- apotema- ketinggian muka sisi piramid biasa, yang ditarik dari bucunya (selain itu, apotema ialah panjang serenjang, yang diturunkan dari tengah poligon biasa ke salah satu sisinya);
- muka sebelah (ASB, BSC, CSD, DSA) - segi tiga yang bertemu di puncak;
- rusuk sisi ( AS , B.S. , C.S. , D.S. ) — sisi biasa muka sisi;
- bahagian atas piramid (t. S) - titik yang menghubungkan rusuk sisi dan yang tidak terletak pada satah pangkalan;
- ketinggian ( JADI ) - segmen serenjang yang ditarik melalui bahagian atas piramid ke satah asasnya (hujung segmen sedemikian akan menjadi bahagian atas piramid dan pangkal serenjang);
- bahagian pepenjuru piramid- bahagian piramid yang melalui bahagian atas dan pepenjuru tapak;
- asas (ABCD) - poligon yang tidak tergolong dalam bucu piramid.
Sifat-sifat piramid.
1. Apabila semua tepi sisi mempunyai saiz yang sama, maka:
- adalah mudah untuk menggambarkan bulatan berhampiran dasar piramid, dan bahagian atas piramid akan diunjurkan ke tengah bulatan ini;
- rusuk sisi membentuk sudut yang sama dengan satah asas;
- Selain itu, sebaliknya juga benar, i.e. apabila rusuk sisi membentuk sudut yang sama dengan satah tapak, atau apabila bulatan boleh diterangkan di sekeliling pangkal piramid dan bahagian atas piramid akan diunjurkan ke tengah bulatan ini, ini bermakna semua tepi sisi daripada piramid adalah sama saiz.
2. Apabila muka sisi mempunyai sudut kecondongan kepada satah tapak dengan nilai yang sama, maka:
- adalah mudah untuk menggambarkan bulatan berhampiran dasar piramid, dan bahagian atas piramid akan diunjurkan ke tengah bulatan ini;
- ketinggian muka sisi adalah sama panjang;
- luas permukaan sisi adalah sama dengan ½ hasil darab perimeter tapak dan tinggi muka sisi.
3. Sfera boleh diterangkan mengelilingi piramid jika di dasar piramid terdapat poligon di sekelilingnya boleh diterangkan bulatan (keadaan yang perlu dan mencukupi). Pusat sfera akan menjadi titik persilangan satah yang melalui bahagian tengah tepi piramid yang berserenjang dengannya. Daripada teorem ini kita membuat kesimpulan bahawa sfera boleh diterangkan di sekeliling mana-mana segi tiga dan di sekeliling mana-mana piramid biasa.
4. Sfera boleh ditulis ke dalam piramid jika satah pembahagi dua sudut dihedral dalaman piramid itu bersilang pada titik pertama (keadaan yang perlu dan mencukupi). Titik ini akan menjadi pusat sfera.
Piramid paling ringkas.
Berdasarkan bilangan sudut, tapak piramid dibahagikan kepada segi tiga, segi empat, dan seterusnya.
Akan ada piramid segi tiga, segi empat, dan seterusnya, apabila tapak piramid ialah segi tiga, segi empat, dan seterusnya. Piramid segi tiga ialah tetrahedron - tetrahedron. Empat segi empat - pentagonal dan sebagainya.
Hipotesis: kami percaya bahawa kesempurnaan bentuk piramid adalah disebabkan oleh hukum matematik yang wujud dalam bentuknya.
Sasaran: Setelah mengkaji piramid sebagai jasad geometri, terangkan kesempurnaan bentuknya.
Tugasan:
1. Berikan definisi matematik bagi piramid.
2. Kaji piramid sebagai jasad geometri.
3. Fahami apakah pengetahuan matematik yang dimasukkan oleh orang Mesir ke dalam piramid mereka.
Soalan peribadi:
1. Apakah piramid sebagai jasad geometri?
2. Bagaimanakah bentuk unik piramid itu boleh dijelaskan dari sudut matematik?
3. Apakah yang menerangkan keajaiban geometri piramid?
4. Apakah yang menerangkan kesempurnaan bentuk piramid?
Definisi piramid.
PIRAMID (daripada piramid Yunani, gen. pyramidos) - polihedron yang tapaknya ialah poligon, dan muka selebihnya ialah segi tiga yang mempunyai bucu sepunya (lukisan). Berdasarkan bilangan sudut tapak, piramid dikelaskan sebagai segi tiga, segi empat, dsb.
PIRAMID - struktur monumental yang mempunyai bentuk geometri piramid (kadang-kadang juga berpijak atau berbentuk menara). Piramid adalah nama yang diberikan kepada makam gergasi firaun Mesir kuno pada milenium ke-3-2 SM. e., serta alas kuil kuno Amerika (di Mexico, Guatemala, Honduras, Peru), yang dikaitkan dengan kultus kosmologi.
Ada kemungkinan bahawa perkataan Yunani "piramid" berasal dari ungkapan Mesir per-em-us, iaitu, dari istilah yang bermaksud ketinggian piramid. Ahli Mesir terkenal Rusia V. Struve percaya bahawa "puram...j" Yunani berasal dari "p"-mr" Mesir kuno.
Dari sejarah. Setelah mempelajari bahan dalam buku teks "Geometri" oleh pengarang Atanasyan. Butuzov dan lain-lain, kami mengetahui bahawa: Polihedron yang terdiri daripada n-gon A1A2A3 ... An dan n segi tiga PA1A2, PA2A3, ..., PAnA1 dipanggil piramid. Poligon A1A2A3...An ialah tapak piramid, dan segi tiga PA1A2, PA2A3,..., PAnA1 ialah muka sisi piramid, P ialah bahagian atas piramid, segmen PA1, PA2,.. ., PAn ialah tepi sisi.
Walau bagaimanapun, definisi piramid ini tidak selalu wujud. Sebagai contoh, ahli matematik Yunani purba, pengarang risalah teori tentang matematik yang telah diturunkan kepada kita, Euclid, mentakrifkan piramid sebagai angka pepejal yang dibatasi oleh satah yang menumpu dari satu satah ke satu titik.
Tetapi definisi ini telah dikritik pada zaman dahulu. Jadi Heron mencadangkan definisi piramid berikut: "Ia adalah angka yang dibatasi oleh segi tiga yang menumpu pada satu titik dan tapaknya ialah poligon."
Kumpulan kami, setelah membandingkan definisi ini, membuat kesimpulan bahawa mereka tidak mempunyai rumusan yang jelas tentang konsep "asas".
Kami meneliti definisi ini dan mendapati definisi Adrien Marie Legendre, yang pada tahun 1794 dalam karyanya "Elements of Geometry" mentakrifkan piramid seperti berikut: "Piramid ialah bentuk pepejal yang dibentuk oleh segitiga yang menumpu pada satu titik dan berakhir pada sisi yang berbeza tapak yang rata.”
Nampaknya kepada kita definisi terakhir memberikan gambaran yang jelas tentang piramid, kerana ia bercakap tentang fakta bahawa pangkalannya rata. Takrifan lain tentang piramid muncul dalam buku teks abad ke-19: "piramid ialah sudut pepejal yang bersilang dengan satah."
Piramid sebagai jasad geometri.
Itu. Piramid ialah polihedron, salah satu mukanya (pangkal) adalah poligon, baki muka (sisi) adalah segi tiga yang mempunyai satu bucu sepunya (bucu piramid).
Serenjang yang dilukis dari bahagian atas piramid ke satah tapak dipanggil ketinggianh piramid.
Sebagai tambahan kepada piramid sewenang-wenangnya, terdapat piramid yang betul di pangkalnya ialah poligon sekata dan piramid terpotong.
Dalam rajah itu terdapat piramid PABCD, ABCD ialah tapaknya, PO ialah ketinggiannya.
Jumlah luas permukaan piramid ialah jumlah luas semua mukanya.
Penuh = Sside + Smain, di mana sebelah– jumlah kawasan muka sisi.
Isipadu piramid didapati dengan formula:
V=1/3Sbas. h, di mana Sbas. - kawasan asas, h- ketinggian.
 |
|
Apothem ST ialah ketinggian muka sisi piramid biasa.
Luas muka sisi piramid biasa dinyatakan seperti berikut: Sside. =1/2P h, di mana P ialah perimeter tapak, h- ketinggian muka sisi (apotema piramid biasa). Jika piramid bersilang dengan satah A’B’C’D’, selari dengan tapak, maka:
1) rusuk sisi dan ketinggian dibahagikan oleh satah ini kepada bahagian berkadar;
2) dalam keratan rentas poligon A'B'C'D' diperolehi, serupa dengan tapak;
https://pandia.ru/text/78/390/images/image017_1.png" width="287" height="151">
Pangkalan piramid terpotong– poligon serupa ABCD dan A`B`C`D`, muka sisi ialah trapezoid.
Ketinggian piramid terpotong - jarak antara tapak.
Kelantangan terpotong piramid didapati dengan formula:
V=1/3 h(S + https://pandia.ru/text/78/390/images/image019_2.png" align="left" width="91" height="96"> Luas permukaan sisi piramid terpotong biasa dinyatakan seperti berikut: Sside = ½(P+P') h, dengan P dan P’ ialah perimeter tapak, h- ketinggian muka sisi (apotema pirami terpotong biasa
Bahagian-bahagian piramid.
Bahagian piramid oleh satah yang melalui puncaknya ialah segi tiga.
Bahagian yang melalui dua tepi sisi bukan bersebelahan piramid dipanggil bahagian pepenjuru.
Jika bahagian itu melalui satu titik di tepi sisi dan sisi tapak, maka jejaknya ke satah asas piramid akan menjadi sisi ini.
Bahagian yang melalui satu titik yang terletak di muka piramid dan bahagian yang diberi kesan pada satah asas, maka pembinaan hendaklah dijalankan seperti berikut:
· cari titik persilangan satah muka tertentu dan jejak bahagian piramid dan tentukannya;
· membina garis lurus yang melalui titik tertentu dan titik persilangan yang terhasil;
· ulangi langkah ini untuk muka seterusnya.
, yang sepadan dengan nisbah kaki segi tiga tepat 4:3. Nisbah kaki ini sepadan dengan segi tiga tepat yang terkenal dengan sisi 3:4:5, yang dipanggil segitiga "sempurna", "suci" atau "Mesir". Menurut ahli sejarah, segitiga "Mesir" diberi makna ajaib. Plutarch menulis bahawa orang Mesir membandingkan sifat alam semesta dengan segitiga "suci"; mereka secara simbolik menyamakan kaki menegak kepada suami, pangkal kepada isteri, dan hipotenus dengan yang lahir daripada kedua-duanya.
Untuk segi tiga 3:4:5, kesamaan adalah benar: 32 + 42 = 52, yang menyatakan teorem Pythagoras. Bukankah teorem ini yang ingin dikekalkan oleh imam Mesir apabila mereka membina piramid berdasarkan segitiga 3:4:5? Sukar untuk mencari contoh yang lebih berjaya untuk menggambarkan teorem Pythagoras, yang diketahui oleh orang Mesir lama sebelum penemuannya oleh Pythagoras.
Oleh itu, pencipta piramid Mesir yang cemerlang berusaha untuk memukau keturunan jauh dengan kedalaman pengetahuan mereka, dan mereka mencapai ini dengan memilih segi tiga tepat "emas" sebagai "idea geometri utama" untuk piramid Cheops, dan "suci" atau "Mesir" untuk piramid Khafre.
Selalunya dalam penyelidikan mereka, saintis menggunakan sifat piramid dengan nisbah Emas.
Kamus ensiklopedia matematik memberikan takrifan Bahagian Emas berikut - ini ialah pembahagian harmonik, pembahagian dalam nisbah ekstrem dan min - membahagikan segmen AB kepada dua bahagian dengan cara yang bahagian ACnya yang lebih besar ialah berkadar purata antara keseluruhan segmen AB dan bahagian yang lebih kecil NE.
Penentuan algebra bagi bahagian Emas bagi suatu segmen AB = a berkurang untuk menyelesaikan persamaan a: x = x: (a – x), yang mana x adalah lebih kurang sama dengan 0.62a. Nisbah x boleh dinyatakan sebagai pecahan 2/3, 3/5, 5/8, 8/13, 13/21...= 0.618, di mana 2, 3, 5, 8, 13, 21 ialah nombor Fibonacci.
Pembinaan geometri Bahagian Emas segmen AB dijalankan seperti berikut: pada titik B berserenjang dengan AB dipulihkan, segmen BE = 1/2 AB dibentangkan di atasnya, A dan E disambungkan, DE = BE diberhentikan dan, akhirnya, AC = AD, maka kesamaan AB dipenuhi: CB = 2:3.
Nisbah emas sering digunakan dalam karya seni, seni bina, dan terdapat dalam alam semula jadi. Contoh yang jelas ialah arca Apollo Belvedere dan Parthenon. Semasa pembinaan Parthenon, nisbah ketinggian bangunan kepada panjangnya digunakan dan nisbah ini ialah 0.618. Objek di sekeliling kita juga memberikan contoh Nisbah Emas, sebagai contoh, pengikatan banyak buku mempunyai nisbah lebar-ke-panjang hampir kepada 0.618. Memandangkan susunan daun pada batang tumbuhan biasa, anda dapat melihat bahawa antara setiap dua pasang daun yang ketiga terletak pada Nisbah Emas (slaid). Setiap daripada kita "membawa" Nisbah Emas bersama kita "di tangan kita" - ini adalah nisbah falang jari.
Terima kasih kepada penemuan beberapa papirus matematik, ahli Mesir telah mempelajari sesuatu tentang sistem pengiraan dan pengukuran Mesir purba. Tugas-tugas yang terkandung di dalamnya telah diselesaikan oleh jurutulis. Salah satu yang paling terkenal ialah Papirus Matematik Rhind. Dengan mengkaji masalah ini, ahli Mesir mengetahui bagaimana orang Mesir purba menangani pelbagai kuantiti yang timbul semasa mengira ukuran berat, panjang dan isipadu, yang sering melibatkan pecahan, serta cara mereka mengendalikan sudut.
Orang Mesir purba menggunakan kaedah pengiraan sudut berdasarkan nisbah ketinggian kepada tapak segi tiga tepat. Mereka menyatakan sebarang sudut dalam bahasa kecerunan. Kecerunan cerun dinyatakan sebagai nisbah nombor bulat yang dipanggil "seced". Dalam Mathematics in the Age of the Pharaohs, Richard Pillins menerangkan: “Seked of a regular pyramid ialah kecenderungan mana-mana daripada empat segi tiga muka ke satah tapak, diukur dengan bilangan ke-n unit mendatar setiap unit menegak kenaikan. . Oleh itu, unit ukuran ini adalah bersamaan dengan kotangen moden kita bagi sudut kecenderungan. Oleh itu, perkataan Mesir "seced" berkaitan dengan perkataan moden kita "gradient."
Kunci berangka kepada piramid terletak pada nisbah ketinggiannya kepada tapak. Dari segi praktikal, ini adalah cara paling mudah untuk membuat templat yang diperlukan untuk sentiasa menyemak sudut kecenderungan yang betul sepanjang pembinaan piramid.
Pakar Mesir akan gembira untuk meyakinkan kita bahawa setiap firaun ingin menyatakan keperibadiannya, oleh itu perbezaan sudut kecenderungan untuk setiap piramid. Tetapi mungkin ada sebab lain. Mungkin mereka semua mahu mewujudkan persatuan simbolik yang berbeza, tersembunyi dalam perkadaran yang berbeza. Walau bagaimanapun, sudut piramid Khafre (berdasarkan segitiga (3:4:5) muncul dalam tiga masalah yang dikemukakan oleh piramid dalam Papirus Matematik Rhind). Jadi sikap ini telah diketahui oleh orang Mesir kuno.
Untuk bersikap adil kepada ahli Mesir yang mendakwa bahawa orang Mesir purba tidak menyedari segi tiga 3:4:5, panjang hipotenus 5 tidak pernah disebut. Tetapi masalah matematik yang melibatkan piramid sentiasa diselesaikan berdasarkan sudut seceda - nisbah ketinggian kepada tapak. Oleh kerana panjang hipotenus tidak pernah disebut, disimpulkan bahawa orang Mesir tidak pernah mengira panjang sisi ketiga.
Nisbah ketinggian ke tapak yang digunakan dalam piramid Giza sudah pasti diketahui oleh orang Mesir purba. Ada kemungkinan bahawa hubungan ini untuk setiap piramid dipilih secara sewenang-wenangnya. Walau bagaimanapun, ini bercanggah dengan kepentingan yang dilampirkan kepada simbolisme nombor dalam semua jenis seni halus Mesir. Berkemungkinan besar perhubungan sebegitu penting kerana mereka menyatakan idea agama tertentu. Dalam erti kata lain, keseluruhan kompleks Giza telah ditakrifkan kepada reka bentuk koheren yang direka untuk mencerminkan tema ketuhanan tertentu. Ini akan menjelaskan mengapa pereka bentuk memilih sudut yang berbeza untuk tiga piramid.
Dalam The Mystery of Orion, Bauval dan Gilbert membentangkan bukti yang meyakinkan yang mengaitkan piramid Giza dengan buruj Orion, khususnya dengan bintang-bintang Orion's Belt. Buruj yang sama terdapat dalam mitos Isis dan Osiris, dan ada sebab untuk dilihat setiap piramid sebagai representasi salah satu daripada tiga dewa utama - Osiris, Isis dan Horus.
KEAJAIBAN "GEOMETRIKAL".
Di antara piramid Mesir yang megah, ia menduduki tempat yang istimewa Piramid Besar Firaun Cheops (Khufu). Sebelum kita mula menganalisis bentuk dan saiz piramid Cheops, kita harus ingat sistem ukuran yang digunakan oleh orang Mesir. Orang Mesir mempunyai tiga unit panjang: satu "kubit" (466 mm), yang sama dengan tujuh "telapak tangan" (66.5 mm), yang seterusnya, sama dengan empat "jari" (16.6 mm).
Marilah kita menganalisis dimensi piramid Cheops (Rajah 2), berikutan hujah yang diberikan dalam buku indah saintis Ukraine Nikolai Vasyutinsky "The Golden Proportion" (1990).
Kebanyakan penyelidik bersetuju bahawa panjang sisi tapak piramid, sebagai contoh, GF sama dengan L= 233.16 m Nilai ini hampir sama dengan 500 "siku". Pematuhan penuh dengan 500 "siku" akan berlaku jika panjang "siku" dianggap sama dengan 0.4663 m.
Ketinggian piramid ( H) dianggarkan oleh penyelidik dengan pelbagai daripada 146.6 hingga 148.2 m Dan bergantung pada ketinggian piramid yang diterima, semua hubungan unsur geometrinya berubah. Apakah sebab perbezaan anggaran ketinggian piramid? Hakikatnya, secara tegasnya, piramid Cheops telah dipotong. Platform atasnya hari ini berukuran kira-kira 10 ´ 10 m, tetapi satu abad yang lalu ia adalah 6 ´ 6 m Jelas sekali, bahagian atas piramid itu telah dibongkar, dan ia tidak sepadan dengan yang asal.
Apabila menilai ketinggian piramid, perlu mengambil kira faktor fizikal seperti "draf" struktur. Dalam jangka masa yang panjang, di bawah pengaruh tekanan besar (mencapai 500 tan setiap 1 m2 permukaan bawah), ketinggian piramid menurun berbanding ketinggian asalnya.
Apakah ketinggian asal piramid itu? Ketinggian ini boleh dicipta semula dengan mencari "idea geometri" asas piramid.
Rajah 2.
Pada tahun 1837, Kolonel Inggeris G. Wise mengukur sudut kecondongan muka piramid: ia ternyata sama a= 51°51". Nilai ini masih diiktiraf oleh kebanyakan penyelidik hari ini. Nilai sudut yang ditentukan sepadan dengan tangen (tg a), bersamaan dengan 1.27306. Nilai ini sepadan dengan nisbah ketinggian piramid AC kepada separuh asasnya C.B.(Gamb.2), iaitu A.C. / C.B. = H / (L / 2) = 2H / L.
Dan di sini penyelidik terkejut besar!.png" width="25" height="24">= 1.272. Membandingkan nilai ini dengan nilai tg a= 1.27306, kita melihat bahawa nilai-nilai ini sangat rapat antara satu sama lain. Jika kita mengambil sudut a= 51°50", iaitu, kurangkan dengan hanya satu minit arka, kemudian nilainya a akan menjadi sama dengan 1.272, iaitu, ia akan bertepatan dengan nilai. Perlu diingatkan bahawa pada tahun 1840 G. Wise mengulangi pengukurannya dan menjelaskan bahawa nilai sudut a=51°50".
Pengukuran ini membawa penyelidik kepada hipotesis yang sangat menarik berikut: segi tiga ACB piramid Cheops adalah berdasarkan hubungan AC / C.B. = = 1,272!
Pertimbangkan sekarang segi tiga tepat ABC, di mana nisbah kaki A.C. / C.B.= (Gamb. 2). Jika sekarang panjang sisi segi empat tepat ABC tentukan oleh x, y, z, dan juga mengambil kira bahawa nisbah y/x= , maka mengikut teorem Pythagoras, panjangnya z boleh dikira menggunakan formula:
Jika kita terima x = 1, y= https://pandia.ru/text/78/390/images/image027_1.png" width="143" height="27">
Rajah 3."Emas" segi tiga tepat.
Segitiga tegak di mana sisinya berkaitan sebagai t:emas" segi tiga tepat.
Kemudian, jika kita mengambil sebagai asas hipotesis bahawa "idea geometri" utama piramid Cheops ialah segi tiga tepat "emas", maka dari sini kita boleh mengira ketinggian "reka bentuk" piramid Cheops dengan mudah. Ia sama dengan:
H = (L/2) ´ = 148.28 m.
Sekarang mari kita dapatkan beberapa hubungan lain untuk piramid Cheops, yang mengikuti dari hipotesis "emas". Khususnya, kita akan mendapati nisbah kawasan luar piramid kepada luas pangkalannya. Untuk melakukan ini, kami mengambil panjang kaki C.B. seunit, iaitu: C.B.= 1. Tetapi kemudian panjang sisi tapak piramid GF= 2, dan luas tapak EFGH akan sama SEFGH = 4.
Sekarang mari kita mengira luas muka sisi piramid Cheops SD. Kerana ketinggian AB segi tiga AEF sama dengan t, maka luas muka sisi akan sama dengan SD = t. Kemudian jumlah luas semua empat muka sisi piramid akan sama dengan 4 t, dan nisbah jumlah kawasan luar piramid kepada luas tapak akan sama dengan nisbah emas! Ini dia - misteri geometri utama piramid Cheops!
Kumpulan "keajaiban geometri" piramid Cheops termasuk sifat-sifat sebenar dan tidak masuk akal bagi hubungan antara pelbagai dimensi dalam piramid.
Sebagai peraturan, mereka diperolehi untuk mencari "pemalar" tertentu, khususnya, nombor "pi" (nombor Ludolfo), sama dengan 3.14159...; asas logaritma asli "e" (nombor Neperovo), sama dengan 2.71828...; nombor "F", nombor "bahagian emas", sama dengan, sebagai contoh, 0.618... dsb.
Anda boleh menamakan, sebagai contoh: 1) Harta Herodotus: (Ketinggian)2 = 0.5 seni. asas x Apothem; 2) Harta V. Harga: Tinggi: 0.5 seni. asas = Punca kuasa dua "F"; 3) Harta M. Eist: Perimeter tapak: 2 Tinggi = "Pi"; dalam tafsiran yang berbeza - 2 sudu besar. asas : Tinggi = "Pi"; 4) Harta G. Tepi: Jejari bulatan bersurat: 0.5 seni. asas = "F"; 5) Harta K. Kleppisch: (Seni. utama.)2: 2(Seni. utama. x Apotema) = (Seni. utama. W. Apotema) = 2(Seni utama. x Apotema) : ((2 seni). . utama X Apothem) + (v. utama)2). Dan seterusnya. Anda boleh menghasilkan banyak sifat sedemikian, terutamanya jika anda menyambungkan dua piramid bersebelahan. Sebagai contoh, sebagai "Properties of A. Arefyev" boleh disebut bahawa perbezaan dalam jumlah piramid Cheops dan piramid Khafre adalah sama dengan dua kali ganda isipadu piramid Mikerin...
Banyak perkara menarik, khususnya mengenai pembinaan piramid mengikut "nisbah emas", dinyatakan dalam buku oleh D. Hambidge "Simetri dinamik dalam seni bina" dan M. Gick "Estetika perkadaran dalam alam semula jadi dan seni". Mari kita ingat bahawa "nisbah emas" ialah pembahagian segmen dalam nisbah sedemikian sehingga bahagian A adalah sebanyak kali lebih besar daripada bahagian B, berapa kali A lebih kecil daripada keseluruhan segmen A + B. Nisbah A/B dalam kes ini adalah sama dengan nombor "F" == 1.618 .. Penggunaan "nisbah emas" ditunjukkan bukan sahaja dalam piramid individu, tetapi juga dalam keseluruhan kompleks piramid di Giza.
Walau bagaimanapun, perkara yang paling ingin tahu ialah satu dan piramid Cheops yang sama "tidak boleh" mengandungi begitu banyak sifat yang indah. Mengambil harta tertentu satu demi satu, ia boleh "dipasang", tetapi semuanya tidak sesuai - mereka tidak bertepatan, mereka bercanggah antara satu sama lain. Oleh itu, jika, sebagai contoh, apabila menyemak semua sifat, kita pada mulanya mengambil bahagian yang sama pada asas piramid (233 m), maka ketinggian piramid dengan sifat yang berbeza juga akan berbeza. Dalam erti kata lain, terdapat "keluarga" piramid tertentu yang secara luaran serupa dengan Cheops, tetapi mempunyai sifat yang berbeza. Perhatikan bahawa tiada apa-apa yang sangat ajaib dalam sifat "geometrik" - banyak yang timbul secara automatik semata-mata, daripada sifat angka itu sendiri. "Keajaiban" hanya boleh dianggap sesuatu yang jelas mustahil bagi orang Mesir purba. Ini, khususnya, termasuk keajaiban "kosmik", di mana ukuran piramid Cheops atau kompleks piramid di Giza dibandingkan dengan beberapa ukuran astronomi dan nombor "genap" ditunjukkan: sejuta kali kurang, bilion kali kurang, dan seterusnya. Mari kita pertimbangkan beberapa hubungan "kosmik".
Salah satu kenyataan ialah: "jika anda membahagikan sisi tapak piramid dengan panjang tepat tahun itu, anda mendapat tepat 10 persejuta paksi bumi." Kira: bahagikan 233 dengan 365, kita dapat 0.638. Jejari Bumi ialah 6378 km.
Kenyataan lain sebenarnya adalah bertentangan dengan yang sebelumnya. F. Noetling menegaskan bahawa jika kita menggunakan "hasta Mesir" yang dia sendiri cipta, maka sisi piramid akan sepadan dengan "tempoh paling tepat tahun suria, dinyatakan kepada bilion terdekat sehari" - 365.540.903.777 .
Pernyataan P. Smith: "Ketinggian piramid adalah tepat satu bilion jarak dari Bumi ke Matahari." Walaupun ketinggian biasanya diambil ialah 146.6 m, Smith mengambilnya sebagai 148.2 m Menurut ukuran radar moden, paksi separuh utama orbit bumi ialah 149,597,870 + 1.6 km. Ini adalah jarak purata dari Bumi ke Matahari, tetapi pada perihelion ia adalah 5,000,000 kilometer kurang daripada di aphelion.
Satu kenyataan menarik terakhir:
"Bagaimana kita boleh menjelaskan bahawa jisim piramid Cheops, Khafre dan Mykerinus berkait antara satu sama lain, seperti jisim planet Bumi, Zuhrah, Marikh?" Jom kira. Jisim tiga piramid ialah: Khafre - 0.835; Cheops - 1,000; Mikerin - 0.0915. Nisbah jisim tiga planet: Zuhrah - 0.815; Bumi - 1,000; Marikh - 0.108.
Oleh itu, walaupun terdapat keraguan, kami perhatikan keharmonian yang terkenal dalam pembinaan pernyataan: 1) ketinggian piramid, seperti garis "pergi ke angkasa", sepadan dengan jarak dari Bumi ke Matahari; 2) sisi pangkal piramid, paling hampir "dengan substrat," iaitu, dengan Bumi, bertanggungjawab untuk radius bumi dan peredaran bumi; 3) isipadu piramid (baca - jisim) sepadan dengan nisbah jisim planet yang paling dekat dengan Bumi. "Sifir" yang serupa boleh dikesan, sebagai contoh, dalam bahasa lebah yang dianalisis oleh Karl von Frisch. Bagaimanapun, kami akan mengelak daripada mengulas mengenai perkara ini buat masa ini.
BENTUK PIRAMID
Bentuk tetrahedral yang terkenal bagi piramid tidak timbul serta-merta. Orang Scythians membuat pengebumian dalam bentuk bukit tanah - busut. Orang Mesir membina "bukit" batu - piramid. Ini pertama kali berlaku selepas penyatuan Mesir Hulu dan Hilir, pada abad ke-28 SM, apabila pengasas Dinasti Ketiga, Firaun Djoser (Zoser), berdepan dengan tugas mengukuhkan perpaduan negara.
Dan di sini, menurut ahli sejarah, "konsep baru pendewaan" raja memainkan peranan penting dalam mengukuhkan kuasa pusat. Walaupun pengebumian diraja dibezakan oleh kemegahan yang lebih besar, mereka, pada dasarnya, tidak berbeza dari makam para bangsawan istana, mereka adalah struktur yang sama - mastabas. Di atas ruang dengan sarkofagus yang mengandungi mumia, bukit segi empat tepat batu-batu kecil dituangkan, di mana sebuah bangunan kecil yang diperbuat daripada blok batu besar - "mastaba" (dalam bahasa Arab - "bangku") kemudian diletakkan. Firaun Djoser mendirikan piramid pertama di tapak mastaba pendahulunya, Sanakht. Ia telah dipijak dan merupakan peringkat peralihan yang boleh dilihat dari satu bentuk seni bina ke yang lain, dari mastaba ke piramid.
Dengan cara ini, orang bijak dan arkitek Imhotep, yang kemudiannya dianggap sebagai ahli sihir dan dikenal pasti oleh orang Yunani dengan tuhan Asclepius, "meningkatkan" firaun. Seolah-olah enam mastabas didirikan berturut-turut. Selain itu, piramid pertama menduduki kawasan seluas 1125 x 115 meter, dengan ketinggian anggaran 66 meter (mengikut piawaian Mesir - 1000 "tapak tangan"). Pada mulanya, arkitek merancang untuk membina mastaba, tetapi tidak bujur, tetapi segi empat tepat dalam pelan. Kemudian ia dikembangkan, tetapi sejak sambungan dibuat lebih rendah, nampaknya terdapat dua langkah.
Keadaan ini tidak memuaskan arkitek, dan di atas platform atas mastaba rata yang besar, Imhotep meletakkan tiga lagi, secara beransur-ansur menurun ke arah atas. Makam itu terletak di bawah piramid.
Beberapa lagi piramid langkah diketahui, tetapi kemudian pembina berpindah ke membina piramid tetrahedral yang lebih biasa kepada kita. Mengapa, bagaimanapun, bukan segi tiga atau, katakan, segi lapan? Jawapan tidak langsung diberikan oleh fakta bahawa hampir semua piramid berorientasikan sempurna sepanjang empat arah mata angin, dan oleh itu mempunyai empat sisi. Di samping itu, piramid itu adalah "rumah", cangkang ruang pengebumian segi empat tepat.
Tetapi apakah yang menentukan sudut kecondongan muka? Dalam buku "Prinsip Perkadaran" seluruh bab dikhaskan untuk ini: "Apa yang boleh menentukan sudut kecenderungan piramid." Khususnya, ia ditunjukkan bahawa "imej yang digraviti oleh piramid besar Kerajaan Lama adalah segitiga dengan sudut tepat di puncak.
Di ruang angkasa ia adalah separuh oktahedron: piramid di mana tepi dan sisi tapak adalah sama, tepi adalah segi tiga sama sisi." Pertimbangan tertentu diberikan mengenai subjek ini dalam buku Hambidge, Gick dan lain-lain.
Apakah kelebihan sudut separuh oktahedron? Menurut penerangan oleh ahli arkeologi dan ahli sejarah, beberapa piramid runtuh di bawah beratnya sendiri. Apa yang diperlukan ialah "sudut ketahanan", sudut yang paling boleh dipercayai secara bertenaga. Secara empirikal, sudut ini boleh diambil dari sudut bucu dalam timbunan pasir kering yang runtuh. Tetapi untuk mendapatkan data yang tepat, anda perlu menggunakan model. Mengambil empat bola tetap dengan kukuh, anda perlu meletakkan bola kelima padanya dan mengukur sudut kecenderungan. Walau bagaimanapun, anda boleh membuat kesilapan di sini, jadi pengiraan teori membantu: anda harus menyambungkan pusat bola dengan garisan (secara mental). Tapak akan menjadi segi empat sama dengan sisi yang sama dengan dua kali jejari. Segi empat sama akan menjadi asas piramid sahaja, panjang tepinya juga akan sama dengan dua kali jejari.
Oleh itu, pembungkusan bola yang rapat seperti 1:4 akan memberi kita separuh oktahedron biasa.
Walau bagaimanapun, mengapa banyak piramid, tertarik ke arah bentuk yang serupa, namun tidak mengekalkannya? Piramid mungkin semakin tua. Bertentangan dengan pepatah terkenal:
"Semua di dunia takut masa, dan masa takut piramid," bangunan piramid mesti tua, bukan sahaja proses luluhawa luaran boleh dan harus berlaku di dalamnya, tetapi juga proses "pengecutan" dalaman dari mana. piramid mungkin menjadi lebih rendah. Pengecutan juga mungkin kerana, seperti yang didedahkan oleh karya D. Davidovits, orang Mesir kuno menggunakan teknologi membuat blok dari cip kapur, dengan kata lain, dari "konkrit". Ia adalah proses yang sama yang boleh menjelaskan sebab kemusnahan Piramid Medum, yang terletak 50 km di selatan Kaherah. Ia berumur 4600 tahun, dimensi tapak ialah 146 x 146 m, ketinggiannya ialah 118 m. "Mengapa ia sangat cacat?" tanya V. Zamarovsky "Rujukan biasa kepada kesan pemusnahan masa dan "penggunaan batu untuk bangunan lain" tidak sesuai di sini.
Lagipun, kebanyakan blok dan papak menghadapnya kekal di tempatnya hingga ke hari ini, dalam runtuhan di kakinya." Seperti yang akan kita lihat, beberapa peruntukan malah membuatkan kita berfikir bahawa Piramid Cheops yang terkenal juga "kecut". Walau apa pun, dalam semua imej purba, piramid ditunjuk ...
Bentuk piramid juga mungkin dihasilkan melalui tiruan: beberapa sampel semula jadi, "keajaiban kesempurnaan," katakan, beberapa kristal dalam bentuk oktahedron.
Kristal yang serupa boleh menjadi kristal berlian dan emas. Sebilangan besar ciri "bertindih" adalah tipikal untuk konsep seperti Firaun, Matahari, Emas, Berlian. Di mana-mana - mulia, cemerlang (cemerlang), hebat, sempurna, dan sebagainya. Persamaan itu tidak disengajakan.
Kultus solar, seperti yang diketahui, adalah bahagian penting dalam agama Mesir Purba. “Tidak kira bagaimana kita menterjemahkan nama piramid yang paling hebat,” kata salah satu buku panduan moden, “The Firmament of Khufu” atau “The Skyward Khufu,” itu bermakna raja ialah matahari.” Jika Khufu, dalam kecemerlangan kekuasaannya, membayangkan dirinya sebagai matahari kedua, maka anaknya Djedef-Ra menjadi raja Mesir pertama yang menggelar dirinya sebagai “anak Ra”, iaitu anak kepada Matahari. Matahari, di hampir semua negara, dilambangkan oleh "logam solar", emas. "Cakera besar emas terang" - itulah yang orang Mesir panggil siang hari kita. Orang Mesir mengenali emas dengan sempurna, mereka tahu bentuk aslinya, di mana kristal emas boleh muncul dalam bentuk oktahedron.
“Batu matahari”—berlian—juga menarik di sini sebagai “sampel bentuk”. Nama berlian datang tepat dari dunia Arab, "almas" - yang paling sukar, paling keras, tidak dapat dihancurkan. Orang Mesir kuno mengetahui berlian dan sifat-sifatnya dengan baik. Menurut beberapa pengarang, mereka juga menggunakan tiub gangsa dengan pemotong berlian untuk penggerudian.
Pada masa kini pembekal utama berlian adalah Afrika Selatan, tetapi Afrika Barat juga kaya dengan berlian. Wilayah Republik Mali bahkan dipanggil "Tanah Berlian". Sementara itu, Dogon tinggal di wilayah Mali, yang dengannya penyokong hipotesis lawatan paleo menaruh banyak harapan (lihat di bawah). Berlian tidak mungkin menjadi sebab hubungan orang Mesir kuno dengan wilayah ini. Walau bagaimanapun, satu cara atau yang lain, adalah mungkin bahawa dengan tepat menyalin oktahedron berlian dan kristal emas, orang Mesir kuno dengan itu mendewakan firaun, "tidak dapat dihancurkan" seperti berlian dan "bercahaya" seperti emas, anak-anak Matahari, setanding sahaja kepada ciptaan alam yang paling indah.
Kesimpulan:
Setelah mengkaji piramid sebagai badan geometri, mengenali unsur dan sifatnya, kami yakin dengan kesahihan pendapat tentang keindahan bentuk piramid.
Hasil daripada penyelidikan kami, kami sampai pada kesimpulan bahawa orang Mesir, setelah mengumpul pengetahuan matematik yang paling berharga, menjelmakannya dalam piramid. Oleh itu, piramid adalah benar-benar ciptaan alam dan manusia yang paling sempurna.
SENARAI RUJUKAN YANG DIGUNAKAN
"Geometri: Buku teks. untuk 7 – 9 darjah. pendidikan am institusi\, dsb. - edisi ke-9 - M.: Pendidikan, 1999
Sejarah matematik di sekolah, M: "Prosveshchenie", 1982.
Geometri 10-11 gred, M: "Pencerahan", 2000
Peter Tompkins "Rahsia Piramid Besar Cheops", M: "Tsentropoligraf", 2005.
sumber Internet
http://veka-i-mig. *****/
http://tambov. *****/vjpusk/vjp025/rabot/33/index2.htm
http://www. *****/enc/54373.html
pengenalan
Apabila kami mula mempelajari angka stereometrik, kami menyentuh topik "Pyramid". Kami menyukai topik ini kerana piramid sangat kerap digunakan dalam seni bina. Dan memandangkan profesion seni bina masa depan kami diilhamkan oleh tokoh ini, kami fikir dia boleh mendorong kami ke arah projek yang cemerlang.
Kekuatan struktur seni bina adalah kualiti yang paling penting. Menghubungkan kekuatan, pertama, dengan bahan dari mana ia dicipta, dan, kedua, dengan ciri penyelesaian reka bentuk, ternyata kekuatan struktur berkaitan secara langsung dengan bentuk geometri yang asas untuknya.
Dalam erti kata lain, kita bercakap tentang angka geometri yang boleh dianggap sebagai model bentuk seni bina yang sepadan. Ternyata bentuk geometri juga menentukan kekuatan struktur seni bina.
Sejak zaman purba, piramid Mesir telah dianggap sebagai struktur seni bina yang paling tahan lama. Seperti yang anda tahu, mereka mempunyai bentuk piramid segi empat biasa.
Bentuk geometri inilah yang memberikan kestabilan terbesar kerana luas tapak yang besar. Sebaliknya, bentuk piramid memastikan jisim berkurangan apabila ketinggian di atas tanah meningkat. Kedua-dua sifat inilah yang menjadikan piramid itu stabil, dan oleh itu kuat di bawah keadaan graviti.
Matlamat projek: belajar sesuatu yang baharu tentang piramid, mendalami pengetahuan anda dan cari aplikasi praktikal.
Untuk mencapai matlamat ini, adalah perlu untuk menyelesaikan tugas-tugas berikut:
· Ketahui maklumat sejarah tentang piramid
· Pertimbangkan piramid sebagai rajah geometri
· Cari aplikasi dalam kehidupan dan seni bina
· Cari persamaan dan perbezaan antara piramid yang terletak di bahagian dunia yang berbeza
Bahagian teori
Maklumat sejarah
Geometri piramid bermula di Mesir Purba dan Babylon, tetapi dibangunkan secara aktif di Greece Purba. Yang pertama untuk menubuhkan jumlah piramid ialah Democritus, dan Eudoxus dari Cnidus membuktikannya. Ahli matematik Yunani purba Euclid mensistematiskan pengetahuan tentang piramid dalam jilid XII "Unsur"nya, dan juga memperoleh takrifan pertama piramid: angka pepejal yang dibatasi oleh satah yang menumpu dari satu satah ke satu titik.
Makam firaun Mesir. Yang terbesar - piramid Cheops, Khafre dan Mikerin di El Giza - dianggap sebagai salah satu daripada Tujuh Keajaiban Dunia pada zaman dahulu. Pembinaan piramid, di mana orang Yunani dan Rom sudah melihat monumen kepada kebanggaan raja-raja yang belum pernah terjadi sebelumnya dan kekejaman yang menjatuhkan seluruh rakyat Mesir kepada pembinaan yang tidak bermakna, adalah tindakan pemujaan yang paling penting dan sepatutnya menyatakan, nampaknya, identiti mistik negara dan pemerintahnya. Penduduk negara itu bekerja pada pembinaan kubur pada bahagian tahun bebas daripada kerja pertanian. Sebilangan teks memberi kesaksian tentang perhatian dan perhatian yang diberikan oleh raja-raja sendiri (walaupun di kemudian hari) untuk pembinaan makam mereka dan pembinanya. Ia juga diketahui tentang penghormatan kultus khas yang diberikan kepada piramid itu sendiri.
Konsep Asas
Piramid dipanggil polihedron yang tapaknya ialah poligon, dan muka yang selebihnya ialah segi tiga yang mempunyai bucu sepunya.
Apothem- ketinggian muka sisi piramid biasa, diambil dari puncaknya;
Muka sisi- segitiga bertemu di puncak;
Tulang rusuk sebelah- sisi biasa muka sisi;
Bahagian atas piramid- titik yang menghubungkan rusuk sisi dan tidak terletak di satah pangkalan;
Ketinggian- segmen serenjang yang ditarik melalui bahagian atas piramid ke satah asasnya (hujung segmen ini adalah bahagian atas piramid dan pangkal serenjang);
Bahagian pepenjuru piramid- bahagian piramid yang melalui bahagian atas dan pepenjuru asas;
Pangkalan- poligon yang tidak tergolong dalam bucu piramid.
Sifat asas piramid biasa
Tepi sisi, muka sisi dan apotema masing-masing adalah sama.
Sudut dihedral di tapak adalah sama.
Sudut dihedral di tepi sisi adalah sama.
Setiap titik ketinggian adalah sama jarak dari semua bucu tapak.
Setiap titik ketinggian adalah sama jarak dari semua muka sisi.
Formula asas piramid
Luas permukaan sisi dan keseluruhan piramid.
Luas permukaan sisi piramid (penuh dan terpotong) ialah jumlah luas semua muka sisinya, jumlah luas permukaan ialah jumlah luas semua mukanya.
Teorem: Luas permukaan sisi piramid biasa adalah sama dengan separuh hasil darab perimeter tapak dan apotema piramid.
hlm- perimeter asas;
h- apotema.
Kawasan permukaan sisi dan penuh piramid terpotong.
p 1, hlm 2 - perimeter asas;
h- apotema.
R- jumlah luas permukaan piramid terpotong biasa;
S sebelah- kawasan permukaan sisi piramid terpotong biasa;
S 1 + S 2- kawasan asas
Isipadu piramid
Borang isipadu ula digunakan untuk sebarang jenis piramid.
H- ketinggian piramid.
Sudut piramid
Sudut yang dibentuk oleh muka sisi dan tapak piramid dipanggil sudut dihedral di dasar piramid.
Sudut dihedral dibentuk oleh dua serenjang.
Untuk menentukan sudut ini, anda selalunya perlu menggunakan tiga teorem serenjang.
Sudut yang dibentuk oleh tepi sisi dan unjurannya pada satah tapak dipanggil sudut antara tepi sisi dan satah tapak.
Sudut yang dibentuk oleh dua sisi sisi dipanggil sudut dihedral di pinggir sisi piramid.
Sudut yang dibentuk oleh dua tepi sisi satu muka piramid dipanggil sudut di bahagian atas piramid.
Bahagian piramid
Permukaan piramid ialah permukaan polihedron. Setiap mukanya ialah satah, oleh itu bahagian piramid yang ditakrifkan oleh satah pemotongan ialah garis putus yang terdiri daripada garis lurus individu.
Bahagian pepenjuru
Bahagian piramid oleh satah yang melalui dua tepi sisi yang tidak terletak pada muka yang sama dipanggil bahagian pepenjuru piramid.
Bahagian selari
Teorem:
Jika piramid bersilang oleh satah selari dengan tapak, maka tepi sisi dan ketinggian piramid dibahagikan oleh satah ini kepada bahagian berkadar;
Bahagian satah ini ialah poligon yang serupa dengan tapak;
Kawasan bahagian dan tapak adalah berkaitan antara satu sama lain sebagai kuasa dua jaraknya dari bucu.
Jenis-jenis piramid
Piramid yang betul– piramid yang tapaknya ialah poligon sekata, dan bahagian atas piramid diunjurkan ke tengah tapak.
Untuk piramid biasa:
1. rusuk sisi adalah sama
2. muka sisi adalah sama
3. apothems adalah sama
4. sudut dihedral pada tapak adalah sama
5. sudut dihedral di tepi sisi adalah sama
6. setiap titik ketinggian adalah sama jarak dari semua bucu tapak
7. setiap titik ketinggian adalah sama jarak dari semua tepi sisi
Piramid terpotong- sebahagian daripada piramid yang tertutup di antara tapaknya dan satah pemotongan selari dengan tapak.
Pangkalan dan bahagian yang sepadan bagi piramid terpotong dipanggil asas piramid terpotong.
Serenjang yang dilukis dari mana-mana titik satu tapak ke satah yang lain dipanggil ketinggian piramid terpotong.
Tugasan
No 1. Dalam piramid segi empat sekata, titik O ialah pusat tapak, SO=8 cm, BD=30 cm Cari tepi sisi SA.
Penyelesaian masalah
No 1. Dalam piramid biasa, semua muka dan tepi adalah sama.
Pertimbangkan OSB: OSB ialah segi empat tepat, kerana.
SB 2 =SO 2 +OB 2
SB 2 =64+225=289
Piramid dalam seni bina
Piramid ialah struktur monumental dalam bentuk piramid geometri biasa biasa, di mana sisinya menumpu pada satu titik. Menurut tujuan fungsinya, piramid pada zaman dahulu adalah tempat pengebumian atau pemujaan pemujaan. Tapak piramid boleh berbentuk segi tiga, segi empat, atau dalam bentuk poligon dengan bilangan bucu yang sewenang-wenangnya, tetapi versi yang paling biasa ialah tapak segi empat.
Terdapat sejumlah besar piramid yang dibina oleh pelbagai budaya Dunia Purba, terutamanya sebagai kuil atau monumen. Piramid besar termasuk piramid Mesir.
Di seluruh Bumi anda boleh melihat struktur seni bina dalam bentuk piramid. Bangunan piramid mengingatkan zaman purba dan kelihatan sangat cantik.
Piramid Mesir ialah monumen seni bina terbesar Mesir Purba, termasuk salah satu daripada "Tujuh Keajaiban Dunia", Piramid Cheops. Dari kaki ke atas ia mencapai 137.3 m, dan sebelum ia kehilangan bahagian atas, ketinggiannya ialah 146.7 m
Bangunan stesen radio di ibu negara Slovakia, menyerupai piramid terbalik, dibina pada tahun 1983. Sebagai tambahan kepada pejabat dan premis perkhidmatan, di dalam kelantangan terdapat dewan konsert yang agak luas, yang mempunyai salah satu organ terbesar di Slovakia.
Louvre, yang "senyap, tidak berubah dan megah, seperti piramid," telah mengalami banyak perubahan selama berabad-abad sebelum menjadi muzium terbesar di dunia. Ia dilahirkan sebagai kubu, didirikan oleh Philip Augustus pada tahun 1190, yang tidak lama kemudian menjadi kediaman diraja. Pada tahun 1793 istana menjadi muzium. Koleksi diperkayakan melalui wasiat atau pembelian.
Definisi. Tepi tepi- ini adalah segi tiga di mana satu sudut terletak di bahagian atas piramid, dan sisi bertentangan bertepatan dengan sisi tapak (poligon).
Definisi. Tulang rusuk sebelah- ini adalah sisi biasa muka sisi. Piramid mempunyai banyak sisi seperti sudut poligon.
Definisi. Ketinggian piramid- ini adalah serenjang yang diturunkan dari atas ke pangkal piramid.
Definisi. Apothem- ini adalah serenjang dengan muka sisi piramid, diturunkan dari bahagian atas piramid ke sisi tapak.
Definisi. Bahagian pepenjuru- ini ialah bahagian piramid dengan satah yang melalui bahagian atas piramid dan pepenjuru tapak.
Definisi. Piramid yang betul ialah piramid di mana tapaknya ialah poligon sekata, dan ketinggiannya jatuh ke tengah tapak.
Isipadu dan luas permukaan piramid
Formula. Isipadu piramid melalui luas tapak dan ketinggian:
Sifat-sifat piramid
Jika semua tepi sisi adalah sama, maka bulatan boleh dilukis di sekeliling pangkal piramid, dan pusat tapak bertepatan dengan pusat bulatan. Juga, serenjang yang dijatuhkan dari atas melepasi pusat tapak (bulatan).
Jika semua tepi sisi adalah sama, maka ia condong ke satah tapak pada sudut yang sama.
Tepi sisi adalah sama apabila ia membentuk sudut yang sama dengan satah tapak atau jika bulatan boleh diterangkan di sekeliling tapak piramid.
Jika muka sisi condong ke satah tapak pada sudut yang sama, maka bulatan boleh ditulis ke dalam dasar piramid, dan bahagian atas piramid diunjurkan ke tengahnya.
Jika muka sisi condong kepada satah tapak pada sudut yang sama, maka apotema muka sisi adalah sama.
Sifat piramid biasa
1. Bahagian atas piramid adalah sama jarak dari semua penjuru tapak.
2. Semua tepi sisi adalah sama.
3. Semua rusuk sisi condong pada sudut yang sama dengan tapak.
4. Apotema semua muka sisi adalah sama.
5. Luas semua muka sisi adalah sama.
6. Semua muka mempunyai sudut dihedral (rata) yang sama.
7. Sfera boleh diterangkan mengelilingi piramid. Pusat sfera yang dihadkan akan menjadi titik persilangan serenjang yang melalui bahagian tengah tepi.
8. Anda boleh memasukkan sfera ke dalam piramid. Pusat sfera yang tertulis akan menjadi titik persilangan pembahagi dua yang terpancar dari sudut antara tepi dan tapak.
9. Jika pusat sfera yang digariskan bertepatan dengan pusat sfera yang dihadkan, maka jumlah sudut satah pada bucu adalah sama dengan π atau sebaliknya, satu sudut adalah sama dengan π/n, di mana n ialah nombor sudut di dasar piramid.
Hubungan antara piramid dan sfera
Sfera boleh diterangkan mengelilingi piramid apabila di dasar piramid terdapat polihedron di mana bulatan boleh diterangkan (keadaan yang perlu dan mencukupi). Pusat sfera akan menjadi titik persilangan satah yang melalui secara berserenjang melalui titik tengah tepi sisi piramid.
Ia sentiasa mungkin untuk menggambarkan sfera di sekeliling mana-mana piramid segi tiga atau biasa.
Sfera boleh ditulis dalam piramid jika satah pembahagi dua sudut dihedral dalaman piramid itu bersilang pada satu titik (keadaan yang perlu dan mencukupi). Titik ini akan menjadi pusat sfera.
Sambungan piramid dengan kon
Sebuah kon dikatakan ditulis dalam piramid jika bucunya bertepatan dan pangkal kon itu tertulis di dasar piramid.
Sebuah kon boleh ditulis dalam piramid jika apotema piramid adalah sama antara satu sama lain.
Sebuah kon dikatakan dihadkan mengelilingi piramid jika bucunya bertepatan dan pangkal kon itu dihadkan mengelilingi pangkal piramid.
Sebuah kon boleh diterangkan mengelilingi piramid jika semua tepi sisi piramid adalah sama antara satu sama lain.
Hubungan antara piramid dan silinder
Piramid dipanggil tersurat dalam silinder jika bahagian atas piramid terletak pada satu tapak silinder, dan tapak piramid tertera pada tapak silinder yang lain.
Silinder boleh diterangkan mengelilingi piramid jika bulatan boleh diterangkan di sekeliling tapak piramid.
Tetrahedron mempunyai empat muka dan empat bucu dan enam tepi, di mana mana-mana dua tepi tidak mempunyai bucu sepunya tetapi tidak bersentuhan.
Setiap bucu terdiri daripada tiga muka dan tepi yang terbentuk sudut segi tiga.
Segmen yang menghubungkan puncak tetrahedron dengan pusat muka bertentangan dipanggil median tetrahedron(GM).
Bimedian dipanggil segmen yang menghubungkan titik tengah tepi bertentangan yang tidak bersentuhan (KL).
Semua bimedian dan median tetrahedron bersilang pada satu titik (S). Dalam kes ini, bimedian dibahagikan kepada separuh, dan median dibahagikan dalam nisbah 3:1 bermula dari atas.
Definisi. Piramid bersudut akut- piramid di mana apotemanya lebih daripada separuh panjang sisi tapak.
Definisi. Piramid tumpul- piramid di mana apotemanya kurang daripada separuh panjang sisi tapak.
Definisi. Tetrahedron biasa- tetrahedron di mana keempat-empat muka adalah segi tiga sama sisi. Ia adalah salah satu daripada lima poligon sekata. Dalam tetrahedron biasa, semua sudut dihedral (antara muka) dan sudut trihedral (di puncak) adalah sama.
Definisi. Tetrahedron segi empat tepat ialah tetrahedron dengan sudut tegak antara tiga tepi di puncak (tepinya berserenjang). Tiga muka terbentuk sudut segi tiga segi empat tepat dan muka ialah segi tiga tepat, dan tapaknya ialah segi tiga sewenang-wenangnya. Apotema mana-mana muka adalah sama dengan separuh bahagian pangkal di mana apotema jatuh.
Definisi. Tetrahedron isohedral dipanggil tetrahedron yang muka sisinya sama antara satu sama lain, dan tapaknya ialah segi tiga sekata. Tetrahedron sedemikian mempunyai muka yang berbentuk segi tiga sama kaki.
Definisi. Tetrahedron ortosentrik dipanggil tetrahedron di mana semua ketinggian (persenjang) yang diturunkan dari atas ke muka bertentangan bersilang pada satu titik.
Definisi. Piramid bintang dipanggil polyhedron yang tapaknya adalah bintang.
Di sini anda boleh mendapatkan maklumat asas tentang piramid dan formula serta konsep yang berkaitan. Kesemua mereka belajar dengan tutor matematik sebagai persediaan menghadapi Peperiksaan Negeri Bersepadu.
Pertimbangkan satah, poligon 
, terletak di dalamnya dan satu titik S, bukan terletak di dalamnya. Mari kita sambungkan S ke semua bucu poligon. Polihedron yang terhasil dipanggil piramid. Segmen itu dipanggil rusuk sisi. Poligon dipanggil tapak, dan titik S ialah bahagian atas piramid. Bergantung kepada nombor n, piramid dipanggil segi tiga (n=3), segi empat (n=4), pentagonal (n=5) dan seterusnya. Nama alternatif untuk piramid segi tiga ialah tetrahedron. Ketinggian piramid ialah serenjang yang menurun dari atasnya ke satah tapak. 
Piramid dipanggil sekata jika poligon sekata, dan tapak ketinggian piramid (pangkal serenjang) ialah pusatnya.
Komen tutor:
Jangan mengelirukan konsep "piramid biasa" dan "tetrahedron biasa". Dalam piramid biasa, tepi sisi tidak semestinya sama dengan tepi tapak, tetapi dalam tetrahedron biasa, semua 6 tepi adalah sama. Ini definisi dia. Adalah mudah untuk membuktikan bahawa kesamaan membayangkan bahawa pusat P poligon itu bertepatan dengan ketinggian tapak, jadi tetrahedron biasa ialah piramid biasa.
Apakah apotema?
Apotema piramid ialah ketinggian muka sisinya. Jika piramid itu sekata, maka semua apotemanya adalah sama. Sebaliknya tidak benar. 
Seorang tutor matematik tentang istilahnya: 80% kerja dengan piramid dibina melalui dua jenis segi tiga:
1) Mengandungi SK apotema dan SP ketinggian
2) Mengandungi SA tepi sisi dan PA unjurannya 
Untuk memudahkan rujukan kepada segitiga ini, adalah lebih mudah bagi tutor matematik untuk memanggil yang pertama daripadanya apothemal, dan yang kedua costal. Malangnya, anda tidak akan menemui istilah ini dalam mana-mana buku teks, dan guru perlu memperkenalkannya secara unilateral.
Formula untuk isipadu piramid:
1) 
, di manakah luas tapak piramid, dan ialah ketinggian piramid
2) , di manakah jejari sfera yang tertulis, dan ialah luas jumlah permukaan piramid.
3) 
, di mana MN ialah jarak antara mana-mana dua tepi silang, dan ialah luas segi empat selari yang dibentuk oleh titik tengah empat tepi yang tinggal.
Sifat asas ketinggian piramid:
Titik P (lihat rajah) bertepatan dengan pusat bulatan bertulis di dasar piramid jika salah satu daripada syarat berikut dipenuhi:
1) Semua apothems adalah sama
2) Semua muka sisi sama condong ke pangkal
3) Semua apothems adalah sama condong kepada ketinggian piramid
4) Ketinggian piramid adalah sama condong kepada semua muka sisi
Komen tutor matematik: Sila ambil perhatian bahawa semua titik disatukan oleh satu harta bersama: satu cara atau yang lain, muka sisi terlibat di mana-mana (apothem adalah elemen mereka). Oleh itu, tutor boleh menawarkan rumusan yang kurang tepat, tetapi lebih mudah untuk pembelajaran: titik P bertepatan dengan pusat bulatan bertulis, pangkal piramid, jika terdapat sebarang maklumat yang sama tentang muka sisinya. Untuk membuktikannya, sudah cukup untuk menunjukkan bahawa semua segitiga apotema adalah sama.
Titik P bertepatan dengan pusat bulatan yang dihadkan berhampiran dasar piramid jika salah satu daripada tiga keadaan adalah benar:
1) Semua tepi sisi adalah sama
2) Semua rusuk sisi sama condong ke pangkal
3) Semua rusuk sisi sama condong ke ketinggian