Instrukcje

Jeśli dla dany trójkąt równoramienny lub regularny, to znaczy ma
dwa lub trzy boki, a następnie jego dwusieczna, w zależności od właściwości trójkąt, będzie również medianą. I dlatego przeciwny zostanie podzielony na pół przez dwusieczną.

Zmierz drugą stronę linijką trójkąt, gdzie dwusieczna będzie zmierzać. Podziel tę stronę na pół i umieść kropkę na środku boku.

Narysuj linię prostą przechodzącą przez skonstruowany punkt i przeciwległy wierzchołek. To będzie dwusieczna trójkąt.

Źródła:

• Mediany, dwusieczne i wysokości trójkąta

Dzielenie kąta na pół i obliczanie długości linii poprowadzonej od jego wierzchołka do przeciwnej strony to czynność, którą muszą umieć wycinacze, geodeci, instalatorzy i osoby wykonujące inne zawody.

Będziesz potrzebować

• Narzędzia Ołówek Linijka Kątomierz Tabele sinusów i cosinusów Wzory matematyczne i pojęcia: Definicja dwusiecznej. Twierdzenia o sinusach i cosinusach. Twierdzenie o dwusiecznej

Instrukcje

Zbuduj trójkąt o wymaganym rozmiarze, w zależności od tego, co ci podano? dfe boki i kąt między nimi, trzy boki lub dwa kąty i bok znajdujący się pomiędzy nimi.

Oznacz wierzchołki rogów i boków tradycyjnymi łacińskimi literami A, B i C. Wierzchołki rogów oznaczono przez , a przeciwległe strony oznaczono małymi literami. Oznacz rogi litery greckie?,? I?

Korzystając z twierdzeń o sinusach i cosinusach, oblicz kąty i boki trójkąt.

Pamiętaj o dwusiecznych. Dwusieczna - dzielenie kąta na pół. Dwusieczna kąta trójkąt dzieli przeciwieństwo na dwa odcinki, które są równe stosunkowi dwóch sąsiednich boków trójkąt.

Narysuj dwusieczne kątów. Oznacz powstałe odcinki zapisanymi nazwami kątów małe litery, z indeksem l. Strona c jest podzielona na odcinki a i b o indeksach l.

Oblicz długości powstałych odcinków, korzystając z twierdzenia sinusów.

Wideo na ten temat

notatka

Długość odcinka, który jest jednocześnie bokiem trójkąta utworzonego przez jeden z boków pierwotnego trójkąta, dwusieczną i sam odcinek, oblicza się z twierdzenia sinusów. Aby obliczyć długość kolejnego odcinka tego samego boku, wykorzystaj stosunek powstałych odcinków do sąsiednich boków pierwotnego trójkąta.

Pomocna rada

Aby uniknąć nieporozumień, narysuj dwusieczne różne kąty różne kolory.

Dwusieczna kąt zwany promieniem rozpoczynającym się w wierzchołku kąt i dzieli go na dwie równe części. Te. wydać dwusieczna, musisz znaleźć środek kąt. Najłatwiej to zrobić za pomocą kompasu. W takim przypadku nie trzeba wykonywać żadnych obliczeń, a wynik nie będzie zależał od tego, czy jest to ilość kąt Liczba całkowita.

Będziesz potrzebować

• kompas, ołówek, linijka.

Instrukcje

Pozostawiając szerokość otworu kompasu taką samą, umieść igłę na końcu segmentu po jednym z boków i narysuj część koła tak, aby znajdowała się wewnątrz kąt. Zrób to samo z drugim. Otrzymasz dwie części okręgów, które przetną się w środku kąt- mniej więcej pośrodku. Części okręgów mogą przecinać się w jednym lub dwóch punktach.

Wideo na ten temat

Pomocna rada

Aby skonstruować dwusieczną kąta, możesz użyć kątomierza, ale ta metoda wymaga większa dokładność. Co więcej, jeśli wartość kąta nie jest liczbą całkowitą, wzrasta prawdopodobieństwo błędów w konstruowaniu dwusiecznej.

Budując lub opracowując projekty projektów domów, często konieczne jest budowanie narożnik równy temu, co jest już dostępne. Z pomocą przychodzą szablony wiedza szkolna geometria.

Instrukcje

Kąt tworzą dwie linie proste wychodzące z jednego punktu. Punkt ten nazwiemy wierzchołkiem kąta, a linie będą bokami kąta.

Użyj trzech, aby wskazać narożniki: jeden u góry, dwa po bokach. Zwany narożnik, zaczynając od litery znajdującej się po jednej stronie, następnie nazywa się literę znajdującą się na górze, a następnie literę znajdującą się po drugiej stronie. Jeśli wolisz inaczej, użyj innych, aby wskazać kąty. Czasami nazwana jest tylko jedna litera, która znajduje się na górze. I możesz oznaczyć kąty greckimi literami, na przykład α, β, γ.

Są sytuacje, kiedy jest to konieczne narożnik, tak aby był węższy niż podany kąt. Jeśli podczas konstruowania nie można użyć kątomierza, można sobie poradzić jedynie za pomocą linijki i kompasu. Załóżmy, że na linii prostej oznaczonej literami MN musisz zbudować narożnik w punkcie K tak, aby był równy kątowi B. Oznacza to, że z punktu K należy poprowadzić linię prostą z linią MN narożnik, który będzie równy kątowi B.

Zacznij od zaznaczenia punktu po każdej stronie. dany kąt, na przykład punkty A i C, następnie połącz punkty C i A linią prostą. Zdobądź tre narożnik nic ABC.

Teraz zbuduj ten sam tre na prostej MN narożnik tak aby jego wierzchołek B znajdował się na prostej w punkcie K. Skorzystaj z reguły konstruowania trójkąta narożnik nnik w trójce. Odłóż odcinek KL od punktu K. Musi być równy segmentowi BC. Zdobądź punkt L.

Z punktu K narysuj okrąg o promieniu równym odcinku BA. Od L narysuj okrąg o promieniu CA. Połącz powstały punkt (P) przecięcia dwóch okręgów z K. Zdobądź trzy narożnik KPL, który będzie równy trzy narożnik Książka ABC. W ten sposób otrzymujesz narożnik K. Będzie równy kątowi B. Aby było to wygodniejsze i szybsze, odsuń się od wierzchołka B równe segmenty, korzystając z jednego otworu kompasu, nie poruszając nogami, opisz okrąg o tym samym promieniu od punktu K.

Wideo na ten temat

Wskazówka 5: Jak zbudować trójkąt, korzystając z dwóch boków i środkowej

Trójkąt to najprostsza figura geometryczna, która ma trzy wierzchołki połączone parami odcinkami tworzącymi boki tego wielokąta. Odcinek łączący wierzchołek ze środkiem przeciwnej strony nazywa się medianą. Znając długości dwóch boków i środkową łączącą się w jednym z wierzchołków, można skonstruować trójkąt, nie mając informacji o długości trzeciego boku ani o wielkości kątów.

Instrukcje

Narysuj odcinek z punktu A, którego długość jest jednym ze znanych boków trójkąta (a). Oznacz punkt końcowy tego odcinka literą B. Następnie jeden z boków (AB) żądanego trójkąta można już uznać za skonstruowany.

Za pomocą kompasu narysuj okrąg o promieniu równym dwukrotności długości środkowej (2∗m) i ze środkiem w punkcie A.

Za pomocą kompasu narysuj drugi okrąg o promieniu równa długości znana partia(b), a środek w punkcie B. Odłóż kompas na chwilę, ale zostaw na nim zmierzony - będziesz go potrzebować ponownie nieco później.

Skonstruuj odcinek łączący punkt A z punktem przecięcia dwóch, które narysowałeś. Połową tego odcinka będzie ten, który budujesz - zmierz tę połowę i umieść punkt M. W tym momencie masz jeden bok żądanego trójkąta (AB) i jego środkową (AM).

Za pomocą kompasu narysuj okrąg o promieniu równym długości drugiego znanego boku (b) i środka w punkcie A.

Narysuj odcinek, który powinien zaczynać się w punkcie B, przechodzić przez punkt M i kończyć się w punkcie przecięcia prostej z okręgiem, który narysowałeś w poprzednim kroku. Wyznacz punkt przecięcia literą C. Teraz bok BC, nieznany zgodnie z warunkami zadania, został skonstruowany w pożądanym.

Umiejętność podzielenia dowolnego kąta przez dwusieczną jest potrzebna nie tylko do zdobycia piątki z matematyki. Wiedza ta będzie bardzo przydatna dla budowniczych, projektantów, geodetów i krawcowych. W życiu trzeba umieć dzielić wiele rzeczy na pół.

Wszyscy w szkole nauczyli się dowcipu o szczurze, który biega po kątach i dzieli róg na pół. Imię tego zwinnego i inteligentnego gryzonia brzmiało Dwusieczna. Nie wiadomo, jak szczur podzielił róg i matematycy podręcznik szkolny„Geometria” można zaproponować następujące metody.

Korzystanie z kątomierza

Najłatwiejszym sposobem przeprowadzenia dwusiecznej jest użycie urządzenia do. Należy przymocować kątomierz po jednej stronie kąta, wyrównując punkt odniesienia z jego wierzchołkiem O. Następnie zmierz kąt w stopniach lub radianach i podziel go przez dwa. Za pomocą tego samego kątomierza odłóż uzyskane stopnie z jednego z boków i narysuj linię prostą, która stanie się dwusieczną, do punktu początkowego kąta O.

Korzystanie z kompasu

Musisz wziąć kompas i przesunąć go do dowolnego rozmiaru (w granicach rysunku). Po umieszczeniu końcówki w punkcie początkowym kąta O narysuj łuk przecinający promienie, zaznaczając na nich dwa punkty. Są one oznaczone jako A1 i A2. Następnie, umieszczając kompas naprzemiennie w tych punktach, należy narysować dwa okręgi o tej samej dowolnej średnicy (w skali rysunku). Ich punkty przecięcia są oznaczone C i B. Następnie musisz narysować linię prostą przez punkty O, C i B, która będzie pożądaną dwusieczną.

Używanie linijki

Aby narysować dwusieczną kąta za pomocą linijki, należy wykreślić odcinki z punktu O na półprostych (bokach) ta sama długość i oznaczyć je jako punkty A i B. Następnie należy połączyć je linią prostą i za pomocą linijki podzielić powstały odcinek na pół, wyznaczając punkt C. Dwusieczną otrzymamy, jeśli poprowadzimy linię prostą przez punkty C i O.

Żadnych narzędzi

Jeśli nie urządzenia pomiarowe, możesz użyć swojej pomysłowości. Wystarczy po prostu narysować kąt na kalce lub zwykłym cienkim papierze i ostrożnie złożyć kartkę tak, aby promienie kąta zrównały się. Linia zagięcia na rysunku będzie pożądaną dwusieczną.

Kąt prosty

Kąt większy niż 180 stopni można podzielić przez dwusieczną, stosując te same metody. Tylko konieczne będzie podzielenie nie tego, ale przylegającego do niego kąta ostrego, pozostałego z koła. Kontynuacją znalezionej dwusiecznej stanie się pożądana linia prosta, dzieląca rozłożony kąt na pół.

Kąty w trójkącie

Warto pamiętać, że w trójkąt równoboczny dwusieczna jest także medianą i wysokością. Dlatego dwusieczną w nim można znaleźć, po prostu obniżając prostopadłą do strony przeciwnej do kąta (wysokości) lub dzieląc ten bok na pół i łącząc punkt środkowy z przeciwny kąt(mediana).

Wideo na ten temat

Reguła mnemoniczna„dwusieczna to szczur, który biega po rogach i dzieli je na pół” opisuje istotę koncepcji, ale nie podaje zaleceń dotyczących konstruowania dwusiecznej. Aby to narysować, oprócz reguły, będziesz potrzebować kompasu i linijki.

Instrukcje

Powiedzmy, że musisz zbudować dwusieczna kąt A. Weź kompas, umieść jego końcówkę w punkcie A (kąt) i narysuj dowolny okrąg. W miejscu przecięcia boków narożnika umieść punkty B i C.

Zmierz promień pierwszego okręgu. Narysuj kolejny o tym samym promieniu, umieszczając kompas w punkcie B.

Narysuj następny okrąg (o takiej samej wielkości jak poprzednie) ze środkiem w punkcie C.

Wszystkie trzy okręgi muszą przecinać się w jednym punkcie - nazwijmy to F. Za pomocą linijki narysuj półprostą przechodzącą przez punkty A i F. Będzie to pożądana dwusieczna kąta A.

Istnieje kilka zasad, które pomogą Ci znaleźć. Na odwrót jest np. równy stosunkowi dwa sąsiednie boki. W równoramiennych

Trójkąt - wielokąt z trzema bokami lub zamknięty linia przerywana z trzema ogniwami lub figurą utworzoną z trzech odcinków łączących trzy punkty, które nie leżą na tej samej linii prostej (patrz ryc. 1).

Niezbędne elementy trójkąt abc

Szczyty – punkty A, B i C;

Strony – odcinki a = BC, b = AC i c = AB łączące wierzchołki;

Kąty – α, β, γ utworzone przez trzy pary boków. Kąty są często oznaczane w taki sam sposób, jak wierzchołki, za pomocą liter A, B i C.

Kąt utworzony przez boki trójkąta i leżący w jego obszarze wewnętrznym nazywany jest kątem wewnętrznym, a kąt przylegający do niego jest kątem przyległym trójkąta (2, s. 534).

Wysokości, środkowe, dwusieczne i linie środkowe trójkąta

Oprócz głównych elementów trójkąta brane są pod uwagę również inne segmenty o interesujących właściwościach: wysokości, środkowe, dwusieczne i linie środkowe.

Wysokość

Wysokości trójkąta- są to prostopadłe spuszczone z wierzchołków trójkąta na przeciwne strony.

Aby wyznaczyć wysokość, należy wykonać następujące kroki:

1) narysuj linię prostą zawierającą jeden z boków trójkąta (jeśli wysokość jest rysowana od wierzchołka kąt ostry w trójkącie rozwartym);

2) z wierzchołka leżącego naprzeciw narysowanej linii narysuj odcinek od punktu do tej linii, tworząc z nim kąt 90 stopni.

Punkt, w którym wysokość przecina bok trójkąta, nazywa się podstawa wysokości (patrz ryc. 2).

Własności wysokości trójkątów

W trójkącie prostokątnym wysokość narysowana z wierzchołka prosty kąt, dzieli go na dwa trójkąty podobne do pierwotnego trójkąta.

W trójkącie ostrym jego dwie wysokości odcinają od niego podobne trójkąty.

Jeśli trójkąt jest ostry, wówczas wszystkie podstawy wysokości należą do boków trójkąta i rozwarty trójkąt dwie wysokości spadają na kontynuację boków.

Trzy wysokości w ostry trójkąt przecinają się w jednym punkcie i ten punkt nazywa się ortocentrum trójkąt.

Mediana

Mediany(z łac. mediana – „środek”) – są to odcinki łączące wierzchołki trójkąta ze środkami przeciwległych boków (patrz ryc. 3).

Aby skonstruować medianę, należy wykonać następujące kroki:

1) znajdź środek boku;

2) połącz punkt będący środkiem boku trójkąta z przeciwległym wierzchołkiem za pomocą odcinka.

Własności środkowych trójkątów

Mediana dzieli trójkąt na dwa trójkąty o równych polach.

Środkowe trójkąta przecinają się w jednym punkcie, co dzieli każdą z nich w stosunku 2:1, licząc od wierzchołka. Ten punkt nazywa się Środek ciężkości trójkąt.

Cały trójkąt jest podzielony przez jego środkowe na sześć równych trójkątów.

Dwusieczna

Dwusieczne(z łac. bis – dwukrotnie i seko – cięte) to odcinki linii prostych zamknięte w trójkącie przecinającym jego kąty na pół (patrz ryc. 4).

Aby skonstruować dwusieczną, należy wykonać następujące kroki:

1) skonstruować półprostą wychodzącą z wierzchołka kąta i dzieląc ją na dwie równe części (dwusieczną kąta);

2) znajdź punkt przecięcia dwusiecznej kąta trójkąta z Przeciwna strona;

3) wybierz odcinek łączący wierzchołek trójkąta z punktem przecięcia po przeciwnej stronie.

Własności dwusiecznych trójkąta

Dwusieczna kąta trójkąta dzieli przeciwny bok w stosunku równym stosunkowi dwóch sąsiednich boków.

Dwusieczne kątów wewnętrznych trójkąta przecinają się w jednym punkcie. Punkt ten nazywany jest środkiem okręgu wpisanego.

Dwusieczne kąta wewnętrznego i zewnętrznego są prostopadłe.

Jeżeli dwusieczna kąta zewnętrznego trójkąta przecina przedłużenie przeciwległego boku, wówczas ADBD=ACBC.

Dwusieczne jednego wewnętrznego i dwóch narożniki zewnętrzne trójkąty przecinają się w jednym punkcie. Ten punkt jest środkiem jednego z trzech wykreśla ten trójkąt.

Podstawy dwusiecznych dwóch kątów wewnętrznych i jednego zewnętrznego kąta trójkąta leżą na tej samej prostej, jeśli dwusieczna kąta zewnętrznego nie jest równoległa do przeciwnej strony trójkąta.

Jeżeli dwusieczne kątów zewnętrznych trójkąta nie są równoległe do przeciwległych boków, to ich podstawy leżą na tej samej prostej.

Kąty wewnętrzne trójkąta nazywane są dwusieczną trójkąta.
Przez dwusieczną kąta trójkąta rozumie się także odcinek pomiędzy jego wierzchołkiem a punktem przecięcia dwusiecznej z przeciwległym bokiem trójkąta.
Twierdzenie 8. Trzy dwusieczne trójkąta przecinają się w jednym punkcie.
Rzeczywiście, rozważmy najpierw punkt P przecięcia dwóch dwusiecznych, na przykład AK 1 i VK 2. Punkt ten jest jednakowo oddalony od boków AB i AC, gdyż leży na dwusiecznej kąta A, i równie oddalony od boków AB i BC, jak należy do dwusiecznej kąta B. Oznacza to, że jest jednakowo oddalony od boki AC i BC i tym samym należy do trzeciej dwusiecznej CK 3, to znaczy w punkcie P wszystkie trzy dwusieczne przecinają się.
Własności dwusiecznych kątów wewnętrznych i zewnętrznych trójkąta
Twierdzenie 9. Dwusieczna kącik wewnętrzny trójkąta dzieli przeciwległy bok na części proporcjonalne do sąsiednich boków.
Dowód. Rozważmy trójkąt ABC i dwusieczną jego kąta B. Poprowadźmy przez wierzchołek C linię prostą CM, równoległą do dwusiecznej BC, aż przetnie się ona w punkcie M z kontynuacją boku AB. Ponieważ VC jest dwusieczną kąta ABC, to ∠ ABC = ∠ KBC. Dalej, ∠ АВК=∠ ВСМ, jako kąty odpowiednie dla prostych równoległych i ∠ КВС=∠ ВСМ, jako kąty poprzeczne dla prostych równoległych. Stąd ∠ ВСМ=∠ ВМС, a zatem trójkąt ВСМ jest równoramienny, stąd ВС=ВМ. Zgodnie z twierdzeniem o prostych równoległych przecinających boki kąta mamy AK:K C=AB:VM=AB:BC, co należało udowodnić.
Twierdzenie 10 Dwusieczna kąta zewnętrznego B trójkąt ABC ma podobną właściwość: odcinki AL i CL od wierzchołków A i C do punktu L przecięcia dwusiecznej z kontynuacją boku AC są proporcjonalne do boków trójkąta: AL: C.L.=AB:BC.
Właściwość tę udowadnia się w taki sam sposób, jak poprzednią: na rysunku poprowadzono linię pomocniczą SM równolegle do dwusiecznej BL. Kąty BMC i BC są równe, co oznacza, że ​​boki BM i BC trójkąta BMC są równe. Z tego dochodzimy do wniosku AL:CL=AB:BC.

Twierdzenie d4. (pierwszy wzór na dwusieczną): Jeśli w trójkącie ABC odcinek AL jest dwusieczną kąta A, to AL? = AB·AC - LB·LC.

Dowód: Niech M będzie punktem przecięcia prostej AL z okręgiem opisanym na trójkącie ABC (rys. 41). Kąt BAM zgodnie z konwencją jest równy kątowi MAC. Kąty BMA i BCA są przystające jako kąty wpisane oparte na tej samej cięciwie. Oznacza to, że trójkąty BAM i LAC są podobne pod dwoma kątami. Dlatego AL: AC = AB: AM. Zatem AL · AM = AB · AC<=>AL (AL + LM) = AB AC<=>GLIN? = AB · AC - AL · LM = AB · AC - BL · LC. To właśnie należało udowodnić. Uwaga: twierdzenie o odcinkach przecinających się cięciw w okręgu i o kątach wpisanych można znaleźć w temacie okrąg i okrąg.

Twierdzenie d5. (drugi wzór na dwusieczną): W trójkącie ABC o bokach AB=a, AC=b i kącie A równym 2? i dwusieczna l, równość zachodzi:
l = (2ab / (a+b)) cos?.

Dowód: Niech ABC będzie danym trójkątem, AL jego dwusieczną (rys. 42), a=AB, b=AC, l=AL. Następnie S ABC = S ALB + S ALC. Dlatego absyna2? = alzyna? +blisin?<=>2absyn?·cos? = (a + b) lsin?<=>l = 2·(ab / (a+b))· cos?. Twierdzenie zostało udowodnione.

Geometria jest jedną z najbardziej złożonych i zagmatwanych nauk. W nim to, co na pierwszy rzut oka wydaje się oczywiste, bardzo rzadko okazuje się prawdą. Dwusieczne, wysokości, środkowe, rzuty, styczne – ogromna ilość naprawdę trudnych terminów, które bardzo łatwo można pomylić.

W rzeczywistości przy odpowiednim pragnieniu można zrozumieć teorię o dowolnej złożoności. Jeśli chodzi o dwusieczne, środkowe i wysokości, musisz zrozumieć, że nie są one charakterystyczne tylko dla trójkątów. Na pierwszy rzut oka to proste linie, ale każdy z nich ma swoje właściwości i funkcje, których znajomość znacznie upraszcza rozwiązanie problemy geometryczne. Jaka jest zatem dwusieczna trójkąta?

Definicja

Sam termin „dwusieczna” pochodzi z połączenia Słowa łacińskie„dwa” i „cięcie”, „cięcie”, co już pośrednio wskazuje na jego właściwości. Zazwyczaj dzieciom przedstawianym ten promień podaje się krótkie zdanie do zapamiętania: „Dwusieczna to szczur, który biega po rogach i dzieli róg na pół”. Oczywiście takie wyjaśnienie nie jest odpowiednie dla starszych uczniów, a poza tym zwykle pyta się ich nie o kąt, ale o figurę geometryczną. Zatem dwusieczna trójkąta jest półprostą, która łączy wierzchołek trójkąta z przeciwną stroną, dzieląc kąt na dwie równe części. Punkt po przeciwnej stronie, w którym dochodzi do dwusiecznej dowolny trójkąt jest wybierany losowo.

Podstawowe funkcje i właściwości

Belka ta ma kilka podstawowych właściwości. Po pierwsze, ponieważ dwusieczna trójkąta przecina kąt na pół, każdy punkt na nim leżący będzie włączony równa odległość z boków tworzących górę. Po drugie, w każdym trójkącie można narysować trzy dwusieczne, zgodnie z liczbą dostępnych kątów (stąd w tym samym czworokącie będzie ich już cztery itd.). Punkt, w którym przecinają się wszystkie trzy promienie, jest środkiem okręgu wpisanego w trójkąt.

Właściwości stają się bardziej złożone

Skomplikujmy trochę teorię. Inny ciekawa nieruchomość: dwusieczna kąta trójkąta dzieli przeciwny bok na odcinki, których stosunek jest równy stosunkowi boków tworzących wierzchołek. Na pierwszy rzut oka jest to skomplikowane, ale w rzeczywistości wszystko jest proste: na proponowanym rysunku RL: LQ = PR: PK. Nawiasem mówiąc, właściwość ta została nazwana „Twierdzeniem o dwusiecznej” i po raz pierwszy pojawiła się w pracach starożytnego greckiego matematyka Euklidesa. W jednym z rosyjskich podręczników przypomniano o nim dopiero w pierwszej ćwierci XVII wieku.

To trochę bardziej skomplikowane. W czworokącie dwusieczna odcina trójkąt równoramienny. Ten rysunek pokazuje wszystko równe kąty dla mediany AF.

A w czworokątach i trapezach dwusieczne kątów jednostronnych są do siebie prostopadłe. Na pokazanym rysunku kąt APB wynosi 90 stopni.

W trójkącie równoramiennym

Dwusieczna trójkąta równoramiennego jest znacznie bardziej użyteczną półprostą. Jest to jednocześnie nie tylko dzielnik kąta na pół, ale także mediana i wysokość.

Mediana to odcinek wychodzący z jakiegoś narożnika i przypadający na środek przeciwnej strony, dzielący go w ten sposób na równe części. Wysokość to prostopadłość schodząca z wierzchołka na przeciwną stronę; za jej pomocą każdy problem można sprowadzić do prostego i prymitywnego twierdzenia Pitagorasa. W tej sytuacji dwusieczna trójkąta jest równa pierwiastkowi różnicy między kwadratem przeciwprostokątnej i drugiej nogi. Nawiasem mówiąc, ta właściwość jest najczęściej spotykana w problemach geometrycznych.

Aby skonsolidować: w tym trójkącie dwusieczna FB to mediana (AB = BC) i wysokość (kąty FBC i FBA wynoszą 90 stopni).

W konturze

O czym więc musisz pamiętać? Dwusieczna trójkąta to półprosta, która przecina jego wierzchołek na pół. Na przecięciu trzech promieni znajduje się środek okręgu wpisanego w dany trójkąt (jedyna wada tej właściwości to brak wartość praktyczna i służy jedynie do prawidłowego wykonania rysunku). Dzieli także przeciwną stronę na odcinki, których stosunek jest równy stosunkowi boków, pomiędzy którymi przeszedł ten promień. W czworoboku właściwości stają się nieco bardziej skomplikowane, ale, co prawda, praktycznie nigdy nie pojawiają się problemy poziom szkolny, dlatego zazwyczaj nie porusza się ich w programie.

Dwusieczna trójkąta równoramiennego jest największym marzeniem każdego ucznia. Jest to zarówno mediana (to znaczy dzieli przeciwną stronę na pół), jak i wysokość (prostopadle do tej strony). Rozwiązywanie problemów z taką dwusieczną sprowadza się do twierdzenia Pitagorasa.

Znajomość podstawowych funkcji dwusiecznej i jej podstawowych właściwości jest niezbędna do rozwiązywania problemów geometrycznych zarówno średnich, jak i wysoki poziom trudności. W rzeczywistości promień ten występuje tylko w planimetrii, więc nie można powiedzieć, że zapamiętywanie informacji na jego temat pozwoli ci poradzić sobie z wszelkiego rodzaju zadaniami.

Jaka jest dwusieczna kąta w trójkącie? Odpowiadając na to pytanie, z ust niektórych osób wychodzi słynny szczur biegający po kątach i dzielący róg na pół.” Jeśli odpowiedź miałaby być „humoryczna”, to być może jest ona poprawna. punkt naukowy Z perspektywy odpowiedź na to pytanie powinna brzmieć mniej więcej tak: zaczynając od wierzchołka kąta i dzieląc go na dwie równe części. W geometrii figura ta jest również postrzegana jako odcinek dwusiecznej przed jej przecięciem z przeciwny bok trójkąta. To nie jest błędna opinia. Ale co jeszcze wiadomo o dwusiecznej kąta, poza jego definicją?

Jak ktokolwiek inny umiejscowienie punktów, ma swoje własne znaki. Pierwszy z nich nie jest raczej nawet znakiem, ale twierdzeniem, które można krótko wyrazić w następujący sposób: „Jeśli przeciwną stronę podzielimy na dwie części dwusieczną, wówczas ich stosunek będzie odpowiadał stosunkowi boki dużego trójkąta.”

Druga jego właściwość: punkt przecięcia dwusiecznych wszystkich kątów nazywany jest środkiem.

Trzeci znak: dwusieczne jednego wewnętrznego i dwóch zewnętrznych kątów trójkąta przecinają się w środku jednego z trzech wpisanych okręgów.

Czwarta właściwość dwusiecznej kąta w trójkącie polega na tym, że jeśli każdy z nich jest równy, to drugi jest równoramienny.

Piąty znak również dotyczy trójkąta równoramiennego i jest główną wytyczną przy jego rozpoznawaniu na rysunku za pomocą dwusiecznych, a mianowicie: w trójkącie równoramiennym służy jednocześnie jako mediana i wysokość.

Dwusieczną kąta można skonstruować za pomocą kompasu i linijki:

Reguła szósta głosi, że nie da się zbudować trójkąta korzystając z tego ostatniego jedynie z istniejących dwusiecznych, tak jak nie da się w ten sposób skonstruować podwojenia sześcianu, kwadratury koła i trisekcji kąta. Ściśle mówiąc, są to wszystkie właściwości dwusiecznej kąta trójkąta.

Jeśli uważnie przeczytałeś poprzedni akapit, być może zainteresowało Cię jedno zdanie. „Co to jest trisekcja kąta?” – pewnie zapytasz. Trisektor jest trochę podobny do dwusiecznej, ale jeśli narysujesz tę drugą, kąt zostanie podzielony na dwie równe części, a podczas konstruowania trisekcji zostanie podzielony na trzy. Naturalnie, dwusieczna kąta jest łatwiejsza do zapamiętania, ponieważ w szkole nie uczy się trisekcji. Ale dla ścisłości o tym też opowiem.

Trójsektora, jak już mówiłem, nie można zbudować jedynie za pomocą kompasu i linijki, ale można go utworzyć, korzystając z reguł Fujity i niektórych krzywych: ślimaki Pascala, czworokąty, muszle Nicomedesa, sekcje stożkowe,

Problemy z trisekcją kąta można po prostu rozwiązać za pomocą Nevsis.

W geometrii istnieje twierdzenie o trójsektorach kątów. Nazywa się to twierdzeniem Morleya. Twierdzi, że punkty przecięcia trójsektorów każdego kąta znajdującego się w środku będą wierzchołkami

Mały czarny trójkąt wewnątrz dużego zawsze będzie równoboczny. Twierdzenie to odkrył brytyjski naukowiec Frank Morley w 1904 roku.

Oto, ile możesz się dowiedzieć o dzieleniu kąta: Trójsieczna i dwusieczna kąta zawsze wymagają szczegółowych wyjaśnień. Ale tutaj podano wiele definicji, których jeszcze nie ujawniłem: ślimak Pascala, muszla Nicomedesa itp. Spokojnie, można by o nich napisać jeszcze wiele.