The bahan metodologi adalah untuk rujukan sahaja dan digunakan untuk pelbagai topik. Artikel ini menyediakan gambaran keseluruhan graf fungsi asas asas dan membincangkan soalan yang paling penting – cara membina graf dengan betul dan CEPAT. Semasa kajian matematik yang lebih tinggi tanpa pengetahuan tentang jadual utama fungsi asas Ia akan menjadi sukar, jadi adalah sangat penting untuk mengingati rupa graf parabola, hiperbola, sinus, kosinus, dsb., dan mengingati beberapa nilai fungsi. Juga kita akan bercakap tentang beberapa sifat fungsi asas.

Saya tidak mendakwa kesempurnaan dan ketelitian saintifik bahan; penekanan akan diberikan, pertama sekali, pada amalan - perkara-perkara yang dengannya seseorang bertemu secara literal pada setiap langkah, dalam mana-mana topik matematik yang lebih tinggi. Carta untuk dummies? Seseorang boleh berkata begitu.

Kerana banyak permintaan daripada pembaca jadual kandungan yang boleh diklik:

Di samping itu, terdapat sinopsis ultra pendek mengenai topik tersebut
– kuasai 16 jenis carta dengan mempelajari ENAM muka surat!

Serius, enam, walaupun saya terkejut. Ringkasan ini mengandungi grafik yang dipertingkatkan dan tersedia dengan bayaran nominal, versi demo boleh dilihat. Ia adalah mudah untuk mencetak fail supaya graf sentiasa berada di tangan. Terima kasih kerana menyokong projek ini!

Dan mari kita mulakan segera:

Bagaimana untuk membina paksi koordinat dengan betul?

Dalam amalan, ujian hampir selalu disiapkan oleh pelajar dalam buku nota berasingan, berbaris dalam segi empat sama. Mengapa anda memerlukan tanda berkotak-kotak? Lagipun, kerja, pada dasarnya, boleh dilakukan pada helaian A4. Dan sangkar itu diperlukan hanya untuk reka bentuk lukisan yang berkualiti tinggi dan tepat.

Sebarang lukisan graf fungsi bermula dengan paksi koordinat.

Lukisan boleh menjadi dua dimensi atau tiga dimensi.

Mari kita pertimbangkan dahulu kes dua dimensi Cartesian sistem segi empat tepat koordinat:

1) Lukis paksi koordinat. Paksi dipanggil paksi-x , dan paksi ialah paksi-y . Kami sentiasa cuba melukis mereka kemas dan tidak bengkok. Anak panah juga tidak boleh menyerupai janggut Papa Carlo.

2) Labelkan paksi dalam huruf besar"X" dan "Y". Jangan lupa untuk melabelkan kapak.

3) Tetapkan skala di sepanjang paksi: lukis sifar dan dua satu. Apabila membuat lukisan, skala yang paling mudah dan kerap digunakan ialah: 1 unit = 2 sel (lukisan di sebelah kiri) - jika boleh, berpegang padanya. Walau bagaimanapun, dari semasa ke semasa ia berlaku bahawa lukisan tidak sesuai pada helaian buku nota - maka kami mengurangkan skala: 1 unit = 1 sel (lukisan di sebelah kanan). Ia jarang berlaku, tetapi ia berlaku bahawa skala lukisan perlu dikurangkan (atau ditingkatkan) lebih banyak lagi

TIDAK PERLU "senapang mesin" …-5, -4, -3, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, …. Untuk satah koordinat bukan monumen kepada Descartes, dan pelajar itu bukan merpati. Kita letak sifar Dan dua unit di sepanjang paksi. Kadang-kadang bukannya unit, adalah mudah untuk "menandai" nilai lain, contohnya, "dua" pada paksi abscissa dan "tiga" pada paksi ordinat - dan sistem ini (0, 2 dan 3) juga akan mentakrifkan grid koordinat secara unik.

Adalah lebih baik untuk menganggarkan anggaran dimensi lukisan SEBELUM membina lukisan. Jadi, sebagai contoh, jika tugas itu memerlukan lukisan segi tiga dengan bucu , , , maka jelas sekali bahawa skala popular 1 unit = 2 sel tidak akan berfungsi. kenapa? Mari kita lihat perkara itu - di sini anda perlu mengukur lima belas sentimeter ke bawah, dan, jelas sekali, lukisan itu tidak sesuai (atau hampir tidak sesuai) pada helaian buku nota. Oleh itu, kami segera memilih skala yang lebih kecil: 1 unit = 1 sel.

By the way, kira-kira sentimeter dan sel notebook. Adakah benar 30 sel buku nota mengandungi 15 sentimeter? Untuk keseronokan, ukur 15 sentimeter dalam buku nota anda dengan pembaris. Di USSR, ini mungkin benar... Menarik untuk diperhatikan bahawa jika anda mengukur sentimeter yang sama ini secara mendatar dan menegak, hasilnya (dalam sel) akan berbeza! Tegasnya, buku nota moden bukan berkotak-kotak, tetapi segi empat tepat. Ini mungkin kelihatan tidak masuk akal, tetapi lukisan, sebagai contoh, bulatan dengan kompas dalam situasi sedemikian sangat menyusahkan. Sejujurnya, pada saat-saat seperti itu anda mula berfikir tentang ketepatan Komrad Stalin, yang dihantar ke kem untuk kerja-kerja penggodaman dalam pengeluaran, apatah lagi industri automobil domestik, pesawat jatuh atau loji kuasa yang meletup.

Bercakap tentang kualiti, atau cadangan ringkas tentang alat tulis. Hari ini, kebanyakan buku nota dijual, perkataan buruk apatah lagi sampah yang lengkap. Atas alasan bahawa mereka menjadi basah, dan bukan sahaja dari pen gel, tetapi juga dari pen bola! Mereka menjimatkan wang di atas kertas. Untuk pendaftaran ujian Saya mengesyorkan menggunakan buku nota dari Kilang Pulp dan Kertas Arkhangelsk (18 helai, persegi) atau "Pyaterochka", walaupun ia lebih mahal. Adalah dinasihatkan untuk memilih pen gel; walaupun isi semula gel Cina yang paling murah adalah lebih baik daripada pen mata bola, yang sama ada mengoyakkan atau mengoyakkan kertas. Satu-satunya "berdaya saing" Pen mata bola dalam ingatan saya ialah "Erich Krause". Dia menulis dengan jelas, cantik dan konsisten - sama ada dengan inti penuh atau dengan inti yang hampir kosong.

Selain itu: Melihat sistem koordinat segi empat tepat dengan mata geometri analisis diliputi dalam artikel Kebergantungan linear (bukan) vektor. Asas vektor, maklumat terperinci tentang sukuan koordinat boleh didapati dalam perenggan kedua pelajaran Ketaksamaan linear.

kes 3D

Ia hampir sama di sini.

1) Lukiskan paksi koordinat. Standard: paksi terpakai – diarahkan ke atas, paksi – diarahkan ke kanan, paksi – diarahkan ke bawah ke kiri dengan tegas pada sudut 45 darjah.

2) Labelkan paksi.

3) Tetapkan skala di sepanjang paksi. Skala di sepanjang paksi adalah dua kali lebih kecil daripada skala di sepanjang paksi yang lain. Juga ambil perhatian bahawa dalam lukisan yang betul saya menggunakan "takik" bukan standard di sepanjang paksi (kemungkinan ini telah disebutkan di atas). Dari sudut pandangan saya, ini lebih tepat, lebih pantas dan lebih menyenangkan dari segi estetik - tidak perlu mencari bahagian tengah sel di bawah mikroskop dan "mengukir" unit yang dekat dengan asal koordinat.

Apabila membuat lukisan 3D, sekali lagi, beri keutamaan pada skala
1 unit = 2 sel (lukisan di sebelah kiri).

Untuk apa semua peraturan ini? Peraturan adalah untuk dilarangi. Itulah yang saya akan lakukan sekarang. Hakikatnya ialah lukisan artikel seterusnya akan saya buat dalam Excel, dan paksi koordinat akan kelihatan tidak betul dari sudut pandangan reka bentuk yang betul. Saya boleh melukis semua graf dengan tangan, tetapi sebenarnya menakutkan untuk melukisnya kerana Excel enggan melukisnya dengan lebih tepat.

Graf dan sifat asas fungsi asas

Fungsi linear diberikan oleh persamaan. Graf fungsi linear ialah langsung. Untuk membina garis lurus, cukup untuk mengetahui dua titik.

Contoh 1

Bina graf bagi fungsi tersebut. Mari cari dua mata. Adalah berfaedah untuk memilih sifar sebagai salah satu mata.

Jika , maka

Mari kita ambil satu lagi perkara, sebagai contoh, 1.

Jika , maka

Apabila menyelesaikan tugasan, koordinat titik biasanya diringkaskan dalam jadual:

Dan nilai itu sendiri dikira secara lisan atau pada draf, kalkulator.

Dua mata telah dijumpai, mari buat lukisan:

Semasa menyediakan lukisan, kami sentiasa menandatangani grafik.

Adalah berguna untuk mengingati kes khas fungsi linear:

Perhatikan bagaimana saya meletakkan tandatangan, tandatangan tidak boleh membenarkan percanggahan semasa mengkaji lukisan. DALAM dalam kes ini Adalah sangat tidak diingini untuk meletakkan tandatangan di sebelah titik persilangan garis, atau di bahagian bawah sebelah kanan antara graf.

1) Fungsi linear bentuk () dipanggil kekadaran langsung. Sebagai contoh, . Graf perkadaran langsung sentiasa melalui asalan. Oleh itu, membina garis lurus dipermudahkan - cukup untuk mencari hanya satu titik.

2) Persamaan bentuk menentukan garis lurus, selari dengan paksi, khususnya, paksi itu sendiri diberikan oleh persamaan. Graf fungsi diplot serta-merta, tanpa menemui sebarang titik. Iaitu, entri harus difahami seperti berikut: "y sentiasa sama dengan -4, untuk sebarang nilai x."

3) Persamaan bentuk menentukan garis lurus selari dengan paksi, khususnya, paksi itu sendiri diberikan oleh persamaan. Graf fungsi juga diplot serta-merta. Entri harus difahami seperti berikut: "x sentiasa, untuk sebarang nilai y, sama dengan 1."

Ada yang akan bertanya, kenapa ingat darjah 6?! Begitulah, mungkin begitu, tetapi selama bertahun-tahun latihan saya telah bertemu dengan sedozen pelajar yang bingung dengan tugas membina graf seperti atau.

Membina garis lurus adalah tindakan yang paling biasa semasa membuat lukisan.

Garis lurus dibincangkan secara terperinci dalam perjalanan geometri analitik, dan mereka yang berminat boleh merujuk kepada artikel Persamaan garis lurus pada satah.

Graf bagi kuadratik, fungsi padu, graf polinomial

Parabola. Graf bagi fungsi kuadratik () mewakili parabola. Mari kita pertimbangkan kes terkenal:

Mari kita ingat beberapa sifat fungsi tersebut.

Jadi, penyelesaian kepada persamaan kami: – pada titik inilah puncak parabola terletak. Mengapa ini boleh didapati dalam artikel teori tentang terbitan dan pelajaran tentang ekstrem fungsi. Sementara itu, mari kita hitung nilai "Y" yang sepadan:

Oleh itu, puncak berada pada titik

Sekarang kita dapati titik lain, sambil dengan berani menggunakan simetri parabola. Perlu diingatkan bahawa fungsi – tidak sekata, tetapi, bagaimanapun, tiada siapa yang membatalkan simetri parabola.

Dalam susunan untuk mencari mata yang tinggal, saya fikir ia akan jelas dari jadual akhir:

Algoritma pembinaan ini secara kiasan boleh dipanggil "perjalanan ulang-alik" atau prinsip "bolak-balik" dengan Anfisa Chekhova.

Mari buat lukisan:

Daripada graf yang diperiksa, satu lagi ciri berguna muncul di fikiran:

Untuk fungsi kuadratik () yang berikut adalah benar:

Jika , maka cabang parabola diarahkan ke atas.

Jika , maka cabang parabola diarahkan ke bawah.

Pengetahuan yang mendalam tentang lengkung boleh diperolehi dalam pelajaran Hiperbola dan parabola.

Parabola padu diberikan oleh fungsi. Berikut adalah lukisan yang biasa digunakan di sekolah:

Mari kita senaraikan sifat utama fungsi tersebut

Graf fungsi

Ia mewakili salah satu cabang parabola. Mari buat lukisan:

Ciri-ciri utama fungsi:

Dalam kes ini, paksi adalah asimtot menegak bagi graf hiperbola pada .

Ia akan menjadi satu kesilapan KASAR jika, semasa melukis lukisan, anda secara cuai membenarkan graf bersilang dengan asimtot.

Juga had berat sebelah memberitahu kita bahawa hiperbola tidak terhad dari atas Dan tidak terhad dari bawah.

Mari kita periksa fungsi pada infiniti: , iaitu, jika kita mula bergerak sepanjang paksi ke kiri (atau kanan) ke infiniti, maka "permainan" akan berada dalam langkah yang teratur dekat tak terhingga mendekati sifar, dan, dengan itu, cabang hiperbola dekat tak terhingga mendekati paksi.

Jadi paksi adalah asimtot mendatar untuk graf fungsi, jika "x" cenderung kepada tambah atau tolak infiniti.

Fungsinya ialah ganjil, dan, oleh itu, hiperbola adalah simetri tentang asal. Fakta ini jelas daripada lukisan, sebagai tambahan, ia mudah disahkan secara analitik: .

Graf bagi fungsi bentuk () mewakili dua cabang hiperbola.

Jika , maka hiperbola terletak pada sukuan koordinat pertama dan ketiga(lihat gambar di atas).

Jika , maka hiperbola terletak pada sukuan koordinat kedua dan keempat.

Corak kediaman hiperbola yang ditunjukkan adalah mudah untuk dianalisis dari sudut pandangan transformasi geometri graf.

Contoh 3

Bina cabang kanan hiperbola

Kami menggunakan kaedah pembinaan yang bijak, dan adalah berfaedah untuk memilih nilai supaya ia boleh dibahagikan dengan keseluruhan:

Mari buat lukisan:

Ia tidak akan sukar untuk membina cawangan kiri hiperbola; keganjilan fungsi akan membantu di sini. Secara kasarnya, dalam jadual pembinaan mengikut arah kita secara mental menambah tolak kepada setiap nombor, ditetapkan mata yang sepadan dan lukiskan cabang kedua.

Maklumat geometri terperinci tentang garis yang dipertimbangkan boleh didapati dalam artikel Hiperbola dan parabola.

Graf Fungsi Eksponen

Dalam bahagian ini, saya akan segera mempertimbangkan fungsi eksponen, kerana dalam masalah matematik yang lebih tinggi dalam 95% kes, ia adalah eksponen yang muncul.

Saya mengingatkan anda bahawa ini adalah nombor tak rasional: , ini akan diperlukan apabila membina graf, yang, sebenarnya, saya akan membina tanpa upacara. Tiga mata, mungkin itu sudah cukup:

Mari kita biarkan graf fungsi sahaja buat masa ini, lebih lanjut mengenainya kemudian.

Ciri-ciri utama fungsi:

Graf fungsi, dsb., pada asasnya kelihatan sama.

Saya mesti mengatakan bahawa kes kedua berlaku kurang kerap dalam amalan, tetapi ia berlaku, jadi saya menganggap perlu untuk memasukkannya dalam artikel ini.

Graf fungsi logaritma

Pertimbangkan fungsi dengan logaritma semula jadi.
Mari buat lukisan titik demi titik:

Jika anda terlupa apa itu logaritma, sila rujuk buku teks sekolah anda.

Ciri-ciri utama fungsi:

Domain:

Julat nilai: .

Fungsi ini tidak terhad dari atas: , walaupun perlahan-lahan, tetapi cabang logaritma naik ke infiniti.
Mari kita periksa kelakuan fungsi berhampiran sifar di sebelah kanan: . Jadi paksi adalah asimtot menegak untuk graf fungsi sebagai "x" cenderung kepada sifar dari kanan.

Adalah penting untuk mengetahui dan mengingati nilai tipikal logaritma: .

Graf logaritma pada asas kelihatan pada asasnya sama: , , ( logaritma perpuluhan kepada asas 10), dsb. Pada masa yang sama, daripada asas yang lebih besar, semakin rata graf itu.

Kami tidak akan mempertimbangkan kes itu, saya tidak ingat bila kali terakhir Saya membina graf atas dasar ini. Dan logaritma nampaknya menjadi tetamu yang sangat jarang dalam masalah matematik yang lebih tinggi.

Pada akhir perenggan ini saya akan mengatakan satu lagi fakta: Fungsi eksponen Dan fungsi logaritma - kedua-duanya adalah bersama fungsi songsang . Jika anda melihat dengan teliti pada graf logaritma, anda dapat melihat bahawa ini adalah eksponen yang sama, ia hanya terletak sedikit berbeza.

Graf fungsi trigonometri

Di manakah siksaan trigonometri bermula di sekolah? Betul. Dari sinus

Mari kita plot fungsi

baris ini dipanggil sinusoid.

Biar saya ingatkan anda bahawa "pi" ialah nombor tidak rasional: , dan dalam trigonometri ia membuatkan mata anda terpesona.

Ciri-ciri utama fungsi:

Fungsi ini ialah berkala dengan tempoh. Apakah maksudnya? Jom tengok segmen. Di sebelah kiri dan kanannya, sekeping graf yang sama diulang tanpa henti.

Domain: , iaitu, untuk sebarang nilai “x” terdapat nilai sinus.

Julat nilai: . Fungsinya ialah terhad: , iaitu, semua "permainan" duduk dengan ketat dalam segmen .
Ini tidak berlaku: atau, lebih tepat lagi, ia berlaku, tetapi persamaan ini tidak mempunyai penyelesaian.

- — [] fungsi kuadratik Fungsi bentuk y= ax2 + bx + c (a ? 0). Graf K.f. - parabola, puncaknya mempunyai koordinat [ b/ 2a, (b2 4ac) / 4a], dengan a>0 cabang parabola ... ...

FUNGSI KUADRATIK, FUNGSI matematik, yang nilainya bergantung pada kuasa dua pembolehubah tidak bersandar, x, dan diberi, dengan itu, oleh POLINOMIAL kuadratik, contohnya: f(x) = 4x2 + 17 atau f(x) = x2 + 3x + 2. lihat juga PERSAMAAN KUADRATIK ... Kamus ensiklopedia saintifik dan teknikal

Fungsi kuadratik- Fungsi kuadratik - fungsi dalam bentuk y= ax2 + bx + c (a ≠ 0). Graf K.f. - parabola, bucunya mempunyai koordinat [ b/ 2a, (b2 4ac) / 4a], untuk a> 0 cabang parabola diarahkan ke atas, untuk a< 0 –вниз… …

- (kuadrat) Fungsi yang mempunyai pandangan seterusnya: у=ах2+bх+с, dengan a≠0 dan darjat tertinggi x ialah segi empat sama. Persamaan kuadratik y=ax2 +bx+c=0 juga boleh diselesaikan menggunakan formula berikut: x= –b+ √ (b2–4ac) /2a. Akar ini adalah nyata... Kamus ekonomi

Fungsi kuadratik afinitik dihidupkan ruang affine S ialah sebarang fungsi Q: S→K yang mempunyai bentuk Q(x)=q(x)+l(x)+c dalam bentuk vektor, dengan q ialah fungsi kuadratik, l ialah fungsi linear, c ialah pemalar . Kandungan 1 Mengalihkan titik rujukan 2... ... Wikipedia

Fungsi kuadratik affine pada ruang affine ialah sebarang fungsi yang mempunyai bentuk dalam bentuk vektor, di mana ialah matriks simetri, fungsi linear, pemalar. Kandungan... Wikipedia

Fungsi dihidupkan ruang vektor, ditakrifkan oleh polinomial homogen darjah kedua dalam koordinat vektor. Isi 1 Definisi 2 Definisi yang berkaitan... Wikipedia

- adalah fungsi yang, dalam teori keputusan statistik, mencirikan kerugian akibat membuat keputusan yang salah berdasarkan data yang diperhatikan. Jika masalah menganggar parameter isyarat terhadap latar belakang hingar sedang diselesaikan, maka fungsi kehilangan adalah ukuran percanggahan... ... Wikipedia

Fungsi objektif- - [Ya.N.Luginsky, M.S.Fezi Zhilinskaya, Yu.S.Kabirov. Kamus kejuruteraan elektrik dan kejuruteraan kuasa Inggeris-Rusia, Moscow, 1999] Fungsi objektif Dalam masalah ekstrem, fungsi yang minimum atau maksimumnya perlu dicari. Ini… … Panduan Penterjemah Teknikal

Fungsi objektif- dalam masalah yang melampau, fungsi yang minimum atau maksimum mesti ditemui. ini konsep utama pengaturcaraan yang optimum. Setelah menemui ekstrem C.f. dan, oleh itu, setelah menentukan nilai pembolehubah terkawal yang pergi kepadanya... ... Kamus ekonomi-matematik

Buku

• Set meja. Matematik. Graf fungsi (10 jadual), . Album pendidikan 10 helaian. Fungsi linear. Grafik dan tugasan analitikal fungsi. Fungsi kuadratik. Mengubah graf bagi fungsi kuadratik. Fungsi y=sinx. Fungsi y=cosx.…
• Fungsi yang paling penting dalam matematik sekolah ialah kuadratik - dalam masalah dan penyelesaian, Petrov N.N.. Fungsi kuadratik ialah fungsi utama kursus sekolah matematik. Patutlah. Di satu pihak, kesederhanaan fungsi ini, dan sebaliknya, makna yang mendalam. Banyak tugas sekolah...