Algebraisk projeksjon av en vektor på enhver akse er lik produktet av lengden til vektoren og cosinus til vinkelen mellom aksen og vektoren:

Pr a b = |b|cos(a,b) eller

Der a b er skalarproduktet av vektorer, |a| - modul til vektor a.

Instruksjoner. For å finne projeksjonen av vektoren Пp a b in online-modus det er nødvendig å angi koordinatene til vektorene a og b. I dette tilfellet kan vektoren spesifiseres på planet (to koordinater) og i rommet (tre koordinater). Den resulterende løsningen lagres i en Word-fil. Hvis vektorer er spesifisert gjennom koordinatene til punktene, må du bruke denne kalkulatoren.

Gitt:
to vektorkoordinater
tre vektorkoordinater
en: ; ;
b: ; ;

Klassifisering av vektorprojeksjoner

Typer projeksjoner per definisjon vektorprojeksjon

Typer projeksjoner i henhold til koordinatsystemet

Vektorprojeksjonsegenskaper

1. Den geometriske projeksjonen av en vektor er en vektor (har en retning).
2. Den algebraiske projeksjonen av en vektor er et tall.

Vektorprojeksjonsteoremer

Teorem 1. Projeksjonen av summen av vektorer på en hvilken som helst akse er lik projeksjonen av summene av vektorene på samme akse.

Teorem 2. Den algebraiske projeksjonen av en vektor på en hvilken som helst akse er lik produktet av lengden på vektoren og cosinus til vinkelen mellom aksen og vektoren:

Pr a b = |b|cos(a,b)

Typer vektorprojeksjoner

1. projeksjon på OX-aksen.
2. projeksjon på OY-aksen.
3. projeksjon på en vektor.

Projeksjon på OX-aksen	Projeksjon på OY-aksen	Projeksjon til vektor
Hvis retningen til vektor A'B' sammenfaller med retningen til OX-aksen, har projeksjonen av vektor A'B' et positivt fortegn.	Hvis retningen til vektor A'B' faller sammen med retningen til OY-aksen, har projeksjonen av vektor A'B' et positivt fortegn.	Hvis retningen til vektor A'B' faller sammen med retningen til vektor NM, så har projeksjonen av vektor A'B' et positivt fortegn.
Hvis retningen til vektoren er motsatt av retningen til OX-aksen, har projeksjonen av vektoren A'B' negativt tegn.	Hvis retningen til vektor A'B' er motsatt av retningen til OY-aksen, har projeksjonen av vektor A'B' et negativt fortegn.	Hvis retningen til vektor A'B' er motsatt av retningen til vektor NM, så har projeksjonen av vektor A'B' et negativt fortegn.
Hvis vektor AB er parallell med OX-aksen, er projeksjonen av vektor A’B’ lik den absolutte verdien av vektor AB.	Hvis vektor AB er parallell med OY-aksen, er projeksjonen av vektor A’B’ lik den absolutte verdien av vektor AB.	Hvis vektor AB er parallell med vektor NM, er projeksjonen av vektor A'B' lik den absolutte verdien av vektor AB.
Hvis vektoren AB er vinkelrett på aksen OX, så er projeksjonen A’B’ lik null (nullvektor).	Hvis vektoren AB er vinkelrett på OY-aksen, er projeksjonen A’B’ lik null (nullvektor).	Hvis vektoren AB er vinkelrett på vektoren NM, så er projeksjonen A’B’ lik null (nullvektor).

1. Spørsmål: Kan projeksjonen av en vektor ha negativt fortegn? Svar: Ja, projeksjonsvektoren kan være en negativ verdi. I dette tilfellet har vektoren motsatt retning(se hvordan OX-aksen og AB-vektoren er rettet)
2. Spørsmål: Kan projeksjonen av en vektor falle sammen med den absolutte verdien av vektoren? Svar: Ja, det kan det. I dette tilfellet er vektorene parallelle (eller ligger på samme linje).
3. Spørsmål: Kan projeksjonen av en vektor være lik null (nullvektor). Svar: Ja, det kan det. I dette tilfellet er vektoren vinkelrett på den tilsvarende aksen (vektor).

Eksempel 1. Vektoren (fig. 1) danner en vinkel på 60° med OX-aksen (den er spesifisert av vektor a). Hvis OE er en skalaenhet, så |b|=4, altså .

Faktisk er lengden på vektoren (geometrisk projeksjon b) lik 2, og retningen faller sammen med retningen til OX-aksen.

Eksempel 2. Vektoren (fig. 2) danner en vinkel (a,b) = 120 o med OX-aksen (med vektor a). Lengde |b| vektor b er lik 4, så pr a b=4·cos120 o = -2.

Faktisk er lengden på vektoren 2, og retningen er motsatt av retningen til aksen.

Inngangsnivå

Koordinater og vektorer. Omfattende guide (2019)

I denne artikkelen vil vi begynne å diskutere en "tryllestav" som lar deg redusere mange geometriproblemer til enkel aritmetikk. Denne "pinnen" kan gjøre livet ditt mye enklere, spesielt når du føler deg usikker på å bygge romlige figurer, seksjoner osv. Alt dette krever en viss fantasi og praktiske ferdigheter. Metoden som vi vil begynne å vurdere her vil tillate deg å nesten fullstendig abstrahere fra alle slags geometriske konstruksjoner og resonnement. Metoden kalles "koordinatmetode". I denne artikkelen vil vi vurdere følgende spørsmål:

1. Koordinat fly
2. Punkter og vektorer på planet
3. Konstruere en vektor fra to punkter
4. Vektorlengde (avstand mellom to punkter).
5. Koordinater til midten av segmentet
6. Punktprodukt av vektorer
7. Vinkel mellom to vektorer

Jeg tror du allerede har gjettet hvorfor koordinatmetoden kalles det? Det er riktig, den fikk det navnet fordi den ikke fungerer med geometriske objekter, og med dem numeriske egenskaper(koordinater). Og selve transformasjonen, som lar oss gå fra geometri til algebra, består i å introdusere et koordinatsystem. Hvis den opprinnelige figuren var flat, er koordinatene todimensjonale, og hvis figuren er tredimensjonale, så er koordinatene tredimensjonale. I denne artikkelen vil vi kun vurdere det todimensjonale tilfellet. Og hovedmålet med artikkelen er å lære deg hvordan du bruker noen grunnleggende teknikker koordinatmetode (de viser seg noen ganger å være nyttige når man løser problemer med planimetri i del B av Unified State Examination). De neste to delene om dette emnet er viet til en diskusjon av metoder for å løse problemer C2 (problemet med stereometri).

Hvor ville det være logisk å begynne å diskutere koordinatmetoden? Sannsynligvis fra konseptet med et koordinatsystem. Husk når du møtte henne første gang. Det virker for meg som i 7. klasse, da du lærte om eksistensen lineær funksjon, For eksempel. La meg minne deg på at du bygget det punkt for punkt. Husker du? Du valgte vilkårlig nummer, erstattet det i formelen og beregnet det på denne måten. For eksempel hvis, da, hvis, da osv. Hva fikk du til slutt? Og du fikk poeng med koordinater: og. Deretter tegnet du et "kryss" (koordinatsystem), valgte en skala på det (hvor mange celler du vil ha som et enhetssegment) og markerte punktene du fikk på det, som du deretter koblet med en rett linje linje er grafen til funksjonen.

Det er noen punkter her som bør forklares litt mer detaljert:

1. Du velger et enkelt segment av bekvemmelighetshensyn, slik at alt passer vakkert og kompakt inn i tegningen

2. Det er akseptert at aksen går fra venstre til høyre, og aksen går fra bunn til topp

3. De skjærer hverandre i rette vinkler, og skjæringspunktet kalles origo. Det er angitt med en bokstav.

4. Når du skriver koordinatene til et punkt, for eksempel, til venstre i parentes er det koordinaten til punktet langs aksen, og til høyre langs aksen. Spesielt betyr det ganske enkelt at på punktet

5. For å sette et hvilket som helst punkt på koordinataksen, må du angi koordinatene (2 tall)

6. For ethvert punkt som ligger på aksen,

7. For ethvert punkt som ligger på aksen,

8. Aksen kalles abscisseaksen

9. Aksen kalles y-aksen

La oss nå gjøre det med deg neste trinn: marker to punkter. La oss koble disse to punktene med et segment. Og vi setter pilen som om vi tegnet et segment fra punkt til punkt: det vil si at vi gjør segmentet vårt rettet!

Husker du hva et annet retningssegment kalles? Det er riktig, det kalles en vektor!

Så hvis vi kobler prikk til prikk, og begynnelsen vil være punkt A, og slutten vil være punkt B, da får vi en vektor. Du gjorde også denne konstruksjonen i 8. klasse, husker du?

Det viser seg at vektorer, som punkter, kan betegnes med to tall: disse tallene kalles vektorkoordinater. Spørsmål: Tror du det er nok for oss å vite koordinatene til begynnelsen og slutten av en vektor for å finne dens koordinater? Det viser seg at ja! Og dette gjøres veldig enkelt:

Siden i en vektor punktet er begynnelsen og punktet er slutten, har vektoren følgende koordinater:

For eksempel hvis, så koordinatene til vektoren

La oss nå gjøre det motsatte, finne koordinatene til vektoren. Hva må vi endre for dette? Ja, du må bytte begynnelsen og slutten: nå vil begynnelsen av vektoren være på punktet, og slutten vil være på punktet. Da:

Se nøye, hva er forskjellen mellom vektorer og? Deres eneste forskjell er tegnene i koordinatene. De er motsetninger. Dette faktum er vanligvis skrevet slik:

Noen ganger, hvis det ikke er spesifikt oppgitt hvilket punkt som er begynnelsen av vektoren og hvilket som er slutten, er vektorer merket med mer enn to med store bokstaver, og en liten bokstav, for eksempel: , etc.

Nå litt øve selv og finn koordinatene til følgende vektorer:

Undersøkelse:

Løs nå et litt vanskeligere problem:

En vektor med en begynnelse på et punkt har en co-eller-di-na-du. Finn abs-cis-su-punktene.

Det samme er ganske prosaisk: La være koordinatene til punktet. Da

Jeg kompilerte systemet basert på definisjonen av hva vektorkoordinater er. Da har punktet koordinater. Vi er interessert i abscissen. Da

Svare:

Hva annet kan du gjøre med vektorer? Ja, nesten alt er det samme som med vanlige tall(bortsett fra at du ikke kan dele, men du kan multiplisere på to måter, hvorav den ene skal diskuteres her litt senere)

1. Vektorer kan legges til hverandre
2. Vektorer kan trekkes fra hverandre
3. Vektorer kan multipliseres (eller divideres) med et vilkårlig tall som ikke er null
4. Vektorer kan multipliseres med hverandre

Alle disse operasjonene har en veldig tydelig geometrisk representasjon. For eksempel, trekanten (eller parallellogram) regelen for addisjon og subtraksjon:

En vektor strekker seg eller trekker seg sammen eller endrer retning når den multipliseres eller divideres med et tall:

Men her vil vi være interessert i spørsmålet om hva som skjer med koordinatene.

1. Når vi adderer (subtraherer) to vektorer legger vi til (subtraherer) deres koordinater element for element. Det vil si:

2. Når du multipliserer (deler) en vektor med et tall, blir alle dens koordinater multiplisert (delt) med dette tallet:

For eksempel:

· Finn mengden co-or-di-nat århundre-til-ra.

La oss først finne koordinatene til hver av vektorene. De har begge samme opphav - opprinnelsespunktet. Endene deres er forskjellige. Deretter,. La oss nå beregne koordinatene til vektoren. Da er summen av koordinatene til den resulterende vektoren lik.

Svare:

Løs nå følgende problem selv:

· Finn summen av vektorkoordinater

Vi sjekker:

La oss nå vurdere følgende problem: vi har to punkter på koordinatplan. Hvordan finne avstanden mellom dem? La det første punktet være, og det andre. La oss angi avstanden mellom dem med. La oss lage følgende tegning for klarhet:

Hva har jeg gjort? Først og fremst koblet jeg meg prikker og,a også fra et punkt tegnet jeg en linje parallelt med aksen, og fra et punkt tegnet jeg en linje parallelt med aksen. Skjærte de seg på et punkt og dannet en bemerkelsesverdig figur? Hva er så spesielt med henne? Ja, du og jeg vet nesten alt om rettvinklet trekant. Vel, Pythagoras teorem helt sikkert. Det nødvendige segmentet er hypotenusen til denne trekanten, og segmentene er bena. Hva er koordinatene til punktet? Ja, de er lette å finne fra bildet: Siden segmentene er parallelle med aksene og henholdsvis lengdene deres er enkle å finne: hvis vi betegner lengdene til segmentene med hhv.

La oss nå bruke Pythagoras teorem. Vi vet lengden på bena, vi finner hypotenusen:

Dermed er avstanden mellom to punkter roten av summen av kvadrerte forskjeller fra koordinatene. Eller - avstanden mellom to punkter er lengden på segmentet som forbinder dem.

Det er lett å se at avstanden mellom punktene ikke er avhengig av retningen. Da:

Herfra trekker vi tre konklusjoner:

La oss øve litt på å beregne avstanden mellom to punkter:

For eksempel hvis, så er avstanden mellom og lik

Eller la oss gå en annen vei: finn koordinatene til vektoren

Og finn lengden på vektoren:

Som du kan se, er det det samme!

Nå skal du trene litt selv:

Oppgave: Finn avstanden mellom de angitte punktene:

Vi sjekker:

Her er et par flere problemer med samme formel, selv om de høres litt annerledes ut:

1. Finn kvadratet av lengden på øyelokket.

2. Finn kvadratet på øyelokkets lengde

Jeg tror du taklet dem uten problemer? Vi sjekker:

1. Og dette er for oppmerksomhet) Vi har allerede funnet koordinatene til vektorene tidligere: . Da har vektoren koordinater. Kvadraten på lengden vil være lik:

2. Finn koordinatene til vektoren

Da er kvadratet av lengden

Ikke noe komplisert, ikke sant? Enkel aritmetikk, ikke noe mer.

1. Følgende problemer kan ikke klassifiseres entydig de handler mer om generell lærdom og evnen til å tegne enkle bilder.

Finn sinusen til vinkelen i vinkelen fra kuttet, koble punktet, med abscisseaksen.

Hvordan skal vi gå frem her? Vi må finne sinusen til vinkelen mellom og aksen. Hvor kan vi se etter sinus? Det stemmer, i en rettvinklet trekant. Så hva trenger vi å gjøre? Bygg denne trekanten!

Siden koordinatene til punktet er og, er segmentet lik, og segmentet. Vi må finne sinusen til vinkelen. La meg minne deg på at sinus er et forhold motsatt ben til hypotenusen, da

Hva har vi igjen å gjøre? Finn hypotenusen. Du kan gjøre dette på to måter: ved å bruke Pythagoras teorem (bena er kjent!) eller ved å bruke formelen for avstanden mellom to punkter (faktisk det samme som den første metoden!). Jeg går den andre veien:

Svare:

Den neste oppgaven vil virke enda enklere for deg. Hun er på koordinatene til punktet.

Oppgave 2. Fra punktet senkes per-pen-di-ku-lyaren ned på ab-ciss-aksen. Nai-di-te abs-cis-su os-no-va-niya per-pen-di-ku-la-ra.

La oss lage en tegning:

Grunnlaget til en perpendikulær er punktet der den skjærer x-aksen (aksen), for meg er dette et punkt. Figuren viser at den har koordinater: . Vi er interessert i abscissen - det vil si "x" -komponenten. Hun er likestilt.

Svare: .

Oppgave 3. I betingelsene for forrige oppgave, finn summen av avstandene fra punktet til koordinataksene.

Oppgaven er generelt elementær hvis du vet hva avstanden fra et punkt til aksene er. Vet du? Jeg håper, men jeg vil likevel minne deg på:

Så, i tegningen min rett ovenfor, har jeg allerede tegnet en slik vinkelrett? Hvilken akse er den på? Til aksen. Og hva er lengden da? Hun er likestilt. Tegn nå en vinkelrett på aksen selv og finn lengden. Det blir likt, ikke sant? Da er summen deres lik.

Svare: .

Oppgave 4. I betingelsene for oppgave 2, finn ordinaten til punktet, symmetrisk punkt i forhold til abscisseaksen.

Jeg tror det er intuitivt klart for deg hva symmetri er? Mange gjenstander har det: mange bygninger, bord, fly, mange geometriske former: kule, sylinder, firkant, rombe osv. Grovt sett kan symmetri forstås slik: en figur består av to (eller flere) like halvdeler. Denne symmetrien kalles aksial symmetri. Hva er da en akse? Dette er nøyaktig linjen langs hvilken figuren relativt sett kan "skjæres" i like halvdeler (i dette bildet er symmetriaksen rett):

La oss nå gå tilbake til oppgaven vår. Vi vet at vi ser etter et punkt som er symmetrisk om aksen. Da er denne aksen symmetriaksen. Dette betyr at vi må markere et punkt slik at aksen kutter segmentet i to like deler. Prøv å markere et slikt punkt selv. Sammenlign nå med min løsning:

Fungerte det på samme måte for deg? Fin! Vi er interessert i ordinaten til det funnet punktet. Det er likt

Svare:

Fortell meg nå, etter å ha tenkt noen sekunder, hva vil abscissen til et punkt som er symmetrisk til punktet A i forhold til ordinataksen? Hva er svaret ditt? Riktig svar:.

I generell sak regelen kan skrives slik:

Et punkt som er symmetrisk til et punkt i forhold til abscisseaksen har koordinatene:

Et punkt som er symmetrisk til et punkt i forhold til ordinataksen har koordinater:

Vel, nå er det helt skummelt oppgave: finn koordinatene til et punkt symmetrisk til punktet i forhold til origo. Du tenker først selv, og så ser du på tegningen min!

Svare:

Nå parallellogram problem:

Oppgave 5: Punktene vises ver-shi-na-mi pa-ral-le-lo-gram-ma. Finn eller-di-på-det punktet.

Du kan løse dette problemet på to måter: logikk og koordinatmetoden. Jeg bruker først koordinatmetoden, og så skal jeg fortelle deg hvordan du kan løse det annerledes.

Det er helt klart at abscissen til punktet er lik. (den ligger på vinkelrett tegnet fra punktet til abscisseaksen). Vi må finne ordinaten. La oss dra nytte av det faktum at figuren vår er et parallellogram, dette betyr det. La oss finne lengden på segmentet ved å bruke formelen for avstanden mellom to punkter:

Vi senker vinkelrett som forbinder punktet med aksen. Jeg vil angi skjæringspunktet med en bokstav.

Lengden på segmentet er lik. (finn problemet selv der vi diskuterte dette punktet), så vil vi finne lengden på segmentet ved å bruke Pythagoras teorem:

Lengden på et segment sammenfaller nøyaktig med ordinaten.

Svare: .

En annen løsning (jeg skal bare gi et bilde som illustrerer det)

Løsningsfremgang:

1. Oppførsel

2. Finn koordinatene til punktet og lengden

3. Bevis det.

En til problem med segmentlengde:

Punktene vises på toppen av trekanten. Finn lengden på midtlinjen, parallell.

Husker du hva midtlinjen i en trekant er? Da er denne oppgaven elementær for deg. Hvis du ikke husker, så minner jeg deg på: midtlinjen i en trekant er linjen som forbinder midtpunktene motsatte sider. Den er parallell med basen og lik halvparten av den.

Basen er et segment. Vi måtte se etter lengden tidligere, den er lik. Så lengden midtlinje halvparten så mye og likt.

Svare: .

Kommentar: dette problemet kan løses på en annen måte, som vi kommer til litt senere.

I mellomtiden, her er noen problemer for deg, øv med dem, de er veldig enkle, men de hjelper deg å bli bedre til å bruke koordinatmetoden!

1. Punktene vises på toppen av tra-pesjonene. Finn lengden på midtlinjen.

2. Poeng og utseende ver-shi-na-mi pa-ral-le-lo-gram-ma. Finn eller-di-på-det punktet.

3. Finn lengden fra kuttet, koble punktet og

4. Finn området bak den fargede figuren på koordinatplanet.

5. En sirkel med sentrum i na-cha-le ko-or-di-nat går gjennom punktet. Finn hennes ra-di-us.

6. Finn-di-te ra-di-us av sirkelen, beskriv-san-noy om den rette vinkelen-no-ka, toppen av noe har en med-eller -di-na-du er så ansvarlig

Løsninger:

1. Det er kjent at midtlinjen til en trapes er lik halvparten av summen av dens baser. Basen er lik, og basen. Da

Svare:

2. Den enkleste måten å løse dette problemet på er å merke seg det (parallelogramregelen). Å beregne koordinatene til vektorer er ikke vanskelig: . Når vektorer legges til, legges koordinatene til. Da har den koordinater. Punktet har også disse koordinatene, siden opprinnelsen til vektoren er punktet med koordinatene. Vi er interessert i ordinaten. Hun er likestilt.

Svare:

3. Vi handler umiddelbart i henhold til formelen for avstanden mellom to punkter:

Svare:

4. Se på bildet og fortell meg hvilke to figurer det skraverte området er "klemt" mellom? Den er klemt mellom to firkanter. Da er arealet til den ønskede figuren lik arealet til den store firkanten minus arealet til den lille. Side liten firkant er et segment som forbinder punkter og lengden er

Da er arealet av det lille torget

Vi gjør akkurat det samme med stort torg: siden er et segment som forbinder punktene og lengden er

Da er arealet av det store torget

Vi finner arealet til ønsket figur ved å bruke formelen:

Svare:

5. Hvis en sirkel har origo som senter og går gjennom et punkt, vil dens radius være nøyaktig lik lengde segment (lag en tegning og du vil forstå hvorfor dette er åpenbart). La oss finne lengden på dette segmentet:

Svare:

6. Det er kjent at radiusen til en sirkel omskrevet rundt et rektangel lik halvparten dens diagonaler. La oss finne lengden på en av de to diagonalene (tross alt, i et rektangel er de like!)

Svare:

Vel, taklet du alt? Det var ikke så veldig vanskelig å finne ut av det, var det? Det er bare én regel her - kunne lage et visuelt bilde og ganske enkelt "lese" alle dataene fra det.

Vi har veldig lite igjen. Det er bokstavelig talt to punkter til som jeg ønsker å diskutere.

La oss prøve å løse dette enkle problemet. La to poeng og gis. Finn koordinatene til midtpunktet av segmentet. Løsningen på dette problemet er som følger: la punktet være det ønskede midten, så har det koordinater:

Det vil si: koordinater til midten av segmentet = det aritmetiske gjennomsnittet av de tilsvarende koordinatene til endene av segmentet.

Denne regelen er veldig enkel og forårsaker vanligvis ikke vanskeligheter for elevene. La oss se i hvilke problemer og hvordan det brukes:

1. Finn-di-te eller-di-na-tu se-re-di-ny fra-cut, koble-punktet og

2. Poengene ser ut til å være toppen av verden. Finn-di-te eller-di-na-tu poeng per-re-se-che-niya av dia-go-na-ley hans.

3. Finn-di-te abs-cis-su sentrum av sirkelen, beskriv-san-noy om rektangulære-no-ka, toppen av noe har co-eller-di-na-du så-ansvarlig-men.

Løsninger:

1. Det første problemet er rett og slett en klassiker. Vi fortsetter umiddelbart for å bestemme midten av segmentet. Den har koordinater. Ordinaten er lik.

Svare:

2. Det er lett å se at denne firkanten er et parallellogram (til og med en rombe!). Du kan bevise dette selv ved å beregne lengdene på sidene og sammenligne dem med hverandre. Hva vet jeg om parallellogrammer? Diagonalene er delt i to av skjæringspunktet! Ja! Så hva er skjæringspunktet mellom diagonalene? Dette er midten av noen av diagonalene! Jeg vil spesielt velge diagonalen. Da har punktet koordinater Ordinaten til punktet er lik.

Svare:

3. Hva sammenfaller midten av sirkelen som er omskrevet om rektangelet? Det faller sammen med skjæringspunktet for diagonalene. Hva vet du om diagonalene til et rektangel? De er like og skjæringspunktet deler dem i to. Oppgaven ble redusert til den forrige. La oss ta for eksempel diagonalen. Så hvis er sentrum av den omskrevne sirkelen, så er midtpunktet. Jeg ser etter koordinater: Abscissen er lik.

Svare:

Nå skal du øve litt på egen hånd, jeg vil bare gi svarene på hvert problem slik at du kan teste deg selv.

1. Finn-di-te ra-di-us av sirkelen, beskriv-san-noy om tri-angle-no-ka, toppen av noe har en co-eller-di -på-deg

2. Finn-di-te eller-di-på-det sentrum av sirkelen, beskriv-san-noy om trekanten-no-ka, hvis topper har koordinater

3. Hva slags ra-di-u-sa skal det være en sirkel med sentrum i et punkt slik at den tilsvarer ab-ciss-aksen?

4. Finn-di-de eller-di-på-det punktet for re-se-che-sjon av aksen og fra-cut, koble-the-point og

Svar:

Var alt vellykket? Jeg håper virkelig det! Nå - siste push. Vær spesielt forsiktig. Materialet som jeg nå skal forklare er direkte relatert ikke bare til enkle problemer på koordinatmetoden fra del B, men finnes også overalt i Oppgave C2.

Hvilke av løftene mine har jeg ennå ikke holdt? Husker du hvilke operasjoner på vektorer jeg lovet å introdusere og hvilke jeg til slutt introduserte? Er du sikker på at jeg ikke har glemt noe? Glemt! Jeg glemte å forklare hva vektormultiplikasjon betyr.

Det er to måter å multiplisere en vektor med en vektor. Avhengig av den valgte metoden vil vi få gjenstander av forskjellig natur:

Kryssproduktet er gjort ganske smart. Vi vil diskutere hvordan du gjør det og hvorfor det er nødvendig i neste artikkel. Og i denne vil vi fokusere på det skalære produktet.

Det er to måter som lar oss beregne det:

Som du gjettet, bør resultatet være det samme! Så la oss først se på den første metoden:

Prikk produkt via koordinater

Finn: - generelt akseptert notasjon for skalarprodukt

Formelen for beregning er som følger:

Det vil si prikkprodukt= summen av produkter av vektorkoordinater!

Eksempel:

Finn-di-te

Løsning:

La oss finne koordinatene til hver av vektorene:

Vi beregner skalarproduktet ved å bruke formelen:

Svare:

Se, absolutt ikke noe komplisert!

Vel, prøv det selv:

· Finn en skalar pro-iz-ve-de-nie av århundrer og

Klarte du deg? Kanskje du la merke til en liten hake? La oss sjekke:

Vektorkoordinater som i siste oppgave! Svar: .

I tillegg til koordinaten, er det en annen måte å beregne skalarproduktet på, nemlig gjennom lengdene på vektorene og cosinus til vinkelen mellom dem:

Angir vinkelen mellom vektorene og.

Det vil si at skalarproduktet er lik produktet av lengdene til vektorene og cosinus til vinkelen mellom dem.

Hvorfor trenger vi denne andre formelen, hvis vi har den første, som er mye enklere, er det i det minste ingen cosinus i den. Og det er nødvendig slik at du og jeg fra den første og andre formelen kan utlede hvordan du finner vinkelen mellom vektorer!

La Så husk formelen for lengden på vektoren!

Så hvis jeg erstatter disse dataene i skalarproduktformelen, får jeg:

Men på den annen side:

Så hva fikk du og jeg? Vi har nå en formel som lar oss beregne vinkelen mellom to vektorer! Noen ganger er det også skrevet slik for korthets skyld:

Det vil si at algoritmen for å beregne vinkelen mellom vektorer er som følger:

1. Beregn skalarproduktet gjennom koordinater
2. Finn lengdene på vektorene og gang dem
3. Del resultatet av punkt 1 med resultatet av punkt 2

La oss øve med eksempler:

1. Finn vinkelen mellom øyelokkene og. Gi svaret i grad-du-sah.

2. I betingelsene i forrige oppgave, finn cosinus mellom vektorene

La oss gjøre dette: Jeg skal hjelpe deg med å løse det første problemet, og prøve å gjøre det andre selv! Enig? Så la oss begynne!

1. Disse vektorene er våre gamle venner. Vi har allerede beregnet deres skalarprodukt, og det var likt. Koordinatene deres er: , . Så finner vi lengdene deres:

Deretter ser vi etter cosinus mellom vektorene:

Hva er cosinus til vinkelen? Dette er hjørnet.

Svare:

Vel, løs nå det andre problemet selv, og sammenlign! Jeg vil gi en veldig kort løsning:

2. har koordinater, har koordinater.

La være vinkelen mellom vektorene og, da

Svare:

Det skal bemerkes at problemene direkte på vektorer og koordinatmetoden i del B eksamensoppgave ganske sjelden. De aller fleste C2-problemene kan imidlertid enkelt løses ved å innføre et koordinatsystem. Så du kan vurdere denne artikkelen som grunnlaget som vi vil lage ganske smarte konstruksjoner som vi trenger å løse komplekse oppgaver.

KOORDINATER OG VEKTORER. GJENNOMSNITTLIG NIVÅ

Du og jeg fortsetter å studere koordinatmetoden. I den siste delen utledet vi en serie viktige formler, som tillater:

1. Finn vektorkoordinater
2. Finn lengden på en vektor (alternativt: avstanden mellom to punkter)
3. Legg til og trekk fra vektorer. Multipliser dem med et reelt tall
4. Finn midtpunktet til et segment
5. Beregn prikkprodukt av vektorer
6. Finn vinkelen mellom vektorer

Hele koordinatmetoden passer selvsagt ikke inn i disse 6 punktene. Det ligger til grunn for en slik vitenskap som analytisk geometri, som du vil bli kjent med på universitetet. Jeg vil bare bygge et grunnlag som lar deg løse problemer i en enkelt stat. eksamen. Vi har jobbet med oppgavene i del B. Nå er det på tide å gå videre til høy kvalitet nytt nivå! Denne artikkelen vil bli viet til en metode for å løse de C2-problemene der det ville være rimelig å bytte til koordinatmetoden. Denne rimeligheten bestemmes av hva som kreves for å finne i problemstillingen og hvilken figur som er oppgitt. Så jeg ville brukt koordinatmetoden hvis spørsmålene er:

1. Finn vinkelen mellom to plan
2. Finn vinkelen mellom en rett linje og et plan
3. Finn vinkelen mellom to rette linjer
4. Finn avstanden fra et punkt til et fly
5. Finn avstanden fra et punkt til en linje
6. Finn avstanden fra en rett linje til et plan
7. Finn avstanden mellom to linjer

Hvis tallet gitt i problemformuleringen er et revolusjonslegeme (kule, sylinder, kjegle...)

Egnede tall for koordinatmetoden er:

1. Rektangulært parallellepipedum
2. Pyramide (trekantet, firkantet, sekskantet)

Også fra min erfaring det er uaktuelt å bruke koordinatmetoden for:

1. Finne tverrsnittsarealer
2. Beregning av volum av kropper

Imidlertid bør det umiddelbart bemerkes at de tre "ugunstige" situasjonene for koordinatmetoden er ganske sjeldne i praksis. I de fleste oppgaver kan den bli din redningsmann, spesielt hvis du ikke er veldig sterk i tredimensjonale konstruksjoner (som noen ganger kan være ganske intrikate).

Hva er alle tallene jeg listet opp ovenfor? De er ikke lenger flate, som for eksempel en firkant, en trekant, en sirkel, men voluminøse! Følgelig må vi ikke vurdere et todimensjonalt, men et tredimensjonalt koordinatsystem. Det er ganske enkelt å konstruere: bare i tillegg til abscissen og ordinataksen, vil vi introdusere en annen akse, applikataksen. Figuren viser skjematisk deres relative posisjon:

Alle av dem er gjensidig vinkelrett og skjærer hverandre på ett punkt, som vi vil kalle opprinnelsen til koordinatene. Som før vil vi betegne abscisseaksen, ordinataksen - og den introduserte applikataksen - .

Hvis hvert punkt på planet tidligere var preget av to tall - abscissen og ordinaten, er hvert punkt i rommet allerede beskrevet av tre tall - abscissen, ordinaten og applikasjonen. For eksempel:

Følgelig er abscissen til et punkt lik, ordinaten er , og applikatet er .

Noen ganger kalles abscissen til et punkt også projeksjonen av et punkt på abscisseaksen, ordinaten - projeksjonen av et punkt på ordinataksen, og applikatet - projeksjonen av et punkt på applikataksen. Følgelig, hvis et punkt er gitt, så et punkt med koordinater:

kalt projeksjon av et punkt på et plan

kalt projeksjon av et punkt på et plan

Et naturlig spørsmål dukker opp: er alle formlene som er utledet for det todimensjonale tilfellet gyldige i rommet? Svaret er ja, de er rettferdige og har samme utseende. For en liten detalj. Jeg tror du allerede har gjettet hvilken det er. I alle formler må vi legge til ett begrep til som er ansvarlig for applikataksen. Nemlig.

1. Hvis to poeng er gitt: , så:

• Vektorkoordinater:
• Avstand mellom to punkter (eller vektorlengde)
• Midtpunktet i segmentet har koordinater

2. Hvis to vektorer er gitt: og, da:

• Deres skalarprodukt er lik:
• Cosinus til vinkelen mellom vektorene er lik:

Plassen er imidlertid ikke så enkel. Som du forstår, introduserer det å legge til en koordinat til betydelig mangfold i spekteret av figurer som "lever" i dette rommet. Og for videre fortelling må jeg introdusere noen, grovt sett, "generalisering" av den rette linjen. Denne "generaliseringen" vil være et fly. Hva vet du om fly? Prøv å svare på spørsmålet, hva er et fly? Det er veldig vanskelig å si. Imidlertid forestiller vi oss alle intuitivt hvordan det ser ut:

Grovt sett er dette et slags endeløst "ark" som sitter fast i verdensrommet. "Uendelig" skal forstås at planet strekker seg i alle retninger, det vil si at området er lik uendelig. Denne "hands-on" forklaringen gir imidlertid ikke den minste idé om strukturen til flyet. Og det er hun som vil være interessert i oss.

La oss huske en av geometriens grunnleggende aksiomer:

• i to ulike punkter det er en rett linje på flyet, og bare en:

Eller dens analoge i verdensrommet:

Selvfølgelig husker du hvordan du utleder ligningen til en linje fra to gitte punkter, det er slett ikke vanskelig: hvis det første punktet har koordinater: og det andre, vil linjens ligning være som følger:

Du tok dette i 7. klasse. I rommet ser ligningen til en rett linje slik ut: la oss få to punkter med koordinater: , så har ligningen til den rette linjen som går gjennom dem formen:

For eksempel går en linje gjennom punkter:

Hvordan skal dette forstås? Dette skal forstås som følger: et punkt ligger på en linje hvis koordinatene tilfredsstiller følgende system:

Vi vil ikke være veldig interessert i linjens ligning, men vi må ta hensyn til selve viktig konsept rette vektor rett linje. - enhver vektor som ikke er null som ligger på en gitt linje eller parallelt med den.

For eksempel er begge vektorene retningsvektorer av en rett linje. La være et punkt som ligger på en linje og la være retningsvektoren. Deretter kan likningen av linjen skrives i følgende form:

Nok en gang vil jeg ikke være veldig interessert i ligningen for en rett linje, men jeg trenger virkelig at du husker hva en retningsvektor er! Igjen: dette er en hvilken som helst vektor som ikke er null som ligger på en linje eller parallelt med den.

Trekk tilbake ligning av et plan basert på tre gitte punkter er ikke lenger så trivielt, og vanligvis tas ikke dette problemet opp i kurset videregående skole. Men forgjeves! Denne teknikken er viktig når vi tyr til koordinatmetoden for å løse komplekse problemer. Jeg antar imidlertid at du er ivrig etter å lære noe nytt? Dessuten vil du kunne imponere læreren din ved universitetet når det viser seg at du allerede kan bruke teknikken som vanligvis studeres i kurset analytisk geometri. Så la oss komme i gang.

Ligningen til et plan er ikke så forskjellig fra ligningen til en rett linje på et plan, den har nemlig formen:

noen tall (ikke alle lik null), og variabler, for eksempel: etc. Som du kan se, er ligningen til et plan ikke veldig forskjellig fra ligningen til en rett linje (lineær funksjon). Men husker du hva du og jeg kranglet om? Vi sa at hvis vi har tre punkter som ikke ligger på samme linje, så kan likningen til planet rekonstrueres unikt fra dem. Men hvordan? Jeg skal prøve å forklare deg det.

Siden ligningen til planet er:

Og punktene tilhører dette planet, så når vi erstatter koordinatene til hvert punkt i likningen til planet, bør vi få den riktige identiteten:

Dermed er det behov for å løse tre likninger med ukjente! Dilemma! Du kan imidlertid alltid anta det (for å gjøre dette må du dele med). Dermed får vi tre ligninger med tre ukjente:

Vi vil imidlertid ikke løse et slikt system, men vil skrive ut det mystiske uttrykket som følger av det:

Ligning av et plan som går gjennom tre gitte punkter

\[\venstre| (\begin(array)(*(20)(c))(x - (x_0))&((x_1) - (x_0))&((x_2) - (x_0))\\(y - (y_0) )&((y_1) - (y_0))&((y_2) - (y_0))\\(z - (z_0))&((z_1) - (z_0))&((z_2) - (z_0)) \end(array)) \right| = 0\]

Stoppe! Hva er dette? En veldig uvanlig modul! Objektet du ser foran deg har imidlertid ingenting med modulen å gjøre. Dette objektet kalles en tredjeordens determinant. Fra nå av, når du arbeider med metoden for koordinater på et fly, vil du veldig ofte møte de samme determinantene. Hva er en tredjeordens determinant? Merkelig nok er det bare et tall. Det gjenstår å forstå hvilket spesifikt tall vi vil sammenligne med determinanten.

La oss først skrive tredjeordens determinanten i en mer generell form:

Hvor er noen tall. Med den første indeksen mener vi dessuten radnummeret, og med indeksen mener vi kolonnenummeret. For eksempel betyr det det gitt nummer står i skjæringspunktet mellom den andre raden og den tredje kolonnen. La oss ta den på neste spørsmål: Hvordan skal vi beregne en slik determinant? Det vil si, hvilket spesifikt tall vil vi sammenligne med det? For tredjeordens determinanten er det en heuristisk (visuell) trekantregel, ser det ut som som følger:

1. Produktet av elementene i hoveddiagonalen (fra øvre venstre hjørne til nedre høyre) produktet av elementene som danner den første trekanten "vinkelrett" på hoveddiagonalen produktet av elementene som danner den andre trekanten "vinkelrett" på hoveddiagonal
2. Produktet av elementene i den sekundære diagonalen (fra øvre høyre hjørne til nedre venstre) produktet av elementene som danner den første trekanten "vinkelrett" på den sekundære diagonalen produktet av elementene som danner den andre trekanten "vinkelrett" på sekundær diagonal
3. Da er determinanten lik forskjellen mellom verdiene oppnådd på trinnet og

Hvis vi skriver ned alt dette i tall, får vi følgende uttrykk:

Du trenger imidlertid ikke å huske beregningsmetoden i dette skjemaet, det er nok å bare ha trekantene i hodet og selve ideen om hva som blir trukket fra hva).

La oss illustrere trekantmetoden med et eksempel:

1. Regn ut determinanten:

La oss finne ut hva vi legger til og hva vi trekker fra:

Vilkår som kommer med et pluss:

Dette er hoveddiagonalen: produktet av elementene er lik

Den første trekanten, "vinkelrett på hoveddiagonalen: produktet av elementene er lik

Andre trekant, "vinkelrett på hoveddiagonalen: produktet av elementene er lik

Legg sammen tre tall:

Begreper som kommer med et minus

Dette er en sidediagonal: produktet av elementene er lik

Den første trekanten, "vinkelrett på den sekundære diagonalen: produktet av elementene er lik

Den andre trekanten, "vinkelrett på den sekundære diagonalen: produktet av elementene er lik

Legg sammen tre tall:

Alt som gjenstår å gjøre er å trekke fra summen av "pluss"-leddene fra summen av "minus"-leddene:

Slik,

Som du kan se, er det ikke noe komplisert eller overnaturlig i å beregne tredjeordens determinanter. Det er bare viktig å huske på trekanter og ikke tillate aritmetiske feil. Prøv nå å beregne det selv:

Oppgave: Finn avstanden mellom de angitte punktene:

1. Den første trekanten vinkelrett på hoveddiagonalen:
2. Andre trekant vinkelrett på hoveddiagonalen:
3. Sum av termer med pluss:
4. Den første trekanten vinkelrett på den sekundære diagonalen:
5. Andre trekant vinkelrett på sidediagonalen:
6. Summen av ledd med minus:
7. Summen av vilkårene med pluss minus summen av vilkårene med minus:

Her er et par flere determinanter, beregn verdiene deres selv og sammenlign dem med svarene:

Svar:

Vel, falt alt sammen? Flott, da kan du gå videre! Hvis det er vanskeligheter, er mitt råd dette: på Internett er det mange programmer for å beregne determinanten på nettet. Alt du trenger er å komme opp med din egen determinant, beregne den selv, og deretter sammenligne den med det programmet beregner. Og så videre til resultatene begynner å falle sammen. Jeg er sikker på at dette øyeblikket ikke vil ta lang tid å komme!

La oss nå gå tilbake til determinanten som jeg skrev ut da jeg snakket om ligningen til et fly som går gjennom tre gitt poeng:

Alt du trenger er å beregne verdien direkte (ved hjelp av trekantmetoden) og sette resultatet til null. Siden dette er variabler, vil du naturligvis få et uttrykk som avhenger av dem. Det er dette uttrykket som vil være ligningen til et plan som går gjennom tre gitte punkter som ikke ligger på samme rette linje!

La oss illustrere dette med et enkelt eksempel:

1. Konstruer ligningen til et plan som går gjennom punktene

Vi setter sammen en determinant for disse tre punktene:

La oss forenkle:

Nå regner vi det direkte ved å bruke trekantregelen:

\[(\left| (\begin(array)(*(20)(c))(x + 3)&2&6\\(y - 2)&0&1\\(z + 1)&5&0\end(array)) \ høyre|. = \venstre((x + 3) \høyre) \cdot 0 \cdot 0 + 2 \cdot 1 \cdot \left((z + 1) \right) + \left((y - 2) \right) \cdot 5 \cdot 6 - )\]

Dermed er ligningen til planet som går gjennom punktene:

Prøv nå å løse ett problem selv, og så vil vi diskutere det:

2. Finn ligningen til planet som går gjennom punktene

Vel, la oss nå diskutere løsningen:

La oss lage en determinant:

Og beregn verdien:

Da har ligningen til planet formen:

Eller, for å redusere med, får vi:

Nå to oppgaver for selvkontroll:

1. Konstruer ligningen til et plan som går gjennom tre punkter:

Svar:

Var alt sammen? Igjen, hvis det er visse vanskeligheter, så er mitt råd dette: ta tre poeng fra hodet (med i stor grad sjansen er stor for at de ikke vil ligge på samme rette linje), bygger du et fly basert på dem. Og så sjekker du deg selv på nettet. For eksempel på nettstedet:

Men ved hjelp av determinanter vil vi konstruere ikke bare ligningen til planet. Husk at jeg fortalte deg at ikke bare punktprodukt er definert for vektorer. Det finnes også et vektorprodukt, samt et blandet produkt. Og hvis skalarproduktet av to vektorer er et tall, vil vektorproduktet av to vektorer være en vektor, og denne vektoren vil være vinkelrett på de gitte:

Dessuten vil modulen være lik areal parallellogram konstruert på vektorer og. Denne vektoren Vi trenger den for å beregne avstanden fra et punkt til en linje. Hvordan kan vi telle? vektor produkt vektorer og, hvis deres koordinater er gitt? Den tredje ordens determinanten kommer oss til unnsetning igjen. Men før jeg går videre til algoritmen for beregning av vektorproduktet, må jeg gjøre en liten digresjon.

Denne digresjonen gjelder basisvektorer.

De er vist skjematisk i figuren:

Hvorfor tror du de kalles grunnleggende? Poenget er at:

Eller på bildet:

Gyldigheten av denne formelen er åpenbar, fordi:

Vektor kunstverk

Nå kan jeg begynne å introdusere kryssproduktet:

Vektorproduktet av to vektorer er en vektor, som beregnes i henhold til følgende regel:

La oss nå gi noen eksempler på beregning av kryssproduktet:

Eksempel 1: Finn kryssproduktet av vektorer:

Løsning: Jeg lager en determinant:

Og jeg regner det ut:

Nå fra å skrive gjennom basisvektorer, vil jeg gå tilbake til den vanlige vektornotasjonen:

Slik:

Prøv det nå.

Ferdig? Vi sjekker:

Og tradisjonelt to oppgaver for kontroll:

1. Finn vektorproduktet til følgende vektorer:
2. Finn vektorproduktet til følgende vektorer:

Svar:

Blandet produkt av tre vektorer

Den siste konstruksjonen jeg trenger er det blandede produktet av tre vektorer. Det, som en skalar, er et tall. Det er to måter å beregne det på. - gjennom en determinant, - gjennom et blandet produkt.

La oss nemlig få tre vektorer:

Deretter kan det blandede produktet av tre vektorer, betegnet med, beregnes som:

1. - det vil si at det blandede produktet er skalarproduktet av en vektor og vektorproduktet av to andre vektorer

For eksempel er det blandede produktet av tre vektorer:

Prøv å beregne det selv ved hjelp av vektorproduktet og sørg for at resultatene stemmer overens!

Og igjen - to eksempler for uavhengig avgjørelse:

Svar:

Velge et koordinatsystem

Vel, nå har vi alt nødvendig kunnskapsgrunnlag for å løse komplekse stereometriske geometriproblemer. Men før jeg går direkte videre til eksemplene og algoritmene for å løse dem, tror jeg at det vil være nyttig å dvele ved følgende spørsmål: hvordan nøyaktig velg et koordinatsystem for en bestemt figur. Tross alt er det valget relativ posisjon koordinatsystemer og former i rommet vil til syvende og sist avgjøre hvor tungvinte beregningene blir.

La meg minne deg på at vi i denne delen tar for oss følgende tall:

1. Rektangulært parallellepipedum
2. Rett prisme (trekantet, sekskantet...)
3. Pyramide (trekantet, firkantet)
4. Tetraeder (samme som trekantet pyramide)

For et rektangulært parallellepiped eller terning anbefaler jeg følgende konstruksjon:

Det vil si at jeg vil plassere figuren "i hjørnet". Terningen og parallellepipeden er veldig gode figurer. For dem kan du alltid enkelt finne koordinatene til hjørnene. For eksempel, hvis (som vist i figuren)

da er koordinatene til toppunktene som følger:

Selvfølgelig trenger du ikke å huske dette, men husk hvordan du best plasserer kuben eller kuboid- ønskelig.

Rett prisme

Prismet er en mer skadelig figur. Den kan plasseres i rommet på forskjellige måter. Imidlertid virker følgende alternativ for meg det mest akseptable:

Trekantet prisme:

Det vil si at vi plasserer en av sidene av trekanten helt på aksen, og en av toppunktene faller sammen med opprinnelsen til koordinatene.

Sekskantet prisme:

Det vil si at en av toppunktene faller sammen med origo, og en av sidene ligger på aksen.

Firkantet og sekskantet pyramide:

Situasjonen ligner på en terning: vi justerer to sider av basen med koordinataksene, og justerer en av toppunktene med origo for koordinatene. Den eneste lille vanskeligheten vil være å beregne koordinatene til punktet.

For en sekskantet pyramide - det samme som for et sekskantet prisme. Hovedoppgaven blir igjen å finne koordinatene til toppunktet.

Tetraeder (trekantet pyramide)

Situasjonen er veldig lik den jeg ga for et trekantet prisme: ett toppunkt faller sammen med origo, en side ligger på koordinataksen.

Vel, nå er du og jeg endelig nær ved å begynne å løse problemer. Fra det jeg sa helt i begynnelsen av artikkelen, kan du trekke følgende konklusjon: de fleste C2-oppgaver er delt inn i 2 kategorier: vinkelproblemer og avstandsproblemer. Først skal vi se på problemene med å finne en vinkel. De er igjen delt inn i følgende kategorier (ettersom de øker i kompleksitet):

Problemer med å finne vinkler

1. Finne vinkelen mellom to rette linjer
2. Finne vinkelen mellom to plan

La oss se på disse problemene sekvensielt: la oss starte med å finne vinkelen mellom to rette linjer. Vel, husk, bestemte ikke du og jeg? lignende eksempler tidligere? Husker du at vi allerede hadde noe lignende... Vi lette etter vinkelen mellom to vektorer. La meg minne deg på at hvis to vektorer er gitt: og da er vinkelen mellom dem funnet fra relasjonen:

Nå er målet vårt å finne vinkelen mellom to rette linjer. La oss se på det "flate bildet":

Hvor mange vinkler fikk vi når to rette linjer krysset hverandre? Bare noen få ting. Riktignok er bare to av dem ulik, mens de andre er vertikale til dem (og derfor sammenfaller med dem). Så hvilken vinkel skal vi vurdere vinkelen mellom to rette linjer: eller? Her er regelen: vinkelen mellom to rette linjer er alltid ikke mer enn grader. Det vil si at fra to vinkler vil vi alltid velge vinkelen med den minste gradsmål. Det vil si at i dette bildet er vinkelen mellom to rette linjer lik. For ikke å bry seg hver gang med å finne den minste av to vinkler, foreslo snedige matematikere å bruke en modul. Dermed bestemmes vinkelen mellom to rette linjer av formelen:

Du, som en oppmerksom leser, burde ha hatt et spørsmål: hvor, nøyaktig, får vi disse tallene som vi trenger for å beregne cosinus til en vinkel? Svar: vi tar dem fra retningsvektorene til linjene! Dermed er algoritmen for å finne vinkelen mellom to rette linjer som følger:

1. Vi bruker formel 1.

Eller mer detaljert:

1. Vi leter etter koordinatene til retningsvektoren til den første rette linjen
2. Vi leter etter koordinatene til retningsvektoren til den andre rette linjen
3. Vi beregner modulen til deres skalarprodukt
4. Vi ser etter lengden på den første vektoren
5. Vi ser etter lengden på den andre vektoren
6. Multipliser resultatene fra punkt 4 med resultatene fra punkt 5
7. Vi deler resultatet av punkt 3 med resultatet av punkt 6. Vi får cosinus til vinkelen mellom linjene
8. Hvis dette resultatet lar deg beregne vinkelen nøyaktig, se etter den
9. Ellers skriver vi gjennom arc cosinus

Vel, nå er det på tide å gå videre til problemene: Jeg vil demonstrere løsningen på de to første i detalj, jeg vil presentere løsningen for en annen i i korte trekk, og for de to siste oppgavene vil jeg bare gi svar du må utføre alle beregningene for dem selv.

Oppgaver:

1. I høyre tet-ra-ed-re finner du vinkelen mellom høyden på tet-ra-ed-ra og midtsiden.

2. I høyre seks-hjørne pi-ra-mi-de, de hundre os-no-va-niyaene er like, og sidekantene er like, finn vinkelen mellom linjene og.

3. Lengdene på alle kantene på høyre firekull pi-ra-mi-dy er lik hverandre. Finn vinkelen mellom de rette linjene og hvis fra snittet - du er med den gitte pi-ra-mi-dy, er punktet se-re-di-på sine bo-co-andre ribber

4. På kanten av kuben er det et punkt slik at Finn vinkelen mellom de rette linjene og

5. Pek - på kantene av kuben Finn vinkelen mellom de rette linjene og.

Det er ikke tilfeldig at jeg ordnet oppgavene i denne rekkefølgen. Mens du ennå ikke har hatt tid til å begynne å navigere i koordinatmetoden, vil jeg selv analysere de mest "problematiske" figurene, og jeg vil la deg håndtere den enkleste kuben! Etter hvert må du lære deg å jobbe med alle figurene. Jeg vil øke kompleksiteten i oppgavene fra emne til emne.

La oss begynne å løse problemer:

1. Tegn et tetraeder, plasser det i koordinatsystemet som jeg foreslo tidligere. Siden tetraederet er regelmessig, er alle ansiktene (inkludert basen) det vanlige trekanter. Siden vi ikke får oppgitt lengden på siden, kan jeg ta det for å være likt. Jeg tror du forstår at vinkelen faktisk ikke vil avhenge av hvor mye tetraederet vårt er "strukket"?. Jeg vil også tegne høyden og medianen i tetraederet. Underveis vil jeg tegne basen (den vil også være nyttig for oss).

Jeg må finne vinkelen mellom og. Hva vet vi? Vi kjenner bare koordinaten til punktet. Dette betyr at vi må finne koordinatene til punktene. Nå tenker vi: et punkt er skjæringspunktet mellom høydene (eller halveringslinjen eller medianene) til trekanten. Og en prikk er et hevet punkt. Poenget er midten av segmentet. Så må vi til slutt finne: koordinatene til punktene: .

La oss starte med det enkleste: koordinatene til et punkt. Se på figuren: Det er tydelig at applikasjonen til et punkt er lik null (punktet ligger på planet). Ordinaten er lik (siden den er medianen). Det er vanskeligere å finne abscissen. Dette gjøres imidlertid enkelt basert på Pythagoras teorem: Tenk på en trekant. Hypotenusen er lik, og den ene bena er lik. Da:

Endelig har vi: .

La oss nå finne koordinatene til punktet. Det er klart at applikatet igjen er lik null, og ordinaten er det samme som for et punkt, det vil si. La oss finne abscissen. Dette gjøres ganske trivielt hvis du husker det høyder likesidet trekant skjæringspunktet er delt i forhold, teller fra toppen. Siden: , så er den nødvendige abscissen til punktet, lik lengden på segmentet, lik: . Dermed er koordinatene til punktet:

La oss finne koordinatene til punktet. Det er tydelig at abscissen og ordinaten sammenfaller med punktets abscisse og ordinat. Og søknaden er lik lengden på segmentet. - dette er et av bena i trekanten. Hypotenusen til en trekant er et segment - et ben. Det søkes av grunner som jeg har fremhevet med fet skrift:

Poenget er midten av segmentet. Da må vi huske formelen for koordinatene til midtpunktet av segmentet:

Det er det, nå kan vi se etter koordinatene til retningsvektorene:

Vel, alt er klart: vi erstatter alle dataene i formelen:

Slik,

Svare:

Du bør ikke være redd av slike "skumle" svar: For C2-problemer er dette vanlig praksis. Jeg vil heller bli overrasket over det "vakre" svaret i denne delen. Dessuten, som du la merke til, tyr jeg praktisk talt ikke til noe annet enn Pythagoras teoremet og egenskapen til høydene til en likesidet trekant. Det vil si at for å løse det stereometriske problemet brukte jeg det aller minste av stereometri. Gevinsten i dette er delvis «slukket» ved ganske tungvinte beregninger. Men de er ganske algoritmiske!

2. La oss tegne den riktige sekskantet pyramide sammen med koordinatsystemet, så vel som dets base:

Vi må finne vinkelen mellom linjene og. Dermed går oppgaven vår ned på å finne koordinatene til punktene: . Vi finner koordinatene til de tre siste ved hjelp av en liten tegning, og vi finner koordinaten til toppunktet gjennom koordinaten til punktet. Det er mye arbeid å gjøre, men vi må komme i gang!

a) Koordinat: det er klart at applikatet og ordinaten er lik null. La oss finne abscissen. For å gjøre dette, vurder en rettvinklet trekant. Akk, i den kjenner vi bare hypotenusen, som er lik. Vi vil prøve å finne benet (for det er klart at dobbel lengde på benet vil gi oss abscissen til punktet). Hvordan kan vi se etter det? La oss huske hva slags figur vi har ved bunnen av pyramiden? Dette er en vanlig sekskant. Hva betyr dette? Dette betyr at alle sider og alle vinkler er like. Vi må finne en slik vinkel. Noen ideer? Det er mange ideer, men det er en formel:

Summen av vinkler vanlig n-gon lik .

Altså summen av vinklene vanlig sekskant lik grader. Da er hver av vinklene lik:

La oss se på bildet igjen. Det er tydelig at segmentet er halveringslinjen til vinkelen. Så vinkelen lik grader. Da:

Så hvor fra.

Har dermed koordinater

b) Nå kan vi enkelt finne koordinaten til punktet: .

c) Finn koordinatene til punktet. Siden abscissen faller sammen med lengden på segmentet, er den lik. Å finne ordinaten er heller ikke veldig vanskelig: hvis vi kobler sammen prikkene og utpeker skjæringspunktet for linjen som for eksempel . (gjør det selv enkel konstruksjon). Da er ordinaten til punkt B lik summen av lengdene til segmentene. La oss se på trekanten igjen. Da

Da siden Da har punktet koordinater

d) La oss nå finne koordinatene til punktet. Tenk på rektangelet og bevis at dermed er koordinatene til punktet:

e) Det gjenstår å finne koordinatene til toppunktet. Det er tydelig at abscissen og ordinaten sammenfaller med punktets abscisse og ordinat. La oss finne applikasjonen. Siden da. Tenk på en rettvinklet trekant. I henhold til forholdene for problemet sideribbe. Dette er hypotenusen til trekanten min. Da er høyden på pyramiden et ben.

Da har punktet koordinater:

Vel, det er det, jeg har koordinatene til alle punktene som interesserer meg. Jeg ser etter koordinatene til retningsvektorene til rette linjer:

Vi ser etter vinkelen mellom disse vektorene:

Svare:

Igjen, for å løse dette problemet brukte jeg ingen sofistikerte teknikker annet enn formelen for summen av vinklene til en regulær n-gon, samt definisjonen av cosinus og sinus til en rettvinklet trekant.

3. Siden vi igjen ikke får oppgitt lengdene på kantene i pyramiden, vil jeg telle dem lik en. Derfor, siden ALLE kantene, og ikke bare sidene, er like med hverandre, så er det ved bunnen av pyramiden og meg en firkant, og sideflater- vanlige trekanter. La oss tegne en slik pyramide, så vel som dens base på et plan, og notere alle dataene gitt i teksten til problemet:

Vi ser etter vinkelen mellom og. Jeg skal gjøre veldig korte beregninger når jeg søker etter koordinatene til punktene. Du må "dechiffrere" dem:

b) - midten av segmentet. Dens koordinater:

c) Jeg vil finne lengden på segmentet ved hjelp av Pythagoras teorem i en trekant. Jeg kan finne det ved å bruke Pythagoras teorem i en trekant.

Koordinater:

d) - midten av segmentet. Dens koordinater er

e) Vektorkoordinater

f) Vektorkoordinater

g) Ser etter vinkelen:

Kube - enkleste figuren. Jeg er sikker på at du vil finne ut av det på egen hånd. Svarene på oppgave 4 og 5 er som følger:

Finne vinkelen mellom en rett linje og et plan

Vel, tiden for enkle gåter er over! Nå blir eksemplene enda mer kompliserte. For å finne vinkelen mellom en rett linje og et plan, går vi frem som følger:

1. Ved å bruke tre punkter konstruerer vi en likning av planet
   ,
   ved å bruke en tredjeordens determinant.
2. Ved å bruke to punkter ser vi etter koordinatene til retningsvektoren til den rette linjen:
3. Vi bruker formelen for å beregne vinkelen mellom en rett linje og et plan:

Som du kan se, er denne formelen veldig lik den vi brukte for å finne vinkler mellom to rette linjer. Strukturen på høyre side er rett og slett den samme, og til venstre ser vi nå etter sinus, ikke cosinus som før. Vel, en ekkel handling ble lagt til - søking etter flyets ligning.

La oss ikke utsette eksempler på løsninger:

1. Hoved-men-va-ni-em direkte prisme-vi er lik-den-fattige-ren-trekanten-kallenavnet til deg-og-det prismet-vi er like. Finn vinkelen mellom den rette linjen og planet

2. I en rektangulær par-ral-le-le-pi-pe-de fra vest Finn vinkelen mellom den rette linjen og planet

3. I et rett sekskantet prisme er alle kanter like. Finn vinkelen mellom den rette linjen og planet.

4. I den høyre trekantede pi-ra-mi-de med os-no-va-ni-em av de kjente ribbene Finn et hjørne, ob-ra-zo-van -flat i bunnen og rett, som går gjennom den grå ribbeina og

5. Lengdene på alle kantene på en rett firkantet pi-ra-mi-dy med et toppunkt er lik hverandre. Finn vinkelen mellom den rette linjen og planet hvis punktet er på siden av pi-ra-mi-dys kant.

Igjen vil jeg løse de to første problemene i detalj, den tredje kort, og la de to siste stå til deg selv. Dessuten har du allerede måttet forholde deg til den trekantede og firkantede pyramider, men med prismer - ikke ennå.

Løsninger:

1. La oss skildre et prisme, så vel som dets base. La oss kombinere det med koordinatsystemet og notere alle dataene som er gitt i problemstillingen:

Jeg beklager noe manglende overholdelse av proporsjonene, men for å løse problemet er dette faktisk ikke så viktig. Flyet er rett og slett "bakveggen" til prismet mitt. Det er nok å bare gjette at ligningen til et slikt plan har formen:

Dette kan imidlertid vises direkte:

La oss velge vilkårlige tre punkter på dette planet: for eksempel .

La oss lage ligningen til planet:

Øvelse for deg: beregn denne determinanten selv. Har du lyktes? Da ser flyets ligning slik ut:

Eller bare

Slik,

For å løse eksemplet må jeg finne koordinatene til retningsvektoren til den rette linjen. Siden punktet faller sammen med opprinnelsen til koordinatene, vil koordinatene til vektoren ganske enkelt falle sammen med koordinatene til punktet. For å gjøre dette, finner vi først koordinatene til punktet.

For å gjøre dette, vurder en trekant. La oss tegne høyden (også kjent som medianen og halveringslinjen) fra toppunktet. Siden er ordinaten til punktet lik. For å finne abscissen til dette punktet, må vi beregne lengden på segmentet. I følge Pythagoras teorem har vi:

Da har punktet koordinater:

En prikk er en "hevet" prikk:

Da er vektorkoordinatene:

Svare:

Som du kan se, er det ingenting grunnleggende vanskelig når du løser slike problemer. Faktisk forenkles prosessen litt mer av "rettheten" til en figur som et prisme. La oss nå gå videre til neste eksempel:

2. Tegn et parallellepiped, tegn et plan og en rett linje i det, og tegn også separat den nedre basen:

Først finner vi ligningen til planet: Koordinatene til de tre punktene som ligger i det:

(de to første koordinatene oppnås på en åpenbar måte, og siste koordinat du kan enkelt finne det fra bildet fra punktet). Så komponerer vi ligningen til planet:

Vi beregner:

Vi leter etter koordinatene til den veiledende vektoren: Det er tydelig at dens koordinater sammenfaller med koordinatene til punktet, er det ikke? Hvordan finne koordinater? Dette er koordinatene til punktet, hevet langs applikataksen med én! . Deretter ser vi etter ønsket vinkel:

Svare:

3. Tegn en vanlig sekskantet pyramide, og tegn deretter et plan og en rett linje i den.

Her er det til og med problematisk å tegne et fly, for ikke å snakke om å løse dette problemet, men koordinatmetoden bryr seg ikke! Dens allsidighet er dens største fordel!

Flyet går gjennom tre punkter: . Vi ser etter deres koordinater:

1) . Finn ut koordinatene for de to siste punktene selv. Du må løse det sekskantede pyramideproblemet for dette!

2) Vi konstruerer likningen til planet:

Vi leter etter koordinatene til vektoren: . (Se det trekantede pyramideproblemet igjen!)

3) Leter du etter en vinkel:

Svare:

Som du kan se, er det ikke noe overnaturlig vanskelig i disse oppgavene. Du må bare være veldig forsiktig med røttene. Jeg vil bare gi svar på de to siste problemene:

Som du kan se, er teknikken for å løse problemer den samme overalt: hovedoppgaven er å finne koordinatene til toppunktene og erstatte dem med visse formler. Vi må fortsatt vurdere en annen klasse problemer for å beregne vinkler, nemlig:

Beregne vinkler mellom to plan

Løsningsalgoritmen vil være som følger:

1. Ved å bruke tre punkter ser vi etter ligningen til det første planet:
2. Ved å bruke de tre andre punktene ser vi etter ligningen til det andre planet:
3. Vi bruker formelen:

Som du kan se, er formelen veldig lik de to foregående, ved hjelp av hvilken vi så etter vinkler mellom rette linjer og mellom en rett linje og et plan. Så det vil ikke være vanskelig for deg å huske denne. La oss gå videre til analysen av oppgavene:

1. Siden av bunnen av det høyre trekantede prismet er lik, og diagonalen til sideflaten er lik. Finn vinkelen mellom planet og planet for prismets akse.

2. I høyre fire-hjørne pi-ra-mi-de, hvor alle kantene er like, finn sinusen til vinkelen mellom planet og planbenet, som går gjennom punktet per-pen-di-ku- lyar-men rett.

3. I et vanlig fire-hjørnet prisme er sidene av basen like, og sidekantene er like. Det er et punkt på kanten fra-meg-che-on slik at. Finn vinkelen mellom planene og

4. I et rett firkantet prisme er sidene av basen like, og sidekantene er like. Det er et punkt på kanten fra punktet slik at Finn vinkelen mellom planene og.

5. I en terning, finn co-si-nus til vinkelen mellom planene og

Problemløsninger:

1. Jeg tegner et vanlig (en likesidet trekant ved bunnen) trekantet prisme og merker på det planene som vises i problemformuleringen:

Vi må finne likningene til to plan: Ligningen til basen er triviell: du kan komponere den tilsvarende determinanten ved å bruke tre punkter, men jeg vil komponere ligningen med en gang:

La oss nå finne ligningen. Punktet har koordinater Punkt - Siden er medianen og høyden til trekanten, er den lett å finne ved å bruke Pythagoras teorem i trekanten. Da har punktet koordinater: La oss finne applikasjonen til punktet For å gjøre dette, vurdere en rettvinklet trekant

Da får vi følgende koordinater: Vi setter sammen ligningen til planet.

Vi beregner vinkelen mellom planene:

Svare:

2. Lage en tegning:

Det vanskeligste er å forstå hva slags mystisk fly dette er, som passerer vinkelrett gjennom punktet. Vel, hovedsaken er, hva er det? Det viktigste er oppmerksomhet! Faktisk er linjen vinkelrett. Den rette linjen er også vinkelrett. Da vil flyet som går gjennom disse to linjene være vinkelrett på linjen, og forresten passere gjennom punktet. Dette flyet går også gjennom toppen av pyramiden. Så ønsket fly - Og flyet er allerede gitt til oss. Vi leter etter koordinatene til punktene.

Vi finner koordinaten til punktet gjennom punktet. Fra det lille bildet er det lett å utlede at koordinatene til punktet vil være som følger: Hva gjenstår nå å finne for å finne koordinatene til toppen av pyramiden? Du må også beregne høyden. Dette gjøres ved å bruke det samme Pythagoras teorem: først bevis det (trivielt fra små trekanter som danner en firkant ved bunnen). Siden etter betingelse har vi:

Nå er alt klart: toppunktkoordinater:

Vi komponerer likningen til planet:

Du er allerede en ekspert på å beregne determinanter. Uten vanskeligheter vil du motta:

Eller på annen måte (hvis vi multipliserer begge sider med roten av to)

La oss nå finne ligningen til flyet:

(Du har ikke glemt hvordan vi får ligningen til et fly, ikke sant? Hvis du ikke forstår hvor denne minusen kom fra, så gå tilbake til definisjonen av ligningen til et fly! Det viste seg bare alltid før det flyet mitt tilhørte opprinnelsen!)

Vi beregner determinanten:

(Du vil kanskje legge merke til at ligningen til flyet faller sammen med ligningen til linjen som går gjennom punktene og! Tenk på hvorfor!)

La oss nå beregne vinkelen:

Vi må finne sinus:

Svare:

3. Vanskelig spørsmål: hva er det? rektangulært prisme, Hvordan tenker du? Dette er bare et parallellepiped som du kjenner godt! La oss lage en tegning med en gang! Du trenger ikke engang å skildre basen separat, det er til liten nytte her:

Flyet, som vi bemerket tidligere, er skrevet i form av en ligning:

La oss nå lage et fly

Vi lager umiddelbart ligningen til planet:

Ser etter en vinkel:

Nå er svarene på de to siste problemene:

Vel, nå er det på tide å ta en liten pause, for du og jeg er flotte og har gjort en kjempejobb!

Koordinater og vektorer. Avansert nivå

I denne artikkelen vil vi diskutere med deg en annen klasse problemer som kan løses ved hjelp av koordinatmetoden: problemer med avstandsberegning. Vi vil nemlig vurdere følgende tilfeller:

1. Beregning av avstanden mellom kryssende linjer.

Jeg har bestilt disse oppgavene i rekkefølge av økende vanskelighetsgrad. Det viser seg å være lettest å finne avstand fra punkt til plan, og det vanskeligste er å finne avstand mellom kryssende linjer. Selv om selvfølgelig ingenting er umulig! La oss ikke utsette og umiddelbart fortsette å vurdere den første klassen av problemer:

Beregne avstanden fra et punkt til et plan

Hva trenger vi for å løse dette problemet?

1. Punktkoordinater

Så snart vi mottar alle nødvendige data, bruker vi formelen:

Du bør allerede vite hvordan vi konstruerer likningen til et plan fra tidligere oppgaver, som jeg diskuterte i siste del. La oss gå rett til oppgavene. Opplegget er som følger: 1, 2 - Jeg hjelper deg med å bestemme, og i noen detalj, 3, 4 - bare svaret, du utfører løsningen selv og sammenligner. La oss begynne!

Oppgaver:

1. Gitt en kube. Lengden på kanten av kuben er lik. Finn avstanden fra se-re-di-na fra kuttet til flyet

2. Gitt riktig firekull pi-ra-mi-ja, siden av siden er lik basen. Finn avstanden fra punktet til planet hvor - se-re-di-på kantene.

3. I den høyre trekantede pi-ra-mi-de med os-no-va-ni-em er sidekanten lik, og hundre-ro-en på os-no-vania er lik. Finn avstanden fra toppen til flyet.

4. I et rett sekskantet prisme er alle kanter like. Finn avstanden fra et punkt til et fly.

Løsninger:

1. Tegn en kube med enkeltkanter, konstruer et segment og et plan, marker midten av segmentet med en bokstav

.

Først, la oss starte med den enkle: Finn koordinatene til punktet. Siden da (husk koordinatene til midten av segmentet!)

Nå komponerer vi ligningen til planet ved å bruke tre punkter

\[\venstre| (\begin(array)(*(20)(c))x&0&1\\y&1&0\\z&1&1\end(array)) \right| = 0\]

Nå kan jeg begynne å finne avstanden:

2. Vi starter på nytt med en tegning der vi markerer alle dataene!

For en pyramide ville det være nyttig å tegne basen separat.

Selv det faktum at jeg tegner som en kylling med labben vil ikke hindre oss i å løse dette problemet med letthet!

Nå er det enkelt å finne koordinatene til et punkt

Siden koordinatene til punktet, altså

2. Siden koordinatene til punkt a er midten av segmentet, da

Uten problemer kan vi finne koordinatene til ytterligere to punkter på planet. Vi lager en ligning for planet og forenkler den:

\[\venstre| (\venstre| (\begin(array)(*(20)(c))x&1&(\frac(3)(2))\\y&0&(\frac(3)(2))\\z&0&(\frac( (\sqrt 3 ))(2))\end(array)) \right|) \right| = 0\]

Siden punktet har koordinater: , beregner vi avstanden:

Svar (veldig sjelden!):

Vel, fant du ut av det? Det virker for meg som om alt her er like teknisk som i eksemplene vi så på i forrige del. Så jeg er sikker på at hvis du mestrer det materialet, vil det ikke være vanskelig for deg å løse de resterende to problemene. Jeg skal bare gi deg svarene:

Beregne avstanden fra en rett linje til et plan

Faktisk er det ikke noe nytt her. Hvordan kan en rett linje og et plan plasseres i forhold til hverandre? De har bare én mulighet: å krysse hverandre, eller en rett linje er parallell med planet. Hva tror du er avstanden fra en rett linje til planet som denne rette linjen skjærer? Det virker for meg som det er tydelig her at en slik avstand er lik null. Ikke en interessant sak.

Det andre tilfellet er vanskeligere: her er avstanden allerede null. Men siden linjen er parallell med planet, er hvert punkt på linjen like langt fra dette planet:

Slik:

Dette betyr at oppgaven min er redusert til den forrige: vi leter etter koordinatene til et hvilket som helst punkt på en rett linje, ser etter flyets ligning og beregner avstanden fra punktet til planet. Faktisk er slike oppgaver ekstremt sjeldne i Unified State Examination. Jeg klarte å finne bare ett problem, og dataene i det var slik at koordinatmetoden ikke var særlig anvendelig på det!

La oss nå gå videre til en annen, mye viktigere problemklasse:

Beregne avstanden fra et punkt til en linje

Hva trenger vi?

1. Koordinater til punktet vi ser etter avstanden fra:

2. Koordinater til ethvert punkt som ligger på en linje

3. Koordinater til retningsvektoren til den rette linjen

Hvilken formel bruker vi?

Hva nevneren til denne brøken betyr bør være klart for deg: dette er lengden på retningsvektoren til den rette linjen. Dette er en veldig vanskelig teller! Uttrykket betyr modulen (lengden) til vektorproduktet til vektorer og Hvordan beregne vektorproduktet, studerte vi i forrige del av arbeidet. Oppdater kunnskapen din, vi vil trenge det veldig nå!

Dermed vil algoritmen for å løse problemer være som følger:

1. Vi leter etter koordinatene til punktet vi leter etter avstanden fra:

2. Vi ser etter koordinatene til ethvert punkt på linjen som vi ser etter avstanden til:

3. Konstruer en vektor

4. Konstruer en retningsvektor av en rett linje

5. Beregn vektorproduktet

6. Vi ser etter lengden på den resulterende vektoren:

7. Beregn avstanden:

Vi har mye arbeid å gjøre, og eksemplene vil være ganske komplekse! Så fokuser nå all oppmerksomheten din!

1. Gitt en rett trekantet pi-ra-mi-da med en topp. Hundre-ro-en på grunnlag av pi-ra-mi-dy er lik, du er lik. Finn avstanden fra den grå kanten til den rette linjen, der peker og er de grå kantene og fra veterinær.

2. Lengdene på kantene og den rette vinkelen-no-go par-ral-le-le-pi-pe-da er like tilsvarende og Finn avstanden fra toppen til den rette linjen

3. I et rett sekskantet prisme er alle kantene like, finn avstanden fra et punkt til en rett linje

Løsninger:

1. Vi lager en pen tegning der vi merker alle dataene:

Vi har mye arbeid å gjøre! Først vil jeg beskrive med ord hva vi vil se etter og i hvilken rekkefølge:

1. Koordinater av punkter og

2. Punktkoordinater

3. Koordinater av punkter og

4. Koordinater til vektorer og

5. Kryssproduktet deres

6. Vektorlengde

7. Lengde på vektorproduktet

8. Avstand fra til

Vel, vi har mye arbeid foran oss! La oss komme til det med oppbrettede ermer!

1. For å finne koordinatene til pyramidens høyde, må vi vite koordinatene til punktet høyden til en likesidet trekant, er den delt i forholdet, regnet fra toppunktet, herfra. Til slutt fikk vi koordinatene:

Punktkoordinater

2. - midten av segmentet

3. - midten av segmentet

Midtpunktet i segmentet

4.Koordinater

Vektorkoordinater

5. Regn ut vektorproduktet:

6. Vektorlengde: den enkleste måten å erstatte er at segmentet er midtlinjen til trekanten, som betyr at det er lik halve grunnflaten. Så.

7. Regn ut lengden på vektorproduktet:

8. Til slutt finner vi avstanden:

Uff, det er det! Jeg skal si deg ærlig: løsningen på dette problemet er tradisjonelle metoder(via konstruksjon), ville det være mye raskere. Men her reduserte jeg alt til en ferdig algoritme! Jeg tror løsningsalgoritmen er klar for deg? Derfor vil jeg be deg løse de resterende to problemene selv. La oss sammenligne svarene?

Igjen, jeg gjentar: det er lettere (raskere) å løse disse problemene gjennom konstruksjoner, heller enn å ty til koordinere metode. Jeg demonstrerte denne løsningen bare for å vise deg universell metode, som lar deg "ikke fullføre å bygge noe."

Til slutt, vurder den siste klassen med problemer:

Beregne avstanden mellom kryssende linjer

Her vil algoritmen for å løse problemer være lik den forrige. Hva vi har:

3. Enhver vektor som forbinder punktene på den første og andre linjen:

Hvordan finner vi avstanden mellom linjene?

Formelen er som følger:

Telleren er modulen blandet produkt(vi introduserte det i forrige del), og nevneren er som i forrige formel (modulen til vektorproduktet til retningsvektorene til de rette linjene, avstanden mellom som vi ser etter).

Jeg skal minne deg på det

Da formelen for avstanden kan skrives om som:

Dette er en determinant delt på en determinant! Selv om jeg, for å være ærlig, ikke har tid til vitser her! Denne formelen, faktisk, er veldig tungvint og fører til ganske komplekse beregninger. Hvis jeg var deg, ville jeg ty til det bare som en siste utvei!

La oss prøve å løse noen problemer ved å bruke metoden ovenfor:

1. I riktig retning trekantet prisme, som alle kantene er like, finn avstanden mellom de rette linjene og.

2. Gitt et rettvinklet trekantet prisme, er alle kantene på basen lik snittet som går gjennom kroppsribben og se-re-di-brønns ribber er en firkant. Finn avstanden mellom de rette linjene og

Jeg bestemmer det første, og basert på det bestemmer du det andre!

1. Jeg tegner et prisme og markerer rette linjer og

Koordinater til punkt C: da

Punktkoordinater

Vektorkoordinater

Punktkoordinater

Vektorkoordinater

Vektorkoordinater

\[\left((B,\overrightarrow (A(A_1)) \overrightarrow (B(C_1)) ) \right) = \venstre| (\begin(array)(*(20)(l))(\begin(array)(*(20)(c))0&1&0\end(array)\\(\begin(array)(*(20) (c))0&0&1\end(array))\\(\begin(array)(*(20)(c))(\frac((\sqrt 3 ))(2))&( - \frac(1) (2))&1\end(array))\end(array)) \right| = \frac((\sqrt 3 ))(2)\]

Vi beregner vektorproduktet mellom vektorer og

\[\overhøyrepil (A(A_1)) \cdot \overhøyrepil (B(C_1)) = \venstre| \begin(array)(l)\begin(array)(*(20)(c))(\overrightarrow i )&(\overrightarrow j )&(\overrightarrow k )\end(array)\\\begin(array )(*(20)(c))0&0&1\end(array)\\\begin(array)(*(20)(c))(\frac((\sqrt 3 ))(2))&( - \ frac(1)(2))&1\end(array)\end(array) \right| - \frac((\sqrt 3 ))(2)\overhøyrepil k + \frac(1)(2)\overhøyrepil i \]

Nå beregner vi lengden:

Svare:

Prøv nå å fullføre den andre oppgaven nøye. Svaret på det vil være: .

Koordinater og vektorer. Kort beskrivelse og grunnleggende formler

En vektor er et rettet segment. - begynnelsen av vektoren, - slutten av vektoren.
En vektor er betegnet med eller.

Absolutt verdi vektor - lengden på segmentet som representerer vektoren. Betegnes som.

Vektorkoordinater:

,
hvor er endene av vektoren \displaystyle a .

Sum av vektorer:.

Produkt av vektorer:

Punktprodukt av vektorer:

En vektor kalles vanligvis et segment som har en gitt retning. Både begynnelsen og slutten av vektoren har en fast posisjon, ved hjelp av hvilken retningen til vektoren bestemmes. La oss se nærmere på hvordan man konstruerer en vektor fra gitte koordinater.

1. Tegn et koordinatsystem (x, y, z) i rommet, merk enhetssegmenter på aksene.
2. Sett til side på to akser nødvendige koordinater, tegne stiplede linjer fra dem, parallelt med aksene, til krysset. Lær skjæringspunktet som må kobles med en stiplet linje til opprinnelsen til koordinatene.
3. Tegn en vektor fra origo til det resulterende punktet.
4. Sett til side på tredje akse riktig nummer, gjennom dette punktet tegne en stiplet linje som vil være parallell med den konstruerte vektoren.
5. Fra slutten av vektoren tegner du en stiplet linje parallelt med den tredje aksen til den skjærer linjen fra forrige punkt.
6. Koble til slutt opprinnelsen og det resulterende punktet.

Noen ganger må du konstruere en vektor som vil være resultatet av å legge til eller subtrahere andre vektorer. Derfor skal vi nå se på operasjoner med vektorer, lære å legge til og subtrahere dem.

Operasjoner på en vektor

Geometriske vektorer kan brettes på flere måter. For eksempel er den vanligste måten å legge til vektorer på trekantregelen. For å legge til to vektorer i henhold til denne regelen, er det nødvendig å plassere vektorene parallelt med hverandre slik at begynnelsen av den første vektoren faller sammen med slutten av den andre, mens den tredje siden av den resulterende trekanten vil være sumvektoren.

Det er også mulig å beregne summen av vektorer ved hjelp av parallellogramregelen. Vektorer må starte fra ett punkt, parallelt med hver vektor må du tegne en linje slik at du ender opp med et parallellogram. Diagonalen til det konstruerte parallellogrammet vil være summen av disse vektorene.

For å trekke fra to vektorer, må du legge til den første vektoren og vektoren som er motsatt av den andre. Til dette brukes også trekantregelen, som har følgende formulering: forskjellen på vektorer som overføres på en slik måte at deres begynnelse sammenfaller er en vektor hvis begynnelse sammenfaller med slutten av vektoren som trekkes fra, samt med slutten av vektoren som reduseres.

Standard definisjon: "En vektor er et rettet segment." Dette er vanligvis omfanget av en kandidats kunnskap om vektorer. Hvem trenger noen "retningssegmenter"?

Men egentlig, hva er vektorer og hva er de for?
Værmelding. "Vind nordvest, hastighet 18 meter per sekund." Enig, både vindretningen (hvor den blåser fra) og modulen (det vil si den absolutte verdien) for hastigheten har betydning.

Mengder som ikke har noen retning kalles skalar. Masse, arbeid, elektrisk ladning ikke rettet noe sted. De er kun karakterisert numerisk verdi- "hvor mange kilo" eller "hvor mange joule".

Fysiske mengder som har ikke bare absolutt verdi, men også retning, kalles vektor.

Hastighet, kraft, akselerasjon - vektorer. For dem er «hvor mye» viktig og «hvor» viktig. For eksempel akselerasjon fritt fall rettet mot jordens overflate, og dens størrelse er 9,8 m/s 2. Impuls, spenning elektrisk felt, induksjon magnetisk felt- også vektormengder.

Husker du det fysiske mengder angitt med bokstaver, latin eller gresk. Pilen over bokstaven indikerer at mengden er vektor:

Her er et annet eksempel.
En bil beveger seg fra A til B. Sluttresultat- dens bevegelse fra punkt A til punkt B, det vil si bevegelse med vektor.

Nå er det klart hvorfor en vektor er et rettet segment. Vær oppmerksom på at enden av vektoren er der pilen er. Vektorlengde kalles lengden på dette segmentet. Indikert med: eller

Så langt har vi jobbet med skalære mengder, i henhold til reglene for aritmetikk og elementær algebra. Vektorer er et nytt konsept. Dette er en annen klasse matematiske objekter. De har sine egne regler.

En gang i tiden visste vi ikke engang noe om tall. Bekjentskapet med dem begynte i juniorklasser. Det viste seg at tall kan sammenlignes med hverandre, adderes, trekkes fra, multipliseres og divideres. Vi lærte at det er et tall én og et tall null.
Nå er vi introdusert til vektorer.

Konseptene "mer" og "mindre" for vektorer eksisterer ikke - tross alt kan retningene deres være forskjellige. Bare vektorlengder kan sammenlignes.

Men det er et begrep om likhet for vektorer.
Lik kalles vektorer som har samme lengder og samme retning. Dette betyr at vektoren kan overføres parallelt med seg selv til et hvilket som helst punkt i planet.
Enkelt er en vektor med lengde 1. Null er en vektor hvis lengde er null, det vil si at begynnelsen faller sammen med slutten.

Det er mest praktisk å jobbe med vektorer i rektangulært system koordinater - den samme som vi tegner funksjonsgrafer i. Hvert punkt i koordinatsystemet tilsvarer to tall - dets x- og y-koordinater, abscisse og ordinat.
Vektoren er også spesifisert av to koordinater:

Her er koordinatene til vektoren skrevet i parentes - i x og y.
De finnes ganske enkelt: koordinaten til slutten av vektoren minus koordinaten til begynnelsen.

Hvis vektorkoordinatene er gitt, blir lengden funnet av formelen

Vektor tillegg

Det er to måter å legge til vektorer på.

1. Parallelogramregel. For å legge til vektorene og plasserer vi opprinnelsen til begge på samme punkt. Vi bygger opp til et parallellogram og fra samme punkt tegner vi en diagonal av parallellogrammet. Dette vil være summen av vektorene og .

Husker du fabelen om svanen, sjøkreps og gjedde? De prøvde hardt, men de flyttet aldri vognen fra plassen sin. Tross alt vektorsum kreftene de påførte vogna var null.

2. Den andre måten å legge til vektorer på er trekantregelen. La oss ta de samme vektorene og . Vi legger til begynnelsen av den andre til slutten av den første vektoren. La oss nå koble begynnelsen av den første og slutten av den andre. Dette er summen av vektorene og .

Ved å bruke samme regel kan du legge til flere vektorer. Vi arrangerer dem etter hverandre, og kobler deretter begynnelsen av den første til slutten av den siste.

Tenk deg at du går fra punkt A til punkt B, fra B til C, fra C til D, deretter til E og til F. Sluttresultatet av disse handlingene er bevegelse fra A til F.

Når du legger til vektorer, får vi:

Vektor subtraksjon

Vektoren er rettet motsatt av vektoren. Lengdene på vektorene og er like.

Nå er det klart hva vektorsubtraksjon er. Vektorforskjellen og er summen av vektoren og vektoren.

Multiplisere en vektor med et tall

Når en vektor multipliseres med tallet k, oppnås en vektor hvis lengde er k ganger forskjellig fra lengden . Det er codirectional med vektoren hvis k er større enn null, og motsatt hvis k er mindre enn null.

Punktprodukt av vektorer

Vektorer kan multipliseres ikke bare med tall, men også med hverandre.

Skalarproduktet av vektorer er produktet av lengdene til vektorene og cosinus til vinkelen mellom dem.

Vær oppmerksom på at vi multipliserte to vektorer, og resultatet ble en skalar, det vil si et tall. For eksempel i fysikk mekanisk arbeid lik skalarproduktet av to vektorer - kraft og forskyvning:

Hvis vektorene er vinkelrette, er deres skalarprodukt null.
Og dette er hvordan skalarproduktet uttrykkes gjennom koordinatene til vektorene og:

Fra formelen for skalarproduktet kan du finne vinkelen mellom vektorene:

Denne formelen er spesielt praktisk i stereometri. For eksempel i oppgave 14 Profil Unified State Examination i matematikk må du finne vinkelen mellom kryssende linjer eller mellom en linje og et plan. Oppgave 14 løses ofte flere ganger raskere ved bruk av vektormetoden enn ved bruk av klassisk metode.

I skolepensum i matematikk studerer de bare skalarproduktet av vektorer.
Det viser seg at det i tillegg til skalarproduktet også finnes et vektorprodukt, når resultatet av å multiplisere to vektorer er en vektor. Alle som tar Unified State-eksamenen i fysikk vet hva Lorentz-styrken og Ampere-styrken er. Formlene for å finne disse kreftene inkluderer vektorprodukter.

Vektorer er et veldig nyttig matematisk verktøy. Du vil se dette i ditt første år.

En vektor kalles vanligvis et segment som har en gitt retning. Både begynnelsen og slutten av vektoren har en fast posisjon, ved hjelp av hvilken retningen til vektoren bestemmes. La oss se nærmere på hvordan man konstruerer en vektor ved å bruke gitte koordinater.

1. Tegn et koordinatsystem (x, y, z) i rommet, merk enhetssegmenter på aksene.
2. Tegn de nødvendige koordinatene på to akser, tegn stiplede linjer fra dem, parallelt med aksene, til de krysser hverandre. Lær skjæringspunktet som må kobles med en stiplet linje til opprinnelsen til koordinatene.
3. Tegn en vektor fra origo til det resulterende punktet.
4. Sett det nødvendige tallet på den tredje aksen og tegn en stiplet linje gjennom dette punktet, som vil være parallelt med den konstruerte vektoren.
5. Fra slutten av vektoren tegner du en stiplet linje parallelt med den tredje aksen til den skjærer linjen fra forrige punkt.
6. Koble til slutt opprinnelsen og det resulterende punktet.

Noen ganger må du konstruere en vektor som vil være resultatet av å legge til eller subtrahere andre vektorer. Derfor skal vi nå se på operasjoner med vektorer, lære å legge til og subtrahere dem.

Operasjoner på en vektor

Geometriske vektorer kan legges til på flere måter. For eksempel er den vanligste måten å legge til vektorer på trekantregelen. For å legge til to vektorer i henhold til denne regelen, er det nødvendig å plassere vektorene parallelt med hverandre slik at begynnelsen av den første vektoren faller sammen med slutten av den andre, mens den tredje siden av den resulterende trekanten vil være sumvektoren.

Det er også mulig å beregne summen av vektorer ved hjelp av parallellogramregelen. Vektorer må starte fra ett punkt, parallelt med hver vektor må du tegne en linje slik at du ender opp med et parallellogram. Diagonalen til det konstruerte parallellogrammet vil være summen av disse vektorene.

For å trekke fra to vektorer, må du legge til den første vektoren og vektoren som er motsatt av den andre. Til dette brukes også trekantregelen, som har følgende formulering: forskjellen på vektorer som overføres på en slik måte at deres begynnelse sammenfaller er en vektor hvis begynnelse sammenfaller med slutten av vektoren som trekkes fra, samt med slutten av vektoren som reduseres.

OBS, kun I DAG!

ANNEN

For å utføre operasjonen med vektoraddisjon, er det flere måter som, avhengig av situasjonen...

Vektor er matematisk objekt, som er preget av retning og størrelse. I geometri kalles en vektor...

I matematikk er en vektor et segment gitt lengde, med retning og koordinater i X-, Y-, Z-aksene.

Vinkelen mellom to vektorer som kommer fra samme punkt er den nærmeste vinkelen, rotasjonen som, av den første vektoren...

Hvis du vet romlige koordinater to eller flere punkter i et bestemt system, så er problemet: hvordan finne lengden...

Det er mulig å bestemme lengden på et segment på forskjellige måter. For å finne ut hvordan man finner lengden på et segment, er det nok å ha...

Akselerasjon er hastigheten som endres med. Denne størrelsen er vektor, den har sin egen retning og måles i m/s 2 (i ...

Bruke gimlet-regelen for å bestemme retninger magnetiske linjer(ellers kalles de magnetiske linjer...

Bilder i tegninger geometriske legemer er konstruert ved hjelp av projeksjonsmetoden. Men for dette ene bildet...

Ordet "ordinat" kommer fra det latinske "ordinatus" - "ordnet i rekkefølge." Ordinaten er rent matematisk...

Modulen til et tall kalles også annerledes absolutt verdi dette nummeret. Hvis det er under modulskiltet...

For å finne koordinatene til toppunktet til en likesidet trekant, hvis koordinatene til de to andre toppunktene er kjent...

Du lurer på hvordan du kan regne ut og finne midtlinjen til en trekant. Så la oss gå i gang med å finne lengden på midtlinjen...

La oss se nærmere på hva akselerasjon er i fysikk? Dette er en melding til kroppen om ytterligere hastighet per tidsenhet.…

Før vi lærer hvordan vi finner arealet til et parallellogram, må vi huske hva et parallellogram er og hva...