Artikel tersebut membincangkan konsep nombor perdana dan nombor komposit. Takrif nombor tersebut diberikan dengan contoh. Kami mengemukakan bukti bahawa bilangan nombor perdana adalah tidak terhad dan kami akan merekodkannya dalam jadual nombor perdana menggunakan kaedah Eratosthenes. Bukti akan diberikan untuk menentukan sama ada sesuatu nombor adalah perdana atau komposit.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Nombor Perdana dan Komposit - Definisi dan Contoh
Nombor perdana dan komposit dikelaskan sebagai integer positif. Mereka mesti lebih besar daripada satu. Pembahagi juga dibahagikan kepada mudah dan komposit. Untuk memahami konsep nombor komposit, anda mesti terlebih dahulu mengkaji konsep pembahagi dan gandaan.
Definisi 1
Nombor perdana ialah integer yang lebih besar daripada satu dan mempunyai dua pembahagi positif, iaitu diri mereka sendiri dan 1.
Definisi 2
Nombor komposit ialah integer yang lebih besar daripada satu dan mempunyai sekurang-kurangnya tiga pembahagi positif.
Satu bukan nombor perdana mahupun nombor komposit. Ia hanya mempunyai satu pembahagi positif, jadi ia berbeza daripada semua nombor positif lain. Semua integer positif dipanggil nombor asli, iaitu, digunakan dalam mengira.
Definisi 3
Nombor perdana ialah nombor asli yang hanya mempunyai dua pembahagi positif.
Definisi 4
Nombor komposit ialah nombor asli yang mempunyai lebih daripada dua pembahagi positif.
Sebarang nombor yang lebih besar daripada 1 adalah sama ada perdana atau komposit. Daripada sifat boleh bahagi kita mempunyai 1 dan nombor a akan sentiasa menjadi pembahagi untuk sebarang nombor a, iaitu, ia akan boleh dibahagikan dengan sendirinya dan dengan 1. Mari kita berikan definisi integer.
Definisi 5
Nombor asli yang bukan perdana dipanggil nombor komposit.
Nombor perdana: 2, 3, 11, 17, 131, 523. Mereka hanya boleh dibahagikan dengan sendiri dan 1. Nombor komposit: 6, 63, 121, 6697. Iaitu, nombor 6 boleh diuraikan menjadi 2 dan 3, dan 63 menjadi 1, 3, 7, 9, 21, 63, dan 121 menjadi 11, 11, iaitu, pembahaginya ialah 1, 11, 121. Nombor 6697 diuraikan menjadi 37 dan 181. Perhatikan bahawa konsep nombor perdana dan nombor koprima adalah konsep yang berbeza.
Untuk memudahkan penggunaan nombor perdana, anda perlu menggunakan jadual:
Jadual untuk semua nombor asli yang sedia ada adalah tidak realistik, kerana terdapat nombor yang tidak terhingga. Apabila nombor mencapai saiz 10000 atau 1000000000, maka anda harus mempertimbangkan untuk menggunakan Sieve of Eratosthenes.
Mari kita pertimbangkan teorem yang menerangkan pernyataan terakhir.
Teorem 1
Pembahagi positif terkecil selain 1 daripada nombor asli yang lebih besar daripada satu ialah nombor perdana.
Bukti 1
Mari kita andaikan bahawa a ialah nombor asli yang lebih besar daripada 1, b ialah pembahagi bukan satu terkecil bagi a. Adalah perlu untuk membuktikan bahawa b ialah nombor perdana menggunakan kaedah percanggahan.
Mari kita andaikan bahawa b ialah nombor komposit. Dari sini kita dapati bahawa terdapat pembahagi untuk b, yang berbeza dari 1 dan juga dari b. Pembahagi sedemikian ditandakan sebagai b 1. Perlu syarat 1< b 1 < b telah selesai.
Daripada syarat itu jelas bahawa a dibahagikan dengan b, b dibahagikan dengan b 1, yang bermaksud konsep kebolehbahagiaan dinyatakan seperti berikut: a = b q dan b = b 1 · q 1 , dari mana a = b 1 · (q 1 · q) , di mana q dan q 1 ialah integer. Mengikut peraturan pendaraban integer, kita mempunyai bahawa hasil darab integer ialah integer dengan kesamaan bentuk a = b 1 · (q 1 · q) . Dapat dilihat bahawa b 1 ialah pembahagi bagi nombor a. Ketaksamaan 1< b 1 < b tidak sepadan, kerana kita dapati bahawa b ialah pembahagi positif dan bukan-1 terkecil bagi a.
Teorem 2
Terdapat bilangan nombor perdana yang tidak terhingga.
Bukti 2
Mungkin kita mengambil nombor terhingga nombor asli n dan menandakannya sebagai p 1, p 2, …, p n. Mari kita pertimbangkan pilihan untuk mencari nombor perdana berbeza daripada yang ditunjukkan.
Mari kita mengambil kira nombor p, yang sama dengan p 1, p 2, ..., p n + 1. Ia tidak sama dengan setiap nombor yang sepadan dengan nombor perdana bagi bentuk p 1, p 2, ..., p n. Nombor p ialah perdana. Kemudian teorem dianggap terbukti. Jika ia adalah komposit, maka anda perlu mengambil notasi p n + 1 dan tunjukkan bahawa pembahagi tidak bertepatan dengan mana-mana p 1, p 2, ..., p n.
Jika ini tidak begitu, maka, berdasarkan sifat boleh bahagi bagi hasil p 1, p 2, ..., p n , kita dapati ia boleh dibahagikan dengan pn + 1. Perhatikan bahawa ungkapan p n + 1 membahagikan nombor p sama dengan jumlah p 1, p 2, ..., p n + 1. Kami memperoleh bahawa ungkapan p n + 1 Sebutan kedua bagi jumlah ini, yang sama dengan 1, mesti dibahagikan, tetapi ini adalah mustahil.
Dapat dilihat bahawa sebarang nombor perdana boleh didapati di antara sebarang nombor nombor perdana yang diberikan. Ia berikutan bahawa terdapat banyak nombor perdana yang tidak terhingga.
Oleh kerana terdapat banyak nombor perdana, jadual adalah terhad kepada nombor 100, 1000, 10000, dan seterusnya.
Apabila menyusun jadual nombor perdana, anda harus mengambil kira bahawa tugas sedemikian memerlukan pemeriksaan nombor secara berurutan, bermula dari 2 hingga 100. Jika tiada pembahagi, ia direkodkan dalam jadual; jika ia adalah komposit, maka ia tidak dimasukkan ke dalam jadual.
Mari kita lihat langkah demi langkah.
Jika anda bermula dengan nombor 2, maka ia hanya mempunyai 2 pembahagi: 2 dan 1, yang bermaksud ia boleh dimasukkan ke dalam jadual. Sama dengan nombor 3. Nombor 4 adalah komposit; ia mesti diuraikan menjadi 2 dan 2. Nombor 5 adalah perdana, yang bermaksud ia boleh direkodkan dalam jadual. Lakukan ini sehingga nombor 100.
Kaedah ini menyusahkan dan memakan masa. Ia adalah mungkin untuk membuat jadual, tetapi anda perlu menghabiskan banyak masa. Ia perlu menggunakan kriteria pembahagian, yang akan mempercepatkan proses mencari pembahagi.
Kaedah menggunakan penapis Eratosthenes dianggap paling mudah. Mari kita lihat jadual di bawah sebagai contoh. Sebagai permulaan, nombor 2, 3, 4, ..., 50 ditulis.
Sekarang anda perlu memotong semua nombor yang merupakan gandaan 2. Lakukan coretan berurutan. Kami mendapat jadual seperti:
Kami meneruskan untuk memotong nombor yang merupakan gandaan 5. Kami mendapat:
Potong nombor yang merupakan gandaan 7, 11. Akhirnya jadual kelihatan seperti
Mari kita beralih kepada perumusan teorem.
Teorem 3
Pembahagi positif dan bukan-1 terkecil bagi nombor asas a tidak melebihi a, dengan a ialah punca aritmetik bagi nombor yang diberi.
Bukti 3
Adalah perlu untuk menandakan b pembahagi terkecil bagi nombor komposit a. Terdapat integer q, di mana a = b · q, dan kita mempunyai bahawa b ≤ q. Ketaksamaan borang tidak boleh diterima b > q, kerana syaratnya dilanggar. Kedua-dua belah ketaksamaan b ≤ q hendaklah didarab dengan sebarang nombor positif b tidak sama dengan 1. Kami mendapat bahawa b · b ≤ b · q, di mana b 2 ≤ a dan b ≤ a.
Daripada teorem terbukti adalah jelas bahawa memotong nombor dalam jadual membawa kepada fakta bahawa ia adalah perlu untuk bermula dengan nombor yang sama dengan b 2 dan memenuhi ketaksamaan b 2 ≤ a. Iaitu, jika anda memotong nombor yang merupakan gandaan 2, maka prosesnya bermula dengan 4, dan gandaan 3 dengan 9, dan seterusnya sehingga 100.
Menyusun jadual sedemikian menggunakan teorem Eratosthenes mencadangkan bahawa apabila semua nombor komposit dicoret, nombor perdana akan kekal tidak melebihi n. Dalam contoh di mana n = 50, kita mempunyai n = 50. Dari sini kita dapati bahawa penapis Eratosthenes menyaring semua nombor komposit yang nilainya tidak lebih besar daripada nilai punca 50. Pencarian nombor dilakukan dengan memotong.
Sebelum menyelesaikan, anda perlu mengetahui sama ada nombor itu adalah perdana atau komposit. Kriteria pembahagian sering digunakan. Mari lihat ini dalam contoh di bawah.
Contoh 1
Buktikan bahawa nombor 898989898989898989 adalah komposit.
Penyelesaian
Jumlah digit bagi nombor yang diberi ialah 9 8 + 9 9 = 9 17. Ini bermakna nombor 9 · 17 boleh dibahagi dengan 9, berdasarkan ujian kebolehbahagi dengan 9. Ia berikutan bahawa ia adalah komposit.
Tanda-tanda sedemikian tidak dapat membuktikan keutamaan sesuatu nombor. Jika pengesahan diperlukan, tindakan lain perlu diambil. Cara yang paling sesuai ialah menghitung nombor. Semasa proses, nombor perdana dan komposit boleh ditemui. Iaitu, nombor tidak boleh melebihi nilai a. Iaitu, nombor a mesti difaktorkan menjadi faktor perdana. jika ini berpuas hati, maka nombor a boleh dianggap perdana.
Contoh 2
Tentukan nombor komposit atau perdana 11723.
Penyelesaian
Sekarang anda perlu mencari semua pembahagi untuk nombor 11723. Perlu menilai 11723 .
Dari sini kita lihat bahawa 11723< 200 , то 200 2 = 40 000 , dan 11 723< 40 000 . Получаем, что делители для 11 723 меньше числа 200 .
Untuk anggaran yang lebih tepat bagi nombor 11723, anda perlu menulis ungkapan 108 2 = 11 664, dan 109 2 = 11 881 , Itu 108 2 < 11 723 < 109 2 . Ia berikutan bahawa 11723< 109 . Видно, что любое число, которое меньше 109 считается делителем для заданного числа.
Apabila mengembangkan, kita dapati bahawa 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83 , 89 , 97 , 101 , 103 , 107 adalah semua nombor perdana. Keseluruhan proses ini boleh digambarkan sebagai pembahagian dengan lajur. Iaitu, bahagikan 11723 dengan 19. Nombor 19 adalah salah satu faktornya, kerana kita mendapat pembahagian tanpa baki. Mari kita wakili bahagian sebagai lajur:
Ia berikutan bahawa 11723 ialah nombor komposit, kerana sebagai tambahan kepada dirinya sendiri dan 1 ia mempunyai pembahagi 19.
Jawapan: 11723 ialah nombor komposit.
Jika anda melihat ralat dalam teks, sila serlahkannya dan tekan Ctrl+Enter
Nombor perdana ialah nombor asli (integer positif) yang boleh dibahagikan tanpa baki dengan hanya dua nombor asli: dengan dan dengan sendirinya. Dalam erti kata lain, nombor perdana mempunyai dua pembahagi semula jadi: dan nombor itu sendiri.
Mengikut definisi, set semua pembahagi nombor perdana ialah dua unsur, i.e. mewakili satu set.
Set semua nombor perdana dilambangkan dengan simbol. Oleh itu, disebabkan takrifan set nombor perdana, kita boleh menulis: .
Urutan nombor perdana kelihatan seperti ini:
Teorem Asas Aritmetik
Teorem Asas Aritmetik menyatakan bahawa setiap nombor asli yang lebih besar daripada satu boleh diwakili sebagai hasil darab nombor perdana, dan dengan cara yang unik, sehingga tertib faktor. Oleh itu, nombor perdana ialah "blok binaan" asas bagi set nombor asli.
Tajuk pengembangan nombor asli="Diberikan oleh QuickLaTeX.com" height="13" width="42" style="vertical-align: -1px;"> в произведение простых чисел называют !} berkanun:
di manakah nombor perdana, dan . Sebagai contoh, pengembangan kanonik nombor asli kelihatan seperti ini: .
Mewakili nombor asli sebagai hasil darab prima juga dipanggil pemfaktoran sesuatu nombor.
Sifat Nombor Perdana
Penapis Eratosthenes
Salah satu algoritma yang paling terkenal untuk mencari dan mengenal nombor perdana ialah penapis Eratosthenes. Jadi algoritma ini dinamakan sempena ahli matematik Yunani Eratosthenes of Cyrene, yang dianggap sebagai pengarang algoritma.
Untuk mencari semua nombor perdana kurang daripada nombor tertentu, mengikut kaedah Eratosthenes, ikuti langkah berikut:
Langkah 1. Tulis semua nombor asli daripada dua hingga , i.e. .
Langkah 2. Berikan nilai kepada pembolehubah, iaitu nilai yang sama dengan nombor perdana terkecil.
Langkah 3. Potong dalam senarai semua nombor dari hingga yang merupakan gandaan , iaitu nombor: .
Langkah 4. Cari nombor tidak bersilang pertama dalam senarai yang lebih besar daripada , dan tetapkan nilai nombor ini kepada pembolehubah.
Langkah 5. Ulangi langkah 3 dan 4 sehingga nombor tercapai.
Proses menggunakan algoritma akan kelihatan seperti ini:
Semua nombor yang tidak bersilang yang tinggal dalam senarai pada akhir proses menggunakan algoritma akan menjadi set nombor perdana dari hingga .
Dugaan Goldbach
Muka depan buku “Uncle Petros and the Goldbach Hypothesis”
Walaupun fakta bahawa nombor perdana telah dikaji oleh ahli matematik untuk masa yang agak lama, banyak masalah berkaitan masih tidak dapat diselesaikan hari ini. Salah satu masalah yang tidak dapat diselesaikan yang paling terkenal ialah hipotesis Goldbach, yang dirumuskan seperti berikut:
- Adakah benar setiap nombor genap yang lebih besar daripada dua boleh diwakili sebagai hasil tambah dua nombor perdana (hipotesis binari Goldbach)?
- Adakah benar setiap nombor ganjil yang lebih besar daripada 5 boleh diwakili sebagai hasil tambah tiga nombor perdana (hipotesis ternary Goldbach)?
Harus dikatakan bahawa hipotesis Goldbach ternary adalah kes khas hipotesis Goldbach binari, atau seperti yang dikatakan ahli matematik, hipotesis Goldbach ternary adalah lebih lemah daripada hipotesis Goldbach binari.
Dugaan Goldbach dikenali secara meluas di luar komuniti matematik pada tahun 2000 berkat aksi pemasaran promosi oleh syarikat penerbitan Bloomsbury USA (USA) dan Faber and Faber (UK). Penerbit ini, setelah mengeluarkan buku "Uncle Petros and Goldbach's Conjecture," berjanji untuk membayar hadiah 1 juta dolar AS kepada sesiapa yang membuktikan hipotesis Goldbach dalam tempoh 2 tahun dari tarikh penerbitan buku itu. Kadangkala hadiah yang disebut daripada penerbit keliru dengan hadiah untuk menyelesaikan Masalah Hadiah Milenium. Jangan silap, hipotesis Goldbach tidak diklasifikasikan oleh Institut Tanah Liat sebagai "cabaran milenium," walaupun ia berkait rapat dengan Hipotesis Riemann- salah satu daripada "cabaran milenium".
Buku “Nombor perdana. Jalan panjang ke infiniti"
Muka depan buku “The World of Mathematics. Nombor perdana. Jalan panjang ke infiniti"
Di samping itu, saya mengesyorkan membaca buku sains popular yang menarik, penjelasan yang mengatakan: "Pencarian nombor perdana adalah salah satu masalah yang paling paradoks dalam matematik. Para saintis telah cuba menyelesaikannya selama beberapa milenium, tetapi, berkembang dengan versi dan hipotesis baharu, misteri ini masih tidak dapat diselesaikan. Kemunculan nombor perdana tidak tertakluk kepada mana-mana sistem: ia muncul secara spontan dalam siri nombor asli, mengabaikan semua percubaan ahli matematik untuk mengenal pasti corak dalam urutannya. Buku ini akan membolehkan pembaca mengesan evolusi konsep saintifik dari zaman purba hingga ke hari ini dan memperkenalkan teori yang paling menarik dalam mencari nombor perdana.”
Selain itu, saya akan memetik permulaan bab kedua buku ini: “Nombor perdana adalah salah satu topik penting yang membawa kita kembali kepada asal-usul matematik, dan kemudian, di sepanjang jalan yang semakin kompleks, membawa kita ke hadapan. daripada sains moden. Oleh itu, adalah sangat berguna untuk mengesan sejarah yang menarik dan kompleks bagi teori nombor perdana: bagaimana ia berkembang, betul-betul bagaimana fakta dan kebenaran yang kini diterima umum dikumpulkan. Dalam bab ini kita akan melihat bagaimana generasi ahli matematik mengkaji nombor asli dengan teliti untuk mencari peraturan yang meramalkan kemunculan nombor perdana - peraturan yang menjadi semakin sukar difahami apabila carian berlangsung. Kami juga akan melihat secara terperinci konteks sejarah: keadaan di mana ahli matematik bekerja dan sejauh mana kerja mereka melibatkan amalan mistik dan separa agama, yang agak berbeza daripada kaedah saintifik yang digunakan pada zaman kita. Namun begitu, perlahan-lahan dan dengan susah payah, tanah telah disediakan untuk pandangan baharu yang memberi inspirasi kepada Fermat dan Euler pada abad ke-17 dan ke-18.”
Nombor adalah berbeza: semula jadi, rasional, rasional, integer dan pecahan, positif dan negatif, kompleks dan perdana, ganjil dan genap, nyata, dll. Daripada artikel ini anda boleh mengetahui apakah nombor perdana.
Apakah nombor yang dipanggil "mudah" dalam bahasa Inggeris?
Selalunya, pelajar sekolah tidak tahu bagaimana menjawab salah satu soalan paling mudah dalam matematik pada pandangan pertama, tentang apa itu nombor perdana. Mereka sering mengelirukan nombor perdana dengan nombor asli (iaitu, nombor yang digunakan oleh orang semasa mengira objek, manakala dalam sesetengah sumber mereka bermula dengan sifar, dan dalam yang lain dengan satu). Tetapi ini adalah dua konsep yang berbeza. Nombor perdana ialah nombor asli, iaitu integer dan nombor positif yang lebih besar daripada satu dan hanya mempunyai 2 pembahagi semula jadi. Selain itu, salah satu daripada pembahagi ini adalah nombor yang diberikan, dan yang kedua adalah satu. Sebagai contoh, tiga ialah nombor perdana kerana ia tidak boleh dibahagikan tanpa baki dengan sebarang nombor selain dirinya dan satu.
Nombor komposit
Lawan nombor perdana ialah nombor komposit. Mereka juga semula jadi, juga lebih besar daripada satu, tetapi tidak mempunyai dua, tetapi bilangan pembahagi yang lebih besar. Jadi, sebagai contoh, nombor 4, 6, 8, 9, dsb. adalah semula jadi, komposit, tetapi bukan nombor perdana. Seperti yang anda lihat, ini kebanyakannya adalah nombor genap, tetapi bukan semua. Tetapi "dua" ialah nombor genap dan "nombor pertama" dalam satu siri nombor perdana.
Susulan
Untuk membina satu siri nombor perdana, adalah perlu untuk memilih daripada semua nombor asli, dengan mengambil kira definisinya, iaitu, anda perlu bertindak dengan percanggahan. Adalah perlu untuk memeriksa setiap nombor asli positif untuk melihat sama ada ia mempunyai lebih daripada dua pembahagi. Cuba kita bina satu siri (jujukan) yang terdiri daripada nombor perdana. Senarai itu bermula dengan dua, diikuti dengan tiga, kerana ia hanya boleh dibahagikan dengan sendirinya dan satu. Pertimbangkan nombor empat. Adakah ia mempunyai pembahagi selain empat dan satu? Ya, nombor itu ialah 2. Jadi empat bukan nombor perdana. Lima juga perdana (ia tidak boleh dibahagikan dengan mana-mana nombor lain, kecuali 1 dan 5), tetapi enam boleh dibahagikan. Dan secara umum, jika anda mengikuti semua nombor genap, anda akan melihat bahawa kecuali untuk "dua", tiada satu pun daripada mereka adalah perdana. Daripada ini kita membuat kesimpulan bahawa nombor genap, kecuali dua, bukan perdana. Penemuan lain: semua nombor boleh dibahagikan dengan tiga, kecuali tiga itu sendiri, sama ada genap atau ganjil, juga bukan perdana (6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, dsb.). Perkara yang sama berlaku untuk nombor yang boleh dibahagikan dengan lima dan tujuh. Semua orang ramai mereka juga tidak mudah. Mari kita ringkaskan. Jadi, nombor satu digit mudah termasuk semua nombor ganjil kecuali satu dan sembilan, malah "dua" ialah nombor genap. Sepuluh itu sendiri (10, 20,... 40, dsb.) tidak mudah. Nombor perdana dua digit, tiga digit, dsb. boleh ditentukan berdasarkan prinsip di atas: jika mereka tidak mempunyai pembahagi selain daripada diri mereka sendiri dan satu.
Teori tentang sifat nombor perdana
Terdapat sains yang mengkaji sifat-sifat integer, termasuk nombor perdana. Ini adalah cabang matematik yang dipanggil lebih tinggi. Selain sifat integer, dia juga berurusan dengan nombor algebra dan transendental, serta fungsi pelbagai asal yang berkaitan dengan aritmetik nombor ini. Dalam kajian ini, sebagai tambahan kepada kaedah asas dan algebra, kaedah analitik dan geometri juga digunakan. Secara khusus, "Teori Nombor" berkaitan dengan kajian nombor perdana.
Nombor perdana ialah "blok binaan" nombor asli
Dalam aritmetik terdapat satu teorem yang dipanggil teorem asas. Menurutnya, sebarang nombor asli, kecuali satu, boleh diwakili sebagai hasil darab, faktornya ialah nombor perdana, dan susunan faktornya adalah unik, yang bermaksud kaedah perwakilan juga unik. Ia dipanggil memfaktorkan nombor asli kepada faktor perdana. Terdapat nama lain untuk proses ini - pemfaktoran nombor. Berdasarkan ini, nombor perdana boleh dipanggil "bahan binaan", "blok" untuk membina nombor asli.
Cari nombor perdana. Ujian kesederhanaan
Ramai saintis dari zaman berbeza cuba mencari beberapa prinsip (sistem) untuk mencari senarai nombor perdana. Sains mengetahui sistem yang dipanggil ayak Atkin, ayak Sundartham, dan ayak Eratosthenes. Walau bagaimanapun, mereka tidak menghasilkan sebarang keputusan yang ketara, dan ujian mudah digunakan untuk mencari nombor perdana. Ahli matematik juga mencipta algoritma. Mereka biasanya dipanggil ujian primaliti. Sebagai contoh, terdapat ujian yang dibangunkan oleh Rabin dan Miller. Ia digunakan oleh kriptografi. Terdapat juga ujian Kayal-Agrawal-Sasquena. Walau bagaimanapun, walaupun ketepatan yang mencukupi, ia adalah sangat sukar untuk dikira, yang mengurangkan kepentingan praktikalnya.
Adakah set nombor perdana mempunyai had?
Saintis Yunani purba Euclid menulis dalam bukunya "Elements" bahawa set prima ialah infiniti. Beliau berkata demikian: “Mari kita bayangkan sejenak bahawa nombor perdana mempunyai had. Kemudian mari kita gandakan antara satu sama lain, dan tambah satu pada produk. Nombor yang diperoleh hasil daripada tindakan mudah ini tidak boleh dibahagikan dengan mana-mana siri nombor perdana, kerana selebihnya akan sentiasa menjadi satu. Ini bermakna terdapat beberapa nombor lain yang belum termasuk dalam senarai nombor perdana. Oleh itu, andaian kami adalah tidak benar, dan set ini tidak boleh mempunyai had. Selain bukti Euclid, terdapat formula yang lebih moden yang diberikan oleh ahli matematik Switzerland abad kelapan belas Leonhard Euler. Menurutnya, jumlah timbal balik hasil tambah n nombor pertama bertambah tanpa had apabila bilangan n bertambah. Dan inilah formula teorem berkenaan taburan nombor perdana: (n) berkembang sebagai n/ln (n).
Apakah nombor perdana terbesar?
Leonard Euler yang sama dapat mencari nombor perdana terbesar pada zamannya. Ini ialah 2 31 - 1 = 2147483647. Walau bagaimanapun, menjelang 2013, satu lagi terbesar paling tepat dalam senarai nombor perdana telah dikira - 2 57885161 - 1. Ia dipanggil nombor Mersenne. Ia mengandungi kira-kira 17 juta digit perpuluhan. Seperti yang anda lihat, bilangan yang ditemui oleh saintis abad kelapan belas adalah beberapa kali lebih kecil daripada ini. Ini adalah seperti yang sepatutnya, kerana Euler menjalankan pengiraan ini secara manual, manakala kontemporari kita mungkin dibantu oleh komputer. Lebih-lebih lagi, nombor ini diperoleh di Fakulti Matematik di salah satu fakulti Amerika. Nombor yang dinamakan sempena saintis ini lulus ujian primaliti Luc-Lemaire. Namun, sains tidak mahu berhenti di situ sahaja. Yayasan Electronic Frontier, yang diasaskan pada tahun 1990 di Amerika Syarikat (EFF), telah menawarkan ganjaran wang untuk mencari nombor perdana yang besar. Dan jika sehingga 2013 hadiah itu diberikan kepada saintis yang akan menemui mereka dari antara 1 dan 10 juta nombor perpuluhan, hari ini angka ini telah mencapai dari 100 juta hingga 1 bilion. Hadiahnya berkisar antara 150 hingga 250 ribu dolar AS.
Nama nombor perdana khas
Nombor-nombor yang ditemui terima kasih kepada algoritma yang dicipta oleh saintis tertentu dan lulus ujian kesederhanaan dipanggil istimewa. Berikut adalah sebahagian daripada mereka:
1. Merssen.
4. Cullen.
6. Mills et al.
Kesederhanaan nombor ini, dinamakan sempena saintis di atas, ditubuhkan menggunakan ujian berikut:
1. Luc-Lemaire.
2. Pepina.
3. Riesel.
4. Billhart - Lemaire - Selfridge dan lain-lain.
Sains moden tidak berhenti di situ, dan mungkin dalam masa terdekat dunia akan mempelajari nama mereka yang dapat menerima hadiah $250,000 dengan mencari nombor perdana terbesar.
Penghitungan pembahagi. Mengikut definisi, nombor n adalah perdana hanya jika ia tidak boleh dibahagi sama rata dengan 2 dan integer lain kecuali 1 dan dirinya sendiri. Formula di atas mengalih keluar langkah yang tidak perlu dan menjimatkan masa: sebagai contoh, selepas menyemak sama ada nombor boleh dibahagi dengan 3, tidak perlu menyemak sama ada ia boleh dibahagikan dengan 9.
- Fungsi floor(x) membundarkan x kepada integer terdekat yang kurang daripada atau sama dengan x.
Ketahui tentang aritmetik modular. Operasi "x mod y" (mod ialah singkatan daripada perkataan Latin "modulo", iaitu, "modul") bermaksud "bahagi x dengan y dan cari bakinya." Dalam erti kata lain, dalam aritmetik modular, apabila mencapai nilai tertentu, yang dipanggil modul, nombor "bertukar" kepada sifar semula. Sebagai contoh, jam menyimpan masa dengan modulus 12: ia menunjukkan pukul 10, 11 dan 12 dan kemudian kembali ke 1.
- Banyak kalkulator mempunyai kunci mod. Penghujung bahagian ini menunjukkan cara menilai fungsi ini secara manual untuk nombor yang besar.
Ketahui tentang perangkap Teorem Kecil Fermat. Semua nombor yang syarat ujian tidak dipenuhi adalah komposit, tetapi nombor yang selebihnya adalah sahaja berkemungkinan dikelaskan sebagai mudah. Jika anda ingin mengelakkan keputusan yang salah, cari n dalam senarai "nombor Carmichael" (nombor komposit yang memenuhi ujian ini) dan "nombor Fermat pseudo-prima" (nombor ini memenuhi syarat ujian hanya untuk beberapa nilai a).
Jika senang, gunakan ujian Miller-Rabin. Walaupun kaedah ini agak sukar untuk dikira dengan tangan, ia sering digunakan dalam program komputer. Ia memberikan kelajuan yang boleh diterima dan menghasilkan ralat yang lebih sedikit daripada kaedah Fermat. Nombor komposit tidak akan diterima sebagai nombor perdana jika pengiraan dibuat untuk lebih daripada ¼ nilai a. Jika anda memilih nilai yang berbeza secara rawak a dan bagi mereka semua ujian itu akan memberikan keputusan yang positif, kita boleh andaikan dengan tahap keyakinan yang agak tinggi itu n ialah nombor perdana.
Untuk nombor yang besar, gunakan aritmetik modular. Jika anda tidak mempunyai kalkulator dengan mod di tangan, atau kalkulator anda tidak direka bentuk untuk mengendalikan nombor yang begitu besar, gunakan sifat kuasa dan aritmetik modular untuk memudahkan pengiraan. Di bawah adalah contoh untuk 3 50 (\gaya paparan 3^(50)) mod 50:
- Tulis semula ungkapan dalam bentuk yang lebih mudah: mod 50. Apabila melakukan pengiraan manual, pemudahan selanjutnya mungkin diperlukan.
- (3 25 ∗ 3 25) (\gaya paparan (3^(25)*3^(25))) mod 50 = mod 50 mod 50) mod 50. Di sini kami mengambil kira sifat pendaraban modular.
- 3 25 (\gaya paparan 3^(25)) mod 50 = 43.
- (3 25 (\gaya paparan (3^(25))) mod 50 ∗ 3 25 (\displaystyle *3^(25)) mod 50) mod 50 = (43 ∗ 43) (\gaya paparan (43*43)) mod 50.
- = 1849 (\displaystyle =1849) mod 50.
- = 49 (\gaya paparan =49).