Ta lekcja jest pierwszą z serii filmów na temat integracji. Przeanalizujemy w nim, czym jest funkcja pierwotna funkcji, a także przestudiujemy elementarne metody obliczania tych samych funkcji.
Tak naprawdę nie ma tu nic skomplikowanego: w zasadzie wszystko sprowadza się do pojęcia pochodnej, które powinieneś już znać :)
Od razu to zauważę, ponieważ jest to pierwsza lekcja w naszej szkole nowy temat, dzisiaj ich nie będzie złożone obliczenia i formuły, ale to, co dzisiaj przestudiujemy, będzie stanowić podstawę do znacznie bardziej złożonych obliczeń i konstrukcji podczas obliczeń całki złożone i kwadraty.
Ponadto, rozpoczynając naukę integracji, a zwłaszcza całek, domyślnie zakładamy, że student zna już przynajmniej pojęcia pochodnych i posiada przynajmniej podstawowe umiejętności ich obliczania. Bez jasnego zrozumienia tego nie ma absolutnie nic do zrobienia w integracji.
Jednak tutaj leży jeden z najczęstszych i podstępnych problemów. Faktem jest, że wielu uczniów, rozpoczynając obliczanie swoich pierwszych funkcji pierwotnych, myli je z pochodnymi. W rezultacie na egzaminach i niezależna praca popełniane są głupie i obraźliwe błędy.
Dlatego teraz nie podam jasnej definicji funkcji pierwotnej. W zamian sugeruję zobaczenie, jak to jest obliczane na prostym konkretnym przykładzie.
Co to jest funkcja pierwotna i jak się ją oblicza?
Znamy ten wzór:
\[((\left(((x)^(n)) \right))^(\prime ))=n\cdot ((x)^(n-1))\]
Tę pochodną oblicza się w prosty sposób:
\[(f)"\left(x \right)=((\left(((x)^(3)) \right))^(\prime ))=3((x)^(2))\ ]
Przyjrzyjmy się uważnie wynikowemu wyrażeniu i wyraźmy $((x)^(2))$:
\[((x)^(2))=\frac(((\left(((x)^(3)) \right))^(\prime )))(3)\]
Ale zgodnie z definicją pochodnej możemy to zapisać w ten sposób:
\[((x)^(2))=((\left(\frac(((x)^(3)))(3) \right))^(\prime ))\]
A teraz uwaga: to, co właśnie zapisaliśmy, to definicja funkcji pierwotnej. Ale żeby napisać to poprawnie, musisz napisać co następuje:
W ten sam sposób napiszemy następujące wyrażenie:
Jeśli uogólnimy tę regułę, możemy wyprowadzić następujący wzór:
\[((x)^(n))\to \frac(((x)^(n+1)))(n+1)\]
Teraz możemy sformułować jasną definicję.
Funkcja pierwotna funkcji to funkcja, której pochodna jest równa funkcji pierwotnej.
Pytania dotyczące funkcji pierwotnej
Wydawałoby się, że jest to dość prosta i zrozumiała definicja. Jednak po usłyszeniu tego uważny uczeń natychmiast zada kilka pytań:
- Powiedzmy, OK, ta formuła jest poprawna. Jednak w tym przypadku, gdy $n=1$, mamy problem: w mianowniku pojawia się „zero”, a przez „zero” nie możemy dzielić.
- Formuła ogranicza się tylko do stopni. Jak obliczyć funkcję pierwotną, na przykład sinusa, cosinusa i dowolnej innej trygonometrii, a także stałe.
- Pytanie egzystencjalne: czy zawsze można znaleźć funkcję pierwotną? Jeśli tak, to co z funkcją pierwotną sumy, różnicy, iloczynu itp.?
NA ostatnie pytanie Odpowiem od razu. Niestety, funkcja pierwotna, w przeciwieństwie do pochodnej, nie zawsze jest brana pod uwagę. Nie ma czegoś takiego uniwersalna formuła, dzięki czemu z dowolnej konstrukcji początkowej otrzymamy funkcję równą tej podobnej konstrukcji. Jeśli chodzi o potęgi i stałe, porozmawiamy o tym teraz.
Rozwiązywanie problemów z funkcjami potęgowymi
\[((x)^(-1))\to \frac(((x)^(-1+1)))(-1+1)=\frac(1)(0)\]
Jak widzimy, tę formułę dla $((x)^(-1))$ nie działa. Powstaje pytanie: co w takim razie działa? Czy nie możemy policzyć $((x)^(-1))$? Oczywiście możemy. Najpierw zapamiętajmy to:
\[((x)^(-1))=\frac(1)(x)\]
Teraz pomyślmy: pochodna której funkcji jest równa $\frac(1)(x)$. Oczywiście każdy uczeń, który choć trochę przestudiował ten temat, pamięta, że to wyrażenie jest równe pochodnej logarytmu naturalnego:
\[((\left(\ln x \right))^(\prime ))=\frac(1)(x)\]
Dlatego śmiało możemy napisać, co następuje:
\[\frac(1)(x)=((x)^(-1))\do \ln x\]
Trzeba znać ten wzór, podobnie jak pochodną funkcji potęgowej.
Zatem co wiemy na razie:
- Dla funkcji potęgowej - $((x)^(n))\to \frac(((x)^(n+1)))(n+1)$
- Dla stałej - $=const\to \cdot x$
- Szczególnym przypadkiem funkcji potęgowej jest $\frac(1)(x)\to \ln x$
A jeśli zaczniemy mnożyć i dzielić najprostsze funkcje, jak wówczas możemy obliczyć funkcję pierwotną iloczynu lub ilorazu. Niestety analogie z pochodną iloczynu lub ilorazu nie sprawdzają się tutaj. Każdy standardowa formuła nie istnieje. W niektórych przypadkach istnieją trudne specjalne formuły - zapoznamy się z nimi w przyszłych lekcjach wideo.
Pamiętaj jednak: ogólna formuła, podobny wzór na obliczenie pochodnej ilorazu i iloczynu nie istnieje.
Rozwiązywanie prawdziwych problemów
Zadanie nr 1
Niech każdy funkcje mocy Obliczmy osobno:
\[((x)^(2))\to \frac(((x)^(3)))(3)\]
Wracając do naszego wyrażenia, piszemy konstrukcję ogólną:
Problem nr 2
Jak już mówiłem, prototypy dzieł i prywatne „od razu” nie są brane pod uwagę. Jednak tutaj możesz to zrobić w następujący sposób:
Rozbiliśmy ułamek na sumę dwóch ułamków.
Zróbmy matematykę:
Dobra wiadomość jest taka, że znając wzory na obliczanie funkcji pierwotnych, możesz już obliczyć więcej złożone projekty. Pójdźmy jednak dalej i poszerzmy naszą wiedzę jeszcze trochę. Faktem jest, że wiele konstrukcji i wyrażeń, które na pierwszy rzut oka nie mają nic wspólnego z $((x)^(n))$, można przedstawić w postaci potęgi z racjonalny wskaźnik, a mianowicie:
\[\sqrt(x)=((x)^(\frac(1)(2)))\]
\[\sqrt[n](x)=((x)^(\frac(1)(n)))\]
\[\frac(1)(((x)^(n)))=((x)^(-n))\]
Wszystkie te techniki można i należy łączyć. Wyrażenia mocy Móc
- mnożyć (dodawać stopnie);
- dzielić (odejmować stopnie);
- pomnóż przez stałą;
- itp.
Rozwiązywanie wyrażeń potęgowych z wykładnikiem wymiernym
Przykład nr 1
Obliczmy każdy pierwiastek osobno:
\[\sqrt(x)=((x)^(\frac(1)(2)))\to \frac(((x)^(\frac(1)(2)+1)))(\ frac(1)(2)+1)=\frac(((x)^(\frac(3)(2))))(\frac(3)(2))=\frac(2\cdot (( x)^(\frac(3)(2))))(3)\]
\[\sqrt(x)=((x)^(\frac(1)(4)))\to \frac(((x)^(\frac(1)(4))))(\frac( 1)(4)+1)=\frac(((x)^(\frac(5)(4))))(\frac(5)(4))=\frac(4\cdot ((x) ^(\frac(5)(4))))(5)\]
W sumie całą naszą konstrukcję można zapisać następująco:
Przykład nr 2
\[\frac(1)(\sqrt(x))=((\left(\sqrt(x) \right))^(-1))=((\left(((x)^(\frac( 1)(2))) \right))^(-1))=((x)^(-\frac(1)(2)))\]
Dlatego otrzymujemy:
\[\frac(1)(((x)^(3)))=((x)^(-3))\to \frac(((x)^(-3+1)))(-3 +1)=\frac(((x)^(-2)))(-2)=-\frac(1)(2((x)^(2)))\]
W sumie zbierając wszystko w jedno wyrażenie możemy napisać:
Przykład nr 3
Na początek zauważamy, że obliczyliśmy już $\sqrt(x)$:
\[\sqrt(x)\to \frac(4((x)^(\frac(5)(4))))(5)\]
\[((x)^(\frac(3)(2)))\to \frac(((x)^(\frac(3)(2)+1)))(\frac(3)(2 )+1)=\frac(2\cdot ((x)^(\frac(5)(2))))(5)\]
Przepiszmy:
Mam nadzieję, że nikogo nie zaskoczę, jeśli powiem, że tego, czego właśnie się nauczyliśmy, jest po prostu najwięcej proste obliczenia prymitywne, najbardziej elementarne struktury. Przyjrzyjmy się teraz trochę więcej złożone przykłady, w którym oprócz tabelarycznych funkcji pierwotnych będziesz musiał także pamiętać program nauczania, mianowicie skrócone wzory na mnożenie.
Rozwiązywanie bardziej złożonych przykładów
Zadanie nr 1
Przypomnijmy sobie wzór na kwadrat różnicy:
\[((\left(a-b \right))^(2))=((a)^(2))-ab+((b)^(2))\]
Przepiszmy naszą funkcję:
Musimy teraz znaleźć prototyp takiej funkcji:
\[((x)^(\frac(2)(3)))\to \frac(3\cdot ((x)^(\frac(5)(3))))(5)\]
\[((x)^(\frac(1)(3)))\to \frac(3\cdot ((x)^(\frac(4)(3))))(4)\]
Połączmy wszystko w jeden wspólny projekt:
Problem nr 2
W tym przypadku musimy rozwinąć kostkę różnicową. Zapamiętajmy:
\[((\left(a-b \right))^(3))=((a)^(3))-3((a)^(2))\cdot b+3a\cdot ((b)^ (2))-((b)^(3))\]
Biorąc ten fakt pod uwagę, możemy zapisać to w następujący sposób:
Przekształćmy trochę naszą funkcję:
Liczymy jak zawsze – dla każdego terminu osobno:
\[((x)^(-3))\to \frac(((x)^(-2)))(-2)\]
\[((x)^(-2))\to \frac(((x)^(-1)))(-1)\]
\[((x)^(-1))\do \ln x\]
Napiszmy powstałą konstrukcję:
Zadanie nr 3
Na górze mamy kwadrat sumy, rozwińmy go:
\[\frac(((\left(x+\sqrt(x) \right))^(2)))(x)=\frac(((x)^(2))+2x\cdot \sqrt(x )+((\lewo(\sqrt(x) \prawo))^(2)))(x)=\]
\[=\frac(((x)^(2)))(x)+\frac(2x\sqrt(x))(x)+\frac(x)(x)=x+2((x) ^(\frac(1)(2)))+1\]
\[((x)^(\frac(1)(2)))\to \frac(2\cdot ((x)^(\frac(3)(2))))(3)\]
Napiszmy ostateczne rozwiązanie:
Teraz uwaga! Bardzo ważna rzecz, z którym jest połączony lwia część błędy i nieporozumienia. Faktem jest, że do tej pory licząc funkcje pierwotne za pomocą pochodnych i dokonując przekształceń, nie zastanawialiśmy się, ile wynosi pochodna stałej. Ale pochodna stałej jest równa „zero”. Oznacza to, że możesz zapisać następujące opcje:
- $((x)^(2))\to \frac(((x)^(3)))(3)$
- $((x)^(2))\to \frac(((x)^(3)))(3)+1$
- $((x)^(2))\to \frac(((x)^(3)))(3)+C$
Bardzo ważne jest zrozumienie tego: jeśli pochodna funkcji jest zawsze taka sama, to ta sama funkcja ma nieskończoną liczbę funkcji pierwotnych. Możemy po prostu dodać dowolne liczby stałe do naszych funkcji pierwotnych i otrzymać nowe.
To nie przypadek, że w objaśnieniu problemów, które właśnie rozwiązaliśmy, było napisane: „Zapisz forma ogólna prymitywni.” Te. Już z góry zakłada się, że nie ma jednego z nich, ale całą masę. Ale tak naprawdę różnią się one tylko stałą $C$ na końcu. Dlatego w naszych zadaniach będziemy poprawiać to, czego nie wykonaliśmy.
Jeszcze raz przepisujemy nasze konstrukcje:
W takich przypadkach należy dodać, że $C$ jest stałą - $C=const$.
W drugiej funkcji otrzymujemy następującą konstrukcję:
I ostatni:
I teraz naprawdę otrzymaliśmy to, czego od nas wymagano w pierwotnym stanie problemu.
Rozwiązywanie problemów znajdowania funkcji pierwotnych w zadanym punkcie
Teraz, gdy wiemy o stałych i osobliwościach zapisywania funkcji pierwotnych, jest to całkiem logiczne następny typ problemy, gdy ze zbioru wszystkich funkcji pierwotnych trzeba znaleźć jedną, która przejdzie dany punkt. Jakie jest to zadanie?
Faktem jest, że wszystkie funkcje pierwotne danej funkcji różnią się tylko tym, że są przesunięte w pionie o określoną liczbę. A to oznacza, że niezależnie od punktu płaszczyzna współrzędnych nie wzięliśmy tego, jedna funkcja pierwotna na pewno przejdzie, a ponadto tylko jedna.
Zatem problemy, które teraz rozwiążemy, są sformułowane w następujący sposób: nie tylko znajdź funkcję pierwotną, znając wzór funkcji pierwotnej, ale wybierz dokładnie tę, która przechodzi przez dany punkt, którego współrzędne zostaną podane w zadaniu oświadczenie.
Przykład nr 1
Najpierw po prostu policzmy każdy wyraz:
\[((x)^(4))\to \frac(((x)^(5)))(5)\]
\[((x)^(3))\to \frac(((x)^(4)))(4)\]
Teraz podstawimy te wyrażenia do naszej konstrukcji:
Funkcja ta musi przechodzić przez punkt $M\left(-1;4 \right)$. Co to znaczy, że przechodzi przez punkt? Oznacza to, że jeśli zamiast $x$ wstawimy wszędzie $-1$, a zamiast $F\left(x \right)$ postawimy $-4$, to powinniśmy otrzymać poprawną równość liczbowa. Zróbmy to:
Widzimy, że mamy równanie na $C$, więc spróbujmy je rozwiązać:
Zapiszmy właśnie rozwiązanie, którego szukaliśmy:
Przykład nr 2
Przede wszystkim konieczne jest ujawnienie kwadratu różnicy za pomocą skróconej formuły mnożenia:
\[((x)^(2))\to \frac(((x)^(3)))(3)\]
Oryginalna konstrukcja zostanie zapisana w następujący sposób:
Teraz znajdźmy $C$: zamień współrzędne punktu $M$:
\[-1=\frac(8)(3)-12+18+C\]
Wyrażamy $C$:
Pozostaje wyświetlić końcowe wyrażenie:
Rozwiązywanie problemów trygonometrycznych
Jak ostatni akord Oprócz tego, co właśnie omówiliśmy, proponuję rozważyć jeszcze dwa złożone zadania, które zawierają trygonometrię. W nich w ten sam sposób trzeba będzie znaleźć funkcje pierwotne dla wszystkich funkcji, a następnie wybrać z tego zbioru jedyną, która przechodzi przez punkt $M$ na płaszczyźnie współrzędnych.
Patrząc w przyszłość, chciałbym zauważyć, że technika, której będziemy teraz używać do znajdowania funkcji pierwotnych funkcje trygonometryczne w rzeczywistości jest uniwersalną techniką samotestowania.
Zadanie nr 1
Zapamiętajmy następującą formułę:
\[((\left(\text(tg)x \right))^(\prime ))=\frac(1)(((\cos )^(2))x)\]
Na tej podstawie możemy napisać:
Podstawmy współrzędne punktu $M$ do naszego wyrażenia:
\[-1=\text(tg)\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(\text(4))+C\]
Przepiszmy wyrażenie biorąc pod uwagę ten fakt:
Problem nr 2
To będzie trochę bardziej skomplikowane. Teraz zobaczysz dlaczego.
Zapamiętajmy tę formułę:
\[((\left(\text(ctg)x \right))^(\prime ))=-\frac(1)(((\sin )^(2))x)\]
Aby pozbyć się „minusu”, musisz wykonać następujące czynności:
\[((\left(-\text(ctg)x \right))^(\prime ))=\frac(1)(((\sin )^(2))x)\]
Oto nasz projekt
Podstawmy współrzędne punktu $M$:
W sumie zapisujemy ostateczną konstrukcję:
To wszystko, o czym chciałem wam dzisiaj powiedzieć. Przestudiowaliśmy sam termin funkcje pierwotne i jak je liczyć funkcje elementarne, a także jak znaleźć funkcję pierwotną przechodzącą przez określony punkt na płaszczyźnie współrzędnych.
Mam nadzieję, że ta lekcja choć trochę pomoże Ci to zrozumieć złożony temat. W każdym razie na funkcjach pierwotnych konstruowane są całki nieoznaczone i nieoznaczone, dlatego absolutnie konieczne jest ich obliczenie. To wszystko dla mnie. Do zobaczenia!
Pojawienie się pojęcia całki wynikało z konieczności znalezienia funkcji pierwotnej funkcji z jej pochodnej, a także określenia ilości pracy, pola złożone figury, przebyty dystans, którego parametry wyznaczają krzywe opisane wzorami nieliniowymi.
i że praca jest równa iloczynowi siły i drogi. Jeśli cały ruch odbywa się za pomocą stała prędkość lub odległość pokonuje się przy użyciu tej samej siły, wtedy wszystko jest jasne, wystarczy je pomnożyć. Co to jest całka po stałej? postaci y=kx+c.
Ale siła może się zmieniać w trakcie pracy i w jakiejś naturalnej zależności. Ta sama sytuacja powstaje przy obliczaniu przebytej drogi, jeśli prędkość nie jest stała.
Jasne jest więc, dlaczego całka jest potrzebna. Definiowanie go jako sumy iloczynów wartości funkcji przez nieskończenie mały przyrost argumentu całkowicie opisuje główne znaczenie to pojęcie jako obszar figury ograniczony u góry linią funkcji, a na krawędziach granicami definicji.
Jean Gaston Darboux, francuski matematyk, już w drugiej połowie XIX wieku bardzo jasno wyjaśnił, czym jest całka. Wyraził się tak jasno, że w ogóle zrozumienie tej kwestii nie byłoby trudne nawet dla ucznia. klasy młodsze Liceum.
Powiedzmy, że istnieje funkcja dowolnego złożony kształt. Oś rzędnych, na której wykreślane są wartości argumentu, jest podzielona na małe przedziały, w idealnym przypadku są one nieskończenie małe, ale ponieważ pojęcie nieskończoności jest dość abstrakcyjne, wystarczy po prostu wyobrazić sobie małe segmenty, którego wartość jest zwykle oznaczana grecki listΔ (delta).
Funkcja okazała się „posiekana” na drobne cegiełki.
Każdej wartości argumentu odpowiada punkt na osi współrzędnych, na którym wykreślane są odpowiednie wartości funkcji. Ale ponieważ wybrany obszar ma dwie granice, będą również dwie wartości funkcji, większa i mniejsza.
Nazywa się sumą produktów o większych wartościach o przyrost Δ duża ilość Darboux i jest oznaczony jako S. Odpowiednio mniejsze wartości na ograniczonym obszarze, pomnożone przez Δ, razem tworzą małą sumę Darboux s. Sama strona przypomina trapez prostokątny, ponieważ krzywiznę linii funkcyjnej o nieskończenie małym przyroście można pominąć. Najłatwiej znaleźć obszar w ten sposób figura geometryczna- polega to na dodaniu iloczynów większych i mniejszych wartości funkcji przez przyrost Δ i podzieleniu przez dwa, czyli zdefiniowaniu go jako średniej arytmetycznej.
Oto całka Darboux:
s=Σf(x) Δ - mała ilość;
S= Σf(x+Δ)Δ to duża ilość.
Czym więc jest całka? Pole ograniczone linią funkcji i granicami definicji będzie równe:
∫f(x)dx = ((S+s)/2) +c
Oznacza to, że średnia arytmetyczna dużych i małych sum Darboux jest wartością stałą, która jest zerowana podczas różniczkowania.
Na podstawie geometrycznego wyrazu tej koncepcji staje się jasne znaczenie fizyczne całka. określona przez funkcję prędkości i ograniczona odstępem czasu wzdłuż osi x, będzie długością przebytej drogi.
L = ∫f(x)dx w przedziale od t1 do t2,
f(x) jest funkcją prędkości, czyli wzorem, według którego zmienia się ona w czasie;
L - długość ścieżki;
t1 – godzina rozpoczęcia podróży;
t2 to czas zakończenia podróży.
Dokładnie tę samą zasadę stosuje się do określenia ilości pracy, tyle że odległość zostanie wykreślona wzdłuż odciętej, a wielkość siły przyłożonej w każdym konkretnym punkcie zostanie wykreślona wzdłuż rzędnej.
Rozważmy ruch punktu po linii prostej. Niech to zajmie trochę czasu T od początku ruchu punkt przebył pewną odległość s(t). Następnie chwilowa prędkość v(t) równa pochodnej funkcji s(t), to jest v(t) = s”(t).
W praktyce to występuje problem odwrotny: przy danej prędkości ruchu punktu v(t) znajdź ścieżkę, którą poszła s(t), czyli znaleźć taką funkcję s(t), którego pochodna jest równa v(t). Funkcjonować s(t), takie, że s"(t) = v(t), nazywa się funkcją pierwotną funkcji v(t).
Na przykład, jeśli v(t) = w, Gdzie A– podany numer, a następnie funkcja
s(t) = (at 2) / 2v(t), ponieważ
s"(t) = ((at 2) / 2) " = аt = v(t).
Funkcjonować F(x) nazywamy funkcją pierwotną k(x) w pewnym odstępie czasu, jeśli na zawsze X z tej luki F”(x) = f(x).
Na przykład funkcja F(x) = grzech x jest funkcją pierwotną f(x) = cos x, ponieważ (grzech x)” = cos x; funkcjonować F(x) = x 4 /4 jest funkcją pierwotną f(x) = x 3, ponieważ (x 4/4)" = x 3.
Rozważmy problem.
Zadanie.
Udowodnij, że funkcje x 3 /3, x 3 /3 + 1, x 3 /3 – 4 są funkcjami pierwotnymi tej samej funkcji f(x) = x 2.
Rozwiązanie.
1) Oznaczmy F 1 (x) = x 3 /3, następnie F" 1 (x) = 3 ∙ (x 2 /3) = x 2 = f(x).
2) F 2 (x) = x 3 /3 + 1, F" 2 (x) = (x 3 /3 + 1)" = (x 3 /3)" + (1)" = x 2 = f( X).
3) F 3 (x) = x 3 /3 – 4, F" 3 (x) = (x 3 /3 – 4)" = x 2 = f (x).
Ogólnie rzecz biorąc, dowolna funkcja x 3 /3 + C, gdzie C jest stałą, jest funkcją pierwotną funkcji x 2. Wynika to z faktu, że pochodna stałej wynosi zero. Ten przykład pokazuje, że dla dana funkcja jego funkcja pierwotna jest określona niejednoznacznie.
Niech F 1 (x) i F 2 (x) będą dwiema funkcjami pierwotnymi tej samej funkcji f(x).
Następnie F 1 "(x) = f(x) i F" 2 (x) = f(x).
Pochodna ich różnicy g(x) = F 1 (x) – F 2 (x) jest równa zeru, ponieważ g"(x) = F" 1 (x) – F" 2 (x) = f(x ) – f (x) = 0.
Jeżeli g"(x) = 0 w pewnym przedziale, to styczna do wykresu funkcji y = g(x) w każdym punkcie tego przedziału jest równoległa do osi Ox. Zatem wykres funkcji y = g(x) jest linią prostą równoległą do osi Ox, tj. g(x) = C, gdzie C jest pewną stałą Z równości g(x) = C, g(x) = F 1 (x) – F 2 (x) wynika z tego, że F 1 (x) = F 2 (x) + S.
Jeśli więc funkcja F(x) jest funkcją pierwotną funkcji f(x) na pewnym przedziale, to wszystkie funkcje pierwotne funkcji f(x) zapisuje się w postaci F(x) + C, gdzie C jest dowolna stała.
Rozważmy wykresy wszystkich funkcji pierwotnych danej funkcji f(x). Jeżeli F(x) jest jedną z funkcji pierwotnych funkcji f(x), to dowolną funkcję pierwotną tej funkcji otrzymuje się dodając do F(x) pewną stałą: F(x) + C. Wykresy funkcji y = F( x) + C otrzymujemy z wykresu y = F(x) poprzez przesunięcie wzdłuż osi Oy. Wybierając C, możesz mieć pewność, że wykres funkcji pierwotnej przechodzi przez dany punkt.
Zwróćmy uwagę na zasady znajdowania funkcji pierwotnych.
Przypomnijmy, że nazywa się operację znajdowania pochodnej danej funkcji różnicowanie. Nazywa się operację odwrotną polegającą na znajdowaniu funkcji pierwotnej dla danej funkcji integracja(z Słowo łacińskie "przywrócić").
Tabela funkcji pierwotnych dla niektórych funkcji można to zestawić korzystając z tabeli pochodnych. Na przykład wiedząc o tym (cos x)" = -sin x, dostajemy (-cos x)” = grzech x, z czego wynika, że wszystkie funkcje funkcji pierwotnej grzech x są zapisane w formie -cos x + C, Gdzie Z– stała.
Przyjrzyjmy się niektórym znaczeniom funkcji pierwotnych.
1) Funkcjonować: x p, p ≠ -1. Funkcja pierwotna: (x p+1) / (p+1) + C.
2) Funkcjonować: 1/x, x > 0. Funkcja pierwotna: ln x + C.
3) Funkcjonować: x p, p ≠ -1. Funkcja pierwotna: (x p+1) / (p+1) + C.
4) Funkcjonować: były. Funkcja pierwotna: np. + C.
5) Funkcjonować: grzech x. Funkcja pierwotna: -cos x + C.
6) Funkcjonować: (kx + b) p, р ≠ -1, k ≠ 0. Funkcja pierwotna: (((kx + b) p+1) / k(p+1)) + C.
7) Funkcjonować: 1/(kx + b), k ≠ 0. Funkcja pierwotna: (1/k) ln (kx + b)+ C.
8) Funkcjonować: e kx + b, k ≠ 0. Funkcja pierwotna: (1/k) e kx + b + C.
9) Funkcjonować: grzech (kx + b), k ≠ 0. Funkcja pierwotna: (-1/k) cos (kx + b).
10)
Funkcjonować: cos (kx + b), k ≠ 0. Funkcja pierwotna: (1/k) grzech (kx + b). 
Zasady integracji można uzyskać za pomocą zasady różnicowania. Przyjrzyjmy się pewnym zasadom.
Pozwalać F(x) I G(x)– funkcje pierwotne odpowiednich funkcji k(x) I g(x) w pewnym odstępie. Następnie:
1) funkcjonować F(x) ± G(x) jest funkcją pierwotną f(x) ± g(x);
2) funkcjonować AF(x) jest funkcją pierwotną f(x).
stronie internetowej, przy kopiowaniu materiału w całości lub w części wymagany jest link do źródła.
Obliczanie powierzchni ma fundamentalne znaczenie w teorii powierzchni. Powstaje pytanie o jego lokalizację, gdy figura ma nieregularny kształt lub konieczne jest skorzystanie z obliczenia go poprzez całkę.
W tym artykule mowa o obliczaniu powierzchni zakrzywiony trapez w sensie geometrycznym. Umożliwia to identyfikację związku między całką a obszarem trapezu krzywoliniowego. Jeżeli dana jest funkcja f (x) i jest ona ciągła na przedziale [ a ; b ] , znak przed wyrażeniem nie ulega zmianie.
Yandex.RTB R-A-339285-1 Definicja 1
Figura oznaczona jako G, ograniczona liniami postaci y = f(x), y = 0, x = a i x = b, nazywana jest zakrzywiony trapez. Przyjmuje oznaczenie S(G).
Spójrzmy na poniższy rysunek.
Aby obliczyć zakrzywiony trapez, należy podzielić odcinek [a; b ] dla liczby n części x i - 1 ; x ja, ja = 1, 2, . . . , n z punktami zdefiniowanymi w a = x 0< x 1 < x 2 < . . . < x n - 1 < x n = b , причем дать обозначение λ = m a x i = 1 , 2 , . . . , n x i - x i - 1 с точками x i , i = 1 , 2 , . . . , n - 1 . Необходимо выбрать так, чтобы λ → 0 при n → + ∞ , тогда фигуры, которые соответствуют нижней и górne części Uważa się, że Darboux to przychodzące P i wychodzące Q kształty wielokątne dla G. Rozważ poniższy rysunek.
Stąd mamy, że P ⊂ G ⊂ Q i wraz ze wzrostem liczby punktów podziału n otrzymujemy nierówność postaci S - s< ε , где ε является малым Liczba dodatnia, s i S są górną i dolną sumą Dabroux z przedziału [a; B ] . W przeciwnym razie zostanie to zapisane jako lim λ → 0 S - s = 0 . Oznacza to, że odnosząc się do koncepcji określona całka Darboux, otrzymujemy, że lim λ → 0 S = lim λ → 0 s = S G = ∫ za b fa (x) re x .
Z ostatniej równości otrzymujemy, że całka oznaczona postaci ∫ a b f (x) d x jest polem trapezu krzywoliniowego dla danego funkcja ciągła postaci y = f (x) . To jest to znaczenie geometryczne określona całka.
Obliczając ∫ a b f (x) d x, otrzymujemy pole pożądanej figury, które jest ograniczone liniami y = f (x), y = 0, x = a i x = b.
Komentarz: Gdy funkcja y = f (x) jest dodatnia z przedziału [ a ; b ], wówczas stwierdzamy, że pole krzywoliniowego trapezu oblicza się na podstawie wzoru S (G) = - ∫ a b f (x) d x.
Przykład 1
Oblicz pole figury ograniczone danymi liniami postaci y = 2 · e x 3, y = 0, x = - 2, x = 3.
Rozwiązanie
Aby rozwiązać problem, należy najpierw skonstruować figurę na płaszczyźnie, na której znajduje się prosta y = 0 pokrywająca się z O x, z liniami w postaci x = - 2 i x = 3, równolegle do osi o y, gdzie krzywa y = 2 e x 3 jest konstruowana za pomocą przekształcenia geometryczne wykres funkcji y = e x. Zbudujmy wykres.
To pokazuje, że konieczne jest znalezienie obszaru zakrzywionego trapezu. Przypominając geometryczne znaczenie całki, stwierdzamy, że pożądany obszar zostanie wyrażony przez pewną całkę, którą należy rozwiązać. Oznacza to, że konieczne jest zastosowanie wzoru S (G) = ∫ - 2 3 2 · mi x 3 re x . Tę całkę nieoznaczoną oblicza się na podstawie wzoru Newtona-Leibniza
S (G) = ∫ - 2 3 2 mi x 3 re x = 6 mi x 3 - 2 3 = 6 mi 3 3 - 6 mi - 2 3 = 6 mi - mi - 2 3
Odpowiedź: S (G) = 6 e - e - 2 3
Komentarz: Aby znaleźć obszar zakrzywionego trapezu, nie zawsze można zbudować figurę. Następnie rozwiązanie przeprowadza się w następujący sposób. Biorąc pod uwagę znaną funkcję f (x), która jest nieujemna lub dodatnia w przedziale [ a ; b ] , stosuje się wzór w postaci S G = ∫ a b f (x) d x lub S G = - ∫ a b f (x) d x.
Przykład 2
Oblicz pole ograniczone liniami postaci y = 1 3 (x 2 + 2 x - 8), y = 0, x = - 2, x = 4.
Rozwiązanie
Aby skonstruować tę figurę, stwierdzamy, że y = 0 pokrywa się z O x, a x = - 2 i x = 4 są równoległe do O y. Wykres funkcji y = 1 3 (x 2 + 2 x - 8) = 1 3 (x + 1) 2 - 3 jest parabolą, której współrzędne punktu (- 1 ; 3) stanowią wierzchołek z gałęziami skierowanymi w górę. Aby znaleźć punkty przecięcia paraboli z O x, musisz obliczyć:
1 3 (x 2 + 2 x - 8) = 0 ⇔ x 2 + 2 x - 8 = 0 re = 2 2 - 4 1 (- 8) = 36 x 1 = - 2 + 36 2 = 2 , x 2 = - 2 - 36 2 = - 4
Oznacza to, że parabola przecina się w punktach (4; 0) i (2; 0). Z tego wynika, że figura oznaczona jako G przyjmie postać pokazaną na rysunku poniżej.
Figura ta nie jest trapezem krzywoliniowym, gdyż funkcja postaci y = 1 3 (x 2 + 2 x - 8) zmienia znak na przedziale [ - 2 ; 4] . Figurę G można przedstawić jako sumę dwóch krzywoliniowych trapezów G = G 1 ∪ G 2, w oparciu o właściwość addytywności powierzchni mamy, że S (G) = S (G 1) + S (G 2). Rozważ poniższy wykres.
Odcinek [-2; 4 ] jest uważany za nieujemny obszar paraboli, wówczas otrzymujemy z tego, że obszar będzie miał postać S G 2 = ∫ 2 4 1 3 (x 2 + 2 x - 8) d x . Odcinek [-2; 2 ] jest dodatnie dla funkcji o postaci y = 1 3 (x 2 + 2 x - 8), co oznacza, że na podstawie geometrycznego znaczenia całki oznaczonej otrzymujemy, że S (G 1) = - ∫ - 2 2 1 3 (x 2 + 2 x - 8) re x . Konieczne jest wykonanie obliczeń przy użyciu wzoru Newtona-Leibniza. Wtedy całka oznaczona będzie miała postać:
S (G) = S (G 1) + S (G 2) = - ∫ - 2 2 1 3 (x 2 + 2 x - 8) re x + ∫ 2 4 1 3 (x 2 + 2 x - 8) re x = = - 1 3 x 3 3 + x 2 - 8 x - 2 2 + 1 3 x 3 3 + x 2 - 8 x 2 4 = = - 1 3 2 3 3 + 2 2 - 8 2 - - 2 3 3 + (- 2) 2 - 8 · (- 2) + + 1 3 4 3 3 + 4 3 - 8 · 4 - 2 3 3 + 2 2 - 8 · 2 = = - 1 3 8 3 - 12 + 8 3 - 20 + 1 3 64 3 - 16 - 8 3 + 12 = 124 9
Warto zaznaczyć, że wyznaczenie pola nie jest poprawne w myśl zasady S (G) = ∫ - 2 4 1 3 (x 2 + 2 x - 8) d x = 1 3 x 3 3 + x 2 - 8 x - 2 4 = = 1 3 4 3 3 + 4 3 - 8 4 - - 2 3 3 + - 2 2 - 8 - 2 = 1 3 64 3 - 16 + 8 3 - 20 = - 4
Ponieważ wynikowa liczba jest ujemna i reprezentuje różnicę S (G 2) - S (G 1).
Odpowiedź: S (G) = S (G 1) + S (G 2) = 124 9
Jeżeli liczby są ograniczone liniami postaci y = c, y = d, x = 0 i x = g (y), a funkcja jest równa x = g (y), jest ciągła i ma stały znak na przedziale [ c; d ], wówczas nazywa się je krzywoliniowymi tarpezami. Rozważmy to na poniższym rysunku.
∫ c d g (y) re y jest tym, że jego wartością jest pole krzywoliniowego trapezu dla ciągłej i nieujemnej funkcji postaci x = g (y) znajdującej się na przedziale [ c ; D] .
Przykład 3
Oblicz figurę ograniczoną osią rzędnych i liniami x = 4 ln y y + 3, y = 1, y = 4.
Rozwiązanie
Wykreślenie wykresu x = 4 ln y y + 3 nie jest łatwe. Dlatego konieczne jest rozwiązanie bez rysunku. Przypomnijmy, że funkcja jest zdefiniowana dla wszystkich wartości dodatnie y. Rozważmy wartości funkcji dostępne na przedziale [ 1 ; 4] . Wiemy to z własności funkcji elementarnych funkcja logarytmiczna rośnie w całym obszarze definicji. Zatem nie segment [ 1 ; 4] jest nieujemne. Oznacza to, że ln y ≥ 0. Istniejące wyrażenie ln y y , zdefiniowane w tym samym segmencie, jest nieujemne. Możemy stwierdzić, że funkcja x = 4 ln y y + 3 jest dodatnia w przedziale równym [ 1 ; 4] . Stwierdzamy, że liczba w tym przedziale jest dodatnia. Następnie jego pole należy obliczyć ze wzoru S (G) = ∫ 1 4 4 ln y y + 3 re y .
Należy dokonać kalkulacji Całka nieoznaczona. Aby to zrobić, musisz znaleźć pierwotna funkcja x = 4 ln y y + 3 i zastosuj wzór Newtona-Leibniza. Rozumiemy to
∫ 4 ln y y + 3 re y = 4 ∫ ln y y re y + 3 ∫ re y = 4 ∫ ln y re (ln y) + 3 y = = 4 ln 2 y 2 + 3 y + do = 2 ln 2 y + 3 y + C ⇒ S (G) = ∫ 1 4 4 ln y y + 3 re y = 2 ln 2 + y + 3 y 1 4 = = 2 ln 2 4 + 3 4 - (2 ln 2 1 + 3 1) = 8 ln 2 2 + 9
Rozważ poniższy rysunek.
Odpowiedź: S (G) = 8 ln 2 2 + 9
Wyniki
W tym artykule zidentyfikowaliśmy geometryczne znaczenie całki oznaczonej i zbadaliśmy związek z polem trapezu krzywoliniowego. Wynika z tego, że mamy możliwość obliczenia pola figur złożonych poprzez obliczenie całki dla zakrzywionego trapezu. W części poświęconej znajdowaniu obszarów i liczb, które ograniczone linie y = f (x), x = g (y), przykłady te omówiono szczegółowo.
Jeśli zauważysz błąd w tekście, zaznacz go i naciśnij Ctrl+Enter