Hva er definisjon av logaritmer. Innlegg merket "logaritmer"

I dag skal vi snakke om logaritmiske formler og vi vil gi veiledende eksempler på løsninger.

De antyder selv løsningsmønstre i henhold til logaritmenes grunnleggende egenskaper. Før du bruker logaritmeformler for å løse, la oss minne deg på alle egenskapene:

Nå, basert på disse formlene (egenskapene), vil vi vise eksempler på løsning av logaritmer.

Eksempler på løsning av logaritmer basert på formler.

Logaritme et positivt tall b for å basere a (betegnet med log a b) er en eksponent som a må heves til for å få b, med b > 0, a > 0 og 1.

Ifølge definisjonen, log a b = x, som tilsvarer a x = b, derfor log a a x = x.

Logaritmer, eksempler:

log 2 8 = 3, fordi 2 3 = 8

log 7 49 = 2, fordi 7 2 = 49

log 5 1/5 = -1, fordi 5 -1 = 1/5

Desimal logaritme- dette er en vanlig logaritme, hvis basis er 10. Den er betegnet som lg.

log 10 100 = 2, fordi 10 2 = 100

Naturlig logaritme- også en vanlig logaritme, en logaritme, men med grunntallet e (e = 2,71828... - et irrasjonelt tall). Betegnes som ln.

Det er lurt å huske formlene eller egenskapene til logaritmer, fordi vi vil trenge dem senere når vi løser logaritmer, logaritmiske ligninger og ulikheter. La oss gå gjennom hver formel på nytt med eksempler.

Grunnleggende logaritmisk identitet
a log a b = b
8 2log 8 3 = (8 2log 8 3) 2 = 3 2 = 9
Logaritmen til produktet er lik summen av logaritmene
log a (bc) = log a b + log a c
log 3 8,1 + log 3 10 = log 3 (8,1*10) = log 3 81 = 4
Logaritmen til kvotienten er lik differansen til logaritmene
log a (b/c) = log a b - log a c
9 log 5 50 /9 log 5 2 = 9 log 5 50- log 5 2 = 9 log 5 25 = 9 2 = 81
Egenskaper for potensen til et logaritmisk tall og basisen til logaritmen
Eksponent for det logaritmiske tallet log a b m = mlog a b

Eksponent for basen til logaritmen log a n b =1/n*log a b

log a n b m = m/n*log a b,

hvis m = n, får vi log a n b n = log a b

log 4 9 = log 2 2 3 2 = log 2 3
Overgang til ny stiftelse
log a b = log c b/log c a,
hvis c = b, får vi log b b = 1

så log a b = 1/log b a

log 0,8 3*log 3 1,25 = log 0,8 3*log 0,8 1,25/log 0,8 3 = log 0,8 1,25 = log 4/5 5/4 = -1

Som du kan se, er ikke formlene for logaritmer så kompliserte som de ser ut til. Nå, etter å ha sett på eksempler på løsning av logaritmer, kan vi gå videre til logaritmiske ligninger. Vi vil se nærmere på eksempler på løsning av logaritmiske ligninger i artikkelen: "". Ikke gå glipp!

Hvis du fortsatt har spørsmål om løsningen, skriv dem i kommentarene til artikkelen.

Merk: vi bestemte oss for å få en annen utdanningsklasse og studere i utlandet som et alternativ.

Logaritmen av et positivt tall b til grunntallet a (a>0, a er ikke lik 1) er et tall c slik at a c = b: log a b = c ⇔ a c = b (a > 0, a ≠ 1, b > 0)

Merk at logaritmen til et ikke-positivt tall er udefinert. I tillegg må basen til logaritmen være et positivt tall som ikke er lik 1. Hvis vi for eksempel kvadrerer -2, får vi tallet 4, men dette betyr ikke at logaritmen til grunntallet -2 av 4 er lik 2.

Grunnleggende logaritmisk identitet

a log a b = b (a > 0, a ≠ 1) (2)

Det er viktig at omfanget av definisjon av høyre og venstre side av denne formelen er forskjellig. Venstre side er definert kun for b>0, a>0 og a ≠ 1. Høyre side er definert for enhver b, og er ikke avhengig av a i det hele tatt. Dermed kan anvendelsen av den grunnleggende logaritmiske "identiteten" ved løsning av likninger og ulikheter føre til en endring i OD.

To åpenbare konsekvenser av definisjonen av logaritme

log a a = 1 (a > 0, a ≠ 1) (3)
log a 1 = 0 (a > 0, a ≠ 1) (4)

Faktisk, når vi hever tallet a til første potens, får vi det samme tallet, og når vi hever det til null potens, får vi en.

Logaritme av produktet og logaritme av kvotienten

log a (b c) = log a b + log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) (5)

Logg a b c = log a b − log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) (6)

Jeg vil advare skoleelever mot tankeløst å bruke disse formlene når de løser logaritmiske ligninger og ulikheter. Når du bruker dem "fra venstre til høyre", smalner ODZ, og når du flytter fra summen eller differansen av logaritmer til logaritmen til produktet eller kvotienten, utvides ODZ.

Faktisk er uttrykket log a (f (x) g (x)) definert i to tilfeller: når begge funksjonene er strengt tatt positive eller når f(x) og g(x) begge er mindre enn null.

Ved å transformere dette uttrykket til summen log a f (x) + log a g (x), er vi tvunget til å begrense oss til tilfellet når f(x)>0 og g(x)>0. Det er en innsnevring av utvalget av akseptable verdier, og dette er kategorisk uakseptabelt, siden det kan føre til tap av løsninger. Et lignende problem eksisterer for formel (6).

Graden kan tas ut av logaritmens fortegn

log a b p = p log a b (a > 0, a ≠ 1, b > 0) (7)

Og igjen vil jeg gjerne be om nøyaktighet. Tenk på følgende eksempel:

Logg a (f (x) 2 = 2 log a f (x)

Venstre side av likheten er åpenbart definert for alle verdier av f(x) bortsett fra null. Høyre side er kun for f(x)>0! Ved å ta graden ut av logaritmen, begrenser vi igjen ODZ. Den omvendte prosedyren fører til en utvidelse av utvalget av akseptable verdier. Alle disse merknadene gjelder ikke bare for kraft 2, men også for enhver jevn kraft.

Formel for å flytte til en ny stiftelse

log a b = log c b log c a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1) (8)

Det sjeldne tilfellet når ODZ ikke endres under transformasjon. Hvis du har valgt base c med omhu (positiv og ikke lik 1), er formelen for å flytte til en ny base helt trygg.

Hvis vi velger tallet b som ny grunntall c, får vi et viktig spesialtilfelle av formel (8):

Logg a b = 1 log b a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1) (9)

Noen enkle eksempler med logaritmer

Eksempel 1. Regn ut: log2 + log50.
Løsning. log2 + log50 = log100 = 2. Vi brukte summen av logaritmene formel (5) og definisjonen av desimallogaritmen.

Eksempel 2. Regn ut: lg125/lg5.
Løsning. log125/log5 = log 5 125 = 3. Vi brukte formelen for å flytte til en ny base (8).

Tabell over formler relatert til logaritmer

a log a b = b (a > 0, a ≠ 1)

log a a = 1 (a > 0, a ≠ 1)

log a 1 = 0 (a > 0, a ≠ 1)

log a (b c) = log a b + log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0)

log a b c = log a b − log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0)

log a b p = p log a b (a > 0, a ≠ 1, b > 0)

log a b = log c b log c a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1)

log a b = 1 log b a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1)

De grunnleggende egenskapene til den naturlige logaritmen, graf, definisjonsdomene, verdisett, grunnleggende formler, derivert, integral, potensserieutvidelse og representasjon av funksjonen ln x ved bruk av komplekse tall er gitt.

Definisjon

Naturlig logaritme er funksjonen y = ln x, den inverse av eksponentialen, x = e y, og er logaritmen til grunntallet for tallet e: ln x = log e x.

Den naturlige logaritmen er mye brukt i matematikk fordi dens deriverte har den enkleste formen: (ln x)′ = 1/ x.

Basert definisjoner, er basisen til den naturlige logaritmen tallet e:
e ≅ 2,718281828459045...;
.

Graf for funksjonen y = ln x.

Graf av naturlig logaritme (funksjoner y = ln x) er hentet fra den eksponentielle grafen ved speilrefleksjon i forhold til den rette linjen y = x.

Den naturlige logaritmen er definert for positive verdier av variabelen x. Den øker monotont i sitt definisjonsdomene.

Ved x → 0 grensen for den naturlige logaritmen er minus uendelig (-∞).

Som x → + ∞ er grensen for den naturlige logaritmen pluss uendelig (+ ∞). For stor x øker logaritmen ganske sakte. Enhver potensfunksjon x a med en positiv eksponent a vokser raskere enn logaritmen.

Egenskaper til den naturlige logaritmen

Definisjonsdomene, sett med verdier, ekstrema, økning, reduksjon

Den naturlige logaritmen er en monotont økende funksjon, så den har ingen ekstrema. Hovedegenskapene til den naturlige logaritmen er presentert i tabellen.

ln x verdier

ln 1 = 0

Grunnleggende formler for naturlige logaritmer

Formler som følger av definisjonen av den inverse funksjonen:

Hovedegenskapen til logaritmer og dens konsekvenser

Formel for baseerstatning

Enhver logaritme kan uttrykkes i form av naturlige logaritmer ved å bruke basesubstitusjonsformelen:

Bevis på disse formlene er presentert i delen "Logaritme".

Invers funksjon

Den inverse av den naturlige logaritmen er eksponenten.

Hvis da

Hvis da.

Derivat ln x

Derivert av den naturlige logaritmen:
.
Derivert av den naturlige logaritmen til modul x:
.
Derivert av n-te orden:
.
Utlede formler > > >

Integral

Integralet beregnes ved integrasjon av deler:
.
Så,

Uttrykk som bruker komplekse tall

Tenk på funksjonen til den komplekse variabelen z:
.
La oss uttrykke den komplekse variabelen z via modul r og argumentasjon φ :
.
Ved å bruke egenskapene til logaritmen har vi:
.
Eller
.
Argumentet φ er ikke unikt definert. Hvis du setter
, hvor n er et heltall,
det vil være det samme tallet for forskjellige n.

Derfor er den naturlige logaritmen, som funksjon av en kompleks variabel, ikke en funksjon med én verdi.

Power serie utvidelse

Når utvidelsen finner sted:

Referanser:
I. Bronstein, K.A. Semendyaev, Håndbok i matematikk for ingeniører og studenter, "Lan", 2009.

hovedegenskaper.

logax + logay = loga(x y);
logax − logay = loga (x: y).

identiske grunner

Log6 4 + log6 9.

La oss nå komplisere oppgaven litt.

Eksempler på løsning av logaritmer

Hva om basen eller argumentet til en logaritme er en potens? Deretter kan eksponenten for denne graden tas ut av logaritmens fortegn i henhold til følgende regler:

Selvfølgelig gir alle disse reglene mening hvis ODZ til logaritmen blir observert: a > 0, a ≠ 1, x >

Oppgave. Finn betydningen av uttrykket:

Overgang til ny stiftelse

La logaritmen logaks gis. Så for et hvilket som helst tall c slik at c > 0 og c ≠ 1, er likheten sann:

Oppgave. Finn betydningen av uttrykket:

Se også:

Grunnleggende egenskaper for logaritmen

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

Eksponenten er 2,718281828…. For å huske eksponenten kan du studere regelen: eksponenten er lik 2,7 og to ganger fødselsåret til Leo Nikolaevich Tolstoy.

Grunnleggende egenskaper ved logaritmer

Når du kjenner denne regelen, vil du vite både eksponentverdien og fødselsdatoen til Leo Tolstoy.

Eksempler på logaritmer

Logaritmeuttrykk

Eksempel 1.
EN). x=10ac^2 (a>0,c>0).

Ved hjelp av egenskaper 3.5 beregner vi

4. Hvor .

Eksempel 2. Finn x if

Eksempel 3. La verdien av logaritmer gis

Beregn log(x) if

Grunnleggende egenskaper ved logaritmer

Logaritmer, som alle tall, kan legges til, trekkes fra og transformeres på alle måter. Men siden logaritmer ikke er helt vanlige tall, er det regler her, som kalles hovedegenskaper.

Du trenger definitivt å kjenne disse reglene - uten dem kan ikke et eneste alvorlig logaritmisk problem løses. I tillegg er det svært få av dem – du kan lære alt på en dag. Så la oss komme i gang.

Legge til og subtrahere logaritmer

Tenk på to logaritmer med samme base: logax og logay. Deretter kan de legges til og trekkes fra, og:

logax + logay = loga(x y);
logax − logay = loga (x: y).

Så summen av logaritmer er lik logaritmen til produktet, og forskjellen er lik logaritmen til kvotienten. Vennligst merk: nøkkelen her er identiske grunner. Hvis årsakene er forskjellige, fungerer ikke disse reglene!

Disse formlene vil hjelpe deg med å beregne et logaritmisk uttrykk selv når dets individuelle deler ikke vurderes (se leksjonen "Hva er en logaritme"). Ta en titt på eksemplene og se:

Siden logaritmer har samme base, bruker vi sumformelen:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Oppgave. Finn verdien av uttrykket: log2 48 − log2 3.

Basene er de samme, vi bruker forskjellsformelen:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

Oppgave. Finn verdien av uttrykket: log3 135 − log3 5.

Igjen er basene de samme, så vi har:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

Som du kan se, består de opprinnelige uttrykkene av "dårlige" logaritmer, som ikke beregnes separat. Men etter transformasjonene får man helt normale tall. Mange tester er basert på dette faktum. Ja, testlignende uttrykk tilbys i fullt alvor (noen ganger med praktisk talt ingen endringer) på Unified State Examination.

Trekke ut eksponenten fra logaritmen

Det er lett å se at den siste regelen følger de to første. Men det er bedre å huske det uansett - i noen tilfeller vil det redusere mengden beregninger betydelig.

Selvfølgelig gir alle disse reglene mening hvis ODZ til logaritmen blir observert: a > 0, a ≠ 1, x > 0. Og en ting til: lær å bruke alle formler ikke bare fra venstre til høyre, men også omvendt , dvs. Du kan legge inn tallene før logaritmetegnet i selve logaritmen. Dette er det som oftest kreves.

Oppgave. Finn verdien av uttrykket: log7 496.

La oss bli kvitt graden i argumentet ved å bruke den første formelen:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Oppgave. Finn betydningen av uttrykket:

Legg merke til at nevneren inneholder en logaritme, hvis basis og argument er eksakte potenser: 16 = 24; 49 = 72. Vi har:

Jeg tror det siste eksemplet krever litt avklaring. Hvor har logaritmene blitt av? Helt til siste øyeblikk jobber vi kun med nevneren.

Logaritmeformler. Logaritmer eksempler på løsninger.

Vi presenterte grunnlaget og argumentet for logaritmen som sto der i form av potenser og tok ut eksponentene - vi fikk en "tre-etasjers" brøk.

La oss nå se på hovedbrøken. Telleren og nevneren inneholder samme tall: log2 7. Siden log2 7 ≠ 0, kan vi redusere brøken - 2/4 vil forbli i nevneren. I henhold til reglene for regnestykket kan de fire overføres til telleren, som er det som ble gjort. Resultatet ble svaret: 2.

Overgang til ny stiftelse

Når jeg snakker om reglene for å addere og subtrahere logaritmer, la jeg spesielt vekt på at de bare fungerer med de samme basene. Hva om årsakene er forskjellige? Hva om de ikke er nøyaktige potenser av samme tall?

Formler for overgang til en ny stiftelse kommer til unnsetning. La oss formulere dem i form av et teorem:

La logaritmen logaks gis. Så for et hvilket som helst tall c slik at c > 0 og c ≠ 1, er likheten sann:

Spesielt hvis vi setter c = x, får vi:

Fra den andre formelen følger det at basen og argumentet til logaritmen kan byttes, men i dette tilfellet blir hele uttrykket "snudd", dvs. logaritmen vises i nevneren.

Disse formlene finnes sjelden i vanlige numeriske uttrykk. Det er mulig å vurdere hvor praktiske de er bare når man løser logaritmiske ligninger og ulikheter.

Det er imidlertid problemer som ikke kan løses i det hele tatt bortsett fra ved å flytte til en ny stiftelse. La oss se på et par av disse:

Oppgave. Finn verdien av uttrykket: log5 16 log2 25.

Merk at argumentene til begge logaritmene inneholder eksakte potenser. La oss ta ut indikatorene: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

La oss nå "reversere" den andre logaritmen:

Siden produktet ikke endrer seg ved omorganisering av faktorer, multipliserte vi rolig fire og to, og behandlet deretter logaritmer.

Oppgave. Finn verdien av uttrykket: log9 100 lg 3.

Grunnlaget og argumentet til den første logaritmen er eksakte potenser. La oss skrive dette ned og bli kvitt indikatorene:

La oss nå bli kvitt desimallogaritmen ved å flytte til en ny base:

Grunnleggende logaritmisk identitet

Ofte i løsningsprosessen er det nødvendig å representere et tall som en logaritme til en gitt base. I dette tilfellet vil følgende formler hjelpe oss:

I det første tilfellet blir tallet n eksponenten i argumentet. Tallet n kan være absolutt hva som helst, fordi det bare er en logaritmeverdi.

Den andre formelen er faktisk en omskrevet definisjon. Det heter det: .

Faktisk, hva skjer hvis tallet b heves til en slik potens at tallet b i denne potensen gir tallet a? Det stemmer: resultatet er det samme tallet a. Les denne paragrafen nøye igjen - mange setter seg fast i den.

Som formler for å flytte til en ny base, er den grunnleggende logaritmiske identiteten noen ganger den eneste mulige løsningen.

Oppgave. Finn betydningen av uttrykket:

Legg merke til at log25 64 = log5 8 - ganske enkelt tok kvadratet fra basen og argumentet til logaritmen. Når vi tar i betraktning reglene for å multiplisere potenser med samme base, får vi:

Hvis noen ikke vet, var dette en skikkelig oppgave fra Unified State Exam :)

Logaritmisk enhet og logaritmisk null

Avslutningsvis vil jeg gi to identiteter som vanskelig kan kalles egenskaper – snarere er de konsekvenser av definisjonen av logaritmen. De dukker stadig opp i problemer og, overraskende nok, skaper de problemer selv for "avanserte" studenter.

logaa = 1 er. Husk en gang for alle: logaritmen til en hvilken som helst base a av selve basen er lik én.
loga 1 = 0 er. Grunnlaget a kan være hva som helst, men hvis argumentet inneholder en, er logaritmen lik null! Fordi a0 = 1 er en direkte konsekvens av definisjonen.

Det er alle egenskapene. Sørg for å trene på å sette dem ut i livet! Last ned juksearket i begynnelsen av leksjonen, skriv det ut og løs problemene.

Se også:

Logaritmen til b for å basere a angir uttrykket. Å beregne logaritmen betyr å finne en potens x () der likheten er tilfredsstilt

Grunnleggende egenskaper for logaritmen

Det er nødvendig å kjenne egenskapene ovenfor, siden nesten alle problemer og eksempler relatert til logaritmer løses på grunnlag av dem. Resten av de eksotiske egenskapene kan utledes gjennom matematiske manipulasjoner med disse formlene

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

Når man regner ut formelen for sum og forskjell av logaritmer (3.4) kommer man over ganske ofte. Resten er noe sammensatt, men i en rekke oppgaver er de uunnværlige for å forenkle komplekse uttrykk og beregne deres verdier.

Vanlige tilfeller av logaritmer

Noen av de vanlige logaritmene er de der basen til og med er ti, eksponentiell eller to.
Logaritmen til grunntallet ti kalles vanligvis desimallogaritmen og er ganske enkelt betegnet med lg(x).

Det fremgår tydelig av opptaket at det grunnleggende ikke er skrevet i opptaket. For eksempel

En naturlig logaritme er en logaritme hvis base er en eksponent (angitt med ln(x)).

Eksponenten er 2,718281828…. For å huske eksponenten kan du studere regelen: eksponenten er lik 2,7 og to ganger fødselsåret til Leo Nikolaevich Tolstoy. Når du kjenner denne regelen, vil du vite både eksponentverdien og fødselsdatoen til Leo Tolstoy.

Og en annen viktig logaritme til base to er betegnet med

Den deriverte av logaritmen til en funksjon er lik en dividert med variabelen

Integral- eller antiderivertelogaritmen bestemmes av forholdet

Det gitte materialet er nok for deg til å løse en bred klasse av problemer knyttet til logaritmer og logaritmer. For å hjelpe deg å forstå materialet, vil jeg bare gi noen få vanlige eksempler fra skolepensum og universiteter.

Eksempler på logaritmer

Logaritmeuttrykk

Eksempel 1.
EN). x=10ac^2 (a>0,c>0).

Ved hjelp av egenskaper 3.5 beregner vi

2.
Ved egenskapen forskjell av logaritmer har vi

3.
Ved å bruke egenskaper 3.5 finner vi

4. Hvor .

Et tilsynelatende komplekst uttrykk forenkles til å danne ved hjelp av en rekke regler

Finne logaritmeverdier

Eksempel 2. Finn x if

Løsning. For beregning gjelder vi siste termin 5 og 13 eiendommer

Vi setter det på rekord og sørger

Siden basene er like, setter vi likhetstegn mellom uttrykkene

Logaritmer. Første nivå.

La verdien av logaritmer gis

Beregn log(x) if

Løsning: La oss ta en logaritme av variabelen for å skrive logaritmen gjennom summen av dens ledd

Dette er bare begynnelsen på vårt bekjentskap med logaritmer og deres egenskaper. Øv på beregninger, berik dine praktiske ferdigheter - du vil snart trenge kunnskapen du får for å løse logaritmiske ligninger. Etter å ha studert de grunnleggende metodene for å løse slike ligninger, vil vi utvide kunnskapen din til et annet like viktig emne - logaritmiske ulikheter ...

Grunnleggende egenskaper ved logaritmer

Logaritmer, som alle tall, kan legges til, trekkes fra og transformeres på alle måter. Men siden logaritmer ikke er helt vanlige tall, er det regler her, som kalles hovedegenskaper.

Legge til og subtrahere logaritmer

Tenk på to logaritmer med samme base: logax og logay. Deretter kan de legges til og trekkes fra, og:

logax + logay = loga(x y);
logax − logay = loga (x: y).

Disse formlene vil hjelpe deg med å beregne et logaritmisk uttrykk selv når dets individuelle deler ikke vurderes (se leksjonen "Hva er en logaritme"). Ta en titt på eksemplene og se:

Oppgave. Finn verdien av uttrykket: log6 4 + log6 9.

Siden logaritmer har samme base, bruker vi sumformelen:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Oppgave. Finn verdien av uttrykket: log2 48 − log2 3.

Basene er de samme, vi bruker forskjellsformelen:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

Oppgave. Finn verdien av uttrykket: log3 135 − log3 5.

Igjen er basene de samme, så vi har:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

Trekke ut eksponenten fra logaritmen

La oss nå komplisere oppgaven litt. Hva om basen eller argumentet til en logaritme er en potens? Deretter kan eksponenten for denne graden tas ut av logaritmens fortegn i henhold til følgende regler:

Det er lett å se at den siste regelen følger de to første. Men det er bedre å huske det uansett - i noen tilfeller vil det redusere mengden beregninger betydelig.

Hvordan løse logaritmer

Dette er det som oftest kreves.

Oppgave. Finn verdien av uttrykket: log7 496.

La oss bli kvitt graden i argumentet ved å bruke den første formelen:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Oppgave. Finn betydningen av uttrykket:

Legg merke til at nevneren inneholder en logaritme, hvis basis og argument er eksakte potenser: 16 = 24; 49 = 72. Vi har:

Jeg tror det siste eksemplet krever litt avklaring. Hvor har logaritmene blitt av? Helt til siste øyeblikk jobber vi kun med nevneren. Vi presenterte grunnlaget og argumentet for logaritmen som sto der i form av potenser og tok ut eksponentene - vi fikk en "tre-etasjers" brøk.

Overgang til ny stiftelse

Formler for overgang til en ny stiftelse kommer til unnsetning. La oss formulere dem i form av et teorem:

La logaritmen logaks gis. Så for et hvilket som helst tall c slik at c > 0 og c ≠ 1, er likheten sann:

Spesielt hvis vi setter c = x, får vi:

Fra den andre formelen følger det at basen og argumentet til logaritmen kan byttes, men i dette tilfellet blir hele uttrykket "snudd", dvs. logaritmen vises i nevneren.

Disse formlene finnes sjelden i vanlige numeriske uttrykk. Det er mulig å vurdere hvor praktiske de er bare når man løser logaritmiske ligninger og ulikheter.

Det er imidlertid problemer som ikke kan løses i det hele tatt bortsett fra ved å flytte til en ny stiftelse. La oss se på et par av disse:

Oppgave. Finn verdien av uttrykket: log5 16 log2 25.

Merk at argumentene til begge logaritmene inneholder eksakte potenser. La oss ta ut indikatorene: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

La oss nå "reversere" den andre logaritmen:

Siden produktet ikke endrer seg ved omorganisering av faktorer, multipliserte vi rolig fire og to, og behandlet deretter logaritmer.

Oppgave. Finn verdien av uttrykket: log9 100 lg 3.

Grunnlaget og argumentet til den første logaritmen er eksakte potenser. La oss skrive dette ned og bli kvitt indikatorene:

La oss nå bli kvitt desimallogaritmen ved å flytte til en ny base:

Grunnleggende logaritmisk identitet

Ofte i løsningsprosessen er det nødvendig å representere et tall som en logaritme til en gitt base. I dette tilfellet vil følgende formler hjelpe oss:

I det første tilfellet blir tallet n eksponenten i argumentet. Tallet n kan være absolutt hva som helst, fordi det bare er en logaritmeverdi.

Den andre formelen er faktisk en omskrevet definisjon. Det heter det: .

Som formler for å flytte til en ny base, er den grunnleggende logaritmiske identiteten noen ganger den eneste mulige løsningen.

Oppgave. Finn betydningen av uttrykket:

Legg merke til at log25 64 = log5 8 - ganske enkelt tok kvadratet fra basen og argumentet til logaritmen. Når vi tar i betraktning reglene for å multiplisere potenser med samme base, får vi:

Hvis noen ikke vet, var dette en skikkelig oppgave fra Unified State Exam :)

Logaritmisk enhet og logaritmisk null

logaa = 1 er. Husk en gang for alle: logaritmen til en hvilken som helst base a av selve basen er lik én.
loga 1 = 0 er. Grunnlaget a kan være hva som helst, men hvis argumentet inneholder en, er logaritmen lik null! Fordi a0 = 1 er en direkte konsekvens av definisjonen.

Det er alle egenskapene. Sørg for å trene på å sette dem ut i livet! Last ned juksearket i begynnelsen av leksjonen, skriv det ut og løs problemene.

La oss begynne med egenskapene til logaritmen til en. Formuleringen er som følger: logaritmen av enhet er lik null, det vil si, logg a 1=0 for enhver a>0, a≠1. Beviset er ikke vanskelig: siden a 0 = 1 for enhver a som tilfredsstiller betingelsene ovenfor a>0 og a≠1, følger likhetsloggen a 1=0 som skal bevises umiddelbart fra definisjonen av logaritmen.

La oss gi eksempler på bruken av den vurderte egenskapen: log 3 1=0, log1=0 og .

La oss gå videre til neste eiendom: logaritmen til et tall lik grunntall er lik en, det er, log a a=1 for a>0, a≠1. Faktisk, siden a 1 =a for enhver a, så logaritmen logaritmen a a = 1 per definisjon av logaritmen.

Eksempler på bruk av denne egenskapen til logaritmer er likhetene log 5 5=1, log 5,6 5,6 og lne=1.

For eksempel log 2 2 7 =7, log10 -4 =-4 og .

Logaritme av produktet av to positive tall x og y er lik produktet av logaritmene til disse tallene: log a (x y)=logg a x+log a y, a>0, a≠1. La oss bevise egenskapen til logaritmen til et produkt. På grunn av gradens egenskaper a log a x+log a y =a log a x ·a log a y, og siden ved den logaritmiske hovedidentiteten a log a x =x og en log a y =y, så a log a x ·a log a y =x·y. Dermed en log a x+log a y =x·y, hvorfra, ved definisjonen av en logaritme, følger likheten som bevises.

La oss vise eksempler på bruk av egenskapen til logaritmen til et produkt: log 5 (2 3)=log 5 2+log 5 3 og .

Egenskapen til logaritmen til et produkt kan generaliseres til produktet av et endelig antall n av positive tall x 1 , x 2 , …, x n som log a (x 1 ·x 2 ·…·x n)= log a x 1 +log a x 2 +...+log a x n . Denne likheten kan bevises uten problemer.

For eksempel kan den naturlige logaritmen til produktet erstattes av summen av tre naturlige logaritmer av tallene 4, e og.

Logaritme av kvotienten til to positive tall x og y er lik forskjellen mellom logaritmene til disse tallene. Egenskapen til logaritmen til en kvotient tilsvarer en formel på formen , der a>0, a≠1, x og y er noen positive tall. Gyldigheten av denne formelen er bevist, så vel som formelen for logaritmen til et produkt: siden , da per definisjon av en logaritme.

Her er et eksempel på bruk av denne egenskapen til logaritmen: .

La oss gå videre til egenskapen til potensens logaritme. Logaritmen til en grad er lik produktet av eksponenten og logaritmen til modulen til basisen til denne graden. La oss skrive denne egenskapen til logaritmen til en potens som en formel: log a b p =p·log a |b|, hvor a>0, a≠1, b og p er tall slik at graden b p gir mening og b p >0.

Først beviser vi denne egenskapen for positiv b. Den grunnleggende logaritmiske identiteten lar oss representere tallet b som en log a b , så er b p =(a log a b) p , og det resulterende uttrykket, på grunn av egenskapen til makt, er lik en p·log a b . Så vi kommer til likheten b p =a p·log a b, hvorfra vi ved definisjonen av en logaritme konkluderer med at log a b p =p·log a b.

Det gjenstår å bevise denne egenskapen for negativ b. Her legger vi merke til at uttrykket log a b p for negativ b gir mening bare for like eksponenter p (siden verdien av graden b p må være større enn null, ellers vil ikke logaritmen gi mening), og i dette tilfellet b p =|b| s. Deretter b p =|b| p =(a log a |b|) p =a p·log a |b|, hvorfra log a b p =p·log a |b| .

For eksempel, og ln(-3)4=4·ln|-3|=4·ln3.

Det følger av forrige eiendom egenskapen til logaritmen fra roten: logaritmen til den n-te roten er lik produktet av brøken 1/n ved logaritmen til det radikale uttrykket, det vil si, , hvor a>0, a≠1, n er et naturlig tall større enn én, b>0.

Beviset er basert på likheten (se), som er gyldig for enhver positiv b, og egenskapen til potensens logaritme: .

Her er et eksempel på bruk av denne egenskapen: .

La oss nå bevise formel for å flytte til en ny logaritmebase snill . For å gjøre dette er det nok å bevise gyldigheten av likhetsloggen c b=log a b·log c a. Den grunnleggende logaritmiske identiteten lar oss representere tallet b som en log a b , deretter log c b=log c a log a b . Det gjenstår å bruke egenskapen til logaritmen til graden: log c a log a b =logg a b log c a. Dette beviser likhetslog c b=log a b·log c a, noe som betyr at formelen for overgang til en ny base av logaritmen også er bevist.

La oss vise et par eksempler på bruk av denne egenskapen til logaritmer: og .

Formelen for å flytte til en ny base lar deg gå videre til å jobbe med logaritmer som har en "praktisk" base. For eksempel kan den brukes til å gå til naturlige eller desimale logaritmer slik at du kan beregne verdien av en logaritme fra en tabell med logaritmer. Formelen for å flytte til en ny logaritmebase tillater også, i noen tilfeller, å finne verdien av en gitt logaritme når verdiene til noen logaritmer med andre baser er kjent.

Et spesialtilfelle av formelen for overgang til en ny logaritmebase for c=b av formen brukes ofte . Dette viser at log a b og log b a – . f.eks. .

Formelen brukes også ofte , som er praktisk for å finne logaritmeverdier. For å bekrefte ordene våre, vil vi vise hvordan det kan brukes til å beregne verdien av en logaritme av formen . Vi har . For å bevise formelen det er nok å bruke formelen for overgang til en ny base av logaritmen a: .

Det gjenstår å bevise egenskapene til sammenligning av logaritmer.

La oss bevise at for alle positive tall b 1 og b 2, b 1 log a b 2 , og for a>1 – ulikheten log a b 1

Til slutt gjenstår det å bevise den siste av de listede egenskapene til logaritmer. La oss begrense oss til beviset for dens første del, det vil si at vi vil bevise at hvis en 1 >1, en 2 >1 og en 1 1 er sann log a 1 b>log a 2 b . De resterende utsagnene om denne egenskapen til logaritmer er bevist i henhold til et lignende prinsipp.

La oss bruke den motsatte metoden. Anta at for en 1 >1, en 2 >1 og en 1 1 er sann log a 1 b≤log a 2 b . Basert på egenskapene til logaritmene kan disse ulikhetene omskrives som Og henholdsvis, og av dem følger det at henholdsvis log b a 1 ≤log b a 2 og log b a 1 ≥log b a 2. Deretter, i henhold til egenskapene til potenser med samme base, må likhetene b log b a 1 ≥b log b a 2 og b log b a 1 ≥b log b a 2 holde, det vil si a 1 ≥a 2. Så vi kom til en motsetning til betingelsen en 1

Bibliografi.

Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. Algebra og begynnelsen av analyse: Lærebok for 10. - 11. klassetrinn ved allmennutdanningsinstitusjoner.

Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematikk (en manual for de som går inn på tekniske skoler).