Scenariusz lekcji dla klasy 11 na temat:
„N-ty pierwiastek liczby rzeczywistej. »
Cel lekcji: Kształtowanie u studentów całościowego rozumienia korzenia N-tego stopnia i pierwiastka arytmetycznego stopnia n, kształtowanie umiejętności obliczeniowych, umiejętności świadomego i racjonalnego wykorzystania właściwości pierwiastka przy rozwiązywaniu różnych problemów zawierających pierwiastek. Sprawdź poziom zrozumienia przez uczniów pytań z tematu.
Temat:stworzyć znaczące i organizacyjne warunki do opanowania materiału na ten temat „ Wyrażenia numeryczne i alfabetyczne » na poziomie percepcji, zrozumienia i pierwotnego zapamiętywania; rozwinąć umiejętność wykorzystania tych informacji przy obliczaniu n-tego pierwiastka liczby rzeczywistej;
Metatemat: promować rozwój umiejętności informatycznych; umiejętność analizowania, porównywania, uogólniania, wyciągania wniosków;
Osobisty: pielęgnuj umiejętność wyrażania swojego punktu widzenia, słuchania odpowiedzi innych, uczestniczenia w dialogu i rozwijaj umiejętność pozytywnej współpracy.
Planowany wynik.
Temat: potrafić zastosować w sytuacji rzeczywistej właściwości n-tego pierwiastka liczby rzeczywistej przy obliczaniu pierwiastków i rozwiązywaniu równań.
Osobisty: rozwijać uważność i dokładność w obliczeniach, wymagającą postawę wobec siebie i swojej pracy oraz kultywować poczucie wzajemnej pomocy.
Rodzaj lekcji: lekcja dotycząca studiowania i wstępnego utrwalania nowej wiedzy
Motywacja do działań edukacyjnych:
Mądrość Wschodu głosi: „Możesz doprowadzić konia do wodopoju, ale nie możesz go zmusić do picia”. Nie da się zmusić człowieka do dobrej nauki, jeśli on sam nie stara się uczyć więcej i nie ma ochoty pracować nad swoim rozwojem umysłowym. W końcu wiedza jest wiedzą tylko wtedy, gdy zdobywa się ją wysiłkiem myśli, a nie samą pamięcią.
Nasza lekcja odbędzie się pod hasłem: „Każdy szczyt zdobędziemy, jeśli będziemy do niego dążyć”. Podczas lekcji ty i ja musimy mieć czas na pokonanie kilku szczytów i każdy z was musi włożyć cały swój wysiłek w zdobycie tych szczytów.
„Dzisiaj mamy lekcję, podczas której musimy zapoznać się z nowym pojęciem: „N-ty pierwiastek” i nauczyć się, jak zastosować to pojęcie do transformacji różnych wyrażeń.
Twoim celem jest aktywizacja posiadanej wiedzy poprzez różne formy pracy, przyczynienie się do przestudiowania materiału i uzyskanie dobrych ocen.”
W ósmej klasie uczyliśmy się pierwiastka kwadratowego z liczby rzeczywistej. Pierwiastek kwadratowy jest powiązany z funkcją formy y=X 2. Chłopaki, pamiętacie, jak obliczyliśmy pierwiastek kwadratowy i jakie miał on właściwości?
a) badanie indywidualne: 
co to za wyraz
co nazywa się pierwiastkiem kwadratowym
co nazywa się arytmetycznym pierwiastkiem kwadratowym
wymień właściwości pierwiastka kwadratowego
b) praca w parach: oblicz.
-
2. Aktualizacja wiedzy i stworzenie sytuacji problemowej: Rozwiąż równanie x 4 =1. Jak możemy to rozwiązać? (Analityczne i graficzne). Rozwiążmy to graficznie. Aby to zrobić, w jednym układzie współrzędnych skonstruujemy wykres funkcji y = x 4 prostej y = 1 (ryc. 164 a). Przecinają się w dwóch punktach: A (-1;1) i B(1;1). Odcięte punktów A i B, tj. x 1 = -1,
x 2 = 1 są pierwiastkami równania x 4 = 1.
Rozumując dokładnie w ten sam sposób, znajdujemy pierwiastki równania x 4 =16: Teraz spróbujmy rozwiązać równanie x 4 =5; ilustracja geometryczna jest pokazana na ryc. 164 b. Oczywiste jest, że równanie ma dwa pierwiastki x 1 i x 2, a liczby te, podobnie jak w dwóch poprzednich przypadkach, są wzajemnie przeciwne. Ale dla pierwszych dwóch równań pierwiastki znaleziono bez trudności (można je znaleźć bez użycia wykresów), ale z równaniem x 4 = 5 są problemy: z rysunku nie możemy wskazać wartości pierwiastków, ale możemy można jedynie ustalić, że jeden pierwiastek znajduje się na lewo od punktu -1, a drugi na prawo od punktu 1.
x 2 = - (czytaj: „czwarty pierwiastek z pięciu”).
Rozmawialiśmy o równaniu x 4 = a, gdzie a 0. Równie dobrze moglibyśmy porozmawiać o równaniu x 4 = a, gdzie a 0, n jest dowolną liczbą naturalną. Na przykład, rozwiązując graficznie równanie x 5 = 1, znajdujemy x = 1 (ryc. 165); rozwiązując równanie x 5 "= 7, ustalamy, że równanie ma jeden pierwiastek x 1, który znajduje się na osi x nieco na prawo od punktu 1 (patrz rys. 165). Dla liczby x 1 wprowadzamy notacja .
Definicja 1. N-ty pierwiastek liczby nieujemnej a (n = 2, 3,4, 5,...) jest liczbą nieujemną, która podniesiona do potęgi n daje liczbę a.
Liczba ta jest oznaczana, liczba a nazywana jest liczbą pierwiastkową, a liczba n jest wykładnikiem pierwiastka.
Jeśli n=2, to zwykle nie mówią „drugi pierwiastek”, ale mówią „pierwiastek kwadratowy”. W tym przypadku tego nie zapisują. Jest to szczególny przypadek, który specjalnie studiowałeś na kursie algebry w ósmej klasie .
Jeśli n = 3, to zamiast „pierwiastka trzeciego stopnia” często mówi się „pierwiastkiem sześciennym”. Twoja pierwsza znajomość z pierwiastkiem sześciennym miała miejsce także na kursie algebry w ósmej klasie. Użyliśmy pierwiastków sześciennych w algebrze w dziewiątej klasie.
Zatem jeśli a ≥0, n= 2,3,4,5,…, to 1) ≥ 0; 2) () n = za.
Ogólnie rzecz biorąc, =b i bn =a są tą samą zależnością między liczbami nieujemnymi a i b, ale tylko druga jest opisana prostszym językiem (używa prostszych symboli) niż pierwsza.
Operację znajdowania pierwiastka liczby nieujemnej nazywa się zwykle ekstrakcją pierwiastkową. Ta operacja jest odwrotnością podnoszenia do odpowiedniej potęgi. Porównywać:
Jeszcze raz uwaga: w tabeli pojawiają się tylko liczby dodatnie, bo tak stanowi Definicja 1. I chociaż np. (-6) 6 = 36 jest poprawną równością, przejdź od tego do zapisu za pomocą pierwiastka kwadratowego, tj. napisz, że to niemożliwe. Z definicji liczba dodatnia oznacza = 6 (a nie -6). W ten sam sposób, chociaż 2 4 =16, t (-2) 4 =16, przechodząc do znaków pierwiastków, musimy napisać = 2 (i jednocześnie ≠-2).
Czasami wyrażenie nazywa się radykalnym (od łacińskiego słowa gadix - „korzeń”). W języku rosyjskim dość często używa się terminu radykalny, na przykład „radykalne zmiany” - oznacza to „radykalne zmiany”. Nawiasem mówiąc, samo oznaczenie rdzenia przypomina słowo gadix: symbolem jest stylizowana litera r.
Operację wyodrębniania pierwiastka wyznacza się także dla liczby pierwiastkowej ujemnej, ale tylko w przypadku wykładnika pierwiastkowego nieparzystego. Innymi słowy, równość (-2) 5 = -32 można przepisać w równoważnej formie jako =-2. Stosowana jest następująca definicja.
Definicja 2. Pierwiastek nieparzysty n liczby ujemnej a (n = 3,5,...) jest liczbą ujemną, która podniesiona do potęgi n daje liczbę a.
Liczbę tę, podobnie jak w definicji 1, oznacza się przez , liczba a jest liczbą pierwiastkową, a liczba n jest wykładnikiem pierwiastka.
Zatem jeśli a , n=,5,7,…, to: 1) 0; 2) () n = za.
Zatem pierwiastek parzysty ma znaczenie (tj. jest zdefiniowany) tylko dla nieujemnego wyrażenia radykalnego; dziwny pierwiastek ma sens dla każdego radykalnego wyrażenia.
5. Pierwotna konsolidacja wiedzy:
1. Oblicz: nr 33,5; 33,6; 33,74 33,8 ustnie a) ; B) ; V) ; G) .
d) Inaczej niż w poprzednich przykładach, nie możemy wskazać dokładnej wartości liczby.Widoczne jest tylko, że jest ona większa od 2, ale mniejsza od 3, gdyż 2 4 = 16 (to jest mniej niż 17) i 3 4 = 81 (to ponad 17). Zauważamy, że 24 jest znacznie bliżej 17 niż 34, więc istnieje powód, aby użyć przybliżonego znaku równości:
2.
Znajdź znaczenie poniższych wyrażeń.
Umieść odpowiednią literę obok przykładu.
Trochę informacji o wielkim naukowcu. Rene Descartes (1596-1650) Francuski szlachcic, matematyk, filozof, fizjolog, myśliciel. Rene Descartes położył podwaliny pod geometrię analityczną i wprowadził oznaczenia literowe x 2, y 3. Każdy zna współrzędne kartezjańskie, które definiują funkcję zmiennej.
3 . Rozwiąż równania: a) = -2; b) = 1; c) = -4
Rozwiązanie: a) Jeśli = -2, to y = -8. W rzeczywistości musimy poszerzyć obie strony danego równania do sześcianu. Otrzymujemy: 3x+4= - 8; 3x= -12; x = -4. b) Rozumując jak w przykładzie a), podnosimy obie strony równania do czwartej potęgi. Otrzymujemy: x=1.
c) Nie ma potrzeby podnosić go do potęgi czwartej, równanie to nie ma rozwiązań. Dlaczego? Ponieważ zgodnie z definicją 1 pierwiastek parzysty jest liczbą nieujemną.
Zwraca się uwagę na kilka zadań. Po wykonaniu tych zadań poznasz imię i nazwisko wielkiego matematyka. Ten naukowiec jako pierwszy wprowadził znak korzenia w 1637 roku.
6. Odpocznijmy trochę.
Klasa podnosi ręce - to jest „jeden”.
Głowa się odwróciła – było „dwa”.
Bez dwóch zdań, patrz w przyszłość – to „trzy”.
Ręce rozszerzyły się na boki do „czterech”
Wciśnięcie ich na siłę w dłonie to „przybicie piątki”.
Wszyscy chłopaki muszą usiąść - jest „sześć”.
7. Samodzielna praca:
opcja: opcja 2:
b) 3-. b) 12 -6.
2. Rozwiąż równanie: a) x 4 = -16; b) 0,02x 6 -1,28=0; a) x 8 = -3; b)0,3x9 – 2,4=0;
c) = -2; c) = 2
8. Powtórzenie: Znajdź pierwiastek równania = - x. Jeżeli równanie ma więcej niż jeden pierwiastek, wpisz odpowiedź z mniejszym pierwiastkiem.
9. Refleksja: Czego nauczyłeś się na lekcji? Co było interesujące? Co było trudne?
Formuły stopni wykorzystywane w procesie redukcji i upraszczania wyrażeń złożonych, w rozwiązywaniu równań i nierówności.
Numer C Jest N-ta potęga liczby A Gdy:
Operacje na stopniach.
1. Mnożąc stopnie o tej samej podstawie, dodaje się ich wskaźniki:
jestem·a n = za m + n .
2. Dzieląc stopnie o tej samej podstawie, ich wykładniki odejmuje się:
3. Stopień iloczynu 2 lub więcej czynników jest równy iloczynowi stopni tych czynników:
(abc…) n = za n · b n · do n …
4. Stopień ułamka jest równy stosunkowi stopni dywidendy i dzielnika:
(a/b) n = za n /b n .
5. Podnosząc potęgę do potęgi, wykładniki mnoży się:
(a m) n = za m n .
Każdy powyższy wzór jest prawdziwy w kierunkach od lewej do prawej i odwrotnie.
Na przykład. (2 3 5/15)² = 2² 3² 5²/15² = 900/225 = 4.
Operacje z korzeniami.
1. Pierwiastek iloczynu kilku czynników jest równy iloczynowi pierwiastków tych czynników:
2. Pierwiastek stosunku jest równy stosunkowi dywidendy i dzielnika pierwiastków:
3. Podnosząc pierwiastek do potęgi, wystarczy podnieść liczbę pierwiastkową do tej potęgi:
4. Jeśli zwiększysz stopień zakorzenienia N raz i jednocześnie wbudować N potęga jest liczbą radykalną, wówczas wartość pierwiastka nie ulegnie zmianie:
5. Jeśli zmniejszysz stopień zakorzenienia N jednocześnie wyodrębnij korzeń N-ta potęga liczby pierwiastkowej, wówczas wartość pierwiastka nie ulegnie zmianie:
Stopień z wykładnikiem ujemnym. Potęgę pewnej liczby o wykładniku niedodatnim (całkowitym) definiuje się jako podzieloną przez potęgę tej samej liczby o wykładniku równym wartości bezwzględnej wykładnika niedodatniego:
Formuła jestem:a n = a m - n można używać nie tylko do M> N, ale także z M< N.
Na przykład. A4:a 7 = a 4 - 7 = a -3.
Do formuły jestem:a n = a m - n stało się sprawiedliwe, kiedy m=n, wymagana jest obecność stopnia zerowego.
Stopień z indeksem zerowym. Potęga dowolnej liczby różnej od zera z wykładnikiem zerowym jest równa jeden.
Na przykład. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.
Stopień z wykładnikiem ułamkowym. Aby podnieść liczbę rzeczywistą A do stopnia m/n, musisz wyodrębnić root N stopień M-ta potęga tej liczby A.