Å utvide polynomer for å oppnå et produkt kan noen ganger virke forvirrende. Men det er ikke så vanskelig hvis du forstår prosessen steg for steg. Artikkelen beskriver i detalj hvordan man faktoriserer et kvadratisk trinomium.
Mange forstår ikke hvordan man faktoriserer et kvadratisk trinomium og hvorfor dette gjøres. I begynnelsen kan det virke som en fåfengt øvelse. Men i matematikk gjøres ingenting for ingenting. Transformasjonen er nødvendig for å forenkle uttrykket og lette beregningen.
Et polynom av formen – ax²+bx+c, kalles et kvadratisk trinomium. Begrepet "a" må være negativt eller positivt. I praksis kalles dette uttrykket en kvadratisk ligning. Derfor sier de det noen ganger annerledes: hvordan utvide en kvadratisk ligning.
Interessant! Et polynom kalles kvadrat på grunn av dens største grad, kvadratet. Og et trinomium - på grunn av de 3 komponentene.
Noen andre typer polynomer:
- lineær binomial (6x+8);
- kubisk kvadrinomial (x³+4x²-2x+9).
Faktorering av et kvadratisk trinomium
Først er uttrykket lik null, så må du finne verdiene til røttene x1 og x2. Det kan være ingen røtter, det kan være en eller to røtter. Tilstedeværelsen av røtter bestemmes av diskriminanten. Du må kunne formelen utenat: D=b²-4ac.
Hvis resultatet D er negativt, er det ingen røtter. Hvis det er positivt, er det to røtter. Hvis resultatet er null, er roten én. Røttene beregnes også ved hjelp av formelen.
Hvis, når du beregner diskriminanten, resultatet er null, kan du bruke hvilken som helst av formlene. I praksis er formelen ganske enkelt forkortet: -b / 2a.
Formlene for forskjellige diskriminantverdier er forskjellige.
Hvis D er positiv:
Hvis D er null:
Online kalkulatorer
Det er en online kalkulator på Internett. Den kan brukes til å utføre faktorisering. Noen ressurser gir mulighet til å se løsningen steg for steg. Slike tjenester bidrar til å bedre forstå temaet, men du må prøve å forstå det godt.
Nyttig video: Faktorisering av et kvadratisk trinomium
Eksempler
Vi foreslår å se på enkle eksempler på hvordan man faktoriserer en kvadratisk ligning.
Eksempel 1
Dette viser tydelig at resultatet er to x-er fordi D er positivt. De må erstattes i formelen. Hvis røttene viser seg å være negative, endres tegnet i formelen til det motsatte.
Vi kjenner formelen for faktorisering av et kvadratisk trinomium: a(x-x1)(x-x2). Vi setter verdiene i parentes: (x+3)(x+2/3). Det er ikke noe tall før et ledd i en potens. Det betyr at det er en der, den går ned.
Eksempel 2
Dette eksemplet viser tydelig hvordan man løser en ligning som har én rot.
Vi erstatter den resulterende verdien:
Eksempel 3
Oppgitt: 5x²+3x+7
Først, la oss beregne diskriminanten, som i tidligere tilfeller.
D=9-4*5*7=9-140= -131.
Diskriminanten er negativ, noe som betyr at det ikke er noen røtter.
Etter å ha mottatt resultatet bør du åpne parentesene og sjekke resultatet. Det originale trinomialet skal vises.
Alternativ løsning
Noen mennesker klarte aldri å bli venner med diskriminatoren. Det er en annen måte å faktorisere et kvadratisk trinomium på. For enkelhets skyld er metoden vist med et eksempel.
Oppgitt: x²+3x-10
Vi vet at vi bør få 2 parenteser: (_)(_). Når uttrykket ser slik ut: x²+bx+c, setter vi x: (x_)(x_) i begynnelsen av hver parentes. De resterende to tallene er produktet som gir "c", dvs. i dette tilfellet -10. Den eneste måten å finne ut hvilke tall dette er, er ved å velge. De erstattede tallene må samsvare med gjenværende ledd.
For eksempel, multiplisering av følgende tall gir -10:
- -1, 10;
- -10, 1;
- -5, 2;
- -2, 5.
- (x-1)(x+10) = x2+10x-x-10 = x2+9x-10. Nei.
- (x-10)(x+1) = x2+x-10x-10 = x2-9x-10. Nei.
- (x-5)(x+2) = x2+2x-5x-10 = x2-3x-10. Nei.
- (x-2)(x+5) = x2+5x-2x-10 = x2+3x-10. Passer inn.
Dette betyr at transformasjonen av uttrykket x2+3x-10 ser slik ut: (x-2)(x+5).
Viktig! Du bør være forsiktig så du ikke forvirrer skiltene.
Utvidelse av et komplekst trinomium
Hvis "a" er større enn én, begynner vanskelighetene. Men alt er ikke så vanskelig som det ser ut til.
For å faktorisere, må du først se om noe kan faktoriseres ut.
For eksempel gitt uttrykket: 3x²+9x-30. Her er tallet 3 tatt ut av parentes:
3(x²+3x-10). Resultatet er det allerede velkjente trinomialet. Svaret ser slik ut: 3(x-2)(x+5)
Hvordan dekomponere hvis begrepet som er i kvadratet er negativt? I dette tilfellet er tallet -1 tatt ut av parentes. For eksempel: -x²-10x-8. Uttrykket vil da se slik ut:
Ordningen skiller seg lite fra den forrige. Det er bare noen få nye ting. La oss si at uttrykket er gitt: 2x²+7x+3. Svaret er også skrevet i 2 parenteser som må fylles ut (_)(_). I 2. parentes skrives x, og i 1. det som er igjen. Det ser slik ut: (2x_)(x_). Ellers gjentas den forrige ordningen.
Tallet 3 er gitt av tallene:
- -1, -3;
- -3, -1;
- 3, 1;
- 1, 3.
Vi løser ligninger ved å erstatte disse tallene. Det siste alternativet er passende. Dette betyr at transformasjonen av uttrykket 2x²+7x+3 ser slik ut: (2x+1)(x+3).
Andre saker
Det er ikke alltid mulig å konvertere et uttrykk. Med den andre metoden er det ikke nødvendig å løse ligningen. Men muligheten for å transformere termer til et produkt sjekkes kun gjennom diskriminanten.
Det er verdt å øve på å løse andregradsligninger slik at det ikke er noen vanskeligheter når du bruker formlene.
Nyttig video: faktorisering av et trinomial
Konklusjon
Du kan bruke den på alle måter. Men det er bedre å øve på begge til de blir automatiske. Det er også nødvendig å lære hvordan man løser kvadratiske ligninger og faktorpolynomer for de som planlegger å koble livet med matematikk. Alle de følgende matematiske emnene er bygget på dette.
Studiet av mange fysiske og geometriske mønstre fører ofte til å løse problemer med parametere. Noen universiteter inkluderer også ligninger, ulikheter og deres systemer i eksamensoppgaver, som ofte er svært komplekse og krever en ikke-standard tilnærming til løsning. På skolen vurderes denne en av de vanskeligste delene av skolealgebrakurset kun i noen få valg- eller fagemner.
Etter min mening er den funksjonelle grafiske metoden en praktisk og rask måte å løse likninger med en parameter på.
Som kjent er det i forhold til ligninger med parametere to formuleringer av problemet.
- Løs ligningen (for hver parameterverdi, finn alle løsninger til ligningen).
- Finn alle verdiene av parameteren for hver av løsningene til ligningen tilfredsstiller de gitte betingelsene.
I denne artikkelen blir et problem av den andre typen vurdert og studert i forhold til røttene til et kvadratisk trinomium, hvis funnet er redusert til å løse en kvadratisk ligning.
Forfatteren håper at dette arbeidet vil hjelpe lærere når de skal utvikle leksjoner og forberede studentene til Unified State Exam.
1. Hva er en parameter
Uttrykk av skjemaet ah 2 + bx + c i skolealgebrakurset kaller de kvadratisk trinomium mht X, Hvor a, b, c er gitt reelle tall, og, en=/= 0. Verdiene til variabelen x der uttrykket blir null kalles røttene til kvadrattrinomialet. For å finne røttene til et kvadratisk trinomium, må du løse andregradsligningen ah 2 + bх + c = 0.
La oss huske de grunnleggende ligningene fra skolealgebrakurset ax + b = 0;
aх2 + bх + c = 0. Når du søker etter røttene deres, verdiene til variablene a, b, c, inkludert i ligningen anses som faste og gitte. Selve variablene kalles parametere. Siden det ikke finnes noen definisjon av parameteren i skolebøkene, foreslår jeg å legge til grunn følgende enkleste versjon.
Definisjon.En parameter er en uavhengig variabel, hvis verdi i oppgaven anses å være et gitt fast eller vilkårlig reelt tall, eller et tall som tilhører et forhåndsbestemt sett.
2. Grunnleggende typer og metoder for å løse problemer med parametere
Blant oppgaver med parametere kan følgende hovedtyper av oppgaver skilles ut.
- Ligninger som må løses enten for en hvilken som helst verdi av en parameter(e) eller for parameterverdier som tilhører et forhåndsbestemt sett. For eksempel. Løs ligninger: øks = 1, (en – 2)x = a 2 – 4.
- Ligninger som du må bestemme antall løsninger for avhengig av verdien av parameteren (parametere). For eksempel. Ved hvilke parameterverdier en ligningen 4X 2 – 4ax + 1 = 0 har en enkelt rot?
- Ligninger for hvilke, for de nødvendige verdiene til parameteren, settet med løsninger tilfredsstiller de spesifiserte betingelsene i definisjonsdomenet.
Finn for eksempel parameterverdiene der røttene til ligningen ( en – 2)X 2
–
2øks + a + 3 =
0
positivt.
De viktigste måtene å løse problemer med en parameter: analytisk og grafisk.
Analytisk– Dette er en metode for den såkalte direkte løsningen, som gjentar standardprosedyrer for å finne svaret i problemer uten parameter. La oss se på et eksempel på en slik oppgave.
Oppgave nr. 1
Ved hvilke verdier av parameteren a gjør ligningen X 2 – 2øks + a 2 – 1 = 0 har to forskjellige røtter som tilhører intervallet (1; 5)?
Løsning
X 2 –
2øks + a 2 –
1 = 0.
I henhold til betingelsene for oppgaven må ligningen ha to forskjellige røtter, og dette er kun mulig under betingelsen: D > 0.
Vi har: D = 4 en 2 – 2(EN 2 – 1) = 4. Som vi kan se, er diskriminanten ikke avhengig av a, derfor har ligningen to forskjellige røtter for eventuelle verdier av parameteren a. La oss finne røttene til ligningen: X 1 = EN + 1, X 2
= EN – 1
Røttene til ligningen må tilhøre intervallet (1; 5), dvs.
Så klokken 2<EN < 4 данное уравнение имеет
два различных корня, принадлежащих промежутку (1;
5)
Svar: 2<EN < 4.
Denne tilnærmingen til å løse problemer av typen som vurderes er mulig og rasjonell i tilfeller der diskriminanten til den kvadratiske ligningen er "god", dvs. er det nøyaktige kvadratet av et hvilket som helst tall eller uttrykk, eller røttene til ligningen kan bli funnet ved å bruke det inverse teoremet til Vieta. Da representerer ikke røttene irrasjonelle uttrykk. Ellers innebærer løsning av problemer av denne typen ganske kompliserte prosedyrer fra et teknisk synspunkt. Og å løse irrasjonelle ulikheter krever ny kunnskap fra eleven.
Grafisk- dette er en metode der grafer brukes i koordinatplanet (x; y) eller (x; a). Klarheten og skjønnheten til denne løsningsmetoden bidrar til å finne en rask måte å løse problemet på. La oss løse oppgave nr. 1 grafisk.
Som du vet fra et algebrakurs, er røttene til en kvadratisk ligning (trinomisk kvadratisk) nullene til den tilsvarende kvadratiske funksjonen: Y = X 2
– 2Åh + EN 2 – 1. Grafen til funksjonen er en parabel, grenene er rettet oppover (den første koeffisienten er 1). En geometrisk modell som oppfyller alle kravene til problemet ser slik ut.
Nå gjenstår det bare å "fikse" parabelen i ønsket posisjon ved å bruke de nødvendige forholdene.
- Siden en parabel har to skjæringspunkter med aksen X, deretter D > 0.
- Toppunktet til parablen er mellom de vertikale linjene X= 1 og X= 5, derfor hører abscissen til toppunktet til parabelen x o til intervallet (1; 5), dvs.
1 <X O< 5. - Det merker vi på(1) > 0, på(5) > 0.
Så, ved å gå fra den geometriske modellen av problemet til den analytiske, får vi et system av ulikheter.
Svar: 2<EN < 4.
Som det fremgår av eksemplet, er en grafisk metode for å løse problemer av den typen som vurderes mulig i tilfellet når røttene er "dårlige", dvs. inneholde en parameter under det radikale tegnet (i dette tilfellet er ikke diskriminanten til ligningen et perfekt kvadrat).
I den andre løsningsmetoden jobbet vi med koeffisientene til ligningen og rekkevidden til funksjonen på = X 2 – 2Åh + EN 2
– 1.
Denne løsningsmetoden kan ikke bare kalles grafisk, fordi her må vi løse et system med ulikheter. Snarere er denne metoden kombinert: funksjonell og grafisk. Av disse to metodene er sistnevnte ikke bare elegant, men også den viktigste, siden den viser forholdet mellom alle typer matematiske modeller: en verbal beskrivelse av problemet, en geometrisk modell - en graf av et kvadratisk trinomium, en analytisk modell - en beskrivelse av en geometrisk modell ved et system av ulikheter.
Så vi har vurdert et problem der røttene til et kvadratisk trinomium tilfredsstiller gitte betingelser i definisjonsdomenet for de ønskede parameterverdiene.
Hvilke andre mulige forhold kan røttene til et kvadratisk trinomium tilfredsstille for de ønskede parameterverdiene?
Tenk på den kvadratiske ligningen:
(1)
.
Røttene til en andregradsligning(1) bestemmes av formlene:
;
.
Disse formlene kan kombineres slik:
.
Når røttene til en kvadratisk ligning er kjent, kan et polynom av andre grad representeres som et produkt av faktorer (faktorert):
.
Deretter antar vi at det er reelle tall.
La oss vurdere diskriminant av en andregradsligning:
.
Hvis diskriminanten er positiv, har den andregradsligningen (1) to forskjellige reelle røtter:
;
.
Da har faktoriseringen av det kvadratiske trinomialet formen:
.
Hvis diskriminanten er lik null, har den andregradsligningen (1) to multiple (like) reelle røtter:
.
Faktorisering:
.
Hvis diskriminanten er negativ, har den kvadratiske ligningen (1) to komplekse konjugerte røtter:
;
.
Her er den imaginære enheten, ;
og er de virkelige og imaginære delene av røttene:
;
.
Deretter
.
Grafisk tolkning
Hvis du plotter funksjonen
,
som er en parabel, så vil skjæringspunktene til grafen med aksen være røttene til ligningen
.
Ved skjærer grafen x-aksen (aksen) i to punkter.
Når , berører grafen x-aksen på ett punkt.
Når , krysser ikke grafen x-aksen.
Nedenfor er eksempler på slike grafer.
Nyttige formler relatert til kvadratiske ligninger
(f.1) ;
(f.2) ;
(f.3) .
Utledning av formelen for røttene til en kvadratisk ligning
Vi utfører transformasjoner og bruker formler (f.1) og (f.3):
,
Hvor
;
.
Så, vi fikk formelen for et polynom av andre grad i formen:
.
Dette viser at ligningen
utført kl
Og .
Det vil si, og er røttene til den kvadratiske ligningen
.
Eksempler på å bestemme røttene til en andregradsligning
Eksempel 1
(1.1)
.
Løsning
.
Ved å sammenligne med ligningen vår (1.1), finner vi verdiene til koeffisientene:
.
Vi finner diskriminanten:
.
Siden diskriminanten er positiv, har ligningen to reelle røtter:
;
;
.
Herfra får vi faktoriseringen av det kvadratiske trinomialet:
.
Graf for funksjonen y = 2 x 2 + 7 x + 3 skjærer x-aksen i to punkter.
La oss plotte funksjonen
.
Grafen til denne funksjonen er en parabel. Den krysser abscisseaksen (aksen) på to punkter:
Og .
Disse punktene er røttene til den opprinnelige ligningen (1.1).
Svar
;
;
.
Eksempel 2
Finn røttene til en andregradsligning:
(2.1)
.
Løsning
La oss skrive andregradsligningen i generell form:
.
Sammenligner vi med den opprinnelige ligningen (2.1), finner vi verdiene til koeffisientene:
.
Vi finner diskriminanten:
.
Siden diskriminanten er null, har ligningen to multiple (like) røtter:
;
.
Da har faktoriseringen av trinomialet formen:
.
Graf for funksjonen y = x 2 - 4 x + 4 berører x-aksen på ett punkt.
La oss plotte funksjonen
.
Grafen til denne funksjonen er en parabel. Den berører x-aksen (aksen) på ett punkt:
.
Dette punktet er roten til den opprinnelige ligningen (2.1). Siden denne roten er faktorisert to ganger:
,
da kalles en slik rot vanligvis et multiplum. Det vil si at de tror at det er to like røtter:
.
Svar
;
.
Eksempel 3
Finn røttene til en andregradsligning:
(3.1)
.
Løsning
La oss skrive andregradsligningen i generell form:
(1)
.
La oss omskrive den opprinnelige ligningen (3.1):
.
Ved å sammenligne med (1), finner vi verdiene til koeffisientene:
.
Vi finner diskriminanten:
.
Diskriminanten er negativ, . Derfor er det ingen reelle røtter.
Du kan finne komplekse røtter:
;
;
La oss plotte funksjonen
.
Grafen til denne funksjonen er en parabel. Den skjærer ikke x-aksen (aksen). Derfor er det ingen reelle røtter.
Svar
Det er ingen reelle røtter. Komplekse røtter:
;
;
.
La oss finne summen og produktet av røttene til den andregradsligningen. Ved å bruke formler (59.8) for røttene til ligningen ovenfor, får vi
(den første likheten er åpenbar, den andre oppnås etter en enkel beregning, som leseren vil utføre uavhengig; det er praktisk å bruke formelen for å multiplisere summen av to tall med forskjellen deres).
Følgende er bevist
Vietas teorem. Summen av røttene til den ovennevnte kvadratiske ligningen er lik den andre koeffisienten med motsatt fortegn, og produktet deres er lik frileddet.
Når det gjelder en ikke-redusert kvadratisk ligning, bør man erstatte uttrykkene for formel (60.1) med formler (60.1) og ta formen
Eksempel 1. Lag en andregradsligning med røttene:
Løsning, a) Finn ligningen har formen
Eksempel 2. Finn summen av kvadratene til røttene til ligningen uten å løse selve ligningen.
Løsning. Summen og produktet av røttene er kjent. La oss representere summen av kvadratrøtter i formen
og vi får
Fra Vietas formler er det enkelt å få frem formelen
uttrykker regelen for faktorisering av et kvadratisk trinomium.
Faktisk, la oss skrive formler (60.2) i skjemaet
Nå har vi
som er det vi trengte å få.
Ovennevnte avledning av Vietas formler er kjent for leseren fra et algebrakurs på videregående skole. En annen konklusjon kan gis ved å bruke Bezouts teorem og faktorisering av polynomet (avsnitt 51, 52).
La røttene til ligningen så, i henhold til den generelle regelen (52.2), blir trinomialet på venstre side av ligningen faktorisert:
Åpne parentesene på høyre side av denne identiske likheten, får vi
og å sammenligne koeffisientene ved samme potenser vil gi oss Vieta-formelen (60.1).
Fordelen med denne utledningen er at den kan brukes på ligninger av høyere grader for å få uttrykk for koeffisientene til ligningen i form av røttene (uten å finne røttene selv!). For eksempel hvis røttene til den gitte kubikkligningen
essensen er at i henhold til likhet (52.2) finner vi
(i vårt tilfelle, ved å åpne parentesene på høyre side av likheten og samle koeffisientene i forskjellige grader, får vi
Når man løser aritmetiske og algebraiske problemer, er det noen ganger nødvendig å konstruere brøkdel V torget. Den enkleste måten å gjøre dette på er når brøkdel desimal - en vanlig kalkulator er nok. Imidlertid, hvis brøkdel vanlig eller blandet, så når man hever et slikt tall til torget Noen vanskeligheter kan oppstå.
Du vil trenge
- kalkulator, datamaskin, Excel-applikasjon.
Bruksanvisning
For å heve en desimal brøkdel V torget, ta en ingeniør, skriv på den hva som bygges inn torget brøkdel og trykk heve til den andre av/på-tasten. På de fleste kalkulatorer er denne knappen merket "x²". På en standard Windows-kalkulator er funksjonen å heve til torget ser ut som "x^2". For eksempel, torget desimalbrøken 3,14 vil være lik: 3,14² = 9,8596.
Å bygge inn torget desimal brøkdel på en vanlig (regnskaps)kalkulator, multipliser dette tallet med seg selv. Forresten, noen modeller av kalkulatorer gir muligheten til å heve et tall til torget selv i fravær av en spesiell knapp. Les derfor først instruksjonene for din spesifikke kalkulator. Noen ganger er "vanskelige" eksponentiseringer gitt på baksiden eller på kalkulatoren. For eksempel på mange kalkulatorer å heve et tall til torget Bare trykk på "x" og "=""-knappene.
For bygging i torget vanlig brøk (bestående av en teller og en nevner), høyne til torget separat telleren og nevneren for denne brøken. Det vil si, bruk følgende regel: (h / z)² = h² / z², der h er telleren til brøken, z er nevneren til brøken Eksempel: (3/4)² = 3²/4² = 9 /16.
Hvis det bygges inn torget brøkdel– blandet (består av en heltallsdel og en vanlig brøk), reduser den først til en vanlig form. Det vil si, bruk følgende formel: (c h/z)² = ((c*z+ch) / z)² = (c*z+ch)² / z², der c er heltallsdelen av den blandede brøken. Eksempel: (3 2/5)² = ((3*5+2) / 5)² = (3*5+2)² / 5² = 17² / 5² = 289/25 = 11 14/25.
Hvis i torget(ikke ) brøker skjer hele tiden, bruk deretter MS Excel. For å gjøre dette, skriv inn følgende formel i en av tabellene: = GRAD (A2;2) hvor A2 er adressen til cellen der den økte verdien skal legges inn torget brøkdel.For å fortelle programmet at inndatanummeret skal behandles som brøkdel yu (dvs. ikke konverter det til desimal), skriv før brøkdel nummer "0" og tegnet "mellomrom". Det vil si at for å legge inn for eksempel brøken 2/3, må du skrive inn: "0 2/3" (og trykk Enter). I dette tilfellet vil desimalrepresentasjonen av den angitte brøken vises på inndatalinjen. Verdien og representasjonen av selve brøken vil bli lagret i sin opprinnelige form. I tillegg, når du bruker matematiske funksjoner hvis argumenter er vanlige brøker, vil resultatet også bli presentert som en vanlig brøk. Derfor torget brøken 2/3 vil bli representert som 4/9.