Konwersja wyrażeń z pierwiastkami i potęgami często wymaga przechodzenia między pierwiastkami i potęgami. W tym artykule przyjrzymy się, jak dokonuje się takich przejść, co leży u ich podstaw i w jakich momentach najczęściej pojawiają się błędy. Wszystko to przedstawimy na typowych przykładach ze szczegółową analizą rozwiązań.
Nawigacja strony.
Przejście od potęg o wykładnikach ułamkowych do pierwiastków
Możliwość przejścia od stopnia z wykładnikiem ułamkowym do pierwiastka podyktowana jest już samą definicją stopnia. Przypomnijmy, jak to wyznacza się: potęgę liczby dodatniej a z wykładnikiem ułamkowym m/n, gdzie m jest liczbą całkowitą, a n jest liczbą naturalną, nazywamy n-tym pierwiastkiem z a m, czyli gdzie a>0 , m∈Z, n∈ N. Moc ułamkowa zera jest definiowana w podobny sposób 
, z tą tylko różnicą, że w tym przypadku m nie jest już liczbą całkowitą, ale naturalną, tak że dzielenie przez zero nie następuje.
Zatem stopień zawsze można zastąpić pierwiastkiem. Na przykład możesz przejść od do, a stopień można zastąpić pierwiastkiem. Ale nie powinieneś przechodzić od wyrażenia do pierwiastka, ponieważ stopień początkowo nie ma sensu (stopień liczb ujemnych nie jest określony), mimo że pierwiastek ma znaczenie.
Jak widać, nie ma absolutnie nic trudnego w przejściu od potęg liczb do pierwiastków. Przejście do pierwiastków potęg z wykładnikami ułamkowymi, u podstawy których znajdują się dowolne wyrażenia, odbywa się w podobny sposób. Należy zauważyć, że określone przejście jest wykonywane na ODZ zmiennych oryginalnego wyrażenia. Na przykład wyrażenie 
na całym ODZ zmiennej x dla tego wyrażenia można zastąpić pierwiastkiem 
. I od stopnia 
przejdź do roota 
, taka zamiana ma miejsce dla dowolnego zbioru zmiennych x, y i z z ODZ dla pierwotnego wyrażenia.
Zastąpienie korzeni mocami
Możliwa jest także zamiana odwrotna, czyli zastąpienie pierwiastków potęgami o wykładnikach ułamkowych. Opiera się również na równości, którą w tym przypadku stosuje się od prawej do lewej, czyli w formie.
Dla pozytywnego a wskazane przejście jest oczywiste. Na przykład możesz zastąpić stopień przez i przejść od pierwiastka do stopnia z wykładnikiem ułamkowym w postaci .
A dla ujemnego a równość nie ma sensu, ale pierwiastek nadal może mieć sens. Na przykład korzenie mają sens, ale nie można ich zastąpić mocami. Czy w ogóle można je przekształcić w wyrażenia z potęgami? Jest to możliwe, jeśli dokona się wstępnych przekształceń, które polegają na dotarciu do pierwiastków, pod którymi znajdują się liczby nieujemne, które następnie zastępujemy potęgami o wykładnikach ułamkowych. Pokażmy, na czym polegają te wstępne przekształcenia i jak je przeprowadzić.
W przypadku korzenia możesz wykonać następujące przekształcenia: 
. A ponieważ 4 jest liczbą dodatnią, ostatni pierwiastek można zastąpić potęgą. A w drugim przypadku wyznaczanie pierwiastka nieparzystego liczby ujemnej−a (gdzie a jest dodatnie), wyrażone przez równość 
, pozwala zastąpić pierwiastek wyrażeniem, w którym pierwiastek sześcienny z dwóch można już zastąpić stopniem i przybierze on postać .
Pozostaje dowiedzieć się, w jaki sposób pierwiastki, pod którymi znajdują się wyrażenia, są zastępowane przez potęgi zawierające te wyrażenia w podstawie. Nie ma potrzeby się spieszyć z zastąpieniem go , użyliśmy litery A do oznaczenia określonego wyrażenia. Podajmy przykład wyjaśniający, co przez to rozumiemy. Chcę tylko zastąpić korzeń stopniem opartym na równości. Ale takie podstawienie jest właściwe tylko pod warunkiem x-3≥0, a dla pozostałych wartości zmiennej x z ODZ (spełniającej warunek x-3<0 ) она не подходит, так как формула не имеет смысла для отрицательных a . Если обратить внимание на ОДЗ, то несложно заметить ее сужение при переходе от выражения к выражению , а помните, что мы договорились не прибегать к преобразованиям, сужающим ОДЗ.
Z powodu tego niedokładnego zastosowania wzoru często pojawiają się błędy przy przechodzeniu od pierwiastków do potęg. Przykładowo w podręczniku postawiono zadanie przedstawienia wyrażenia w postaci potęgi z wykładnikiem wymiernym i podano odpowiedź, która rodzi pytania, gdyż warunek nie określa ograniczenia b>0. A w podręczniku jest przejście od wyrażenia 
, najprawdopodobniej poprzez następujące przekształcenia wyrażenia irracjonalnego 
do wyrażenia. Najnowsze przejście również rodzi pytania, ponieważ zawęża DZ.
Powstaje logiczne pytanie: „Jak poprawnie przejść od pierwiastka do potęgi dla wszystkich wartości zmiennych z ODZ?” Zastąpienie to odbywa się w oparciu o następujące stwierdzenia:
Zanim uzasadnimy zarejestrowane wyniki, podajemy kilka przykładów ich wykorzystania do przejścia od pierwiastków do potęg. Najpierw wróćmy do wyrażenia. Należy go zastąpić nie przez , ale przez (w tym przypadku m=2 jest liczbą całkowitą parzystą, n=3 jest liczbą całkowitą naturalną). Inny przykład: 
.
Teraz obiecane uzasadnienie wyników.
Gdy m jest liczbą całkowitą nieparzystą, a n jest parzystą liczbą całkowitą naturalną, to dla dowolnego zbioru zmiennych z ODZ dla wyrażenia wartość wyrażenia A jest dodatnia (jeśli m<0 ) или неотрицательно (если m>0). Dlatego, .
Przejdźmy do drugiego wyniku. Niech m będzie dodatnią nieparzystą liczbą całkowitą, a n nieparzystą liczbą naturalną. Dla wszystkich wartości zmiennych z ODZ, dla których wartość wyrażenia A jest nieujemna, 
, i dla którego jest ona ujemna, 
Poniższy wynik udowodniono podobnie dla ujemnych i nieparzystych liczb całkowitych m oraz nieparzystych naturalnych liczb całkowitych n. Dla wszystkich wartości zmiennych z ODZ, dla których wartość wyrażenia A jest dodatnia, , i dla którego jest ona ujemna,
Wreszcie ostatni wynik. Niech m będzie liczbą całkowitą parzystą, n dowolną liczbą naturalną. Dla wszystkich wartości zmiennych z ODZ, dla których wartość wyrażenia A jest dodatnia (jeśli m<0
) или неотрицательно (если m>0
), . I dla którego jest to negatywne, . Zatem jeśli m jest parzystą liczbą całkowitą, n jest dowolną liczbą naturalną, to dla dowolnego zbioru wartości zmiennych z ODZ do wyrażenia można go zastąpić przez .
Bibliografia.
- Algebra i początek analizy: Proc. dla klas 10-11. ogólne wykształcenie instytucje / A. N. Kołmogorow, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn i inni; wyd. A. N. Kołmogorowa - wyd. 14 - M.: Edukacja, 2004. - 384 s.: chory - ISBN 5-09-013651-3.
- Algebra i początek analizy matematycznej. Klasa 11: edukacyjna. dla edukacji ogólnej instytucje: podstawowe i profilowe. poziomy / [Yu. M. Kolyagin, M. V. Tkacheva, N. E. Fedorova, M. I. Shabunin]; edytowany przez A. B. Żyżczenko. – M.: Edukacja, 2009.- 336 s.: il.- ISBN 979-5-09-016551-8.
Czas to uporządkować metody ekstrakcji korzeni. Opierają się one na własnościach pierwiastków, w szczególności na równości, która obowiązuje dla każdej liczby nieujemnej b.
Poniżej przyjrzymy się głównym metodom wydobywania korzeni jeden po drugim.
Zacznijmy od najprostszego przypadku - wyciągania pierwiastków z liczb naturalnych za pomocą tabeli kwadratów, tabeli kostek itp.
Jeśli tabele kwadratów, sześcianów itp. Jeśli nie masz go pod ręką, logiczne jest zastosowanie metody wyodrębniania pierwiastka, która polega na rozłożeniu liczby pierwiastkowej na czynniki pierwsze.
Warto szczególnie wspomnieć, co jest możliwe dla pierwiastków o wykładnikach nieparzystych.
Na koniec rozważmy metodę, która pozwala nam sekwencyjnie znajdować cyfry wartości pierwiastkowej.
Zacznijmy.
Korzystanie z tabeli kwadratów, tabeli kostek itp.
W najprostszych przypadkach tabele kwadratów, kostek itp. pozwalają na wyodrębnienie pierwiastków. Co to za tabele?
Tabela kwadratów liczb całkowitych od 0 do 99 włącznie (pokazana poniżej) składa się z dwóch stref. Pierwsza strefa tabeli zlokalizowana jest na szarym tle i wybierając konkretny wiersz oraz konkretną kolumnę, pozwala na ułożenie liczby od 0 do 99. Na przykład wybierzmy wiersz składający się z 8 dziesiątek i kolumnę zawierającą 3 jednostki, w ten sposób ustaliliśmy liczbę 83. Druga strefa zajmuje resztę stołu. Każda komórka znajduje się na przecięciu określonego wiersza i określonej kolumny i zawiera kwadrat odpowiedniej liczby od 0 do 99. Na przecięciu wybranego przez nas rzędu 8 dziesiątek i kolumny 3 jedności znajduje się komórka z liczbą 6889, która jest kwadratem liczby 83.
Tablice kostek, tablice czwartych potęg liczb od 0 do 99 itd. są podobne do tablicy kwadratów, tyle że zawierają kostki, czwarte potęgi itp. w drugiej strefie. odpowiednie liczby.
Tablice kwadratów, sześcianów, czwartych potęg itp. pozwalają wyodrębnić pierwiastki kwadratowe, pierwiastki sześcienne, pierwiastki czwarte itp. odpowiednio na podstawie liczb w tych tabelach. Wyjaśnijmy zasadę ich stosowania podczas wydobywania korzeni.
Powiedzmy, że musimy wyodrębnić n-ty pierwiastek z liczby a, podczas gdy liczba a jest zawarta w tabeli n-tych potęg. Korzystając z tej tabeli, znajdujemy liczbę b taką, że a=b n. Następnie 
dlatego liczba b będzie pożądanym pierwiastkiem n-tego stopnia.
Jako przykład pokażmy, jak użyć tabeli kostek do wyodrębnienia pierwiastka sześciennego z 19 683. W tabeli kostek znajdujemy liczbę 19 683, z niej dowiadujemy się, że ta liczba jest sześcianem liczby 27, dlatego też 
.
Jest oczywiste, że tablice n-tych potęg są bardzo wygodne do wyodrębniania pierwiastków. Często jednak nie są one pod ręką, a ich skompilowanie zajmuje trochę czasu. Ponadto często konieczne jest wyodrębnienie pierwiastków z liczb, które nie są zawarte w odpowiednich tabelach. W takich przypadkach należy zastosować inne metody ekstrakcji korzeni.
Rozkładanie liczby pierwiastkowej na czynniki pierwsze
Dość wygodnym sposobem wyodrębnienia pierwiastka z liczby naturalnej (jeśli oczywiście zostanie wyodrębniony pierwiastek) jest rozłożenie liczby pierwiastkowej na czynniki pierwsze. Jego chodzi o to: potem dość łatwo jest przedstawić to jako potęgę o pożądanym wykładniku, co pozwala uzyskać wartość pierwiastka. Wyjaśnijmy tę kwestię.
Weźmy n-ty pierwiastek liczby naturalnej a i jego wartość będzie równa b. W tym przypadku prawdziwa jest równość a=bn. Liczbę b, jak każdą liczbę naturalną, można przedstawić jako iloczyn wszystkich jej czynników pierwszych p 1 , p 2 , …, p m w postaci p 1 ·p 2 ·…·p m , oraz w tym przypadku liczby pierwiastkowej a jest reprezentowane jako (p 1 ·p 2 ·…·p m) n . Ponieważ rozkład liczby na czynniki pierwsze jest jednoznaczny, rozkład pierwiastka liczby a na czynniki pierwsze będzie miał postać (p 1 ·p 2 ·…·p m) n, co pozwala obliczyć wartość pierwiastka Jak .
Należy zauważyć, że jeśli rozkładu liczby a na czynniki pierwsze nie można przedstawić w postaci (p 1 ·p 2 ·…·p m) n, to n-ty pierwiastek takiej liczby a nie jest wyodrębniony całkowicie.
Rozwiążmy to, rozwiązując przykłady.
Przykład.
Weź pierwiastek kwadratowy ze 144.
Rozwiązanie.
Jeśli spojrzysz na tabelę kwadratów podaną w poprzednim akapicie, wyraźnie zobaczysz, że 144 = 12 2, z czego jasno wynika, że pierwiastek kwadratowy z 144 jest równy 12.
Jednak w świetle tego punktu interesuje nas sposób wyodrębnienia pierwiastka poprzez rozkład pierwiastka liczby 144 na czynniki pierwsze. Przyjrzyjmy się temu rozwiązaniu.
Rozłóżmy się 144 do czynników pierwszych:
Oznacza to, że 144=2,2,2,2,3,3. Na podstawie powstałego rozkładu można przeprowadzić następujące przekształcenia: 144=2·2·2·2·3·3=(2,2) 2,3 2 =(2,2,3) 2 =12 2. Stąd, 
.
Korzystając z właściwości stopnia i właściwości pierwiastków, rozwiązanie można sformułować nieco inaczej: .
Odpowiedź:
Aby skonsolidować materiał, rozważ rozwiązania dwóch kolejnych przykładów.
Przykład.
Oblicz wartość pierwiastka.
Rozwiązanie.
Rozkład na czynniki pierwsze rodnika 243 ma postać 243=3 5 . Zatem, 
.
Odpowiedź:
Przykład.
Czy wartość pierwiastkowa jest liczbą całkowitą?
Rozwiązanie.
Aby odpowiedzieć na to pytanie, rozłóżmy liczbę pierwiastkową na czynniki pierwsze i zobaczmy, czy można ją przedstawić w postaci sześcianu liczby całkowitej.
Mamy 285 768=2 3 ·3 6 ·7 2. Wynikowego rozwinięcia nie można przedstawić w postaci sześcianu liczby całkowitej, ponieważ potęga czynnika pierwszego 7 nie jest wielokrotnością trzech. Dlatego nie można całkowicie wyodrębnić pierwiastka sześciennego z 285 768.
Odpowiedź:
NIE.
Wyodrębnianie pierwiastków z liczb ułamkowych
Czas dowiedzieć się, jak wyodrębnić pierwiastek z liczby ułamkowej. Niech rodnik ułamkowy zostanie zapisany jako p/q. Zgodnie z właściwością pierwiastka ilorazu prawdziwa jest następująca równość. Z tej równości wynika zasada wyodrębniania pierwiastka ułamka zwykłego: Pierwiastek ułamka jest równy ilorazowi pierwiastka licznika podzielonego przez pierwiastek mianownika.
Spójrzmy na przykład wyodrębnienia pierwiastka z ułamka.
Przykład.
Jaki jest pierwiastek kwadratowy ułamka zwykłego 25/169?
Rozwiązanie.
Korzystając z tabeli kwadratów, stwierdzamy, że pierwiastek kwadratowy licznika ułamka pierwotnego jest równy 5, a pierwiastek kwadratowy mianownika jest równy 13. Następnie 
. Na tym kończy się ekstrakcja pierwiastka frakcji wspólnej 25/169.
Odpowiedź:
Pierwiastek ułamka dziesiętnego lub liczby mieszanej wyodrębnia się po zastąpieniu liczb pierwiastkowych ułamkami zwykłymi.
Przykład.
Weź pierwiastek sześcienny ułamka dziesiętnego 474,552.
Rozwiązanie.
Wyobraźmy sobie pierwotny ułamek dziesiętny jako ułamek zwykły: 474,552=474552/1000. Następnie 
. Pozostaje wyodrębnić pierwiastki sześcienne znajdujące się w liczniku i mianowniku powstałego ułamka. Ponieważ 474 552=2·2·2·3·3·3·13·13·13=(2 3 13) 3 =78 3 i 1 000 = 10 3, wtedy 
I 
. Pozostaje tylko dokończyć obliczenia 
.
Odpowiedź:
.
Biorąc pierwiastek z liczby ujemnej
Warto zastanowić się nad wyodrębnianiem pierwiastków z liczb ujemnych. Badając pierwiastki, powiedzieliśmy, że jeśli wykładnik pierwiastkowy jest liczbą nieparzystą, wówczas pod znakiem pierwiastka może znajdować się liczba ujemna. Nadaliśmy tym wpisom następujące znaczenie: dla liczby ujemnej −a i nieparzystego wykładnika pierwiastka 2 n−1, 
. Ta równość daje zasada wyodrębniania pierwiastków nieparzystych z liczb ujemnych: aby wyodrębnić pierwiastek z liczby ujemnej, musisz wziąć pierwiastek z przeciwnej liczby dodatniej i umieścić znak minus przed wynikiem.
Spójrzmy na przykładowe rozwiązanie.
Przykład.
Znajdź wartość pierwiastka.
Rozwiązanie.
Przekształćmy oryginalne wyrażenie tak, aby pod pierwiastkiem znajdowała się liczba dodatnia: 
. Teraz zamień liczbę mieszaną na ułamek zwykły: 
. Stosujemy regułę wyodrębniania pierwiastka ułamka zwykłego: 
. Pozostaje obliczyć pierwiastki w liczniku i mianowniku powstałego ułamka: 
.
Oto krótkie podsumowanie rozwiązania: 
.
Odpowiedź:
.
Bitowe określenie wartości pierwiastkowej
W ogólnym przypadku pod pierwiastkiem znajduje się liczba, której przy użyciu technik omówionych powyżej nie można przedstawić jako n-tą potęgę dowolnej liczby. Ale w tym przypadku trzeba znać znaczenie danego pierwiastka, przynajmniej do pewnego znaku. W takim przypadku, aby wyodrębnić pierwiastek, możesz użyć algorytmu, który pozwala sekwencyjnie uzyskać wystarczającą liczbę wartości cyfr żądanej liczby.
Pierwszym krokiem tego algorytmu jest sprawdzenie, jaki jest najbardziej znaczący bit wartości pierwiastkowej. W tym celu liczby 0, 10, 100, ... są kolejno podnoszone do potęgi n, aż do momentu, gdy liczba przekroczy liczbę pierwiastkową. Następnie liczba, którą podnieśliśmy do potęgi n na poprzednim etapie, wskaże odpowiednią najbardziej znaczącą cyfrę.
Rozważmy na przykład ten krok algorytmu podczas wyodrębniania pierwiastka kwadratowego z pięciu. Weź liczby 0, 10, 100, ... i podnieś je do kwadratu, aż otrzymamy liczbę większą niż 5. Mamy 0 2 = 0<5 , 10 2 =100>5, co oznacza, że najbardziej znaczącą cyfrą będzie cyfra jedności. Wartość tego bitu, jak i niższych, zostanie odnaleziona w kolejnych krokach algorytmu ekstrakcji pierwiastka.
Wszystkie kolejne kroki algorytmu mają na celu sekwencyjne doprecyzowanie wartości pierwiastka poprzez znalezienie wartości kolejnych bitów pożądanej wartości pierwiastka, zaczynając od najwyższej i przechodząc do najniższych. Przykładowo wartość pierwiastka w pierwszym kroku okazuje się wynosić 2, w drugim – 2,2, w trzecim – 2,23 i tak dalej 2,236067977…. Opiszmy, jak znaleźć wartości cyfr.
Cyfry można znaleźć, przeszukując ich możliwe wartości 0, 1, 2, ..., 9. W tym przypadku n-te potęgi odpowiednich liczb są obliczane równolegle i porównywane z liczbą pierwiastkową. Jeżeli na pewnym etapie wartość stopnia przekroczy liczbę pierwiastkową, wówczas uznaje się, że wartość cyfry odpowiadająca poprzedniej wartości zostaje znaleziona i następuje przejście do kolejnego kroku algorytmu ekstrakcji pierwiastka; jeżeli tak się nie stanie, wówczas wartość tej cyfry wynosi 9.
Wyjaśnijmy te punkty na tym samym przykładzie wyodrębnienia pierwiastka kwadratowego z pięciu.
Najpierw znajdujemy wartość cyfry jedności. Będziemy przechodzić przez wartości 0, 1, 2, ..., 9, obliczając odpowiednio 0 2, 1 2, ..., 9 2, aż otrzymamy wartość większą niż pierwiastek 5. Wszystkie te obliczenia wygodnie jest przedstawić w formie tabeli: 
Zatem wartość cyfry jedności wynosi 2 (ponieważ 2 2<5
, а 2 3 >5 ). Przejdźmy do znalezienia wartości miejsca dziesiątego. W tym przypadku podniesiemy liczby 2,0, 2,1, 2,2, ..., 2,9 do kwadratu, porównując uzyskane wartości z rodnikiem 5: 
Od 2.2 2<5
, а 2,3 2 >5, wówczas wartość miejsca dziesiątego wynosi 2. Możesz przystąpić do znajdowania wartości miejsca setnego: 
W ten sposób znaleziono kolejną wartość pierwiastka z pięciu, która wynosi 2,23. Możesz więc nadal znajdować wartości: 2,236, 2,2360, 2,23606, 2,236067, … .
Aby utrwalić materiał, przeanalizujemy ekstrakcję pierwiastka z dokładnością do setnych, stosując rozważany algorytm.
Najpierw określamy najbardziej znaczącą cyfrę. Aby to zrobić, dzielimy liczby 0, 10, 100 itd. dopóki nie otrzymamy liczby większej niż 2 151 186. Mamy 0 3 = 0<2 151,186 , 10 3 =1 000<2151,186 , 100 3 =1 000 000>2 151,186, więc najbardziej znaczącą cyfrą jest cyfra dziesiątek.
Ustalmy jego wartość. 
Od 10 3<2 151,186
, а 20 3 >2 151,186, wówczas wartość miejsca dziesiątek wynosi 1. Przejdźmy do jednostek. 
Zatem wartość cyfry jedności wynosi 2. Przejdźmy do dziesiątek. 
Ponieważ nawet 12,9 3 jest mniejsze niż pierwiastek 2 151,186, wówczas wartość miejsca dziesiątego wynosi 9. Pozostaje wykonać ostatni krok algorytmu, który da nam wartość pierwiastka z wymaganą dokładnością. 
Na tym etapie wartość pierwiastka ustala się z dokładnością do setnych: 
.
Podsumowując ten artykuł, chciałbym powiedzieć, że istnieje wiele innych sposobów ekstrakcji korzeni. Ale w przypadku większości zadań wystarczą te, które przestudiowaliśmy powyżej.
Bibliografia.
- Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: podręcznik dla klasy 8. instytucje edukacyjne.
- Kołmogorow A.N., Abramow A.M., Dudnitsyn Yu.P. i inne Algebra i początki analizy: Podręcznik dla klas 10 - 11 szkół ogólnokształcących.
- Gusiew V.A., Mordkovich A.G. Matematyka (podręcznik dla rozpoczynających naukę w technikach).
Spojrzałem jeszcze raz na znak... I jedziemy!
Zacznijmy od czegoś prostego:
Tylko minutę. to, co oznacza, że możemy to zapisać w ten sposób:
Rozumiem? Oto kolejny dla Ciebie:
Czy pierwiastki otrzymanych liczb nie zostały dokładnie wyodrębnione? Nie ma problemu – oto kilka przykładów:
A co jeśli nie ma dwóch, ale więcej mnożników? Ten sam! Wzór na mnożenie pierwiastków działa z dowolną liczbą czynników:
Teraz całkowicie samodzielnie:
Odpowiedzi: Dobrze zrobiony! Zgadzam się, wszystko jest bardzo proste, najważniejsze jest poznanie tabliczki mnożenia!
Podział korzeni
Omówiliśmy już mnożenie pierwiastków, teraz przejdźmy do własności dzielenia.
Przypomnę, że ogólny wzór wygląda następująco:
Co oznacza że pierwiastek ilorazu jest równy ilorazowi pierwiastków.
Cóż, spójrzmy na kilka przykładów:
To wszystko, czym jest nauka. Oto przykład:
Nie wszystko jest tak gładkie jak w pierwszym przykładzie, ale jak widać, nie ma tu nic skomplikowanego.
A co jeśli natkniesz się na to wyrażenie:
Wystarczy zastosować formułę w odwrotnym kierunku:
Oto przykład:
Możesz także spotkać się z tym wyrażeniem:
Wszystko jest takie samo, tylko tutaj musisz pamiętać, jak tłumaczyć ułamki zwykłe (jeśli nie pamiętasz, spójrz na temat i wróć!). Pamiętasz? Teraz zdecydujmy!
Jestem pewien, że poradziłeś sobie ze wszystkim, teraz spróbujmy podnieść korzenie do stopni.
Potęgowanie
Co się stanie, jeśli pierwiastek kwadratowy zostanie podniesiony do kwadratu? To proste, pamiętaj o znaczeniu pierwiastka kwadratowego z liczby - jest to liczba, której pierwiastek kwadratowy jest równy.
Jeśli więc podniesiemy do kwadratu liczbę, której pierwiastek kwadratowy jest równy, co otrzymamy?
Ależ oczywiście, !
Spójrzmy na przykłady:
To proste, prawda? A co jeśli korzeń jest w innym stopniu? W porządku!
Postępuj zgodnie z tą samą logiką i pamiętaj o właściwościach i możliwych działaniach ze stopniami.
Przeczytaj teorię na temat „”, a wszystko stanie się dla ciebie niezwykle jasne.
Oto na przykład wyrażenie:
W tym przykładzie stopień jest parzysty, ale co, jeśli jest nieparzysty? Ponownie zastosuj właściwości wykładników i rozłóż wszystko na czynniki:
Wszystko wydaje się jasne, ale jak wyodrębnić pierwiastek z liczby do potęgi? Tutaj na przykład jest tak:
Całkiem proste, prawda? A co jeśli stopień jest większy niż dwa? Kierujemy się tą samą logiką, wykorzystując właściwości stopni:
Czy wszystko jest jasne? Następnie samodzielnie rozwiąż przykłady:
A oto odpowiedzi:
Wejście pod znakiem korzenia
Czego nie nauczyliśmy się robić z korzeniami! Pozostaje tylko poćwiczyć wprowadzanie liczby pod znakiem głównym!
To naprawdę proste!
Załóżmy, że mamy zapisaną liczbę
Co możemy z tym zrobić? No cóż, oczywiście ukryj trójkę pod pierwiastkiem, pamiętając, że trójka to pierwiastek kwadratowy!
Dlaczego tego potrzebujemy? Tak, tylko po to, aby poszerzyć nasze możliwości przy rozwiązywaniu przykładów:
Jak podoba Ci się ta właściwość korzeni? Czy to znacznie ułatwia życie? Dla mnie to dokładnie prawda! Tylko Musimy pamiętać, że pod pierwiastkiem kwadratowym możemy wpisać tylko liczby dodatnie.
Rozwiąż sam ten przykład -
Czy udało Ci się? Zobaczmy, co powinieneś otrzymać:
Dobrze zrobiony! Udało Ci się wpisać numer pod znakiem głównym! Przejdźmy do czegoś równie ważnego – przyjrzyjmy się, jak porównać liczby zawierające pierwiastek kwadratowy!
Porównanie korzeni
Dlaczego musimy nauczyć się porównywać liczby zawierające pierwiastek kwadratowy?
Bardzo prosta. Często w dużych i długich wyrażeniach spotykanych na egzaminie otrzymujemy irracjonalną odpowiedź (pamiętacie, co to jest? Rozmawialiśmy już o tym dzisiaj!)
Otrzymane odpowiedzi musimy umieścić na osi współrzędnych, aby np. określić, który przedział jest odpowiedni do rozwiązania równania. I tu pojawia się problem: na egzaminie nie ma kalkulatora, a bez niego jak sobie wyobrazić, która liczba jest większa, a która mniejsza? Otóż to!
Na przykład określ, co jest większe: lub?
Nie możesz tego stwierdzić od razu. Cóż, skorzystajmy z rozłożonej właściwości wprowadzania liczby pod znakiem głównym?
Wtedy idź przed siebie:
Cóż, oczywiście, im większa liczba pod znakiem pierwiastka, tym większy jest sam pierwiastek!
Te. Jeśli następnie, .
Z tego stanowczo wnioskujemy, że. I nikt nas nie przekona, że jest inaczej!
Wyodrębnianie pierwiastków z dużych liczb
Wcześniej wpisaliśmy mnożnik pod znakiem pierwiastka, ale jak go usunąć? Wystarczy rozłożyć to na czynniki i wyodrębnić to, co wyodrębnisz!
Można było pójść inną ścieżką i rozszerzyć się na inne czynniki:
Nieźle, prawda? Każde z tych podejść jest prawidłowe, zdecyduj, jak chcesz.
Faktoring jest bardzo przydatny przy rozwiązywaniu takich niestandardowych problemów jak ten:
Nie bójmy się, ale działajmy! Rozłóżmy każdy czynnik pod pierwiastkiem na osobne czynniki:
Teraz spróbujcie sami (bez kalkulatora! Nie będzie tego na egzaminie):
Czy to jest koniec? Nie zatrzymujmy się w połowie!
To wszystko, to nie jest takie straszne, prawda?
Stało się? Dobra robota, zgadza się!
Teraz wypróbuj ten przykład:
Ale ten przykład jest twardym orzechem do zgryzienia, więc nie możesz od razu wymyślić, jak do niego podejść. Ale oczywiście możemy sobie z tym poradzić.
No cóż, zacznijmy faktoring? Od razu zauważmy, że liczbę można dzielić przez (pamiętaj o znakach podzielności):
Teraz spróbuj sam (ponownie, bez kalkulatora!):
No cóż, wyszło? Dobra robota, zgadza się!
Podsumujmy to
- Pierwiastek kwadratowy (arytmetyczny pierwiastek kwadratowy) z liczby nieujemnej to liczba nieujemna, której kwadrat jest równy.
. - Jeśli po prostu wyciągniemy z czegoś pierwiastek kwadratowy, zawsze otrzymamy jeden wynik nieujemny.
- Właściwości pierwiastka arytmetycznego:
- Porównując pierwiastki kwadratowe, należy pamiętać, że im większa liczba pod znakiem pierwiastka, tym większy jest sam pierwiastek.
Jak pierwiastek kwadratowy? Wszystko jasne?
Staraliśmy się bez problemu wytłumaczyć Ci wszystko, co musisz wiedzieć na egzaminie z pierwiastka kwadratowego.
Twoja kolej. Napisz do nas czy ten temat jest dla Ciebie trudny czy nie.
Dowiedziałeś się czegoś nowego, czy wszystko było już jasne?
Piszcie w komentarzach i życzymy powodzenia na egzaminach!
Formuły stopni wykorzystywane w procesie redukcji i upraszczania wyrażeń złożonych, w rozwiązywaniu równań i nierówności.
Numer C Jest N-ta potęga liczby A Gdy:
Operacje na stopniach.
1. Mnożąc stopnie o tej samej podstawie, dodaje się ich wskaźniki:
jestem·a n = za m + n .
2. Dzieląc stopnie o tej samej podstawie, ich wykładniki odejmuje się:
3. Potęga iloczynu 2 lub więcej liczb mnożniki jest równy iloczynowi potęg tych czynników:
(abc…) n = za n · b n · do n …
4. Stopień ułamki jest równy stosunkowi potęg dzielnej i dzielnika:
(a/b) n = za n /b n .
5. Podnosząc potęgę do potęgi, wykładniki mnoży się:
(a m) n = za m n .
Każdy powyższy wzór jest prawdziwy w kierunkach od lewej do prawej i odwrotnie.
Na przykład. (2 3 5/15)² = 2² 3² 5²/15² = 900/225 = 4.
Operacje z korzeniami.
1. Pierwiastek iloczynu kilku czynników jest równy praca korzenie tych czynników:
2. Pierwiastek stosunku jest równy stosunkowi dywidendy i dzielnika pierwiastków:
3. Podnosząc pierwiastek do potęgi, wystarczy podnieść liczbę pierwiastkową do tej potęgi:
4. Jeśli zwiększysz stopień zakorzenienia N raz i jednocześnie wbudować N potęga jest liczbą radykalną, wówczas wartość pierwiastka nie ulegnie zmianie:
5. Jeśli zmniejszysz stopień zakorzenienia N jednocześnie wyodrębnij korzeń N-ta potęga liczby pierwiastkowej, wówczas wartość pierwiastka nie ulegnie zmianie:
Stopień z wykładnikiem ujemnym. Potęgę pewnej liczby o wykładniku niedodatnim (całkowitym) definiuje się jako podzieloną przez potęgę tej samej liczby o wykładniku równym wartości bezwzględnej wykładnika niedodatniego:
Formuła jestem:a n = a m - n można używać nie tylko do M> N, ale także z M< N.
Na przykład. A4:a 7 = a 4 - 7 = a -3.
Do formuły jestem:a n = a m - n stało się sprawiedliwe, kiedy m=n, wymagana jest obecność stopnia zerowego.
Stopień z indeksem zerowym. Potęga dowolnej liczby różnej od zera z wykładnikiem zerowym jest równa jeden.
Na przykład. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.
Stopień z wykładnikiem ułamkowym. Budować prawdziwy numer A do stopnia m/n, musisz wyodrębnić root N stopień M-ta potęga tej liczby A.