Sudut lancip antara pepenjuru segi empat selari. Bagaimana untuk mencari sudut antara pepenjuru segi empat selari

Contoh 6. Cari sudut antara pepenjuru segi empat selari yang dibina pada vektor dan

Penyelesaian. Diagonal bagi segi empat selari ialah vektor dan (lihat Rajah 5). Kemudian , , , Oleh itu, – sudut antara pepenjuru adalah sama dengan .

Contoh 7. Diberi: , , , . Kira – panjang vektor .

Penyelesaian. Daripada harta (5) hasil skalar; tetapi , , , Oleh itu, .

Karya seni vektor dua vektor dipanggil vektor, yang dilambangkan dengan atau dan ditakrifkan oleh dengan cara berikut:

1) di mana – panjang vektor ini adalah sama dengan hasil darab panjang vektor yang didarab dan sinus sudut di antaranya;

2) ` ,` – vektor ini berserenjang dengan setiap vektor yang didarab;

3) vektor , , membentuk tiga rangkap kanan.

Daripada keadaan (1) ia berikutan bahawa modulus vektor adalah secara berangka sama dengan luas segi empat selari dibina pada vektor dan kedua-dua belah (Rajah 17): , .

Sifat produk vektor:

4) , atau , atau ;

Contoh 8. Permudahkan ungkapan.

Penyelesaian. Berdasarkan sifat produk vektor, kita memperoleh , tetapi , , kemudian

Contoh 9. Dalam segi tiga dengan bucu , , cari panjang ketinggian .

Penyelesaian. , dari mana . Mari cari koordinat bagi vektor: , .

Itu dia ;

Oleh itu, .

Mengikut takrifan hasil kali skalar, di manakah sudut antara vektor dan. Tetapi adakah luas segi empat selari dibina pada vektor dan , dan , di manakah ketinggian selari. Justeru, .

Kerja campur tiga vektor sehingga tanda yang sama dengan isipadu parallelepiped yang dibina pada vektor ini seperti pada tepi. Anda boleh menulis: .

Persamaan garis yang melalui titik ini berserenjang vektor ini.

– persamaan am bagi garis lurus pada satah.

- persamaan kanonik garis, atau persamaan garis yang melalui titik tertentu selari dengan vektor tertentu.

y0, x0 – koordinat yang diberikan vektor yang diberi

, – persamaan parametrik lurus.

– persamaan garis lurus yang melalui melalui dua titik yang diberikan.

Sudut antara dua garis lurus. Biarkan garis dan masing-masing diberi oleh persamaan , , di mana , . Mari kita nyatakan sudut antara garis lurus: (Gamb. 24). Kemudian , .

Oleh itu,

Jika , maka , dan oleh itu, , iaitu k 1 = k 2 .

Jika , maka , tidak ditakrifkan, oleh itu, , atau .

Jika garis lurus dan diberi masing-masing oleh persamaan

Di mana , ialah vektor garis biasa, kemudian , atau .

Jika , maka , oleh itu, .

Jika, , iaitu.

Jarak dari titik ke garis. Biarkan garis lurus pada satah diberikan oleh persamaan dan titik mempunyai koordinat (Rajah 25). Mari kita nyatakan – tapak serenjang jatuh dari titik ke garis , , – jarak dari titik ke garis . Kemudian, a ialah vektor garis biasa. Mari kita pertimbangkan produk skalar. Di satu pihak, , sejak , oleh itu, sudut antara mereka atau . Sebaliknya, , tetapi ialah titik, oleh itu koordinatnya memenuhi persamaan, dari mana , oleh itu . Menyamakan ungkapan, kita dapat

Kemudian atau

Contoh 12. Garis lurus diberikan oleh persamaan. Tuliskan persamaan untuk a) garis yang melalui titik selari dengan garis; b) garis yang melalui asal koordinat berserenjang dengan garis.

Penyelesaian. kaedah pertama. Daripada persamaan garis kita tentukan vektor normal garis ini. Vektor ini berserenjang dan lurus (Rajah 26). Oleh itu, vektor normal dan titik dikenali untuk . Mari kita gunakan persamaan (2.12): atau – persamaan . Untuk garis lurus, vektor ialah panduan dan titik. Mari kita gunakan persamaan (2.15): , atau , atau – persamaan .

kaedah ke-2. Mari kita tulis persamaan garis dalam bentuk . Kami akan mencari cerun lurus : . Garis lurus, oleh itu, kecerunannya; ialah garis lurus, jadi kecerunannya ialah . Mengetahui kecerunan garis dan koordinat titik pada garis ini, anda boleh menggunakan persamaan (2.18). Kami memperoleh persamaan garis lurus: atau, mendarab kedua-dua belah dengan 3, , dan persamaan garis lurus: , iaitu, .

Contoh 13. Dalam segi tiga dengan bucu , , susun persamaan untuk median , tinggi , cari panjang ketinggian (Rajah 27).

Penyelesaian. – tengah segmen , koordinatnya akan ditemui menggunakan formula (2.7): , , iaitu . Oleh itu, dua mata dan diketahui pada median. Mari kita gunakan persamaan (2.17): , atau – persamaan median . Ia boleh dibawa ke bentuk. Untuk menyusun persamaan ketinggian, kita mencari vektor normal garis lurus VN. Mari kita gunakan persamaan (2.12): . Membahagikan dengan 4 dan membuka kurungan, kita mendapat persamaan. Mari kita buat persamaan untuk garis lurus menggunakan persamaan (2.15) dan menganggapnya sebagai vektor pengarah: ; , atau . Kemudian kita mencari panjang ketinggian menggunakan formula (2.21) sebagai jarak dari titik ke garis: .

– persamaan satah yang melalui titik tertentu berserenjang dengan vektor tertentu

– persamaan am satah.

– persamaan satah dalam segmen. Di sini a, b, c ialah segmen yang dipotong oleh satah pada paksi koordinat

– persamaan satah yang melalui tiga titik tertentu.

Persamaan satah tidak lengkap

Jika dalam persamaan satah mana-mana pekali adalah sama dengan sifar, maka kita dapat persamaan tidak lengkap kapal terbang

Biarkan, sebagai contoh, Persamaan mempunyai bentuk dan mentakrifkan satah yang melalui asal koordinat (koordinat titik O(0; 0; 0) memenuhi persamaan).

Biarkan Persamaan mempunyai bentuk dan tentukan satah, selari dengan paksi Oz atau melalui paksi Oz di Indeed, maka itu adalah, pesawat

Biarkan Persamaan mempunyai bentuk dan tentukan satah, selari dengan kapal terbangОуz atau bertepatan dengannya di Memang, iaitu kapal terbang atau

Kes lain boleh dianggap sama.

Sudut antara dua satah

Biarkan satah a 1 dan a 2 masing-masing diberikan oleh persamaan di mana dan ialah vektor normal satah ini (Rajah 45). Jelas sekali, maka kosinus sudut antara satah

(terbukti sama dengan (2.21)).

§ 14. Garisan dalam ruang Garis lurus dalam ruang boleh ditentukan dengan persamaan yang serupa dengan persamaan garis lurus pada satah:

– persamaan parametrik garis lurus;

(2.36)

– persamaan garis lurus yang melalui dua titik yang diberi M 1 (x 1, y 1, z 1) dan M 2 (x 2, y 2, z 2).

Garis lurus di angkasa juga boleh ditakrifkan sebagai garis persilangan dua satah. Jika persamaan satah ini dan di manakah vektor normalnya, maka persamaan garis lurus (garis persilangannya) mempunyai bentuk

(2.37)

(2.37) – persamaan am bagi garis lurus dalam ruang.

Untuk mencari mana-mana titik pada baris ini, sudah cukup untuk memberikan salah satu pembolehubah yang khusus nilai angka(contohnya, x = 0), gantikannya ke dalam sistem (2.37) dan selesaikannya untuk dua pembolehubah yang tinggal.

Vektor arah garis lurus (2.37) boleh didapati sebagai produk vektor vektor biasa satah bersilang:

Contoh 21. Menulis persamaan kanonik garis lurus yang diberi persamaan am

Penyelesaian. Mari cari titik pada garis. Biarkan, sebagai contoh, z = 0. Sistem akan mengambil bentuk Menambah persamaan, kita peroleh Kemudian daripada persamaan kedua Titik pada garis A(1; -2; 0). Mari cari vektor arah garis ini: Kami memperoleh persamaan kanonik garis (2.39). Kami menggunakan persamaan parametrik garis

Tarikh penerbitan: 2014-12-08; Baca: 1688 | Pelanggaran Hak Cipta Halaman | Perintah menulis kertas

laman web - Studiopedia.Org - 2014-2017.(0.055 s) ...

Sebelum mencari penyelesaian kepada masalah yang diberikan, anda harus memilih kaedah yang paling sesuai untuk menyelesaikannya. Kaedah geometri memerlukan pembinaan tambahan dan justifikasinya, oleh itu, dalam dalam kes ini Nampaknya paling mudah untuk menggunakan teknik vektor. Untuk tujuan ini, segmen terarah - vektor digunakan.

Anda perlu

Kertas;
- pen;
- pembaris.

Ditaja oleh P&G Artikel mengenai topik "Cara mencari sudut antara pepenjuru segiempat selari" Bagaimana untuk mencari sudut segiempat Cara mengira vektor Bagaimana untuk mencari sudut antara median dan sisi

Arahan

Biarkan segi empat selari ditakrifkan oleh vektor dua sisinya (dua yang lain adalah sama berpasangan) mengikut Rajah. 1. Sebenarnya vektor yang sama dalam kapal terbang seberapa banyak yang anda suka. Ini memerlukan kesamaan panjangnya (lebih tepat, modul - |a|) dan arah, yang diberikan oleh kecenderungan kepada mana-mana paksi (dalam koordinat Cartesan ini ialah paksi 0X). Oleh itu, untuk kemudahan, dalam masalah jenis ini, vektor, sebagai peraturan, ditentukan oleh vektor jejari r = a, yang asalnya sentiasa terletak pada asal koordinat. Untuk mencari sudut antara sisi segi empat selari, anda perlu mengira jumlah geometri dan perbezaan vektor, serta hasil darab skalarnya (a,b). Mengikut peraturan selari jumlah geometri vektor a dan b adalah sama dengan beberapa vektor c=a+b, yang dibina dan terletak pada pepenjuru segiempat selari AD. Perbezaan antara a dan b ialah vektor d=b-a, dibina pada pepenjuru kedua BD. Jika vektor diberikan oleh koordinat dan sudut di antaranya ialah φ, maka hasil darab skalarnya ialah nombor sama dengan produk moduli vektor dan cosф (lihat Rajah 1): (a, b) = |a||b|cos f Dalam koordinat Cartesan, jika a=(x1, y1) dan b=(x2, y2), maka (a , b) = x1y2 +x2y1. Dalam kes ini, kuasa dua skalar bagi vektor (a,a)=|a|^2=x1^2 +x2^2. Untuk vektor b - sama. Kemudian: |a||b|cos φ = x1y2 +x2y1. Oleh itu cosф=(x1y2 +x2y1)/(|a||b|).

Oleh itu, algoritma untuk menyelesaikan masalah adalah seperti berikut:

Mencari koordinat bagi vektor pepenjuru segi empat selari sebagai vektor hasil tambah dan beza vektor sisinya c=a+b dan d=b-a. Dalam kes ini, koordinat a dan b yang sepadan hanya ditambah atau ditolak. c= a+ b =(x3, y3)= ( x1+x2, y1+y2),
d= b-a =(x4, y4)=( x2 –x1, y2-y1).
2. Mencari kosinus sudut antara vektor pepenjuru (mari kita panggil FD) menggunakan yang diberikan peraturan Am cosфд=(x3y3 +x4y4)/(|c||d|) Contoh. Cari sudut antara pepenjuru segi empat selari yang diberi oleh vektor sisinya a=(1, 1) dan b =(1, 4).

Penyelesaian. Menurut algoritma di atas, anda perlu mencari vektor pepenjuru c=(1+1, 1+4)=(2, 5) dan d=(1-1, 4-1)=(0, 3).
Sekarang hitung cosfd =(0+15)/(sqrt(4+25)sqrt9)= 15/3sqrt29=0.92.
Jawapan: fd= arcos(0.92).

Betapa mudahnya

Berita lain mengenai topik:

Vektor ialah segmen terarah yang ditentukan oleh parameter berikut: panjang dan arah (sudut) kepada paksi tertentu. Di samping itu, kedudukan vektor tidak terhad oleh apa-apa. Vektor-vektor yang bersandar dan mempunyai sama panjang. Anda perlukan - kertas; - pen. Penaja

Luas segi empat selari yang dibina pada vektor dikira sebagai hasil darab panjang vektor ini dan sinus sudut di antara mereka. Jika hanya koordinat vektor yang diketahui, maka untuk pengiraan anda perlu gunakan kaedah koordinat, termasuk untuk menentukan sudut antara vektor. Anda perlu - konsep

Menyelesaikan masalah mencari sudut antara sisi beberapa angka geometri anda harus mulakan dengan menjawab soalan: apakah jenis angka yang anda hadapi, iaitu, tentukan sama ada ia adalah polihedron di hadapan anda atau poligon. Dalam stereometri, "kes rata" (poligon) dipertimbangkan. Setiap poligon

Sudut antara dua vektor yang terpancar dari titik yang sama ialah sudut terpendek yang melaluinya salah satu vektor mesti diputar di sekeliling asalnya ke kedudukan vektor kedua. Ukuran darjah sudut ini boleh ditentukan jika koordinat vektor diketahui. Penaja Artikel penempatan P&G mengenai topik "Bagaimana

Tugas mencari sudut poligon dengan beberapa parameternya diketahui agak mudah. Dalam hal menentukan sudut antara median segitiga dan salah satu sisi, adalah mudah untuk menggunakan kaedah vektor. Untuk menentukan segitiga, dua vektor sisinya sudah memadai. Penaja

Labelkan sudut alfa, beta dan gamma dibentuk oleh vektor dan dengan arah yang positif paksi koordinat(lihat Rajah 1). Kosinus sudut ini dipanggil kosinus arah vektor a. Anda perlukan - kertas; - pen. Menyiarkan Artikel P&G Penaja mengenai topik "Cara mencari panduan

Sebelum mencari penyelesaian kepada masalah yang diberikan, anda harus memilih kaedah yang paling sesuai untuk menyelesaikannya. Kaedah geometri memerlukan pembinaan tambahan dan justifikasinya, oleh itu, dalam kes ini, yang paling mudah ialah penggunaan teknik vektor. Untuk tujuan ini, segmen terarah - vektor digunakan.

Anda perlu

- kertas;
- pen;
- pembaris.

Arahan

Biarkan segi empat selari ditakrifkan oleh vektor dua sisinya (dua yang lain adalah sama berpasangan) mengikut Rajah. 1. Secara umum, terdapat seberapa banyak vektor yang sama pada pesawat yang anda suka. Ini memerlukan kesamaan panjangnya (lebih tepat, modul - |a|) dan arah, yang diberikan oleh kecenderungan kepada mana-mana paksi (dalam koordinat Cartesan ini ialah paksi 0X). Oleh itu, untuk kemudahan, dalam masalah jenis ini, vektor, sebagai peraturan, ditentukan oleh vektor jejari r = a, yang asalnya sentiasa terletak pada asal koordinat.

Untuk mencari sudut antara sisi segi empat selari anda perlu mengira jumlah geometri dan perbezaan vektor, serta hasil darab skalarnya (a,b). Mengikut peraturan segi empat selari jumlah geometri vektor a dan b adalah sama dengan beberapa vektor c=a+b, yang dibina dan terletak pada pepenjuru segi empat selari A.D. Perbezaan antara a dan b ialah vektor d=b-a, dibina pada pepenjuru kedua BD. Jika vektor diberikan oleh koordinat, dan sudut antaranya ialah φ, maka hasil darab skalarnya ialah nombor yang sama dengan hasil darab moduli vektor dan cosφ (lihat Rajah 1): (a, b) = |a||b|cosφ

Dalam koordinat Cartesan, jika a=(x1, y1) dan b=(x2, y2), maka (a, b) = x1y2 +x2y1. Dalam kes ini, kuasa dua skalar bagi vektor (a,a)=|a|^2=x1^2 +x2^2. Untuk vektor b - sama. Kemudian: |a||b|cos φ = x1y2 +x2y1. Oleh itu cosф=(x1y2 +x2y1)/(|a||b|). Oleh itu, algoritma untuk menyelesaikan masalah adalah seperti berikut: 1. Mencari koordinat bagi vektor pepenjuru segi empat selari sebagai vektor hasil tambah dan beza vektor sisinya c=a+b dan d=b-a. Dalam kes ini, koordinat a dan b yang sepadan hanya ditambah atau ditolak. c= a+ b =(x3, y3)= ( x1+x2, y1+y2),d= b-a =(x4, y4)=( x2 –x1, y2-y1). 2. Mencari kosinus sudut antara vektor pepenjuru (mari kita panggil phd) mengikut peraturan am yang diberikan cosphd=(x3y3 +x4y4)/(|c||d|)

Contoh. Cari sudut antara pepenjuru segi empat selari, ditakrifkan oleh vektor sisinya a=(1, 1) dan b =(1, 4). Penyelesaian. Menurut algoritma di atas, anda perlu mencari vektor pepenjuru c=(1+1, 1+4)=(2, 5) dan d=(1-1, 4-1)=(0, 3). Sekarang hitung cosfd =(0+15)/(sqrt(4+25)sqrt9)= 15/3sqrt29=0.92. Jawapan: fd= arcos(0.92).

Perhatian, HARI INI sahaja!

Semuanya menarik

Nilai mutlak vektor ialah panjangnya. Jika tidak mungkin untuk mengukurnya dengan pembaris, ia boleh dikira. Dalam kes apabila vektor diberikan Koordinat Cartesan formula khas digunakan. Adalah penting untuk dapat mengira modulus vektor apabila mencari...

Matematik adalah sains yang kompleks dan tepat. Anda perlu mendekatinya dengan cekap dan tidak tergesa-gesa. Sememangnya, tanpa pemikiran abstrak tiada jalan lain. Serta tanpa pen dan kertas untuk memudahkan pengiraan secara visual. Arahan 1Tandakan sudut menggunakan huruf...

Vektor, sebagai segmen terarah, bergantung bukan sahaja pada nilai mutlak(modulus), yang sama dengan panjangnya. Satu lagi ciri penting ialah arah vektor. Ia boleh ditentukan dengan koordinat dan dengan sudut antara vektor dan paksi koordinat.…

Untuk menyelesaikan masalah ini menggunakan kaedah algebra vektor, anda perlu tahu konsep berikut: jumlah vektor geometri dan hasil darab titik bagi vektor, dan juga ingat sifat jumlah sudut dalaman segi empat. kepada awak…

Operasi dengan vektor sering menyebabkan kesukaran kepada murid sekolah. Walaupun terdapat bilangan formula terhad yang anda perlukan untuk mengendalikan, beberapa masalah menyebabkan kesukaran dan masalah dengan penyelesaian. Khususnya, bukan semua pelajar sekolah menengah...

Vektor ialah segmen terarah yang ditentukan oleh parameter berikut: panjang dan arah (sudut) kepada paksi tertentu. Di samping itu, kedudukan vektor tidak terhad oleh apa-apa. Vektor-vektor yang kodirectional dan mempunyai panjang yang sama dianggap sama. ...

Menyelesaikan masalah mencari sudut antara sisi rajah geometri tertentu harus bermula dengan menjawab soalan: apakah jenis angka yang anda hadapi, iaitu, tentukan sama ada ia adalah polihedron di hadapan anda atau poligon.
Dalam stereometri kita menganggap...

Nyatakan dengan alfa, beta dan gamma sudut yang dibentuk oleh vektor a dengan arah positif paksi koordinat (lihat Rajah 1). Kosinus sudut ini dipanggil kosinus arah vektor a. Anda akan memerlukan - kertas; - pen Arahan 1 Jadi...