Jak ustalić, którą linię opisuje równanie. Równanie prostej na płaszczyźnie

Cel: Rozważ koncepcję linii na płaszczyźnie, podaj przykłady. Na podstawie definicji prostej wprowadź pojęcie równania prostej na płaszczyźnie. Rozważ rodzaje linii prostych, podaj przykłady i metody definiowania linii prostej. Wzmocnienie umiejętności przełożenia równania prostej z postaci ogólnej na równanie prostej „w odcinkach” ze współczynnikiem kątowym.

Równanie prostej na płaszczyźnie.
Równanie prostej na płaszczyźnie. Rodzaje równań.
Metody określania linii prostej.

1. Niech x i y będą dwiema dowolnymi zmiennymi.

Definicja: Nazywa się relację postaci F(x,y)=0 równanie , jeśli nie jest to prawdą dla dowolnej pary liczb x i y.

Przykład: 2x + 7y – 1 = 0, x 2 + y 2 – 25 = 0.

Jeśli równość F(x,y)=0 zachodzi dla dowolnego x, y, to zatem F(x,y) = 0 jest tożsamością.

Przykład: (x + y) 2 - x 2 - 2xy - y 2 = 0

Mówią, że liczby x wynoszą 0, a y wynoszą 0 spełniają równanie , jeśli podstawienie ich do tego równania zamieni się w prawdziwą równość.

Najważniejszym pojęciem geometrii analitycznej jest pojęcie równania prostej.

Definicja: Równaniem danej prostej jest równanie F(x,y)=0, które spełniają współrzędne wszystkich punktów leżących na tej prostej, a nie spełniają współrzędne żadnego z punktów nieleżących na tej prostej.

Prostą określoną równaniem y = f(x) nazywamy wykresem f(x). Zmienne x i y nazywane są współrzędnymi bieżącymi, ponieważ są współrzędnymi punktu zmiennego.

Niektóre przykłady definicje linii.

1) x – y = 0 => x = y. To równanie definiuje linię prostą:

2) x 2 - y 2 = 0 => (x-y)(x+y) = 0 => punkty muszą spełniać albo równanie x - y = 0, albo równanie x + y = 0, które odpowiada na płaszczyźnie para przecinających się prostych, które są dwusiecznymi kątów współrzędnych:

3) x 2 + y 2 = 0. Równanie to spełnia tylko jeden punkt O(0,0).

2. Definicja: Dowolną linię prostą na płaszczyźnie można określić za pomocą równania pierwszego rzędu

Topór + Wu + C = 0,

Co więcej, stałe A i B nie są jednocześnie równe zeru, tj. A 2 + B 2 ¹ 0. Nazywa się to równaniem pierwszego rzędu ogólne równanie prostej.

W zależności od wartości stałych A, B i C możliwe są następujące szczególne przypadki:

C = 0, A ¹ 0, B ¹ 0 – prosta przechodzi przez początek

A = 0, B ¹ 0, C ¹ 0 (By + C = 0) - linia prosta równoległa do osi Wółu

B = 0, A ¹ 0, C ¹ 0 (Ax + C = 0) – prosta równoległa do osi Oy

B = C = 0, A ¹ 0 – prosta pokrywa się z osią Oy

A = C = 0, B ¹ 0 – linia prosta pokrywa się z osią Wółu

Równanie prostej można przedstawić w różnych postaciach w zależności od dowolnych warunków początkowych.

Równanie prostej ze współczynnikiem kątowym.

Jeżeli ogólne równanie prostej Ax + By + C = 0 sprowadzimy do postaci:

i oznaczamy , wówczas powstałe równanie nazywamy równanie prostej o nachyleniu k.

Równanie prostej w odcinkach.

Jeśli w ogólnym równaniu linii prostej Ах + Ву + С = 0 С ¹ 0, to dzieląc przez –С, otrzymujemy: lub , gdzie

Geometryczne znaczenie współczynników jest takie, że współczynnik A jest współrzędną punktu przecięcia linii z osią Wółu, oraz B– współrzędna punktu przecięcia prostej z osią Oy.

Równanie normalne linii.

Jeżeli obie strony równania Ax + By + C = 0 podzielimy przez liczbę tzw czynnik normalizujący, wtedy otrzymamy

xcosj + ysinj - p = 0 – równanie normalne prostej.

Znak ± współczynnika normalizującego należy tak dobrać, aby m×С< 0.

p jest długością prostopadłej opuszczonej od początku do linii prostej, a j jest kątem utworzonym przez tę prostopadłą z dodatnim kierunkiem osi Wół.

3. Równanie prostej za pomocą punktu i nachylenia.

Niech współczynnik kątowy linii będzie równy k, linia przechodzi przez punkt M(x 0, y 0). Następnie równanie prostej znajdujemy ze wzoru: y – y 0 = k(x – x 0)

Równanie prostej przechodzącej przez dwa punkty.

Niech w przestrzeni zostaną dane dwa punkty M 1 (x 1, y 1, z 1) i M 2 (x 2, y 2, z 2), wówczas równanie prostej przechodzącej przez te punkty będzie wyglądało następująco:

Jeżeli którykolwiek z mianowników jest równy zero, odpowiadający mu licznik należy ustawić na zero.

Na płaszczyźnie równanie prostej zapisane powyżej jest uproszczone:

jeśli x 1 ¹ x 2 i x = x 1, jeśli x 1 = x 2.

Nazywa się ułamek = k nachylenie prosty.

Linię na płaszczyźnie można zdefiniować za pomocą dwóch równań

Gdzie X I y- współrzędne dowolnego punktu M(X; Na), leżące na tej linii, i T- zmienna tzw parametr.

Parametr T określa położenie punktu ( X; Na) na powierzchni.

Więc jeśli

następnie wartość parametru T= 2 odpowiada punktowi (4; 1) na płaszczyźnie, ponieważ X = 2 + 2 = 4, y= 2 2 – 3 = 1.

Jeżeli parametr T się zmienia, wówczas punkt na płaszczyźnie przesuwa się, opisując tę prostą. Ta metoda definiowania krzywej nazywa się parametryczny i równania (1) - parametryczne równania liniowe.

Rozważmy przykłady dobrze znanych krzywych określonych w formie parametrycznej.

1) Astroida:

Gdzie A> 0 – wartość stała.

Na A= 2 ma postać:

Ryc.4. Astroida

2) Cykloida: Gdzie A> 0 – stała.

Na A= 2 ma postać:

Ryc.5. Cykloida

Równanie linii wektorowej

Można określić linię na płaszczyźnie równanie wektorowe

Gdzie T– parametr zmiennej skalarnej.

Każda wartość parametru T 0 odpowiada pewnemu wektorowi płaskiemu. Podczas zmiany parametru T koniec wektora będzie opisywał pewną linię (ryc. 6).

Równanie wektorowe prostej w układzie współrzędnych Ooo

odpowiadają dwóm równaniom skalarnym (4), tj. równania projekcji

na osi współrzędnych równania wektorowego prostej znajdują się jej równania parametryczne.

Ryc.6. Równanie linii wektorowej

Równanie wektorowe i parametryczne równania liniowe mają znaczenie mechaniczne. Jeżeli punkt porusza się po płaszczyźnie, wywoływane są wskazane równania równania ruchu, linia - trajektoria punkty, parametr T- czas.

Równość w postaci F(x, y) = 0 nazywa się równaniem z dwiema zmiennymi x, y, jeżeli nie jest ona prawdziwa dla wszystkich par liczb x, y. Mówią, że dwie liczby x = x 0, y = y 0 spełniają pewne równanie postaci F(x, y) = 0 jeśli po podstawieniu tych liczb do równania zamiast zmiennych x i y jego lewa strona stanie się zerem .

Równanie danej prostej (w wyznaczonym układzie współrzędnych) to równanie z dwiema zmiennymi, które spełniają współrzędne każdego punktu leżącego na tej prostej, a nie spełniają współrzędne każdego punktu na niej nieleżącego.

W dalszej części zamiast wyrażenia „biorąc pod uwagę równanie prostej F(x, y) = 0”, będziemy często mówić krócej: biorąc pod uwagę prostą F(x, y) = 0.

Jeśli dane są równania dwóch prostych: F(x, y) = 0 i Ф(x, y) = 0, to wspólne rozwiązanie układu

F(x,y) = 0, Ф(x, y) = 0

podaje wszystkie ich punkty przecięcia. Dokładniej, każda para liczb będąca wspólnym rozwiązaniem tego układu wyznacza jeden z punktów przecięcia,

157. Dane punkty *) M 1 (2; -2), M 2 (2; 2), M 3 (2; - 1), M 4 (3; -3), M 5 (5; -5), M 6 (3; -2). Określ, które z podanych punktów leżą na prostej określonej równaniem x + y = 0, a które na niej nie leżą. Która linia jest określona przez to równanie? (Narysuj to na rysunku.)

158. Na prostej określonej równaniem x 2 + y 2 = 25 znajdź punkty, których odcięte są równe następującym liczbom: 1) 0, 2) -3, 3) 5, 4) 7; na tej samej prostej znajdź punkty, których rzędne są równe następującym liczbom: 5) 3, 6) -5, 7) -8. Która linia jest określona przez to równanie? (Narysuj to na rysunku.)

159. Określ, które proste wyznaczają poniższe równania (skonstruuj je na rysunku): 1)x - y = 0; 2) x + y = 0; 3) x - 2 = 0; 4)x + 3 = 0; 5) y - 5 = 0; 6) y + 2 = 0; 7) x = 0; 8) y = 0; 9) x 2 - xy = 0; 10) xy + y2 = 0; 11) x 2 - y 2 = 0; 12) xy = 0; 13) y 2 - 9 = 0; 14) x 2 - 8x + 15 = 0; 15) y 2 + o + 4 = 0; 16) x 2 y - 7xy + 10y = 0; 17) y - |x|; 18) x - |y|; 19) y + |x| = 0; 20) x + |y| = 0; 21) y = |x - 1|; 22) y = |x + 2|; 23) x 2 + y 2 = 16; 24) (x - 2) 2 + (y - 1) 2 = 16; 25 (x + 5) 2 + (y-1) 2 = 9; 26) (x - 1) 2 + y 2 = 4; 27) x 2 + (y + 3) 2 = 1; 28) (x - 3) 2 + y 2 = 0; 29) x 2 + 2y 2 = 0; 30) 2x 2 + 3 lata 2 + 5 = 0; 31) (x - 2) 2 + (y + 3) 2 + 1 = 0.

160. Dane proste: l)x + y = 0; 2)x - y = 0; 3)x 2 + y 2 - 36 = 0; 4) x 2 + y 2 - 2x + y = 0; 5) x 2 + y 2 + 4x - 6y - 1 = 0. Określ, które z nich przechodzą przez początek układu współrzędnych.

161. Dane linie: 1) x 2 + y 2 = 49; 2) (x - 3) 2 + (y + 4) 2 = 25; 3) (x + 6) 2 + (y - Z) 2 = 25; 4) (x + 5) 2 + (y - 4) 2 = 9; 5) x 2 + y 2 - 12x + 16y - 0; 6) x 2 + y 2 - 2x + 8y + 7 = 0; 7) x 2 + y 2 - 6x + 4y + 12 = 0. Znajdź ich punkty przecięcia: a) z osią Wółu; b) z osią Oy.

162. Znajdź punkty przecięcia dwóch linii:

1) x 2 + y 2 - 8; x - y =0;

2) x 2 + y 2 - 16x + 4y + 18 = 0; x + y = 0;

3) x 2 + y 2 - 2x + 4y - 3 = 0; x 2 + y 2 = 25;

4) x 2 + y 2 - 8 lat + 10 lat + 40 = 0; x 2 + y 2 = 4.

163. W biegunowym układzie współrzędnych punkty M 1 (l; π/3), M 2 (2; 0), M 3 (2; π/4), M 4 (√3; π/6) i M 5 (1; 2/3π). Określ, które z tych punktów leżą na prostej określonej we współrzędnych biegunowych równaniem p = 2cosΘ, a które na niej nie leżą. Którą linię wyznacza to równanie? (Narysuj to na rysunku.)

164. Na prostej określonej równaniem p = 3/cosΘ znajdź punkty, których kąty biegunowe są równe liczbom: a) π/3, b) - π/3, c) 0, d) π/6. Która linia jest określona przez to równanie? (Zbuduj to na rysunku.)

165. Na prostej określonej równaniem p = 1/sinΘ znajdź punkty, których promienie biegunowe są równe następującym liczbom: a) 1 6) 2, c) √2. Która linia jest określona przez to równanie? (Zbuduj to na rysunku.)

166. Ustal, które proste wyznaczają współrzędne biegunowe za pomocą równań (konstruuj je na rysunku): 1) p = 5; 2) Θ = π/2; 3) Θ = - π/4; 4) p cosΘ = 2; 5) p sinΘ = 1; 6.) p = 6cosΘ; 7) p = 10 sinΘ; 8) sinΘ = 1/2; 9) sinp = 1/2.

167. Skonstruuj na rysunku następujące spirale Archimedesa: 1) p = 20; 2) p = 50; 3) p = Θ/π; 4) p = -Θ/π.

168. Skonstruuj na rysunku następujące spirale hiperboliczne: 1) p = 1/Θ; 2) p = 5/Θ; 3) p = π/Θ; 4) р= - π/Θ

169. Skonstruuj na rysunku następujące spirale logarytmiczne: 1) p = 2 Θ; 2) p = (1/2) Θ.

170. Wyznacz długości odcinków, na które spirala Archimedesa p = 3Θ jest przecięta przez belkę wychodzącą ze bieguna i nachyloną do osi biegunowej pod kątem Θ = π/6. Narysuj coś.

171. Na spirali Archimedesa p = 5/πΘ przyjmujemy punkt C, którego promień biegunowy wynosi 47. Oblicz, w ilu częściach ta spirala przecina promień biegunowy punktu C. Zrób rysunek.

172. Znajdź na spirali hiperbolicznej P = 6/Θ punkt P, którego promień biegunowy wynosi 12. Zrób rysunek.

173. Na spirali logarytmicznej p = 3 Θ znajdź punkt P, którego promień biegunowy wynosi 81. Zrób rysunek.

Linia prosta na płaszczyźnie i w przestrzeni.

Nazywa się badanie właściwości figur geometrycznych za pomocą algebry geometria analityczna , a my skorzystamy z tzw metoda współrzędnych .

Linię na płaszczyźnie definiuje się zwykle jako zbiór punktów mających unikalne dla nich właściwości. Fakt, że współrzędne (liczby) x i y punktu leżącego na tej prostej zapisuje się analitycznie w postaci jakiegoś równania.

def.1 Równanie prostej (równanie krzywej) na płaszczyźnie Oxy nazywa się równaniem (*), które jest spełnione przez współrzędne x i y każdego punktu na danej prostej i nie jest spełnione przez współrzędne żadnego innego punktu nie leżącego na tej prostej.

Z definicji 1 wynika, że każdej prostej na płaszczyźnie odpowiada pewne równanie pomiędzy bieżącymi współrzędnymi ( x, y ) punktów tej prostej i odwrotnie, każde równanie odpowiada, ogólnie rzecz biorąc, pewnej prostej.

Rodzi to dwa główne problemy geometrii analitycznej na płaszczyźnie.

1. Linię podaje się w postaci zbioru punktów. Musimy stworzyć równanie dla tej prostej.

2. Podano równanie prostej. Konieczne jest zbadanie jego właściwości geometrycznych (kształt i położenie).

Przykład. Czy punkty kłamią A(-2;1) I W (1;1) w linii 2 X +Na +3=0?

Problem znalezienia punktów przecięcia dwóch prostych podanych równaniami sprowadza się do znalezienia współrzędnych spełniających równanie obu prostych, tj. do rozwiązania układu dwóch równań z dwiema niewiadomymi.

Jeżeli układ ten nie ma rozwiązań rzeczywistych, to linie nie przecinają się.

W podobny sposób pojęcie linii wprowadza się w LUW.

Linię na płaszczyźnie można zdefiniować za pomocą dwóch równań

Gdzie X I Na – dowolne współrzędne punktu M(x;y), leżącego na tej linii, i T - zmienna tzw parametr , parametr określa położenie punktu na płaszczyźnie.

Przykładowo, jeśli , to wartość parametru t=2 odpowiada punktowi (3;4) na płaszczyźnie.

Jeżeli parametr się zmieni, punkt na płaszczyźnie przesunie się, opisując tę prostą. Ta metoda definiowania linii nazywa się parametryczny, a równanie (5.1) jest równaniem parametrycznym prostej.

Aby przejść od równań parametrycznych do równania ogólnego (*), należy w jakiś sposób wyeliminować parametr z obu równań. Zauważamy jednak, że takie przejście nie zawsze jest wskazane i nie zawsze możliwe.

Można określić linię na płaszczyźnie równanie wektorowe , gdzie t jest parametrem zmiennej skalarnej. Każda wartość parametru odpowiada określonemu wektorowi płaszczyzny. Przy zmianie parametru koniec wektora będzie opisywał określoną linię.

Równanie wektora w DSC odpowiada dwóm równaniom skalarnym

(5.1), tj. równanie rzutów na osie współrzędnych równania wektorowego linii jest jego

równanie parametryczne.

Równanie wektorowe i parametryczne równania liniowe mają znaczenie mechaniczne. Jeżeli punkt porusza się po płaszczyźnie, wywoływane są wskazane równania równania ruchu , a linia jest trajektorią punktu, parametr t to czas.

Wniosek: każda prosta na płaszczyźnie odpowiada równaniu postaci.

W ogólnym przypadku KAŻDE RÓWNANIE WIDZENIA odpowiada pewnej linii, której właściwości określa dane równanie (z tym wyjątkiem, że żaden obraz geometryczny nie odpowiada równaniu na płaszczyźnie).

Niech zostanie wybrany układ współrzędnych na płaszczyźnie.

def. 5.1. Równanie liniowe nazywa się ten typ równaniaF(x;y) =0, co jest spełnione przez współrzędne każdego punktu leżącego na tej prostej i nie jest spełnione przez współrzędne dowolnego punktu na niej nie leżącego.

Równanie postaciF(x;y )=0 – zwane ogólnym równaniem prostej lub równaniem w postaci ukrytej.

Zatem prosta Г jest zbiorem punktów spełniających to równanie Г=((x, y): F(x;y)=0).

Linia jest również nazywana krzywy.

Równość postaci F (x, y) = 0 nazywa się równaniem dwóch zmiennych X, tak jeśli nie jest to prawdą dla wszystkich par liczb x, y. Mówią dwie liczby X = X 0 , y=y 0, spełniają pewne równanie postaci F(x, y)=0, if podczas podstawiania tych liczb zamiast zmiennych X I Na w równaniu jego lewa strona znika.

W dalszej części zamiast wyrażenia „podano równanie prostej”. F(x, y) = 0” często będziemy mówić w skrócie: biorąc pod uwagę linię F (x, y) = 0.

Jeśli podane są równania dwóch prostych F(x, y) = 0 I Ф(x, y) = Q, następnie wspólne rozwiązanie systemu

podaje wszystkie ich punkty przecięcia. Dokładniej, każda para liczb będąca wspólnym rozwiązaniem tego układu wyznacza jeden z punktów przecięcia.

*) W przypadkach, w których nie podano układu współrzędnych, przyjmuje się, że jest to prostokąt kartezjański.

157. Przyznawane są punkty *) M 1 (2; - 2), M 2 (2; 2), M 3 (2; - 1), M 4 (3; -3), M 5 (5; -5), M 6 (3; -2). Określ, które opublikowane punkty leżą na linii określonej przez równanie X+ y = 0, a które na nim nie leżą. Która linia jest określona przez to równanie? (Narysuj to na rysunku.)

158. Na prostej określonej równaniem X 2 +y 2 =25, znajdź punkty, których odcięte są równe następującym liczbom: a) 0, b) - 3, c) 5, d) 7; na tej samej prostej znajdź punkty, których rzędne są równe następującym liczbom: e) 3, f) - 5, g) - 8. Którą prostą wyznacza to równanie? (Narysuj to na rysunku.)

159. Określ, które linie wyznaczają poniższe równania (skonstruuj je na rysunku):

1) x - y = 0; 2) x + y = 0; 3) X- 2 = 0; 4) X+ 3 = 0;

5) y - 5 = 0; 6) y+ 2 = 0; 7) x = 0; 8) y = 0;

9) X 2 - xy = 0; 10) xy+ y2 = 0; jedenaście) X 2 - y 2 = 0; 12) xy= 0;

13) y 2 - 9 = 0; 14) xy 2 - 8xy+15 = 0; 15) y 2 +5y+4 = 0;

16) X 2 y- 7xy + 10y = 0; 17) y =|X|; 18) x =|Na|; 19)y + |X|=0;

20) x +|Na|= 0; 21)y =|X- 1|; 22) y = |X+ 2|; 23) X 2 + Na 2 = 16;

24) (X-2) 2 +(y-1) 2 =16; 25) (X+ 5) 2 +(y- 1) 2 = 9;

26) (X - 1) 2 + y 2 = 4; 27) X 2 +(y + 3) 2 = 1; 28) (X -3) 2 + y 2 = 0;

29) X 2 + 2y 2 = 0; 30) 2X 2 + 3y 2 + 5 = 0

31) (X- 2) 2 + (y + 3) 2 + 1=0.

160.Dane linie:

1)X+ y = 0; 2)x - y = 0; 3) X 2 + y 2 - 36 = 0;

4) X 2 +y 2 -2X==0; 5) X 2 +y 2 + 4X-6y-1 =0.

Określ, które z nich przechodzą przez początek.

161.Podane linie:

1) X 2 + y 2 = 49; 2) (X- 3) 2 + (y+ 4) 2 = 25;

3) (X+ 6) 2 + (y - 3) 2 = 25; 4) ( X + 5) 2 + (y - 4) 2 = 9;

5) X 2 +y 2 - 12x + 16y = 0; 6) X 2 +y 2 - 2x + 8Na+ 7 = 0;

7) X 2 +y 2 - 6x + 4ty + 12 = 0.

Znajdź ich punkty przecięcia: a) z osią Oh; b) z osią Jednostka organizacyjna.

162.Znajdź punkty przecięcia dwóch prostych;

1)X 2 +y 2 = 8, x-y = 0;

2) X 2 +y 2 -16X+4Na+18 = 0, x + y= 0;

3) X 2 +y 2 -2X+4Na -3 = 0, X 2 + y 2 = 25;

4) X 2 +y 2 -8X+10у+40 = 0, X 2 + y 2 = 4.

163. Punkty podaje się w biegunowym układzie współrzędnych

M 1 (1; ), M 2 (2; 0), M 3 (2; )

M 4 (
;) I M 5 (1; )

Określ, które z tych punktów leżą na prostej określonej równaniem we współrzędnych biegunowych  = 2 cos , a które na niej nie leżą. Którą linię wyznacza to równanie? (Narysuj to na rysunku :)

164. Na prostej określonej równaniem  = , znajdź punkty, których kąty biegunowe są równe następującym liczbom: a) ,B) - , c) 0, d) . Która linia jest określona przez to równanie?

(Zbuduj to na rysunku.)

165.Na prostej określonej równaniem  = , znajdź punkty, których promienie biegunowe są równe następującym liczbom: a) 1, b) 2, c)
. Która linia jest określona przez to równanie? (Zbuduj to na rysunku.)

166. Ustal, które proste wyznaczają współrzędne biegunowe za pomocą poniższych równań (skonstruuj je na rysunku):

1)  = 5; 2)  = ; 3)  = ; 4)  cos  = 2; 5)  grzech  = 1;

6)  = 6 sałata ; 7)  = 10 grzechów ; 8) grzech  = 9) grzech  =

167. Skonstruuj na rysunku następujące spirale Archimedesa:

1)  = 5, 2)  = 5; 3)  = ; 4)р = -1.

168. Skonstruuj na rysunku następujące spirale hiperboliczne:

1)  = ; 2) = ; 3) = ; 4) = - .

169. Skonstruuj na rysunku następujące spirale logarytmiczne:

,
.

170. Określ długości odcinków, na które przecina spirala Archimedesa

promień wychodzący z bieguna i nachylony pod kątem do osi biegunowej
. Narysuj coś.

171. Na spirali Archimedesa
punkt zajęty Z, którego promień biegunowy wynosi 47. Określ, na ile części ta spirala przecina promień biegunowy punktu Z, Narysuj coś.

172. Na spirali hiperbolicznej
znajdź punkt R, którego promień biegunowy wynosi 12. Zrób rysunek.

173. Na spirali logarytmicznej
znajdź punkt Q, którego promień biegunowy wynosi 81. Zrób rysunek.