Den autonome republikken Nachchivan. Måter å øke effektiviteten til statlige reguleringsprogrammer i landbrukssektoren i Republikken Armenia

ABA I. KLASSISKE OG SPESIELLE PROBLEMUTTALELSER

MED FRIE GRENSER.

I. Generelle kjennetegn ved problemer med masseoverføring og diffusjon med reaksjon.

I. Innledende grenseverdiproblemer for jevne overflater av konsentrasjonsfeltet. Kvalitative effekter av diffusjonsprosesser ledsaget av adsorpsjon og kjemiske reaksjoner.

I. Begrenset tid stabilisering til stasjonære, romlig lokaliserte løsninger.

ABA II. STUDIE AV IKKELINEÆRE OVERFØRINGSPROBLEMER OG

DIFFUSJON AV PASSIVE URenheter I STRATIFISEREDE MILJØER.

En metode for å skille variabler i en kvasilineær parabolsk diffusjons- og transportligning.

Nøyaktige løsninger på problemer med diffusjon og overføring fra konsentrerte, øyeblikkelige og permanent virkende kilder i et medium i hvile.

ABA III. MATEMATISKE MODELLER AV DIFFUSJONSPROSESSER

MED REAKSJON.

Rothe-metoden og integralligninger av problemet.

Problemer med frie grenser i problemet med forurensning og selvrensing av en punktkilde.

THERATURE.

Introduksjon av avhandlingen (del av abstraktet) om emnet "Konstruktive metoder for å løse grenseverdiproblemer med frie grenser for ikke-lineære ligninger av parabolsk type"

Når du studerer ikke-lineære grenseverdiproblemer som beskriver prosessene med forurensning og rekreasjon av miljøet, reflekterer, sammen med diffusjon, adsorpsjon og kjemiske reaksjoner, spesiell interesse representerer problemer av typen Stefan med fri grense og kilder som i hovedsak avhenger av ønsket konsentrasjonsfelt.

Ikke-lineære problemer med frie grenser i miljø problemer tillate oss å beskrive den faktisk observerte lokaliseringen av forurensningsprosesser (rekreasjon) miljø. Ikke-lineariteten her skyldes både avhengigheten av den turbulente diffusjonstensoren K og forurensningsavløpene / av konsentrasjonen c. I det første tilfellet oppnås romlig lokalisering på grunn av degenerasjon, når ved c = O og K = 0. Det forekommer imidlertid bare i dette øyeblikket tid g og ved g ja er fraværende.

Utviklingen av diffusjonsprosesser med reaksjonsstabilisering til det begrensende stasjonære tilstander med klart definert romlig lokalisering, lar deg beskrive matematiske modeller med en spesiell avhengighet av avløpsvann /(er). Sistnevnte modellerer forbruket av materie på grunn av kjemiske reaksjoner av brøkorden, når /(c) = . I dette tilfellet, uavhengig av degenerasjonen av diffusjonskoeffisienten, er det en spatiotemporal lokalisering av diffusjonsforstyrrelsen til mediet. Til enhver tid /, okkuperer den lokale diffusjonsforstyrrelsen et bestemt område 0(7), begrenset av den tidligere ukjente frie overflaten Г(7). Konsentrasjonsfeltet c(p, /) er i dette tilfellet en diffusjonsbølge med en front Г(/), som forplanter seg gjennom et uforstyrret medium, hvor c = O.

Det er ganske naturlig at disse kvalitative effektene kun kan oppnås på grunnlag av en ikke-lineær tilnærming til modellering av reaksjonsprosesser.

Denne tilnærmingen er imidlertid forbundet med betydelige matematiske vanskeligheter når man studerer de ikke-lineære problemene med frie grenser som oppstår her, når et funksjonspar må bestemmes - konsentrasjonsfeltet c(p,t) og den frie grensen Г(/) = ( (p,t): c(p,t) = O). Slike problemer, som allerede nevnt, tilhører mer komplekse, lite studerte problemer matematisk fysikk.

Det er utført betydelig mindre forskning på grenseverdiproblemer med frie grenser på grunn av deres kompleksitet, noe som er assosiert både med deres ikke-linearitet og med at de krever a priori spesifikasjon av de topologiske egenskapene til feltene som søkes. Blant verkene som vurderer løsbarheten til slike problemer, er verkene til A.A. Samarsky, O.A. Oleinik, S.A. Kamenomostkoy, etc. Med noen restriksjoner på spesifiserte funksjoner i verkene til A.A. Berezovsky, E.S. Sabinina beviste eksistens- og unikhetsteoremer for løsning av et grenseverdiproblem med en fri grense for varmeligningen.

Ikke mindre viktig har utvikling effektive metoder omtrentlig løsning av problemer i denne klassen, som vil tillate oss å etablere funksjonelle avhengigheter av hovedparametrene til prosessen på inngangsdataene, noe som gjør det mulig å beregne og forutsi utviklingen av prosessen under vurdering.

På grunn av rask forbedring datateknologi Alle større utvikling bli effektiv numeriske metoder løsninger på slike problemer. Disse inkluderer den rette linjemetoden, projeksjonsnettmetoden, utviklet i verkene til G.I. Marchuk, V.I. I I det siste Fastfeltmetoden er vellykket brukt, hovedideen er at en bevegelig grense er fast og en del av de kjente grensebetingelsene spesifiseres på den, det resulterende grenseverdiproblemet løses, og deretter, ved å bruke den gjenværende grensen forhold og den resulterende løsningen, en ny, mer nøyaktig plassering av den frie grensen blir funnet og etc. Problemet med å finne den frie grensen reduseres til den påfølgende løsningen av en rekke klassiske grenseverdiproblemer for ordinære differensialligninger.

Siden problemer med frie grenser ikke er fullt ut studert, og deres løsning er forbundet med betydelige vanskeligheter, krever deres studie og løsning involvering av nye ideer, bruk av hele arsenalet konstruktive metoder ikke-lineær analyse, moderne prestasjoner matematisk fysikk, beregningsmatematikk og mulighetene til moderne datateknologi. I teoretiske termer gjenstår slike problemer aktuelle problemstillinger eksistens, egenart, positivitet, stabilisering og romlig lokalisering av løsninger.

Avhandlingsarbeidet er viet formuleringen av nye problemer med frie grenser, modellering av prosessene for overføring og diffusjon med reaksjonen av forurensninger i miljøproblemer, deres kvalitativ forskning og hovedsakelig utvikling av konstruktive metoder for å konstruere omtrentlige løsninger på slike problemer.

Det første kapittelet gir generelle egenskaper problemer med diffusjon i aktive medier, det vil si medier der avløp i betydelig grad er avhengig av konsentrasjon. Fysisk baserte begrensninger på strømmer er indikert, der problemet reduseres til følgende problem med frie grenser for en kvasilineær parabolsk ligning: с, = div(K(p, t, с) grad) - div(cu) - f ( с)+ w i Q (/) ,t> 0, c(p,0) = e0(p) i cm c)grad, n)+ac = accp på S(t), c)gradc,n) = 0 på Г if) , hvor K(p,t,c) er den turbulente diffusjonstensoren; ü er mediets hastighetsvektor, c(p,t) er konsentrasjonen til mediet.

Betydelig oppmerksomhet i det første kapittelet er viet utformingen av innledende grenseverdiproblemer for overflater av konsentrasjonsnivået ved rettet diffusjonsprosesser, når det er en-til-en samsvar mellom konsentrasjon og en av de romlige koordinatene. Den monotone avhengigheten av c(x,y,z,t) av z lar oss transformere differensial ligning, de innledende og grensebetingelsene for problemet for konsentrasjonsfeltet i differensialligningen og de tilsvarende tilleggsbetingelsene for feltet til dens plane overflater - z = z(x,y,c,t). Dette oppnås ved differensiering inverse funksjoner, løse ligningen til den kjente overflaten S: Ф (x,y,z,t)=0->z=zs(x,y,t) og omvendt avlesning av identiteten c(x,y,zs,t) =c(x, y,t). Differensialligning (1) for c transformeres deretter til en ligning for z- Az=zt-f (c)zc, hvor

2 ^ Az=vT (K*t*)-[K-b Vz = lzx + jz +k, VT = V-k-. zc dz

Når du flytter fra uavhengig variabler x,y,z til uavhengige variabler x>y,c fysisk domene Q(i) transformeres til det ikke-fysiske domenet Qc(/), begrenset til en del planet c = 0, som den frie overflaten Г går inn i, og fri inn generell sak ukjent overflate c=c(x,y,t), som den kjente overflaten S(t) går inn i.

I motsetning til operatøren divKgrad ■ av det direkte problemet, operatør A omvendt problem i hovedsak ikke-lineær. Oppgaven beviser positiviteten til den tilsvarende operatøren A kvadratisk form e+rf+yf-latf-lßrt, og dermed er dens ellipsitet etablert, noe som lar oss vurdere formuleringer av grenseverdiproblemer for den. Ved å integrere med deler fikk vi en analog av Greens første formel for operatoren A c(x,yt) c(t) cbcdy \uAzdc= Jdc d u(KVTz,n)iï- \\viyrv,VTz)dxdy

Vzf x,y,t) 0 c(x,y,t) - í *

Vi vurderer et problem med en fri grense for et konsentrasjonsfelt c = c(x,y,z,1), når Dirichlet-betingelsen div(Kgradc) - c, = /(c) - Re g c(P,0) = c0 er spesifisert på overflaten (P), ReShto), c = (p(p,0, ReB^), ¿>0, (2)

ReG(4 ¿>0. s = 0, K- = 0, dp

I dette tilfellet tillot overgangen i forhold til den jevne overflaten r = r(x,y,c^) oss å bli kvitt den frie overflaten c=c(x,y,?), siden den er fullstendig bestemt av Dirichlet betingelse c(x,y^) = d >(x,y,rx(x,y^),O-Som et resultat vil følgende initialgrenseverdiproblem for en sterkt ikke-lineær parabolsk operator^ - - i en tid- varierende, men allerede kjent områdeС2с(0:<9/

Az = z(~zc, x,yED(t), 0 0, z(x,y,c,0) = z0(x,y,c), x,y,sePc(O), z(x, y,c,t) = zs (x, y, c, t), c = c(x, y, t), X, y G D(t), t > 0, zc(x,y,0,t )=-co, x,y&D(t), t> 0.

Her studerer vi også spørsmålet om det unike ved løsningen på problem (3). Basert på den oppnådde analogen til Greens første formel for operatoren A, tatt i betraktning grensebetingelsene etter elementære, men ganske tungvinte transformasjoner ved bruk av Youngs ulikhet, etableres monotonisiteten til operatoren A på løsningene zx og z2 av problemet

Ar2 - Ar1)(r2-)(bcc1us1c< 0 . (4)

På den annen side, ved hjelp av en differensialligning, grense og innledende tilstand vist, det

Den resulterende motsigelsen beviser unikhetsteoremet for løsningen av Dirichlet-problemet for konsentrasjonsnivåoverflater c(x,y,t)

Teorem 1. Hvis kildefunksjonen w er const, øker synkefunksjonen f(c) monotont og /(0) = 0, så er løsningen på Dirichlet-problemet (2) for jevne flater positiv og unik.

Tredje avsnitt i første kapittel diskuterer de kvalitative effektene av diffusjonsprosesser ledsaget av adsorpsjon og kjemiske reaksjoner. Disse effektene kan ikke beskrives basert på lineær teori. Hvis i siste hastighet utbredelsen er uendelig og dermed er det ingen romlig lokalisering, da de vurderte ikke-lineære diffusjonsmodellene med reaksjon på verdiene etablert i arbeidet funksjonelle avhengigheter turbulent diffusjonskoeffisient K og avløpstetthet (kinetikk kjemiske reaksjoner) / fra konsentrasjon c lar oss beskrive de faktisk observerte effektene endelig hastighet fordeling, romlig lokalisering og stabilisering over en begrenset tid (rekreasjon) av miljøgifter. Arbeidet fastslo at de listede effektene kan beskrives ved hjelp av de foreslåtte modellene, hvis det finnes feil integral med w 1

K(w)dzdt = -\Q(t)dt, t>0;

00 dc с(сс^) = 0,К(с)- = 0, z = oo,t>0. dz

Den stasjonære oppgaven i koordinatfri form har formen div(K(c)grad) = f(c) i Q\P (0< с < оо},

K(cgradc,n)) + ac = 0 på 5 = 5Q П Ж, (7) с = 0, (К(с) karakter,п) = 0 på Г s (с = 0) = dQ. P D,

JJJ/(c)dv + cds = q. som

I et semi-nabolag med eQ av punktet Pe Г, gjorde overgangen til den semi-koordinatformen for notasjon det mulig å oppnå Cauchy-problemet drj

K(c) dc dt] divT (K(c)gradTc) = f(c) i co rj<0

8) dc c = 0, K(c)~ = 0,77 = 0,

OT] hvor m] er koordinaten målt langs normalen til Γ i punktet P, og de to andre kartesiske koordinatene m1, m2 ligger i tangentplanet til Γ i punktet P. Siden i co kan vi anta at c(m1, m2 , g/) avhenger svakt av de tangentielle koordinatene, det vil si c(tx, t2,1]) = c(t]), for deretter å bestemme c(t]) fra (8) Cauchy-problemet drj drj f(c ), følger TJ< О, dc c = 0, K(c) - = 0,77 = 0. drj

En nøyaktig løsning på problemet er oppnådd (9)

77(s)= gjøre om 2 s [ o s1m?< 00 (10) и доказана следующая теорема

Teorem 2. En nødvendig betingelse for eksistensen av en romlig lokalisert løsning på de ikke-lokale problemene med frie grenser under vurdering er eksistensen av et upassende integral (b).

I tillegg er det bevist at betingelse (6) er nødvendig og tilstrekkelig 1 for eksistensen av en romlig lokalisert løsning på følgende endimensjonale stasjonære problem med en fri grense r(c), 0

00 O tsk = ^- si) o 2 c1c c(oo) = 0, K(c)- = 0, g = oo, c1g det vil si at det finner sted

Teorem 3. Hvis funksjonen /(c) tilfredsstiller betingelsene f(c) = c ^ , ^< // < 1, при с-» О, а К{с)-непрерывная положительная функция, то при любом д>0 positiv beslutning ikke-lokalt grenseverdiproblem (11) eksisterer og er unikt.

Her tar vi også for oss spørsmål om miljørekreasjon i en begrenset tid som er svært viktige for praksis. I verkene til V.V. Kalashnikov og A.A. Samarsky, ved å bruke sammenligningsteoremer, er dette problemet redusert til å løse den differensielle ulikheten -< -/(с), где с - пространственно однородное (т.е. не зависящие от коей1 ординаты) решение.

Samtidig er for rekreasjonstid anslaget w

T<]. ск х)

I motsetning til disse tilnærmingene gjorde oppgaven et forsøk på å oppnå mer nøyaktige estimater som ville ta hensyn til den initiale fordelingen av konsentrasjonen co (x) og dens bærer "(0). For dette formålet, ved å bruke a priori estimater oppnådd i arbeidet, ble det funnet en differensiell ulikhet for den kvadratiske normen til løsningen Ж

13) hvorfra et mer nøyaktig estimat for T t følger<

1+ /?>(())] der c er roten av ligningen

Уг^-Р)/ с /1 =(р, = КМГ > = ^-Ш+Р)^1 ■

Det andre kapittelet er viet spørsmålene om modellering av prosessene for overføring og diffusjon av passive urenheter i lagdelte medier. Utgangspunktet her er problem (1) med /(c) = 0 og Dirichlet-grensebetingelsen eller ikke-lokal tilstand c, = (I\(K(p,G,c)%gais)-0 c(p,0) = c0( p) i 0(0),

C(P>*) = φ(р,0 på eller = ()((), с(р, Г) = 0, (К(р^, с)%?аес,н) = 0 på Г(Г) ).

Endimensjonale problemer med turbulent diffusjon vurderes, tatt i betraktning diffusjonskoeffisientens avhengighet av skala, tid og konsentrasjon. De representerer lokale og ikke-lokale problemer for den kvasilineære ds-ligningen

1 d dt g"-1 dg p-\

K(r,t,c) ds dg p = 1,2,3,

16) hvor K(r,t,c) = K0(p(t)rmck; Birkhoff i formen c(r,t) = f(t)B(T1), tj = r7t P>0,

17) hvor funksjonene og parameteren p bestemmes i prosessen med å skille variabler i (16). Som et resultat fikk vi en ordinær differensialligning for B(t]) at] og representasjonen

Оn+m+p-2)/pBk £® drj

C.B-ij-dtl, åh

For to verdier av en vilkårlig konstant C( - C, = og

С1 = ^Ур ligning (18) innrømmer eksakte løsninger, avhengig av en vilkårlig konstant. Sistnevnte kan bestemmes ved å tilfredsstille en eller annen tilleggsbetingelser. I tilfellet med Dirichlet-grensebetingelsen c(0,0 = B0[f^)]"p/p (20), oppnås en nøyaktig romlig lokalisert løsning i tilfellet k > 0, m< 2:

2-t Gf\h;

L/k 0<г <гф(/),

Vd^0(2-m\ p = pk + 2-m, og den eksakte ikke-lokaliserte løsningen i tilfellet k<0, т <2:

1/k 0< г < 00.

22) = [k^2 - t)/?/^1 p = 2-t- p\k\.

Her er f(1) = \(p(r)yt; gf (/) = [^(O]^ o

For k -» 0, fra de oppnådde løsningene følger løsningen av det lineære problemet c(r,0 = VySht-t) exp[- /(1 - m)2k0f(1)\, som for f(1) = 1 og m = 0, transformeres til den fundamentale løsningen av diffusjonsligningen.

Nøyaktige løsninger ble også oppnådd i tilfelle av øyeblikkelige eller permanent virkende konsentrerte kilder, når en ekstra ikke-lokal grensebetingelse for formen

23) hvor o)n er arealet av enhetssfæren (co1 = 2, a>2 = 2i, a>3 = 4z).

De nøyaktige løsningene funnet for k >0 av formen (21) representerer en diffusjonsbølge som forplanter seg gjennom et uforstyrret medium med en begrenset hastighet. På k< О такой эффект пространственной локализации возмущения исчезает.

Problemer med diffusjon fra konstant virkende punkt og lineære kilder i et medium i bevegelse vurderes når en kvasi-lineær ligning brukes til å bestemme konsentrasjonen

Vdivc = -^S(r),

24) hvor K(g,x,s) = K0k(x)gtsk, 8(g) er Dirac delta-funksjonen, O er kraften til kilden. Tolkningen av koordinaten x som tid/ gjorde det også her mulig å få eksakte delløsninger på et ikke-lokalt problem av formen (21) r 2/(2+2 k) 2 o, 1

2С2 (2 + 2к)К0 к

Løsning (25) gjør det i prinsippet mulig å beskrive den romlige lokaliseringen av en diffusjonsforstyrrelse. I dette tilfellet bestemmes fronten av den diffuserende bølgen, og skiller områdene med null og ikke-null konsentrasjoner. For k -» 0 følger det kjent løsning Roberts, som imidlertid ikke lar en beskrive romlig lokalisering.

Avhandlingens tredje kapittel er viet forskning spesifikke oppgaver diffusjon med reaksjon i lagdelt luftmiljø, som er følgende endimensjonale problem med en fri grense uxx-ut = / (u), 0< х < s(t), t>O, u(x,0) = Uq(X), 0< х < 5(0), (26) ux-hu = -h(p, х = 0, t >0, u = 0, deres = 0, x = s(t), t > 0.

Det ble gjennomført en numerisk-analytisk implementering av oppgave (26), basert på Rothe-metoden, som gjorde det mulig å oppnå følgende syvsifrede tilnærming av oppgaven i form av et system av grenseverdiproblemer for ordinære differensialligninger med i forhold til den omtrentlige verdien u(x) = u(x,1k), og 5 =) V u(x)-u(x^k1): V u"-m~xy = y - m~1 u, 0< х < 5, и"-ки = х = 0, (27) ф) = 0 |ф) = 0.

Løsning (27) reduseres til ikke-lineær integralligninger som Vol-terra og ikke-lineær ligning ved x = 0 5 u(x) ~ 4t [i/g-^--* s/g + k^tek -¿g p V l/g l/g

0 < X < 5, к(р.

For numeriske beregninger reduseres løsningssystem (28) ved bruk av endelig-dimensjonal tilnærming til å finne løsninger på et ikke-lineært system algebraiske ligninger i forhold til nodeverdiene og. = u(x)) og i-.

Problemer med frie grenser i problemet med forurensning og selvrensing av atmosfæren ved punktkilder vurderes også her. I fravær av en adsorberende overflate 5(0 (ti&3 = 0) i tilfelle av flate, sylindriske eller punktkilder til forurensning, når konsentrasjonen avhenger av en romlige koordinater- avstand til kilde og tid, det enkleste endimensjonale ikke-lokale problemet med en fri grense oppnås

-- = /(s), 00, dt gp~x 8g \ 8g, f,0) = 0, 00; ah

1 I bg + /(c) Г~1£/г=- (30) о о ^ ; ^

Konstruksjonen av en løsning på problem (29), (30) ble utført ved Rothe-metoden i kombinasjon med metoden for ikke-lineære integralligninger.

Ved å transformere avhengige og uavhengige variabler, et ikke-lokalt problem med en fri grense om punktkilde redusert til kanonisk form d2i di 1. d L, h l g---= x rir, 0

5l:2 8t u(x,0) = 0, 0< л; < 5(0), (5(0) = 0), (31) м(5(г),т) = мх(5(т),т) = 0,

Pmg + = d(r), m > 0, inneholder bare én funksjon som definerer funksjonen d(r).

I spesielle tilfeller oppnås nøyaktige løsninger av de tilsvarende ikke-lokale stasjonære problemene med en fri grense for Emden-Fowler-ligningen med 12 og 1 i l.

2=х иН, 0<Х<5, с!х ф) = м,(5) = 0, \х1~/*и1*сЬс = 4. (32) о

Spesielt når /? = 0 m(l:) = (1/6)(25 + x)(5-x)2, hvor* = (Зз)1/3.

Sammen med Rothe-metoden, i kombinasjon med metoden for ikke-lineære integralligninger, er løsningen på det ikke-stasjonære problemet (32) konstruert ved metoden for ekvivalent linearisering. Denne metoden bruker i hovedsak konstruksjonen av en løsning på et stasjonært problem. Som et resultat reduseres problemet til Cauchy-problemet for en vanlig differensialligning, hvis løsning kan oppnås ved en av de omtrentlige metodene, for eksempel Runge-Kutta-metoden.

Følgende resultater sendes inn til forsvar:

Studie av kvalitative effekter av spatiotemporal lokalisering;

Etablering av nødvendige forhold for romlig lokalisering til begrensende stasjonære tilstander;

Teorem om det unike ved løsningen av et problem med en fri grense i tilfelle av Dirichlet-forhold på en kjent overflate;

Å oppnå ved hjelp av metoden for separasjon av variabler eksakte romlig lokaliserte familier av partielle løsninger av degenererte kvasilineære parabolske ligninger;

Utvikling av effektive metoder for tilnærmet løsning av endimensjonale ikke-stasjonære lokale og ikke-lokale problemer med frie grenser basert på anvendelsen av Rothe-metoden i kombinasjon med metoden for integralligninger;

Oppnå nøyaktige romlig lokaliserte løsninger på stasjonære diffusjonsproblemer med reaksjon.

Konklusjon på avhandlingen om emnet "Matematisk fysikk", Doguchaeva, Svetlana Magomedovna

Hovedresultatene av avhandlingsarbeidet kan formuleres som følger.

1. Kvalitativt nye effekter av spatiotemporal lokalisering er studert.

2. De nødvendige forholdene for romlig lokalisering og stabilisering til begrensende stasjonære tilstander er etablert.

3. Et teorem om det unike ved løsningen av problemet med fri grense ved Dirichlet-forhold på en kjent overflate er bevist.

4. Ved å bruke metoden for separasjon av variabler, ble eksakte romlig lokaliserte familier av partielle løsninger av degenererte kvasilineære parabolske ligninger oppnådd.

5. Det er utviklet effektive metoder for tilnærmet løsning av endimensjonale stasjonære problemer med frie grenser basert på anvendelse av Rothe-metoden i kombinasjon med metoden for ikke-lineære integralligninger.

6. Nøyaktige romlig lokaliserte løsninger på stasjonære problemer med diffusjon med reaksjon ble oppnådd.

Basert på variasjonsmetoden i kombinasjon med Rothe-metoden, metoden for ikke-lineære integralligninger, er det utviklet effektive løsningsmetoder med utvikling av algoritmer og programmer for numeriske beregninger på datamaskin, og tilnærmede løsninger av endimensjonale ikke-stasjonære lokale. og ikke-lokale problemer med frie grenser er oppnådd, slik at man kan beskrive romlig lokalisering i forurensningsproblemer og selvrensing av lagdelte vann- og luftmiljøer.

Resultatene av avhandlingsarbeidet kan brukes til å formulere og løse ulike problemer innen moderne naturvitenskap, spesielt metallurgi og kryomedisin.

KONKLUSJON

Liste over referanser for avhandlingsforskning Kandidat for fysiske og matematiske vitenskaper Doguchaeva, Svetlana Magomedovna, 2000

1. Arsenin V.Ya. Grenseverdiproblemer for matematisk fysikk og spesielle funksjoner. -M.: NaukaD 984.-384s.

2. Akhromeeva T. S., Kurdyumov S.P., Malinetsky G. G., Samarsky A.A. To-komponent dissipative systemer i nærheten av bifurkasjonspunktet // Matematisk modellering. Prosesser i ikke-lineære medier. -M.: Nauka, 1986. -S. 7-60.

3. Bazaliy B.V. Om ett bevis på eksistensen av en løsning på to-fase Stefan-problemet // Matematisk analyse og sannsynlighetsteori. -Kiev: Institutt for matematikk ved det ukrainske SSR-vitenskapsakademiet, 1978.-P. 7-11.

4. Bazaliy B.V., Shelepov V.Yu. Variasjonsmetoder i det blandede problemet med termisk likevekt med en fri grense //Grenseverdiproblemer i matematisk fysikk. -Kiev: Institutt for matematikk ved Akademiet for vitenskaper i den ukrainske SSR, 1978. S. 39-58.

5. Barenblat G.I., Entov V.M., Ryzhik V.M. Teori om ikke-stasjonær filtrering av væske og gass. M.: Nauka, 1972.-277 s.

6. Belyaev V.I. Om sammenhengen mellom distribusjonen av hydrogensulfid i Svartehavet og den vertikale transporten av dets farvann/Yukeanalogiya.-1980.-14, utgave Z.-S. 34-38.

7. Berezoeska L.M., Doguchaeva S.M. Problemet med en lusegrense for overflatenivået til konsentrasjonsfeltet i problemer! borte fra hjemmet//Crajov1 oppgaver! for naturtro p!barnepiker.-Vip. 1(17).-Kshv: 1n-t matematikk HAH Ukrash, 1998. S. 38-43.

8. Berezovka L.M., Doguchaeva S.M. D1r1khle problem for overflaten av konsentrasjonsfeltet // Matematiske metoder i vitenskapelige og tekniske fremskritt. -Kshv: 1n-t Matematikk HAH Ukrash, 1996. S. 9-14.

9. Berezovskaya JI. M., Dokuchaeva S.M. Romlig lokalisering og stabilisering i diffusjonsprosesser med reaksjon //Dopovts HAH Decoration.-1998.-No.2.-S. 7-10.

10. Yu Berezovsky A.A. Forelesninger om ikke-lineære grenseverdiproblemer i matematisk fysikk. V. 2 deler - Kiev: Naukova Duma, 1976.- Del 1. 252s.

11. M. Berezovsky A.A. Ikke-lineære integralligninger av ledende og strålingsvarmeoverføring i tynne sylindriske skall//Differensialligninger med partielle derivater i anvendte problemer. Kiev, 1982. - S. 3-14.

12. Berezovsky A.A. Klassiske og spesielle formuleringer av Stefan-problemer // Ikke-stasjonære Stefan-problemer. Kiev, 1988. - S. 3-20. - (Prepr./AN Ukrainian SSR. Institute of Mathematics; 88.49).

13. Berezovsky A.A., Boguslavsky S.G. Problemer med hydrologi i Svartehavet //Omfattende oseanografiske studier av Svartehavet. Kiev: Naukova Dumka, 1980. - S. 136-162.

14. Berezovsky A.A., Boguslavsky S./"Problemer med varme- og masseoverføring ved løsning av aktuelle problemer i Svartehavet. Kyiv, 1984. - 56 s. (Forrige /AS of the Ukrainian SSR. Institute of Mathematics; 84.49).

15. Berezovsky M.A., Doguchaeva S.M. En matematisk modell av den forurensede selvrensingen av den fremmede midten //Vyunik Kshvskogo Ushversitetu. -Vip 1.- 1998.-S. 13-16.

16. Bogolyubov N.N., Mitropolsky Yu.A. Asymptotiske metoder i teorien om ikke-lineære oscillasjoner. M.: Nauka, 1974. - 501 s.

17. N.L. Call, Spredning av urenheter i det atmosfæriske grenselaget. L.: Gidrometeoizdat, 1974. - 192 s. 21. Budok B.M., Samarsky A.A., Tikhonov A.N. Samling av problemer i matematisk fysikk. M.: Nauka, 1972. - 687 s.

18. Vainberg M. M. Variasjonsmetode og metoden til monotone operatører. M.: Nauka, 1972.-415 s.

19. Vladimirov V.S. Ligninger av matematisk fysikk. M.: Nauka, 1976. 512 s.

20. Galaktionov V.A., Kurdyumov S.P., Mikhailov A.P., Samarsky A.A. Lokalisering av varme i ikke-lineære medier // Diff. Ligninger. 1981. - Utgave. 42. -S. 138-145.31 Danilyuk I.I. Om Stefans problem//Uspekhi Mat. Sci. 1985. - 10. - Utgave. 5(245)-S. 133-185.

21. Danilyuk I., Kashkakha V.E. Omtrent ett ikke-lineært Ritz-system. //Dok. Vitenskapsakademiet i den ukrainske SSR. Svovel. 1973. - Nr. 40. - s. 870-873.

22. KommersantDoguchaeva S.M. Frie grenseproblemer i miljøproblemer // Ikke-lineære grenseverdiproblemer Matematikk. fysikk og deres anvendelser. Kiev: Institutt for matematikk HAH i Ukraina, 1995. - s. 87-91.

23. Doguchaeva Svetlana M. Berezovsky Arnold A. Matematiske modeller for spredning, dekomponering og sorpsjon av gass, røyk og andre typer forurensning i en turbulent atmosfære //Internat. Konf. Ikke-lineær diff/ligninger? Kiev, 21.–27. august 1995, s. 187.

24. KommersantDoguchaeva S.M. Romlig lokalisering av løsninger på grenseverdiproblemer for en degenerert parabolsk likning i et miljøproblem // Ikke-lineære grenseverdiproblemer Math. fysikk og deres anvendelser. -Kiev: Institutt for matematikk HAH i Ukraina, 1996. S. 100-104.

25. BbDoguchaeva S.M. Endimensjonalt Cauchy-problem for jevne overflater av konsentrasjonsfeltet //Problemer med frie grenser og ikke-lokale problemer for ikke-lineære parabolske ligninger. Kiev: Institutt for matematikk HAH i Ukraina, 1996. - s. 27-30.

26. Kommersant.Doguchaeva S.M. Romlig lokalisering av løsninger på grenseverdiproblemer for en degenerert parabolsk likning i et miljøproblem // Ikke-lineære grenseverdiproblemer Math. fysikk og deres anvendelser. -Kiev: Institutt for matematikk HAH i Ukraina, 1996. S. 100-104.

27. Doguchaeva S. M. Problemer med frie grenser for en degenerert parabolsk ligning i miljøproblemet // Dopovda HAH Dekorasjon. 1997. - Nr. 12. - s. 21-24.

28. Kalashnikov A. S. Om arten av forplantningen av forstyrrelser i problemer med ikke-lineær varmeledning med absorpsjon // Mat. notater. 1974. - 14, nr. 4. - s. 891-905. (56)

29. Kalashnikov A.S. Noen spørsmål om den kvalitative teorien om ikke-lineære degenererte parabolske ligninger av andre orden // Uspekhi Mat. Sci. 1987. - 42, hefte 2 (254). - s. 135-164.

30. Kalashnikov A. S. Om klassen av systemer av typen "reaksjonsdiffusjon" // Proceedings of the Seminar oppkalt etter. I.G. Petrovsky. 1989. - Utgave. 11. - s. 78-88.

31. Kalashnikov A.S. Om betingelser for øyeblikkelig komprimering av bærere av løsninger av semilineære parabolske ligninger og systemer // Mat. notater. 1990. - 47, nr. 1. - s. 74-78.

32. Ab Kalashnikov A. S. Om diffusjon av blandinger i nærvær av langdistansevirkning // Journal. Comput. matematikk og matematikk fysikk. M., 1991. - 31, nr. 4. - S. 424436.

33. Kamenomostskaya S. L. Om Stefans problem // Mat. samling. 1961. -53, nr. 4, -S. 488-514.

34. Kamke E. Handbook of ordinary differential equations - M.: Nauka, 1976. 576 s.

35. Ladyzhenskaya O.A., Solonnikov V.A., Uraltseva N.N. Lineære og kvasilineære ligninger av parabolsk type. M.: Nauka, 1967. - 736 s. (78)

36. Ladyzhenskaya O.A., Uraltseva N.N. Lineære og kvasilineære ligninger av elliptisk type. M.: Nauka, 1964. - 736 s.

37. Lykov A.B. Teori om termisk ledningsevne. M.: Høyere. skole, 1967. 599 s.

38. Martinson L.K. Om den endelige forplantningshastigheten av termiske forstyrrelser i medier med konstante varmeledningskoeffisienter // Journal. Comput. matte. og matte. fysikk. M., 1976. - 16, nr. 6. - s. 1233-1241.

39. Marchuk G.M., Agoshkov V.I. Introduksjon til projeksjonsmesh-metoder. -M.: Nauka, 1981. -416 s.

40. Mitropolsky Yu.A., Berezovsky A.A. Stefan problemer med en begrensende stasjonær tilstand i spesiell elektrometallurgi, kryokirurgi og marin fysikk // Mat. fysikk og nonlin. Mekanikk. 1987. - Utgave. 7. - s. 50-60.

41. Mitropolsky Yu.A., Berezovsky A.A., Shkhanukov M.H. Spatio-temporal lokalisering i problemer med frie grenser for en annenordens ikke-lineær ligning //Ukr. matte. Blad 1996. - 48, nr. 2 - S. 202211.

42. Mitropolsky Yu A., Shkhanukov M.Kh., Berezovsky A.A. På et ikke-lokalt problem for en parabolsk ligning //Ukr. matte. Blad 1995. -47, nr. 11.- S. 790-800.

43. Ozmidov R.V. Horisontal turbulens og turbulent utveksling i havet. M.: Nauka, 1968. - 196 s.

44. Ozmidov R.V. Noen resultater fra en studie av diffusjon av urenheter i havet // Oseanologi. 1969. - 9. - Nr. 1. - S. 82-86.66 .Okubo A.A. Gjennomgang av teoretiske modeller for turbulent diffusjon i sjø. -Oceanogr. Soc. Japan, 1962, s. 38-44.

45. Oleinik O.A. Om en metode for å løse det generelle Stefan-problemet // Dokl. USSRs vitenskapsakademi. Ser. A. 1960. - Nr. 5. - s. 1054-1058.

46. Oleinik O.A. Om Stefans problem //First Summer Mathematical School. T.2. Kiev: Nauk, Dumka, 1964. - S. 183-203.

47. Roberts O. F. Den teoretiske spredningen av røyk i en turbulent atmosfære. Proc. Roy., London, Ser. A., v. 104.1923. - P.640-654.

48. Yu.Sabinina E.S. På en klasse av ikke-lineære degenererte parabolske ligninger // Dokl. ÀH USSR. 1962. - 143, nr. 4. - s. 494-797.

49. Kh.Sabinina E.S. På en klasse av kvasilineære parabolske ligninger som ikke er løsbare med hensyn til tidsderiverten // Sibirsk. matte. Blad 1965. - 6, nr. 5. - s. 1074-1100.

50. Samara A.A. Lokalisering av varme i ikke-lineære medier // Uspekhi Mat. Sci. 1982. - 37, utgave. 4 - s. 1084-1088.

51. Samara A.A. Introduksjon til numeriske metoder. M.: Nauka, 1986. - 288 s.

52. A. Samarsky A.A., Kurdyumov S.P., Galaksjonov V.A. Matematisk modellering. Prosesser i nonlin. miljøer M.: Nauka, 1986. - 309 s.

53. Sansone G. Vanlige differensialligninger. M.:IL, 1954.-416 s.

54. Stefan J. Uber dietheorie der veisbildung, insbesondere über die eisbildung im polarmere //Sitzber. Wien. Akad. Nat. naturw., Bd. 98, IIa, 1889. S.965-983

55. Sutton O.G. Mikrometeorologi. Ny. York-Toronto-London. 1953. 333p.1 % Friedman A. Partielle differensialligninger av parabolsk type. -M.: Mir, 1968.-427 s.

56. Friedman A. Variasjonsprinsipper i problemer med frie grenser. M.: Nauka, 1990. -536 s.

Vær oppmerksom på at de vitenskapelige tekstene som er presentert ovenfor kun er publisert for informasjonsformål og ble oppnådd gjennom original avhandlings tekstgjenkjenning (OCR). Derfor kan de inneholde feil knyttet til ufullkomne gjenkjennelsesalgoritmer. Det er ingen slike feil i PDF-filene til avhandlinger og sammendrag som vi leverer.

Introduksjon til arbeidet

Temaets relevans. Når man studerer ikke-lineære grenseverdiproblemer som beskriver prosessene med forurensning og rekreasjon av miljøet, og som reflekterer, sammen med diffusjon, adsorpsjon og kjemiske reaksjoner, er problemer av Stefan-typen med en fri grense og kilder som er vesentlig avhengig av ønsket konsentrasjonsfelt av spesielle renter. I teoretiske termer forblir spørsmålene om eksistens, unikhet, stabilisering og romlig lokalisering av løsninger relevante for slike problemer. Rent praktisk virker utviklingen av effektive numeriske og analytiske metoder for å løse dem spesielt viktig.

Utviklingen av effektive metoder for omtrentlig løsning av problemer i denne klassen gjør det mulig å etablere funksjonelle avhengigheter av hovedparametrene til prosessen på inngangsdataene, noe som gjør det mulig å beregne og forutsi utviklingen av prosessen som vurderes.

Blant verkene som vurderer løseligheten til problemer av typen Stefan med en fri grense, er verkene til A.A. Samarsky, O.A. Oleinik, S.A. Kamenomostkoy, L.I. Rubenstein og andre.

Målet med arbeidet. Hensikten med denne avhandlingen er å studere problemer med frie grenser i en ny formulering som modellerer prosessene for overføring og diffusjon, tar hensyn til forurensende stoffers reaksjon i miljøproblemer; deres kvalitative forskning og, hovedsakelig, utvikling av konstruktive metoder for å konstruere omtrentlige løsninger på problemene som stilles.

Generelle forskningsmetoder. Resultatene av arbeidet ble oppnådd ved bruk av Birkhoff-metoden for separasjon av variabler, metoden for ikke-lineære integralligninger, Rothe-metoden, samt ekvivalent lineariseringsmetoden

Vitenskapelig nyhet og praktisk verdi. Utsagn om problemer som Stefan-problemet som er studert i avhandlingen, vurderes for første gang. For denne klassen problemer ble følgende hovedresultater oppnådd for forsvar:

Kvalitativt nye effekter av spatio-temporal lokalisering har blitt studert

De nødvendige betingelsene for romlig lokalisering og stabilisering til begrensende stasjonære tilstander er etablert,

Et teorem om det unike ved løsningen av problemet med en fri grense ved Dirichlet-forhold på en kjent overflate er bevist.

Ved å bruke metoden for separasjon av variabler oppnås nøyaktige romlig lokaliserte familier av partielle løsninger av degenererte kvasilineære parabolske ligninger.

Det er utviklet effektive metoder for omtrentlig løsning av endimensjonale stasjonære problemer med frie grenser basert på anvendelsen av Rothe-metoden i kombinasjon med metoden for ikke-lineære integralligninger.

Nøyaktige romlig lokaliserte løsninger på stasjonære diffusjonsproblemer med reaksjon oppnås.

Resultatene av avhandlingsarbeidet kan brukes til å formulere og løse ulike problemer innen moderne naturvitenskap, spesielt metallurgi og kryomedisin, og synes å være svært effektive metoder for å forutsi for eksempel luftmiljøet.

Godkjenning av arbeid. Hovedresultatene av avhandlingen ble rapportert og diskutert på seminaret ved Institutt for matematisk fysikk og teori om ikke-lineære svingninger ved Institutt for matematikk ved National Academy of Sciences of Ukraine og Institutt for matematisk fysikk ved Taras Shevchenko University of Kiev, på den internasjonale konferansen "Ikke-lineære problemer med differensialligninger og matematisk fysikk" (august 1997, Nalchik), på seminar ved Det matematiske fakultet ved Kabardino-Balkarian State University om matematisk fysikk og beregningsmatematikk.

Struktur og arbeidsomfang. Avhandlingsarbeidet består av en introduksjon, tre kapitler, en konklusjon og en liste over sitert litteratur som inneholder 82 titler. Omfanget av arbeidet:

Doguchaeva, Svetlana Magomedovna FORFATTER

kandidat for fysiske og matematiske vitenskaper AKADEMISK GRAD

Nalchik BESKYTTELSESTED

2000 BESKYTTELSESÅR

01.01.03 RF Høyere attestasjonskommisjonens KODE

RGB Lach

rettigheter til hender

Doguchaeva Svetlana Magomedovna

Konstruktive metoder for å løse grenseverdiproblemer med frie grenser for ikke-lineære ligninger av parabolsk type

Spesialitet 01.01.03 - Matematisk fysikk

avhandling for graden av kandidat i fysiske og matematiske vitenskaper

Nalchik -

Arbeidet ble utført ved Kabardino-Balkarian State University oppkalt etter. HM. Berbekov og Institutt for matematikk HAH i Ukraina.

Vitenskapelig veileder: Doktor i fysikk og matematikk

Sciences, professor Berezovsky A.A.

Offisielle motstandere: Doktor i fysikk og matematikk

Sciences, professor Shogenov V.Kh. Kandidat for fysiske og matematiske vitenskaper, førsteamanuensis Bechelova A.R.

Ledende organisasjon: Forskningsinstituttet

Anvendt matematikk og automatisering KBSC RAS

Forsvaret vil finne sted 28. desember 2000. kl. 1022 på et møte i det spesialiserte rådet K063.88.06 ved Kabardino-Balkarian State University på adressen:

360004, Nalchik, st. Chernyshevsky, 173.

Avhandlingen finnes i KBSU-biblioteket.

Vitenskapelig sekretær DS K063.88.06 Ph.D. Kaygermazov A.A.

generell beskrivelse av arbeidet

Temaets relevans. Når man studerer ikke-lineære grenseverdiproblemer som beskriver prosessene med forurensning og rekreasjon av miljøet, og som reflekterer, sammen med diffusjon, adsorpsjon og kjemiske reaksjoner, er problemer av Stefan-typen med en fri grense og kilder som er vesentlig avhengig av ønsket konsentrasjonsfelt av spesielle renter. I teoretiske termer forblir spørsmålene om eksistens, unikhet, stabilisering og romlig lokalisering av løsninger relevante for slike problemer. Rent praktisk virker utviklingen av effektive numeriske og analytiske metoder for å løse dem spesielt viktig.

Blant verkene som vurderer løseligheten til problemer av typen Stefan med en fri grense, er verkene til A.A. Samarsky, O.A. Oleinik, S.A. Kamenomostkoy, L.I. Rubenstein og andre.

Målet med arbeidet. Hensikten med denne avhandlingen er å studere problemer med frie grenser i en ny formulering som modellerer prosessene for overføring og diffusjon, tar hensyn til forurensende stoffers reaksjon i miljøproblemer; deres kvalitative forskning og, hovedsakelig, utvikling av konstruktive metoder for å konstruere omtrentlige løsninger på problemene som stilles.

Generelle forskningsmetoder. Resultatene av arbeidet ble oppnådd ved bruk av Birkhoff-metoden for separasjon av variabler, metoden for ikke-lineære integralligninger, Rothe-metoden, samt ekvivalent lineariseringsmetoden

Vitenskapelig nyhet og praktisk verdi. Utsagn om problemer som Stefan-problemet som er studert i avhandlingen, vurderes for første gang. For denne klassen problemer ble følgende hovedresultater oppnådd for forsvar:

1. Kvalitativt nye effekter av spatio-temporal lokalisering er studert

2. De nødvendige forholdene for romlig lokalisering og stabilisering til begrensende stasjonære tilstander er etablert,

Godkjenning av arbeid. Hovedresultatene av avhandlingen ble rapportert og diskutert på seminaret ved Institutt for matematisk fysikk og teori for ikke-lineære svingninger ved Institutt for matematikk ved HAH i Ukraina og Institutt for matematisk fysikk ved Taras Shevchenko University of Kiev, ved International Konferanse "Ikke-lineære problemer med differensialligninger og matematisk fysikk" (august 1997, Nalchik), på seminar ved Det matematiske fakultet ved Kabardino-Balkarian State University om matematisk fysikk og beregningsmatematikk.

Arbeidets struktur og omfang. Avhandlingsarbeidet består av en introduksjon, tre kapitler, en konklusjon og en liste over sitert litteratur som inneholder 82 titler. Omfanget av arbeidet:

Det er 96 sider skrevet i Microsoft Office 97-miljø (Times Roman-stil).

Innledningen underbygger tematikkens relevans, formulerer formålet med forskningen, gir en kort oversikt og analyse av den aktuelle tilstanden til problemene som studeres i avhandlingen, og gir en kommentar til de oppnådde resultatene.

с, = div(K(p,t,c)gradc)~ div(cu)- f(c) + w i Q(i), t > 0, сИ = с0ИвП(0)

(K(p,t,c)-grad(c,n))+ac - akkp på S(t), (1)

c(p,t) = 0, (K(p,t,c) grad(c,n)) = 0 på T(i),

hvor K(p,t,c) er den turbulente diffusjonstensoren; og er mediets hastighetsvektor, c(p,t) er konsentrasjonen til mediet.

Betydelig oppmerksomhet i det første kapittelet er viet utformingen av innledende grenseverdiproblemer for overflater av konsentrasjonsnivået ved rettet diffusjonsprosesser, når det er en-til-en samsvar mellom konsentrasjon og en av de romlige koordinatene. Den monotone avhengigheten c = c(x,y, z,t) av z lar oss transformere differensialligningen, start- og grensebetingelsene for problemet for konsentrasjonsfeltet til en differensialligning og de tilsvarende tilleggsbetingelsene for feltet av dens plane overflater z = z(x,y,c ,t). Dette oppnås ved å differensiere inverse funksjoner, løse ligningen til en kjent overflate S:<$>(x,y,z,t) = 0 funksjoner, oppløsning av ligningen til den kjente overflaten S: y, z, t) = 0 -» z = zs (x, y, t) og invers pro-

lese identiteten c(x,y,r5^)=c(x,y^). Differensialligning (1) for C transformeres deretter til en ligning for r - Ar - r, - /(c)rc,

der Ar = Ym(K-Ugg)-

Yr = rx1 + r y] + k,

Når du går fra uavhengige variabler x, y, z til uavhengige variabler x, y, c, transformeres det fysiske området til et ikke-fysisk område begrenset av del

planet c=O, som den frie overflaten Г går inn i, og den generelt frie ukjente overflaten c=c(x,y,1), som den kjente flaten 5(1) går inn i.

I motsetning til operatoren cYu^ac1c for det direkte problemet, er operatoren A for det inverse problemet i hovedsak ikke-lineær. Oppgaven beviser positiviteten til den kvadratiske ligningen som tilsvarer operator A

form +m]2 +y£2 -2a^ - 2/3m]^ og dermed er elliptisiteten etablert, noe som lar oss vurdere problemer for den i denne formuleringen. Ved å integrere med deler fikk vi en analog av Greens første formel for operatoren A

c(x,y,1) c(0

jjdxdy |og Azdc-

Vi vurderer et problem med en fri grense for et konsentrasjonsfelt c = c(x, y, 1,1), når Dirichlet-betingelsen er spesifisert på overflaten £(£)

diviK.grayc) - c, = /(c) - c>, Re * > O c(P,0) = co(P), ReI(0),

c =

с = 0, K- = 0, PeY(t), t> О ôn

I dette tilfellet tillot overgangen i forhold til den jevne overflaten z = z(x,y,c,®) oss å bli kvitt den frie overflaten c = c(x, y,t), siden den er fullstendig bestemt av Dirichlet-betingelse c(x,y,0 =

kjent område: Qc(i):

Az = z, - (/(с) -w(z)]zc x,yeD(t), 0<с O, z(x,y,c,0) = Zq (x,y,c), x,ye D(t), (3)

z(x,y,c,t) = zs(x,y,c,t), c = c(x,y,t), x,y e D(t), t> 0, zc(x,y ,0,0 = -°°, x,yeD(t), t> 0,

Her undersøker vi også spørsmålet om det unike ved løsningen på problem (3).

Følgende teorem gjelder

Teorem 1. Hvis kildefunksjonen W = COïlSt, synkefunksjonen f(c) øker monotont og /(o) = 0, så er løsningen på Dirichlet-problemet (2) for jevne flater positiv og unik.

Tredje avsnitt i første kapittel diskuterer de kvalitative effektene av diffusjonsprosesser ledsaget av adsorpsjon og kjemiske reaksjoner. Disse effektene kan ikke beskrives basert på lineær teori. Hvis forplantningshastigheten i sistnevnte er uendelig og det dermed ikke er noen romlig lokalisering, så er de ikke-lineære modellene for diffusjon med reaksjon under vurdering, med funksjonelle avhengigheter av den turbulente diffusjonskoeffisienten K og avløpstettheten (kinetikk av en kjemisk reaksjon) f på konsentrasjonen c etablert i arbeidet, gjøre det mulig å beskrive de faktisk observerte effektene av samreaksjon.

begrenset spredningshastighet, romlig lokalisering og stabilisering over en begrenset tid (rekreasjon) av forurensninger. Arbeidet fastslo at de listede effektene kan beskrives ved hjelp av de foreslåtte modellene dersom det er en upassende integral

¡K(w)~2dw< оо (4)

Vi vurderer det tilsvarende (1) ikke-lokale initialgrenseverdiproblemet med d - O

ffed^ 1 Ac), o o,

oz\ oz) ved c(z,0) = 0, 0< z < то, /00 / \\\ct+f{c)\lzdt = -\Q{t)dt, t>0; 00 0 dc

c( ,t) = 0, K(c)- = 0, z =°o>0. dz

Den stasjonære oppgaven i koordinatfri form har formen: div(K(c) karakter) = f(c) i Q \ P (0< с < да},

(.K(c)grad(c,n))+ac = 0 på S = dQf)dD, (5) c = 0, (K(c)grad(c,n)) = 0 på Г=(с = 0) = aoP£>, jff/(c)dv + afj cds = Q.

I et semi-nabolag av punktet P e G, gjorde overgangen til den semi-koordinerte notasjonsformen det mulig å oppnå Cauchy-problemet

Divx(K(c)gradTc) = /(c) i (O (^<0),(6)

c = 0, K(c)- = 0,7 = 0,07

hvor 17 er koordinaten målt langs normalen R til Γ i punktet P, og de to andre kartesiske koordinatene r, r2 ligger i tangentplanet til Γ i punktet P. Siden i o kan vi anta at c(r, r2 μ) svakt avhenger av tangentielle koordinater, det vil si

c(r,m2 Г]) = c(t]), så for å bestemme c(//) fra (6) følger Cauchy-problemet

Ad- =/(c), g|<0,

c = o, ad-=0,7 = 0.

En nøyaktig løsning på problem (7) oppnås.

77(s) = |l:(i>) 21 K(y)/(y)<ь (8)

o |_ 0 og følgende teorem er bevist

Teorem 2. En nødvendig betingelse for eksistensen av en romlig lokalisert løsning på de betraktede ikke-lokale problemene med frie grenser er eksistensen av et upassende integral (4).

I tillegg er det bevist at betingelse (4) er nødvendig og tilstrekkelig for eksistensen av en romlig lokalisert løsning på følgende ikke-lokale stasjonære problem med en fri grense:

0 < г < оо,

c(oo) = 0, DG(c)-= 0, g

det vil si at den finner sted

Teorem 3. Hvis funksjonen f(c) tilfredsstiller betingelsene f(c) = c2/M, V2 0, og K(c) er en kontinuerlig positiv funksjon, så eksisterer for enhver Q> O en positiv løsning på det ikke-lokale grenseverdiproblemet (9) og er unik.

Her tar vi også for oss spørsmål om miljørekreasjon i en begrenset tid som er svært viktige for praksis. I verkene til V.V. Kalashnikov (1974) og A.A Samarsky (1982) ved hjelp av sammenligningsteoremer reduseres dette problemet til å løse differensialulikheten.

- < -/(с), где с - пространственно однородное (т.е. не завися-dt

avhengig av koordinat) løsning. Samtidig ble det innhentet et estimat for rekreasjonstid

I motsetning til disse tilnærmingene gjorde oppgaven et forsøk på å oppnå mer nøyaktige estimater som ville ta hensyn til den initiale fordelingen av konsentrasjonen av CD (x) og dens bærer 5(0).

For dette formålet, ved å bruke a priori estimater oppnådd i arbeidet, ble det funnet en differensiell ulikhet for den kvadrerte normen til løsningen

hvorfra følger et mer nøyaktig estimat for T

T< ,(1+/?жо)

hvor c er roten til ligningen

"(1 -ru2lUg

2_0-/у с /2 =<р,

y(t) HkMI2, s(0) = ~-p(l + /))c

Det andre kapittelet er viet spørsmålene om modellering av prosessene for overføring og diffusjon av passive urenheter i lagdelte medier. Utgangspunktet her er oppgave (1) med /(c) 3 O og Dirichlet-grensebetingelsen eller den ikke-lokale betingelsen ct = div(K(p,t,c)gradc) - div(cü) + с i Q(t) ), t> OM

с(р,0) = со(р) i OD,

c(p,t) = q>(p,t) på S(t) eller jc(p,t)dv = Q(t), (13)

c(p,t) = O, (K(p,t,c)grad(c,n)) = 0 på Г(0) Endimensjonale problemer med turbulent diffusjon vurderes under hensyntagen til diffusjonskoeffisientens avhengighet på skala, tid og konsentrasjon De representerer lokale og ikke-lokale problemer for den kvasilineære ligningen

hvor K(g,(,c) =KO<р(()гтс1!; <р^) - произвольная функция;

K0, m og k er noen konstanter. Spesielle løsninger av denne ligningen søkes etter metoden for separasjon av variabler i skjemaet

c(r,t) = f(t)B(rj), р>О,

hvor funksjonene /(/),5(r]),φ(/) og parameteren p bestemmes i prosessen med å skille variabler i (14). Som et resultat ble en ordinær differensialligning for B(t]) oppnådd

og presentasjoner

c(r,t)^(t)f B(rj), =

betydning

vilkårlig

konstant

C, - Cx og Cx = (t ^/ligning (16) tillater eksakt

nye løsninger avhengig av én vilkårlig konstant. Sistnevnte kan bestemmes ved å oppfylle visse tilleggsbetingelser. Når det gjelder Dirichlet-grensebetingelsen

с(0,0 = В0[ф(0]У* (18)

en nøyaktig romlig lokalisert løsning ble oppnådd i tilfellet k>0,m<2:

t)0 = [v*K0(2 - t)p / k]P"(2~t\ p = pk + 2-t.

og den eksakte ikke-lokaliserte løsningen i tilfelle<0, т<2:

0<г<гф(0 , гД0<г<со

s(r,1)=«Ш-п

OM< Г < 00. (20)

ш = [к0(2-т)р/вУ1|4"(2_т)5 Р = 2-т-п\к[

Her= |f(t)s1t; gf (/) = . Når k 0 fra mottatt-

av de følgende løsningene følger løsningen av det lineære problemet

cM = vM) G/(1"t) exp[- g2- /(1 - t)gK^)\

som, når φ(() = 1 og m - 0, transformeres til den fundamentale løsningen av diffusjonsligningen.

Nøyaktige løsninger ble også oppnådd i tilfelle av øyeblikkelige eller permanent virkende konsentrerte kilder, når en ekstra ikke-lokal grensebetingelse for formen

Q =

der son er arealet av en enhetssfære (i>1 = 2, eog = 27u, o)b = 4l").

De funnet eksakte løsningene for k > O av formen (19) representerer en diffusjonsbølge som forplanter seg gjennom et uforstyrret medium med en begrenset hastighet. På k< 0 такой эффект пространственной локализации возмущения исчезает.

hvor K(r,x,c) = KcK(x)gtsk, ô(r)~ Dirac delta funksjon; Q-kilde kraft. Tolkningen av koordinaten X som tid / gjorde det også mulig å få eksakte delløsninger for (22)

0<г <гф(х), Гф(х)<Г< 00,

" 2Скг(2 + 2к)Кь ko

lky(2 + 2ku

Løsning (23) gjør det i prinsippet mulig å beskrive den romlige lokaliseringen av en diffusjonsforstyrrelse. I dette tilfellet bestemmes fronten av den diffuserende bølgen, og skiller områdene med null og ikke-null konsentrasjoner. For k -> 0 innebærer det den velkjente Roberts-løsningen, som imidlertid ikke lar en beskrive romlig lokalisering.

Det tredje kapittelet i avhandlingen er viet studiet av spesifikke problemer med diffusjon med reaksjon i et lagdelt luftmiljø, som er følgende endimensjonale problem med en fri grense.

deresx~u1=/(u)> 0< лт < £(/), />0,

u(x,0) = u0(x), 0<х< 5(0), (24)

deres -II = ~)g<р, х = 0, ¿>0,

u- 0, deres= 0, x = ¿>0.

Det ble utført en numerisk og analytisk implementering av oppgave (24), basert på Rothe-metoden, som gjorde det mulig å oppnå følgende tilnærming av oppgaven i form av et system av grenseverdiproblemer for ordinære differensialligninger mht. omtrentlig verdi u(x) = u(x^k), og

u(x) = u(x,1k_)):

u"-t~1u = ir - r"1u, 0< дг <

u"-Ui = -bcp, x = 0, (25)

n(l) = 0 n"O) = 0.

Løsningen på problem (25) er redusert til de ikke-lineære Volterra-integralligningene

u(x) - l/t ¡зИ-^

For numeriske beregninger reduseres løsning (26), (27) ved bruk av endelig-dimensjonal tilnærming til å finne løsninger på et system av ikke-lineære algebraiske ligninger med hensyn til nodalverdiene u] = u(x]) a sj.

Problemer med frie grenser i problemet med forurensning og selvrensing av atmosfæren ved punktkilder vurderes også her.

av presisjonsspesialister. I fravær av en adsorberende overflate S(t) (mesS = 0) i tilfelle av flate, sylindriske eller punktkilder til forurensning, når konsentrasjonen avhenger av én romlig koordinat - avstanden til kilden og tid, den enkleste - dimensjonalt ikke-lokalt problem med en fri grense oppnås

-^=/(s),0<г<гф(0,">0,

1 d f „_, 8 sek

g""1 dg( dgu

c(r,0) = 0,0< г < (0) (28)

с(r,0 = 0, - = 0, r = gf(0, t> 0;

2--- = xx~rir, 0<л 0,

I 1 T + - \QiDdt (29)

Løsningen på problem (28), (29) ble konstruert ved hjelp av Rothe-metoden i kombinasjon med metoden for ikke-lineære integralligninger.

Ved å transformere de avhengige og uavhengige variablene reduseres det ikke-lokale problemet med en fri grense rundt en punktkilde til kanonisk form

u(x,0) = 0,0<л; <5(0), (5(0) = 0), (30)

m(5(g),g) = m;s(5(g),g) = 0, g>0

I spesielle tilfeller oppnås nøyaktige løsninger av de tilsvarende ikke-lokale stasjonære problemene med en fri grense for Emden-Fowler-ligningen

■ xx~ßuß, 0

u(s) = ux($) = 0, Jjf2 pußdx = q

] = (1/6)(2 s + x)(s -x)r, hvor

Sammen med Rothe-metoden i kombinasjon med metoden for integralligninger, er løsningen på det ikke-stasjonære problemet (31) konstruert ved metoden ekvivalent linearisering. Denne metoden bruker i hovedsak konstruksjonen av en løsning på et stasjonært problem. Som et resultat reduseres problemet til Cauchy-problemet for en vanlig differensialligning, hvis løsning kan oppnås ved en av de omtrentlige metodene, for eksempel Runge-Kutta-metoden.

1. Berezovsky A.A., Doguchaeva S.M. Romlig lokalisering og stabilisering i diffusjonsprosesser med reaksjon //Dopovda HAH Dekor. -1998. - Nei 2. -MED. 1-5.

2. Berezovsky N.A., Doguchaeva S.M. Stefans problemer i problemet med forurensning og selvrensing av miljøet ved punktkilder // Ikke-lineære grenseverdiproblemer i matematisk fysikk og deres anvendelser. - Kiev: Institutt for matematikk HAH i Ukraina, 1995. -

3. Berezovska JI.M., Doguchaeva S.M. D1r1hle problem for toppen r1vrya av konsentrasjonsfeltet // Matematiske metoder i vitenskapelige og tekniske fremskritt - Kshv: Institute of Mathematics HAH Ukraine, 1996.-P.9-14.

4. Berezovsky A.A., Doguchaeva S.M. Matematisk modell for obstruksjon og selvrensing av otuchuny midtpunkt for punkt dzherel //Problemer med frie grenser og ikke-lokale problemer for ikke-lineære parabolske ligninger. - Kiev: Institutt for matematikk HAH i Ukraina, 1996. S.13-16.

5. Doguchaeva S.M. Frie grenseproblemer i miljøproblemer // Ikke-lineære grenseverdiproblemer Matematikk. fysikk og deres applikasjoner - Kiev: Inst. Matematikk HAH i Ukraina, 1995.-

6. Doguchaeva Svetlana M., Berezovsky Arnold A. Matematiske modeller for spredning, dekomponering og sorpsjon av gass, røyk og andre typer forurensning i en turbulent atmosfære // International Conference Nonlinear Differential Eguations, Kiev, 21.-27. august 1995, s. . 187.

7. Doguchaeva S.M. Romlig lokalisering av løsninger på grenseverdiproblemer for en degenerert parabolsk likning i et miljøproblem // Ikke-lineære grenseverdiproblemer Math. Fysikere og deres applikasjoner.-Kiev: Institutt for matematikk HAH i Ukraina,

1996.-S. 100-104.

8. Doguchaeva S.M. Endimensjonalt Cauchy-problem for jevne overflater av konsentrasjonsfeltet //Problemer med frie grenser og ikke-lokale problemer for ikke-lineære parabolske ligninger. -Kiev: Institutt for matematikk HAH i Ukraina, 1996 - S. 27-30.

9. Doguchaeva S.M. Kvalitative effekter av diffusjons- og masseoverføringsprosesser, ledsaget av adsorpsjon og kjemiske reaksjoner // Ikke-lineære problemer med differensialligninger og matematisk fysikk. -Kiev: Institutt for matematikk,

1997,-S. 103-106.

10. Doguchaeva S.M. Problemer med frie grenser for en degenerert parabolsk ligning i miljøproblemet //Dopovts HAH Decorations. - 1999. - Nr. 12 - S.28-29.

ABA I. KLASSISKE OG SPESIELLE PROBLEMUTTALELSER

MED FRIE GRENSER.

I. Generelle kjennetegn ved problemer med masseoverføring og diffusjon med reaksjon.

I. Innledende grenseverdiproblemer for jevne overflater av konsentrasjonsfeltet. Kvalitative effekter av diffusjonsprosesser ledsaget av adsorpsjon og kjemiske reaksjoner.

I. Begrenset tid stabilisering til stasjonære, romlig lokaliserte løsninger.

ABA II. STUDIE AV IKKELINEÆRE OVERFØRINGSPROBLEMER OG

DIFFUSJON AV PASSIVE URenheter I STRATIFISEREDE MILJØER.

En metode for å skille variabler i en kvasilineær parabolsk diffusjons- og transportligning.

Nøyaktige løsninger på problemer med diffusjon og overføring fra konsentrerte, øyeblikkelige og permanent virkende kilder i et medium i hvile.

ABA III. MATEMATISKE MODELLER AV DIFFUSJONSPROSESSER

MED REAKSJON.

Rothe-metoden og integralligninger av problemet.

Problemer med frie grenser i problemet med forurensning og selvrensing av en punktkilde.

THERATURE.

Introduksjon avhandling i matematikk, om temaet "Konstruktive metoder for å løse grenseverdiproblemer med frie grenser for ikke-lineære ligninger av parabolsk type"

Når man studerer ikke-lineære grenseverdiproblemer som beskriver prosessene med forurensning og rekreasjon av miljøet, og som reflekterer, sammen med diffusjon, adsorpsjon og kjemiske reaksjoner, er problemer av Stefan-typen med en fri grense og kilder som er vesentlig avhengig av ønsket konsentrasjonsfelt av spesielle renter.

Ikke-lineære problemer med frie grenser i miljøproblemer gjør det mulig å beskrive den faktisk observerte lokaliseringen av miljøforurensning (rekreasjons)prosesser. Ikke-lineariteten her skyldes både avhengigheten av den turbulente diffusjonstensoren K og forurensningsavløpene / av konsentrasjonen c. I det første tilfellet oppnås romlig lokalisering på grunn av degenerasjon, når ved c = O og K = 0. Det skjer imidlertid bare på et gitt tidspunkt r og er fraværende ved z.

Utviklingen av diffusjonsprosesser med reaksjon, stabiliserende til begrensende stasjonære tilstander med klart definert romlig lokalisering, kan beskrives ved matematiske modeller med en spesiell avhengighet av synker /(c). Sistnevnte modellerer forbruket av materie på grunn av kjemiske reaksjoner av brøkorden, når /(c) = . I dette tilfellet, uavhengig av degenerasjonen av diffusjonskoeffisienten, er det en spatiotemporal lokalisering av diffusjonsforstyrrelsen til mediet. Til enhver tid /, okkuperer den lokale diffusjonsforstyrrelsen et bestemt område 0(7), begrenset av den tidligere ukjente frie overflaten Г(7). Konsentrasjonsfeltet c(p, /) er i dette tilfellet en diffusjonsbølge med en front Г(/), som forplanter seg gjennom et uforstyrret medium, hvor c = O.

Det er ganske naturlig at disse kvalitative effektene kun kan oppnås på grunnlag av en ikke-lineær tilnærming til modellering av reaksjonsprosesser.

Det er utført betydelig mindre forskning på grenseverdiproblemer med frie grenser på grunn av deres kompleksitet, noe som er assosiert både med deres ikke-linearitet og med at de krever a priori spesifikasjon av de topologiske egenskapene til feltene som søkes. Blant verkene som vurderer løsbarheten til slike problemer, er verkene til A.A. Samarsky, O.A. Oleinik, S.A. Kamenomostkoy, etc. Med noen begrensninger på gitte funksjoner i verkene til A.A. Berezovsky, E.S. Sabinina beviste eksistens- og unikhetsteoremer for løsning av et grenseverdiproblem med en fri grense for varmeligningen.

Like viktig er utviklingen av effektive metoder for omtrentlig løsning av problemer i denne klassen, som vil gjøre det mulig å etablere funksjonelle avhengigheter av prosessens hovedparametre på inngangsdataene, noe som gjør det mulig å beregne og forutsi utviklingen av prosessen under vurdering.

På grunn av den raske forbedringen av datateknologi utvikles det i økende grad effektive numeriske metoder for å løse slike problemer. Disse inkluderer den rette linjemetoden, projeksjonsnettmetoden, utviklet i verkene til G.I. Marchuk, V.I. Nylig har fastfeltmetoden blitt brukt med hell, hvor hovedideen er at en bevegelig grense er fast og en del av de kjente grensebetingelsene er satt på den, det resulterende grenseverdiproblemet løses, og deretter, ved å bruke de gjenværende grensebetingelsene og den resulterende løsningen, en ny, mer nøyaktig posisjon er funnet fri grense osv. Problemet med å finne den frie grensen reduseres til den påfølgende løsningen av en rekke klassiske grenseverdiproblemer for ordinære differensialligninger.

Siden problemer med frie grenser ikke er fullstendig studert, og løsningen deres er forbundet med betydelige vanskeligheter, krever deres forskning og løsning involvering av nye ideer, bruk av hele arsenalet av konstruktive metoder for ikke-lineær analyse, moderne prestasjoner av matematisk fysikk, beregningsmatematikk og evnene til moderne datateknologi. I teoretiske termer forblir spørsmålene om eksistens, unikhet, positivitet, stabilisering og spatiotemporal lokalisering av løsninger relevante for slike problemer.

Avhandlingsarbeidet er viet formuleringen av nye problemer med frie grenser som modellerer prosessene for transport og diffusjon med reaksjonen av forurensende stoffer i miljøproblemer, deres kvalitative forskning og, hovedsakelig, utvikling av konstruktive metoder for å konstruere omtrentlige løsninger på slike. problemer.

Det første kapittelet gir en generell beskrivelse av diffusjonsproblemer i aktive medier, det vil si medier der avløp i vesentlig grad er avhengig av konsentrasjon. Fysisk baserte begrensninger på strømmer er indikert, der problemet reduseres til følgende problem med frie grenser for en kvasilineær parabolsk ligning: с, = div(K(p, t, с) grad) - div(cu) - f ( с)+ w i Q (/) ,t> 0, c(p,0) = e0(p) i cm c)grad, n)+ac = accp på S(t), c)gradc,n) = 0 på Г if) , hvor K(p,t,c) er den turbulente diffusjonstensoren; ü er mediets hastighetsvektor, c(p,t) er konsentrasjonen til mediet.

Betydelig oppmerksomhet i det første kapittelet er viet utformingen av innledende grenseverdiproblemer for overflater av konsentrasjonsnivået ved rettet diffusjonsprosesser, når det er en-til-en samsvar mellom konsentrasjon og en av de romlige koordinatene. Den monotone avhengigheten av c(x,y,z,t) av z lar oss transformere differensialligningen, start- og grensebetingelsene for problemet for konsentrasjonsfeltet til en differensialligning og de tilsvarende tilleggsbetingelsene for feltet til dets plane overflater - z = z(x,y,c, t). Dette oppnås ved å differensiere de inverse funksjonene, løse ligningen til den kjente overflaten S: Ф (x,y,z,t)=0->z=zs(x,y,t) og lese identiteten tilbake med(x) ,y,zs, t)=c(x,y,t). Differensialligning (1) for c transformeres deretter til en ligning for z- Az=zt-f (c)zc, hvor

2 ^ Az=vT (K*t*)-[K-b Vz = lzx + jz +k, VT = V-k-. zc dz

Ved overgang fra uavhengige variabler x, y, z til uavhengige variabler x>y, c, transformeres det fysiske området Q(i) til det ikke-fysiske området Qc(/), begrenset av delen av planet c = 0, som den frie overflaten Г går inn i, og fri inn i det generelle tilfellet, en ukjent overflate c=c(x,y,t), som den kjente overflaten S(t) går inn i.

I motsetning til operatoren divKgrad ■ for det direkte problemet, er operator A for det inverse problemet i hovedsak ikke-lineær. Oppgaven beviser positiviteten til den kvadratiske formen e+rf+yf-latf-lßrt tilsvarende operator A, og etablerer derved dens elliptiske, som lar oss vurdere formuleringer av grenseverdiproblemer for den. Ved å integrere med deler fikk vi en analog av Greens første formel for operatoren A c(x,yt) c(t) cbcdy \uAzdc= Jdc d u(KVTz,n)iï- \\viyrv,VTz)dxdy

Vzf x,y,t) 0 c(x,y,t) - í *

ReG(4 ¿>0. s = 0, K- = 0, dp

I dette tilfellet tillot overgangen i forhold til den jevne overflaten r = r(x,y,c^) oss å bli kvitt den frie overflaten c=c(x,y,?), siden den er fullstendig bestemt av Dirichlet betingelse c(x,y^) = d >(x,y,rx(x,y^),O- Som et resultat vil følgende initialgrenseverdiproblem for en sterkt ikke-lineær parabolsk operator^ - - i en tid- varierende, men allerede kjent domene C2c(0:<9/

Az = z(~zc, x,yED(t), 0 0, z(x,y,c,0) = z0(x,y,c), x,y,sePc(O), z(x,y,c,t) = zs (x,y,c, t), c = c(x, y, t), X, y G D(t), t > 0, zc(x,y,0,t)=-co, x,y&D(t), t> 0 .

Ar2 - Ar1)(r2-)(bcc1us1c< 0 . (4)

På den annen side, ved å bruke differensialligningen, grense- og startbetingelsene er det vist at

Den resulterende motsigelsen beviser unikhetsteoremet for løsningen av Dirichlet-problemet for konsentrasjonsnivåoverflater c(x,y,t)

Teorem 1. Hvis kildefunksjonen w er const, øker synkefunksjonen f(c) monotont og /(0) = 0, så er løsningen på Dirichlet-problemet (2) for jevne flater positiv og unik.

Tredje avsnitt i første kapittel diskuterer de kvalitative effektene av diffusjonsprosesser ledsaget av adsorpsjon og kjemiske reaksjoner. Disse effektene kan ikke beskrives basert på lineær teori. Hvis forplantningshastigheten i sistnevnte er uendelig og det dermed ikke er noen romlig lokalisering, vil de ikke-lineære diffusjonsmodellene med reaksjon under vurdering, med de funksjonelle avhengighetene til den turbulente diffusjonskoeffisienten K og avløpstettheten (kinetikk av kjemiske reaksjoner) / på konsentrasjon c etablert i arbeidet, gjør det mulig å beskrive de faktisk observerte effektene av en begrenset forplantningshastighet , romlig lokalisering og stabilisering over en begrenset tid (rekreasjon) av forurensninger. Arbeidet fastslo at de listede effektene kan beskrives ved hjelp av de foreslåtte modellene dersom det er en upassende integral med w 1

K(w)dzdt = -\Q(t)dt, t>0;

00 dc с(сс^) = 0,К(с)- = 0, z = oo,t>0. dz

Den stasjonære oppgaven i koordinatfri form har formen div(K(c)grad) = f(c) i Q\P (0< с < оо},

K(cgradc,n)) + ac = 0 på 5 = 5Q П Ж, (7) с = 0, (К(с) karakter,п) = 0 på Г s (с = 0) = dQ. P D,

JJJ/(c)dv + cds = q. som

I et semi-nabolag med eQ av punktet Pe Г, gjorde overgangen til den semi-koordinatformen for notasjon det mulig å oppnå Cauchy-problemet drj

K(c) dc dt] divT (K(c)gradTc) = f(c) i co rj<0

8) dc c = 0, K(c)~ = 0,77 = 0,

En nøyaktig løsning på problemet er oppnådd (9)

77(s)= gjøre om 2 s [ o s1m?< 00 (10) и доказана следующая теорема

Teorem 2. En nødvendig betingelse for eksistensen av en romlig lokalisert løsning på de ikke-lokale problemene med frie grenser under vurdering er eksistensen av et upassende integral (b).

I tillegg er det bevist at betingelse (6) er nødvendig og tilstrekkelig 1 for eksistensen av en romlig lokalisert løsning på følgende endimensjonale stasjonære problem med en fri grense r(c), 0<г<со,

00 O tsk = ^- si) o 2 c1c c(oo) = 0, K(c)- = 0, g = oo, c1g det vil si at det finner sted

Teorem 3. Hvis funksjonen /(c) tilfredsstiller betingelsene f(c) = c ^ , ^< // < 1, при с-» О, а К{с)-непрерывная положительная функция, то при любом д>0 en positiv løsning på det ikke-lokale grenseverdiproblemet (11) eksisterer og er unik.

Samtidig er for rekreasjonstid anslaget w

T<]. ск х)

13) hvorfra et mer nøyaktig estimat for T t følger<

1+ /?>(())] der c er roten av ligningen

Уг^-Р)/ с /1 =(р, = КМГ > = ^-Ш+Р)^1 ■

C(P>*) = φ(р,0 på eller = ()((), с(р, Г) = 0, (К(р^, с)%?аес,н) = 0 på Г(Г) ).

1 d dt g"-1 dg p-\

K(r,t,c) ds dg p = 1,2,3,

16) hvor K(r,t,c) = KO(p(t)rmck;

17) hvor funksjonene og parameteren p bestemmes i prosessen med å skille variabler i (16). Som et resultat fikk vi en ordinær differensialligning for B(t]) at] og representasjonen

Оn+m+p-2)/pBk £® drj

C.B-ij-dtl, åh

For to verdier av en vilkårlig konstant C( - C, = og

С1 = ^Ур ligning (18) tillater eksakte løsninger avhengig av en vilkårlig konstant. Sistnevnte kan bestemmes ved å oppfylle visse tilleggsbetingelser. I tilfellet med Dirichlet-grensebetingelsen c(0,0 = B0[f^)]"p/p (20), oppnås en nøyaktig romlig lokalisert løsning i tilfellet k > 0, m< 2:

2-t Gf\h;

L/k 0<г <гф(/),

Å, gf(/)<г< оо,

Vd^0(2-m\ p = pk + 2-m, og den eksakte ikke-lokaliserte løsningen i tilfellet k<0, т <2:

1/k 0< г < 00.

22) = [k^2 - t)/?/^1 p = 2-t- p\k\.

Her er f(1) = \(p(r)yt; gf (/) = [^(O]^ o

Nøyaktige løsninger ble også oppnådd i tilfelle av øyeblikkelige eller permanent virkende konsentrerte kilder, når en ekstra ikke-lokal grensebetingelse for formen

23) hvor o)n er arealet av enhetssfæren (co1 = 2, a>2 = 2i, a>3 = 4z).

Problemer med diffusjon fra konstant virkende punkt og lineære kilder i et medium i bevegelse vurderes når en kvasi-lineær ligning brukes til å bestemme konsentrasjonen

Vdivc = -^S(r),

Gf(x)<Г<СС,

Mk 0<г<гф (х), Ф

2С2 (2 + 2к)К0 к

Løsning (25) gjør det i prinsippet mulig å beskrive den romlige lokaliseringen av en diffusjonsforstyrrelse. I dette tilfellet bestemmes fronten av den diffuserende bølgen, og skiller områdene med null og ikke-null konsentrasjoner. For k -» 0 innebærer det den velkjente Roberts-løsningen, som imidlertid ikke lar en beskrive romlig lokalisering.

Det tredje kapittelet av avhandlingen er viet studiet av spesifikke problemer med diffusjon med reaksjon i et lagdelt luftmiljø, som er følgende endimensjonale problem med en fri grense uxx-ut = / (u), 0< х < s(t), t>O, u(x,0) = Uq(X), 0< х < 5(0), (26) ux-hu = -h(p, х = 0, t >0, u = 0, deres = 0, x = s(t), t > 0.

Løsning (27) reduseres til ikke-lineære integralligninger av Volterra-typen og en ikke-lineær ligning for x = 0 5 u(x) ~ 4m [i/r-^--* s/r + k^tek -¿r n V l / g l/g

0 < X < 5, к(р.

For numeriske beregninger reduseres løsningssystem (28) ved bruk av endelig-dimensjonal tilnærming til å finne løsninger til et system med ikke-lineære algebraiske ligninger med hensyn til nodalverdiene og. = u(x)) og i-.

Problemer med frie grenser i problemet med forurensning og selvrensing av atmosfæren ved punktkilder vurderes også her. I fravær av en adsorberende overflate 5(0 (tie&3 = 0) i tilfelle av flate, sylindriske eller punktkilder til forurensning, når konsentrasjonen avhenger av én romlig koordinat - avstanden til kilden og tid, den enkleste endimensjonale ikke-lokalt problem med en fri grense oppnås

-- = /(s), 0<г<гф(О,/>0, dt gp~x 8g \ 8g, f,0) = 0, 0<г<гф (0) (29) 5с с(г,0 = 0, - = 0, г = гф(0, ^>0; ah

1 I bg + /(c) Г~1£/г=- (30) о о ^ ; ^

Konstruksjonen av en løsning på problem (29), (30) ble utført ved Rothe-metoden i kombinasjon med metoden for ikke-lineære integralligninger.

Ved å transformere de avhengige og uavhengige variablene reduseres det ikke-lokale problemet med en fri grense rundt en punktkilde til den kanoniske formen<х<^(г), г>0,

5l:2 8t u(x,0) = 0, 0< л; < 5(0), (5(0) = 0), (31) м(5(г),т) = мх(5(т),т) = 0,

Pmg + = d(r), m > 0, inneholder bare én funksjon som definerer funksjonen d(r).

I spesielle tilfeller oppnås nøyaktige løsninger av de tilsvarende ikke-lokale stasjonære problemene med en fri grense for Emden-Fowler-ligningen med 12 og 1 i l.

2=х иН, 0<Х<5, с!х ф) = м,(5) = 0, \х1~/*и1*сЬс = 4. (32) о

Spesielt når /? = 0 m(l:) = (1/6)(25 + x)(5-x)2, hvor* = (Зз)1/3.

Følgende resultater sendes inn til forsvar:

Studie av kvalitative effekter av spatiotemporal lokalisering;

Etablering av nødvendige forhold for romlig lokalisering til begrensende stasjonære tilstander;

Teorem om det unike ved løsningen av et problem med en fri grense i tilfelle av Dirichlet-forhold på en kjent overflate;

Å oppnå ved hjelp av metoden for separasjon av variabler eksakte romlig lokaliserte familier av partielle løsninger av degenererte kvasilineære parabolske ligninger;

Oppnå nøyaktige romlig lokaliserte løsninger på stasjonære diffusjonsproblemer med reaksjon.

Konklusjon på avhandlingen om emnet "Matematisk fysikk"

Hovedresultatene av avhandlingsarbeidet kan formuleres som følger.

1. Kvalitativt nye effekter av spatiotemporal lokalisering er studert.

2. De nødvendige forholdene for romlig lokalisering og stabilisering til begrensende stasjonære tilstander er etablert.

3. Et teorem om det unike ved løsningen av problemet med fri grense ved Dirichlet-forhold på en kjent overflate er bevist.

4. Ved å bruke metoden for separasjon av variabler, ble eksakte romlig lokaliserte familier av partielle løsninger av degenererte kvasilineære parabolske ligninger oppnådd.

6. Nøyaktige romlig lokaliserte løsninger på stasjonære problemer med diffusjon med reaksjon ble oppnådd.

Resultatene av avhandlingsarbeidet kan brukes til å formulere og løse ulike problemer innen moderne naturvitenskap, spesielt metallurgi og kryomedisin.

KONKLUSJON

Liste over kilder avhandling og abstrakt i matematikk, kandidat for fysiske og matematiske vitenskaper, Doguchaeva, Svetlana Magomedovna, Nalchik