Pembahagian mengikut "sudut" adalah, pada pendapat saya, topik yang paling sukar, paling membosankan dalam keseluruhannya matematik sekolah. Di sini kita perlu serius mendorong diri kita. Walau bagaimanapun, marilah kita terinspirasi oleh pemikiran bahawa semua bahan seterusnya akan menjadi lebih mudah dan menyeronokkan.
Pertama sekali, pertimbangkan pembahagian mengikut nombor satu digit. Katakan kita ingin mengira nilai ungkapan
Dengan menggunakan sifat pendaraban, kita boleh menulis dividen dengan cara ini:
6 ∙ 100 + 4 ∙ 10 + 8 =
3 ∙ 2 ∙ 100 + 2 ∙ 2 ∙ 10 + 4 ∙ 2 =
( 3 ∙ 100 + 2 ∙ 10 + 4 ) ∙ 2 =
3 2 4 ∙ 2 .
Selepas ini menjadi jelas bahawa hasil bahagi adalah sama dengan
Tetapi kami mengambil yang terbaik kes paling mudah, apabila setiap digit individu dividen boleh dibahagikan dengan pembahagi. Berikut ialah contoh yang lebih rumit:
Di sini digit pertama ialah kurang daripada pembahagi. Oleh itu, apabila menerangkan dividen, kami tidak akan memisahkannya daripada digit kedua:
15 ∙ 10 + 6 .
Oleh kerana nombor 15 tidak boleh dibahagi sama rata dengan 2, kita perlu menggunakan pembahagian dengan bakinya. Mari kita bentangkan hasil pembahagian ini sebagai:
15 = 7 ∙ 2 + 1 = 14 + 1 .
Kini kami boleh terus menerangkan dividen kami dengan lebih lanjut:
15 ∙ 10 + 6 =
( 14 + 1 ) ∙ 10 + 6 =
14 ∙ 10 + 1 ∙ 10 + 6 =
14 ∙ 10 + 16 =
7 ∙ 2 ∙ 10 + 8 ∙ 2 =
( 7 ∙ 10 + 8 ) ∙ 2 =
7 8 ∙ 2 .
Dari sini kami serta-merta mendapat jawapan:
Pengiraan seperti ini boleh dilakukan dalam kepala anda dan anda boleh segera menulis jawapannya. Tetapi kami sekarang akan menulis semula mereka dalam borang meja pendek. Keupayaan untuk menyusun jadual sedemikian akan berguna kepada kita apabila kita berurusan dengan pembahagian oleh nombor berbilang digit, apabila semuanya ternyata tidak begitu mudah. Kami menulis dividen dan pembahagi seperti berikut:
Apabila membahagikan dua digit pertama (15) dengan dua, hasilnya ialah 7 ditambah beberapa baki lain. Kami akan menangani baki ini sedikit kemudian, tetapi buat masa ini kami akan menulis tujuh di bawah garis di bawah pembahagi (di sini akhirnya kami akan menulis jawapan penuh):
Kami mendarabkan pembahagi kami (2) dengan tujuh ini dan menulis jawapan (14) di bawah dua digit pertama dividen (15):
Kini tiba masanya untuk mengira baki apabila membahagi 15 dengan 2. Ia jelas sama dengan
15 − 2 ∙ 7 = 15 − 14 .
Kami sudah menyediakan segala-galanya untuk melakukan penolakan ini dalam "lajur":
Kami mendapat satu unit, yang mana kami menetapkan enam daripada digit dividen berikut:
Hasil daripada atribusi ini, kita mendapat nombor 16. Kami membahagikannya dengan pembahagi kami (2) dan mendapat 8. Kami menulis lapan ini dalam baris jawapan, di bawah baris di bawah pembahagi:
Kami menerima jawapannya, tetapi peraturan untuk mencipta jadual adalah sedemikian sehingga kami perlu menambah dua baris lagi padanya. Kita mesti secara rasmi memastikan bahawa kita tidak kehilangan baki bahagian. Kami mendarabkan pembahagi (2) dengan digit terakhir jawapan (8), memberikan hasil (16) dari bawah ke jadual kami dalam dua digit terakhir dividen:
Kurangkan baris terakhir dari baris terakhir dan dapatkan 0:
Sifar terakhir ini tidak lebih daripada baki bahagian, yang akan terbentuk jika kita menganggap pembahagian dengan baki:
156: 2 = 78 (baki 0).
Untuk memahami perkara ini dengan lebih baik, mari kita ambil contoh serupa, di mana, walau bagaimanapun, bakinya tidak sama dengan sifar:
157: 2 = 78 (baki 1).
Jadual untuk contoh ini kelihatan seperti ini:
Di sini, sekali lagi, bakinya berdiri di baris terakhir. Untuk melengkapkan gambar, mari tulis dividen kami dalam borang ini:
14 ∙ 10 + 17 =
7 ∙ 2 ∙ 10 + 8 ∙ 2 + 1 =
( 7 ∙ 10 + 8 ) ∙ 2 + 1 =
7 8 ∙ 2 + 1
Sekarang kita bersedia untuk membahagi (dengan keseluruhan atau dengan baki) dengan nombor berbilang digit. Ini dilakukan menggunakan jadual yang serupa (tepatnya kerana ia jenis khas prosedur ini mendapat nama pembahagian sudut). Katakan anda perlu melakukan pembahagian dengan baki:
Mari kita mula mengisi jadual:
DALAM dalam kes ini Untuk mencari digit pertama bagi hasil, anda perlu mengambil empat digit pertama dividen (1356) dan bahagikan nombor yang terhasil (dengan baki) dengan pembahagi (259). Mengapa anda perlu mengambil empat digit pertama dividen? Kerana jika kita mengambil sekurang-kurangnya satu digit kurang, maka nombor yang terhasil (135) akan menjadi kurang daripada pembahagi (259), dan ini sama sekali bukan sesuatu yang kita boleh maklumat yang berguna. Jadi, ambil empat digit pertama dividen dan pertimbangkan bahagian berikut dengan baki:
1356 : 259 = ?
Di sini pengiraan anggaran akan membantu kita, yang mana, seperti yang kita ketahui, sama sekali tidak perlu nombor itu dibahagikan antara satu sama lain:
1356 / 259 ≈ 1356 / 300 ≈ 1500 / 300 = 15 / 3 = 5 .
Mengetahui hasil pembahagian anggaran, kita boleh mengandaikan bahawa, kemungkinan besar,
1356 : 259 = 5 (baki - tidak kira yang mana satu).
Sudah tentu, keyakinan mutlak kita tidak mempunyai. Di sini, bukannya lima, mungkin terdapat empat atau enam, tetapi tidak mungkin kita tersilap oleh lebih daripada satu unit. Dengan mengambil kira ini, kami bagaimanapun mengambil lima ini dan memasukkannya ke dalam jadual kami di baris jawapan. Selepas ini, kita darabkan pembahagi (259) dengannya dan pada masa yang sama tulis jawapan di bawah dividen dalam digit yang sesuai:
|
259 ∙ 5 = |
Di sini, nombor "kecil" ialah hasil sampingan daripada prosedur pendaraban: kami mula mengenalinya apabila kami belajar untuk mendarab "dalam lajur." Selepas pendaraban selesai, mereka tidak lagi diperlukan: anda boleh mengabaikannya. Ungkapan 259 ∙ 5, ditulis di sebelah kiri jadual, diletakkan di sini hanya untuk menjelaskan apa yang kita lakukan. Ia, sebenarnya, tidak termasuk dalam jadual, dan pada masa akan datang kami tidak akan menulis penjelasan sedemikian. Adalah penting untuk diperhatikan di sini bahawa hasil pendaraban kita (1295) ternyata kurang daripada nombor 1356 yang ditulis di atasnya, terdiri daripada empat digit pertama dividen. Jika ini tidak begitu, ini bermakna bahagian anggaran memberi kami hasil yang terlalu tinggi. Kami kemudiannya perlu memotong lima dalam baris jawapan, meletakkan empat di tempatnya - dan kemudian memotong dan membuat semula semua pengiraan kami yang seterusnya. Tetapi kali ini kami bernasib baik dan tidak perlu membuat semula apa-apa.
Sekarang kita melakukan penolakan lajur dan dapatkan:
|
259 ∙ 5 = |
|||||||||
Mari kita lihat dengan lebih dekat perbezaan yang terhasil (61). Adalah sangat penting bahawa ia ternyata kurang daripada pembahagi (259). DALAM sebaliknya kami akan membuat kesimpulan bahawa bahagian anggaran memberi kami hasil yang dipandang rendah dan kami kini perlu membetulkan lima dalam baris jawapan kepada enam, serta membuat semula semua pengiraan seterusnya. Nasib baik, ini tidak berlaku. Pengiraan anggaran tidak mengecewakan kami, dan kami kini tahu dengan pasti bahawa,
1356: 259 = 5 (rehat. 61).
Mari kita kembali ke meja. Kami menambah tujuh daripada digit seterusnya dividen kepada baki kami (61) dan teruskan untuk mencari digit kedua jawapan. Ini dilakukan dengan menggunakan prosedur yang sama seperti sebelumnya. Kemudian tiba masanya untuk nombor ketiga. Pada akhirnya, jadual kelihatan seperti ini:
|
259 ∙ 5 = |
|||||||||
|
259 ∙ 2 = |
|||||||||
|
259 ∙ 3 = |
|||||||||
Anda boleh menulis jawapan akhir:
135674: 259 = 523 (rehat. 217).
Masalah terbesar dengan membahagi dengan "penjuru" ialah pengiraan anggaran yang perlu dilakukan di sepanjang jalan tidak serta-merta dijamin untuk memberi hasil yang betul dan kadangkala memerlukan pembetulan seterusnya. Walau bagaimanapun, semasa kita berlatih, kita akan membangunkan naluri istimewa dan kita hampir pasti akan segera mengetahui nombor apa yang harus ditulis dalam baris jawapan, supaya kemudian kita tidak perlu membetulkan atau membuat semula apa-apa lagi.
Sudah tentu, kita akan menemui kes di mana hasil bagi mengandungi sifar. Setiap sifar sedemikian akan membolehkan anda membuat pengurangan kecil dalam jadual. Berikut ialah contoh jadual sedemikian:
Seperti dalam kes pendaraban "dalam lajur", untuk menjadikannya lebih mudah untuk menulis nombor "kecil", kita mungkin perlu
Kini yang tinggal hanyalah melatih, melatih dan melatih.
Beberapa tahun yang lalu saya terkejut apabila mengetahui bahawa hari ini di sekolah (walaupun di banyak sekolah fizik dan matematik), di kelab, dan juga dalam kes "latihan", mereka tidak mengajar cara membahagikan polinomial, atau polinomial, dalam lajur. Perkara yang paling lucu tentang ini ialah pelajar sekolah mengetahui skema Horner dan menggunakannya untuk membahagikan polinomial. Nampaknya pembahagian panjang dianggap terlalu sukar untuk minda yang lemah, tetapi dia cukup mampu menghafal jadual yang membolehkannya membahagi dengan polinomial darjah pertama. Sememangnya, tiada siapa yang mengambil berat tentang memastikan bahawa pelajar sekolah memahami mengapa ini boleh dibahagikan dengan cara ini. Untuk mengisi jurang yang ketara dalam pendidikan kanak-kanak tersebut, saya hadirkan di sini kaedah membahagikan polinomial kepada polinomial dengan lajur, yang sebenarnya agak mudah dan membolehkan anda membahagikan kepada polinomial darjah sewenang-wenangnya.
Mari kita mulakan dengan fakta bahawa untuk dua polinomial dan ( mestilah tidak sama dengan sifar) adalah benar. Jika baki adalah sifar, maka ia dikatakan boleh dibahagikan dengan tanpa baki.
Sekarang mari kita lihat contoh: lebih mudah untuk belajar membahagikan polinomial dengannya.
Contoh 1. Bahagikan dengan (perhatikan bahawa kedua-dua polinomial ditulis dalam tertib menurun). Mula-mula saya akan menulis apa yang sepatutnya berlaku, dan kemudian saya akan menerangkan bagaimana untuk mendapatkannya.
Pertama, istilah utama dividen ialah - mari kita bahagikan dengan istilah utama pembahagi, iaitu, dengan . Hasil yang terhasil, yang sama dengan , akan menjadi ahli hasil bagi yang terkemuka. Sekarang kita darabkan pembahagi dengan polinomial ini (kita dapat) dan tolak hasil yang terhasil daripada dividen. Kami akan dapatkan selebihnya. Sebutan utama baki ini, yang sama, sekali lagi dibahagikan dengan sebutan utama pembahagi, yang sama dengan, kita dapat, yang akan menjadi sebutan kedua hasil bahagi. Pembahagi didarab dengan sebutan ini ditolak daripada baki pertama. Kami mendapat baki kedua, yang sama dengan sifar. Ini melengkapkan proses pembahagian.
Mudah untuk menyemaknya
Secara umumnya, pembahagian tamat sebaik sahaja tahap baki yang terhasil adalah kurang (kurang!) daripada darjah pembahagi. Mari kita lihat contoh lain.
Contoh 2. Jom bahagi dengan.
Pembahagian itu lengkap kerana darjah baki terakhir ialah kurang ijazah pembahagi (), dalam erti kata lain, sebutan utama bagi baki tidak boleh dibahagikan sama rata dengan sebutan utama pembahagi.
Peperiksaan. Sesungguhnya, tidak sukar untuk mengesahkannya
Apabila menyelesaikan persamaan dan ketaksamaan, selalunya perlu untuk memfaktorkan polinomial yang darjahnya tiga atau lebih tinggi. Dalam artikel ini kita akan melihat cara paling mudah untuk melakukan ini.
Seperti biasa, mari beralih kepada teori untuk mendapatkan bantuan.
Teorem Bezout menyatakan bahawa baki apabila membahagi polinomial dengan binomial ialah .
Tetapi yang penting bagi kita bukanlah teorem itu sendiri, tetapi akibat daripadanya:
Jika nombor itu ialah punca polinomial, maka polinomial itu boleh dibahagikan dengan binomial tanpa baki.
Kita berhadapan dengan tugas untuk mencari sekurang-kurangnya satu punca polinomial, kemudian membahagikan polinomial dengan , di mana punca polinomial itu. Akibatnya, kita memperoleh polinomial yang darjahnya kurang satu daripada darjah yang asal. Dan kemudian, jika perlu, anda boleh mengulangi proses tersebut.
Tugasan ini terbahagi kepada dua: cara mencari punca polinomial, dan cara membahagi polinomial dengan binomial.
Mari kita lihat lebih dekat perkara ini.
1. Bagaimana mencari punca polinomial.
Mula-mula kita semak sama ada nombor 1 dan -1 adalah punca polinomial.
Fakta berikut akan membantu kami di sini:
Jika jumlah semua pekali polinomial ialah sifar, maka nombor itu ialah punca polinomial itu.
Sebagai contoh, dalam polinomial jumlah pekali ialah sifar: . Mudah untuk menyemak apakah punca polinomial.
Jika jumlah pekali polinomial pada kuasa genap adalah sama dengan jumlah pekali pada kuasa ganjil, maka nombor itu ialah punca polinomial itu. Istilah bebas dianggap sebagai pekali untuk darjah genap, kerana , a ialah nombor genap.
Sebagai contoh, dalam polinomial jumlah pekali bagi kuasa genap ialah: , dan jumlah pekali bagi kuasa ganjil ialah: . Mudah untuk menyemak apakah punca polinomial.
Jika 1 atau -1 bukan punca polinomial, maka kita teruskan.
Untuk polinomial darjah terkurang (iaitu, polinomial di mana pekali utama ialah pekali pada - sama dengan satu) Formula Vieta adalah sah:
Di manakah punca polinomial.
Terdapat juga formula Vieta mengenai baki pekali polinomial, tetapi kami berminat dengan yang ini.
Daripada formula Vieta ini ia mengikutinya jika punca polinomial ialah integer, maka ia adalah pembahagi bagi sebutan bebasnya, yang juga merupakan integer.
Berdasarkan ini, kita perlu memfaktorkan istilah bebas polinomial ke dalam faktor, dan secara berurutan, daripada yang terkecil kepada yang terbesar, semak faktor yang manakah merupakan punca polinomial.
Pertimbangkan, sebagai contoh, polinomial
Pembahagi tempoh percuma: ;
;
Jumlah pekali untuk kuasa genap:
Jumlah pekali untuk kuasa ganjil:
Oleh itu, nombor -1 juga bukan punca polinomial.
Mari kita semak sama ada nombor 2 ialah punca polinomial: oleh itu, nombor 2 ialah punca polinomial. Ini bermakna, mengikut teorem Bezout, polinomial boleh dibahagikan dengan binomial tanpa baki.
2. Cara membahagi polinomial kepada binomial.
Polinomial boleh dibahagikan kepada binomial dengan lajur.
Bahagikan polinomial dengan binomial menggunakan lajur:
Terdapat satu lagi cara untuk membahagi polinomial dengan binomial - skema Horner.
Tonton video ini untuk memahami bagaimana untuk membahagi polinomial dengan binomial dengan lajur, dan menggunakan gambar rajah Horner.
Saya perhatikan bahawa jika, apabila membahagikan dengan lajur, beberapa darjah yang tidak diketahui hilang dalam polinomial asal, kita menulis 0 di tempatnya - dengan cara yang sama seperti semasa menyusun jadual untuk skema Horner.
Jadi, jika kita perlu membahagikan polinomial dengan binomial dan sebagai hasil pembahagian kita mendapat polinomial, maka kita boleh mencari pekali polinomial menggunakan skema Horner:
Kita juga boleh menggunakan Skim Horner untuk menyemak sama ada ia nombor yang diberi punca polinomial: jika nombor ialah punca polinomial, maka bakinya apabila membahagi polinomial dengan adalah sama dengan sifar, iaitu, dalam lajur terakhir baris kedua rajah Horner kita mendapat 0.
Menggunakan skema Horner, kami "membunuh dua burung dengan satu batu": kami serentak menyemak sama ada nombor itu adalah punca polinomial dan membahagikan polinomial ini dengan binomial.
Contoh. Selesaikan persamaan:
1. Mari kita tuliskan pembahagi bagi sebutan bebas dan cari punca polinomial di antara pembahagi sebutan bebas.
Pembahagi 24:
2. Mari kita semak sama ada nombor 1 ialah punca polinomial.
Jumlah pekali polinomial, oleh itu, nombor 1 ialah punca polinomial.
3. Bahagikan polinomial asal kepada binomial menggunakan skema Horner.
A) Mari kita tuliskan pekali polinomial asal dalam baris pertama jadual.
Oleh kerana istilah yang mengandungi tiada, dalam lajur jadual di mana pekali harus ditulis kita tulis 0. Di sebelah kiri kita tulis punca yang ditemui: nombor 1.
B) Isikan baris pertama jadual.
Dalam lajur terakhir, seperti yang dijangkakan, kami mendapat sifar; kami membahagikan polinomial asal dengan binomial tanpa baki. Pekali polinomial yang terhasil daripada pembahagian ditunjukkan dalam warna biru dalam baris kedua jadual:
Sangat mudah untuk menyemak bahawa nombor 1 dan -1 bukan punca polinomial
B) Mari kita sambung jadual. Mari kita semak sama ada nombor 2 ialah punca polinomial:
Jadi darjah polinomial, yang diperoleh hasil pembahagian dengan satu, adalah kurang daripada darjah polinomial asal, oleh itu, bilangan pekali dan bilangan lajur adalah kurang satu.
Dalam lajur terakhir kami mendapat -40 - nombor, bukan sama dengan sifar Oleh itu, polinomial boleh dibahagikan dengan binomial dengan baki, dan nombor 2 bukan punca polinomial.
C) Mari kita semak sama ada nombor -2 ialah punca polinomial. Oleh kerana percubaan sebelumnya gagal, untuk mengelakkan kekeliruan dengan pekali, saya akan memadamkan baris yang sepadan dengan percubaan ini:
Hebat! Kami mendapat sifar sebagai baki, oleh itu, polinomial dibahagikan kepada binomial tanpa baki, oleh itu, nombor -2 ialah punca polinomial. Pekali polinomial yang diperoleh dengan membahagikan polinomial dengan binomial ditunjukkan dalam warna hijau dalam jadual.
Hasil perpecahan yang kami dapat trinomial kuadratik 
, yang akarnya boleh didapati dengan mudah menggunakan teorem Vieta:
Jadi, punca-punca persamaan asal ialah:
{
}
Jawapan: ( 
}
Mari kita mulakan dengan beberapa definisi. Polinomial n darjah (atau urutan ke-1) kami akan memanggil ungkapan bentuk $P_n(x)=\sum\limits_(i=0)^(n)a_(i)x^(n-i)=a_(0)x^( n) +a_(1)x^(n-1)+a_(2)x^(n-2)+\ldots+a_(n-1)x+a_n$. Sebagai contoh, ungkapan $4x^(14)+87x^2+4x-11$ ialah polinomial yang darjahnya ialah $14$. Ia boleh dilambangkan seperti berikut: $P_(14)(x)=4x^(14)+87x^2+4x-11$.
Pekali $a_0$ dipanggil pekali utama bagi polinomial $P_n(x)$. Sebagai contoh, untuk polinomial $4x^(14)+87x^2+4x-11$ pekali pendahulu ialah $4$ (nombor sebelum $x^(14)$). Nombor $a_n$ dipanggil sebutan bebas bagi polinomial $P_n(x)$. Contohnya, untuk $4x^(14)+87x^2+4x-11$ istilah percuma ialah $(-11)$. Sekarang mari kita beralih kepada teorem yang, sebenarnya, pembentangan bahan pada halaman ini akan berdasarkan.
Untuk mana-mana dua polinomial $P_n(x)$ dan $G_m(x)$, seseorang boleh mencari polinomial $Q_p(x)$ dan $R_k(x)$ supaya kesamaan
\begin(persamaan) P_n(x)=G_m(x)\cdot Q_p(x)+R_k(x) \end(persamaan)
dan $k< m$.
Frasa "bahagi polinomial $P_n(x)$ dengan polinomial $G_m(x)$" bermaksud "mewakili polinomial $P_n(x)$ dalam bentuk (1)." Kami akan memanggil polinomial $P_n(x)$ boleh bahagi, polinomial $G_m(x)$ pembahagi, polinomial $Q_p(x)$ hasil bahagi $P_n(x)$ dengan $G_m(x)$ , dan polinomial $ R_k(x)$ - baki daripada pembahagian $P_n(x)$ sebanyak $G_m(x)$. Sebagai contoh, untuk polinomial $P_6(x)=12x^6+3x^5+16x^4+6x^3+8x^2+2x+1$ dan $G_4(x)=3x^4+4x^2 +2 $ anda boleh mendapatkan kesamaan berikut:
$$ 12x^6+3x^5+16x^4+6x^3+8x^2+2x+1=(3x^4+4x^2+2)(4x^2+x)+2x^3+1 $$
Di sini polinomial $P_6(x)$ boleh dibahagikan, polinomial $G_4(x)$ ialah pembahagi, polinomial $Q_2(x)=4x^2+x$ ialah hasil bagi $P_6(x)$ dibahagikan dengan $G_4(x) $, dan polinomial $R_3(x)=2x^3+1$ ialah baki pembahagian $P_6(x)$ dengan $G_4(x)$. Ambil perhatian bahawa darjah baki (iaitu 3) adalah kurang daripada darjah pembahagi (iaitu 4), oleh itu syarat kesamaan dipenuhi.
Jika $R_k(x)\equiv 0$, maka polinomial $P_n(x)$ dikatakan boleh dibahagikan dengan polinomial $G_m(x)$ tanpa baki. Sebagai contoh, polinomial $21x^6+6x^5+105x^2+30x$ boleh dibahagikan dengan polinomial $3x^4+15$ tanpa baki, kerana kesamaan itu dipenuhi:
$$ 21x^6+6x^5+105x^2+30x=(3x^4+15)\cdot(7x^2+2x) $$
Di sini polinomial $P_6(x)=21x^6+6x^5+105x^2+30x$ boleh dibahagikan; polinomial $G_4(x)=3x^4+15$ - pembahagi; dan polinomial $Q_2(x)=7x^2+2x$ ialah hasil bagi $P_6(x)$ dibahagikan dengan $G_4(x)$. Bakinya adalah sifar.
Untuk membahagikan polinomial kepada polinomial, pembahagian dengan "lajur" atau, kerana ia juga dipanggil, "sudut" sering digunakan. Mari kita lihat pelaksanaan kaedah ini menggunakan contoh.
Sebelum beralih kepada contoh, saya akan memperkenalkan satu istilah lagi. Dia tidak diterima umum, dan kami akan menggunakannya semata-mata untuk kemudahan menyampaikan bahan. Untuk seluruh halaman ini, kami akan memanggil elemen tertinggi polinomial $P_n(x)$ ungkapan $a_(0)x^(n)$. Sebagai contoh, untuk polinomial $4x^(14)+87x^2+4x-11$ unsur utama ialah $4x^(14)$.
Contoh No 1
Bahagikan $10x^5+3x^4-12x^3+25x^2-2x+5$ dengan $5x^2-x+2$ menggunakan pembahagian panjang.
Jadi kita mempunyai dua polinomial, $P_5(x)=10x^5+3x^4-12x^3+25x^2-2x+5$ dan $G_2(x)=5x^2-x+2$. Darjah yang pertama ialah $5$, dan darjah yang kedua ialah $2$. Polinomial $P_5(x)$ ialah dividen, dan polinomial $G_2(x)$ ialah pembahagi. Tugas kita ialah mencari hasil bagi dan baki. Kami akan menyelesaikan masalah langkah demi langkah. Kami akan menggunakan tatatanda yang sama seperti untuk membahagi nombor:
Langkah pertama
Mari kita bahagikan unsur tertinggi bagi polinomial $P_5(x)$ (iaitu $10x^5$) dengan unsur tertinggi bagi polinomial $Q_2(x)$ (iaitu $5x^2$):
$$ \frac(10x^5)(5x^2)=2x^(5-2)=2x^3. $$
Ungkapan yang terhasil $2x^3$ ialah elemen pertama hasil bagi:
Darabkan polinomial $5x^2-x+2$ dengan $2x^3$, memperoleh:
$$ 2x^3\cdot (5x^2-x+2)=10x^5-2x^4+4x^3 $$
Mari tuliskan hasilnya:
Sekarang tolak daripada polinomial $10x^5+3x^4-12x^3+25x^2-2x+5$ polinomial $10x^5-2x^4+4x^3$:
$$ 10x^5+3x^4-12x^3+25x^2-2x+5-(10x^5-2x^4+4x^3)=5x^4-16x^3+25x^2-2x+ 5 $$
Ini menyimpulkan langkah pertama. Hasil yang kami dapat boleh ditulis dalam bentuk yang diperluaskan:
$$ 10x^5+3x^4-12x^3+25x^2-2x+5=(5x^2-x+2)\cdot 2x^3+5x^4-16x^3+25x^2-2x +5 $$
Oleh kerana darjah polinomial ialah $5x^4-16x^3+25x^2-2x+5$ (iaitu 4) lebih ijazah polinomial $5x^2-x+2$ (iaitu 2), maka proses pembahagian mesti diteruskan. Mari kita teruskan ke langkah kedua.
Langkah kedua
Sekarang kita akan bekerja dengan polinomial $5x^4-16x^3+25x^2-2x+5$ dan $5x^2-x+2$. Dengan cara yang sama seperti dalam langkah pertama, kita membahagikan unsur tertinggi polinomial pertama (iaitu $5x^4$) dengan unsur tertinggi polinomial kedua (iaitu $5x^2$):
$$ \frac(5x^4)(5x^2)=x^(4-2)=x^2. $$
Ungkapan yang terhasil $x^2$ ialah unsur kedua bagi hasil bagi. Mari tambah $x^2$ pada hasil bagi
Darabkan polinomial $5x^2-x+2$ dengan $x^2$, memperoleh:
$$ x^2\cdot (5x^2-x+2)=5x^4-x^3+2x^2 $$
Mari tuliskan hasilnya:
Sekarang tolak daripada polinomial $5x^4-16x^3+25x^2-2x+5$ polinomial $5x^4-x^3+2x^2$:
$$ 5x^4-16x^3+25x^2-2x+5-(5x^4-x^3+2x^2)=-15x^3+23x^2-2x+5 $$
Mari tambahkan polinomial ini di bawah baris:
Ini menamatkan langkah kedua. Hasil yang diperoleh boleh ditulis dalam bentuk yang diperluaskan:
$$ 10x^5+3x^4-12x^3+25x^2-2x+5=(5x^2-x+2)\cdot (2x^3+x^2)-15x^3+23x^2 -2x+5 $$
Oleh kerana darjah polinomial $-15x^3+23x^2-2x+5$ (iaitu 3) adalah lebih besar daripada darjah polinomial $5x^2-x+2$ (iaitu 2), kami meneruskan pembahagian proses. Mari kita teruskan ke langkah ketiga.
Langkah ketiga
Sekarang kita akan bekerja dengan polinomial $-15x^3+23x^2-2x+5$ dan $5x^2-x+2$. Dengan cara yang sama seperti dalam langkah sebelumnya, kita membahagikan unsur tertinggi polinomial pertama (iaitu $-15x^3$) dengan unsur tertinggi polinomial kedua (iaitu $5x^2$):
$$ \frac(-15x^3)(5x^2)=-3x^(2-1)=-3x^1=-3x. $$
Ungkapan yang terhasil $(-3x)$ ialah elemen ketiga hasil bagi. Mari tambah $-3x$ pada hasil bagi
Darabkan polinomial $5x^2-x+2$ dengan $(-3x)$, memperoleh:
$$ -3x\cdot (5x^2-x+2)=-15x^3+3x^2-6x $$
Mari tuliskan hasilnya:
Sekarang tolak polinomial $-15x^3+3x^2-6x$ daripada polinomial $-15x^3+23x^2-2x+5$:
$$ -15x^3+23x^2-2x+5-(-15x^3+3x^2-6x)=20x^2+4x+5 $$
Mari tambahkan polinomial ini di bawah baris:
Ini menamatkan langkah ketiga. Hasil yang diperoleh boleh ditulis dalam bentuk yang diperluaskan:
$$ 10x^5+3x^4-12x^3+25x^2-2x+5=(5x^2-x+2)\cdot (2x^3+x^2-3x)+20x^2+4x +5 $$
Oleh kerana darjah polinomial $20x^2+4x+5$ (iaitu 2) adalah sama dengan darjah polinomial $5x^2-x+2$ (iaitu 2), kami meneruskan proses pembahagian. Mari kita teruskan ke langkah keempat.
Langkah keempat
Sekarang kita akan bekerja dengan polinomial $20x^2+4x+5$ dan $5x^2-x+2$. Dengan cara yang sama seperti dalam langkah sebelumnya, kita membahagikan unsur tertinggi polinomial pertama (iaitu $20x^2$) dengan unsur tertinggi polinomial kedua (iaitu $5x^2$):
$$ \frac(20x^2)(5x^2)=4x^(2-2)=4x^0=4. $$
Nombor $4$ yang terhasil ialah unsur keempat hasil bagi. Mari tambah $4$ pada hasil bagi
Darabkan polinomial $5x^2-x+2$ dengan $4$, memperoleh:
$$ 4\cdot (5x^2-x+2)=20x^2-4x+8 $$
Mari tuliskan hasilnya:
Sekarang tolak polinomial $20x^2-4x+8$ daripada polinomial $20x^2+4x+5$:
$$ 20x^2+4x+5-(20x^2-4x+8)=8x-3 $$
Kami akan menambah polinomial ini di bawah garisan.
Menggunakan ini program matematik anda boleh membahagi polinomial dengan lajur.
Program untuk membahagikan polinomial dengan polinomial bukan sahaja memberikan jawapan kepada masalah, ia memberi penyelesaian terperinci dengan penjelasan, i.e. memaparkan proses penyelesaian untuk menguji pengetahuan dalam matematik dan/atau algebra.
Program ini mungkin berguna untuk pelajar sekolah menengah sekolah menengah sebagai persediaan untuk ujian dan peperiksaan, apabila menguji pengetahuan sebelum Peperiksaan Negeri Bersepadu, untuk ibu bapa mengawal penyelesaian banyak masalah dalam matematik dan algebra. Atau mungkin terlalu mahal untuk anda mengupah tutor atau membeli buku teks baharu? Atau adakah anda hanya mahu menyelesaikannya secepat mungkin? kerja rumah
dalam matematik atau algebra? Dalam kes ini, anda juga boleh menggunakan program kami dengan penyelesaian terperinci. Dengan cara ini anda boleh menjalankan latihan dan/atau latihan anda sendiri. adik-adik lelaki
atau saudara perempuan, manakala tahap pendidikan dalam bidang masalah yang diselesaikan meningkat. Jika anda memerlukan atau permudahkan polinomial atau darab polinomial
Contohnya: 3x-1 Bahagikan polinomial
Telah didapati bahawa beberapa skrip yang diperlukan untuk menyelesaikan masalah ini tidak dimuatkan, dan program mungkin tidak berfungsi.
Anda mungkin telah mendayakan AdBlock.
JavaScript dilumpuhkan dalam penyemak imbas anda.
Untuk penyelesaian muncul, anda perlu mendayakan JavaScript.
Berikut ialah arahan tentang cara mendayakan JavaScript dalam penyemak imbas anda.
Kerana Terdapat ramai orang yang bersedia untuk menyelesaikan masalah, permintaan anda telah beratur.
Dalam beberapa saat penyelesaian akan muncul di bawah. Sila tunggu
sek... jika anda perasan ralat dalam penyelesaian
, maka anda boleh menulis tentang perkara ini dalam Borang Maklum Balas. jangan lupa nyatakan tugasan yang mana anda tentukan apa.
masuk dalam ladang
Permainan, teka-teki, emulator kami:
Sedikit teori.
Membahagi polinomial kepada polinomial (binomial) dengan lajur (penjuru) Dalam algebra membahagi polinomial dengan lajur (penjuru)
Algoritma pembahagian polinomial demi polinomial ialah bentuk umum pembahagian lajur nombor yang boleh dilaksanakan dengan mudah dengan tangan.
Untuk sebarang polinomial \(f(x) \) dan \(g(x) \), \(g(x) \neq 0 \), terdapat polinomial unik \(q(x) \) dan \(r( x ) \), sedemikian
\(\frac(f(x))(g(x)) = q(x)+\frac(r(x))(g(x)) \)
dan \(r(x)\) mempunyai darjah yang lebih rendah daripada \(g(x)\).
Matlamat algoritma untuk membahagikan polinomial kepada lajur (penjuru) adalah untuk mencari hasil bahagi \(q(x) \) dan baki \(r(x) \) bagi dividen yang diberi \(f(x) \) dan pembahagi bukan sifar \(g(x) \)
Contoh
Mari bahagikan satu polinomial dengan polinomial lain (binomial) menggunakan lajur (penjuru):
\(\besar \frac(x^3-12x^2-42)(x-3) \)
Hasil bagi dan baki polinomial ini boleh didapati dengan melakukan langkah-langkah berikut:
1. Bahagikan elemen pertama dividen dengan elemen tertinggi pembahagi, letakkan hasilnya di bawah garis \((x^3/x = x^2)\)
|
3. Tolak polinomial yang diperoleh selepas pendaraban daripada dividen, tulis hasilnya di bawah garis \((x^3-12x^2+0x-42-(x^3-3x^2)=-9x^2+0x- 42) \)
|
|
4. Ulang 3 langkah sebelumnya, menggunakan polinomial yang ditulis di bawah garis sebagai dividen.
|
|
5. Ulang langkah 4.
|
|
6. Tamat algoritma.
Oleh itu, polinomial \(q(x)=x^2-9x-27\) ialah hasil bagi pembahagian polinomial, dan \(r(x)=-123\) ialah baki pembahagian polinomial.
Hasil pembahagian polinomial boleh ditulis dalam bentuk dua kesamaan:
\(x^3-12x^2-42 = (x-3)(x^2-9x-27)-123\)
atau
\(\besar(\frac(x^3-12x^2-42)(x-3)) = x^2-9x-27 + \besar(\frac(-123)(x-3)) \)