Jaka jest linia środkowa trójkąta? Trójkąt prostokątny

Linia środkowa trapezu, a zwłaszcza jego właściwości, są bardzo często wykorzystywane w geometrii do rozwiązywania problemów i dowodzenia niektórych twierdzeń.


jest czworokątem, który ma tylko 2 boki równoległe do siebie. Równoległe boki nazywane są podstawami (na rysunku 1 - OGŁOSZENIE I PNE.), pozostałe dwa są boczne (na rysunku AB I płyta CD).

Linia środkowa trapezu jest odcinkiem łączącym środki jego boków (na rysunku 1 - KL).

Właściwości linii środkowej trapezu

Dowód twierdzenia o linii środkowej trapezu

Udowodnićże linia środkowa trapezu jest równa połowie sumy jego podstaw i jest do nich równoległa.

Biorąc pod uwagę trapez ABCD z linią środkową KL. Aby udowodnić rozważane właściwości, konieczne jest narysowanie linii prostej przez punkty B I L. Na rysunku 2 jest to linia prosta BQ. A także kontynuuj fundament OGŁOSZENIE do przecięcia z linią BQ.

Rozważ powstałe trójkąty L.B.C. I LQD:

  1. Z definicji linii środkowej KL kropka L jest środkiem odcinka płyta CD. Wynika z tego, że segmenty C.L. I LD są równe.
  2. ∠BLC = ∠QLD, ponieważ te kąty są pionowe.
  3. ∠BCL = ∠LDQ, ponieważ kąty te leżą poprzecznie na liniach równoległych OGŁOSZENIE I PNE. i sieczna płyta CD.

Z tych 3 równości wynika, że ​​rozważane wcześniej trójkąty L.B.C. I LQD równe z 1 strony i dwóch sąsiednich kątów (patrz ryc. 3). Stąd, ∠LBC = ∠ LQD, BC=DQ i najważniejsze - BL=LQ => KL, czyli linia środkowa trapezu ABCD, jest także linią środkową trójkąta ABQ. Zgodnie z właściwością linii środkowej trójkąta ABQ dostajemy.

Czasami tematy wyjaśniane w szkole nie zawsze są jasne za pierwszym razem. Jest to szczególnie prawdziwe w przypadku przedmiotu takiego jak matematyka. Ale wszystko staje się znacznie bardziej skomplikowane, gdy naukę tę zaczyna się dzielić na dwie części: algebrę i geometrię.

Każdy uczeń może posiadać zdolności w jednym z dwóch obszarów, ale szczególnie w klasach podstawowych ważne jest zrozumienie podstaw algebry i geometrii. W geometrii za jeden z głównych tematów uważa się rozdział poświęcony trójkątom.

Jak znaleźć linię środkową trójkąta? Rozwiążmy to.

Podstawowe koncepcje

Na początek, aby dowiedzieć się, jak znaleźć środkową linię trójkąta, ważne jest, aby zrozumieć, co to jest.

Nie ma ograniczeń w rysowaniu linii środkowej: trójkąt może być dowolny (równoramienny, równoboczny, prostokątny). Wszystkie właściwości związane z linią środkową będą obowiązywać.

Linia środkowa trójkąta to odcinek łączący środki jego 2 boków. Dlatego każdy trójkąt może mieć 3 takie linie.

Nieruchomości

Aby wiedzieć, jak znaleźć linię środkową trójkąta, wyznaczmy jego właściwości, o których należy pamiętać, w przeciwnym razie bez nich nie będzie możliwe rozwiązanie problemów z koniecznością wyznaczenia długości linii środkowej, ponieważ wszystkie uzyskane dane muszą zostać uzasadnione i argumentował za pomocą twierdzeń, aksjomatów lub właściwości.

Zatem, aby odpowiedzieć na pytanie: „Jak znaleźć linię środkową trójkąta ABC?” wystarczy znać jeden z boków trójkąta.

Podajmy przykład

Spójrz na zdjęcie. Pokazuje trójkąt ABC z linią środkową DE. Zauważ, że jest on równoległy do ​​podstawy AC w ​​trójkącie. Zatem niezależnie od wartości AC, średnia linia DE będzie o połowę mniejsza. Na przykład AC=20 oznacza DE=10 itd.

W ten prosty sposób możesz zrozumieć, jak znaleźć środkową linię trójkąta. Zapamiętaj jego podstawowe właściwości i definicję, a wtedy nigdy nie będziesz miał problemów ze znalezieniem jego znaczenia.

Środkowa linia trójkąta

Nieruchomości

  • Środkowa linia trójkąta jest równoległa do trzeciego boku i równa jego połowie.
  • po narysowaniu wszystkich trzech środkowych linii powstają 4 równe trójkąty, podobne (nawet homotetyczne) do pierwotnego o współczynniku 1/2.
  • środkowa linia odcina trójkąt podobny do tego, a jego powierzchnia jest równa jednej czwartej pola pierwotnego trójkąta.

Linia środkowa czworokąta

Linia środkowa czworokąta- odcinek łączący środki przeciwległych boków czworoboku.

Nieruchomości

Pierwsza linia łączy 2 przeciwne strony. Drugi łączy pozostałe 2 przeciwne strony. Trzeci łączy środki dwóch przekątnych (nie wszystkie czworokąty mają środki, które się przecinają)

  • Jeżeli w czworoboku wypukłym linia środkowa tworzy kąty równe z przekątnymi czworoboku, to przekątne są równe.
  • Długość linii środkowej czworokąta jest mniejsza od połowy sumy dwóch pozostałych boków lub jej równa, jeśli te boki są równoległe, i tylko w tym przypadku.
  • Środki boków dowolnego czworokąta są wierzchołkami równoległoboku. Jego powierzchnia jest równa połowie powierzchni czworoboku, a jego środek leży w punkcie przecięcia linii środkowych. Ten równoległobok nazywany jest równoległobokiem Varignona;
  • Punkt przecięcia linii środkowych czworokąta jest ich wspólnym punktem środkowym i przecina odcinek łączący środki przekątnych na pół. Ponadto jest to środek ciężkości wierzchołków czworoboku.
  • W dowolnym czworokącie wektor linii środkowej jest równy połowie sumy wektorów podstaw.

Linia środkowa trapezu

Linia środkowa trapezu- odcinek łączący środki boków tego trapezu. Odcinek łączący środki podstaw trapezu nazywa się drugą linią środkową trapezu.

Nieruchomości

  • linia środkowa jest równoległa do podstaw i równa ich połowie sumy.

Zobacz też

Notatki


Fundacja Wikimedia. 2010.

Zobacz, co oznacza „linia środkowa” w innych słownikach:

    ŚRODKOWA LINIA- (1) odcinek trapezu łączący środki boków trapezu. Linia środkowa trapezu jest równoległa do jego podstaw i równa ich połowie; (2) trójkąta, odcinka łączącego środki dwóch boków tego trójkąta: w tym przypadku trzeciego boku... ... Wielka encyklopedia politechniczna

    Trójkąt (trapez) to odcinek łączący środki dwóch boków trójkąta (boków trapezu)... Wielki słownik encyklopedyczny

    Środkowa linia- 24 linia środkowa: Wyimaginowana linia przechodząca przez profil gwintu w taki sposób, że grubość występu jest równa szerokości rowka. Źródło … Słownik-podręcznik terminów dokumentacji normatywnej i technicznej

    Trójkąt (trapez), odcinek łączący środki dwóch boków trójkąta (boki trapezu). * * * LINIA ŚRODKOWA LINIA ŚRODKA trójkąta (trapezu), odcinek łączący środki dwóch boków trójkąta (boki boczne trapezu) ... słownik encyklopedyczny

    Środkowa linia- vidurio linija statusas T sritis Kūno kultūra ir sportas apibrėžtis 3 mm linija, dalijanti teniso stało się paviršių išilgai pusiau. atitikmenys: pol. linia środkowa; vok linii środkowej. Mittellinie, f rus. linia środkowa...Sporto terminų žodynas

    Środkowa linia- vidurio linija statusas T sritis Kūno kultūra ir sportas apibrėžtis Linija, dalijanti fechtavimosi kovos takelį į dvi lygias dalis. atitikmenys: pol. linia środkowa; vok linii środkowej. Mittellinie, f rus. linia środkowa...Sporto terminų žodynas

    Środkowa linia- vidurio linija statusas T sritis Kūno kultūra ir sportas apibrėžtis Linija, dalijanti sporto aikšt(el)ę pusiau. atitikmenys: pol. linia środkowa; vok linii środkowej. Mittellinie, f rus. linia środkowa...Sporto terminų žodynas

    1) S.l. trójkąt, odcinek łączący środki dwóch boków trójkąta (trzeci bok nazywany jest podstawą). S. l. trójkąta jest równoległy do ​​podstawy i równy jego połowie; obszar części trójkąta, na który dzieli go c. l.,... ... Wielka encyklopedia radziecka

    Odcinek trójkąta łączący środki dwóch boków trójkąta. Nazywa się trzeci bok trójkąta podstawa trójkąta. S. l. trójkąta jest równoległa do podstawy i równa połowie jego długości. W dowolnym trójkącie S. l. odcina się od... ... Encyklopedia matematyczna

    Trójkąt (trapez), odcinek łączący środki dwóch boków trójkąta (boki trapezu) ... Naturalna nauka. słownik encyklopedyczny

Książki

  • Długopis "Jotter Luxe K177 West M" (niebieski) (1953203), . Długopis w pudełku prezentowym. Kolor liter: niebieski. Linia: środkowa. Wyprodukowano we Francji...

Pojęcie linii środkowej trójkąta

Wprowadźmy pojęcie linii środkowej trójkąta.

Definicja 1

Jest to odcinek łączący środki dwóch boków trójkąta (ryc. 1).

Rysunek 1. Środkowa linia trójkąta

Twierdzenie o linii środkowej trójkąta

Twierdzenie 1

Linia środkowa trójkąta jest równoległa do jednego z jego boków i równa jego połowie.

Dowód.

Dajmy sobie trójkąt $ABC$. $MN$ to linia środkowa (jak na rysunku 2).

Rysunek 2. Ilustracja twierdzenia 1

Ponieważ $\frac(AM)(AB)=\frac(BN)(BC)=\frac(1)(2)$, to trójkąty $ABC$ i $MBN$ są podobne według drugiego kryterium podobieństwa trójkątów . Oznacza

Wynika z tego także, że $\angle A=\angle BMN$, co oznacza $MN||AC$.

Twierdzenie zostało udowodnione.

Wnioski z twierdzenia o linii środkowej trójkąta

Wniosek 1: Mediany trójkąta przecinają się w jednym punkcie i są dzielone przez punkt przecięcia w stosunku $2:1$, zaczynając od wierzchołka.

Dowód.

Rozważmy trójkąt $ABC$, gdzie $(AA)_1,\ (BB)_1,\ (CC)_1$ są jego środkowymi. Ponieważ środkowe dzielą boki na pół. Rozważmy środkową linię $A_1B_1$ (ryc. 3).

Rysunek 3. Ilustracja wniosku 1

Z Twierdzenia 1 wynika, że ​​$AB||A_1B_1$ i $AB=2A_1B_1$, zatem $\angle ABB_1=\angle BB_1A_1,\ \angle BAA_1=\angle AA_1B_1$. Oznacza to, że trójkąty $ABM$ i $A_1B_1M$ są podobne według pierwszego kryterium podobieństwa trójkątów. Następnie

Podobnie zostało to udowodnione

Twierdzenie zostało udowodnione.

Wniosek 2: Trzy środkowe linie trójkąta dzielą go na 4 trójkąty podobne do pierwotnego trójkąta o współczynniku podobieństwa $k=\frac(1)(2)$.

Dowód.

Rozważmy trójkąt $ABC$ z liniami środkowymi $A_1B_1,\ (\ A)_1C_1,\ B_1C_1$ (ryc. 4)

Rysunek 4. Ilustracja wniosku 2

Rozważmy trójkąt $A_1B_1C$. Ponieważ $A_1B_1$ jest zatem linią środkową

Kąt $C$ jest kątem wspólnym tych trójkątów. Zatem trójkąty $A_1B_1C$ i $ABC$ są podobne według drugiego kryterium podobieństwa trójkątów ze współczynnikiem podobieństwa $k=\frac(1)(2)$.

Podobnie udowodniono, że trójkąty $A_1C_1B$ i $ABC$ oraz trójkąty $C_1B_1A$ i $ABC$ są podobne ze współczynnikiem podobieństwa $k=\frac(1)(2)$.

Rozważmy trójkąt $A_1B_1C_1$. Ponieważ $A_1B_1,\ (\A)_1C_1,\ B_1C_1$ są środkowymi liniami trójkąta, to

Zatem zgodnie z trzecim kryterium podobieństwa trójkątów trójkąty $A_1B_1C_1$ i $ABC$ są podobne ze współczynnikiem podobieństwa $k=\frac(1)(2)$.

Twierdzenie zostało udowodnione.

Przykłady problemów z pojęciem linii środkowej trójkąta

Przykład 1

Mając dany trójkąt o bokach 16$ cm, 10$ cm i 14$ cm, oblicz obwód trójkąta, którego wierzchołki leżą w środkach boków danego trójkąta.

Rozwiązanie.

Ponieważ wierzchołki pożądanego trójkąta leżą w środkach boków danego trójkąta, to jego boki są liniami środkowymi pierwotnego trójkąta. Z wniosku 2 dowiadujemy się, że boki żądanego trójkąta są równe 8 $ cm, 5 $ cm i 7 $ cm.

Odpowiedź: 20 dolarów zobacz

Przykład 2

Biorąc pod uwagę trójkąt $ABC$. Punkty $N\ i\ M$ są środkami odpowiednio boków $BC$ i $AB$ (ryc. 5).

Rysunek 5.

Obwód trójkąta $BMN=14$ cm Oblicz obwód trójkąta $ABC$.

Rozwiązanie.

Ponieważ $N\ i\ M$ są środkami boków $BC$ i $AB$, to $MN$ jest linią środkową. Oznacza

Zgodnie z twierdzeniem 1, $AC=2MN$. Otrzymujemy:

Środkowa linia trójkąta

Nieruchomości

  • Środkowa linia trójkąta jest równoległa do trzeciego boku i równa jego połowie.
  • po narysowaniu wszystkich trzech środkowych linii powstają 4 równe trójkąty, podobne (nawet homotetyczne) do pierwotnego o współczynniku 1/2.
  • środkowa linia odcina trójkąt podobny do tego, a jego powierzchnia jest równa jednej czwartej pola pierwotnego trójkąta.

Linia środkowa czworokąta

Linia środkowa czworokąta- odcinek łączący środki przeciwległych boków czworoboku.

Nieruchomości

Pierwsza linia łączy 2 przeciwne strony. Drugi łączy pozostałe 2 przeciwne strony. Trzeci łączy środki dwóch przekątnych (nie wszystkie czworokąty mają środki, które się przecinają)

  • Jeżeli w czworoboku wypukłym linia środkowa tworzy kąty równe z przekątnymi czworoboku, to przekątne są równe.
  • Długość linii środkowej czworokąta jest mniejsza od połowy sumy dwóch pozostałych boków lub jej równa, jeśli te boki są równoległe, i tylko w tym przypadku.
  • Środki boków dowolnego czworokąta są wierzchołkami równoległoboku. Jego powierzchnia jest równa połowie powierzchni czworoboku, a jego środek leży w punkcie przecięcia linii środkowych. Ten równoległobok nazywany jest równoległobokiem Varignona;
  • Punkt przecięcia linii środkowych czworokąta jest ich wspólnym punktem środkowym i przecina odcinek łączący środki przekątnych na pół. Ponadto jest to środek ciężkości wierzchołków czworoboku.
  • W dowolnym czworokącie wektor linii środkowej jest równy połowie sumy wektorów podstaw.

Linia środkowa trapezu

Linia środkowa trapezu- odcinek łączący środki boków tego trapezu. Odcinek łączący środki podstaw trapezu nazywa się drugą linią środkową trapezu.

Nieruchomości

  • linia środkowa jest równoległa do podstaw i równa ich połowie sumy.

Zobacz też

Notatki


Fundacja Wikimedia. 2010.

  • Średnia dawka śmiertelna
  • Linia środkowa trapezu

Zobacz, co oznacza „linia środkowa” w innych słownikach:

    ŚRODKOWA LINIA- (1) odcinek trapezu łączący środki boków trapezu. Linia środkowa trapezu jest równoległa do jego podstaw i równa ich połowie; (2) trójkąta, odcinka łączącego środki dwóch boków tego trójkąta: w tym przypadku trzeciego boku... ... Wielka encyklopedia politechniczna

    ŚRODKOWA LINIA- trójkąta (trapez) odcinek łączący środki dwóch boków trójkąta (boki trapezu) ... Wielki słownik encyklopedyczny

    Środkowa linia- 24 linia środkowa: Wyimaginowana linia przechodząca przez profil gwintu w taki sposób, że grubość występu jest równa szerokości rowka. Źródło … Słownik-podręcznik terminów dokumentacji normatywnej i technicznej

    Środkowa linia- trójkąt (trapez), odcinek łączący środki dwóch boków trójkąta (boki trapezu). * * * LINIA ŚRODKOWA LINIA ŚRODKA trójkąta (trapezu), odcinek łączący środki dwóch boków trójkąta (boki boczne trapezu) ... słownik encyklopedyczny

    Środkowa linia- vidurio linija statusas T sritis Kūno kultūra ir sportas apibrėžtis 3 mm linija, dalijanti teniso stało się paviršių išilgai pusiau. atitikmenys: pol. linia środkowa; vok linii środkowej. Mittellinie, f rus. linia środkowa...Sporto terminų žodynas

    Środkowa linia- vidurio linija statusas T sritis Kūno kultūra ir sportas apibrėžtis Linija, dalijanti fechtavimosi kovos takelį į dvi lygias dalis. atitikmenys: pol. linia środkowa; vok linii środkowej. Mittellinie, f rus. linia środkowa...Sporto terminų žodynas

    Środkowa linia- vidurio linija statusas T sritis Kūno kultūra ir sportas apibrėžtis Linija, dalijanti sporto aikšt(el)ę pusiau. atitikmenys: pol. linia środkowa; vok linii środkowej. Mittellinie, f rus. linia środkowa...Sporto terminų žodynas

    Środkowa linia- 1) S. l. trójkąt, odcinek łączący środki dwóch boków trójkąta (trzeci bok nazywany jest podstawą). S. l. trójkąta jest równoległy do ​​podstawy i równy jego połowie; obszar części trójkąta, na który dzieli go c. l.,... ... Wielka encyklopedia radziecka

    ŚRODKOWA LINIA- odcinek trójkąta łączący środki dwóch boków trójkąta. Nazywa się trzeci bok trójkąta podstawa trójkąta. S. l. trójkąta jest równoległa do podstawy i równa połowie jego długości. W dowolnym trójkącie S. l. odcina się od... ... Encyklopedia matematyczna

    ŚRODKOWA LINIA- trójkąt (trapez), odcinek łączący środki dwóch boków trójkąta (boki trapezu) ... Naturalna nauka. słownik encyklopedyczny

Książki

  • Długopis "Jotter Luxe K177 West M" (niebieski) (1953203), . Długopis w pudełku prezentowym. Kolor liter: niebieski. Linia: środkowa. Wyprodukowano we Francji...