Передаточная функция и ее свойства. Определение передаточной функции

Преобразование ДУ по Лапласу дает возможность ввести удобное понятие передаточной функции, характеризующей динамические свойства системы.

Например, операторное уравнение

3s 2 Y(s) + 4sY(s) + Y(s) = 2sX(s) + 4X(s)

можно преобразовать, вынеся X(s) и Y(s) за скобки и поделив друг на друга:

Y(s)*(3s 2 + 4s + 1) = X(s)*(2s + 4)

Полученное выражение называется передаточной функцией.

Передаточной функцией называется отношение изображения выходного воздействия Y(s) к изображению входного X(s) при нулевых начальных условиях.

(2.4)

Передаточная функция является дробно-рациональной функцией комплексной переменной:

где B(s) = b 0 + b 1 s + b 2 s 2 + … + b m s m - полином числителя,

А(s) = a 0 + a 1 s + a 2 s 2 + … + a n s n - полином знаменателя.

Передаточная функция имеет порядок, который определяется порядком полинома знаменателя (n).

Из (2.4) следует, что изображение выходного сигнала можно найти как

Y(s) = W(s)*X(s).

Так как передаточная функция системы полностью определяет ее динамические свойства, то первоначальная задача расчета АСР сводится к определению ее передаточной функции.

2.6.2 Примеры типовых звеньев

Звеном системы называется ее элемент, обладающий определенными свойствами в динамическом отношении. Звенья систем регулирования могут иметь разную физическую природу (электрические, пневматические, механические и др. звенья), но описываться одинаковыми ДУ, а соотношение входных и выходных сигналов в звеньях описываться одинаковыми передаточными функциями.

В ТАУ выделяют группу простейших звеньев, которые принято называть типовыми. Статические и динамические характеристики типовых звеньев изучены достаточно полно. Типовые звенья широко используются при определении динамических характеристик объектов управления. Например, зная переходную характеристику, построенную с помощью самопишущего прибора, часто можно определить, к какому типу звеньев относится объект управления, а следовательно, его передаточную функцию, дифференциальное уравнение и т.д., т.е. модель объекта. Типовые звенья Любое сложное звено может быть представлено как соединение простейших звеньев.

К простейшим типовым звеньям относятся:

усилительное,

инерционное (апериодическое 1-го порядка),

интегрирующие (реальное и идеальное),

дифференцирующие (реальное и идеальное),

апериодическое 2-го порядка,

колебательное,

запаздывающее.

1) Усилительное звено.

Звено усиливает входной сигнал в К раз. Уравнение звена у = К*х, передаточная функцияW(s) = К. Параметр К называется коэффициентом усиления .

Выходной сигнал такого звена в точности повторяет входной сигнал, усиленный в К раз (см. рисунок 1.18).

При ступенчатом воздействии h(t) = K.

Примерами таких звеньев являются: механические передачи, датчики, безынерционные усилители и др.

2) Интегрирующее.

2.1) Идеальное интегрирующее.

Выходная величина идеального интегрирующего звена пропорциональна интегралу входной величины:

; W(s) =

При подаче на вход звена ступенчатого воздействия x(t) = 1 выходной сигнал постоянно возрастает (см. рисунок 1.19):

Это звено астатическое, т.е. не имеет установившегося режима.

Примером такого звена может служить емкость, наполняемая жидкостью. Входной параметр – расход поступающей жидкости, выходной - уровень. Изначально емкость пуста и при отсутствии расхода уровень равен нулю, но если включить подачу жидкости, уровень начинает равномерно увеличиваться.

2.2) Реальное интегрирующее.

Передаточная функция этого звена имеет вид

W(s) =
.

Переходная характеристика в отличие от идеального звена является кривой (см. рис. 1.20):

h(t) = K . (t – T) + K . T . e - t / T .

Примером интегрирующего звена является двигатель постоянного тока с независимым возбуждением, если в качестве входного воздействия принять напряжение питания статора, а выходного - угол поворота ротора. Если напряжение на двигатель не подается, то ротор не двигается и угол его поворота можно принять равным нулю. При подаче напряжения ротор начинает раскручиваться, а угол его поворота сначала медленно вследствие инерции, а затем быстрее увеличиваться до достижения определенной скорости вращения.

3) Дифференцирующее.

3.1) Идеальное дифференцирующее.

Выходная величина пропорциональна производной по времени от входной:

; W(s) = K*s

При ступенчатом входном сигнале выходной сигнал представляет собой импульс (-функцию): h(t) = K . (t).

3.2) Реальное дифференцирующее.

Идеальные дифференцирующие звенья физически не реализуемы. Большинство объектов, которые представляют собой дифференцирующие звенья, относятся к реальным дифференцирующим звеньям, передаточные функции которых имеют вид

W(s) =
.

Переходная характеристика:
.

Пример звена: электрогенератор. Входной параметр – угол поворота ротора, выходной – напряжение. Если ротор повернуть на некоторый угол, то на клеммах появится напряжение, но если ротор далее не вращать, напряжение снизится до нуля. Резко упасть оно не может вследствие наличия индуктивности у обмотки.

4) Апериодическое (инерционное).

Этому звену соответствуют ДУ и ПФ вида

; W(s) =
.

Определим характер изменения выходной величины этого звена при подаче на вход ступенчатого воздействия величины х 0 .

Изображение ступенчатого воздействия: X(s) = . Тогда изображение выходной величины:

Y(s) = W(s) X(s) =
= K x 0
.

Разложим дробь на простые:

=
+ =
= -
= -

Оригинал первой дроби по таблице: L -1 {} = 1, второй:

L -1 {} = .

Тогда окончательно получаем

y(t) = K x 0 (1 - ).

Постоянная Т называется постоянной времени .

Большинство тепловых объектов являются апериодическими звеньями. Например, при подаче на вход электрической печи напряжения ее температура будет изменяться по аналогичному закону (см. рисунок 1.22).

5) Звенья второго порядка

Звенья имеют ДУ и ПФ вида

W(s) =
.

При подаче на вход ступенчатого воздействия амплитудой х 0 переходная кривая будет иметь один из двух видов: апериодический (при Т 1  2Т 2) или колебательный (при Т 1 < 2Т 2).

В связи с этим выделяют звенья второго порядка:

апериодическое 2-го порядка (Т 1  2Т 2),

инерционное (Т 1 < 2Т 2),

консервативное (Т 1 = 0).

6) Запаздывающее.

Если при подаче на вход объекта некоторого сигнала он реагирует на этот сигнал не моментально, а спустя некоторое время, то говорят, что объект обладает запаздыванием.

Запаздывание – это интервал времени от момента изменения входного сигнала до начала изменения выходного.

Запаздывающее звено – это звено, у которого выходная величина у в точности повторяет входную величину х с некоторым запаздыванием :

y(t) = x(t - ).

Передаточная функция звена:

W(s) = e -  s .

Примеры запаздываний: движение жидкости по трубопроводу (сколько жидкости было закачано в начале трубопровода, столько ее выйдет в конце, но через некоторое время, пока жидкость движется по трубе), движение груза по конвейеру (запаздывание определяется длиной конвейера и скоростью движения ленты) и т.д.

Будем полагать, что процессы, проходящие в САР, описываются линейными дифференциальными уравнениями с постоянными коэффициентами. Таким образом, мы ограничимся рассмотрением линейных САР с постоянными параметрами, т.е. параметрами, не зависящими ни от времени, ни от состояния системы.

Пусть для динамической системы (см. рис.)

дифференциальное уравнение записано в операторной форме

где D(P) и M(P) – многочлены от P.

P – оператор дифференцирования;

x(t) – выходная координата системы;

g(t) – входное воздействие.

Преобразуем (1) по Лапласу, предположив нулевые начальные условия.

Введем обозначения

;
,

получим, учитывая, что

Используем обозначение

, (5)

тогда уравнение (3) примет вид:

. (6)

Уравнение (6) связывает изображение Х (S) выходной координаты системы с изображением G(S) входного воздействия. Функция Ф(S) характеризует динамические свойства системы. Как следует из (4) и (5), эта функция не зависит от воздействия, приложенного к системе, а зависит лишь от параметров системы. Учитывая (6) функцию Ф(S ) можно записать следующим образом

Функция Ф(S) называется передаточной функцией системы. Из (7) видно, что передаточная функция представляет собой отношение изображения по Лапласу входной координаты системы к изображению по Лапласу входного воздействия при нулевых начальных условиях.

Зная передаточную функцию системы Ф(S) определив изображение G(S) воздействия g(t), приложенного к системе можно найти по (6) изображение Х(S) выходной координаты системы х (t), затем, переходя от изображения Х(S) к оригиналу х(t) получить процесс изменения выходной координаты системы при приложении к этой системе входного воздействия.

Многочлен в знаменателе передаточной функции, называется характеристическим полиномом, а уравнение

характеристическим уравнением.

Для системы, описываемой уравнением n-го порядка, характеристическое уравнение представляет собой алгебраическое уравнение n-ой степени и имеет n корней, S 1 S 2… S n , среди которых могут быть как вещественные, так и комплексно – сопряженные.

Корень многочлена стоящего в знаменателе передаточной функции называются полюсами этой передаточной функции, а в числителе – нулями.

Представим многочлены в виде:

Поэтому передаточная функция

. (11)

Отсюда следует, что задание нулей и полюсов определяет передаточную функцию с точностью до постоянного множителя .

В том случае, когда вещественные части всех полюсов передаточной функции отрицательны, т.е.

, k=1,2…n,система называется устойчивой. В ней переходная составляющая выходной величины (собственного движения) с течением времени затухает.

Частотные характеристики системы

Преобразование линейной системой гармонического входного сигнала

Передаточная функция автоматической системы по отношению к управляющему воздействию g(t) есть

(1)

Пусть воздействие

g(t) = A 1 sin ω 1 t,

И требуется определить изменение X(t) в установившемся процессе, т.Е. Найти частное решение уравнения (1), рассмотренное ранее.

Заметим, что в результате приложения воздействия в системе возникает переходной процесс, который с течением времени стремится к 0, т.к. система предполагается устойчивой. Его мы не рассматриваем. Подобный переход позволяет считать воздействие g(t) заданным на всей оси времени (не рассматривается начальный момент приложения к системе управляющего воздействия) и использовать полученное ранее выражение для спектральной характеристики синусоиды.

Для определения x(t) в установившемся режиме преобразуем обе части дифференциального уравнения (1) по Фурье. При этом имеем в виду, что

;

Заметим, что

передаточная функция, в которой S

Кроме того

Тогда спектральная характеристика вынужденных колебаний регулируемой величины определяется из (3) в виде

В (4) функциональный множитель Ф(jω) учитывает изменение спектральной характеристики при прохождении воздействия g(t) через линейную динамическую систему.

Представим комплексную функцию Ф(jω) в показательной форме

и найдем х(t) по формуле обратного преобразования Фурье:

используя фильтрующие свойства дельта-функции, и учитывая (5), будем иметь

Т.к.
,,

(6)

Отсюда следует, что в установившемся режиме реакция х(t) линейной автоматической системы на синусоидальные воздействия является также синусоидой. Угловые частоты входного и выходного сигнала совпадают. Амплитуда на выходе системы равна А 1 │Ф(jω) │, а начальная фаза равна argФ(jω) .

Если на вход линейной системы поступает периодическое воздействие в виде

то, используя принцип суперпозиции, справедливый для линейной системы, найдем, что в этом случае вынужденное установившееся движение системы

(7)

Причем величине ω здесь следует придавать дискретные значения, т.е. полагать ω=kω 1

Зная частотные спектры сигнала на входе, можно легко определить частотные спектры сигнала на входе системы. Если, например, известен амплитудный частотный спектр А k входного сигнала g(t), то амплитудный частотный спектр выходного сигнала есть А k │Ф(jkω 1 ) │.

В рассматриваемых выражениях функция Ф(jω) характеризует динамические свойства самой автоматической системы и не зависит от характера приложенных к системе воздействий. Она легко может быть получена из передаточной функции формальной заменой S на jω

Функция Ф(jω) от непрерывного аргумента ω называется амплитудно-фазовой характеристикой системы АФХ по отношению к управляющему воздействию g(t), приложенному к системе.

Исходя из (3) АФХ может быть определена также, как отношение спектральной характеристики сигнала на ее входе. Модуль АФХ Ф(j  )  характеризует изменение амплитуды гармонического сигнала при прохождении последнего через систему, а аргумент ее – фазовый сдвиг сигнала.

Функция Ф(j  ) получила название амплитудно-частотной характеристики (АЧХ), а функция argФ(j  ) – фазо-частотной характеристики (ФЧХ).

Пусть воздействие g(t), приложенное к автоматической системе, представляет собой комплексную гармонику с частотой  1 , т.е.

Реакция системы на подобное воздействие в установившемся режиме определяется равенством

Или используя формулу Эйлера

а также то, что

;

Интеграл в правой части равенства найдем, используя фильтрующие свойства дельта-функции.

определяет в комплексной форме установившуюся реакцию системы на воздействие в виде комплексной гармоники с частотой 1.

АФХ может быть использована не только для анализа установившихся колебаний на выходе автоматической системы, но и для определения процесса регулирования в целом. В последнем случае момент времени t 0 приложения к системе управляющего воздействия удобно считать нулевым моментом времени и воспользоваться формулами одностороннего преобразования Фурье. Определив спектральную характеристику
и найдя спектральную характеристику регулируемой величины по формуле

Изменение регулируемой величины x(t) после приложения воздействия g(t) находится по формуле обратного преобразования Фурье.

Например, операторное уравнение

3s 2 Y(s) + 4sY(s) + Y(s) = 2sX(s) + 4X(s)

можно преобразовать, вынеся X(s) и Y(s) за скобки и поделив друг на друга:

Y(s)*(3s 2 + 4s + 1) = X(s)*(2s + 4)

Полученное выражение называется передаточной функцией.

(2.4)

Передаточная функция является дробно-рациональной функцией комплексной переменной:

где B(s) = b 0 + b 1 s + b 2 s 2 + … + b m s m - полином числителя,

А(s) = a 0 + a 1 s + a 2 s 2 + … + a n s n - полином знаменателя.

Передаточная функция имеет порядок, который определяется порядком полинома знаменателя (n).

Из (2.4) следует, что изображение выходного сигнала можно найти как

Y(s) = W(s)*X(s).

Примеры типовых звеньев

К простейшим типовым звеньям относятся:

· усилительное,

· инерционное (апериодическое 1-го порядка),

· интегрирующие (реальное и идеальное),

· дифференцирующие (реальное и идеальное),

· апериодическое 2-го порядка,

· колебательное,

· запаздывающее.

1) Усилительное звено.

Звено усиливает входной сигнал в К раз. Уравнение звена у = К*х, передаточная функция W(s) = К. Параметр К называется коэффициентом усиления .

Выходной сигнал такого звена в точности повторяет входной сигнал, усиленный в К раз (см. рисунок 1.18).

При ступенчатом воздействии h(t) = K.

Примерами таких звеньев являются: механические передачи, датчики, безынерционные усилители и др.

2) Интегрирующее.

2.1) Идеальное интегрирующее.

Выходная величина идеального интегрирующего звена пропорциональна интегралу входной величины:

; W(s) =

Это звено астатическое, т.е. не имеет установившегося режима.

2.2) Реальное интегрирующее.

Передаточная функция этого звена имеет вид

Переходная характеристика в отличие от идеального звена является кривой (см. рис. 1.20):

h(t) = K . (t – T) + K . T . e - t / T .

3) Дифференцирующее.

3.1) Идеальное дифференцирующее.

Выходная величина пропорциональна производной по времени от входной:

При ступенчатом входном сигнале выходной сигнал представляет собой импульс (d-функцию): h(t) = K . d(t).

3.2) Реальное дифференцирующее.

Переходная характеристика: .

4) Апериодическое (инерционное).

Этому звену соответствуют ДУ и ПФ вида

; W(s) = .

Изображение ступенчатого воздействия: X(s) = . Тогда изображение выходной величины:

Y(s) = W(s) X(s) = = K x 0 .

Разложим дробь на простые:

= + = = - = -

Оригинал первой дроби по таблице: L -1 { } = 1, второй:

Тогда окончательно получаем

y(t) = K x 0 (1 - ).

Постоянная Т называется постоянной времени .

5) Звенья второго порядка

Звенья имеют ДУ и ПФ вида

W(s) = .

При подаче на вход ступенчатого воздействия амплитудой х 0 переходная кривая будет иметь один из двух видов: апериодический (при Т 1 ³ 2Т 2) или колебательный (при Т 1 < 2Т 2).

В связи с этим выделяют звенья второго порядка:

· апериодическое 2-го порядка (Т 1 ³ 2Т 2),

· инерционное (Т 1 < 2Т 2),

· консервативное (Т 1 = 0).

6) Запаздывающее.

Запаздывание – это интервал времени от момента изменения входного сигнала до начала изменения выходного.

Запаздывающее звено – это звено, у которого выходная величина у в точности повторяет входную величину х с некоторым запаздыванием t:

y(t) = x(t - t).

Передаточная функция звена:

W(s) = e - t s .

Соединения звеньев

Поскольку исследуемый объект в целях упрощения анализа функционирования разбит нами на звенья, то после определения передаточных функций для каждого звена встает задача объединения их в одну передаточную функцию объекта. Вид передаточной функции объекта зависит от последовательности соединения звеньев:

1) Последовательное соединение.

W об = W 1 . W 2 . W 3 …

При последовательном соединении звеньев их передаточные функции перемножаются .

2) Параллельное соединение.

W об = W 1 + W 2 + W 3 + …

При параллельном соединении звеньев их передаточные функции складываются .

3) Обратная связь

Передаточная функция по заданию (х):

«+» соответствует отрицательной ОС,

«-» - положительной.

Для определения передаточных функций объектов, имеющих более сложные соединения звеньев, используют либо последовательное укрупнение схемы, либо преобразуют по формуле Мезона .

Передаточные функции АСР

Для исследования и расчета структурную схему АСР путем эквивалентных преобразований приводят к простейшему стандартному виду «объект - регулятор» (см. рисунок 1.27). Практически все инженерные методы расчета и определения параметров настройки регуляторов применены для такой стандартной структуры.

В общем случае любая одномерная АСР с главной обратной связью путем постепенного укрупнения звеньев может быть приведена к такому виду.

Если выход системы у не подавать на ее вход, то получается разомкнутая система регулирования, передаточная функция которой определяется как произведение:

W ¥ = W p . W y

(W p - ПФ регулятора, W y - ПФ объекта управления).

Рисунок 1.28

То есть последовательность звеньев W p и W y может быть заменена одним звеном с W ¥ . Передаточную функцию замкнутой системы принято обозначать как Ф(s). Она может быть выражена через W ¥ :

Данная передаточная функция Ф з (s) определяет зависимость у от х и называется передаточной функцией замкнутой системы по каналу задающего воздействия (по заданию).

Для АСР существуют также передаточные функции по другим каналам:

Ф e (s) = = - по ошибке,

Ф в (s) = = - по возмущению,

где W у.в. (s) – передаточная функция объекта управления по каналу передачи возмущающего воздействия.

В отношении учета возмущения возможны два варианта:

Возмущение оказывает аддитивное влияние на управляющее воздействие (см. рисунок 1.29,а);

Возмущение влияет на измерения регулируемого параметра (см. рисунок 1.29,б).

Примером первого варианта может быть влияние колебаний напряжения в сети на напряжение, подаваемое регулятором на нагревательный элемент объекта. Пример второго варианта: погрешности при измерениях регулируемого параметра вследствие изменения температуры окружающей среды. W у.в. – модель влияния окружающей среды на измерения.

Рисунок 1.30

Параметры K 0 = 1, K 1 = 3, K 2 = 1,5, K 4 = 2, K 5 = 0,5.

В структурной схеме АСР звенья, соответствующие регулирующему устройству, стоят перед звеньями объекта управления и генерируют управляющее воздействие на объект u. По схеме видно, что к схеме регулятора относятся звенья 1, 2 и 3, а к схеме объекта – звенья 4 и 5.

Учитывая, что звенья 1, 2 и 3 соединены параллельно, получаем передаточную функцию регулятора как сумму передаточных функций звеньев:

Звенья 4 и 5 соединены последовательно, поэтому передаточная функция объекта управления определяется как произведение передаточных функций звеньев:

Передаточная функция разомкнутой системы:

откуда видно, что числитель В(s) = 1,5 . s 2 + 3 . s + 1, знаменатель (он же характеристический полином разомкнутой системы) А(s) = 2 . s 3 + 3 . s 2 + s. Тогда характеристический полином замкнутой системы равен:

D(s) = A(s) + B(s) = 2 . s 3 + 3 . s 2 + s + 1,5 . s 2 + 3 . s + 1 = 2 . s 3 + 4,5 . s 2 + 4 . s + 1.

Передаточные функции замкнутой системы:

по заданию ,

по ошибке .

При определении передаточной функции по возмущению принимается W у.в. = W оу. Тогда

. ¨

После несложных преобразований получим

(3.54)

Правило: передаточная функция системы с отрицательной обратной связью равна дроби, в числителе которой стоит передаточная функция прямого канала , а знаменатель представляет собой сумму единицы и произведения передаточных функций прямого и обратного каналов системы.

В случае положительной обратной связи формула (3.54) принимает вид

(3.55)

На практике обычно встречаются системы с отрицательной обратной связью, для которых передаточная функция находится по соотношению (3.54).

3.3.4. Правило переноса

В некоторых случаях для получения общей передаточной функции системы с помощью структурных преобразований удобнее было бы перенести точку приложения сигнала через звено ближе к выходу или входу. При таком преобразовании структурной схемы следует придерживаться правила: передаточная функция системы должна оставаться неизменной.

Рассмотрим ситуацию, когда точка приложения сигнала переносится через звено ближе к выходу. Исходная структура системы показана на рис. 3.31. Определим для нее результирующую передаточную функцию

Перенесем точку приложения сигнала через звено с передаточной функцией добавив в этот канал некоторую передаточную функцию Получим структурную схему преобразованной системы (рис. 3 32).

Рис. 3.32 . Структурная схема преобразованной системы.

Для нее передаточная функция имеет вид

Поскольку при преобразовании структуры системы ее передаточная функция не должна измениться, приравняв правые части выражений (3.56) и (3.57), определим искомую передаточную функцию

Таким образом, при переносе точки приложения сигнала ближе к выходу системы в канал следует добавить передаточную функцию звена, через которое переносится сигнал.

Аналогичное правило можно сформулировать для переноса точки приложения сигнала ближе к входу системы: в соответствующий канал следует добавить обратную передаточную функцию звена, через которое переносится сигнал.

Пример 3.1

Определить общую передаточную функцию системы, структурная схема которой приведена на рис. 3.33.

Предварительно определим передаточные функции типовых соединений звеньев: передаточная функция параллельного соединения звеньев

а передаточная функция последовательно соединенных звеньев

Рис. 3.33. Структурная схема системы

С учетом введенных обозначений структуру системы можно привести к виду, изображенному на рис. 3.34.

Используя структурные преобразования, запишем общую передаточную функцию системы

Подставляя вместо и их значения, получим окончательно

Пример 3.2

Определить передаточную функцию системы автоматического сопровождения цели радиолокационной станции , структурная схема которой представлена на рис. 3.35.

Рис. 3.35. Структурная схема системы автоматического сопровождения цели

Здесь - передаточная функция приемника системы; - передаточная функция фазового детектора; - передаточная функция усилителя мощности; - передаточная функция двигателя; - передаточная функция редуктора; - передаточная функция датчика частоты вращения антенны; - передаточная функция корректирующего устройства.

Используя правила структурных преобразований, запишем

передаточную функцию

Определим передаточную функцию внутреннего контура

и прямого канала системы

Определим полную передаточную функцию системы

Подставляя вместо промежуточных передаточных функций , исходные значения, получим окончательно

3.4. Структурные схемы, соответствующие дифференциальным уравнениям

Второй способ составления структурной схемы основан на использовании дифференциальных уравнений . Рассмотрим его сначала для объекта, поведение которого описывают векторно-матричные уравнения (2.1), (2.2):

(3.59)

Проинтегрируем уравнение состояния в (3.59) по времени и определим переменные состояния и выхода в виде

(3.60)

Уравнения (3.60) являются основными для составления схемы.

Рис. 3.36. Структурная схема, соответствующая уравнениям
состояния объекта

Структурную схему, соответствующую уравнениям (3.60), удобнее изображать, начиная с выходных переменных y , причем входные и выходные переменные объекта желательно располагать на одной горизонтальной прямой (рис. 3.36).

Для одноканального объекта структурную схему можно составить по уравнению (2.3), разрешив его относительно старшей производной

Проинтегрировав (3.61) n раз, получим

(3.62)

Системе уравнений (3.62) соответствует структурная схема, приведенная на рис. 3.37.

Рис. 3.37. Структурная схема, соответствующая уравнению (3.61)

Как видим, одноканальный объект управления, поведение которого описывает уравнение (3.61), структурно всегда можно представить в виде цепочки из n последовательно соединенных интеграторов с обратными связями.

Пример 3.3

Изобразить структурную схему объекта, модель которого задана следующей системой дифференциальных уравнений:

Предварительно проинтегрируем уравнения состояния

Рис. 3.38. Иллюстрация составления структурной схемы
по уравнениям состояния

В соответствии с интегральными уравнениями на рис. 3.38 изобразим структурную схему системы.

3.5. Переход от передаточной функции к каноническому описанию

Обсудим наиболее известные способы преобразования математической модели объекта в виде произвольной передаточной функции к описанию в переменных состояния. Для этой цели используем соответствующие структурные схемы. Отметим, что данная задача неоднозначна, так как переменные состояния для объекта можно выбирать различным образом (см. подразд. 2.2).

Рассмотрим два варианта перехода к описанию в переменных состояния от передаточной функции объекта

(3.63)

где Предварительно представим (3.63) в виде произведения двух передаточных функций:

Каждому из этих представлений (3.63) соответствует своя простая модель в переменных состояния, которая называется канонической формой .

3.5.1. Первая каноническая форма

Рассмотрим преобразование математической модели системы с передаточной функцией (3.64). Ее структурную схему можно представить в виде двух последовательно соединенных звеньев
(рис. 3.39).

Рис. 3.39. Структурное представление системы (3.64)

Для каждого звена системы запишем соответствующее операторное уравнение

(3.66)

Определим из первого уравнения (3.66) старшую производную переменной z , что соответствует значению в операторной форме

Полученное выражение позволяет представить первое уравнение (3.66) в виде цепочки из n интеграторов с обратными связями (см. подразд. 3.5), а выходная переменная y формируется в соответствии со вторым уравнением (3.66) как сумма переменной z и ее m производных (рис. 3.40).

Рис. 3.40. Схема, соответствующая уравнениям (3.66)

Используя структурные преобразования, получим структурную схему системы, приведенную на рис. 3.41.

Рис. 3.41. Структурная схема, соответствующая канонической форме

Отметим, что структурная схема, соответствующая передаточной функции (3.64), состоит из цепочки n интеграторов, где n - порядок системы. Причем в обратной связи находятся коэффициенты знаменателя исходной передаточной функции (коэффициенты характеристического полинома), а в прямой связи - коэффициенты полинома ее числителя.

От полученной структурной схемы нетрудно перейти к модели системы в переменных состояния. С этой целью выход каждого интегратора примем за переменную состояния

что позволяет записать дифференциальные уравнения состояния и уравнение выхода системы (3.63) в виде

(3.67)

Систему уравнений (3.67) можно представить в векторно-матричной форме (2.1) со следующими матрицами:

Модель системы в переменных состояния (3.67) будем называть первой канонической формой.

3.5.2. Вторая каноническая форма

Рассмотрим второй способ перехода от передаточной функции (3.63) к описанию в переменных состояния, для чего структуру системы (3.65) схематично представим на рис. 3.42.

Рис. 3.42. Структурное представление передаточной функции (3.65)

Ее операторные уравнения имеют вид

(3.68)

Аналогично предыдущему случаю представим первое уравнение (3.68) в виде цепочки из n интеграторов с обратными связями, а входное воздействие z сформируем в соответствии со вторым уравнением (3.68) в виде суммы управления u и m его производных (рис. 3.43).

В результате структурных преобразований получим структурную схему системы, приведенную на рис. 3.44. Как видим, и в этом случае структурная схема, соответствующая передаточной функции (3.65), состоит из цепочки n интеграторов . В обратной связи также располагаются коэффициенты характеристического полинома, а в прямой связи - коэффициенты полинома ее числителя.

Рис. 3.43. Схема, соответствующая уравнениям (3.68)

Рис. 3.44. Структурная схема, соответствующая передаточной функции (3.65)

Снова в качестве переменных состояния выберем выходные величины интеграторов и запишем относительно них дифференциальные уравнения состояния и уравнение выхода

(3.69)

По уравнениям (3.69) определим матрицы

Модель системы в переменных состояния типа (3.69) будем называть второй канонической формой.

Отметим, что матрица A неизменна для первой или второй канонических форм и содержит коэффициенты знаменателя исходной передаточной функции (3.63). Коэффициенты числителя передаточной функции (3.63) содержат матрица C (в случае первой канонической формы) или матрица B (в случае второй канонической формы). Поэтому уравнения состояния, соответствующие двум каноническим представлениям системы, могут быть записаны непосредственно по передаточной функции (3.63) без перехода к структурным схемам, приведенным на рис. 3.40 и 3.43.

Как видим, переход от передаточной функции к описанию в переменных состояния является задачей неоднозначной. Мы рассмотрели варианты перехода к каноническому описанию, которые чаще других используются в теории автоматического управления.

Пример 3.4

Получить два варианта канонического описания и соответствующих структурных схем для системы, модель которой имеет вид

Используем представление передаточной функции в виде (3.64) и запишем для нее операторные уравнения

от которых перейдем к структурной схеме, приведенной на рис. 3.45.

Рис. 3.45. Структурная схема, соответствующая первой канонической форме

На основании этой структурной схемы запишем уравнения первой канонической формы в виде

Для перехода ко второй канонической форме представим передаточную функцию системы в виде (3.65) и запишем для нее следующие операторные уравнения:

которым соответствует структурная схема, приведенная на рис. 3.46.

Рис. 3.46. Структурная схема, соответствующая второй канонической форме

Запишем теперь модель системы в виде второй канонической формы

3.6. Область применения структурного метода

Структурный метод удобен при расчете линейных автоматических систем, но имеет свои ограничения. Метод предполагает использование передаточных функций, поэтому может применяться, как правило, при нулевых начальных условиях.

При использовании структурного метода необходимо придерживаться следующего правила : при любом преобразовании системы ее порядок не должен уменьшаться, т. е. недопустимо сокращение одинаковых множителей в числителе и знаменателе передаточной функции. Сокращая одинаковые множители, мы тем самым выбрасываем из системы реально существующие звенья. Проиллюстрируем это утверждение примером.

Пример 3.5

Рассмотрим систему, состоящую из интегрирующего и дифференцирующего звеньев, которые соединены последовательно.

Первый вариант соединения звеньев показан на рис. 3.47.

Используя структурные преобразования, найдем общую передаточную функцию

Отсюда следует вывод, что подобное соединение звеньев эквивалентно безынерционному звену, т. е. сигнал на выходе системы повторяет сигнал на ее входе. Покажем это, рассматривая уравнения отдельных звеньев. Выходной сигнал интегрирующего звена определяется соотношением

где - начальное условие на интеграторе. Сигнал на выходе дифференцирующего звена, а следовательно, и всей системы имеет вид

что соответствует выводу, сделанному на основе анализа общей передаточной функции звеньев.

Второй вариант соединения звеньев показан на рис. 3.48, т. е. звенья поменяли местами. Передаточная функция системы та же, что и в первом случае,

Однако теперь выход системы не повторяет входной сигнал. В этом можно убедиться, рассматривая уравнения звеньев. Сигнал на выходе дифференцирующего звена соответствует уравнению

а на выходе системы определяется соотношением

Как видим, во втором случае выходной сигнал отличается от сигнала на выходе первой системы на величину начального значения, несмотря на то, что обе системы имеют одну и ту же передаточную функцию.

Заключение

В этом разделе рассмотрены динамические характеристики типовых звеньев, из которых состоят системы управления произвольной конфигурации. Обсуждены особенности структурных схем, построенных на основе передаточных функций и дифференциальных уравнений. Приведены два способа перехода от передаточной функции системы через структурные схемы к ее моделям в виде переменных состояния, соответствующие различным каноническим формам.

Следует отметить, что представление системы в виде структурной схемы позволяет в ряде случаев оценить ее статику и динамику и дает, по существу, структурный портрет системы.

3.1. Изобразить структурную схему системы, дифференциальное уравнение которой имеет вид:

а)

в)

3.2. Изобразить структурную схему системы, модель которой представлена в переменных состояния:

а) б)

в) г)

3.3. Определить передаточные функции систем, если их структурные схемы имеют вид, представленный на рис. 3.49.

Рис. 3.49. Структурные схемы к задаче 3.3

3.4. Известны структурные схемы системы (рис. 3.50). Записать их модели в переменных состояния.

Рис. 3.50. Структурные схемы к задаче 3.4

3.5. Известна структурная схема системы (рис. 3.51).

Рис. 3.51.

1. Определить передаточную функцию в предполо-жении, что

2. Определить передаточную функцию полагая

3. Записать модель системы в переменных состояния.

4. Повторить пп. 1 и 2 для системы, структурная схема которой приведена на рис. 3.52.

Рис. 3.52. Структурная схема к задаче 3.5

3.6 .

3.7. Изобразить структурную схему, соответствующую первой канонической форме описания системы, имеющей передаточную функцию

1. Записать первую каноническую форму.

2. Изобразить структурную схему, соответствующую второй канонической форме описания системы.

3. Записать вторую каноническую форму.

3.8. Изобразить структурную схему, соответствующую первой канонической форме описания системы, имеющей передаточную функцию

1. Записать первую каноническую форму.

2. Изобразить структурную схему, соответствующую второй канонической форме описания системы.

3. Записать вторую каноническую форму.

Литература

1. Андреев Ю.Н. Управление конечномерными линейными объектами. - М.: Наука, 1978.

2. Бесекерский В.А ., Попов Е.П . Теория автоматического регулирования. - М.: Наука, 1974.

3. Ерофеев А. А. Теория автоматического управления. - СПб.: Поли-техника, 1998.

4. Иващенко Н.Н. Автоматическое регулирование. - М.: Машино-строение, 1978.

5. Первозванский А.А. Курс теории автоматического управления. - М.: Высш. шк., 1986.

6. Попов Е.П. Теория линейных систем автоматического регулирования и управления. - М.: Высш. шк., 1989.

7. Коновалов Г.Ф. Радиоавтоматика. - М.: Высш. шк., 1990.

8. Филипс Ч ., Харбор Р. Системы управления с обратной связью. - М.: Лаборатория базовых знаний, 2001.

ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ

АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ

Издательство ОмГТУ

Министерство образования и науки Российской Федерации

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Омский государственный технический университет»

ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ

АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ

Методические указания к практическим работам

Издательство ОмГТУ

Составитель Е. В. Шендалева , канд. техн. наук

Издание содержит методические указания к проведению практических работ по теории автоматического управления.

Предназначено для студентов специальности 200503, «Стандартизация и сертификация», изучающих дисциплину «Основы автоматического управления».

Печатается по решению редакционно-издательского совета

Омского государственного технического университета

технический университет», 2011

Необходимость использования методологии теории управления для специалистов по стандартизации и сертификации возникает при определении:

1) количественных и (или) качественных характеристик свойств объекта испытаний как результата влияния на него при его функционировании, при моделировании объекта и (или) воздействий, закон изменения которых необходимо обеспечить с помощью системы автоматического управления;

2) динамических свойств объекта измерений и испытаний;

3) влияния динамических свойств средств измерений на результаты измерений и испытаний объекта.

Методы исследования объектов рассмотрены в практических работах.

Практическая работа 1

Динамические функции

Задание 1.1

Найти весовую функцию w (t ) по известной переходной функции

h (t ) = 2(1–e –0,2 t ).

Решение

w (t )=h ¢(t ), поэтому при дифференцировании исходного выражения

w (t )=0,4e –0,2t .

Задание 1.2

Найти передаточную функцию системы по дифференциальному уравнению 4y ¢¢(t ) + 2y ¢(t ) + 10y (t ) = 5x (t ). Начальные условия – нулевые.

Решение

Дифференциальное уравнение преобразуют в стандартную форму делением на коэффициент при слагаемом y (t )

0,4y ¢¢(t ) + 0,2y ¢(t ) + y (t ) = 0,5x (t ).

Полученное уравнение преобразуют по Лапласу

0,4s 2 y (s ) + 0,2sy (s ) + y (s ) = 0,5x (s )

и затем записывают в виде передаточной функции:

где s = a + i w – оператор Лапласа.

Задание 1.3

Найти передаточную функцию W (s ) системы по известной весовой функции w (t )=5–t .

Решение

Преобразование Лапласа

. (1.1)

Используя связь между передаточной функцией и весовой функцией W (s ) = w (s ), получим

Преобразование Лапласа можно получить расчетным путем (1.1), с помощью таблиц преобразования Лапласа или с помощью пакета программного обеспечения Matlab. Программа в Matlab приведена ниже.

syms s t

x=5-t % временная функция

y=laplace(x) % функция, преобразованная по Лапласу.

Задание 1.4

По передаточной функции системы найти ее реакцию на единичное ступенчатое воздействие (переходную функцию)

Решение

Обратное преобразование Лапласа

, (1.2)

где с – абсцисса сходимости x (s ).

По принципу суперпозиции, справедливому для линейных систем

h (t )=h 1 (t )+h 2 (t ),

где h (t ) – переходная функция всей системы;

h 1 (t ) – переходная функция интегрирующего звена

;

h 2 (t ) – переходная функция усилительного звена

Известно, что h 1 (t )=k 1 ×t , h 2 (t )=k 2 ×δ(t ), тогда h (t )= k 1 ×t +k 2 ×δ(t ).

Обратное преобразование Лапласа можно получить расчетным путем (1.2), с помощью таблиц преобразования Лапласа или с помощью пакета программного обеспечения Matlab. Программа в Matlab приведена ниже.

syms s k1 k2 % обозначение символьных переменных

y=k1/s+k2 % функция, преобразованная по Лапласу

x=ilaplace(y) % временная функция.

Задание 1.5

Найти амплитудно-частотную и фазочастотную характеристику по известной передаточной функции системы

Решение

Для определения амплитудно-частотной (АЧХ) и фазочастотной характеристики (ФЧХ) необходимо перейти от передаточной функции к амплитудно-фазовой характеристике W (i w), для чего изменить аргумент s → i w

Затем представить АФХ в виде W (i w)=P (w)+iQ (w), где P (w) – действительная часть, Q (w) – мнимая часть АФХ. Для получения действительной и мнимой части АФХ необходимо умножить числитель и знаменатель на комплексное число, сопряженное выражению в знаменателе:

АЧХ и ФЧХ определяют соответственно по формулам

, ;

Амплитудно-фазовую характеристику W (j w) можно представить в виде

Задание 1.6

Определить сигнал y (t ) на выходе системы по известному входному сигналу и передаточной функции системы

x (t )=2sin10t ; .

Известно, что при воздействии входного сигнала x (t )=B sinwt на систему выходной сигнал y (t ) также будет гармоническим, но будет отличаться от входного амплитудой и фазой

y (t ) = B ×A (w)sin,

где A (w) – АЧХ системы; j(w) – ФЧХ системы.

По передаточной функции определим АЧХ и ФЧХ

j(w)=–arctg0,1w.

На частоте w = 10с –1 A (10) = 4/ = 2 и j(10) = –arctg1=–0,25p.

Тогда y (t ) = 2×2 sin(10t –0,25p) = 4 sin(10t –0,25p).

Контрольные вопросы :

1. Определите понятие весовой функции.

2. Определите понятие переходной функции.

3. С какой целью используют преобразование Лапласа при описании динамических звеньев?

4. Какие уравнения называют линейными дифференциальными?

5. С какой целью при переходе к уравнению в операторном виде исходное дифференциальное уравнение преобразуют в стандартную форму?

6. Каким образом из знаменателя амплитудно-фазовой характеристики устраняют выражение с мнимым числом?

7. Укажите команду прямого преобразования Лапласа в программном пакете Matlab.

8. Укажите команду обратного преобразования Лапласа в программном пакете Matlab.

Практическая работа 2

Передаточные функции

Задание 2.1

Найти передаточную функцию системы по ее структурной схеме.

Решение

Основными способами соединения звеньев в структурных схемах являются: параллельное, последовательное и соединение звеньев с обратной связью (типовые участки звеньев).

Передаточная функция системы параллельно соединенных звеньев равна сумме передаточных функций отдельных звеньев (рис. 2.1)

. (2.1)

Рис. 2.1. Параллельное соединение звеньев

Передаточная функция системы последовательно соединенных звеньев равна произведению передаточных функций отдельных звеньев (рис. 2.2)

(2.2)

Рис. 2.2. Последовательное соединение звеньев

Обратной связью называют передачу сигнала с выхода звена на его вход, где сигнал обратной связи алгебраически суммируется с внешним сигналом (рис. 2.3).

Рис. 2.3 Соединение с обратной связью: а) положительной, б) отрицательной

Передаточная функция соединения с положительной обратной связью

, (2.3)

передаточная функция соединения с отрицательной обратной связью

. (2.4)

Определение передаточной функции сложной системы управления производят поэтапно. Для этого выделяют участки, содержащие последовательные, параллельные соединения и соединения с обратной связью (типовые участки звеньев) (рис. 2.4)

W 34 (s )=W 3 (s )+W 4 (s ); .

Рис. 2.4. Структурная схема системы управления

Затем выбранный типовой участок звеньев заменяют одним звеном с рассчитанной передаточной функцией и повторяют процедуру расчета (рис. 2.5 – 2.7).

Рис. 2.5. Замена параллельного соединения и соединения с обратной связью одним звеном

Рис. 2.6. Замена соединения с обратной связью одним звеном

Рис. 2.7. Замена последовательного соединения одним звеном

(2.5)

Задание 2.2

Определить передаточную функцию, если передаточные функции входящих в ее состав звеньев:

Решение

При подстановке в (2.5) передаточных функций звеньев

Преобразование структурной схемы относительно входного управляющего воздействия (рис. 2.7, 2.11) можно получить расчетным путем (2.5) или с помощью пакета программного обеспечения Matlab. Программа в Matlab приведена ниже.

W1=tf(,) % передаточная функция W 1

W2=tf(,) % передаточная функция W 2

W3=tf(,) % передаточная функция W 3

W4=tf(,) % передаточная функция W 4

W5=tf(,) % передаточная функция W 5

W34=parallel(W3,W4) % параллельное соединение (W 3 + W 4)

W25=feedback(W2,W5)

W134=feedback(W1,W34) % отрицательная обратная связь

W12345=series(W134,W25) % последовательное соединение (W 134 ×W 25)

W=feedback(W12345,1)

Задание 2.3.

Найти передаточную функцию замкнутой системы по возмущающему воздействию

Решение

Для того, чтобы определить передаточную функцию сложной системы по возмущающему воздействию необходимо упростить ее и рассмотреть относительно возмущающего входного воздействия (рис. 2.8 – 2.12).

Рис.2.8. Исходная структурная схема автоматической системы

Рис. 2.9. Упрощение структурной схемы

Рис. 2.10. Упрощенная структурная схема

Рис. 2.11. Структурная схема относительно входного управляющего воздействия

Рис. 2.12. Структурная схема системы относительно возмущающего воздействия

После приведения структурной схемы к одноконтурной передаточная функция по возмущающему воздействию f (t )

(2.6)

Преобразование структурной схемы относительно возмущающего воздействия (рис. 2.12) можно получить расчетным путем (2.6) или с помощью пакета программного обеспечения Matlab.

W1=tf(,) % передаточная функция W 1

W2=tf(,) % передаточная функция W 2

W3=tf(,) % передаточная функция W 3

W4=tf(,) % передаточная функция W 4

W5=tf(,) % передаточная функция W 5

W34=parallel(W3,W4) % параллельное соединение

W25=feedback(W2,W5) % отрицательная обратная связь

W134=feedback(W1,W34) % отрицательная обратная связь

Wf=feedback(W25,W134) % отрицательная обратная связь.

Задание 2. 4

Определить передаточную функцию замкнутой системы для ошибки.

Решение

Структурная схема для определения передаточной функции замкнутой системы для ошибки управления изображена на рис. 2.13.

Рис. 2.13. Структурная схема системы относительно ошибки управления

Передаточная функция замкнутой системы для ошибки

(2.7)

При подстановке числовых значений

Преобразование структурной схемы относительно сигнала ошибки управления (рис. 2.13) можно получить расчетным путем (2.7) или с помощью пакета программного обеспечения Matlab.

W1=tf(,) % передаточная функция W 1

W2=tf(,) % передаточная функция W 2

W3=tf(,) % передаточная функция W 3

W4=tf(,) % передаточная функция W 4

W5=tf(,) % передаточная функция W 5

W34=parallel(W3,W4) % параллельное соединение)

W25=feedback(W2,W5) % отрицательная обратная связь

W134=feedback(W1,W34) % отрицательная обратная связь

We=feedback(1,W134*W25) % отрицательная обратная связь

Контрольные вопросы :

1. Перечислите основные способы соединения звеньев в структурных схемах.

2. Определите передаточную функцию системы параллельно соединенных звеньев.

3. Определите передаточную функцию системы последовательно соединенных звеньев.

4. Определите передаточную функцию с положительной обратной связью.

5. Определите передаточную функцию с отрицательной обратной связью.

6. Определите передаточную функцию линии связи.

7. C помощью какой команды Matlab определяется передаточная функция двух параллельно соединенных звеньев?

8. C помощью какой команды Matlab определяется передаточная функция двух последовательно соединенных звеньев?

9. C помощью какой команды Matlab определяется передаточная функция звена, охваченного обратной связью?

10. Изобразите структурную схему системы для определения передаточной функции по управляющему воздействию.

11. Напишите передаточную функцию по управляющему воздействию.

12. Изобразите структурную схему системы для определения передаточной функции по возмущающему параметру.

13. Напишите передаточную функцию по возмущающему параметру.

14. Изобразите структурную схему системы определения передаточной функции для ошибки управления.

15. Напишите передаточную функцию для ошибки управления.

Практическая работа 3

Разложение сложной передаточной функции