek równania;
29. , gdzie x 0– cały pierwiastek równania 
.
Rozwiązać równanie:
31. 
; 32. .
Odpowiedzi: 10; 2. -2/9; 3. 1/36; 4. 0, 0,5; 50; 6,0; 7. -2; 8,2; 9. 1, 3; 10. 8; 11,5; 12.1; 13. ¼; 14,2; 15. -2, -1; 16. -2, 1; 17,0; 18,1; 19,0; 20. -1, 0; 21. -2, 2; 22. -2, 2; 23,4; 24. -1, 2; 25. -2, -1, 3; 26. -0,3; 27,3; 28.11; 29,54; 30. -1, 0, 2, 3; 31. ; 32. .
Temat nr 8.
Nierówności wykładnicze.
1°. Nierówność zawierająca zmienną w wykładniku nazywa się nierówność wykładnicza.
2°. Rozwiązanie nierówności wykładniczych postaci opiera się na następujących stwierdzeniach:
jeżeli , to nierówność jest równoważna ;
jeśli , to nierówność jest równoważna .
Przy rozwiązywaniu nierówności wykładniczych stosuje się te same techniki, co przy rozwiązywaniu równań wykładniczych.
Przykład 26. Rozwiąż nierówność 
(metoda przejścia do jednej zasady).
Rozwiązanie: Od 
, wówczas daną nierówność można zapisać jako: 
. Ponieważ , to ta nierówność jest równoważna nierówności 
.
Rozwiązując ostatnią nierówność, otrzymujemy .
Przykład 27. Rozwiąż nierówność: ( usuwając wspólny czynnik z nawiasów).
Rozwiązanie: Wyjmijmy z nawiasów lewą stronę nierówności, prawą stronę nierówności i podzielmy obie strony nierówności przez (-2), zmieniając znak nierówności na przeciwny:
Od , następnie przechodząc do nierówności wskaźników, znak nierówności ponownie zmienia się na przeciwny. Dostajemy. Zatem zbiór wszystkich rozwiązań tej nierówności jest przedziałem.
Przykład 28. Rozwiąż nierówność ( poprzez wprowadzenie nowej zmiennej).
Rozwiązanie: Niech . Wtedy nierówność ta będzie miała postać: 
Lub 
, którego rozwiązaniem jest przedział .
Stąd. Ponieważ funkcja rośnie, to .
Materiał dydaktyczny.
Podaj zbiór rozwiązań nierówności:
1. ; 2. ; 3. ;
6. Przy jakich wartościach X Czy punkty na wykresie funkcji leżą poniżej linii prostej?
7. Przy jakich wartościach X Czy punkty na wykresie funkcji leżą przynajmniej tak daleko od linii prostej?
Rozwiąż nierówność:
8. 
; 9. 
; 10. ;
13. Podaj największe rozwiązanie całkowite nierówności 
.
14. Znajdź iloczyn największej liczby całkowitej i najmniejszej liczby całkowitej rozwiązań nierówności 
.
Rozwiąż nierówność:
15. ; 16. 
; 17. 
;
18. 
; 19. ; 20. ;
21. 
; 22. 
; 23. 
;
24. 
; 25. 
; 26. 
.
Znajdź dziedzinę funkcji:
27. 
; 28. 
.
29. Znajdź zbiór wartości argumentów, dla których wartości każdej z funkcji są większe niż 3:
I 
.
Odpowiedzi: 11,3; 12,3; 13. -3; 14.1; 15. (0; 0,5); 16. ; 17. (-1; 0)U(3; 4); 18. [-2; 2]; 19. (0; +∞); 20. (0; 1); 21. (3; +∞); 22. (-∞; 0)U(0,5; +∞); 23. (0; 1); 24. (-1; 1); 25. (0; 2]; 26. (3; 3,5)U (4; +∞); 27. (-∞; 3)U(5); 28. (a)=a^(\frac( 1) (n))\) otrzymujemy, że \(\sqrt(3^3)=((3^3))^(\frac(1)(2))\). Następnie, korzystając z własności stopnia \((a^b)^c=a^(bc)\), otrzymujemy \(((3^3))^(\frac(1)(2))=3^ (3 \ cdot \frac(1)(2))=3^(\frac(3)(2))\).
\(3^(\frac(3)(2))\cdot 3^(x-1)=(\frac(1)(3))^(2x)\)
Wiemy również, że \(a^b·a^c=a^(b+c)\). Stosując to do lewej strony, otrzymujemy: \(3^(\frac(3)(2))·3^(x-1)=3^(\frac(3)(2)+ x-1)= 3^ (1,5 + x-1)=3^(x+0,5)\).
\(3^(x+0,5)=(\frac(1)(3))^(2x)\)
Teraz pamiętaj o tym: \(a^(-n)=\frac(1)(a^n)\). Formuły tej można także użyć w odwrotnym kierunku: \(\frac(1)(a^n) =a^(-n)\). Następnie \(\frac(1)(3)=\frac(1)(3^1) =3^(-1)\).
\(3^(x+0,5)=(3^(-1))^(2x)\)
Stosując własność \((a^b)^c=a^(bc)\) do prawej strony, otrzymujemy: \((3^(-1))^(2x)=3^((-1) 2x) =3^(-2x)\).
\(3^(x+0,5)=3^(-2x)\)
A teraz nasze podstawy są równe i nie ma współczynników zakłócających itp. Możemy więc dokonać przejścia.
Przykład
. Rozwiąż równanie wykładnicze \(4^(x+0,5)-5 2^x+2=0\)
Rozwiązanie:
|
\(4^(x+0,5)-5 2^x+2=0\) |
Ponownie używamy właściwości potęgi \(a^b \cdot a^c=a^(b+c)\) w przeciwnym kierunku. |
|
|
\(4^x 4^(0,5)-5 2^x+2=0\) |
Teraz pamiętaj o tym \(4=2^2\). |
|
|
\((2^2)^x·(2^2)^(0,5)-5·2^x+2=0\) |
Korzystając z właściwości stopni, przekształcamy: |
|
|
\(2·(2^x)^2-5·2^x+2=0\) |
Przyglądamy się uważnie równaniu i widzimy, że zamiana \(t=2^x\) sugeruje się sama. |
|
|
\(t_1=2\) \(t_2=\frac(1)(2)\) |
Jednak znaleźliśmy wartości \(t\) i potrzebujemy \(x\). Wracamy do X, dokonując odwrotnej zamiany. |
|
|
\(2^x=2\) \(2^x=\frac(1)(2)\) |
Przekształćmy drugie równanie, korzystając z właściwości potęgi ujemnej... |
|
|
\(2^x=2^1\) \(2^x=2^(-1)\) |
...i decydujemy aż do odpowiedzi. |
|
|
\(x_1=1\) \(x_2=-1\) |
Odpowiedź : \(-1; 1\).
Pozostaje pytanie - jak zrozumieć, kiedy zastosować którą metodę? To przychodzi z doświadczeniem. Dopóki tego nie opracujesz, stosuj ogólne zalecenie dotyczące rozwiązywania złożonych problemów – „jeśli nie wiesz, co robić, rób, co możesz”. Oznacza to, że poszukaj, jak w zasadzie możesz przekształcić równanie i spróbuj to zrobić - a co jeśli co się stanie? Najważniejsze jest, aby dokonywać wyłącznie przekształceń matematycznych.
Równania wykładnicze bez rozwiązań
Przyjrzyjmy się jeszcze dwóm sytuacjom, które często dezorientują uczniów:
- liczba dodatnia do potęgi jest równa zero, na przykład \(2^x=0\);
- liczba dodatnia jest równa potęgi liczby ujemnej, na przykład \(2^x=-4\).
Spróbujmy rozwiązać brutalną siłą. Jeśli x jest liczbą dodatnią, to w miarę wzrostu x cała potęga \(2^x\) będzie tylko wzrastać:
\(x=1\); \(2^1=2\)
\(x=2\); \(2^2=4\)
\(x=3\); \(2^3=8\).
\(x=0\); \(2^0=1\)
Również przez. Pozostaje ujemne X. Pamiętając o własności \(a^(-n)=\frac(1)(a^n)\), sprawdzamy:
\(x=-1\); \(2^(-1)=\frac(1)(2^1) =\frac(1)(2)\)
\(x=-2\); \(2^(-2)=\frac(1)(2^2) =\frac(1)(4)\)
\(x=-3\); \(2^(-3)=\frac(1)(2^3) =\frac(1)(8)\)
Mimo że z każdym krokiem liczba ta maleje, nigdy nie osiągnie zera. Zatem stopień ujemny nas nie uratował. Dochodzimy do logicznego wniosku:
Liczba dodatnia w jakimkolwiek stopniu pozostanie liczbą dodatnią.
Zatem oba powyższe równania nie mają rozwiązań.
Równania wykładnicze o różnych podstawach
W praktyce czasami spotykamy się z równaniami wykładniczymi o różnych podstawach, które nie są do siebie redukowalne, a jednocześnie o tych samych wykładnikach. Wyglądają one tak: \(a^(f(x))=b^(f(x))\), gdzie \(a\) i \(b\) są liczbami dodatnimi.
Na przykład:
\(7^(x)=11^(x)\)
\(5^(x+2)=3^(x+2)\)
\(15^(2x-1)=(\frac(1)(7))^(2x-1)\)
Takie równania można łatwo rozwiązać, dzieląc przez dowolną stronę równania (najczęściej przez prawą stronę, czyli przez \(b^(f(x))\). Można dzielić w ten sposób, ponieważ liczba dodatnia jest dodatnia do dowolnej potęgi (to znaczy nie dzielimy przez zero) Otrzymujemy:
\(\frac(a^(f(x)))(b^(f(x)))\) \(=1\)
Przykład
. Rozwiąż równanie wykładnicze \(5^(x+7)=3^(x+7)\)
Rozwiązanie:
|
\(5^(x+7)=3^(x+7)\) |
Tutaj nie uda nam się zamienić piątki na trójkę i odwrotnie (przynajmniej bez użycia ). Oznacza to, że nie możemy dojść do postaci \(a^(f(x))=a^(g(x))\). Jednak wskaźniki są takie same. |
|
|
\(\frac(5^(x+7))(3^(x+7))\) \(=\)\(\frac(3^(x+7))(3^(x+7) )\) |
Teraz zapamiętaj właściwość \((\frac(a)(b))^c=\frac(a^c)(b^c)\) i użyj jej od lewej strony w przeciwnym kierunku. Po prawej stronie po prostu zmniejszamy ułamek. |
|
|
\((\frac(5)(3))^(x+7)\) \(=1\) |
Wydawać by się mogło, że sytuacja nie uległa poprawie. Pamiętaj jednak o jeszcze jednej właściwości potęgi: \(a^0=1\), innymi słowy: „każda liczba do potęgi zerowej jest równa \(1\).” Odwrotna sytuacja jest również prawdziwa: „jeden można przedstawić jako dowolną liczbę do potęgi zerowej”. Skorzystajmy z tego, tworząc podstawę po prawej stronie taką samą jak po lewej stronie. |
|
|
\((\frac(5)(3))^(x+7)\) \(=\) \((\frac(5)(3))^0\) |
Voila! Pozbądźmy się podstaw. |
|
|
Piszemy odpowiedź. |
Odpowiedź : \(-7\).
Czasami „identyczność” wykładników nie jest oczywista, ale umiejętne wykorzystanie właściwości wykładników rozwiązuje ten problem.
Przykład
. Rozwiąż równanie wykładnicze \(7^( 2x-4)=(\frac(1)(3))^(-x+2)\)
Rozwiązanie:
|
\(7^(2x-4)=(\frac(1)(3))^(-x+2)\) |
Równanie wygląda bardzo smutno... Nie tylko nie da się sprowadzić podstaw do tej samej liczby (siedem w żadnym wypadku nie będzie równe \(\frac(1)(3)\)), ale i wykładniki są różne. .. Użyjmy jednak lewego wykładnika dwójki. |
|
|
\(7^( 2(x-2))=(\frac(1)(3))^(-x+2)\) |
Pamiętając o własności \((a^b)^c=a^(b·c)\) , przekształcamy od lewej: |
|
|
\(49^(x-2)=(\frac(1)(3))^(-x+2)\) |
Teraz, pamiętając o własności stopnia ujemnego \(a^(-n)=\frac(1)(a)^n\), przekształcamy od prawej strony: \((\frac(1)(3))^( -x+2) =(3^(-1))^(-x+2)=3^(-1(-x+2))=3^(x-2)\) |
|
|
\(49^(x-2)=3^(x-2)\) |
Alleluja! Wskaźniki są takie same! |
Odpowiedź : \(2\).