Idea pembuktian adalah untuk membina ungkapan yang akan menunjukkannya
ketidakbolehbuktian sendiri. Pembinaan ini boleh dilakukan dalam tiga peringkat:
Peringkat pertama ialah mewujudkan surat-menyurat antara aritmetik formal dan satu set integer (Goedelization);
Peringkat kedua ialah pembinaan beberapa harta khas yang tidak diketahui sama ada ia adalah teorem aritmetik formal atau tidak;
Peringkat ketiga ialah penggantian menggantikan x bagi integer tertentu yang dikaitkan dengan dirinya sendiri, iaitu, penggantian semua dengan nombor ini
Peringkat pertama. Gedelisasi aritmetik formal
Aritmetik formal boleh dihitung (iaitu, Godelized) seperti berikut: setiap teoremnya dikaitkan dengan nombor tertentu. Walau bagaimanapun, oleh kerana setiap nombor juga merupakan teorem, maka setiap teorem boleh dianggap, di satu pihak, sebagai teorem aritmetik formal, dan di pihak lain, sebagai teorem ke atas set teorem aritmetik formal, iaitu, sebagai a metateorem yang sepadan dengan pembuktian teorem tertentu.
Oleh itu, kita boleh membuat kesimpulan bahawa sistem aritmetik formal juga mengandungi metasistemnya sendiri.
Sekarang kami akan membentangkan hasil yang diperolehi dengan lebih spesifik dan terperinci.
Pertama, kita boleh mengaitkan dengan setiap simbol dan aritmetik formal satu sebutan kod khas, yang dipanggil dalam kes ini Nombor Gödel
Kedua, kami mengaitkan setiap jujukan simbol dengan nombor Gödel yang sama menggunakan beberapa fungsi gubahan. Biarkan di mana mewakili jujukan simbol yang terbentuk
Ketiga (dan ini penting), setiap bukti urutan aksiom dan peraturan penggantian (atau peraturan penggantian) dikaitkan dengan nombor yang menandakan urutan teorem yang digunakan dalam bukti
Oleh itu, setiap bukti dalam aritmetik formal sepadan dengan nombor tertentu - nombor Gödelnya Sebarang penaakulan dalam aritmetik formal diubah menjadi pengiraan pada set nombor asli.
Jadi, daripada memanipulasi simbol, teorem dan bukti, anda boleh gunakan
pengiraan pada set integer. Sebarang ungkapan seperti, sebagai contoh, yang berikut: "boleh dibuktikan dalam aritmetik formal" kini sepadan dengan nombor tertentu, yang akan kami nyatakan sebagai
Mari kita rumuskan kedudukan berikut.
Metaaritmetik formal terkandung dalam set nombor asli, yang sendiri terkandung dalam tafsiran aritmetik formal.
Situasi dengan aritmetik formal ini mengingatkan situasi dengan bahasa semula jadi: lagipun, tiada apa yang menghalang kita daripada menggunakannya untuk merumuskan konsep dan peraturan asasnya di dalamnya.
Pilihan fungsi yang betul membolehkan peralihan yang jelas dari A ke, iaitu, memberikan dua nombor berbeza kepada dua pelbagai bukti. Sebagai contoh, seseorang boleh memilih nombor Gödel dengan cara yang setiap simbol abjad aritmetik formal sepadan dengan nombor perdananya sendiri, seperti yang ditunjukkan, sebagai contoh, dalam Jadual. 3.2.
Jadual 3.2
Setiap formula (terdiri daripada aksara yang berbeza dari 1 hingga seterusnya dikodkan oleh urutan yang terdiri daripada yang pertama nombor perdana, iaitu nombor
di manakah nombor perdana.
Sebaliknya, bukti, iaitu urutan formula akan dikodkan dengan cara yang sama dengan nombor
Dan sebaliknya, terima kasih kepada kaedah membina nombor ini, ia menjadi mungkin, bermula dari nombor tertentu, dengan menguraikannya menjadi faktor utama(disebabkan oleh keunikan penguraian nombor asli kepada hasil kuasa nombor perdana) kembali dalam dua langkah kepada eksponen, iaitu, kepada simbol primitif aritmetik formal. Sudah tentu, ini kebanyakannya hanya teori, kerana bilangannya dengan cepat menjadi terlalu besar
supaya mereka boleh dimanipulasi. Walau bagaimanapun, perlu diingatkan bahawa kemungkinan asas operasi ini adalah penting.
Contoh. Biarkan nombor T diberikan, sepadan dengan beberapa bukti dan mewakili hasil darab nombor perdana:
Pengembangan ini bermakna bahawa bukti teorem mengandungi dua peringkat: satu sepadan dengan nombor 1981027125 253, dan satu lagi dengan nombor 1981027125 211. Memfaktorkan setiap nombor ini sekali lagi ke dalam faktor perdana, kita dapat
Daripada jadual pengekodan abjad aritmetik formal (Jadual 3.2) kita dapati bahawa nombor Gödel kita untuk kedua-dua nombor ini
bukti berikut akan sepadan:
Dari formula ikut formula
Oleh itu, dalam metaaritmetik, nilai nombor asal diperoleh daripada aritmetik formal.
Peringkat kedua. Lemma Gödel
Setiap nombor T yang dikaitkan dengan bukti sepadan dengan teorem yang boleh dibuktikan dalam aritmetik formal. Aritmetik formal "Goedelized" dipanggil aritmetik formal aritmetik. Oleh kerana setiap aksiom dan setiap peraturan aritmetik formal aritmetik sepadan dengan beberapa operasi aritmetik, kemudian menggunakan ujian sistematik adalah mungkin untuk menentukan sama ada nombor yang diberi T bukti beberapa teorem Nombor T membentuk dalam kes ini sepasang nombor konjugat. Ungkapan dan adalah konjugat” Boleh dipersembahkan dalam aritmetik formal aritmetik itu sendiri. Ini bermakna terdapat nombor Gödel yang menyatakan pernyataan ini secara digital.
Kami telah mencapai titik kritikal pembuktian Gödel. Biarkan A menjadi ungkapan aritmetik formal aritmetik yang mengandungi beberapa pembolehubah bebas. Sebaliknya, anda boleh menggantikan beberapa istilah. Khususnya, anda boleh menggantikan ungkapan A dengan ungkapan A sendiri Dalam kes ini, ungkapan nombor A melaksanakan dua fungsi secara serentak pelbagai peranan(lihat pembinaan di atas
Cantor dan Richard): ia pada masa yang sama ungkapan yang benar bagi penggantian dan istilah yang terhasil. Kami akan menandakan penggantian khas ini sebagai Jadi formula bermakna nombor itu ialah nombor Gödel yang diperoleh dengan melakukan penggantian - kepada ungkapan A:
Gödel kemudiannya membina ungkapan (yang tidak diketahui sama ada ia adalah teorem atau bukan teorem) di mana dia memperkenalkan penggantian ini. Ungkapan kelihatan seperti ini:
Peringkat ketiga. Penggantian akhir
Dalam aritmetik formal aritmetik, ungkapan ini diwakili dalam bentuk digital. Biarkan E ialah nombor Gödelnya. Memandangkan ungkapan itu mengandungi pembolehubah bebas, kami mempunyai hak untuk melakukan penggantian - menggantikan nombor E dan menandakan - penggantian E:
Kami menandakan ungkapan kedua ini dengan a dan nombor Gödelnya dengan E. Mari kita berikan tafsiran bagi ungkapan e.
Tafsiran pertama. Tidak ada pasangan sedemikian yang berikut akan dipegang secara serentak: di satu pihak, T ialah bilangan bukti aritmetik bagi teorem yang dihitung dengan sendirinya, dan sebaliknya, akan ada penggantian Tetapi kerana terdapatnya transformasi yang sama seperti yang lain, ia boleh diwakili dari segi dan dalam sebutan kod mereka - nombor Gödel dan, oleh itu, nombor sedemikian wujud. Kemudian mungkin nombor T tidak wujud.
Tafsiran kedua. Tiada bukti aritmetik bagi teorem T yang akan menjadi penggantian E. Jadi, jika tiada bukti, ia adalah kerana ia sendiri bukan teorem. Ini membawa kepada tafsiran ketiga.
Tafsiran ketiga. Ungkapan yang nombor Gödel ialah -penggantian E bukanlah teorem aritmetik formal aritmetik. Tetapi di sinilah percanggahan terletak, kerana dengan pembinaan ia sendiri adalah penggantian E dan nombor itu, dengan pembinaan, tidak lain daripada nombor E itu sendiri Dari sini mengikuti tafsiran akhir e.
Saya mengakui bahawa saya membaca idea untuk mempertimbangkan persoalan kewujudan Tuhan dari sisi ini dari Anatoly Aleksandrovich Wasserman:
http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%90%D0%BD%D0%B0%D1%82%D0%BE%D0%BB%D0%B8%D0%B9_%D0%90%D0 %BB%D0%B5%D0%BA%D1%81%D0%B0%D0%BD%D0%B4%D1%80%D0%BE%D0%B2%D0%B8%D1%87_%D0%92 %D0%B0%D1%81%D1%81%D0%B5%D1%80%D0%BC%D0%B0%D0%BD#.D0.A0.D0.B5.D0.BB.D0.B8. D0.B3.D0.B8.D0.BE.D0.B7.D0.BD.D1.8B.D0.B5_.D0.B2.D0.B7.D0.B3.D0.BB.D1.8F.D0. B4.D1.8B
Tetapi saya ingin mengembangkan idea ini dan menerangkannya dengan lebih terperinci.
Dalam agama (dan juga dalam bukan agama) terdapat aksiomatik pembinaan tertentu. Sekurang-kurangnya dalam secara idealnya, jika ini bukan sekadar kepercayaan buta, tetapi pilihan yang sedar dan bermaklumat. Sebagai contoh, aksiom fizik boleh dianggap "alam semula jadi boleh diketahui melalui sebab dan kesimpulan logik, semua undang-undang fizik adalah sama di semua titik di angkasa dan pada bila-bila masa." Sebagai contoh, aksioma agama boleh dianggap sebagai pernyataan "Tuhan itu wujud dan merupakan punca pertama segala sesuatu." Dalam erti kata lain, tidak ada keraguan bahawa semua butir-butir dan cabang yang banyak boleh dikurangkan kepada beberapa pernyataan penting yang tidak dapat dibuktikan, yang merupakan aksiom yang sangat.
Mari kita pertimbangkan dari kedudukan ini kepercayaan agama. Aksioma agama yang paling penting: "Tuhan itu wujud dan merupakan punca pertama segala sesuatu."
Sekarang mari kita ingat salah satu yang paling penting teorem matematik, teorem Gödel.
http://elementy.ru/trefil/21142
Teorem Gödel yang lemah: "Mana-mana sistem formal aksiom mengandungi andaian yang tidak dapat diselesaikan" atau "jika sistem aksiom lengkap, maka ia tidak konsisten."
Teorem kuat Gödel: "Kesempurnaan logik (atau ketidaklengkapan) mana-mana sistem aksiom tidak boleh dibuktikan dalam rangka sistem ini. Untuk membuktikan atau menyangkalnya, aksiom tambahan diperlukan (menguatkan sistem)."
Mari kita ingat beberapa definisi. Sistem aksiom adalah lengkap jika mana-mana pernyataan yang dirumuskan untuk sistem aksiom tertentu boleh dibuktikan (iaitu, ia sama ada benar atau salah). Andaian yang tidak dapat diselesaikan ialah pernyataan yang kebenaran atau kepalsuannya tidak dapat dibuktikan, iaitu kenyataan itu tidak boleh dibuktikan secara logik. Sistem aksiom adalah bercanggah jika satu dan pernyataan yang sama boleh dibuktikan sebagai benar dan salah.
Daripada teorem Gödel, jika konsep Tuhan dimasukkan ke dalam sistem aksiomatik, maka sistem ini tidak lengkap, iaitu terdapat akibat (fenomena) yang tidak dapat dibuktikan, iaitu, ia mungkin wujud atau tidak, ini. tidak boleh dibuktikan.
Tetapi ini bercanggah dengan dua peruntukan berikut (pilih mana-mana yang paling meyakinkan): alam semula jadi tidak mengandungi fenomena yang boleh dianggap wujud dan tidak wujud sama ada wujud atau tidak wujud; Pendirian kedua mengatakan bahawa, secara definisi, Tuhan adalah punca segala-galanya, oleh itu Tuhan sama ada membawa kepada kewujudan sesuatu perkara (pernyataan) atau kepada ketiadaannya, merujuk kepada Tuhan sama ada boleh membuktikan atau menyangkal sebarang kenyataan. Ini bercanggah dengan ketidaklengkapan sistem.
Atau sebaliknya. Jika anda memasukkan konsep Tuhan dalam sistem aksioma dan menganggapnya lengkap (sebarang pernyataan dalam sistem aksiom yang lengkap boleh dibuktikan), maka menurut teorem Gödel sistem aksiom sedemikian akan bercanggah, iaitu, akan ada fenomena. tentang yang boleh dibuktikan bahawa kedua-duanya wujud dan tidak wujud.
Tidak ada gunanya memasukkan Tuhan dalam sistem aksiom yang bercanggah, kerana ia bercanggah, iaitu, ia mengandungi fenomena yang boleh dibuktikan sama ada wujud dan tidak wujud, yang, seperti yang dinyatakan, bercanggah dengan sifat dan konsep Tuhan.
Akhirnya, jika konsep Tuhan tidak termasuk dalam sistem aksiomatik, maka ia tidak boleh dianggap sebagai asas asas alam semesta, dari mana segala sesuatu yang wujud mengikuti, yang pada dasarnya bertentangan dengan definisi Tuhan.
Untuk kesahihan bukti ini, adalah perlu untuk mengiktiraf kesahihan undang-undang logik matematik (logik proposisi + kalkulus predikat), yang memungkinkan untuk mewujudkan undang-undang akibat, kebenaran, kepalsuan, ketidakkonsistenan, ketekalan pernyataan dan lain-lain. sifat dan hubungan antara pernyataan.
Jika kita menganggap bahawa logik matematik tidak boleh digunakan untuk mengkaji persoalan kewujudan Tuhan, maka akibatnya adalah tidak mungkin untuk mengkaji soalan ini dengan bantuan penaakulan, dengan bantuan akal. Dalam erti kata lain, alasan yang konsisten selalu datang kepada jawapan negatif kepada persoalan kewujudan Tuhan.
Apa yang berlaku pada akhirnya... mana-mana orang walaupun jauh dari akal, sudah tentu, mengiktiraf kesahihan undang-undang logik, yang bermakna dia selalu membuat kesimpulan bahawa Tuhan dalam takrifan "sebab segala sesuatu" tidak wujud. . Orang yang tidak rasional yang mendakwa bahawa Tuhan boleh dikenali hanya dengan bantuan perasaan (dan bukan alasan), tentu saja, boleh berkata demikian, tetapi tidak ada cara untuk meyakinkan orang lain tentang ini; Selain itu, konsep Tuhan adalah konsep yang dirumuskan oleh akal. Bagaimana ia dicadangkan untuk menterjemahkan konsep sebab menjadi sensasi, dan walaupun dengan cara yang boleh disampaikan kepada orang lain, tidak jelas. Sekali lagi, walaupun orang yang agak rasional akan mengatakan bahawa ini tidak mungkin: untuk menterjemahkan konsep abstrak akal kepada perasaan dan merasakannya.
Akhirnya, ada pilihan lain: "Tuhan bukanlah penyebab pertama segala-galanya." Maka percanggahan seperti itu tidak timbul, bagaimanapun, ini adalah kelemahan yang ketara dalam kedudukan agama, kerana tepatnya fakta bahawa Tuhan menciptakan segala-galanya, bahawa Tuhan adalah permulaan segala permulaan, itulah asas bagi banyak pernyataan agama dan justifikasi dalam pertikaian.
P.S. Perlu diperhatikan satu lagi perkara yang ingin tahu, menarik untuk ahli fizik. DALAM takrifan ini Tuhan tidak mengatakan apa-apa tentang rasionalnya. Iaitu, seseorang boleh menambah "Tuhan adalah punca rasional bagi semua perkara," tetapi ini adalah penyempitan definisi, yang pada mulanya tidak diperlukan untuk pembuktian. Tanpa kecerdasan, konsep "tuhan" dengan mudah boleh digantikan dengan "ketunggalan dan dentuman besar- punca segala yang wujud." Dan jawapannya akan sama: ketunggalan dan letupan besar bukanlah punca utama segala yang wujud.
Menjalankan abstraksi yang lebih besar, kita boleh mengatakan bahawa tidak ada satu fenomena atau punca yang boleh menjadi punca kepada semua perkara, iaitu punca utama tidak wujud pada dasarnya. Penaakulan dalam rangka kerja mana-mana aksiomatik, seseorang boleh membuat kesimpulan bahawa punca segala-galanya tidak wujud. Secara ringkasnya, tidak kira betapa asasnya kita memahami alam semesta, persoalan akan sentiasa kekal dalam semangat: “dari mana datangnya letupan besar, dari mana datangnya singulariti, dari mana datangnya alam semesta yang berdenyut, dari mana datangnya. multiverse berasal, mengapa alam semesta sentiasa wujud?" dll. Punca segala-galanya tidak dapat ditemui pada prinsipnya; ia tidak terkandung dalam mana-mana objek, fenomena atau konsep. Oleh itu, bagi seseorang ini bersamaan dengan ketiadaannya. Secara teorinya, seseorang boleh mengandaikan kewujudan pemerhati luar di luar alam semesta kita, yang akan menjawab persoalan dari mana datangnya segala-galanya (aksiom tambahan yang sama, lanjutan dalam teorem Gödel), tetapi kemudian persoalan akan timbul di mana pemerhati luar, dia. alam semesta dan punca semua ini datang dari.
Ekologi kehidupan. Sains dan Penemuan: Teorem Ketidaklengkapan Gödel, salah satu teorem logik matematik yang paling terkenal, adalah bertuah dan malang. Dalam hal ini dia serupa dengan teori khas Relativiti Einstein. Di satu pihak, hampir semua orang telah mendengar sesuatu tentang mereka. Dari tafsiran lain, teori Einstein "mengatakan bahawa segala-galanya di dunia adalah relatif."
Teorem Gödel mengenai ketidaklengkapan, salah satu teorem logik matematik yang paling terkenal, bertuah dan bernasib malang pada masa yang sama. Dalam hal ini ia serupa dengan teori relativiti khas Einstein.
Di satu pihak, hampir semua orang telah mendengar sesuatu tentang mereka. Sebaliknya, dalam tafsiran popular Teori Einstein, seperti yang diketahui, " mengatakan bahawa segala sesuatu di dunia adalah relatif" A Teorem ketidaklengkapan Gödel(selepas ini hanya TGN), dalam kira-kira rumusan rakyat bebas yang sama, “ membuktikan bahawa ada perkara yang tidak dapat difahami oleh akal manusia».
Oleh itu, ada yang cuba menyesuaikannya sebagai hujah menentang sumpah erialisme , manakala yang lain, sebaliknya, membuktikan dengan bantuannya, bahawa tidak ada tuhan . Perkara yang melucukan adalah bukan sahaja kedua-dua belah pihak tidak boleh betul pada masa yang sama, tetapi juga tidak ada satu atau yang lain mengganggu untuk mengetahui apa yang sebenarnya dinyatakan oleh teorem ini.
Jadi apa? Di bawah ini saya akan cuba memberitahu anda mengenainya "di jari". Pembentangan saya, sudah tentu, tidak ketat dan intuitif, tetapi saya akan meminta ahli matematik untuk tidak menilai saya dengan tegas. Ada kemungkinan bahawa untuk bukan ahli matematik (yang sebenarnya, saya seorang), akan ada sesuatu yang baru dan berguna dalam apa yang diterangkan di bawah.
Logik matematik sememangnya sains yang agak kompleks, dan yang paling penting, tidak begitu biasa. Ia memerlukan gerakan yang berhati-hati dan ketat, di mana adalah penting untuk tidak mengelirukan apa yang sebenarnya telah terbukti dengan apa yang "sudah jelas." Walau bagaimanapun, saya berharap untuk memahami "garisan pembuktian TGN" berikut, pembaca hanya memerlukan pengetahuan tentang matematik sekolah/sains komputer, kemahiran pemikiran logik dan 15-20 minit masa.
Untuk memudahkan sedikit, TGN mendakwa bahawa dalam mencukupi bahasa yang kompleks terdapat kenyataan yang tidak dapat dibuktikan. Tetapi dalam frasa ini hampir setiap perkataan memerlukan penjelasan.
Mari kita mulakan dengan cuba memikirkan apa itu bukti. Mari kita ambil beberapa masalah aritmetik sekolah. Sebagai contoh, katakan anda perlu membuktikan ketepatan formula mudah berikut: “∀x(x−1)(x−2)−2=x(x−3)” (biar saya ingatkan anda bahawa simbol ∀ dibaca “untuk mana-mana” dan dipanggil “pengkuantiti sejagat” ). Anda boleh membuktikannya dengan mengubahnya secara identik, katakan, seperti ini:
∀x(x−1)(x−2)−2=x(x−3)
∀xx2−3x+2−2=x2−3x
∀xx2−3x–x2+3x=0
∀x0=0
BENAR
Peralihan dari satu formula ke formula lain berlaku mengikut peraturan tertentu yang terkenal. Peralihan dari formula ke-4 ke formula ke-5 berlaku, katakan, kerana setiap nombor adalah sama dengan dirinya sendiri - ini adalah aksiom aritmetik. Dan keseluruhan prosedur pembuktian, oleh itu, menterjemahkan formula ke dalam nilai Boolean TRUE. Hasilnya juga boleh menjadi PEMBOHONGAN - jika kita menafikan beberapa formula. Dalam kes ini, kami akan membuktikan penafiannya. Seseorang boleh membayangkan program (dan program sedemikian sebenarnya telah ditulis) yang akan membuktikan kenyataan yang serupa (dan lebih kompleks) tanpa campur tangan manusia.
Mari kita nyatakan perkara yang sama secara formal. Marilah kita mempunyai satu set yang terdiri daripada rentetan aksara beberapa abjad, dan terdapat peraturan yang mana daripada rentetan ini kita boleh memilih subset S penyataan yang dipanggil - iaitu frasa yang bermakna dari segi tatabahasa, setiap satunya adalah benar atau salah. Kita boleh mengatakan bahawa terdapat fungsi P yang memberikan pernyataan daripada S satu daripada dua nilai: BENAR atau SALAH (iaitu, memetakannya kepada set Boolean B bagi dua elemen).
Mari kita panggil pasangan ini- set pernyataan S dan fungsi P dari >S ke B - "bahasa pernyataan". Perhatikan bahawa dalam pengertian sehari-hari konsep bahasa agak lebih luas. Sebagai contoh, frasa Rusia " Kemarilah!"tidak benar dan tidak salah, iaitu, dari sudut logik matematik, ia bukan satu pernyataan.
Untuk meneruskan lebih jauh kita memerlukan konsep algoritma. Saya tidak akan memberikan takrifan rasmi mengenainya di sini - itu akan membawa kita agak jauh. Saya akan mengehadkan diri saya kepada tidak formal: "algoritma" ialah urutan arahan yang tidak jelas ("program"), yang nombor akhir langkah-langkah menterjemah data input kepada output.
Apa yang terdapat dalam huruf condong pada asasnya penting - jika program bergelung pada beberapa data awal, maka ia tidak menerangkan algoritma. Untuk kesederhanaan dan dalam aplikasi kes kami, pembaca boleh menganggap bahawa algoritma ialah program yang ditulis dalam mana-mana bahasa pengaturcaraan yang diketahuinya, yang, untuk sebarang data input daripada kelas tertentu, dijamin untuk menyelesaikan kerjanya menghasilkan hasil Boolean.
Mari kita tanya diri kita sendiri: untuk setiap fungsi P terdapat "algoritma pembuktian" (atau, ringkasnya, " deduktif"), bersamaan dengan fungsi ini, iaitu, mengubah setiap pernyataan menjadi nilai Boolean yang sama dengannya? Soalan yang sama boleh dirumuskan dengan lebih ringkas: Adakah setiap fungsi pada satu set pernyataan boleh dikira?
Seperti yang anda sudah meneka, dari kesahihan TGN ia mengikuti bahawa tidak, bukan setiap fungsi - terdapat fungsi yang tidak dapat dikira jenis ini. Dengan kata lain, Tidak semua kenyataan yang benar boleh dibuktikan.
Kemungkinan besar kenyataan ini akan menimbulkan protes dalaman dalam diri anda. Ini disebabkan oleh beberapa keadaan. Pertama, apabila kita diajar matematik sekolah, maka kadangkala terdapat tanggapan palsu tentang identiti hampir lengkap bagi frasa "Teorem X adalah benar" dan "Teorem X boleh dibuktikan atau disahkan."
Tetapi, jika anda memikirkannya, ini sama sekali tidak jelas. Sesetengah teorem dibuktikan dengan agak mudah (contohnya, dengan mencuba sebilangan kecil pilihan), manakala yang lain sangat sukar. Marilah kita ingat, sebagai contoh, Great yang terkenal Teorem Fermat:
Tidak ada seperti itu semula jadi x,y,z dan n>2, bahawa xn+yn=zn,
bukti yang ditemui hanya tiga setengah abad selepas perumusan pertama (dan ia jauh dari asas). DENGAN Seseorang mesti membezakan antara kebenaran sesuatu kenyataan dan kebolehbuktiannya. Ia tidak mengikuti dari mana-mana sahaja bahawa tidak ada kenyataan yang benar tetapi tidak boleh dibuktikan (dan tidak boleh disahkan sepenuhnya).
Hujah intuitif kedua terhadap TGN adalah lebih halus. Katakan kita mempunyai beberapa pernyataan yang tidak boleh dibuktikan (dalam rangka kerja deduktif ini). Apakah yang menghalang kita daripada menerimanya sebagai aksiom baharu? Oleh itu, kami akan merumitkan sedikit sistem bukti kami, tetapi ini tidak menakutkan.
Hujah ini akan betul sepenuhnya jika terdapat bilangan terhingga kenyataan yang tidak dapat dibuktikan. Dalam amalan, perkara berikut boleh berlaku: selepas membuat postulat aksiom baru, anda terjumpa kenyataan baru yang tidak boleh dibuktikan. Jika anda menerimanya sebagai aksiom lain, anda akan tersandung pada yang ketiga. Dan seterusnya ad infinitum.
Mereka berkata begitu potongan akan kekal tidak lengkap. Kami juga boleh memaksa algoritma pembuktian untuk menyelesaikan dalam bilangan langkah yang terhad dengan beberapa keputusan untuk sebarang sebutan bahasa. Tetapi pada masa yang sama, dia akan mula berbohong - membawa kepada kebenaran untuk kenyataan yang tidak betul, atau pembohongan - untuk orang yang beriman.
Dalam kes sedemikian mereka mengatakan bahawa potongan adalah bercanggah. Oleh itu, satu lagi formulasi TGN berbunyi seperti ini: " Terdapat bahasa proposisi yang mana proses deduktif konsisten yang lengkap adalah mustahil."- maka nama teorem itu.
Kadang-kadang dipanggil "teorem Gödel," kenyataannya ialah mana-mana teori mengandungi masalah yang tidak dapat diselesaikan dalam kerangka teori itu sendiri dan memerlukan generalisasinya. Dalam erti kata ini adalah benar, walaupun rumusan ini cenderung untuk mengaburkan isu dan bukannya menjelaskannya.
Saya juga akan ambil perhatian bahawa jika kita bercakap tentang fungsi biasa yang memetakan satu set nombor nyata ke dalamnya, maka "tidak boleh dikira" fungsi itu tidak akan mengejutkan sesiapa sahaja (hanya jangan mengelirukan "fungsi boleh dikira" dan "nombor boleh dikira" ” - ini adalah perkara yang berbeza).
Kurt Gödel
Mana-mana murid sekolah tahu bahawa, katakan, dalam kes fungsi sinx, anda perlu bertuah dengan hujah untuk proses pengiraan yang tepat perwakilan perpuluhan Nilai fungsi ini berakhir dengan bilangan langkah yang terhad.
Tetapi kemungkinan besar anda akan mengiranya menggunakan siri tak terhingga, dan pengiraan ini tidak akan membawa kepada hasil yang tepat, walaupun ia boleh datang sedekat yang anda suka - semata-mata kerana nilai sinus kebanyakan hujah adalah tidak rasional. TGN hanya memberitahu kita bahawa walaupun di antara fungsi yang hujahnya adalah rentetan dan nilainya adalah sifar atau satu, terdapat juga fungsi yang tidak boleh dikira, walaupun ia mempunyai struktur yang sama sekali berbeza.
Untuk tujuan selanjutnya, kami akan menerangkan "bahasa aritmetik formal". Pertimbangkan kelas rentetan teks dengan panjang terhingga, yang terdiri daripada angka Arab, pembolehubah (huruf abjad Latin), menerima nilai semula jadi, ruang, aksara operasi aritmetik, kesamaan dan ketaksamaan, pengkuantiti ∃ (“wujud”) dan ∀ (“untuk mana-mana”) dan, mungkin, beberapa simbol lain (nombor dan komposisi tepatnya tidak penting bagi kami).
Adalah jelas bahawa tidak semua baris sedemikian bermakna (contohnya, "12=+∀x>" adalah karut). Subset ungkapan bermakna daripada kelas ini (iaitu, rentetan yang benar atau palsu dari sudut pandangan aritmetik biasa) akan menjadi set pernyataan kami.
Contoh pernyataan aritmetik formal:
1=1
2×2=5
∃xx>3
∀y∀zy×z>y+ z
dll. Sekarang mari kita panggil "formula dengan parameter percuma" (FSP) rentetan yang menjadi pernyataan jika nombor asli digantikan ke dalamnya sebagai parameter ini. Contoh FSP (dengan parameter x):
x=0
2×2=x
∃yx+y>x
dll. Dalam erti kata lain, FSP adalah bersamaan dengan fungsi hujah semula jadi dengan nilai Boolean.
Mari kita nyatakan set semua FSP dengan huruf F. Jelas bahawa ia boleh dipesan (contohnya, mula-mula kita menulis formula satu huruf yang disusun mengikut abjad, diikuti dengan formula dua huruf, dsb.; ia tidak penting kepada kami dengan abjad mana susunan akan berlaku). Oleh itu, mana-mana FSP sepadan dengan nombor k dalam senarai tertib, dan kami akan menandakannya Fk.
Mari kita beralih kepada lakaran bukti TGN dalam rumusan berikut:
Bagi bahasa proposisi aritmetik formal tidak ada sistem deduktif konsisten yang lengkap.
Kami akan membuktikannya dengan percanggahan.
Jadi, mari kita anggap bahawa sistem deduktif itu wujud. Mari kita terangkan algoritma tambahan A berikut, yang memberikan nilai Boolean kepada nombor asli k seperti berikut:
1. Cari formula kth dalam senarai F.
2. Gantikan nombor k ke dalamnya sebagai hujah.
3. Kami menggunakan algoritma pembuktian kami pada pernyataan yang terhasil (mengikut andaian kami, ia wujud), yang menterjemahkannya kepada BETUL atau SALAH.
4. Gunakan penolakan logik kepada keputusan yang diperolehi.
Ringkasnya, algoritma menghasilkan nilai TRUE jika dan hanya jika keputusan menggantikan nombornya sendiri dalam FSP dalam senarai kami memberikan pernyataan palsu.
Di sini kita datang ke satu-satunya tempat di mana saya akan meminta pembaca untuk mengambil kata-kata saya untuk itu.
Adalah jelas bahawa, di bawah andaian yang dibuat di atas, mana-mana FSP daripada F boleh dikaitkan dengan algoritma yang mengandungi nombor asli pada input dan nilai Boolean pada output.
Sebaliknya kurang jelas:
Lemma: Sebarang algoritma yang menukar nombor asli kepada nilai Boolean sepadan dengan beberapa FSP daripada set F.
Bukti lemma ini memerlukan, sekurang-kurangnya, definisi formal, bukannya intuitif, bagi konsep algoritma. Walau bagaimanapun, jika anda fikirkan sedikit, ia adalah agak munasabah.
Malah, algoritma ditulis dalam bahasa algoritma, di antaranya terdapat yang eksotik seperti, contohnya, Brainfuck, yang terdiri daripada lapan perkataan satu aksara, yang mana, bagaimanapun, sebarang algoritma boleh dilaksanakan. Adalah pelik jika bahasa formula aritmetik formal yang lebih kaya yang kami terangkan ternyata lebih lemah - walaupun, tanpa ragu, ia tidak begitu sesuai untuk pengaturcaraan biasa.
Setelah melepasi tempat licin ini, kami cepat sampai ke penghujung.
Jadi, di atas kami menerangkan Algoritma A. Menurut lema yang saya minta anda percaya, terdapat FSP yang setara. Ia mempunyai beberapa nombor dalam senarai F - katakan, n. Mari kita tanya diri kita sendiri, apakah itu Fn(n)? Biarlah ini menjadi KEBENARAN. Kemudian, mengikut pembinaan algoritma A (dan oleh itu fungsi setara Fn), ini bermakna hasil penggantian nombor n ke dalam fungsi Fn adalah SALAH.
Sebaliknya disemak dengan cara yang sama: daripada Fn(n)=FALSE ia mengikuti bahawa Fn(n)=TRUE. Kami telah sampai pada percanggahan, yang bermaksud bahawa andaian asal adalah tidak betul. Oleh itu, tiada sistem deduktif konsisten yang lengkap untuk aritmetik formal. Q.E.D.
Di sini adalah wajar untuk mengingati Epimenides, yang, seperti yang diketahui, mengisytiharkan bahawa semua orang Kreta adalah penipu, dirinya sendiri adalah orang Kreta. Dalam rumusan kenyataannya yang lebih ringkas (dikenali sebagai "paradoks pembohong") boleh dirumuskan sebagai berikut: “ saya tipu" Pernyataan semacam ini, yang dengan sendirinya menyatakan kepalsuannya, yang kami gunakan untuk pembuktian.
Sebagai kesimpulan, saya ingin ambil perhatian bahawa TGN tidak menuntut apa-apa yang sangat mengejutkan. Lagipun, semua orang telah lama terbiasa dengan fakta bahawa tidak semua nombor boleh diwakili sebagai nisbah dua integer (ingat, kenyataan ini mempunyai bukti yang sangat elegan yang berusia lebih daripada dua ribu tahun?).Dan punca polinomial dengan pekali rasional bukan semua nombor sama ada . Dan kini ternyata tidak semua fungsi hujah semula jadi boleh dikira.
Lakaran bukti yang diberikan adalah untuk aritmetik formal, tetapi mudah untuk melihat bahawa TGN boleh digunakan untuk banyak bahasa proposisi yang lain. Sudah tentu, tidak semua bahasa seperti ini. Sebagai contoh, mari kita tentukan bahasa seperti berikut:
"Apa-apa frasa bahasa cina adalah kenyataan yang benar jika ia terkandung dalam buku petikan Komrad Mao Zedong, dan tidak betul jika ia tidak terkandung."
Kemudian algoritma pembuktian lengkap dan konsisten yang sepadan (orang mungkin memanggilnya "deduktif dogmatik") kelihatan seperti ini:
“Selak buku petikan Komrad Mao Zedong sehingga anda menemui pepatah yang anda cari. Jika didapati, maka ia adalah benar, tetapi jika buku nukilan itu habis dan kenyataan itu tidak dijumpai, maka ia tidak betul.”
Apa yang menyelamatkan kita di sini ialah mana-mana buku petikan jelas terhad, jadi proses "membuktikan" pasti akan berakhir. Oleh itu, TGN tidak boleh digunakan pada bahasa pernyataan dogmatik. Tetapi kita bercakap tentang bahasa yang kompleks, bukan? diterbitkan
Mana-mana sistem aksiom matematik bermula dari tahap tertentu kerumitan adalah sama ada secara dalaman bercanggah atau tidak lengkap.
Pada tahun 1900, Persidangan Ahli Matematik Sedunia telah diadakan di Paris, di mana David Hilbert (1862–1943) membentangkan dalam bentuk tesis 23 masalah paling penting, pada pendapatnya, yang perlu diselesaikan oleh ahli teori abad kedua puluh yang akan datang. Nombor dua dalam senarainya adalah salah satu daripadanya tugasan mudah, jawapan yang kelihatan jelas sehingga anda menggali sedikit lebih dalam. Bercakap bahasa moden, ia adalah soalan: adakah matematik mencukupi? Tugas kedua Hilbert berkisar kepada keperluan untuk membuktikan dengan tegas bahawa sistem aksiom - pernyataan asas yang diterima dalam matematik sebagai asas tanpa bukti - adalah sempurna dan lengkap, iaitu, ia membolehkan seseorang untuk menerangkan secara matematik semua yang wujud. Ia adalah perlu untuk membuktikan bahawa adalah mungkin untuk mentakrifkan sistem aksiom sedemikian sehingga mereka, pertama, saling konsisten, dan kedua, daripada mereka kesimpulan boleh dibuat mengenai kebenaran atau kepalsuan mana-mana pernyataan.
Mari kita ambil contoh dari geometri sekolah. Dalam planimetri Euclidean standard (geometri pada satah), boleh dibuktikan tanpa keraguan bahawa pernyataan "jumlah sudut segitiga ialah 180°" adalah benar, dan pernyataan "jumlah sudut segitiga ialah 137 °” adalah palsu. Pada asasnya, dalam geometri Euclidean sebarang pernyataan adalah salah atau benar, dan tidak ada pilihan ketiga. Dan pada permulaan abad kedua puluh, ahli matematik secara naif percaya bahawa keadaan yang sama harus diperhatikan dalam mana-mana sistem yang konsisten secara logik.
Dan kemudian, pada tahun 1931, beberapa ahli matematik Wina berkaca mata Kurt Gödel menerbitkan artikel pendek yang hanya mengganggu seluruh dunia yang dipanggil "logik matematik." Selepas mukadimah matematik dan teori yang panjang dan kompleks, beliau telah menubuhkan secara literal perkara berikut. Mari kita ambil mana-mana pernyataan seperti: "Andaian No. 247 dalam sistem aksiom ini secara logiknya tidak boleh dibuktikan" dan panggil ia "pernyataan A." Jadi, Gödel hanya membuktikan perkara berikut harta yang menakjubkan mana-mana sistem aksiom:
"Jika anda boleh membuktikan pernyataan A, maka anda boleh membuktikan kenyataan bukan-A."
Dengan kata lain, jika kebenaran pernyataan "andaian 247 tidak dapat dibuktikan" dapat dibuktikan, maka kebenaran pernyataan "andaian 247 dapat dibuktikan" juga dapat dibuktikan. Iaitu, kembali kepada perumusan masalah kedua Hilbert, jika sistem aksiom lengkap (iaitu, sebarang pernyataan di dalamnya boleh dibuktikan), maka ia adalah bercanggah.
Satu-satunya jalan keluar dari situasi ini ialah menerima sistem aksiom yang tidak lengkap. Iaitu, kita perlu bersabar dengan hakikat bahawa dalam konteks mana-mana sistem logik kita masih akan mempunyai pernyataan "jenis A" yang jelas benar atau salah - dan kita boleh menilai kebenarannya hanya di luar rangka kerja aksiomatik yang kita ada. diterima. Jika tiada kenyataan sedemikian, maka aksiomatik kami adalah bercanggah, dan dalam rangka kerjanya pasti akan ada formulasi yang boleh dibuktikan dan disangkal.
Jadi, rumusan teorem ketidaklengkapan pertama, atau lemah, Gödel: "Mana-mana sistem formal aksiom mengandungi andaian yang tidak dapat diselesaikan." Tetapi Gödel tidak berhenti di situ, merumuskan dan membuktikan teorem ketidaklengkapan kedua, atau kuat, Gödel: "Kesempurnaan logik (atau ketidaklengkapan) mana-mana sistem aksiom tidak boleh dibuktikan dalam rangka sistem ini. Untuk membuktikan atau menyangkalnya, aksiom tambahan diperlukan (menguatkan sistem).
Adalah lebih selamat untuk berfikir bahawa teorem Gödel bersifat abstrak dan tidak membimbangkan kita, tetapi hanya bidang logik matematik yang luhur, tetapi sebenarnya ternyata ia berkaitan secara langsung dengan struktur otak manusia. Ahli matematik dan fizik Inggeris Roger Penrose (b. 1931) menunjukkan bahawa teorem Gödel boleh digunakan untuk membuktikan kewujudan perbezaan asas antara otak manusia dan komputer. Makna hujah beliau mudah sahaja. Komputer bertindak secara logik dan tidak dapat menentukan sama ada pernyataan A adalah benar atau palsu jika ia melampaui aksiomatik, dan pernyataan sedemikian, menurut teorem Gödel, pasti wujud. Seseorang, berhadapan dengan pernyataan A yang tidak dapat dibuktikan secara logik dan tidak dapat disangkal, sentiasa dapat menentukan kebenaran atau kepalsuannya - berdasarkan pengalaman seharian. Sekurang-kurangnya dalam ini otak manusia lebih tinggi daripada komputer yang terikat dengan tulen litar logik. Otak manusia mampu memahami kedalaman penuh kebenaran yang terkandung dalam teorem Gödel, tetapi otak komputer tidak pernah boleh. Oleh itu, otak manusia hanyalah sebuah komputer. Dia mampu membuat keputusan dan ujian Turing akan berlalu dengan jayanya.
Saya tertanya-tanya sama ada Hilbert tahu sejauh mana soalannya akan membawa kita?
Kurt GÖDEL
Kurt Godel, 1906–78
Austria, kemudian ahli matematik Amerika. Dilahirkan di Brünn (kini Brno, Republik Czech). Dia lulus dari Universiti Vienna, di mana dia kekal sebagai guru di jabatan matematik (sejak 1930 - profesor). Pada tahun 1931 beliau menerbitkan teorem yang kemudiannya menerima namanya. Sebagai seorang yang tidak berpolitik semata-mata, dia mengalami masa yang amat sukar dengan pembunuhan rakan dan rakan sejawatannya oleh seorang pelajar Nazi dan jatuh ke dalam kemurungan yang mendalam, yang berulang yang menghantuinya sepanjang hayatnya. Pada tahun 1930-an dia berhijrah ke Amerika Syarikat, tetapi kembali ke Austria asalnya dan berkahwin. Pada tahun 1940, pada kemuncak perang, dia terpaksa melarikan diri ke Amerika dalam transit melalui USSR dan Jepun. Beliau bekerja untuk beberapa waktu di Princeton Institute for Advanced Study. Malangnya, jiwa saintis tidak dapat menahannya, dan dia meninggal di klinik psikiatri kerana kelaparan, enggan makan, kerana dia yakin bahawa mereka akan meracuninya.
| Komen: 0 |
Bagaimana model saintifik berkembang dalam sains semula jadi? Perkara harian terkumpul atau pengalaman saintifik, pencapaiannya dirumus dengan teliti dalam bentuk postulat dan menjadi asas kepada model: satu set pernyataan yang diterima oleh semua orang yang bekerja dalam rangka model ini.
Anatoly Wasserman
Pada tahun 1930, Kurt Gödel membuktikan dua teorem yang, diterjemahkan daripada bahasa matematik ke dalam bahasa manusia, bermakna lebih kurang seperti berikut: Mana-mana sistem aksiom yang cukup kaya untuk digunakan untuk mentakrifkan aritmetik akan sama ada tidak lengkap atau bercanggah. Tidak sistem lengkap- ini bermakna bahawa dalam sistem adalah mungkin untuk merumuskan pernyataan yang tidak boleh dibuktikan atau disangkal dengan cara sistem ini. Tetapi Tuhan, mengikut definisi, adalah punca terakhir semua sebab. Dari sudut pandangan matematik, ini bermakna pengenalan aksiom tentang Tuhan menjadikan keseluruhan aksiom kita lengkap. Jika ada Tuhan, maka apa-apa pernyataan boleh dibuktikan atau disangkal, merujuk, satu cara atau lain, kepada Tuhan. Tetapi menurut Gödel, sistem aksiom yang lengkap tidak dapat dielakkan bercanggah. Iaitu, jika kita percaya bahawa Tuhan itu wujud, maka kita terpaksa membuat kesimpulan bahawa percanggahan mungkin berlaku. Dan kerana tidak ada percanggahan, jika tidak seluruh dunia kita akan runtuh daripada percanggahan ini, kita harus membuat kesimpulan bahawa kewujudan Tuhan tidak sesuai dengan kewujudan alam.
Sosinsky A. B.
Teorem Gödel, bersama dengan penemuan teori relativiti, mekanik kuantum dan DNA, biasanya dianggap sebagai yang terbesar pencapaian saintifik abad XX. kenapa? Apakah intipatinya? Apakah kepentingannya? Soalan-soalan ini dalam syarahannya sebagai sebahagian daripada projek " Syarahan umum"Polit.ru" mendedahkan Alexey Bronislavovich Sosinsky, ahli matematik, profesor di Universiti Moscow Bebas, pegawai Order of Academic Palms Republik Perancis, pemenang Hadiah Kerajaan Rusia dalam bidang pendidikan pada tahun 2012. Khususnya, beberapa rumusan berbeza telah diberikan, tiga pendekatan untuk pembuktiannya telah diterangkan (Kolmogorov, Chaitin dan Gödel sendiri), dan kepentingannya untuk matematik, fizik, sains komputer dan falsafah.
Uspensky V. A.
Kuliah ini ditumpukan kepada versi sintaksis Teorem Ketidaklengkapan Gödel. Gödel sendiri membuktikan versi sintaksis menggunakan andaian yang lebih kuat daripada konsistensi, iaitu konsistensi omega yang dipanggil.
Uspensky V. A.
Kuliah sekolah musim panas « Matematik moden", Dubna.
mengenai topik: "TEOREM GODEL"
Kurt Gödel
Kurt Gödel ialah pakar terkemuka dalam logik matematik– dilahirkan pada 28 April 1906 di Brunn (kini Brno, Republik Czech). Beliau lulus dari Universiti Vienna, di mana beliau mempertahankan disertasi kedoktorannya, dan merupakan penolong profesor pada 1933–1938. Selepas Anschluss dia berhijrah ke Amerika Syarikat. Dari 1940 hingga 1963 Gödel bekerja di Institut Princeton pengajian tinggi. Gödel - doktor kehormat dari Universiti Yale dan Harvard, ahli Akademi Kebangsaan Sains Amerika Syarikat dan Persatuan Falsafah Amerika.
Pada tahun 1951, Kurt Gödel telah dianugerahkan yang tertinggi anugerah saintifik USA - Hadiah Einstein. Dalam artikel yang didedikasikan untuk acara ini, seorang lagi ahli matematik utama zaman kita, John von Neumann, menulis: "Sumbangan Kurt Gödel kepada logik moden benar-benar monumental. Ini lebih daripada sekadar monumen. Ini adalah peristiwa penting yang memisahkan dua era... Tanpa sebarang keterlaluan, boleh dikatakan bahawa karya Gödel secara radikal mengubah subjek logik sebagai sains.”
Malah, walaupun senarai kering pencapaian Gödel dalam logik matematik menunjukkan bahawa pengarangnya pada dasarnya meletakkan asas bagi keseluruhan bahagian sains ini: teori model (1930; apa yang dipanggil teorem mengenai kesempurnaan kalkulus predikat sempit, menunjukkan, secara kasarnya, kecukupan cara "logik formal" "untuk membuktikan semua ayat benar yang dinyatakan dalam bahasanya), logik konstruktif (1932–1933; menghasilkan kemungkinan untuk mengurangkan kelas tertentu ayat logik klasik kepada analog intuisi mereka, yang meletakkan asas untuk penggunaan sistematik "operasi merendam" yang membolehkan pengurangan pelbagai sistem logik satu sama lain), aritmetik formal (1932–1933; keputusan mengenai kemungkinan mengurangkan aritmetik klasik kepada aritmetik intuisi, menunjukkan dalam satu erti kata ketekalan yang pertama berkenaan dengan yang kedua), teori algoritma dan fungsi rekursif (1934; definisi konsep fungsi rekursif am, yang dimainkan peranan yang menentukan dalam mewujudkan ketidakupayaan algoritma bagi beberapa masalah yang paling penting dalam matematik, di satu pihak. Dan dalam pelaksanaan masalah logik dan matematik pada komputer elektronik - sebaliknya), teori set aksiomatik (1938; bukti ketekalan relatif aksiom pilihan dan hipotesis kontinum Cantor dari aksiom teori set, yang menandakan permulaan daripada siri ini keputusan yang paling penting mengenai ketekalan relatif dan kebebasan prinsip set-teoretik).
Teorem ketidaklengkapan Gödel
pengenalan
Pada tahun 1931, dalam salah satu Jerman jurnal ilmiah artikel yang agak kecil muncul dengan tajuk yang agak menakutkan "Mengenai Proposisi yang Tidak Dapat Diputuskan Secara Formal bagi Principia Mathematica dan Sistem Berkaitan." Pengarangnya ialah seorang ahli matematik berusia dua puluh lima tahun dari Universiti Vienna Kurt Gödel, yang kemudiannya bekerja di Princeton Institute for Advanced Study. Kerja ini memainkan peranan penting dalam sejarah logik dan matematik. Dalam keputusan Universiti Harvard pada penganugerahan Gödel kehormat ijazah kedoktoran(1952) dia disifatkan sebagai salah seorang pencapaian terhebat logik moden.
Walau bagaimanapun, pada masa penerbitan, tidak ada nama kerja Gödel. Kandungannya tidak bermakna apa-apa kepada kebanyakan ahli matematik. Disebut dalam tajuknya, Principia Mathematica ialah risalah tiga jilid monumental oleh Alfred North Whitehead dan Bertrand Russell mengenai logik matematik dan asas matematik; berkenalan dengan risalah itu tidak bermakna syarat yang perlu Untuk kerja yang berjaya dalam kebanyakan cabang matematik. Minat terhadap isu-isu yang ditangani dalam karya Gödel sentiasa menjadi perhatian sekumpulan saintis yang sangat kecil. Pada masa yang sama, alasan yang diberikan oleh Gödel dalam pembuktiannya adalah sangat luar biasa pada zamannya. Untuk memahami sepenuhnya mereka memerlukan penguasaan yang luar biasa terhadap subjek dan kebiasaan dengan kesusasteraan yang dikhaskan untuk masalah yang sangat khusus ini.
Teorem ketidaklengkapan pertama
Teorem ketidaklengkapan pertama Gödel, nampaknya, adalah hasil yang paling ketara dalam logik matematik. Bunyinya seperti ini:
Untuk teori formal yang konsisten dan boleh dikira sewenang-wenangnya di mana pernyataan aritmetik asas boleh dibuktikan, pernyataan aritmetik yang benar boleh dibina, yang kebenarannya tidak dapat dibuktikan dalam kerangka teori. Dalam erti kata lain, mana-mana sepenuhnya teori yang berguna, mencukupi untuk mewakili aritmetik, tidak boleh tekal dan lengkap.
Di sini perkataan "teori" bermaksud " set tak terhingga“Pernyataan, sebahagian daripadanya dipercayai benar tanpa bukti (pernyataan sedemikian dipanggil aksiom), manakala yang lain (teorem) boleh disimpulkan daripada aksiom, dan oleh itu dipercayai (terbukti) benar. Frasa "boleh dibuktikan secara teori" bermaksud "boleh terbit daripada aksiom dan primitif teori (simbol malar abjad) menggunakan logik piawai (urutan pertama). Sesuatu teori adalah konsisten (konsisten) jika mustahil untuk membuktikan kenyataan yang bercanggah di dalamnya. Frasa "boleh dibina" bermaksud bahawa terdapat beberapa prosedur mekanikal (algoritma) yang boleh membina pernyataan berdasarkan aksiom, primitif dan logik urutan pertama. “Aritmetik asas” terdiri daripada operasi tambah dan darab pada nombor asli. Pernyataan benar tetapi tidak dapat dibuktikan yang terhasil sering dirujuk untuk teori tertentu sebagai "jujukan Gödel," tetapi terdapat bilangan kenyataan lain yang tidak terhingga dalam teori yang mempunyai sifat yang sama: kebenaran yang tidak dapat dibuktikan dalam teori.
Andaian bahawa teori itu boleh dikira bermakna ia pada dasarnya mungkin untuk melaksanakan algoritma komputer ( program komputer), yang (jika dibenarkan untuk mengira dalam masa yang lama sewenang-wenangnya, sehingga infiniti) akan mengira senarai semua teorem teori. Malah, cukup untuk mengira hanya senarai aksiom, dan semua teorem boleh diperolehi dengan cekap daripada senarai sedemikian.
Teorem ketidaklengkapan pertama bertajuk "Teorem VI" dalam kertas Gödel 1931 Mengenai Proposisi Tidak Dapat Diputuskan Secara Formal dalam Principia Mathematica dan Sistem Berkaitan I. Dalam rakaman asal Gödel ia berbunyi seperti:
"Kesimpulan umum tentang kewujudan dalil yang tidak dapat ditentukan adalah ini:
Teorem VI .
Bagi setiap kelas rekursif ω-konsisten k FORMULA terdapat rekursif TANDA-TANDA r supaya tidak (v Jen r), tidak juga ¬( v Jen r)bukan milik Flg (k)(di mana v adalah PEMBOLEH UBAH PERCUMA r ) ».
Jawatan Flg datang dari dia. Folgerungsmenge- banyak urutan, Jen datang dari dia. Generalisasi– generalisasi.
Secara kasarnya, kenyataan Gödel G menyatakan: “kebenaran G tidak dapat dibuktikan." Jika G boleh dibuktikan dalam kerangka teori, maka dalam kes ini teori itu akan mengandungi teorem yang bercanggah dengan dirinya sendiri, dan oleh itu teori itu akan bercanggah. Tetapi jika G tidak dapat dibuktikan, maka ia adalah benar, dan oleh itu teori itu tidak lengkap (kenyataan G tidak dapat disimpulkan di dalamnya).
Ini adalah penjelasan dalam bahasa Inggeris biasa bahasa semula jadi, dan oleh itu tidak ketat secara matematik sepenuhnya. Untuk memberikan bukti yang kukuh, Gödel menomborkan pernyataan menggunakan nombor asli. Dalam kes ini, teori yang menerangkan nombor juga tergolong dalam set pernyataan. Soalan tentang kebolehpercayaan pernyataan boleh diwakili dalam kes ini dalam bentuk soalan tentang sifat nombor asli, yang mesti dikira jika teorinya lengkap. Dalam istilah ini, kenyataan Gödel menyatakan bahawa tidak ada nombor dengan beberapa harta tertentu. Nombor dengan sifat ini akan menjadi bukti ketidakkonsistenan teori. Jika nombor sedemikian wujud, teori itu tidak konsisten, bertentangan dengan andaian asal. Jadi, dengan mengandaikan bahawa teori itu konsisten (seperti yang diandaikan dalam premis teorem), ternyata nombor sedemikian tidak wujud, dan pernyataan Gödel adalah benar, tetapi dalam kerangka teori itu adalah mustahil untuk membuktikannya ( maka teorinya tidak lengkap). Perkara konseptual yang penting ialah adalah perlu untuk menganggap bahawa teori itu konsisten untuk mengisytiharkan kenyataan Gödel sebagai benar.
Teorem ketidaklengkapan kedua Gödel
Teorem ketidaklengkapan kedua Gödel berbunyi seperti berikut:
Untuk mana-mana teori T yang boleh dikira secara rekursif (iaitu, dijana dengan berkesan), termasuk pernyataan kebenaran aritmetik asas dan pernyataan kebolehbuktian formal tertentu, teori ini T termasuk tuntutan ketekalan diri jika dan hanya jika teori T tidak konsisten.
Dengan kata lain, ketekalan teori yang cukup kaya tidak dapat dibuktikan melalui teori ini. Walau bagaimanapun, ia mungkin ternyata bahawa konsistensi satu teori tertentu boleh ditubuhkan melalui satu lagi teori formal yang lebih berkuasa. Tetapi kemudian timbul persoalan tentang konsistensi teori kedua ini, dsb.
Gunakan teorem ini untuk membuktikannya aktiviti pintar Ia tidak sampai kepada pengiraan, ramai yang telah mencuba. Sebagai contoh, pada tahun 1961, ahli logik terkenal John Lucas datang dengan program yang sama. Alasannya ternyata agak terdedah - bagaimanapun, dia menetapkan tugas itu dengan lebih meluas. Roger Penrose mengambil pendekatan yang sedikit berbeza, yang digariskan dalam buku sepenuhnya, "dari awal."
Perbincangan
Akibat daripada teorem mempengaruhi falsafah matematik, terutamanya formalisme yang digunakan logik formal untuk menentukan prinsip anda. Kita boleh menyusun semula teorem ketidaklengkapan pertama seperti berikut: “ adalah mustahil untuk mencari sistem aksiom yang merangkumi semua yang boleh dibuktikan Semua kebenaran matematik, dan bukan satu pembohongan" Sebaliknya, dari sudut formaliti yang ketat, perumusan semula ini tidak mempunyai makna istimewa, kerana ia menganggap konsep "kebenaran" dan "palsu" ditakrifkan dalam erti kata mutlak dan bukannya dalam erti kata relatif untuk setiap sistem tertentu.