Kursus video "Dapatkan A" merangkumi semua topik yang diperlukan untuk berjaya lulus Peperiksaan Negeri Bersepadu dalam matematik untuk 60-65 mata. Sepenuhnya semua masalah 1-13 Profil Peperiksaan Negeri Bersepadu matematik. Juga sesuai untuk lulus Peperiksaan Asas Negeri Bersepadu dalam matematik. Jika anda ingin lulus Peperiksaan Negeri Bersepadu dengan 90-100 mata, anda perlu menyelesaikan bahagian 1 dalam 30 minit dan tanpa kesilapan!
Kursus persediaan untuk Peperiksaan Negeri Bersepadu untuk gred 10-11, dan juga untuk guru. Semua yang anda perlukan untuk menyelesaikan Bahagian 1 Peperiksaan Negeri Bersepadu dalam matematik (12 masalah pertama) dan Masalah 13 (trigonometri). Dan ini adalah lebih daripada 70 mata pada Peperiksaan Negeri Bersepadu, dan pelajar 100 mata mahupun pelajar kemanusiaan tidak boleh melakukannya tanpanya.
Semua teori yang diperlukan. Cara cepat penyelesaian, perangkap dan rahsia Peperiksaan Negeri Bersepadu. Semua tugas semasa bahagian 1 dari Bank Petugas FIPI telah dianalisis. Kursus ini mematuhi sepenuhnya keperluan Peperiksaan Negeri Bersepadu 2018.
Kursus ini mengandungi 5 topik besar, 2.5 jam setiap satu. Setiap topik diberikan dari awal, ringkas dan jelas.
Beratus-ratus tugas Peperiksaan Negeri Bersatu. Masalah perkataan dan teori kebarangkalian. Algoritma yang mudah dan mudah diingati untuk menyelesaikan masalah. Geometri. teori, bahan rujukan, analisis semua jenis tugas Peperiksaan Negeri Bersepadu. Stereometri. Penyelesaian rumit, helaian cheat berguna, pembangunan imaginasi spatial. Trigonometri dari awal kepada masalah 13. Memahami bukannya menjejalkan. Penjelasan visual konsep yang kompleks. Algebra. Akar, kuasa dan logaritma, fungsi dan terbitan. Asas untuk penyelesaian tugasan yang kompleks 2 bahagian Peperiksaan Negeri Bersepadu.
Pembezaan ialah pengiraan terbitan.
1. Formula pembezaan.
Formula pembezaan utama terdapat dalam jadual. Mereka tidak perlu dihafal. Setelah memahami beberapa corak, anda akan dapat memperoleh yang lain secara bebas daripada beberapa formula.
1) Mari kita mulakan dengan formula (k x+ m)′ = k.
Kes khasnya ialah formula x′ = 1 dan C′ = 0.
Dalam mana-mana fungsi dalam bentuk y = kx + m, terbitan adalah sama dengan cerun k.
Sebagai contoh, diberi fungsi y = 2 X+ 4. Derivatifnya pada sebarang titik akan bersamaan dengan 2:
(2 x + 4)′ = 2 .
Terbitan bagi fungsi di = 9 X+ 5 pada sebarang titik adalah sama dengan 9 . Dan lain-lain.
Mari cari terbitan bagi fungsi y = 5 X. Untuk melakukan ini, mari bayangkan 5 X dalam bentuk (5 X+ 0). Kami menerima ungkapan yang serupa dengan yang sebelumnya. Bermaksud:
(5X)′ = (5 X+ 0)′ = 5.
Akhirnya, mari kita ketahui apa yang sama dengannya x′.
Mari kita gunakan teknik dari contoh sebelumnya: bayangkan X sebagai 1 X+ 0. Kemudian kita dapat:
x′ = (1 X+ 0)′ = 1.
Oleh itu, kami secara bebas memperoleh formula dari jadual:
(0 · x+ m)′ = 0.
Tetapi ternyata m′ juga sama dengan 0. Biarkan m = C, di mana C ialah pemalar arbitrari. Kemudian kita sampai kepada kebenaran lain: terbitan pemalar adalah sama dengan sifar. Iaitu, kita mendapat formula lain dari jadual.
Jadual terbitan fungsi asas
Definisi 1
Pengiraan terbitan dipanggil pembezaan.
Nyatakan derivatif $y"$ atau $\frac(dy)(dx)$.
Nota 1
Untuk mencari terbitan fungsi, mengikut peraturan asas pembezaan, ia diubah menjadi fungsi lain.
Mari kita lihat jadual derivatif. Marilah kita memberi perhatian kepada fakta bahawa fungsi, selepas mencari derivatifnya, diubah menjadi fungsi lain.
Satu-satunya pengecualian ialah $y=e^x$, yang bertukar menjadi dirinya sendiri.
Peraturan untuk pembezaan derivatif
Selalunya, apabila mencari derivatif, anda perlu bukan sahaja melihat jadual derivatif, tetapi mula-mula menggunakan peraturan pembezaan dan bukti derivatif produk, dan hanya kemudian gunakan jadual derivatif fungsi asas.
1. Pemalar dikeluarkan daripada tanda terbitan
$C$ ialah pemalar.
Contoh 1
Bezakan fungsi $y=7x^4$.
Penyelesaian.
Cari $y"=(7x^4)"$. Mengambil nombor $7$ daripada tanda terbitan, kami mendapat:
$y"=(7x^4)"=7(x^4)"=$
Menggunakan jadual, anda perlu mencari nilai terbitan fungsi kuasa:
$=7 \cdot 4x^3=$
Mari kita ubah keputusan kepada bentuk yang diterima dalam matematik:
Jawapan:$28x^3$.
2. Derivatif jumlah (perbezaan) adalah sama dengan jumlah (perbezaan) derivatif:
$(u \pm v)"=u" \pm v"$.
Contoh 2
Bezakan fungsi $y=7+x-5x^3+4 \sin x-9\sqrt(x^2)+\frac(4)(x^4) -11\cot x$.
Penyelesaian.
$y"=(7+x-5x^5+4 \sin x-9\sqrt(x^2)+\frac(4)(x^4) -11\cot x)"=$
Kami menggunakan peraturan untuk membezakan jumlah derivatif dan perbezaan:
$=(7)"+(x)"-(5x^5)"+(4 \sin x)"-(9\sqrt(x^2))"+(\frac(4)(x^4) )"-(11\katil x)"=$
ambil perhatian bahawa apabila membezakan, semua kuasa dan punca mesti diubah kepada bentuk $x^(\frac(a)(b))$;
Mari kita keluarkan semua pemalar daripada tanda terbitan:
$=(7)"+(x)"-(5x^5)"+(4\sin x)"-(9x^(\frac(2)(5)))"+(4x^(-4) )"-(11\katil x)"=$
$=(7)"+(x)"-5(x^5)"+4(\sin x)"-9(x^(\frac(2)(5)))"+4(x^( -4))"-11(\cot x)"=$
Setelah memahami peraturan pembezaan, sebahagian daripadanya (contohnya, seperti dua yang terakhir) digunakan serentak untuk mengelak daripada menulis semula ungkapan yang panjang;
kami memperoleh ungkapan daripada fungsi asas di bawah tanda terbitan; Mari kita gunakan jadual derivatif:
$=0+1-5 \cdot 5x^4+4\cos x-9 \cdot \frac(2)(5) x^(-\frac(3)(5))+12x^(-5)- 11 \cdot \frac(-1)(\sin^2 x)=$
Mari kita tukar kepada bentuk yang diterima dalam matematik:
$=1-25x^4+4 \cos x-\frac(18)(5\sqrt(x^3))+\frac(12)(x^5) +\frac(11)(\sin^2 x)$
Sila ambil perhatian bahawa apabila mencari keputusan, syarat dengan kuasa pecahan tukar kepada akar, dan dengan yang negatif - kepada pecahan.
Jawab: $1-25x^4+4 \cos x-\frac(18)(5\sqrt(x^3))+\frac(12)(x^5) +\frac(11)(\sin^2 x )$.
3. Formula untuk terbitan hasil darab fungsi:
$(uv)"=u" v+uv"$.
Contoh 3
Bezakan fungsi $y=x^(11) \ln x$.
Penyelesaian.
Mula-mula, kami menggunakan peraturan untuk mengira derivatif hasil darab fungsi, dan kemudian kami menggunakan jadual derivatif:
$y"=(x^(11) \ln x)"=(x^(11))" \ln x+x^(11) (\lnтx)"=11x^(10) \ln x+x^ (11) \cdot \frac(1)(x)=11x^(10) \ln x-\frac(x^(11))(x)=11x^(10) \ln x-x^(10)=x ^(10) (11 \ln x-1)$.
Jawab: $x^(10) (11 \ln x-1)$.
4. Formula untuk terbitan bagi fungsi separa:
$(\frac(u)(v))"=\frac(u" v-uv")(v^2)$.
Contoh 4
Bezakan fungsi $y=\frac(3x-8)(x^5-7)$.
Penyelesaian.
$y"=(\frac(3x-8)(x^5-7))"=$
mengikut peraturan keutamaan operasi matematik Mula-mula kita melakukan pembahagian, dan kemudian penambahan dan penolakan, jadi kita mula-mula menggunakan peraturan untuk mengira terbitan hasil bagi:
$=\frac((3x-8)" (x^5-7)-(3x-8) (x^5-7)")((x^5-7)^2) =$
Mari gunakan peraturan derivatif jumlah dan perbezaan, buka kurungan dan ringkaskan ungkapan:
$=\frac(3(x^5-7)-5x^4 (3x-8))((x^5-7)^2) =\frac(3x^5-21-15x^5+40x^ 4)((x^5-7)^2) =\frac(-12x^5+40x^4-21)((x^5-7)^2)$ .
Jawapan:$\frac(-12x^5+40x^4-21)((x^5-7)^2)$.
Contoh 5
Mari bezakan fungsi $y=\frac(x^7-2x+3)(x)$.
Penyelesaian.
Fungsi y ialah hasil bagi dua fungsi, jadi kita boleh menggunakan peraturan untuk mengira terbitan hasil bagi, tetapi dalam kes ini kita akan mendapat fungsi yang menyusahkan. Untuk memudahkan fungsi ini, anda boleh membahagikan pengangka dengan sebutan penyebut dengan sebutan:
$y=\frac(x^7-13x+9)(x)=x^6-13+\frac(9)(x)$.
Mari kita gunakan peraturan untuk membezakan jumlah dan perbezaan fungsi kepada fungsi yang dipermudahkan:
$y"=(x^6-13+\frac(9)(x))"=(x^6)"+(-13)"+9(x^(-1))"=6x^5+ 0+9 \cdot (-x^(-2))=$
$=6x^5-\frac(9)(x^2)$.
Jawab: $6x^5-\frac(9)(x^2)$.
Biarkan fungsi y = f(x) ditakrifkan dalam selang X. Derivatif fungsi y = f(x) pada titik x o dipanggil had
Jika had ini terhingga, maka fungsi f(x) dipanggil boleh dibezakan pada titik xo; Lebih-lebih lagi, ia ternyata semestinya berterusan pada ketika ini.
Jika had yang dipertimbangkan adalah sama dengan ¥ (atau - ¥), maka dengan syarat bahawa fungsi pada titik x o adalah berterusan, kita akan mengatakan bahawa fungsi f(x) mempunyai pada titik x o terbitan tak terhingga.
Derivatif dilambangkan dengan simbol
y ¢, f ¢(x o), , .
Mencari derivatif dipanggil pembezaan fungsi. Makna geometri terbitan ialah terbitan ialah cerun tangen kepada lengkung y=f(x) pada titik tertentu x o; makna fizikal - ialah terbitan laluan berkenaan dengan masa ialah kelajuan serta merta titik bergerak di gerakan lurus s = s(t) pada masa t o .
Jika Dengan - nombor tetap, dan u = u(x), v = v(x) ialah beberapa fungsi boleh dibezakan, maka mengikut peraturan pembezaan:
1) (c) " = 0, (cu) " = cu";
2) (u+v)" = u"+v";
3) (uv)" = u"v+v"u;
4) (u/v)" = (u"v-v"u)/v 2;
5) jika y = f(u), u = j(x), i.e. y = f(j(x)) - fungsi kompleks atau superposisi, terdiri daripada fungsi boleh beza j dan f, kemudian , atau
6) jika untuk fungsi y = f(x) terdapat fungsi boleh beza songsang x = g(y), dan ¹ 0, maka .
Berdasarkan definisi derivatif dan peraturan pembezaan, adalah mungkin untuk menyusun senarai terbitan jadual bagi fungsi asas utama.
1. (u m)" = m u m - 1 u" (m О R).
2. (a u)" = a u lna× u".
3. (e u)" = e u u".
4. (log a u)" = u"/(u ln a).
5. (ln u)" = u"/u.
6. (sin u)" = cos u× u".
7. (cos u)" = - sin u× u".
8. (tg u)" = 1/ cos 2 u× u".
9. (ctg u)" = - u" / sin 2 u.
10. (arcsin u)" = u" / .
11. (arccos u)" = - u" / .
12. (arctg u)" = u"/(1 + u 2).
13. (arcctg u)" = - u"/(1 + u 2).
Mari kita hitung terbitan bagi ungkapan eksponen kuasa
y=u v , (u>0), di mana u Dan v intipati fungsi daripada X, mempunyai derivatif pada titik tertentu awak",v".
Mengambil logaritma kesamaan y=u v , kita memperoleh ln y = v ln u.
Menyamakan derivatif berkenaan dengan X daripada kedua-dua belah kesamaan yang terhasil menggunakan peraturan 3, 5 dan formula untuk terbitan fungsi logaritma, pasti akan:
y"/y = vu"/u +v" ln u, dari mana y" = y (vu"/u +v" ln u).
(u v)"=u v (vu"/u+v" ln u), u > 0.
Contohnya, jika y = x sin x, maka y" = x sin x (sin x/x + cos x× ln x).
Jika fungsi y = f(x) boleh dibezakan pada titik itu x, iaitu mempunyai terbitan terhingga pada ketika ini y", kemudian = y"+a, dengan a®0 di Dх® 0; maka D y = y" Dх + a x.
bahagian utama kenaikan fungsi linear berkenaan dengan Dx dipanggil fungsi pembezaan dan dilambangkan dengan dy: dy = y" Dx. Jika kita meletakkan y=x dalam formula ini, kita mendapat dx = x"Dx = 1×Dx = Dx, oleh itu dy=y"dx, iaitu simbol untuk menandakan terbitan boleh dianggap sebagai pecahan.
Kenaikan fungsi D y ialah pertambahan ordinat bagi lengkung, dan pembezaan d y ialah kenaikan ordinat bagi tangen.
Mari kita cari untuk fungsi y=f(x) terbitannya y ¢= f ¢(x). Derivatif terbitan ini dipanggil terbitan tertib kedua fungsi f(x), atau terbitan kedua, dan ditetapkan.
Yang berikut ditakrifkan dan ditetapkan dengan cara yang sama:
terbitan urutan ketiga - ,
terbitan tertib keempat -
dan secara amnya terbitan urutan ke-n - .
Contoh 15. Hitung terbitan bagi fungsi y=(3x 3 -2x+1)×sin x.
Penyelesaian. Mengikut peraturan 3, y"=(3x 3 -2x+1)"×sin x + (3x 3 -2x+1)×(sin x)" =
= (9x 2 -2)sin x + (3x 3 -2x+1)cos x.
Contoh 16. Cari y", y = tan x + .
Penyelesaian. Menggunakan peraturan untuk membezakan jumlah dan hasil bahagi, kita memperoleh: y"=(tgx + )" = (tgx)" + ()" = + = .
Contoh 17. Cari terbitan fungsi kompleks y= ,
u=x 4 +1.
Penyelesaian. Mengikut peraturan pembezaan fungsi kompleks, kita dapat: y" x =y " u u" x =()" u (x 4 +1)" x =(2u +. Oleh kerana u=x 4 +1, maka
(2 x 4 +2+ .
Contoh 18.
Penyelesaian. Mari kita bayangkan fungsi y= sebagai superposisi dua fungsi: y = e u dan u = x 2 . Kami mempunyai: y" x =y " u u" x = (e u)" u (x 2)" x = e u ×2x. Menggantikan x 2 bukannya u, kita dapat y=2x .
Contoh 19. Cari terbitan bagi fungsi y=ln sin x.
Penyelesaian. Mari kita nyatakan u=sin x, maka terbitan bagi fungsi kompleks y=ln u dikira dengan formula y" = (ln u)" u (sin x)" x = .
Contoh 20. Cari terbitan bagi fungsi y=.
Penyelesaian. Kes fungsi kompleks yang terhasil daripada beberapa superposisi telah habis aplikasi yang konsisten peraturan 5:
Contoh 21. Hitung terbitan y=ln.
Penyelesaian. Mengambil logaritma dan menggunakan sifat logaritma, kita dapat:
y=5/3ln(x 2 +4) +7/3ln(3x-1)-2/3ln(6x 3 +1)-1/3tg 5x.
Membezakan kedua-dua belah kesamaan terakhir, kita dapat:
2.2. Analisis marginal dalam ekonomi. Fungsi keanjalan
DALAM penyelidikan ekonomi Terminologi khusus sering digunakan untuk menunjukkan derivatif. Contohnya, jika f(x) Terdapat fungsi pengeluaran, menyatakan pergantungan keluaran mana-mana produk pada kos faktor x, Itu f "(x) dipanggil produk marginal; Jika g(x) terdapat fungsi kos, iaitu fungsi g(x) menyatakan pergantungan jumlah kos pada volum pengeluaran x, Itu g"(x) dipanggil kos marginal .
Analisis marginal dalam ekonomi- satu set teknik untuk mengkaji perubahan nilai kos atau hasil apabila volum pengeluaran, penggunaan, dsb. berubah. berdasarkan analisis nilai had mereka. Untuk kebanyakan bahagian pengiraan terancang berdasarkan data statistik biasa dijalankan dalam bentuk jumlah penunjuk. Dalam kes ini, analisis terdiri terutamanya daripada mengira nilai purata. Walau bagaimanapun, dalam beberapa kes ternyata kajian yang lebih terperinci dengan mengambil kira nilai had adalah perlu. Sebagai contoh, apabila menentukan kos pengeluaran bijirin di kawasan untuk masa hadapan, ia diambil kira bahawa kos mungkin berbeza-beza bergantung pada, lain-lain syarat sama rata, daripada jumlah kutipan bijirin yang dijangka, kerana mereka yang baru terlibat dalam pemprosesan tanah yang paling teruk kos pengeluaran akan lebih tinggi daripada purata serantau.
Jika hubungan antara dua penunjuk v Dan x diberikan secara analitikal: v = f(x) - maka nilai purata mewakili hubungan v/x, A muktamad- terbitan.
Mencari produktiviti buruh. Biarkan fungsi diketahui
u = u(t), menyatakan kuantiti produk yang dihasilkan u semasa bekerja t. Mari kita mengira jumlah produk yang dihasilkan dari semasa ke semasa
Dt = t 1 - t 0: Du = u(t 1) - u(t 0) = u(t 0 +Dt) - u(t 0). Purata produktiviti buruh dipanggil nisbah kuantiti produk yang dihasilkan kepada masa yang dibelanjakan, i.e. z av.= Du/Dt.
Produktiviti pekerja z(t 0) pada masa ini t 0 ialah had yang cenderung kepada z purata. di Dt®0: . Oleh itu, pengiraan produktiviti buruh turun kepada pengiraan terbitan: z(t 0) = u"(t 0).
Kos pengeluaran K produk homogen adalah fungsi kuantiti produk x. Oleh itu kita boleh menulis K = K(x). Katakan kuantiti pengeluaran meningkat sebanyak D X. Kuantiti pengeluaran x+ Dх sepadan dengan kos pengeluaran K(x + Dх). Akibatnya, peningkatan dalam kuantiti pengeluaran D X sepadan dengan kenaikan kos pengeluaran DK = K(x + Dx) - K(x).
Purata kenaikan kos pengeluaran ialah DK/Dх. Ini adalah peningkatan kos pengeluaran seunit peningkatan kuantiti pengeluaran.
Had dipanggil kos pengeluaran marginal.
Jika kita nyatakan dengan u(x) hasil jualan x unit barang dipanggil pendapatan marginal.
Menggunakan derivatif, anda boleh mengira kenaikan fungsi yang sepadan dengan kenaikan hujah. Dalam banyak masalah, adalah lebih mudah untuk mengira peratusan peningkatan (kenaikan relatif) pembolehubah bersandar sepadan dengan peratusan peningkatan pembolehubah bebas. Ini membawa kita kepada konsep keanjalan fungsi (kadang-kadang dipanggil terbitan relatif). Jadi, biarkan fungsi y = f(x) diberikan yang mana terdapat terbitan y ¢ = f ¢(x). Fungsi keanjalan y = f(x) berbanding pembolehubah x dipanggil had
Ia dilambangkan dengan E x (y) = x/y f ¢ (x) = .
Keanjalan relatif x ialah anggaran peratusan peningkatan dalam fungsi (kenaikan atau penurunan), sepadan dengan peningkatan dalam pembolehubah bebas sebanyak 1%. Ahli ekonomi mengukur sejauh mana pengguna responsif, atau sensitif, kepada perubahan dalam harga produk menggunakan konsep keanjalan harga. Permintaan untuk beberapa produk dicirikan oleh sensitiviti relatif pengguna terhadap perubahan harga yang kecil membawa kepada perubahan besar dalam kuantiti yang dibeli. Permintaan untuk produk sedemikian biasanya dipanggil agak elastik atau hanya anjal. Bagi produk lain, pengguna agak tidak sensitif terhadap perubahan harga untuk mereka, iaitu perubahan ketara dalam harga hanya membawa kepada perubahan kecil dalam jumlah pembelian. Dalam kes sedemikian, permintaan agak tidak anjal atau hanya tidak anjal. Penggal tidak anjal sepenuhnya permintaan bermaksud kes ekstrem di mana perubahan harga tidak membawa kepada sebarang perubahan dalam kuantiti diminta. Contohnya adalah permintaan pesakit diabetes akut untuk insulin atau permintaan penagih dadah untuk heroin. Dan sebaliknya, apabila, dengan pengurangan harga yang paling kecil, pembeli meningkatkan pembelian ke had keupayaan mereka - maka kami mengatakan bahawa permintaan adalah elastik sepenuhnya.
Ekstrem fungsi
Fungsi y=f(x) dipanggil semakin meningkat (semakin berkurangan) dalam selang waktu tertentu, jika untuk x 1< x 2 выполняется неравенство f(x 1) < f (x 2) (f(x 1) >f(x 2)).
Jika fungsi boleh beza y = f(x) bertambah (berkurang) pada selang, maka terbitannya pada selang ini f ¢(x) > 0 (f ¢(x)< 0).
titik x o dipanggil titik maksimum tempatan (minimum) fungsi f(x), jika terdapat kejiranan titik x o, untuk semua titik yang mana ketaksamaan f(x) £ f(x о) (f(x) ³ f(x о)) adalah benar.
Mata maksimum dan minimum dipanggil titik melampau, dan nilai-nilai fungsi pada titik ini ialah melampau.
Syarat yang perlu melampau. Jika titik x o ialah titik ekstrem bagi fungsi f(x), maka sama ada f ¢(x о) = 0, atau f ¢(x о) tidak wujud. Titik sedemikian dipanggil kritikal, dan fungsi itu sendiri ditakrifkan pada titik kritikal. Ekstrema fungsi harus dicari di antara titik kritikalnya.
Syarat pertama yang mencukupi. biarlah x o- titik kritikal. Jika f ¢ (x) apabila melalui titik x o menukar tanda tambah kepada tolak, kemudian pada titik x o fungsi mempunyai maksimum sebaliknya- minimum. Jika ketika melalui titik kritikal derivatif tidak menukar tanda, kemudian pada titik x o tidak ada yang melampau.
Syarat kedua yang mencukupi. Biarkan fungsi f(x) mempunyai terbitan
f ¢ (x) dalam persekitaran titik x o dan terbitan kedua pada titik itu sendiri x o. Jika f ¢(x о) = 0, >0 (<0), то точка x o ialah titik minimum (maksimum) tempatan bagi fungsi f(x). Jika =0, maka anda perlu sama ada menggunakan syarat mencukupi pertama atau menggunakan derivatif yang lebih tinggi.
Pada segmen, fungsi y = f(x) boleh mencapai nilai minimum atau maksimumnya sama ada pada titik kritikal atau di hujung segmen.
Contoh 22. Cari ekstrem bagi fungsi f(x) = 2x 3 - 15x 2 + 36x - 14.
Penyelesaian. Oleh kerana f ¢ (x) = 6x 2 - 30x +36 = 6(x -2)(x - 3), maka titik genting bagi fungsi x 1 = 2 dan x 2 = 3. Extrema hanya boleh berada di titik-titik ini. Oleh kerana apabila melalui titik x 1 = 2 derivatif berubah tanda dari tambah kepada tolak, maka pada ketika ini fungsi mempunyai maksimum. Apabila melalui titik x 2 = 3, derivatif menukar tandanya daripada tolak kepada tambah, jadi pada titik x 2 = 3 fungsi mempunyai minimum. Setelah mengira nilai fungsi pada titik
x 1 = 2 dan x 2 = 3, kita dapati ekstrema fungsi: maksimum f(2) = 14 dan minimum f(3) = 13.
Contoh 23. Ia adalah perlu untuk membina kawasan segi empat tepat berhampiran dinding batu supaya ia dipagari pada tiga sisi dengan dawai, dan sisi keempat bersebelahan dengan dinding. Untuk ini ada a meter linear mesh. Pada nisbah aspek apakah tapak tersebut mempunyai keluasan terbesar?
Penyelesaian. Mari kita nyatakan sisi platform dengan x Dan y. Luas tapak ialah S = xy. biarlah y- ini ialah panjang sisi yang bersebelahan dengan dinding. Kemudian, dengan syarat, kesamaan 2x + y = mesti dipegang. Oleh itu y = a - 2x dan S = x(a - 2x), dengan 0 £ x £ a/2 (panjang dan lebar pad tidak boleh negatif). S ¢ = a - 4x, a - 4x = 0 pada x = a/4, dari mana
y = a - 2×a/4 =a/2. Memandangkan x = a/4 ialah satu-satunya titik kritikal, mari kita periksa sama ada tanda derivatif berubah apabila melalui titik ini. Pada x< a/4 S ¢ >0, dan untuk x >a/4 S ¢<0, значит, в точке x=a/4 функция S имеет максимум. Значение функции S(a/4) = a/4(a - a/2) = a 2 /8 (кв. ед).
Oleh kerana S berterusan dan nilainya di hujung S(0) dan S(a/2) adalah sama dengan sifar, nilai yang ditemui akan menjadi nilai terbesar bagi fungsi tersebut. Oleh itu, nisbah aspek yang paling baik bagi tapak di bawah keadaan masalah yang diberikan ialah y = 2x.
Contoh 24. Ia diperlukan untuk mengeluarkan tangki silinder tertutup dengan kapasiti V=16p » 50 m 3 . Apakah dimensi tangki yang sepatutnya (jejari R dan ketinggian H) supaya jumlah bahan yang paling sedikit digunakan untuk pembuatannya?
Penyelesaian. Jumlah luas permukaan silinder ialah S = 2pR(R+H). Kita tahu isipadu silinder V = pR 2 N Þ N = V/pR 2 =16p/ pR 2 = 16/ R 2 . Ini bermakna S(R) = 2p(R 2 +16/R). Kami mencari terbitan fungsi ini:
S ¢(R) = 2p(2R- 16/R 2) = 4p (R- 8/R 2). S ¢(R) = 0 pada R 3 = 8, oleh itu,
R = 2, H = 16/4 = 4.
2. Peraturan asas pembezaan
Jika Dengan ialah nombor tetap, dan u = u(x), v = v(x) ialah beberapa fungsi boleh dibezakan, maka peraturan pembezaan berikut adalah sah:
1) (c) " = 0, (cu) " = cu";
2) (u+v)" = u"+v";
3) (uv)" = u"v+v"u;
4) (u/v)" = (u"v-v"u)/v 2;
Contoh 1. Cari terbitan bagi suatu fungsi
Penyelesaian. Menggunakan peraturan (5) dan (8) dan formula (4) untuk membezakan fungsi kuasa, kita perolehi
Contoh 2. Cari terbitan bagi suatu fungsi
Penyelesaian. Mari kita gunakan peraturan (7) untuk membezakan hasil darab, dan kemudian cari derivatif faktor dengan cara yang sama seperti dalam contoh 4. Kemudian kita dapat
Contoh 3. Cari terbitan bagi fungsi y =
Penyelesaian. Mari kita gunakan peraturan (10) untuk membezakan hasil bahagi:
Kemudian, seperti di atas, kita mengira derivatif dalam pengangka. Kami ada
Teks tugasan:
Pilihan 1
1. Cari terbitan bagi fungsi itu 
.
2. Cari terbitan bagi fungsi itu 
.
di absis 
, 
.
t
Pilihan 2
1. Cari terbitan bagi fungsi itu 
.
2. Cari terbitan bagi fungsi itu 
.
3. Tuliskan persamaan tangen kepada graf fungsi itu 
di absis 
, 
.
4. Titik material bergerak mengikut undang-undang 
. Cari kelajuan dan pecutan pada saat masa t=5 s. (Anjakan diukur dalam meter.)
Pilihan 3
1. Cari terbitan bagi fungsi itu 
.
2. Cari terbitan bagi fungsi itu 
.
3. Tuliskan persamaan tangen kepada graf fungsi itu 
di absis 
, 
.
4. Titik material bergerak mengikut undang-undang 
. Cari kelajuan dan pecutan pada saat masa t=5 s. (Anjakan diukur dalam meter.)
Pilihan 4
1. Cari terbitan bagi fungsi itu 
.
2. Cari terbitan bagi fungsi itu 
.
3. Tuliskan persamaan tangen kepada graf fungsi itu 
di absis 
, 
.
4. Titik material bergerak mengikut undang-undang 
. Cari kelajuan dan pecutan pada saat masa t=5 s. (Anjakan diukur dalam meter.)
Pilihan 5
1. Cari terbitan bagi fungsi itu 
.
2. Cari terbitan bagi fungsi itu 
.
3. Tuliskan persamaan tangen kepada graf fungsi itu 
di absis 
, 
.
4. Titik material bergerak mengikut undang-undang 
. Cari kelajuan dan pecutan pada saat masa t=5 s. (Anjakan diukur dalam meter.)
Pilihan 6
1. Cari terbitan bagi fungsi itu 
.
2. Cari terbitan bagi fungsi itu 
.
3. Tuliskan persamaan tangen kepada graf fungsi itu 
di absis 
, 
.
4. Titik material bergerak mengikut undang-undang 
. Cari kelajuan dan pecutan pada saat masa t=5 s. (Anjakan diukur dalam meter.)
Kerja amali No. 16
Subjek: Mengaplikasikan Terbitan kepada Kajian Fungsi dan Graf
Matlamat kerja: memantapkan pengetahuan dan kemahiran pelajar dalam menguasai topik, membangunkan kemahiran dalam penggunaan aplikasi radas terbitan.
Latar belakang teori:
Skim untuk mengkaji fungsi dan membina grafnya
I. Cari domain takrifan fungsi.
II. Cari titik persilangan graf fungsi dengan paksi koordinat.
III. Cari asimtot.
IV. Cari titik ekstrem yang mungkin.
V. Cari titik kritikal.
VI. Dengan menggunakan angka bantu, teroka tanda terbitan pertama. Tentukan kawasan peningkatan dan penurunan fungsi, titik ekstrema.
VII. Bina graf, dengan mengambil kira penyelidikan yang dijalankan dalam perenggan 1-6.