Hva er matematiske evner og hvordan utvikle dem?
Nylig led nok et nederlag i matematikk lurte jeg på: hva er egentlig matematiske evner? Hvilke egenskaper ved menneskelig tenkning snakker vi om? Og hvordan utvikle dem? Så bestemte jeg meg for å generalisere dette spørsmålet og formulere det som følger: hva er evnen til eksakte vitenskaper? Hva har de til felles og hva er forskjellene deres? Hvordan skiller tenkningen til en matematiker seg fra tenkningen til en fysiker, kjemiker, ingeniør, programmerer, etc. Nesten ingen forståelig materiale ble funnet på Internett. Det eneste jeg likte var denne artikkelen om hvorvidt det er noen spesifikke evner for kjemi og om de er relatert til evner for fysikk og matematikk.
Jeg vil gjerne spørre lesernes mening. Og nedenfor vil jeg skissere min subjektive visjon av problemet.
Til å begynne med skal jeg forsøke å formulere hva som etter min mening er snublesteinen når man behersker matematikk.
For meg virker det som om problemet ligger nettopp i bevisene. Strenge og formelle bevis er iboende veldig spesifikke og finnes hovedsakelig i matematikk og filosofi (korriger meg hvis jeg tar feil). Det er ingen tilfeldighet at mange store hoder var matematikere og filosofer på samme tid: Bertrand Russell, Leibniz, Whitehead, Descartes, listen er langt fra komplett. På skolene lærer de nesten ikke bevis de finnes der hovedsakelig i geometri. matematisk teori og når du trenger å utføre det enkleste beviset.
Det neste punktet er nært knyttet til det forrige. Matematikere kritisk tenkning når helt ufattelige høyder. og det er alltid et ønske om å bevise og verifisere ved første øyekast åpenbare fakta. Jeg husker min erfaring med å studere algebra og gruppeteori, det er nok ikke en tenkende person verdig, men jeg var alltid lei av å utlede noen kjente fakta fra lineær algebra, og jeg kunne ikke få meg selv til å gjøre 20 bevis om egenskapene til lineære mellomrom, og jeg er klar til å ta mitt ord for det , tilstanden til teoremet, så lenge de lar meg være i fred.
Etter min forståelse, for å mestre matematikk, må en person ha følgende ferdigheter:
1. Induktive evner.
2.Deduktive evner.
3. Evnen til å operere med en stor mengde informasjon i sinnet. En god test er Einstein-problemet
Man kan huske den sovjetiske matematikeren Pontryagin, som ble blind i en alder av 14.
4. Utholdenhet, evnen til å tenke raskt, pluss interesse kan lyse opp innsatsen som må gjøres, men som ikke er nødvendige forhold og enda mer tilstrekkelig.
5. Kjærlighet til absolutt abstrakte tankespill og abstrakte konsepter
Her kan vi gi eksempler på topologi og tallteori. En annen morsom situasjon kan observeres blant de som arbeider med partielle differensialligninger fra et rent matematisk synspunkt og nesten fullstendig ignorerer den fysiske tolkningen
6. For geometre er det ønskelig med romlig tenkning.
Når det gjelder meg, har jeg identifisert mine svake sider. Jeg vil starte med bevisteorien, matematisk logikk og diskret matematikk, samt øke mengden informasjon jeg kan håndtere. Spesielt verdt å merke seg er bøkene av D. Poya "Matematikk og plausible resonnementer", "Hvordan løse et problem"
Hva tror du er nøkkelen til å lykkes med å mestre matematikk og annet eksakte vitenskaper? Og hvordan utvikle disse evnene?
Stikkord: Matematikk, fysikk
SPESIFISITET FOR UTVIKLING AV MATEMATISKE EVNER
I forbindelse med problemet med dannelse og utvikling av evner, bør det bemerkes at en rekke studier av psykologer er rettet mot å identifisere strukturen til skolebarns evner for ulike typer aktiviteter. Samtidig forstås evner som et kompleks av individuelle psykologiske egenskaper hos en person som oppfyller kravene til en gitt aktivitet og er en tilstand vellykket implementering. Dermed er evner en kompleks, integrert, mental formasjon, en slags syntese av egenskaper, eller, som de kalles, komponenter.
Den generelle loven for dannelsen av evner er at de dannes i prosessen med å mestre og utføre de typer aktiviteter de er nødvendige for.
Evner er ikke noe forhåndsbestemt en gang for alle, de dannes og utvikles i prosessen med å lære, i prosessen med trening, mestre den tilsvarende aktiviteten, derfor er det nødvendig å danne, utvikle, utdanne, forbedre evnene til barn og det er umulig å spå på forhånd nøyaktig hvor langt denne utviklingen kan gå.
Når vi snakker om matematiske evner som trekk ved mental aktivitet, bør vi først og fremst peke på flere vanlige misoppfatninger blant lærere.
For det første tror mange at matematiske evner først og fremst ligger i evnen til å utføre raske og nøyaktige beregninger (spesielt i sinnet). Faktisk er databehandling ikke alltid forbundet med dannelsen av virkelig matematiske (kreative) evner. For det andre tror mange at skoleelever som er i stand til matematikk har god hukommelse for formler, figurer og tall.
Men, som akademiker A. N. Kolmogorov påpeker, er suksess i matematikk minst av alt basert på evnen til å raskt og fast lære utenat. stort antall fakta, tall, formler. Til slutt mener de at en av indikatorene på matematisk evne er hastighet. tankeprosesser.
Et spesielt høyt arbeidstempo har i seg selv ingenting med matematisk evne å gjøre. Et barn kan jobbe sakte og bevisst, men samtidig gjennomtenkt, kreativt og lykkes med å mestre matematikk.
Krutetsky V. A. i boken "Psychology of Mathematical Abilities of Preschool Children" skiller ni evner (komponenter av matematiske evner):
1) Evnen til å formalisere matematisk materiale, til å skille form fra innhold, til å abstrahere fra spesifikke kvantitative relasjoner og romlige former og til å operere med formelle strukturer, relasjonsstrukturer og sammenhenger;
2) Evne til å generalisere matematisk materiale, å isolere det viktigste, abstrahere fra det uviktige, å se det felles i det ytre annerledes;
3) Evne til å operere med numeriske og symbolske symboler;
4) Evnen til "konsistente, korrekt dissekerte logiske resonnementer" knyttet til behovet for bevis, begrunnelse og konklusjoner;
5) Evnen til å forkorte resonneringsprosessen, til å tenke i kollapsede strukturer;
6) Evnen til å reversible tankeprosessen (å gå fra direkte til omvendt slag tanker);
7) Fleksibilitet i tenkning, evnen til å bytte fra en mental operasjon til en annen, frihet fra den begrensende påvirkningen fra maler og sjablonger;
8) Matematisk minne. Det kan antas at dens karakteristiske trekk også oppstår fra egenskapene matematisk vitenskap, at dette er minne for generaliseringer, formaliserte strukturer, logikk;
9) Evnen til romlige representasjoner, som er direkte relatert til tilstedeværelsen av en slik gren av matematikk som geometri.
Mange foreldre tror at det viktigste med å forberede seg til skolen er å introdusere barnet til tall og lære ham å skrive, telle, legge til og subtrahere (faktisk resulterer dette vanligvis i et forsøk på å huske resultatene av addisjon og subtraksjon innen 10) . Men når du underviser i matematikk ved hjelp av lærebøker i moderne utviklingssystemer (L. V. Zankovs system, V. V. Davydovs system, "Harmony"-systemet, "School 2100", etc.), hjelper ikke disse ferdighetene barnet i matematikktimer veldig lenge. Beholdningen av memorert kunnskap slutter veldig raskt (om en måned eller to), og mangelen på dannelse egen dyktighetå tenke produktivt (det vil si uavhengig å utføre de ovennevnte mentale handlingene basert på matematisk innhold) fører veldig raskt til utseendet til "problemer med matematikk."
Samtidig har et barn med utviklet logisk tenkning alltid gjort det flere sjanser være vellykket i matematikk selv om han ikke ble undervist i elementene på forhånd skolepensum(telling, beregninger og
osv.). Det er ingen tilfeldighet det siste årene på mange skoler som jobber med utviklingsprogrammer, gjennomføres et intervju med barn som går i første klasse, hvor hovedinnholdet er spørsmål og oppgaver av logisk, og ikke bare aritmetisk, karakter. Er denne tilnærmingen til å velge barn til utdanning logisk? Ja, det er naturlig, siden matematikklærebøkene til disse systemene er strukturert på en slik måte at barnet allerede i de første timene må bruke evnen til å sammenligne, klassifisere, analysere og generalisere resultatene av sine aktiviteter.
Imidlertid bør man ikke tro at utviklet logisk tenkning er naturlig gave, hvis tilstedeværelse eller fravær må aksepteres. Det er et stort antall studier som bekrefter at utviklingen av logisk tenkning kan og bør gjøres (selv i tilfeller der naturlige tilbøyeligheter barn i dette området er veldig beskjedne). Først av alt, la oss finne ut hva logisk tenkning består av.
Logiske triks mentale handlinger- sammenligning, generalisering, analyse, syntese, klassifisering, serier, analogi, systematisering, abstraksjon - i litteraturen kalles de også logiske tenkemetoder. Når du organiserer spesielt utviklingsarbeid for dannelse og utvikling av logiske tenkningsteknikker, observeres en betydelig økning i effektiviteten av denne prosessen, uavhengig av det opprinnelige utviklingsnivået til barnet.
For å utvikle visse matematiske ferdigheter og evner, er det nødvendig å utvikle den logiske tenkningen til førskolebarn. På skolen vil de trenge ferdighetene til å sammenligne, analysere, spesifisere og generalisere.
Derfor er det nødvendig å lære barnet å bestemme problematiske situasjoner, trekke visse konklusjoner, komme til en logisk konklusjon. Å løse logiske problemer utvikler evnen til å fremheve de essensielle og uavhengig tilnærming generaliseringer (se vedlegg).
Logiske spill matematisk innhold læres til barn kognitiv interesse, evne til kreativ søking, lyst og evne til å lære. En uvanlig spillsituasjon med problematiske elementer som er karakteristiske for hver underholdende oppgave, vekker alltid barnas interesse.
Underholdende oppgaver bidra til utvikling av barnets evne til raskt å oppfatte kognitive oppgaver og finne de rette løsningene for dem. Barn begynner å forstå det for å ta den riktige avgjørelsen logisk problem de trenger å konsentrere seg, de begynner å innse at et så underholdende problem inneholder et visst "triks", og for å løse det må de forstå hva trikset er.
Logiske gåter kan være som følger:
To søstre har en bror hver. Hvor mange barn er det i familien? (Svar: 3)
Det er åpenbart det konstruktiv aktivitet I prosessen med å utføre disse øvelsene utvikler barnet ikke bare barnets matematiske evner og logisk tenkning, men også oppmerksomheten, fantasien, trener motoriske ferdigheter, øye, romlige konsepter, nøyaktighet, etc.
Hver av øvelsene gitt i vedlegget er rettet mot å utvikle logiske tenkningsteknikker. For eksempel lærer øvelse 4 barnet å sammenligne; øvelse 5 - sammenligne og generalisere, samt analysere; oppgave 1 lærer analyse og sammenligning; øvelse 2 - syntese; øvelse 6 - faktisk klassifisering etter attributt.
Logisk utvikling Barns utvikling innebærer også å utvikle evnen til å forstå og spore årsak-virkning-sammenhengene til fenomener og evnen til å bygge enkle konklusjoner basert på årsak-virkning-sammenhenger.
Dermed er det to år før skolen mulig å ha en betydelig innvirkning på utviklingen av en førskolebarns matematiske evner. Selv om barnet ikke er en sikker vinner matematiske olympiader, han har problemer med matematikk barneskole det vil ikke være det, og hvis de ikke eksisterer i grunnskolen, så er det all grunn til å forvente at de ikke vil være der i fremtiden.
Studie av matematiske evner i utenlandsk psykologi.
Slike fremtredende representanter for visse trender innen psykologi som A. Binet, E. Trondijk og G. Revesh bidro til studiet av matematiske evner, og slike fremragende matematikere, som A. Poincare og J. Hadamard.
En lang rekke retninger avgjorde også en stor variasjon i tilnærmingen til studiet av matematiske evner, i metodiske virkemidler og teoretiske generaliseringer.
Det eneste som alle forskere er enige om er kanskje oppfatningen om at det er nødvendig å skille mellom vanlige "skole" evner for assimilering av matematisk kunnskap, for deres reproduksjon og uavhengig bruk og kreative matematiske evner knyttet til selvstendig skapelse et originalt og sosialt verdifullt produkt.
Utenlandske forskere viser stor enhet i synspunkter i spørsmålet om medfødte eller ervervede matematiske evner. Hvis vi her skiller mellom to forskjellige aspekter av disse evnene - "skole" og kreative evner, så er det i forhold til sistnevnte fullstendig enhet - de kreative evnene til en matematiker er en medfødt formasjon, et gunstig miljø er bare nødvendig for deres manifestasjon og utvikling. Når det gjelder "skole" (lærings)evner, er ikke utenlandske psykologer så enstemmige. Her er kanskje den dominerende teorien den parallelle virkningen av to faktorer - biologisk potensial og miljø.
Hovedspørsmålet i studiet av matematiske evner (både pedagogiske og kreative) i utlandet var og forblir spørsmålet om essensen av denne komplekse psykologiske utdanningen. I denne forbindelse kan tre viktige problemer identifiseres.
1. Problemet med spesifisitet av matematiske evner. Finnes faktisk matematiske evner som en spesifikk utdanning, forskjellig fra kategorien generell intelligens? Eller matematiske evner er en kvalitativ spesialisering av generelle mentale prosesser og personlighetsegenskaper, det vil si generelle intellektuelle evner, utviklet i forhold til matematisk aktivitet? Med andre ord, er det mulig å si at matematisk begavelse ikke er noe annet enn generell intelligens pluss en interesse for matematikk og en tendens til å gjøre det?
2. Problemet med strukturen til matematiske evner. Er matematisk talent en enhetlig (enkelt uoppløselig) eller integrert (kompleks) egenskap? I sistnevnte tilfelle man kan reise spørsmålet om strukturen til matematiske evner, om komponentene i denne komplekse mentale formasjonen.
3. Problem typologiske forskjeller i matematiske evner. Er det noen ulike typer matematisk talent eller, gitt samme grunnlag, er det kun forskjeller i interesser og tilbøyeligheter til visse grener av matematikken?
Pedagogiske evner er helheten av individuelle psykologiske egenskaper ved en lærers personlighet som oppfyller kravene pedagogisk virksomhet og bestemme suksess med å mestre denne aktiviteten. Forskjellen mellom pedagogiske evner og pedagogiske ferdigheter er at pedagogiske evner er personlighetstrekk, og pedagogiske ferdigheter er individuelle handlinger av pedagogisk aktivitet utført av en person på høyt nivå.
Hver evne har sin egen struktur, den skiller mellom ledende og hjelpeegenskaper.
De ledende egenskapene innen undervisningsevner er:
pedagogisk takt;
observasjon;
kjærlighet til barn;
behov for kunnskapsoverføring.
Pedagogisk takt er lærerens overholdelse av prinsippet om moderasjon i kommunikasjon med barn i et bredt spekter av aktivitetsområder, evnen til å velge riktig tilnærming til elevene.
Pedagogisk takt forutsetter:
· respekt for eleven og krevende mot ham;
· utvikling av studentenes selvstendighet i alle typer aktiviteter og fast pedagogisk veiledning av deres arbeid;
· oppmerksomhet på studentens mentale tilstand og rimeligheten og konsistensen av kravene til ham;
· tillit til studenter og systematisk verifisering av deres pedagogiske arbeid;
· pedagogisk begrunnet kombinasjon av virksomhet og emosjonell natur forhold til elever osv.
Pedagogisk observasjon er evnen til en lærer, manifestert i evnen til å legge merke til betydelige, karakteristiske, til og med subtile egenskaper til elever. På en annen måte kan vi si at pedagogisk observasjon er en kvalitet ved en lærers personlighet, som består i et høyt utviklingsnivå av evnen til å konsentrere oppmerksomheten om et bestemt objekt i den pedagogiske prosessen.
evne matematisk pedagogisk
6.11. Kort oversikt forskning på matematiske evner
I forskning ledet av V.A. Krutetsky reflekterer ulike nivåer av å studere problemet med matematiske, litterære og konstruktiv-tekniske evner. Imidlertid ble alle studier organisert og utført i henhold til en generell ordning:
Trinn 1 – studie av essensen, strukturen til spesifikke evner;
Trinn 2 – studie av alder og individuelle forskjeller i strukturen til spesifikke evner, aldersdynamikk for strukturutvikling;
Trinn 3 – studie av det psykologiske grunnlaget for dannelse og utvikling av evner.
Verkene til V. A. Krutetsky, I. V. Dubrovina, S. I. Shapiro gir et generelt bilde av den aldersrelaterte utviklingen av skolebarns matematiske evner gjennom skolegangen deres.
Gjennomførte en spesiell studie av matematiske evner til skolebarn V.A. Krutetsky(1968). Under evne til å studere matematikk han forstår de individuelle psykologiske egenskapene (primært egenskapene til mental aktivitet) som oppfyller kravene til pedagogisk matematisk aktivitet og bestemmer, alt annet likt, suksessen til kreativ mestring av matematikk som et akademisk fag, spesielt den relativt raske, enkle og dyp beherskelse av kunnskap, ferdigheter og evner innen fagfeltet matematikk. I strukturen til matematiske evner identifiserte han følgende hovedkomponenter:
1) evnen til å formelt oppfatte matematisk materiale, å forstå den formelle strukturen til et problem;
2) evnen til å raskt og bredt generalisere matematiske objekter, relasjoner og handlinger;
3) evnen til å kollapse prosessen med matematisk resonnement og systemet med tilsvarende handlinger - evnen til å tenke i kollapsede strukturer;
4) fleksibilitet av tankeprosesser i matematisk aktivitet;
5) evnen til raskt og fritt å omorganisere retningen til tankeprosessen, bytte fra direkte til omvendt tankerekke;
6) ønsket om klarhet, enkelhet, økonomi og rasjonalitet i beslutninger;
7) matematisk hukommelse (generalisert hukommelse for matematiske relasjoner, resonneringsmønstre og bevis, metoder for å løse problemer og prinsipper for tilnærming til dem). Metodikken for å studere matematiske evner tilhører V.A. Krutetsky (1968).
Dubrovina I.V. En modifikasjon av denne teknikken er utviklet for elever i klasse 2–4.
Analyse av materialene presentert i dette arbeidet lar oss trekke følgende konklusjoner.
1. For yngre elever som er i stand til matematikk skolealder Slike komponenter av matematiske evner som evnen til analytisk og syntetisk oppfatte forholdene til problemer, evnen til å generalisere matematisk materiale og fleksibiliteten til tankeprosesser er ganske tydelig avslørt. Mindre tydelig uttrykt i denne alderen er slike komponenter av matematiske evner som evnen til å komprimere resonnement og systemer for tilsvarende handlinger, ønsket om å finne den mest rasjonelle, økonomiske (elegante) måten å løse problemer på.
Disse komponentene er tydeligst representert bare blant studenter i gruppen "Very Capable" (VA). Det samme gjelder egenskapene til det matematiske minnet til yngre skolebarn. Bare hos elever i OS-gruppen kan tegn på generalisert matematisk minne oppdages.
2. Alle de ovennevnte komponentene av matematiske evner manifesteres på matematisk materiale tilgjengelig for grunnskoleelever, derfor i en mer eller mindre elementær form.
3. Utviklingen av alle de ovennevnte komponentene er merkbar blant elever som er i stand til matematikk fra 2. til 4. klassetrinn: med årene øker tendensen til en relativt fullstendig analytisk-syntetisk oppfatning av problemets betingelser; generalisering av matematisk materiale blir bredere, raskere og mer selvsikker; det er en ganske merkbar utvikling av evnen til å begrense resonnement og et system med tilsvarende handlinger, som opprinnelig er dannet på grunnlag av lignende øvelser, og med årene vises det i økende grad "på stedet"; ved 4. klasse bytter elevene mye lettere fra en mental operasjon til en annen, kvalitativt forskjellig, og ser oftere flere måter å løse et problem på samtidig; minnet frigjøres gradvis fra å lagre spesifikt privat materiale, alt høyere verdi tilegner seg memorering av matematiske sammenhenger.
4. Hos de studerte elevene med lav evne (MS) i grunnskolealder, vises alle de ovennevnte komponentene av matematiske evner på et relativt lavt utviklingsnivå (evnen til å generalisere matematisk materiale, fleksibilitet i tankeprosesser) eller blir ikke oppdaget i det hele tatt (evnen til å redusere resonnement og systemer for tilsvarende handlinger, generalisert matematisk minne).
5. Det var mulig for barn fra MS-gruppen å danne hovedkomponentene i matematiske evner på et mer eller mindre tilfredsstillende nivå i prosessen med eksperimentell læring kun som et resultat av hardt, vedvarende, systematisk arbeid fra både eksperimentatorens side og elevene.
6. Aldersforskjeller i utviklingen av komponenter i matematiske evner hos yngre skoleelever med liten evne til matematikk er svakt og uklart uttrykt.
I artikkelen S.I. Shapiro"Psykologisk analyse av strukturen til matematiske evner i videregående alder" viser at i motsetning til mindre dyktige elever, hvor informasjon vanligvis er lagret i minnet i en snevert spesifikk form, spredt og udifferensiert, husker, bruker og reprodusere materiale i generalisert, "kollapsert" form.
Av betydelig interesse er studiet av matematiske evner og deres naturlige forutsetninger I.A. Lyovochkina, som mener at selv om matematiske evner ikke var gjenstand for spesiell vurdering i verkene til B.M. Teplov, kan svar på mange spørsmål knyttet til deres studier finnes i hans arbeider viet evner. Blant dem er en spesiell plass okkupert av to monografiske verk - "The Psychology of Musical Abilities" og "The Mind of a Commander", som har blitt klassiske eksempler på psykologisk studie av evner og har innlemmet universelle prinsipper for tilnærming til dette problemet , som kan og bør brukes når du studerer alle typer ferdigheter.
I begge verkene gir B.M. Teplov ikke bare en strålende psykologisk analyse av spesifikke typer aktivitet, men avslører også, ved å bruke eksempler på fremragende representanter for musikalsk og militær kunst, de nødvendige komponentene som utgjør lyse talenter i disse områdene. B.M. Teplov ga spesiell oppmerksomhet til spørsmålet om forholdet mellom generelle og spesielle evner, og beviste at suksess i enhver type aktivitet, inkludert musikk og militære anliggender, ikke bare avhenger av spesielle komponenter (for eksempel i musikk - hørsel, rytmesansen). ), men også på de generelle egenskapene til oppmerksomhet, hukommelse og intelligens. Samtidig er generelle mentale evner uløselig knyttet til spesielle evner og påvirker utviklingsnivået til sistnevnte betydelig.
Rollen til generelle evner er tydeligst demonstrert i verket "The Mind of a Commander." La oss dvele ved vurderingen av hovedbestemmelsene i dette arbeidet, siden de kan brukes i studiet av andre typer evner knyttet til mental aktivitet, inkludert matematiske evner. Etter å ha gjennomført en dybdestudie av fartøysjefens virksomhet, har B.M. Teplov viste hvilken plass intellektuelle funksjoner opptar i den. De gir analyse av komplekse militære situasjoner, og identifiserer individuelle viktige detaljer som kan påvirke utfallet av kommende kamper. Det er evnen til å analysere som gir det første nødvendig stadium i å ta den riktige avgjørelsen, i å lage en kampplan. Etter det analytiske arbeidet kommer syntesestadiet, som lar oss kombinere variasjonen av detaljer til en enkelt helhet. Ifølge B.M. Teplov, aktiviteten til en sjef krever en balanse mellom prosessene for analyse og syntese, med et obligatorisk høyt utviklingsnivå.
Hukommelse inntar en viktig plass i den intellektuelle aktiviteten til en sjef. Det er slett ikke nødvendig at det er universelt. Det er mye viktigere at det har selektivitet, det vil si at det først og fremst beholder de nødvendige, essensielle detaljene. Som et klassisk eksempel på et slikt minne kan B.M. Teplov siterer uttalelser om minnet til Napoleon, som husket bokstavelig talt alt som var direkte relatert til hans militære aktiviteter, fra enhetsnummer til soldatenes ansikter. Samtidig klarte ikke Napoleon å lære meningsløst materiale utenat, men hadde den viktige egenskapen å umiddelbart assimilere det som var underlagt klassifisering, en viss logisk lov.
B.M. Teplov kommer til den konklusjon at «evnen til å finne og fremheve den vesentlige og konstante systematiseringen av materialet er de viktigste forholdene, som sikrer enhet av analyse og syntese, balansen mellom disse aspektene ved mental aktivitet som skiller sinnets arbeid god sjef". Sammen med et enestående sinn må en sjef ha visse personlige egenskaper. Dette er først og fremst mot, besluttsomhet, energi, det vil si det som i forhold til militær ledelse vanligvis betegnes med begrepet "vilje". En like viktig personlig egenskap er stressmotstand. Emosjonaliteten til en talentfull sjef manifesteres i en kombinasjon av følelsen av kampspenning og evnen til å samle og konsentrere seg.
En spesiell plass i den intellektuelle aktiviteten til kommandør B.M. Teplov tilskrev tilstedeværelsen av en slik kvalitet som intuisjon. Han analyserte denne kvaliteten på sjefens sinn, og sammenlignet den med intuisjonen til en vitenskapsmann. Det er mye til felles mellom dem. Hovedforskjellen, ifølge B.M. Teplov, er behovet for sjefen for å ta en presserende beslutning, som suksessen til operasjonen kan avhenge av, mens forskeren ikke er begrenset av tidsrammer. Men i begge tilfeller må "innsikt" innledes av hardt arbeid, på grunnlag av hvilket den eneste avgjørelsen kan tas. riktig avgjørelse problemer.
Bekreftelse av bestemmelsene analysert og oppsummert av B.M. Teplov fra et psykologisk synspunkt kan finnes i verkene til mange fremragende forskere, inkludert matematikere. I den psykologiske studien "Mathematical Creativity" beskriver Henri Poincaré i detalj situasjonen der han klarte å gjøre en av oppdagelsene sine. Dette ble innledet av et langt forarbeid, et stort egenvekt som ifølge forskeren var det ubevisstes prosess. Stadiet med "innsikt" ble nødvendigvis fulgt av det andre stadiet - nøye bevisst arbeid for å sette bevisene i orden og verifisere dem. A. Poincaré kom til den konklusjon at den viktigste plassen i matematiske evner er okkupert av evne til logisk å bygge en kjede av operasjoner, som vil føre til løsning av problemet. Det ser ut til at dette burde være tilgjengelig for enhver person som er i stand til logisk tenkning. Imidlertid er ikke alle i stand til å betjene matematiske symboler med samme letthet som når man løser logiske problemer.
For en matematiker er det ikke nok å ha god hukommelse og oppmerksomhet. I følge Poincaré kjennetegnes personer som er i stand til matematikk ved evne til å gripe orden, der elementene som er nødvendige for det matematiske beviset må være plassert. Tilstedeværelsen av intuisjon av denne typen er hovedelementet i matematisk kreativitet. Noen mennesker har ikke denne subtile sansen og har ikke sterk hukommelse og oppmerksomhet, og er derfor ikke i stand til å forstå matematikk. Andre har svak intuisjon, men er begavet med god hukommelse og evne til intens oppmerksomhet, og kan derfor forstå og anvende matematikk. Atter andre har en så spesiell intuisjon og kan, selv i fravær av utmerket hukommelse, ikke bare forstå matematikk, men også gjøre matematiske oppdagelser.
Her snakker vi om matematisk kreativitet, tilgjengelig for få. Men, som J. Hadamard skrev, «mellom arbeidet til en student som løser et problem i algebra eller geometri, og kreativt arbeid den eneste forskjellen er i nivå og kvalitet, siden begge verkene er av lik karakter.» For å forstå hvilke egenskaper som fortsatt kreves for å oppnå suksess i matematikk, analyserte forskere matematisk aktivitet: prosessen med å løse problemer, bevismetoder, logisk resonnement, funksjoner i matematisk minne. Denne analysen førte til opprettelsen ulike alternativer strukturer av matematiske evner, komplekse på sin egen måte komponentsammensetning. Samtidig var meningene til de fleste forskere enige om én ting - at det ikke er og ikke kan være en enkelt tydelig uttrykt matematisk evne - dette er en kumulativ egenskap som gjenspeiler egenskapene til ulike mentale prosesser: persepsjon, tenkning, hukommelse, fantasi. .
Blant de fleste viktige komponenter matematiske evner skiller seg ut spesifikk evne til å generalisere matematisk materiale, evne til romlige representasjoner, evne til abstrakt tenkning. Noen forskere identifiserer også matematiske evner som en uavhengig komponent matematisk minne for resonneringsmønstre og bevis, metoder for å løse problemer og prinsipper for tilnærming til dem. Studiet av matematiske evner inkluderer også løsningen av et av de viktigste problemene - søket etter de naturlige forutsetningene, eller tilbøyelighetene til denne typen evner. I lang tid tilbøyeligheter ble betraktet som en faktor som dødelig forutbestemte nivået og retningen for utvikling av evner. Klassikere av russisk psykologi B.M. Teplov og S.L. Rubinstein beviste vitenskapelig feilen i denne forståelsen av tilbøyeligheter og viste at kilden til utviklingen av evner er det nære samspillet mellom ytre og indre forhold. Alvorlighetsgraden av en eller annen fysiologisk kvalitet indikerer på ingen måte den obligatoriske utviklingen av en bestemt type evne. Det kan bare være en gunstig betingelse for denne utviklingen. De typologiske egenskapene som er inkludert i fremstillingen og er en viktig komponent av dem, gjenspeiler slike individuelle egenskaper funksjon av kroppen, som grensen for ytelse, hastighet egenskaper nervøs respons, evnen til å omorganisere reaksjonen som svar på endringer i ytre påvirkninger.
Egenskaper nervesystemet, nært knyttet til egenskapene til temperament, påvirker i sin tur manifestasjonen av karakterologiske egenskaper hos individet (V.S. Merlin, 1986). B.G. Ananyev, som utviklet ideer om det generelle naturlige grunnlaget for utvikling av karakter og evner, pekte på dannelsen i prosessen med aktivitet av forbindelser mellom evner og karakter, noe som førte til nye mentale formasjoner, betegnet med begrepene "talent" og "kall" (Ananyev B.G., 1980). Således danner temperament, evner og karakter, som det var, en kjede av sammenkoblede understrukturer i strukturen av personlighet og individualitet, med en enkelt naturlig grunnlag(E.A. Golubeva, 1993).
De grunnleggende prinsippene for en integrert typologisk tilnærming til studiet av evner og individualitet er skissert i detalj av E.A. Golubeva i det tilsvarende kapittelet i monografien. Et av de viktigste prinsippene er bruken, sammen med kvalitativ analyse, av målemetoder for å diagnostisere ulike egenskaper ved individualitet. Basert på dette, I.A. Lyovochkina konstruerte en eksperimentell studie av matematiske evner. Den spesifikke oppgaven inkluderte å diagnostisere egenskapene til nervesystemet, som ble betraktet som tilbøyelighetene til matematiske evner, å studere de personlige egenskapene til matematisk begavede elever og egenskapene til deres intelligens. Eksperimentene ble utført på skole nr. 91 i Moskva, som har spesialiserte matematikkklasser. Disse klassene tar imot elever fra videregående skoler fra hele Moskva, hovedsakelig vinnere av regionale og byolympiade som har bestått et ekstra intervju. Her undervises matematikk etter et mer dyptgående program, med tilleggskurs i matematisk analyse. Studien ble utført i samarbeid med E.P. Guseva og eksperimentell lærer V.M. Sapozhnikov.
Alle studentene som forskeren hadde mulighet til å jobbe med i 8.-10. klasse hadde allerede bestemt seg for sine interesser og tilbøyeligheter. De kobler sammen sine videre studier og jobber med matematikk. Deres suksess i matematikk overgår betydelig suksessen til elever i ikke-matematikkklasser. Men til tross for den generelt høye suksessraten, observeres betydelige individuelle forskjeller innenfor denne elevgruppen. Studien var strukturert på denne måten: studentene ble observert under leksjonene, testoppgavene deres ble analysert ved hjelp av eksperter, og eksperimentelle oppgaver ble tilbudt for løsning, rettet mot å identifisere visse komponenter av matematiske evner. I tillegg ble det utført en rekke psykologiske og psykofysiologiske eksperimenter med studenter. Utviklingsnivået og originaliteten til intellektuelle funksjoner ble studert, deres personlige egenskaper og typologiske trekk ved nervesystemet ble avslørt. Totalt ble 57 elever med uttalte evner i matematikk undersøkt over flere år.
Resultater
En objektiv måling av nivået av intellektuell utvikling ved hjelp av Wechsler-testen hos matematisk begavede barn viste at de fleste av dem har et svært høyt nivå av generell intelligens. De numeriske verdiene for generell intelligens til mange studenter som ble undersøkt av oss, oversteg 130 poeng. I følge noen standardklassifiseringer finnes verdier av denne størrelsesorden bare i 2,2% av befolkningen. I det overveldende flertallet av tilfellene ble det observert en overvekt av verbal intelligens fremfor nonverbal intelligens. Faktumet om tilstedeværelsen av høyt utviklet generell og verbal intelligens hos barn med uttalte matematiske evner er ikke uventet. Mange forskere av matematiske evner har bemerket at en høy grad av utvikling av verbal-logiske funksjoner er en nødvendig betingelse for matematiske evner. I.A. Lyovochkina var ikke bare interessert i de kvantitative egenskapene til intelligens, men også i hvordan den er relatert til de psykofysiologiske og naturlige egenskapene til studenter. Individuelle egenskaper ved nervesystemet ble diagnostisert ved hjelp av elektroencefalografiske teknikker. Som indikatorer på egenskapene til nervesystemet ble bakgrunnen og de reaktive egenskapene til elektroencefalogrammet brukt, som ble registrert på en 17-kanals encefalograf. Disse indikatorene ble brukt til å diagnostisere styrken, labiliteten og aktiveringen av nervesystemet.
I.A. Lyovochkina etablerte, ved hjelp av statistiske analysemetoder, at de med et sterkere nervesystem hadde et høyere nivå av verbal og generell intelligens i denne prøven. De hadde også høyere akademisk poengsum i naturvitenskapelige og humanistiske fag. I følge data fra andre forskere innhentet på ungdomsskoleelever i ungdomsskoler, hadde de med et svakt nervesystem et høyere nivå av intelligens og bedre akademiske prestasjoner (Golubeva E.A. et al. 1974, Kadyrov B.R. 1977). Årsaken til dette avviket bør nok først og fremst søkes i selve utdanningsvirksomhetens karakter. Elever i mattetimer opplever betydelig større læringsbelastning sammenlignet med elever i vanlige klasser. De får tilleggsvalgfag i tillegg, i tillegg til obligatoriske lekser og klasseoppgaver, løser de mange oppgaver knyttet til forberedelse til høyere utdanningsinstitusjoner. Interessene til disse gutta flyttes mot økt konstant mental belastning. Slike driftsforhold stiller økte krav til utholdenhet og ytelse, og siden det viktigste, definerende trekk ved styrken til nervesystemet er evnen til å tåle langvarig eksitasjon uten å gå inn i en tilstand av ekstrem hemming, da tilsynelatende. Derfor demonstreres den største ytelsen av de elevene som har slike egenskaper ved nervesystemet som utholdenhet og ytelse.
V.A. Krutetsky, som studerte den matematiske aktiviteten til elever som er i stand til matematikk, trakk oppmerksomheten til deres karakteristiske trekk - evnen til å opprettholde spenning i lang tid, når studenten kan studere lenge og konsentrere seg uten å vise tretthet. Disse observasjonene tillot ham å foreslå at en slik egenskap som styrken til nervesystemet kan være en av de naturlige forutsetningene som er gunstige for utviklingen av matematiske evner. Sammenhengene vi oppnådde bekrefter delvis denne antagelsen. Hvorfor bare delvis? Redusert tretthet under matematikktimene ble bemerket av mange forskere hos elever som er i stand til matematikk sammenlignet med de som ikke er i stand til det. I.A. Lyovochkina undersøkte en prøve som bare besto av dyktige studenter. Men blant dem var det ikke bare eiere av et sterkt nervesystem, men også de som ble karakterisert som eiere av et svakt nervesystem. Dette betyr at ikke bare høy generell ytelse, som er et gunstig naturlig grunnlag for suksess i denne type aktivitet, kan sikre utvikling av matematiske evner.
En analyse av personlighetsegenskaper viste at gruppen elever med et svakere nervesystem generelt var mer preget av personlighetstrekk som rasjonalitet, klokskap, utholdenhet (faktor J+ ifølge Cattell), samt uavhengighet og uavhengighet (faktor Q2+). ). Personer med høye skårer på faktor J legger mye vekt på å planlegge atferd, analyserer feilene sine, samtidig som de viser «forsiktig individualisme». Høye skårer på faktor Q2 gis til personer som er tilbøyelige til å ta selvstendige beslutninger og er i stand til å ta ansvar for dem. Denne faktoren blir referert til som "tenking introversjon." Det er sannsynlig at de med et svakt nervesystem oppnår suksess i denne typen aktivitet, blant annet gjennom utvikling av slike egenskaper som handlingsplanlegging og uavhengighet.
Det kan også antas at forskjellige poler av denne egenskapen til nervesystemet kan være assosiert med forskjellige komponenter av matematiske evner. Det er kjent at egenskapen til svakhet i nervesystemet er preget av økt følsomhet. Det er nettopp dette som kan ligge til grunn for evnen til intuitiv, plutselig forståelse av sannhet, "innsikt" eller gjetting, som er en av de viktige komponentene i matematiske evner. Og selv om dette bare er en antagelse, kan bekreftelsen finnes i konkrete eksempler blant matematisk begavede elever. Her to den lyseste av disse eksempel. Dima Basert på resultatene av objektiv psykofysiologisk diagnostikk, kan han klassifiseres som en representant for en sterk type nervesystem. Han er "stjernen i første størrelsesorden" i matematikkklassen. Det er viktig å merke seg at han oppnår strålende suksess uten noen synlig innsats, med letthet. Aldri klager over tretthet. Leksjoner og matematikk er nødvendig konstant mental gymnastikk for ham. Spesiell preferanse gis til å løse ikke-standardiserte, komplekse oppgaver, som krever tankespenning, dyp analyse, streng logisk konsistens. Dima tillater ikke unøyaktigheter i presentasjonen av materialet. Hvis læreren gjør logiske utelatelser når han forklarer, vil Dima definitivt ta hensyn til dette. Han er preget av høy intellektuell kultur. Dette bekreftes av testresultatene. Dima har den høyeste generelle intelligensindikatoren i den undersøkte gruppen - 149 konvensjonelle enheter.
Anton- en av de mest slående representantene for en svak type nervesystem som vi hadde muligheten til å observere blant matematisk begavede barn. Han blir veldig fort sliten i timen, klarer ikke å jobbe lenge og konsentrert, og lar ofte noen oppgaver ta på seg andre uten tilstrekkelig omtanke. Det hender at han nekter å løse et problem hvis han forutser at det vil kreve stor innsats. Men til tross for disse funksjonene, vurderer lærere hans matematiske evner svært høyt. Faktum er at han har utmerket matematisk intuisjon. Det hender ofte at han er den første som bestemmer de vanskeligste oppgavene, produsere det endelige resultatet og utelate alle mellomstadier av løsningen. Han er preget av evnen til å "lyse opp". Han gidder ikke selv å forklare hvorfor akkurat denne løsningen ble valgt, men ved testing viser den seg å være optimal og original.
Matematiske evner er svært komplekse og mangefasetterte i sin struktur. Og likevel ser det ut til å være to hovedtyper mennesker med deres manifestasjon - disse er "geometre" og "analytikere". I matematikkens historie er slående eksempler på dette navn som Pythagoras og Euclid (de største geometrene), Kovalevskaya og Klein (analytikere, skapere av funksjonsteorien). Denne inndelingen er først og fremst basert på individuelle kjennetegn ved virkelighetsoppfatningen, inkludert matematisk materiale. Det bestemmes ikke av emnet matematikeren jobber med: analytikere forblir analytikere i geometri, mens geometre foretrekker å oppfatte enhver matematisk virkelighet billedlig. I denne forbindelse er det på sin plass å sitere A. Poincarés uttalelse: «Det er ikke spørsmålet de diskuterer som tvinger dem til å bruke en eller annen metode. Hvis det ofte sies om noen at de er analytikere, og andre kalles geometre, hindrer ikke dette førstnevnte fra å forbli analytikere, selv når de studerer geometrispørsmål, mens andre er geometre, selv om de driver med ren analyse. ”
I skolepraksis, når du arbeider med begavede elever, manifesterer disse forskjellene seg ikke bare i ulike nivåer av suksess i å mestre ulike deler av matematikken, men også i en foretrukket holdning til prinsippene for problemløsning. Noen elever streber etter å løse eventuelle problemer ved hjelp av formler og logiske resonnementer, mens andre bruker romlige representasjoner når det er mulig. Dessuten er disse forskjellene veldig stabile. Blant studentene er det selvfølgelig også de som har en viss balanse mellom disse egenskapene. De mestrer alle grener av matematikken like greit, ved hjelp av ulike prinsipper tilnærming til å løse ulike problemer. Individuelle forskjeller mellom elever i tilnærminger til å løse problemer og metoder for å løse dem ble identifisert av I.A. Lyovochkina ikke bare gjennom observasjon av elever mens de jobber i klassen, men også gjennom eksperimentering. For å analysere individuelle komponenter av matematiske evner, forsøkslærer V.M. Sapozhnikov utviklet en rekke spesielle eksperimentelle problemer. Analyse av resultatene av å løse problemer i denne serien gjorde det mulig å få en objektiv idé om arten av den mentale aktiviteten til skolebarn og forholdet mellom de figurative og analytiske komponentene i matematisk tenkning.
Det ble identifisert elever som var flinkere til å løse algebraiske problemer, samt de som var flinkere til å løse geometriske oppgaver. Eksperimentet viste at blant elevene er det representanter for den analytiske typen matematisk tenkning, som er preget av en klar overvekt av den verbal-logiske komponenten. De har ikke behov for visuelle diagrammer de foretrekker å operere med ikoniske symboler. Tenkningen til elever som foretrekker geometriske oppgaver er preget av en mer uttalt visuelt-figurativ komponent. Disse elevene opplever behov for visuell representasjon og tolkning i å uttrykke matematiske sammenhenger og avhengigheter.
Fra det totale antallet matematisk begavede studenter som deltok i eksperimentene, ble de skarpeste "analytikerne" og "geometrene" identifisert, og dannet to ekstreme grupper. Gruppen av "analytikere" inkluderte 11 personer, de mest fremtredende representantene for den verbal-logiske typen tenkning. Gruppen av "geometre" besto av 5 personer med en lys visuell-figurativ tenkning. At det var mulig å velge betydelig færre studenter inn i gruppen av fremragende representanter for «geometre» kan etter vår mening forklares med følgende forhold. Når man avholder matematiske konkurranser og olympiader, tas det ikke tilstrekkelig hensyn til rollen som visuelle og figurative komponenter i tenkningen. I konkurranseoppgaver er andelen geometriproblemer lav - fra 4 til 5 oppgaver pr beste scenario man har som mål å identifisere romlige begreper hos elever. I løpet av utvelgelsesprosessen blir potensielt dyktige matematikere og geometrikere med en lys visuell-figurativ tenkning "avskåret". Videre analyse ble utført ved bruk av statistisk sammenligningsmetode gruppeforskjeller(Studentens t-test) for alle tilgjengelige psykofysiologiske og psykologiske indikatorer.
Det er kjent at det typologiske konseptet til I.P. Pavlova dessuten fysiologisk teori egenskapene til nervesystemet inkluderte en klassifisering av spesifikke menneskelige typer av høyere nerveaktivitet, forskjellig i forholdet mellom signalsystemer. Dette er "kunstnere", med en overvekt av de første signalsystem, "tenkere", med en overvekt av det andre signalsystemet, og den gjennomsnittlige typen, med en balanse mellom begge systemene. For «tenkere» er det mest karakteristiske en abstrakt-logisk måte å behandle informasjon på, mens «kunstnere» har en levende, fantasifull, helhetlig virkelighetsoppfatning. Disse forskjellene er selvfølgelig ikke absolutte, men reflekterer bare de dominerende formene for respons. De samme prinsippene ligger til grunn for forskjellene mellom "analytikere" og "geometre." Førstnevnte foretrekker analytiske metoder for å løse eventuelle matematiske problemer, det vil si at de er nær "tenkerne" i type. "Geometre" streber etter å isolere figurative komponenter i problemer, og derved opptre på en måte som er typisk for "kunstnere."
Nylig har det dukket opp en rekke verk der det er gjort forsøk på å kombinere læren om nervesystemets grunnleggende egenskaper med ideer om spesifikke mennesketyper - "kunstnere" og "tenkere". Det er fastslått at de med et sterkt, labilt og aktivert nervesystem graviterer mot den "kunstneriske" typen, og de med et svakt, inert og inaktivert nervesystem graviterer mot den "mentale" typen (Pechenkov V.V., 1989). I arbeidet til I.A. Levochkina, blant indikatorene på ulike egenskaper ved nervesystemet, viste seg å være den mest informative psykofysiologiske egenskapen ved diagnostisering av typer matematisk tenkning å være karakteristikken for styrke-svakhetsegenskapene til nervesystemet. "Analytikere"-gruppen inkluderte de med et relativt svakere nervesystem sammenlignet med "geometre"-gruppen, det vil si at de identifiserte forskjellene mellom gruppene i styrke-svakhetsegenskapene til nervesystemet var i tråd med de tidligere oppnådde resultatene. Ingen statistisk signifikante forskjeller ble funnet i de to andre egenskapene til nervesystemet (labilitet, aktivering), og de nye trendene motsier ikke de første antakelsene.
En komparativ analyse av resultatene av diagnostisering av personlighetstrekk oppnådd ved hjelp av Cattell-spørreskjemaet ble også utført. Statistisk signifikante forskjeller mellom gruppene ble etablert for to faktorer - H og J. For faktor H kan gruppen "analytikere" generelt karakteriseres som relativt mer reservert, med et begrenset interessespekter (H-). Vanligvis er personer med lav skåre på denne faktoren lukket og streber ikke etter ytterligere kontakter med mennesker. Gruppen "geometre" har høye verdier for denne personlige faktoren (H+) og kjennetegnes ved en viss uforsiktighet og sosialitet. Slike mennesker opplever ikke kommunikasjonsvansker, de knytter mange og villige kontakter og går ikke seg vill i uventede omstendigheter. De er kunstneriske og i stand til å motstå betydelig følelsesmessig stress. For faktor J, som generelt karakteriserer et slikt personlighetstrekk som individualisme, har gruppen "analytikere" høye gruppegjennomsnittsverdier. Dette betyr at de er preget av rasjonalitet, klokskap og utholdenhet. Folk som skårer høyt på denne faktoren legger mye vekt på å planlegge atferden sin, mens de forblir tilbaketrukket og opptrer individuelt.
Derimot er gutta i "geometre"-gruppen energiske og uttrykksfulle. De elsker felles aksjon, er klare til å bli med i gruppeinteresser og vise aktiviteten deres samtidig. De nye forskjellene viser at de studerte gruppene av matematisk begavede elever divergerer mest i to faktorer, som på den ene siden karakteriserer en viss emosjonell orientering (beherskelse, forsiktighet - bekymringsløs, uttrykksfullhet), på den andre siden trekk i mellommenneskelige relasjoner (lukkethet) - sosialitet). Interessant nok er beskrivelsen av disse trekkene i stor grad sammenfallende med beskrivelsen av typene ekstroverte og introverte foreslått av Eysenck. I sin tur har disse typene en viss psykofysiologisk tolkning. Ekstroverte er sterke, labile, aktiverte; introverte er svake, inerte, inaktiverte. Det samme settet med psykofysiologiske egenskaper ble oppnådd for spesifikke menneskelige typer høyere nervøs aktivitet - "kunstnere" og "tenkere".
Resultater oppnådd av I.A. Levochkina, tillate oss å bygge visse syndromer av forholdet mellom psykofysiologiske, psykologiske egenskaper og typer matematisk tenkning.
"Analytiker" "Geometre"
(abstrakt-logisk (visuell-figurativ type tenkning)
type tenkning)
Svak n.s. Sterk n.s. forsiktighet bekymringsløs isolasjon omgjengelighet introverte ekstroverte
Således utført av I.A. Lyovochkinas omfattende studie av matematisk begavede skolebarn gjorde det mulig å eksperimentelt bekrefte tilstedeværelsen av en viss kombinasjon av psykologiske og psykofysiologiske faktorer som utgjør et gunstig grunnlag for utvikling av matematiske evner. Dette gjelder både generelle og spesielle aspekter ved manifestasjonen av denne typen evner.
Noen få ord om evner lesning tegninger.
I studien N. P. Linkova«Evnen til å lese tegninger hos ungdomsskolebarn» har bevist at evnen til å lese og utføre tegninger er en av betingelsene som sikrer suksess for aktiviteter innen teknologi. Derfor er studiet av tegneleseevner inkludert som en integrert del av forskning på teknisk kreativitet.
Vanligvis bruker en designer tegninger for å uttrykke tanker som oppstår i prosessen med å løse et problem.
Designeren trenger et slikt ferdighetsnivå i å lese tegninger, der prosessen med å lage et bilde fra det flate bildet blir fra et spesielt formål til et middel som hjelper til med å løse et annet problem.
Forskjellen mellom disse to nivåene av tegneleseferdigheter ligger ikke bare i hvilket mål som er satt - å representere et objekt ved sitt bilde eller å bruke det resulterende bildet til å løse et problem, men også i selve aktivitetens natur.
Forsøk utført med yngre skolebarn, bekreftet resultatene oppnådd i arbeid med elever på videregående skole.
For å lykkes med å mestre teknikkene for å lese tegninger, er det viktigste studentens evne til å utføre visse logiske operasjoner. Disse inkluderer først og fremst evnen til å utføre en logisk analyse av bilder og korrelere dem med hverandre, fremsette hypoteser som forutser beslutninger, trekke logiske konklusjoner basert på tilgjengelige bilder og utføre den nødvendige verifiseringen av ens antakelser.
Evnen til å mestre denne typen operasjoner, konvensjonelt kalt evnen til å tenke logisk, kan betraktes som sentral blant komponentene som sikrer vellykket mestring av å lese tegninger.
Det må kombineres med fleksibilitet i tenkningen, med evnen til å forlate feil vei som en beslutning har tatt, eller til og med beslutningen som allerede er mottatt.
En mental representasjon av et bilde av et objekt basert på bildet kan bare oppstå som et resultat av en slik analyse.
Utseendet til et bilde er et resultat av visse handlinger. Hvis oppgaven er for enkel for eleven, blir disse handlingene innskrenket og umerkelige. Men de dukker umiddelbart opp hvis oppgaven blir mer komplisert eller hvis det oppstår vanskeligheter under løsningen.
Suksessen med å lese tegninger sikres samtidig av både den logiske analysen av bildet og aktiviteten til romlig fantasi, uten hvilken utseendet til bildet er umulig. Imidlertid spiller logisk analyse en ledende rolle i dette arbeidet. Det bestemmer retningen for søket etter en løsning - mislykket eller ufullstendig analyse fører til utseendet til et feil bilde.
Evnen til å skape stabile og levende bilder i denne situasjonen vil bare komplisere situasjonen.
2. Eksperimenter har vist at hos noen elever i grunnskolealder har komponentene av ferdigheter som er nødvendige for å mestre teknikkene for å lese tegninger nådd et slikt nivå at de kan utføre en lang rekke oppgaver fra skoletegnekurset uten problemer.
For flertallet av elever i denne alderen forårsaker behovet for å gjennomføre en logisk analyse av bilder, trekke konklusjoner og rettferdiggjøre beslutningene sine alvorlige vanskeligheter. Vi snakker om graden av utvikling av evnen til å tenke logisk.
Konklusjon: læringsprojeksjonstegning kan begynne i barneskolen. Muligheten for å organisere slik opplæring ble testet under et spesielt eksperiment utført i samarbeid med E.A. Faraponova (Linkova, Faraponova, 1967).
Men når man organiserer slik opplæring, må det gjøres alvorlige endringer i metodikken.
Disse endringene bør for det første gå i retning av å svekke kravene til logisk analyse på første trinn av opplæringen. Det er like viktig, om ikke å losse, så i det minste ikke å komplisere kravene til romlig fantasi ved å introdusere slike teknikker for å forklare materiale som projiseringspunkter på et plan triedral vinkel, mental rotasjon av modeller eller bildene deres.
Dette kravet forklares ikke så mye av den svake utviklingen av romlig fantasi hos barn i denne alderen (for det meste viser det seg å være ganske utviklet), men av deres uforberedelse til å utføre flere operasjoner samtidig.
Studien viste at det er svært store individuelle forskjeller mellom elever i graden av utvikling av deres evner som er nødvendige for å mestre teknikkene for å lese tegninger, fra det øyeblikket de kommer på skolen. Spørsmålet om årsakene til disse forskjellene og måtene å utvikle disse evnene på er ikke vurdert i studien av N.P.
Linkova. "Ingen ingen en baby Ikke i stand til, middelmådig. Viktig, til dette sinn, dette talent stål basis suksess V middelmådig. Viktig, "Ingen undervisning, en baby student studert under deres muligheter" (Sukhomlinsky
. Psykologer og pedagoger har lett etter svar på disse spørsmålene siden begynnelsen av århundret, men det er fortsatt ikke noe enkelt syn på problemet med matematiske evner. La oss prøve å forstå disse problemene ved å analysere arbeidet til noen ledende eksperter som jobbet med dette problemet. I psykologi er det lagt stor vekt på problemet med evner generelt og problemet med skolebarns evner spesielt. En hel serie
Forskning utført av psykologer er rettet mot å identifisere strukturen i skolebarns evner til ulike typer aktiviteter. I vitenskapen, spesielt i psykologien, fortsetter debatten om selve essensen av evner, deres struktur, opprinnelse og utvikling. Uten å gå inn på detaljer om tradisjonelle og nye tilnærminger til problemet med evner, vil vi peke på noen hovedkontroversielle punkter ulike punkter psykologers syn på evner. Imidlertid ingen av dem felles tilnærming
Forskjellen i å forstå essensen av evner finnes først og fremst i om de anses som sosialt ervervede egenskaper eller anerkjent som naturlige. Noen forfattere forstår evner som et kompleks av individuelle psykologiske egenskaper til en person som oppfyller kravene til en gitt aktivitet og er en betingelse for vellykket implementering, som ikke er begrenset til beredskap, til eksisterende kunnskap, ferdigheter og evner. Her bør du være oppmerksom på flere fakta. For det første er evner individuelle egenskaper, det vil si hva som skiller en person fra en annen. For det andre er dette ikke bare funksjoner, men psykologiske egenskaper. Og til slutt, evner er ikke noen individuelle psykologiske egenskaper, men bare de som oppfyller kravene til en viss aktivitet.
Med en annen tilnærming, tydeligst uttrykt av K.K. Platonov, en evne anses å være en hvilken som helst kvalitet ved den "dynamiske funksjonelle strukturen til en personlighet" hvis den sikrer vellykket utvikling og implementering av en aktivitet. Imidlertid, som bemerket av V.D. Shadrikov, "med denne tilnærmingen til evner overføres det ontologiske aspektet av problemet til skapninger, som forstås som de anatomiske og fysiologiske egenskapene til en person som danner grunnlaget for utvikling av evner. Løsningen på det psykofysiologiske problemet ble ført til en blindvei i sammenheng med evner som sådan, siden evner, som psykologisk kategori ble ikke ansett som en egenskap ved hjernen. Tegnet på suksess er ikke mer produktivt, fordi suksessen til en aktivitet bestemmes av målet, motivasjonen og mange andre faktorer." I følge hans teori om evner er det mulig å produktivt definere evner som funksjoner bare i forhold til deres evner. individuell og universell.
Universal (felles) for hver evne til V.D. Shadrikov navngir egenskapen på grunnlag av hvilken en spesifikk mental funksjon blir realisert. Hver eiendom representerer essensiell egenskap funksjonelt system. Det var for å realisere denne egenskapen at en bestemt funksjonelt system i prosessen med menneskelig evolusjonær utvikling, for eksempel evnen til å reflektere tilstrekkelig objektiv verden(oppfatning) eller egenskapen til å prege ytre påvirkninger (minne) og så videre. Eiendommen manifesterer seg i prosessen med aktivitet. Dermed er det nå mulig å definere evner fra posisjonen til det universelle som en egenskap ved et funksjonssystem som implementerer individuelle mentale funksjoner.
Det er to typer egenskaper: de som ikke har intensitet og derfor ikke kan endre den, og de som har intensitet, det vil si at de kan være større eller mindre. Humaniora omhandler hovedsakelig egenskaper av den første typen, naturlige med egenskaper av den andre typen. Mentale funksjoner er preget av egenskaper som har intensitet, et mål på alvorlighetsgrad. Dette lar deg bestemme evner fra posisjonen til en enkelt (separat, individ). Entall vil bli representert ved et mål på alvorlighetsgraden av eiendommen;
Således, i henhold til teorien presentert ovenfor, kan evner defineres som egenskapene til funksjonelle systemer som implementerer individuelle mentale funksjoner, som har et individuelt mål på uttrykk, manifestert i suksessen og den kvalitative originaliteten til utvikling og implementering av aktiviteter. Når du vurderer et individuelt mål på alvorlighetsgraden av evner, er det tilrådelig å bruke de samme parametrene som når du karakteriserer enhver aktivitet: produktivitet, kvalitet og pålitelighet (med tanke på den aktuelle mentale funksjonen).
En av initiativtakerne til å studere de matematiske evnene til skolebarn var den fremragende franske matematikeren A. Poincaré. Han uttalte spesifisiteten til kreative matematiske evner og identifiserte deres viktigste komponent - matematisk intuisjon. Siden den gang begynte studiet av dette problemet. Deretter identifiserte psykologer tre typer matematiske evner - aritmetiske, algebraiske og geometriske. Samtidig forble spørsmålet om tilstedeværelsen av matematiske evner uløst.
På sin side identifiserte forskerne W. Haecker og T. Ziegen fire komplekse hovedkomponenter: romlig, logisk, numerisk, symbolsk, som er «kjernen» i matematiske evner. I disse komponentene skilte de mellom forståelse, memorering og drift.
Sammen med hovedkomponenten i matematisk tenkning - evnen til selektiv tenkning, deduktiv resonnement i de numeriske og symbolske sfærer, evnen til abstrakt tenkning, A. Blackwell fremhever også muligheten til å manipulere romlige objekter. Han bemerker også verbal evne og muligheten til å beholde data i minnet i sin nøyaktige og i streng rekkefølge og mening.
En betydelig del av dem er av interesse i dag. I boken, som opprinnelig ble kalt «The Psychology of Algebra», formulerer E. Thorndike først general matematisk evner: evnen til å håndtere symboler, velge og etablere relasjoner, generalisere og systematisere, velge essensielle elementer og data på en bestemt måte, bringe ideer og ferdigheter inn i et system. Han fremhever også spesiell algebraisk evner: evnen til å forstå og komponere formler, uttrykke kvantitative relasjoner i form av en formel, transformere formler, lage likninger som uttrykker disse kvantitative relasjonene, løse likninger, utføre identiske algebraiske transformasjoner, grafisk uttrykke den funksjonelle avhengigheten til to størrelser, etc.
En av de mest betydningsfulle studiene av matematiske evner siden utgivelsen av E. Thorndikes arbeid tilhører den svenske psykologen I. Werdelin. Han gir en veldig bred definisjon av matematisk evne, som gjenspeiler de reproduktive og produktive aspektene, forståelse og anvendelse, men han fokuserer på de viktigste av disse aspektene - den produktive, som utforskes i prosessen med å løse problemer. Forskeren mener at matematiske evner kan påvirkes av undervisningsmetoden.
Den ledende sveitsiske psykologen J. Piaget ga stor verdi mentale operasjoner, fremhever i den ontogenetiske utviklingen av intelligens stadiet av dårlig formaliserte spesifikke operasjoner assosiert med spesifikke data, og stadiet med generaliserte formaliserte operasjoner, når operatørstrukturer er organisert. Han korrelerte sistnevnte med tre grunnleggende matematiske strukturer som ble identifisert av N. Bourbaki: algebraisk, ordensstrukturer og topologisk. J. Piaget oppdager alle typer av disse strukturene i utviklingen av aritmetiske og geometriske operasjoner i barnets sinn og i egenskapene logiske operasjoner. Derfor trekkes konklusjonen om behovet for syntese matematiske strukturer og operatørstrukturer for tenkning i prosessen med å undervise i matematikk.
I psykologi studerte V.A. problemet med matematiske evner. Krutetsky. I sin bok "Psychology of Mathematical Abilities of Schoolchildren" gir han følgende generell ordning strukturer av skolebarns matematiske evner. For det første å skaffe matematisk informasjon - evnen til å formelt oppfatte matematisk materiale, forstå strukturen til problemet. For det andre, behandling av matematisk informasjon - evnen til logisk tenkning innen kvantitative og romlige relasjoner, numerisk og symbolsk symbolikk, evnen til å tenke i matematiske symboler, evnen til å raskt og bredt generalisere matematiske objekter, relasjoner og handlinger, evne til å kollapse prosessen med matematisk resonnement og systemer passende handlinger, evnen til å tenke i kollapsede strukturer. Fleksibilitet i tankeprosesser i matematisk aktivitet, ønsket om klarhet, enkelhet, økonomi og rasjonalitet i beslutninger er også nødvendig. En vesentlig rolle spilles her av evnen til raskt og fritt å omorganisere retningen til tankeprosessen, bytte fra direkte til omvendt tankerekke (reversibilitet av tankeprosessen i matematisk resonnement). For det tredje er lagring av matematisk informasjon matematisk minne (generalisert minne for matematiske relasjoner, typiske egenskaper, resonneringsmønstre og bevis, metoder for å løse problemer og prinsipper for tilnærming til dem). Og til slutt, den generelle syntetiske komponenten er sinnets matematiske orientering. Alle de ovennevnte studiene tyder på at faktoren generell matematisk resonnement ligger til grunn for generelle mentale evner, og matematiske evner har et generelt intellektuelt grunnlag.
Fra annen forståelse essensen av evner følger annen tilnærming til avsløringen av deres struktur, som for forskjellige forfattere fremstår som et sett ulike kvaliteter, klassifisert av av ulike grunner og i forskjellige proporsjoner.
Det er ikke noe klart svar på spørsmålet om tilblivelse og utvikling av evner, deres forbindelse med aktivitet. Sammen med utsagnet om at evner i sin generiske form eksisterer i en person før aktivitet som en forutsetning for implementeringen. Et annet, motstridende synspunkt ble også uttrykt: evner eksisterer ikke før aktiviteten til B.M. Teplov. Siste posisjon fører til en blindvei, siden det ikke er klart hvordan aktivitet begynner å utføres uten evne til å gjøre det. Faktisk evnene et visst nivå deres utvikling eksisterer før aktivitet, og med begynnelsen av den dukker de opp og utvikler seg deretter i aktivitet hvis den presenterer mer og mer høye krav til en person.
Dette avslører imidlertid ikke forholdet mellom ferdigheter og evner. En løsning på dette problemet ble foreslått av V.D. Shadrikov. Han mener at essensen av de ontologiske forskjellene mellom evner og ferdigheter er som følger: evnen er beskrevet av et funksjonelt system, et av dets obligatoriske elementer er naturlig komponent, der de funksjonelle mekanismene til evner virker, og ferdigheter er beskrevet av et isomorft system, er en av hovedkomponentene evner som utfører i dette systemet de funksjonene som implementerer funksjonelle mekanismer i evnesystemet. Dermed ser det funksjonelle systemet av ferdigheter ut til å vokse fra systemet av evner. Dette er et system med et sekundært nivå av integrasjon (hvis vi tar evnesystemet som primært).
Når vi snakker om evner generelt, bør det bemerkes at evner kommer på forskjellige nivåer, pedagogiske og kreative. Studieevner er allerede knyttet til assimileringen kjente metoder utføre aktiviteter, tilegne seg kunnskap, ferdigheter og evner. Kreativitet er assosiert med å skape et nytt, originalt produkt, med å finne nye måter å utføre aktiviteter på. Fra dette synspunktet skilles det mellom for eksempel evnen til å lære og studere matematikk og kreative matematiske evner. Men, som J. Hadamard skrev, «mellom arbeidet til studenten, problemløser... og kreativt arbeid, er forskjellen bare i nivået, siden begge verkene er av lik karakter."
Naturlige forutsetninger betyr noe, men de er ikke faktiske evner, men er tilbøyeligheter. Tilbøyelighetene i seg selv betyr ikke at en person vil utvikle de tilsvarende evnene. Utviklingen av evner avhenger av mange sosiale forhold (oppdragelse, behov for kommunikasjon, utdanningssystemet).
Typer evner:
1. Naturlige (naturlige) evner.
De er felles for mennesker og dyr: persepsjon, hukommelse og evne til grunnleggende kommunikasjon. Disse evnene er direkte relatert til medfødte evner. På grunnlag av disse tilbøyelighetene i en person, i nærvær av elementære livserfaring, gjennom læringsmekanismene dannes spesifikke evner.
2. Spesifikke evner.
Generelt: Bestem en persons suksess i ulike aktiviteter (mentale evner, tale, nøyaktighet av manuelle bevegelser).
Spesielt: avgjør en persons suksess i spesifikke typer aktiviteter som krever en spesiell type tilbøyeligheter og deres utvikling (musikalske, matematiske, språklige, tekniske, kunstneriske evner).
I tillegg er ferdigheter delt inn i teoretiske og praktiske. Teoretiske forhåndsbestemmer en persons tendens til å abstrakte teoretiske tanker, og praktiske - til spesifikke praktiske handlinger. Oftest kombineres ikke teoretiske og praktiske evner med hverandre. De fleste har den ene eller den andre typen evne. Sammen er de ekstremt sjeldne.
Det er også en inndeling i pedagogiske og kreative evner. Førstnevnte bestemmer suksessen til læring, assimilering av kunnskap, ferdigheter og evner, og sistnevnte bestemmer muligheten for oppdagelser og oppfinnelser, skapelsen av nye gjenstander av materiell og åndelig kultur.
3. Kreative evner.
Dette er først og fremst en persons evne til å finne et spesielt perspektiv på kjente og dagligdagse ting eller oppgaver. Denne ferdigheten avhenger direkte av en persons horisont. Jo mer han vet, jo lettere er det for ham å se på problemstillingen som studeres fra forskjellige vinkler. Kreativ personlighet streber hele tiden etter å lære mer om verden rundt oss, ikke bare innen kjerneaktiviteten, men også i relaterte bransjer. I de fleste tilfeller kreativ person– dette er først og fremst originalt tenkende mann i stand til ikke-standardiserte løsninger.
Nivåer av ferdighetsutvikling:
- 1) Tilbøyeligheter - naturlige forutsetninger for evner;
- 2) Evner - kompleks, integrert, mental formasjon, en unik syntese av egenskaper og komponenter;
- 3) Begavelse er en unik kombinasjon av evner som gir en person muligheten til å lykkes med å utføre enhver aktivitet;
- 4) Mestring - perfeksjon i en bestemt type aktivitet;
- 5) Talent - et høyt utviklingsnivå av spesielle evner (dette er en viss kombinasjon av høyt utviklede evner, siden en isolert evne, selv en svært høyt utviklet, ikke kan kalles talent);
- 6) Geni er det høyeste nivået av utvikling av evner (i hele sivilisasjonens historie har det ikke vært mer enn 400 genier).
General mental evner- dette er evnene som er nødvendige for å utføre ikke bare én, men mange typer aktiviteter. Til generelt mentale evner inkludere for eksempel slike egenskaper ved sinnet som mental aktivitet, kritikalitet, systematikk og fokusert oppmerksomhet. Mennesket er naturlig utstyrt med generelle evner. Enhver aktivitet mestres på grunnlag av generelle evner som utvikles i denne aktiviteten.
Som bemerket av V.D. Shadrikov, " spesiell evner" Det er det generelle evner som har fått egenskapene til effektivitet under påvirkning av aktivitetskrav." Spesielle evner er evner som er nødvendige for vellykket mestring av noen visse aktiviteter. Disse evnene representerer også enheten av individuelle private evner. For eksempel som del matematisk evner stor rolle matematiske minnespill; evne til logisk tenkning innen kvantitative og romlige relasjoner; rask og bred generalisering av matematisk materiale; enkelt og gratis bytte fra en mental operasjon til en annen; ønsket om klarhet, økonomi, rasjonalitet i resonnement og så videre. Alle spesielle evner er forent av kjerneevnen til sinnets matematiske orientering (som forstås som tendensen til å isolere romlige og kvantitative forhold, funksjonelle avhengigheter i persepsjon), assosiert med behovet for matematisk aktivitet.
A. Poincaré kom til den konklusjon at den viktigste plassen i matematiske evner er okkupert av evnen til logisk å bygge en kjede av operasjoner som vil føre til å løse et problem. Dessuten er det ikke nok for en matematiker å ha godt minne og oppmerksomhet. I følge Poincaré kjennetegnes personer som er i stand til matematikk ved evnen til å forstå rekkefølgen som elementene som er nødvendige for matematisk bevis. Tilstedeværelsen av intuisjon av denne typen er hovedelementet i matematisk kreativitet.
L.A. Wenger tillegger matematiske evner slike trekk ved mental aktivitet som generalisering av matematiske objekter, relasjoner og handlinger, det vil si evnen til å se det generelle i ulike spesifikke uttrykk og oppgaver; evnen til å tenke "kollapserte", i store enheter og "økonomisk", uten unødvendige detaljer;
For å forstå hvilke andre egenskaper som kreves for å oppnå suksess i matematikk, analyserte forskere matematisk aktivitet: prosessen med å løse problemer, bevismetoder, logisk resonnement, funksjoner i matematisk minne. Denne analysen førte til opprettelsen av forskjellige varianter av strukturene til matematiske evner, komplekse i deres komponentsammensetning. Samtidig var meningene til de fleste forskere enige om én ting: at det ikke er, og ikke kan være, den eneste klart uttrykte matematiske evnen, det er en kumulativ egenskap som gjenspeiler egenskapene til forskjellige mentale prosesser: persepsjon, tenkning, hukommelse; , fantasi.
Identifikasjonen av de viktigste komponentene i matematiske evner er presentert i figur 1:
Figur 1
Noen forskere identifiserer også matematisk hukommelse som en uavhengig komponent for resonnement- og bevismønstre, metoder for å løse problemer og måter å nærme seg dem på. En av dem er V.A. Krutetsky. Han definerer matematiske evner slik: «Ved evnen til å studere matematikk forstår vi individuelle psykologiske egenskaper (primært egenskaper ved mental aktivitet) som oppfyller kravene til pedagogisk matematisk aktivitet og, alt annet likt, bestemmer suksessen til kreativ mestring av matematikk som et akademisk emne, spesielt relativt rask, enkel og dyp mestring av kunnskap, ferdigheter og evner innen matematikk.
I vårt arbeid vil vi hovedsakelig stole på forskningen til denne spesielle psykologen, siden hans forskning på dette problemet er den desidert mest globale, og konklusjonene er de mest eksperimentelt underbygget.
Så, V.A. Krutetsky skiller ni komponenter matematisk evner:
- 1. Evnen til å formalisere matematisk materiale, til å skille form fra innhold, å abstrahere fra spesifikke kvantitative relasjoner og romlige former og til å operere med formelle strukturer, relasjonsstrukturer og sammenhenger;
- 2. Evnen til å generalisere matematisk materiale, å isolere det viktigste, abstrahere fra det uviktige, å se det generelle i det som er eksternt annerledes;
- 3. Evne til å operere med numeriske og symbolske symboler;
- 4. Evnen til "konsistente, korrekt dissekerte logiske resonnementer" knyttet til behovet for bevis, begrunnelse, konklusjoner;
- 5. Evnen til å forkorte resonneringsprosessen, til å tenke i kollapsede strukturer;
- 6. Evnen til å reversible tankeprosessen (å bytte fra en direkte til en omvendt tankerekke);
- 7. Fleksibilitet i tenkning, evnen til å bytte fra en mental operasjon til en annen, frihet fra den begrensende påvirkningen av maler og sjablonger;
- 8. Matematisk minne. Det kan antas at dets karakteristiske trekk også følger av matematisk vitenskaps trekk, at det er et minne for generaliseringer, formaliserte strukturer, logiske skjemaer;
- 9. Evnen til romlige representasjoner, som er direkte relatert til tilstedeværelsen av en slik gren av matematikk som geometri.
I tillegg til de som er oppført, er det også komponenter hvis tilstedeværelse i strukturen av matematiske evner, selv om de er nyttige, ikke er nødvendig. Læreren må, før han klassifiserer en elev som i stand til eller ute av stand til matematikk, ta hensyn til dette. Følgende komponenter er ikke obligatoriske i strukturen til matematisk begavelse:
- 1. Hastighet på tankeprosesser som en midlertidig egenskap.
- 2. Det er ikke noe individuelt arbeidstempo av avgjørende betydning. Eleven kan tenke rolig, sakte, men grundig og dypt.
- 3. Evne til å utføre raske og nøyaktige beregninger (spesielt i tankene). Faktisk er databehandling ikke alltid forbundet med dannelsen av virkelig matematiske (kreative) evner.
- 4. Minne for tall, tall, formler. Som akademiker A.N. Kolmogorov, mange fremragende matematikere hadde ikke noe enestående minne av denne typen.
De fleste psykologer og lærere, som snakker om matematiske evner, stoler nettopp på denne strukturen av V.A.s matematiske evner. Krutetsky. Imidlertid i prosessen ulike studier matematisk aktivitet av elever som viser evner til dette skolefag, noen psykologer har identifisert andre komponenter av matematiske evner. Spesielt var vi interessert i resultatene forskningsarbeid Z.P. Gorelchenko. Han bemerket at matematikk-dyktige studenter følgende funksjoner. Først klargjorde og utvidet han komponenten i strukturen til matematiske evner, kalt i moderne psykologisk litteratur"generalisering matematiske begreper" og uttrykte ideen om enheten til to motstridende tendenser til studenttenkning mot generalisering og "innsnevring" av matematiske begreper. I denne komponenten kan man se en refleksjon av enheten i induktiv og deduktive metoder elevenes kunnskap om nye ting i matematikk. For det andre dialektiske rudimenter i elevenes tenkning når de mestrer ny matematisk kunnskap. Dette manifesteres i det faktum at i nesten alle individer matematisk faktum De mest dyktige studentene streber etter å se og forstå det motsatte faktum, eller i det minste vurdere det begrensende tilfellet av fenomenet som studeres. For det tredje bemerket han en spesiell økt oppmerksomhet til nye matematiske mønstre, i motsetning til de som tidligere er etablert.
En av karakteristiske trekk Elevenes økte matematiske evner og deres overgang til moden matematisk tenkning kan også betraktes som en relativt tidlig forståelse av behovet for aksiomer som innledende sannheter i bevis. Tilgjengelig læring av aksiomer og den aksiomatiske metoden bidrar i stor grad til å akselerere utviklingen av elevenes deduktive tenkning. Det har også blitt bemerket at den estetiske sansen i matematisk arbeid viser seg ulikt hos ulike elever. Ulike elever reagerer forskjellig på forsøk på å utdanne og utvikle i dem en estetisk sans som svarer til deres matematiske tenkning. I tillegg til de indikerte komponentene av matematiske evner, som kan og bør utvikles, er det også nødvendig å ta hensyn til det faktum at suksessen til matematisk aktivitet er et derivat av en viss kombinasjon av kvaliteter: en aktiv positiv holdning til matematikk, interesse for det, ønsket om å engasjere seg i det, som blir til en lidenskap på et høyt nivå av utviklingslidenskap. Du kan også identifisere en rekke karakteristiske trekk, som: hardt arbeid, organisering, uavhengighet, besluttsomhet, utholdenhet, så vel som stabile intellektuelle egenskaper, en følelse av tilfredshet fra hardt mentalt arbeid, kreativitetsglede, oppdagelse, og så videre .
Tilgjengelighet under gjennomføringen av aktiviteter av gunstige betingelser for gjennomføring mentale tilstander, for eksempel en interessetilstand, konsentrasjon, god "mental" velvære, etc. Et visst fond av kunnskap, ferdigheter og evner innen det aktuelle feltet. Visse individuelle psykologiske egenskaper i sensoriske og mentale sfærer som oppfyller kravene til denne aktiviteten.
De elevene som er mest dyktige til matematikk, utmerker seg ved en spesiell estetisk stil av matematisk tenkning. Det lar dem relativt enkelt forstå noen teoretiske finesser i matematikk, forstå den upåklagelige logikken og skjønnheten i matematisk resonnement, og oppdage den minste grovhet eller unøyaktighet i den logiske strukturen til matematiske konsepter. Uavhengig, bærekraftig ønske om en original, ukonvensjonell, elegant løsning matematisk problem, til den harmoniske enheten av de formelle og semantiske komponentene for å løse problemet, strålende gjetninger, noen ganger foran logiske algoritmer, noen ganger vanskelig å oversette til symbolspråket, indikerer tilstedeværelsen i å tenke på en følelse av velutviklet matematisk framsyn, som er et av aspektene estetisk tenkning i matematikk. Økte estetiske følelser under matematisk tenkning er først og fremst karakteristisk for elever med høyt utviklede matematiske evner og kan sammen med den estetiske strukturen til matematisk tenkning tjene som et betydelig tegn på tilstedeværelsen av matematiske evner hos skolebarn.